2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评：第二章平面向量 2.3.1

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高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第二章_平面向量_2.5

学业分层测评(二十三) 向量的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知一物体在共点力F 1＝(2,2)，F 2＝(3,1)的作用下产生位移s ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则共点力对物体所做的功为________．【解析】对于合力F ＝(5,3)，其所做的功为W ＝F·s ＝52＋92＝7.【答案】 72．若A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状为________．【解析】 AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形．【答案】直角三角形3．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为________(速度单位：m/s ，长度单位：m)．【解析】 5秒后点P 的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．【答案】 (10，－5)4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2-5-5，已知物体重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．图2-5-5【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】 10 N5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．【解析】由OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，可得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，(OA →－OC →)·OB →＝0，即CA →·OB →＝0，CA →⊥OB →，同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 是△ABC 的垂心，即三条高的交点．【答案】垂心6．等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且A (－1,2)，C (1,1)，则B 的坐标为________．【解析】设B 的坐标为(x ，y )，则CB →＝(x －1，y －1)，又AC →＝(2，－1)．由题意知：|CB →|＝|AC →|，且CB →·AC →＝0，∴⎩⎨⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝5，2(x －1)－(y －1)＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3. 【答案】 (0，－1)或(2,3)7．如图2-5-6，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，则对角线AC 的长为________．【导学号：06460068】图2-5-6【解析】 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AC →2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，①又BD →＝AD →－AB →，∴BD →2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，②∴①＋②得AC →2＋BD →2＝2(AB →2＋AD →2)．又AD ＝1，AB ＝2，BD ＝2，∴AC ＝ 6.【答案】 68．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为________．【解析】如图，|F 1|＝|F 2|＝|G |2cos θ2.∵|F 1|＝|F 2|＝|G |，∴2cos θ2＝1，∴θ＝120°.【答案】 120°二、解答题9．如图2-5-7所示，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC ⊥BD.图2-5-7【证明】 ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0.∴AC →⊥BD →.∴AC ⊥BD .10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．【解】设N (x ，y )，M (x 0，y 0)．因为MA →＝2AN →，所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎨⎧ 1－x 0＝2x －2，1－y 0＝2y －2，即⎩⎨⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，又因为点M (x 0，y 0)在圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4上，所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，所以(2x )2＋(2y )2＝4，即x 2＋y 2＝1，所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.能力提升]1．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】 AB →＝DC →，∴AB →∥DC →，且|AB →|＝|DC →|，∴四边形ABCD 是平行四边形，|AB →＋AD →|＝|AC →|，|AB →－AD →|＝|DB →|，∴|AC →|＝|DB →|，∴平行四边形是矩形．【答案】矩形2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.【解析】如图，在△AOB 中，|AB |＝3，|OA |＝|OB |＝1，∴∠AOB ＝120°，∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 120°＝－12.【答案】－123．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【解析】以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈0，π]，所以0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56π. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56π 4．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的角平分线的方程．【解】 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)，∠A 的角平分线的一个方向向量为：AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. 设∠A 的角平分线上任一点N (x ，y )，则AN →＝(x －4，y －1)，则AN →与所求方向向量平行，∴所求直线方程为：75(x －4)＋15(y －1)＝0，整理得7x ＋y －29＝0.。

苏教版必修四第2章平面向量作业题及答案解析：2.2.1

§2.2 向量的线性运算 2．2.1 向量的加法课时目标 1．理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义正确作出两个向量的和．1．向量的加法的定义已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫做a 与b 的和，记作________．即a ＋b ＝OA →＋AB →＝________. 求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量________叫做a 与b 的和(或和向量)，记作________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋________＝________. (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OC →＝b ，则O 、A 、C 三点不共线，以________，________为邻边作________________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． (3)多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的________为始点，第n个向量的________为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．即A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n A n ＋1＝____________.这个法则叫做向量求和的多边形法则． 3．向量加法的运算律(1)交换律:a ＋b ＝________________.(2)结合律:(a ＋b )＋c ＝________________.一、填空题1．化简AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.2．已知菱形ABCD 的边长为1，∠BAD ＝120°，则向量AB →＋AD →的模为________．3．在正六边形ABCDEF 中，AB →＝a ，F A →＝b ，则EC →＝________.(用a ，b 表示)4．如图所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论不正确的是______．(填相应结论的序号)①AB →＝CD →，BC →＝DA →； ②AD →＋OD →＝DA →； ③AO →＋OD →＝AC →＋CD →； ④AB →＋BC →＋CD →＝DA →.5．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状一定是________．6．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则|AB →＋BC →＋AC →|＝________. 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.8．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________.9.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式 (1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.10．已知△ABC 是正三角形，给出下列等式: ①|AB →＋BC →|＝|BC →＋CA →|； ②|AC →＋CB →|＝|BA →＋BC →|； ③|AB →＋AC →|＝|CA →＋CB →|； ④|AB →＋BC →＋AC →|＝|CB →＋BA →＋CA →|.其中正确的有______．(写出所有正确等式的序号) 二、解答题11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12.如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证:四边形AECF 是平行四边形．能力提升13．已知|AB →|＝3，|BC →|＝5，则|AC →|的取值范围是__________．14．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2.2 向量的线性运算 2．2.1 向量的加法知识梳理1．a ＋b OB →2．(1)AC → a ＋b AC →0 a a(2)OA OC 平行四边形 OB →(3)始点终点 3．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计 1．0解析原式＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝0.2．1解析 ∵AB →＋AD →＝AC →，且△ABC 为等边三角形， ∴|AB →＋AD →|＝|AC →|＝1. 3．a ＋b解析 EC →＝FB →＝F A →＋AB →＝a ＋b . 4．①②④ 5．平行四边形解析 ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 6．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →| ＝2AB 2＋BC 2＝213. 7.BC →解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋AB →＋BA →＝BC →. 8．2解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.9．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →或AB → 10．①③④解析 AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CA →＝BA →，而|AC →|＝|BA →|，故①正确； |AB →|≠|BA →＋BC →|，故②不正确；画图可知③，④正确． 11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形． 13．[2,8]解析 |AC →|＝|AB →＋BC →|≤|AB →|＋|BC →|＝8，且|AC →|＝|AB →＋BC →|≥||AB →|－|BC →||＝2.∴2≤|AC →|≤8. 14．0解析如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.。

