【配套K12】江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题06 函数与导数中的恒成立问题学案

专题06 函数与导数中的恒成立问题函数与导数中的恒成立问题一直是历年高考、模考中的一个热点，是考察学生综合素质的一个好的题型。

它主要涉及到基本初等函数的图像及性质，结合不等式，渗透着分类讨论、转化化归、数形结合、推理论证等数学思想。

恒成立问题常见的处理方法是分离参变量，利用转化的数学思想将其转化为最值问题，再利用导数判断单调性求出最值，进而得出参数的范围。

比如对于含有参数的函数0)(≥λ、x f 对于D x ∈上恒成立，利用参变分离转化为)(x g ≥λ或者)(x g ≤λ，即max )(x g ≥λ或min )(x g ≤λ，只需要运用导数求解)(x g 的最值就能解决。

这种常见题型资料比较多，这里笔者不在累赘。

用此方法解题需要满足两个条件，一是分离参数是可行的，二是分离完后形成的新的函数用导数可以判断单调性求出最值。

但是往往出题者想考察学生分类讨论，推理论证等数学思想，在题型的设置上就会让分离后的新函数无法简单的用导数判断单调性。

就算可以判断出单调性，最值点也是在开区间的地方取到，那也要借助与高等数学中的洛必达法则求极限。

笔者看到很多论文着重写洛必达法则在解决函数与导数中的恒成立问题的妙用，觉得并不太妥当，一是学生根本就不知道洛必达法则是什么，用来解决什么问题，就生搬硬套，记住遇到”“00或者”“∞∞就分子分母分别求导，直到能算出具体的值，二是现在很多的题目设置已经开始让分离后的新函数无法简单的通过导数求出单调性，也就不能说明为什么最值会在开区间那个点处取到，也许记住洛必达法则能够得到答案，但大题中解题过程非常的重要，洛必达法则真的能保证得满分吗？这貌似也不符合学生的认知规律，我们需要通过这样的题培养分类讨论，推理论证的数学思想，提高综合能力，为我们进入大学学习高等数学奠定良好的数学基础。

下面我们通过几个模考例题来谈谈这类题目的解题过程及规律。

例1、(2017南京三模)已知R ∈λ，函数)1ln ()(+---=x x x ex ex x f λ的导函数为)(x g ． （1）求曲线)(x f y =在)(x f y =处的切线方程； （2）若函数)(x g 存在极值，求λ的取值范围； （3）若1≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求λ的最大值． 解：（1）因为x e e x f xln )('λ--=，所以曲线)(x f y =在)(x f y =处的切线的斜率为0)1('=f ，又切点为）（0,1，所以切线方程为0=y ． （2）x e e x g xln )(λ--=，xe x g x λ-=)('．当0≤λ时，0)('>x g 恒成立，从而)(x g 在()+∞,0上单调递增， 故此时)(x g 无极值． 当0>λ时，设xe x h xλ-=)(，则0)('2>+=xe x h xλ恒成立，所以)(x h 在()+∞,0上单调递增． ①当e <<λ0时，,0)(,0)1(<-=>-=e e eh e h e λλλ且)(x h )是()+∞,0上的连续函数，因此存在唯一的)1,(0ex λ∈，使得0)(0=x h ．②当e ≥λ时，,0)(,0)1(>-=≤-=e e h e h λλλ且)(x h )是()+∞,0上的连续函数，因此存在唯一的),1(0λ∈x ，使得0)(0=x h ．故当0>λ时，存在唯一的00>x ，使得0)(0=x h且当00x x <<时，0)(<x h ，即0)('<x g ，当0x x >时，0)(>x h ，即0)('>x g ，所以)(x g 在()0,0x 上单调递减，在()∞+，0x 上单调递增， 因此)(x g 在0x x =处有极小值．所以当函数)(x g 存在极值时，λ的取值范围是()+∞,0.（3）x e e x f x g xln )(')(λ--==，xe x g xλ-=)('．设）（1)(≥⋅=x e x x h x ，则xe x x h )1()('+=①当e ≤λ时，)(x g 在[)+∞,1上单调递增，此时0)1()(=≥g x g ，即0)('≥x f ，从而)(x f 在[)+∞,1上单调递增． 所以0)1()(=≥f x f 恒成立．②当e >λ时，存在),1(0λ∈x ，使得)(x g 在()0,0x 上单调递减， 即)('x f 在()0,0x 上单调递减．所以当),1(λ∈x 时，0)1(')('=<f x f ，于是)(x f 在[)01x ，上单调递减，所以0)1()(0=<f x f ，不符合题意 综上所述：e ≤λ，即λ的最大值为e点评：本题第三问如果用参变分离得到的新函数是个非常复杂的函数，单调性难以判断，最值也就难以求解。

