2.1 直线,平面的方程

2.1.1 直线的方程 1, 取仿射坐标系{O;e1,e2,e3 }.
设点 M0 x0 , y0 , z0 ,向量
v X , Y , Z , 下面求
过点M0且方向向量为v的直线l的方程。 设M(x, y, z)为直线l上的一点，M0, M的位置向量 分别为r0, r，则有
r r0 tv
: Ax+By+Cz+D=0
的一个法向量为
n Ae2 e3 Be3 e1 Ce1 e2 .
证明:设
v1 a1e1 a2 e2 a3e3 , v2 b1e1 b2 e2 b3e3
Ab1+Bb2+Cb3=0. 不难验证n ∙ v1 =0, n ∙ v2 =0 . 所以
n// v1 X v2. 于是 n是该平面的一个法向量。
是该平面的两个方位向量，则有Aa1+Ba2+Ca3=0,
作业: 1, 复习第2.1节; 2. 习题2.1: 1,2,3,4,5,6; 3. 预习第2.2节.
第2章 直线与平面
2.1
直线、平面的方程
构成直线和平面的基本要素
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 不同两点确定一条直线; 过一点沿一方向确定一条直线; 过一点和两个不共线的向量确定一条平面; 过一点和一个向量垂直确定一条平面; 不共线的三点确定一个平面; 一条直线和此直线外一点确定一个平面; 两条相交直线确定一个平面; 两条平行直线确定一个平面.
D1 不妨设 A ，取点 M 1 , 0, 0 及两个向量： 1 0 A1
A1x B1 y C1z D1 0
B1 C1 v1 ,1,0 , v2 ,0,1 A1 A1
显然两向量不共线。由点M1和v1 ，v2决定的平 面1的方程为：
（2.2）
即 Ax By Cz D 0,
其中
A
Y1 Y2
Z1 Z2
,B
Z1 Z2
X1 X2
,C
X1
Y1
X 2 Y2
,
D ( Ax0 By0 Cz0 ).
(2.2)称为平面

的一般方程(或普通方程)。
3. 引理2.1.1 设平面 的方程为
则向量 ( r , s, t )平行于平面 的充分必要条件是 证明 共面，从而
1. 取定一个仿射标架{O; e1, e2 , e3} 。已知一个 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,向量 v1 ( X1 , Y1 , Z1 ) 和向 量 v ( X , Y , Z ) ，其中 v 1 与 v 2不共线,求由v 1 和 v 2，M0 确定的平面的方程。 易知点 M ( x, y, z ) 在平面 上的充分必要
用坐标写出即得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x x 0 X 1 X 2 , y y 0 Y1 Y 2 , z z Z Z . 0 1 2
（2.1）
(2.1)称为平面 的参数方程， , 称为参数， 它们可取任意实数。
2.又 M 0 M
, v1 ， v2 共面的充分必要条件是 x x0 y y0 z z0 X1 Y1 Z1 0, X2 Y2 Z2
3. 例2 在仿射坐标系中,一直线经过点A(2,-3,4),且 平行于xoz面同时与y轴相交，求其方程。 解:
由题意得，直线与 y轴的
交点为 B ( 0 , 3 , 0 ),
取
x2 y3 z4 则直线方程为 . 2 0 4
v BA
= （ 2， 0， 4）
2.1.2 平面方程
称为直线 l 的标准方程 (或点向式方程).
X, Y, Z 称为直线l的方向数. 方向数不是唯一的.
2.例1 求过空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)的直线
l 方程.
解:
v = AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),所以
x x1 y y1 z z1 l: . x 2 x 1 y 2 y1 z 2 z1 上面方程称为直线 l 的两点式方程
2 2 2 2
条件是 M0 M与v1 , v2共面。
使得： ， 于是,存在唯一的一对实数
M 0 M v1 v2 .如果 M 0 , M 的 位置向量为r0 , r.则有 r ro v1 v2 .
上式称为平面的向量式参数方程,
,
称为参数, v1
, v2称为平面的方位向量.
该式称为直线 l 的向量式参数方程，t 称为参数, 它的几何意义是点M在直线l上的仿射标架{M0;v} 下的坐标。向量 v 称为直线l的方向向量.
将上式用坐标写出，即得：
x =x0 +tX y =y0 +tY z =z +tZ 0
该式称作直线l的参数方程，其中t取任意实数。
x x0 y y0 z z0 消去参数t，又得方程 : X Y Z
（2.4） Ar Bs Ct 0. ∥平面 的充分必要条件是 ,v 1 ,v 2
Ax By Cz D 0
(2.2)
r X1 X2
s Y1 Y2
t Z1 0, Z2
即
Ar Bs Ct 0.
4.推论2.1 平面 : Ax+By+Cz+D=0 平行于x轴 （或y轴，或z轴）的充分必要条件是 A 0 (或 B 0，或 C 0 )；平面 通过原点的 充分必要条件是 D 0。
证明 因为 e 1 的坐标是(1,0,0)，所以 e 1∥平 面 的充分必要条件是 关于 e 2 或 e 3平行于平面 的情形可类似讨论。
原点O(0,0,0)在平面 上的充要条件是D=0。
A 1 B 0 C 0 0,即: A 0.
5.定理2.1.1 在空间中取定一个仿射坐标系， 则平面的方程必定是三元一次方程；反之，任意 一个三元一次方程表示一个平面。 证明：定理的前半部分已经证完。现证后半部分： 任给一个三元一次方程
上两方程称为平面 的点法式方程. n称为平面 的一个法向量.
上面方程也可以写为
Ax+By+Cz+D=0
(2.10)
其中 D=-(Ax0+By0+Cz0). (2.10)就是所求 平面π 的方程. 从而在直角坐标系中，平面方 程的一次项系数就是这个平面法向量的坐标。
命题2.1.1 在仿射坐标系{O;e1, e2, e3 }下, 平面
x D1 A 1 y0 1 0 z 0 0 1 0
B1 A 1 C1 A 1
即：
A 1x B 1 y C1 z D 1 0.
从而原三元一次方程表示平面1。
2.1.3 直角坐标系下的平面方程
1. 取一直角标架{O；e1，e2，e3}. 我们来求 过点M0（x0，y0，z0),且垂直于向量n=(A,B,C) 的平面π 的方程. 点M(x，y，z)在平面π 上的充分必要条件 是 M 0 M⊥n，从而 M 0 M · n=0，于是得 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0.