数学苏教版必修4学案：第2章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理

向量的坐标表示2．3.1平面向量基本定理[对应学生用书P42]预习课本P74～76，思考并完成下列问题1．平面向量基本定理的内容是什么？2．平面向量基本定理与向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？3．如何定义平面向量的基底？[新知初探]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是惟一的；③基底不惟一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．3．正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．[小试身手]1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝________. ★答案★：12(e 1＋e 2)2．已知ABCDEF 是正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a ，又AD ＝2BC ，∴BC ＝12(a ＋b )．★答案★：12(a ＋b )3．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. ★答案★：②④4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R)共线，则λ＝________.★答案★：－12对基底概念的理解[典例] 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1μ2＝λ2μ1； ④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.[解析] 由平面向量基本定理可知，①③④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.[★答案★] ②基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不惟一的．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1－e 2；②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2.解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2， ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．★答案★：②⑤向量的分解[典例] 如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，设AB ＝l 1，AD ＝l 2，OA ＝l 3，OB ＝l 4.(1)试以l 1，l 2为基底表示AC ，BD ，DC ，BC ； (2)试以l 1，l 3为基底表示BC ，DA ； (3)试以l 3，l 4为基底表示AB ，BC .[解] (1)AC ＝l 1＋l 2，BD ＝l 2－l 1，DC ＝l 1，BC ＝l 2. (2)BC ＝AC －AB ＝－2OA －AB ＝－l 1－2l 3，DA ＝CB ＝－BC ＝l 1＋2l 3.(3)AB ＝l 4－l 3，BC ＝OC －OB ＝－OA －OB ＝－l 3－l 4.向量分解的方法(1)将两个不共线的向量作为基底，运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的惟一性求解．如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG ＝13DC ，试以a ，b 为基底表示向量AF 与EG .解：AF ＝AB ＋BF ＝AB ＋12BC＝AB ＋12AD ＝a ＋12b .EG ＝EA ＋AD ＋DG ＝－12AB ＋AD ＋13DC＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .平面向量基本定理的应用[若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.[解析] [法一基向量法] 由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ＋12 AB ＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ＝0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.[法二待定系数法]连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以，45AT ＝AB ＝λAM ＋μAN ，即AT ＝54λAM ＋54μAN ，因为T ，M ，N 三点共线．所以54λ＋54μ＝1.所以λ＋μ＝45.[★答案★] 45当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得 c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的惟一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝135，μ＝－15.层级一学业水平达标1．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b ，所以e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . ★答案★：23 －132．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．★答案★：①③3．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝________.解析：设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b .★答案★：23a ＋43b4．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AM ＝4MC ，P 为AD 的中点，则MP ＝______. 解析：如图，MP ＝AP －AM ＝12AD －45AC ＝12AD －45(AB ＋BC )＝12b －45(a ＋b )＝－45a －310b . ★答案★：－45a －310b5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝23OA ＋13OB ，则|AC ||AB |＝________. 解析：因为OC ＝23OA ＋13OB ，所以OC －OA ＝－13OA ＋13OB ＝13(OB －OA )，所以AC ＝13AB ，所以|AC ||AB |＝13.★答案★：136．如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭⎫14 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k 4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.★答案★：3117．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．解析：同一平面内两个不共线的向量都可以作为基底． ★答案★：②③8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ＝AD －AC ，DB ＝AB －AD .所以CD ＝AB －DB －AC ＝AB －12CD －AC .所以32CD ＝AB －AC ，所以CD ＝23AB －23AC .又CD ＝r AB ＋s AC ，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.★答案★：09.已知▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB ＝a ，AD ＝b ，以a ，b 为基底表示MA ，MB ，MC 和MD .解：AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ，DB ＝AB －AD ＝a －b ，MA ＝－12AC ＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB ＝12DB ＝12(a －b )＝12a －12b . MC ＝12AC ＝12a ＋12b ，MD ＝－12DB ＝－12a ＋12b .10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.层级二应试能力达标1．设e 1与e 2是两个不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－2e 1＋5e 2，若实数λ，μ满足λa ＋μb ＝5e 1－e 2，则λ，μ的值分别为_________________．解析：由题设λa ＋μb ＝(3λe 1＋4λe 2)＋(－2μe 1＋5μe 2)＝(3λ－2μ)e 1＋(4λ＋5μ)e 2.又λa ＋μb＝5e 1－e 2.由平面向量基本定理，知⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝5，4λ＋5μ＝－1.解之，得λ＝1，μ＝－1.★答案★：1，－12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ，∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA ＋λCB ，∴λ＝23.★答案★：233．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. ★答案★：34．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是________．解析：由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. ★答案★：x ＋y －2＝05.如图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．★答案★：a ＋b 2a ＋c6.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝2 3.若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：以OC 为对角线，OA ，OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt △OCD 中，因为|OC |＝23，所以|OD |＝|OC |cos 30°＝4，在Rt △OCE 中，|OE |＝|OC |·tan 30°＝2，所以OD ＝4OA ，OE ＝2OB ，又OC ＝OD ＋OE＝4OA ＋2OB ，故λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.★答案★：67. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.证明：设AB ＝b ，AC ＝c ，则AM ＝12b ＋12c ，AN ＝23AC ，BN ＝BA ＋AN ＝23c －b .因为AP ∥AM ，BP ∥BN ，所以存在λ，μ∈R ，使得AP ＝λAM ，BP ＝μBN ，又因为AP ＋PB ＝AB ，所以λAM －μBN ＝AB ，所以由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线．所以⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP ＝45AM ，即AP ∶PM ＝4∶1.8．在△OAB 中，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，设OA ＝a ，OB ＝b ，以a ，b 为基底表示OM .解：设OM ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则AM ＝OM －OA ＝(m －1)a ＋nb ，AD ＝OD －OA ＝12b －a .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1. 又CM ＝OM －OC ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ，CB ＝OB －OC ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n 1，即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝17，n ＝37，所以OM ＝17a ＋37b .。

2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评：第二章平面向量 2.2.3

学业分层测评(十七) 向量的数乘(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________．(填序号) ①|λa |＝λ|a |；②|λa |＝|λ|a ；③|λa |＝|λ||a |； ④|λa |>0.【解析】当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa |∈R ，而|λ|a 是数乘向量，故②必不成立．【答案】 ①②④2．化简14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )为________．【解析】原式＝14[](a ＋2b )＋3a －2a ＋4b ＝14(2a ＋6b )＝12a ＋32b . 【答案】 12a ＋32b3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】 ∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向，∵|AC →||AB →|＝57(如图)，∴|BC →||AC →|＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →. 【答案】－254．在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则AD →＝________(用AB →，AC →表示)．【解析】 ∵BC →＝3BD →， ∴AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，∴AD →＝23AB →＋13AC →. 【答案】 23AB →＋13AC →5．(2016·苏州高一检测)设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________. 【导学号：06460050】【解析】 ∵m 与n 共线， ∴存在实数λ，使得m ＝λn ， ∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)， ∴⎩⎨⎧－1＝－2λ，k ＝λ， ∴λ＝12，k ＝12. 【答案】 126．已知向量a ，b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A ，B ，D 三点共线．【答案】 A ，B ，D7．若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)【解析】 ∵AD →＝BC →， ∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1. 又∵BD →＝2BO →， ∴BO →＝32e 2－e 1. 【答案】 32e 2－e 18．(2016·南通高一检测)已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则下列说法正确的是________．(填序号)①点P 在△ABC 外部；②点P 在线段AB 上； ③点P 在线段BC 上；④点P 在线段AC 上．【解析】 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴2P A →＋PC →＝0.如图，易知P 在线段AC 上．【答案】 ④ 二、解答题9．如图2-2-23所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .图2-2-23求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ， ∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ， MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点，∴M ，N ，C 三点共线．10．如图2-2-24，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.图2-2-24【解】连接CN .∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，∴四边形ANCD 为平行四边形， ∴CN →＝－AD →＝－b . ∵CN →＋NB →＋BC →＝0， ∴BC →＝－NB →－CN →＝b －12a ， MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b .能力提升]1．若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】 ∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →， ∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|. 又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．【答案】等腰梯形2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________．【解析】由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心．取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →， ∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3. 【答案】 33．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________. 【解析】 AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →. 【答案】 13 234．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？【解】 d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2. 要使c ∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d 与c 共线.。

苏教版高中数学必修4学业分层测评：第二章平面向量 2.4.1 Word版含解析

学业分层测评(二十一) 数量积的定义(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．e 1，e 2是两个平行的单位向量，则e 1·e 2＝________.【解析】 ∵e 1∥e 2，∴e 1，e 2的夹角为0°或180°，∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cosθ＝±1.【答案】 ±12．已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为________．【解析】 ∵|a |＝8，|b |＝4，b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝4×cos 120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.【答案】－23．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角θ为120°，则a·a ＋a·b ＝________.【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°， ∴a·b ＝|a||b |cos 120°＝－12.又a·a ＝|a |2＝1，∴a·a ＋a·b ＝1－12＝12.【答案】124．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．【解析】 ∵|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12， ∴|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2， ∴△ABC 为直角三角形．又cos ∠ABC ＝513， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－∠ABC ) ＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 【答案】－255．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6. 【答案】66．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝________. 【解析】 ∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，∴⎩⎨⎧a ＋b 2＝10， ①a －b2＝6， ②①－②得a·b ＝1. 【答案】 17．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为________．【导学号：06460062】【解析】 ∵|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，∴a·b ＝2×1×cos 60°＝1，∴|a －4b |＝a －4b2＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8 ＝2 3. 【答案】 2 38．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.【解析】由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 【答案】－8或5 二、解答题9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋－＝13.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为a·a＋b|a＋b|＝1013＝101313.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角？【解】∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于________．【解析】由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，∴|a×b |＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×45＝8.【答案】 82．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0， ∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∵θ∈0，π]，∴θ＝120°. 【答案】 120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】设|AB →|＝x (x ＞0)，则AB →·AD →＝12x ，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12.【答案】12 4．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|k a＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．【解】(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，∴(a－b)⊥c.(2)∵|k a＋b＋c|＞1，∴(k a＋b＋c)·(k a＋b＋c)＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2k a·b＋2k a·c＋2b·c＞1.∵a·c＝a·b＝b·c＝cos 120°＝－12，∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2. 即k的取值范围是k＜0或k＞2.。