故此题需要整体求导，讨论单调性，来求解满足题意的λ的范围，综合性很强。

例2、（2017苏北六市高三二模）已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>； （3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．①若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． ②若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-． 令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数； 当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． 综合①②，e λ>．（3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0． 记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1， 则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=． ①当1e a ≤时，因为211ee x x ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥， 所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立．法二：当1ea >时，一方面1=1e 0F a '-<()． 另一方面，111e x a ∃=<，()()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．所以01(1)x x ∃∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意． 综上所述，1ea ≤． 点评：同上一题一样的思路，分离参变量求解会遇到同样的麻烦，故也需要整体求导讨论单调性， 来寻找满足题意的a 的范围。

例3、（2017苏锡常镇高三一模）已知函数()()1ln f x x x ax a =+-+（a 为常数，且为正实数）. （1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围； （2）若不等式()()10x f x -≥恒成立，求a 的取值范围.解：（1）a xx x x f -++=1ln )(' 因为()f x 在()0,+∞上单调递增，则0)('≥x f 恒成立，即11ln ++≤xx a 恒成立 令11ln )(++=x x x g ，则01)('2=-=xx x g 解得1=x 当)1,0(∈x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减 当)1(∞+∈，x 时，0)('>x g ，)(x g 单调递增 因此，2)1()(min ==g x g ，所以20≤<a综上所述：20≤<a例4、（2017扬州高三模拟）已知函数2()ln (3+2)f x x a x x =+-，其中a 为参数. （3）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.解：x ax ax x f 132)('2+-=，132)(2+-=ax ax x g ，对称轴方程为43=x ，a g -=1)1(①当10≤≤a 时，0)(≥x g ，故)(x f 在[1,)x ∈+∞单调递增，所以0)1()(=≥f x f ，满足题意。

②当1>a 时，01)1(<-=a g ，所以[)+∞∈∃,10x ，使得0)(=x g ，当[)2,1x x ∈时，0)(<x g ，即0)('<x f ，故)(x f 在[)2,1x x ∈单调递减，所以0)1()(=≤f x f ，不满足题意。

③当0<a 时，1ln -≤x x （用1-=x y 是x y ln =在点）（0,1处的切线说明）)21)(1()23(1)(2a ax x x x a x x f -+-=+-+-≤，当ax 12->时，0)(<x f ，不满足题意 综上所述：10≤≤a通过上面四个例题我们不难发现这类题目有共同点，一是每一道题在定义域的端点处函数值都是零。

二是在讨论单调性时都会遇到恒增、恒减、有增有减的情况，最后的答案都出现在恒增或者是恒减的范围里，而有增有减的讨论中都会出现与题意矛盾，故而舍去，不同点在于函数形式不一样，某些题目需要进行二次求导，由二阶导的单调性推理得到一阶导的零点，进而得到原函数的单调性，检验是否满足题意。

巩固练习：1、（原创）已知函数x a e x f x ln 1)(1--=-，若对任意的[)+∞∈,1x ，0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围。