苏教版必修四第2章平面向量作业题及答案解析

第2章平面向量§2.1 向量的概念及表示课时目标1．掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量的概念(1)向量:既有大小又有________的量叫做向量，如速度、位移、力等．(2)数量:只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等．注意数量可以比较大小，而向量无法比较大小．2．向量的几何表示(1)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作________．有向线段包含三个要素:起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就惟一确定．(2)向量的有关概念:向量AB →的________称为向量AB →的长度(或称为模)，记作|AB →|.长度为________的向量叫做零向量，记作0.长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量．3．平行向量:方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a 与b 平行，通常记为a ∥b .规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a ，都有0∥a .4．相等向量与共线向量(1)相等向量:________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，通常记为a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量．(2)共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．5．相反向量我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的________________，记作________，a 与－a 互为________________，并且规定零向量的相反向量仍是____________．于是，对任一向量a 有____________．一、填空题1．下列命题中正确的个数为______．①向量a 与向量b 平行，则a 、b 方向相同或相反；②若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →；③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反；④由于0方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤若向量a 与向量b 方向相反，则a 与b 是相反向量．2．下列结论中，正确的是________．(填序号)①向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →同义；②若向量AB →∥CD →，则向量AB →与DC →共线；③若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →；④只要向量a ，b 满足|a |＝|b |，就有a ＝b .3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．4．下列说法正确的有________．(填序号)①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．5．下列四个命题①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b ，或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是________．6．给出以下5个条件:①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0； ⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填写序号)7．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号)①向量的模一定是正数；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上．8．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号)①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．二、解答题 11. 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．能力提升 13.如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证:(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.14.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义．3．共线向量与平行向量是同一概念，规定:零向量与任一向量都平行．第2章平面向量§2.1 向量的概念及表示知识梳理1．(1)方向2．(1)AB → (2)大小 0 13．相同相反平行4．(1)长度 (2)直线5．相反向量－a 相反向量零向量－(－a )＝a作业设计1．02．①②③解析根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确．3．菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．4．②⑤解析 ②与⑤正确，其余都是错误的．5．2解析 ②③错，①④正确．6．①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．7．②解析 ①错误.0的模|0|＝0.②正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．③错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD→必须在同一直线上．8．③解析若b ＝0，则a 与c 不共线，①不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，②不正确；若a ，b 中有一个是零向量，则a 与b 一定共线，③正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，④不正确．9．单位圆相距为2的两个点一条直线10.FE →，BC →，CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点，∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →.11．解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(如图)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(如图)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有:FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有:FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有:DB →与CD →.13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。

2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评第二章平面向量学业分层测评16 含答案精品

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·德州高一检测)若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A.65a B.－6a C.6aD.－65a【解析】由题意得：2x －3x ＋6a ＝0，所以有x ＝6a . 【答案】 C2.设P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0【解析】因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确. 【答案】 B3.(2016·北京高一检测)四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解析】因为AB →＝a ＋2b ，又DC →＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 又因在四边形ABCD 中，有|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形.【答案】 B4.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →【解析】由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD →，所以AO →＝OD →.【答案】 A5.如图2-1-28，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )图2-1-28A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →【解析】 EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·郑州高一检测)已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________. 【解析】因为P 1P →＝23PP 2→，所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)，即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→，所以λ＝－25. 【答案】－257.已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝__________. 【解析】 |a ||b |＝63＝2，∴|a |＝2|b |，又a 与b 的方向相反， ∴a ＝－2b ，∴m ＝－2. 【答案】－28.(2016·南宁高一检测)若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)【解析】 AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 【答案】 (1－t )OA →＋tOB →三、解答题9.设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b ).【导学号：72010050】【解】 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )＝23(4a －3b )＋29b －16(6a －7b )＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋29＋76b ＝53a －118b ＝53(3i ＋2j )－1118(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118j .10.如图2-1-29所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形.又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.图2-1-29【解】 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →) ＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23(a ＋b )＝23a ＋23b . MN →＝ON →－OM → ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .[能力提升]1.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.－23C.25D.13【解析】由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，② 且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 【答案】 A2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A.2B.3C.4D.5【解析】因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以MA →＋MA →＋AB →＋MA →＋AC →＝0，从而有AB →＋AC →＝－3MA →＝3AM →＝mAM →，故有m ＝3. 【答案】 B3.(2016·济宁高一检测)若OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，且P 是线段AB 靠近点A 的一个三等分点，则向量OP →用e 1，e 2可表示为OP →＝________.【解析】如图， OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB → ＝OA →＋13(OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝13×3e 2＋23×3e 1＝2e 1＋e 2. 【答案】 2e 1＋e 24.如图2-1-30所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.图2-1-30【证明】 ∵点P 在直线AB 上， ∴AP →∥AB →，设AP →＝xAB →， ∵AP →＝OP →－OA →，AB →＝OB →－OA →， ∴OP →－OA →＝x (OB →－OA →)， ∴OP →＝(1－x )OA →＋xOB →.又OP →＝λOA →＋μOB →，∴λ＝1－x ，μ＝x ，∴λ＋μ＝1.。

2016-2017数学苏教版高一必修4第2章平面向量综合检测word版含解析

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝________．解析：∵a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，∴a －2b ＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．答案：(7，3)2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为________．解析：由AB →＝DC →可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB →|＝|BC →|得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形．答案：菱形3.已知A (4，1)，B (1，－12)，C (x ，－32)，若A 、B 、C 共线，则x 等于________．解析：∵AB →＝(－3，－32)，BC →＝(x －1，－1)，又∵AB →∥BC →，∴(－3)·(－1)－(－32)·(x －1)＝0得－32(x －1)＝3，解得x ＝－1.答案：－14.有下列命题：①AB →＋BC →＋AC →＝0；②(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若AB →的起点为A (2，1)，终点为B (－2，4)，则BA →与x 轴正向夹角的余弦值是45.其中正确命题的序号是________．解析：∵AB →＋BC →＋AC →＝2AC →，∴①错；②是数量积的分配律，正确；在③中，BA →＝(4，－3)与x 轴正向夹角的余弦值是45，故③正确．答案：②③5.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．解析：∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为垂心．答案：垂心6.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为________．解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又∵(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，∴(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，得2k a 2－12b 2＝0，又a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，解得k ＝6. 答案：67.已知a ＝(3，4)，b ⊥a ，且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x )，则b 等于________．解析：b ＝(x －1，3x －2)，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即3(x －1)＋4(3x －2)＝0，解得x ＝1115，所以b 等于(－415，15)．答案：(－415，15)8.等边△ABC 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于________．解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－32.答案：－329.若向量a 、b 、c 是单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，得7c ＝－3a －λb ， ∴(7c )2＝(－3a －λb )2＝9a 2＋6λa ·b ＋λ2b 2， ∴λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝5或－8. 答案：－8或510.在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF→＝________．解析：如图．∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ＝13DC .∴CF ＝23DC .∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋23(CO →＋OD →)＝a ＋23⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＝23a ＋13b . 答案：23a ＋13b11. 已知a 、b 、a －b 的模分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(a －b )2＝7，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝3；∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：π312.已知向量a 、b 的夹角为π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是________．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝2×1×12＝1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7， |a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3， ∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21， ∴|a ＋b ||a －b |＝21.答案：2113.已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，则m 的值为________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3，∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(3a ＋5b )(m a －b )＝0， ∴3m a 2＋(5m －3)a ·b －5b 2＝0， ∴27m ＋3(5m －3)－20＝0，解得m ＝2942.答案：294214.在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BD ＝3DC ，若P 是AD 边上一动点且AD ＝2，则P A →·(PB →＋3PC →)的最小值为________．解析：因为PB →＝PD →＋DB →，PC →＝PD →＋DC →，且DB →＝－3DC →，所以PB →＋3PC →＝PD →＋DB →＋3(PD →＋DC →)＝4PD →. 设|P A →|＝x (0≤x ≤2)，故P A →·(PB →＋3PC →)＝P A →·4PD →＝－4x (2－x )≥－4，所以当x ＝1时，P A →·(PB →＋3PC →)的最小值为－4. 答案：－4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 是DC 、BA 的中点，设AD→＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示BC →、MN →.解：∵AB ∥CD 且AB ＝2CD ， ∴DC →＝12AB →＝12b ；又AD →＝a ，∴AC →＝AD →＋DC →＝a ＋12b ；又BC →＝AC →－AB →，∴BC →＝a ＋12b －b ＝a －12b ；过D 作DE ∥MN ，则E 为AN 中点，∴AE →＝14b ；∴MN →＝DE →＝AE →－AD →＝14b －a .16.(本小题满分14分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°.求(1)(2a －b )·(a ＋3b )；(2)|a －b |.解：a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3，(1)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝8－15－27＝－34.(2)|a －b |＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋6＋9＝19.17.(本小题满分14分)已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2.证明：∵BC →＝BD →＋DC →，AC →＝AD →＋DC →，两式平方相加可得a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2＋2(BD →·DC →＋AD →·DC →)，∵BD →·DC →＋AD →·DC →＝|BD →||DC →|·cos ∠ADC ＋|AD →||DC →|cos ∠CDB ＝0，∴a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2.18.(本小题满分16分)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(m ，2)，它们的夹角为θ，当m 取何值时，θ为(1)直角；(2)锐角；(3)钝角？解：由a ＝(2，1)，b ＝(m ，2)得 |a |＝5，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2m ＋2.(1)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0⇔2m ＋2＝0⇔m ＝－1.(2)θ为锐角⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＞0，x 1x 2＋y 1y 2≠ x 21＋y 21·x 22＋y 22⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2＞0，2m ＋2≠5·m 2＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，（m －4）2≠0⇔m ＞－1且m ≠4.(3)θ为钝角⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＜0，x 1x 2＋y 1y 2≠－x 21＋y 21·x 22＋y 22⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2＜0，2m ＋2≠－5·m 2＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，（m －4）2≠0⇔m ＜－1.故当m ＝－1时，θ为直角．当m ＞－1且m ≠4时，θ为锐角．当m ＜－1时，θ为钝角．19.(本小题满分16分)设OA →＝(2，5)，OB →＝(3，1)，OC →＝(6，3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M (x ，y )满足条件，则OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)， MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2，1)或⎝⎛⎭⎫225，115，故存在点M (2，1)或点M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意．20.(本小题满分16分)某人在静水中游泳，速度为43千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳． (1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？解：(1)如图(1)，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →、OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，由勾股定理知|OC →|＝8，且在R t △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时．(2)如图(2)，设此人的实际速度为OD →，水流速度为OA →，则游速为AD →＝OD →－OA →，在R t △AOD 中，|AD →|＝43，|OA →|＝4，|OD →|＝42，cos ∠DAO ＝33.故此人沿与河岸的夹角余弦为33的逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为42千米/时．。

高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第二章_平面向量_2.3.2.2

学业分层测评(二十) 向量平行的坐标表示(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0， ∴m ＝－4， ∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)，＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．【答案】 (－4，－8)2．已知a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x ＝________.【解析】设a ＝λb ，则(－1，x )＝(－λx,2λ)，所以有⎩⎨⎧－1＝－λx ，x ＝2λ，解得⎩⎨⎧x ＝2，λ＝22，或⎩⎨⎧x ＝－2，λ＝－22.又a 与b 方向相同，则λ＞0，所以λ＝22，x ＝ 2. 【答案】23．若A (－1,2)，B (3,1)，C (－2，m )，三点共线，则m ＝________. 【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线， AB →＝(4，－1)，BC →＝(－5，m －1)， ∴4(m －1)＝－5×(－1)， ∴m ＝94. 【答案】 944．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 【解析】 a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5. 【答案】 55．(2016·南通高一检测)若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，∴2cos α＝sin α， ∴tan α＝2. 【答案】 26．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.【解析】设B (x ，y )，则由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝3，－2＋y 2＝1，∴⎩⎨⎧x ＝5y ＝4，∴AB →＝(4,6)．又AB →∥a ，∴4λ＝6， ∴λ＝32. 【答案】 327．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若a m ＋b n 与m －2n 共线，则ab 等于________. 【导学号：06460059】【解析】 a m ＋b n ＝(2a,3a )＋(－b,2b )＝(2a －b,3a ＋2b )，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵a m ＋b n 与m －2n 共线， ∴b －2a －12a －8b ＝0，∴a b ＝－12. 【答案】－128．已知两点M (7,8)，N (1，－6)，P 点是线段MN 的靠近点M 的三等分点，则P 点的坐标为________．【解析】设P (x ，y )，如图：∴MN →＝3MP →，∴(－6，－14)＝3(x －7，y －8)， ∴⎩⎨⎧－6＝3(x －7)，－14＝3(y －8)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝103.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，103 二、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【解】 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12. (2)∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎨⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．如图2-3-19所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．图2-3-19【解】设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)，由于CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，解之得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫207，167，∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫277，167.能力提升]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，且(a ＋λb )∥c ，则λ等于________．【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，因为(a ＋λb )∥c ，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝12. 【答案】 122．设a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )，且满足a ∥b 的实数x 存在，则实数a 的取值范围是________．【解析】 a ∥b ，∴6(x 2－2x )－2×3a ＝0，即a ＝x 2－2x ， ∴a ＝(x －1)2－1≥－1. 【答案】－1，＋∞)3．已知向量OA →＝(1,3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．【解析】由A ，B ，C 能构成三角形知，A ，B ，C 三点不共线， ∴AB →与AC →不共线， ∴AB →≠λAC →(λ为实数)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1，－4)，AC →＝OC →－OA →＝(m ，m －5)， ∴(1，－4)≠λ(m ，m －5)，即1λm ≠－4λ(m －5)，∴m ≠1.【答案】 m ≠14．如图2-3-20，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA ，OB 分别相交于点M ，N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →(0＜x ＜1)．图2-3-20(1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f (x )＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明．【解】 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →，则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA → ＝－(1＋x )OA →＋OB →.又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0，即y ＝f (x )＝xx ＋1(0＜x ＜1)． (2)F (x )在(0,1)上单调递减，证明如下：设0＜x 1＜x 2＜1，则F (x 1)＝x 1＋1x 1＋x 1＝1x 1＋x 1＋1，F (x 2)＝1x 2＋x 2＋1，∴F (x 2)－F (x 1)＝1x 2－1x 1＋(x 2－x 1)＝x 1－x 2x 1x 2＋x 2－x 1＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x 2.又0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2－1＜0， ∴F (x 2)－F (x 1)＜0，即F (x 2)＜F (x 1)， ∴F (x )在(0,1)上为减函数.。

苏教版高中数学必修4学业分层测评：第二章平面向量 2.3.2.1 Word版含解析

学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若点P 的坐标为(2 016,2)，向量PQ →＝(1，－3)，则点Q 的坐标为________．【解析】 ∵PQ →＝OQ →－OP →， ∴OQ →＝OP →＋PQ → ＝(2 016,2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1)．【答案】 (2 017，－1)2．(2016·如东高一检测)若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝________. 【解析】 BC →＝BA →＋AC → ＝BA →－CA → ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4)．【答案】 (－2，－4)3．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．【解析】设B 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)， ∵AB →＝3a ，∴(x ＋1，y －5)＝3(2,3)＝(6,9)， ∴⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，∴⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.【答案】 (5,14)4．若向量a ＝(x ＋3，y －4)与AB →相等，已知A (1,2)和B (3,2)，则x ，y 的值分别为________．【解析】 ∵AB →＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x ＋3，y －4)， ∴⎩⎨⎧ x ＋3＝2，y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝4. 【答案】－1,45．已知a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，则a ＝________，b ＝________. 【解析】由a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)， ∴2a ＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a ＝(3,5)， 2b ＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b ＝(－2，－2)．【答案】 (3,5) (－2，－2)6.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，则向量OA →的坐标为________．图2-3-16【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA →的坐标为(－3，1)．【答案】 (－3，1)7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________.【导学号：06460056】【解析】设P (x ，y )，则 MP →＝(x －3，y ＋2)，12MN →＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32，∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 8．已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．【解析】 ∵AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)， AC →＝AB →＋BC →＝(1,1)， ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)．【答案】 (3,4) 二、解答题9．(1)已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，求x的值；(2)已知点P 1(2，－1)，P 2(0,5)，点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|，求P 点的坐标．【解】 (1)∵AB →＝(2,0)，又∵a ＝AB →，∴⎩⎨⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1.(2)设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －2，y ＋1)， PP 2→＝(－x,5－y )，∵点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|， ∴P 1P →＝2PP 2→，∴⎩⎨⎧x －2＝－2x ，y ＋1＝2(5－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝3，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3.10．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.【解】因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－4，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2.能力提升]1．(2016·南通高一检测)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.【解析】由向量的平行四边形法则可知 AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB → ＝(1,3)－(2,4) ＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB → ＝(－1，－1)－(2,4) ＝(－3，－5)．【答案】 (－3，－5)2．(2016·苏州高一检测)已知P 1(5，－1)，P 2(－3,1)，点P (x,2)分P 1P 2→所成的比为λ，则x 的值为________．【解析】 ∵y ＝y 1＋λy 21＋λ， ∴2＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝－3. 所以x ＝x 1＋λx 21＋λ＝5＋(－3)×(－3)1＋(－3)＝－142 ＝－7. 【答案】－73．已知向量集合M ＝{a|a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a|a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于________．【解析】令(1,2)＋λ1(3,4) ＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1) ＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)， ∴⎩⎨⎧1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝－1，λ2＝0，故M 与N 只有一个公共元素是(－2，－2)．【答案】 {(－2，－2)}4．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-3-7所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．图2-3-7【解】以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.。

苏教版高中数学必修4学业分层测评：第二章平面向量 2.1 Word版含解析

学业分层测评(十四) 向量的概念及表示(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定________．【解析】平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，c ，b 同向或者反向，所以c 与b 必定平行(或共线)．【答案】平行(或共线)2．如图(1)，某人想要从点A 出发绕阴影部分走一圈，他可按图(2)中提供的向量行走，则这些向量的排列顺序为________．图2-1-7【答案】 a e d c b3．已知a ，b 为两个向量，给出以下4个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 的方向相反；③|a |＝0或|b |＝0；④a 与b 都是单位向量．由条件________一定可以得到a 与b 平行．【解析】长度相等或都是单位向量不能得到a ∥b ，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a ∥b .故填②③.【答案】 ②③4．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.【解析】 ∵AB →与BC →不共线，且m ∥AB →，m ∥BC →，∴m ＝0.【答案】 05．如图2-1-8所示，已知AD ＝3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．图2-1-8【解析】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：AC →，CA →，BD →，DB →；模长为3的向量有：AD →，DA →.【答案】 AC →，CA →，BD →，DB →，AD →，DA →6．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a 与b 共线的是________．(填所有正确的序号)【解析】根据相等向量一定是共线向量知①正确；|a |＝|b |但方向可以任意，∴②不成立；a 与b 反向必平行或重合，∴③成立；由|a |＝0或|b |＝0，得a ＝0或b ＝0.根据0与任何向量共线，得④成立；两单位向量的模相等但方向不定，∴⑤不成立．【答案】 ①③④7．如图2-1-9，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．图2-1-9【解析】 ∵AB ∥EF ，CD ∥EF ，∴与EF →方向相反的向量为CD →，BA →.【答案】 CD →，BA →8．如图2-1-10所示，四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．图2-1-10(1)与向量ED →相等的向量有________；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．【解析】相等向量既模相等，又方向相同，所以与ED →相等的向量有AB →，DC →.若|AB →|＝3，则|ED →|＝|DC →|＝3，所以，|EC →|＝2×3＝6.【答案】 (1)AB →，DC → (2)6二、解答题9．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．图2-1-11(1)在如图2-1-11所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的方位. 【导学号：06460041】【解】 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的方位是“北偏东60°，6千米”．10．如图2-1-12所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．图2-1-12(1)写出与AO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)向量AO →与CO →是否相等？【解】 (1)与AO →相等的向量有：OC →，BF →，ED →.(2)与AO →共线的向量有：OA →，OC →，CO →，AC →，CA →，ED →，DE →，BF →，FB →.(3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等．能力提升]1．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________ .【解析】结合菱形的性质可知|BD →|＝3×2＝2 3.【答案】 2 32．如图2-1-13所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，连结相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数有________．图2-1-13【解析】图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．【答案】 8个3．如图2-1-14所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q不相等}，则集合T 有________个元素．图2-1-14【解析】以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为AO →(OC →)，OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．【答案】 124．如图2-1-15，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？图2-1-15【解】不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中：①模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA→＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.②模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB→＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →反向的也有6对． ③模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →.。

苏教版高中数学必修4学业分层测评：第二章平面向量 2.2.3 Word版含解析

学业分层测评(十七) 向量的数乘(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________．(填序号)①|λa |＝λ|a |；②|λa |＝|λ|a ；③|λa |＝|λ||a |；④|λa |>0.【解析】当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa |∈R ，而|λ|a 是数乘向量，故②必不成立．【答案】 ①②④2．化简14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )为________．【解析】原式＝14[](a ＋2b )＋3a －2a ＋4b ＝14(2a ＋6b )＝12a ＋32b .【答案】 12a ＋32b3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】 ∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向，∵|AC →||AB →|＝57(如图)，∴|BC →||AC →|＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →.【答案】－254．在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则AD →＝________(用AB →，AC →表示)．【解析】 ∵BC →＝3BD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，∴AD →＝23AB →＋13AC →.【答案】 23AB →＋13AC →5．(2016·苏州高一检测)设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________. 【导学号：06460050】【解析】 ∵m 与n 共线，∴存在实数λ，使得m ＝λn ，∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，∴⎩⎨⎧－1＝－2λ，k ＝λ，∴λ＝12，k ＝12.【答案】 126．已知向量a ，b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．【答案】 A ，B ，D7．若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)【解析】 ∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1.又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.【答案】 32e 2－e 18．(2016·南通高一检测)已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若P A →＋PB →＋PC→＝AB →，则下列说法正确的是________．(填序号)①点P 在△ABC 外部；②点P 在线段AB 上；③点P 在线段BC 上；④点P 在线段AC 上．【解析】 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴2P A →＋PC →＝0.如图，易知P 在线段AC 上．【答案】 ④二、解答题9．如图2-2-23所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .图2-2-23求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点，∴M ，N ，C 三点共线．10．如图2-2-24，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.图2-2-24【解】连接CN .∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，∴四边形ANCD 为平行四边形，∴CN →＝－AD →＝－b .∵CN →＋NB →＋BC →＝0，∴BC →＝－NB →－CN →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b .能力提升]1．若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】 ∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →，∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|.又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．【答案】等腰梯形2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________．【解析】由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心．取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3.【答案】 33．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________.【解析】 AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.【答案】 13 234．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？【解】 d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2. 要使c ∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d 与c 共线.。

高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.3.1 平面向量基本定理

学业分层测评(十八) 平面向量基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．【解析】如图所示，AD →与AB →为不共线向量，可以作为基底.CA →与DC →为不共线向量，可以作为基底.DA →与BC →，OD →与OB →均为共线向量，不能作为基底．【答案】 ①③2．已知向量a 和b 不共线，实线x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．【解析】由平面向量基本定理得⎩⎨⎧ 2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴x ＋y ＝1.【答案】 13．(2016·苏州高一检测)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.【解析】 ∵AD →＝2DB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →.又∵CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23. 【答案】 234．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________．【解析】易知a ∥b ，故设3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)， ∴⎩⎨⎧3＝6λ，－4＝kλ，∴k ＝－8. 【答案】－85．如图2-3-7所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则a ________0，b ________0.(填“＞”或“＜”)图2-3-7【解析】由向量的分解可知，a ＜0，b ＞0. 【答案】＜＞6．设e 1，e 2是不共线向量，e 1＋2e 2与m e 1＋n e 2共线，则nm ＝________. 【解析】由e 1＋2e 2＝λ(m e 1＋n e 2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴nm ＝2. 【答案】 27．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【导学号：06460053】【解析】设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ， AE →＝b －12a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →，得b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μa ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.【答案】 438．如图2-3-8，在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，三边BC ，CA ，AB 的中点依次为D ，E ，F ，则AD →＋BE →＋CF →＝________.图2-3-8【解析】原式＝12(AB →＋AC →)＋12(BA →＋BC →)＋12(CB →＋CA →)＝0. 【答案】 0 二、解答题9．如图2-3-9，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.图2-3-9【解】 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b . EG →＝EA →＋AD →＋DG → ＝－12AB →＋AD →＋13DC → ＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .【解】设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)，即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2， ∴⎩⎨⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .[能力提升]1．如图2-3-10，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.图2-3-10【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC → ＝AB →＋34(AC →－AB →)＝34AC →＋14AB → ＝34b ＋14a . 【答案】 34b ＋14a2.如图2-3-11，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．图2-3-11【解析】设NP →＝λNB →，NP →＝AP →－AN →＝mAB →＋29AC →－14AC →＝mAB →－136AC →， λNB →＝λ(AB →－AN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－14AC →＝λAB →－λ4AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－136＝－λ4，∴m ＝λ＝19.【答案】 193．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．【解析】如图，分别在AB →，AC →上取点E ，F ，使AE →＝34AB →，AF →＝14AC →，在BC →上取点G ，使BG →＝14BC →，则EG ∥AC ，FG ∥AE ， ∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →， ∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 【答案】 144．如图2-3-12，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，试问：1x ＋1y 是否为定值？图2-3-12【解】设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ，AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )，∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y 为定值.。

苏教版高中数学必修4章末练测：第二章平面向量(含参考答案).docx

第2章平面向量（数学苏教版必修4）16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d.18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值. 19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B 处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16.17.18.19.第2章平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a+c-b解析：如图，点O到平行四边形三个顶点A、B、C结合图形有ODuuu r=OAuu u r+ADu u u r=OAuu u r+BCuuu r=OAuu u r+OCuuu r-OBuuu r=a+c-b.2. ○2解析：|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a|·|b|,其中θ为a与b3.45a-45b 解析：利用向量的三角形法则求解.如图，∵a·b=0，∴a⊥b，∴∠ACB=90°，∴又CD⊥AB,A D∴ AC 2=AD ·AB ，∴AD=5. ∴ AD u u u r=45AB uuu r =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x=2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y=0,∴ y=-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上解析：∵ PA uu u r +PB uu u r +PC uuu r=AB uuu r， ∴ PA uu u r +PC uuu r =AB uuu r +BP uu u r =AP uuu r ，即PC uuu r=2AP uuu r . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上.8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9. 13 解析：∵ OA uuu r + OB uuu r + OC uuu r = 0 ，∴ OB uuu r + OC uuu r = AO uuu r ，设 OB uuu r + OC uuu r =OD uuu r， ∴O 是AD 的中点，要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10.（2-，2）解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××2=2，即x 2+y 2=5，x+2y=2，解得x=2-，y=2（舍去x=2，y=2）.故b =（2-，2）. 11.-25 解析：∵|AB uuu r|2+|BC uuu r|2=|CA uu u r|2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A=35，cos C=45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4）解析：设AB uuu r =（x ，y ），∵ AB uuu r与a 同向，∴ AB uuu r =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB uuu r |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）. ∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC uuu r =(x,y),由OC uuu r ⊥OB uuu r,得-x+2y=0.① 由BC uuu r =OC uuu r -OB uuu r =(x+1,y-2), BC uuu r ∥OA uuu r ,得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x=14,y=7.故OD uuu r =OC uuu r -OA uuu r=(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c,2c,c(c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c,k 2=2c,k 3=c(c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ），则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b∴ 函数f （x17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k,2+k),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k=-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22444(4)2(1)0,55(4)(1)1,1155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或所以d =（4+,或d =（4-）.18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0. 又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0.将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t=0，即k=f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k=f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-,∴ 当t=32时，k 最小=916-.19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v得| v 9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t=d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶。

苏教版高中数学必修4第2章《平面向量》章末测试题(教师版).docx

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为__________．解析：由a ·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，∴m ＝6. 答案：63．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则|3a －b |＝__________. 解析：由|3a －b |2＝9a 2－6a ·b ＋b 2＝9×42－6×4×6×cos60°＋62＝108，可求得|3a －b |＝6 3. 答案：6 34．在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝8，得cos A ＝12，所以A ＝60°，△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形．5．若A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )，且A ，B ，C 三点共线，则x ＝__________.解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线．所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →.又因为A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )，所以AB →＝(5,10)，AC →＝(6，x ＋2)，所以(5,10)＝k (6，x ＋2)．所以⎩⎨⎧5＝6k ，10＝k (x ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝56，x ＝10.答案：106．已知向量a ＝(6,2)与b ＝(－3，k )的夹角是钝角，则k 的取值范围是__________．解析：因为a ，b 的夹角θ是钝角，所以－1＜cos θ＜0.又因为a ＝(6,2)，b ＝(－3，k )，所以cos θ＝a ·b|a ||b |＝k －9109＋k 2，即－1＜k －9109＋k 2＜0.解得k ＜9且k ≠－1.故所求k 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,9)．答案：(－∞，－1)∪(－1,9)7．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝__________.解析：设向量a 的坐标为(m ，n )，则a ＋b ＝(m ＋2，n －1)，由题设，得⎩⎨⎧(m ＋2)2＋(n －1)2＝1，n －1＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝1，或⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝1.∴a ＝(－1,1)或(－3,1)．答案：(－1,1)或(－3,1)8．如图，半圆O 中AB 为其直径，C 为半圆上任一点，点P 为AB 的中垂线上任一点，且|CA →|＝4，|CB →|＝3，则AB →·CP →＝__________.解析：AB →·CP →＝AB →·(CO →＋OP →)＝AB →·CO →＋AB →·OP →＝(CB →－CA →)·CO →＋AB →·OP →＝(CB →－CA →)·CA →＋CB→2＋0＝12(|CB →|2－|CA →|2)＝12(32－42)＝－72.答案：－729．给出下列命题：①若a 与b 为非零向量，且a ∥b 时，则a －b 必与a 或b 中之一的方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ；③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线，其中假命题有__________．解析：①命题中a －b 有可能为0，其方向是任意的，故错；③命题中三个向量的数量积应为向量，故为假命题．答案：①②③④10．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝__________.解析：n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－5＝2. 答案：211．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．解析：由于质点处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，所以|F 3|2＝F 23＝[－(F 1＋F 2)]2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝22＋42＋2×2×4×12＝4＋16＋8＝28，所以F 3＝27. 答案：2713．(2010年高考辽宁卷改编)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于__________．解析：设a 、b 间的夹角为θ，则S △OAB ＝12|a ||b |·sin θ＝12|a ||b |·1－cos 2θ＝12|a ||b | 1－⎝⎛⎭⎫a ·b |a ||b |2＝12|a ||b |·|a |2|b |2－(a ·b )2|a |2|b |2 ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. 答案：12|a |2|b |2－(a ·b )214．(2010年高考山东卷改编)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是__________．①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )； ④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2.解析：若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，即①正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，且b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，即②不正确．对于③，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，即③正确．对于④，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，即④正确．故选②.答案：②二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d .解：(1)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝⎝⎛⎭⎪⎫20＋55，5＋255或d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20－55，5－255. 16．(本小题满分14分)AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →. (1)求x 与y 的关系式；(2)若有AC →⊥BD →，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积．解：(1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)，∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )．又BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)∵AC →＝AB →＋BC →＝(6,1)＋(x ，y )＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x ，y )＋(－2，－3)＝(x －2，y －3)，且AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0. 又由(1)的结论x ＋2y ＝0，∴(6－2y )(－2y －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，化简得y 2－2y －3＝0， ∴y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6.于是有 BC →＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． ∴|AC →|＝4，|BD →|＝8.∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16. 同理y ＝－1时，x ＝2.于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)． ∴|AC →|＝8，|BD →|＝4.∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.即⎩⎨⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1， S 四边形ABCD ＝16.17．(本小题满分14分)如图所示，一艘小船从河岸A 处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min 到达正对岸下游120 m 的C 处，如果小船保持原来的速度逆水向上游与岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min 恰好到达正对岸B 处，求河的宽度d .解：由题意作出示意图．图1为船第一次运动速度合成图．图2为船第二次运动速度合成图．设河水流速为v 水，船速为v 船，由题意，得两次运动时间分别为t 1＝d |v 船|，t 2＝d|v 船|sin α.沿河岸方向有BC ＝|v 水|t 1；由第二次垂直河岸，有|v 船|cos α＝|v 水|.将t 1＝10 min ，t 2＝12.5 min ，BC ＝120 m 代入以上各式，解得d ＝200 m. 所以河的宽度为200 m.18．(本小题满分16分)已知a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数k ，使k a ＋b 与a －2b 垂直？解：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ＋b ＝－c ，所以|a ＋b |＝|c |，所以(a ＋b )2＝|c |2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2，所以a ·b ＝c 2－a 2－b 22＝152，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，所以θ＝60°. (2)若存在实数k ，使k a ＋b 与a －2b 垂直，则(k a ＋b )·(a －2b )＝k a 2－2b 2－2k a ·b ＋a ·b ＝－6k －852＝0，解得k ＝－8512.所以存在实数k 使得k a ＋b 与a －2b 垂直．19．(本小题满分16分)以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，若B ＝90°，求点B 和AB →的坐标．解：设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2. ∵B (x ，y )，A (5,2)， ∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2，∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2，即10x ＋4y ＝29.①又∵OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，又∵OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0.②由①②组成方程组为⎩⎨⎧10x ＋4y ＝29，x 2－5x ＋y 2－2y ＝0. 解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32.∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72.20．(本小题满分16分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．解：法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0， ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2·cos θ.故当cos θ＝1即θ＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.法二：以A 为坐标原点，两直角边AB 、AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，如图．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )，且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设点P (x ，y )，则Q (－x ，－y )， ∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )， BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ →＝(x －c )·(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by ＝－a 2＋cx －by .∵cos θ＝PQ →·BC →|PQ →|·|BC →|＝cx －bya 2，∴cx －by ＝a 2·cos θ， ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即θ＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。

2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.5 向量的应用含解析

学业分层测评(二十三）向量的应用（建议用时:45分钟)[学业达标］一、填空题1．已知一物体在共点力F1＝（2，2),F2＝（3，1）的作用下产生位移s＝错误!，则共点力对物体所做的功为________．【解析】对于合力F＝（5，3），其所做的功为W＝F·s＝错误!＋错误!＝7。

【答案】72．若A（1，2），B（2,3）,C（－2，5),则△ABC的形状为________．【解析】AB，→＝（1，1），错误!＝（－3,3)，错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!，故△ABC为直角三角形．【答案】直角三角形3．点P在平面上做匀速直线运动,速度v＝(4，－3），设开始时点P的坐标为(－10,10），则5秒后点P的坐标为________（速度单位：m/s,长度单位:m）．【解析】5秒后点P的坐标为(－10,10）＋5(4，－3）＝（10，－5）．【答案】（10，－5）4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体,如图2.5。

5，已知物体重力大小为10 N,则每根绳子的拉力大小是________．图2.5。

5【解析】因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N。

【答案】10 N5．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!,则点O是△ABC的________．【解析】由错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!，可得错误!·错误!－错误!·错误!＝0,（错误!－错误!）·错误!＝0，即错误!·错误!＝0,错误!⊥错误!,同理可证错误!⊥错误!，错误!⊥错误!。

所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．【答案】垂心6．等腰直角三角形ABC中,C＝90°，且A(－1，2），C（1,1），则B的坐标为________．【解析】设B的坐标为(x，y），则错误!＝（x－1，y－1)，又错误!＝(2，－1）．由题意知：｜错误!｜＝|错误!｜，且错误!·错误!＝0，∴错误!解得错误!或错误!【答案】(0,－1）或（2,3）7．如图2。

高中数学第2章平面向量2_1向量的概念及表示成长训练苏教版-

高中数学第2章平面向量2_1向量的概念及表示成长训练苏教版-版必修4夯基达标1.下列关于向量的说法中，正确的是（）A.长度相等的两向量必相等B.两向量相等，其长度不一定相等C.向量的大小与有向线段起点无关D.向量的大小与有向线段起点有关解析：长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错.答案：C2.下列命题中正确的是（）A.若|a|＞|b|则a＞bB.若|a|=|b|则a=bC.若a=b则a与b共线D.若a≠b则a与b一定不共线解析：因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此，A不正确；两个向量的模相等，但方向却不一定相同，因此B不正确；相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此C正确；对于选项D，两个向量不相等，可能是长度不同方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故D不正确.答案：C3.关于向量的说法有以下几个，其中，说法错误的个数是（）①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.A.2B.3C.4D.5解析：①说法正确；②不正确，若a、b中有一个为零向量时，其方向不确定；③正确；④不正确，终点相同并不能说明两向量的方向相同或相反；⑤不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；⑥不正确，向量可以用有向线段来表示，但向量并不是有向线段.答案：C4.已知下列三个位移：飞机向南飞行50km；飞机向西飞行50km；飞机向东飞行50km，下列判断中正确的是（）A.这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等B.这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等C.这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等D.以上都不正确解析：由于位移是向量，题中所给的三个位移方向均不相同，但其大小是相同的.答案：B5.四边形ABCD中AB=2DC，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形解析:∵AB=2DC，∴AB∥DC且|AB|=2|DC|.故四边形为梯形.答案:C6.如图所示，C、D是线段AB的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有__________个（）A.3B.6C.8D.12解析:1个单位长度的向量有AC，CA，CD，DC，DB，BD6个.2个单位长度的向量有AD，DA，CB，BC4个.3个单位长度的向量有AB,BA2个.因此，共6+4+2=12个，但其中AC=CD=DB，BD=DC=CA，AD=CB，BC=DA，因此互不相等的向量最多只有6个.答案:B7.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b方向相反；④|a|=0或|b|=0，其中能使a∥b成立的条件是_______________.解析：|a|=|b|并不能一定推出a∥b，其余选项均可以.答案：①②③8.⊙O的周长是2π，AB是⊙O的直径，C是圆周上一点，∠BAC=|CD|=_____________.解析：∵△ABC为Rt△，且∠BAC=30°，∠ACB=90°，AB=2，∴BC=1，AC=3，，CD⊥AB于D，这时6∴CD=33，即|CD|=.2232答案：9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002cm到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？解析：如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形.∴AC=2000km，又∵∠ACD=45°，CD=10002.∴△ACD为直角三角形，即AD=10002km，∠CAD=45°.答：丁地在甲地的东南方向距甲地10002km.10.一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1m，按此方向继续操作下去.（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个.解析：（1）如图，操作8次赛车的位移为零；（2）要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有n（180°-α）=（n-2）·180°，∴n= 360，n为不小于3的整数.如α=30°，则n=12，即操作12次可回到起点.又如α=15°，则n=24，即操作24次可回到起点.走近高考11.(2005北京宣武区模拟)若命题甲：AB=DC，命题乙：ABCD是平行四边形，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分，也不必要条件解析:由AB=DC得线段AB、DC长度相等且平行或共线，所以ABCD不一定是平行四边形；由ABCD是平行四边形得ABDC,所以AB=DC.答案:B12.(2004天津统考)给出下列六个命题，其中不正确的命题的个数为（）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;②若|a|=|b|，则a=b;③若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形;④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC;⑤若m=n，n=k，则m=k;⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.A.2B.3C.4D.5解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确，根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确.③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上，零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0，则a与c就不一定平行了.因此⑥也不正确.答案：C。

苏教版高中数学必修4章末综合测评(二) 平面向量.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)1.已知作用在点A(1，1)的三个力F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是________.【解析】 ∵F ＝(8，0)，∴终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1). 【答案】 (9，1)2.BA →－BC →＋AB →＋AC →＝________.【解析】原式＝CA →＋AC →＋AB →＝0+AB →＝AB →. 【答案】 AB →3.若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，若c ＝λa ＋μb ，则λ，μ的值分别是________.【解析】 ∵c ＝λa ＋μb ， ∴(－1，2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)， ∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32.【答案】 12，－324.已知两点A (4，1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量的坐标是________.【解析】 AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，∴e ＝＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455.已知向量a ＝(3x ，1)，b ＝(2，－5)，若a ∥b ，则x ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，∴－15x ＝2，x ＝－215. 【答案】－2156.若|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1，则|a －b |＝________. 【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1 ∴|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7. 【答案】77.平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝________. 【导学号：48582123】【解析】设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，4x －3y ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝－35，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－358.下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a·b )c ＝c (b·c )；⑤(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .其中正确的是________.【解析】共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确.【答案】 ③⑤9.已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，且2a －b 与b 垂直，则|a |等于________. 【解析】 2a －b ＝(3，n )，∵(2a －b )·b ＝0，∴n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |2＝1＋n 2＝4，∴|a |＝2.【答案】 210.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________.【解析】 ∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4， ∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y ). ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8，8)，∴|MN →|＝8 2. 【答案】 8 211.△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是________.(1)|b |＝1；(2)a ⊥b ；(3)a·b ＝1；(4)(4a ＋b )⊥BC →. 【解析】如图△ABC 是边长为2的等边三角形.由已知b ＝AC →－2a ＝AC →－AB →＝BC →，显然(1)(2)(3)错，(4a ＋b )·BC →＝2AB →·BC →＋|BC →|2＝2×2×2×cos 23π＋22＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →.【答案】 (4)12.如图1，非零向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ＝________.图1【解析】 BC →＝OC →－OB →＝λa －b ，∵BC →⊥OA →，∴a ·(λa －b )＝0，则λ＝a ·b|a |2. 【答案】 a ·b |a |213.已知向量a ＝(6，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b垂直，则直线l 的方程为________. 【导学号：48582124】【解析】 ∵a ＋2b ＝(－2，3)，在l 上任取一点P (x ，y )，则有AP →⊥(a ＋2b )， ∴AP →·(a ＋2b )＝0，∴(x －3，y ＋1)·(－2，3)＝0， ∴2x －3y －9＝0. 【答案】 2x －3y －9＝014.已知OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，O 为坐标原点，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为________.【解析】设P (x ，0)，∴AP →·BP →＝(x －2，－2)·(x －4，－1)＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值，∴P (3，0).【答案】 (3，0)二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图2①，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →.(2)如图2②，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.图2【解】 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b . DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b . (2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )， ∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a ) ＝14a ＋34b .16.(本小题满分14分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解】 (1)若a ⊥b ，则a·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0. 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)， ∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝22＋(－4)2＝2 5.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值.【解】 (1)由题设，知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4).所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设，知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t ).由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18.(本小题满分16分)设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【解】由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＜0.(*)∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7＜0. 解得：－7＜t ＜－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0).对比系数得⎩⎨⎧2t ＝λ7＝λtλ＜0，∴⎩⎨⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 19.(本小题满分16分)设作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为23π，如图3所示.图3求：(1)F 3的大小； (2)∠F 3OF 2的大小.【解】 (1)F 1、F 2、F 3三个力处于平衡状态，故F 1＋F 2＋F 3＝0. 即F 3＝－(F 1＋F 2).∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2 ＝1＋4＋2×1×2cos 23π＝ 3.(2)如图所示，以F 2所在直线为x 轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F 1，F 3正交分解，设∠MOF 3＝θ，由受力平衡知⎩⎪⎨⎪⎧|F 3|·cos θ＋|F 1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－23π＝|－F 2|，|F 3|·sin θ＝|－F 1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ |F 3|·cos θ＝|－F 2|－|F 1|·cos π3，|F 3|sin θ＝|－F 1|cos π6.将数值代入得⎩⎪⎨⎪⎧3cos θ＝2－12，3sin θ＝32，∴θ＝π6.于是得∠F 3OF 2＝π－π6＝56π.20.(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，且点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. 【导学号：48582125】【解】 (1)因为AB →＝(n －8，t )，且AB →⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB →|＝5|OA →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 则n ＝24或－8，所以OB →＝(24，8)或(－8，－8).(2)因为AC →＝(k sin θ－8，t )，AC →与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k ，当k ＞4时，1＞4k ＞0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ；由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC →＝(4，8)，所以OA →·OC →＝8×4＋8×0＝32.。

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学业分层测评(十八) 平面向量基本定理
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →
.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．
【解析】如图所示，AD →与AB →
为不共线向量，可以作为基底.CA →与DC →为不共线向量，可以作为基底.DA →与BC →，OD →与OB →
均为共线向量，不能作为基底．
【答案】 ①③
2．已知向量a 和b 不共线，实线x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．
【解析】由平面向量基本定理得⎩⎨⎧ 2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎨⎧
x ＝2，
y ＝－1，∴x ＋y ＝
1.
【答案】 1
3．(2016·苏州高一检测)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →
，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ＝________.
【解析】 ∵AD →＝2DB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝1
3CA →＋23CB →.
又∵CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23. 【答案】 2
3
4．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2
不能作为一组基底，则k 的值为________．
【解析】易知a ∥b ，故设3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)， ∴⎩⎨⎧
3＝6λ，－4＝kλ，∴k ＝－8. 【答案】－8
5．如图2-3-7所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→
，且点P 落在第Ⅰ部分，则a ________0，b ________0.(填“＞”或“＜”)
图2-3-7
【解析】由向量的分解可知，a ＜0，b ＞0. 【答案】＜＞
6．设e 1，e 2是不共线向量，e 1＋2e 2与m e 1＋n e 2共线，则n
m ＝________. 【解析】由e 1＋2e 2＝λ(m e 1＋n e 2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴n
m ＝2. 【答案】 2
7．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
【导学号：06460053】
【解析】设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝1
2b －a ， AE →＝b －1
2a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →，得b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫
λ2＋μa ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ
2，
解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝4
3.
【答案】 4
3
8．如图2-3-8，在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，三边BC ，CA ，AB 的中点依次为D ，E ，F ，则AD →＋BE →＋CF →
＝________.
图2-3-8
【解析】原式＝12(AB →＋AC →)＋12(BA →＋BC →)＋12(CB →＋CA →
)＝0. 【答案】 0 二、解答题
9．如图2-3-9，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →
.
图2-3-9
【解】 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →
＝AB →＋12AD →＝a ＋12b . EG →＝EA →＋AD →＋DG → ＝－12AB →＋AD →＋13DC → ＝－12a ＋b ＋13a ＝－1
6a ＋b .
10．设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .
【解】设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则
－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)，即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2， ∴⎩⎨
⎧
4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝－1
18，λ2＝7
27，
∴a ＝－118b ＋7
27c .
能力提升]
1．如图2-3-10，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →
＝________.
图2-3-10
【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →
＝AB →＋34BC → ＝AB →＋34(AC →－AB →)
＝34AC →＋14AB → ＝34b ＋14a . 【答案】 34b ＋1
4a
2.如图2-3-11，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →
＋29AC →
，则实数m 的值为________．
图2-3-11
【解析】设NP →＝λNB →
，
NP →＝AP →－AN →＝mAB →＋29AC →－14AC →＝mAB →－136AC →， λNB →＝λ(AB →－AN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫
AB →－14AC →＝λAB →－λ4AC →，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝λ，－136＝－λ4，∴m ＝λ＝1
9.
【答案】 19
3．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →
，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．
【解析】如图，分别在AB →，AC →
上取点E ，F ，使AE →＝34AB →，AF →＝14AC →，在BC →上取点G ，使BG →＝14BC →，则EG ∥AC ，FG ∥AE ， ∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →， ∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝1
4
. 【答案】 1
4
4．如图2-3-12，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，试问：1
x ＋1
y 是否为定值？
图2-3-12
【解】设AB →＝a ，AC →
＝b ，
则AM →＝x a ，AN →
＝y b ，
AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝1
4(a ＋b )，
∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，
MN →＝AN →－AM →
＝y b －x a ＝－x a ＋y b .
∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫
14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .
∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
1
4－x ＝－λx ，14＝λy ，
消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1
y 为定值.。