19.2.3一次函数与方程、不等式1
2014519最新人教版19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)1
x
从数的角度看
求ax+b＞0(a≠0)的解 x为何值时y=ax+b的值大于0
从形的角度看
求ax+b＞0(a≠0)的解 确定直线y=ax+b在x轴上方
的图象所对应的x的取值范围
练习：根据图象来解决:2x－4>0
一次函数与一元一次方程的联系
探究： 如图 1 ，求直线 y ＝2x ＋1与 x 轴的交点，可令 y＝0 ，得到一元一次方程 2x＋1＝0，解得________ ________ x＝－0.5，即交
(－0.5,0) 点为________ ．因此－0.5 就是直线 y＝2x＋1与 x 轴的交点的 横 坐标，也是一元一次方程__________ 2x＋1＝0 的解． ______
图1是函数 y＝2x+1的图象， 根据图象回答方程 2x+1＝0 的 解是什么?
y 1
y=2x+1
图1
-0.5
0
x
一元一次方程都可以转化为_________ kx+b=0 的形式.
求方程kx+b=0的解
当一次函数y=kx+b的值为 0 时，求相应的_______ 自变量x 的值.
求直线y=kx+b与 x轴 的交点的 横 坐标.
19.2.3 一次函数与方程、不等式 第1课时
关坝中学
对于函数中的两个变量x和y，我们可以从 哪些方面理解它们的含义呢？
变量名称 平面直角坐标系 坐标系中的点 函数解析式 x x轴 横坐标 自变量 y y轴 纵坐标 函数
思考：平面直角坐标系中，点p(x,y),当y=0时，P在什么位置? 当y>0时，P在什么位置？当y<0时，P在什么位置？
19.2.3一次函数与方程、方程组和不等式
求X为何值时 y=ax+b的值为0
将以下一元一次方程与一次函数问题转化为同一问题
序号 一元一次方程问题 例如 1 解方程3x－2=0 解方程8x+3=0
解方程-7x+2=0
一次函数问题
当x为何值时, y=3x－2的值为0 当x为何值时, y=8x+3的值为0 当x为何值时, y=-7x+2的值为0 当x当 为何值时，函数 x为何值时, y1y=-5x-5 =3x-2和的值为 y2=8x+3 函 0 数值相等
方程 x+y=3 的解
x=s
y=t
点( s , t )
在一次函数 y=3-x的图象上
每个二元一次方程都可转化为一次函数
方程 ax+by=c 的解
x=s
y=t
点( s , t )
从形到数
在一次函数 y=kx+b的图象上
思考： 二元一次 方程组与一次函数的关系
3x 5 y 8 2x y 1
确定直线y=ax+b与x轴的横坐标
b 1、方程ax+b=0（a、b为常数a≠0）的解是 x a
.
b 3、直线y= ax+b 与x轴的交点坐标是( ,0). a
b 2、当x a
时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0
归 纳
任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0 （a、b为常数a≠0）的形式,所以解这个方 程从一次函数的角度可转化为“求一次函 数y= ax+b( a≠0）的值为0时相应的自变 量的值.”从图象上看,这又相当于“求直 线y= ax+b 与x轴的交点的横坐标”
人教版八年级数学下册课件：19.2一次函数--2.3 一次函数与方程、不等式(1)一次方程、不等式
知识点一：一次函数与一元一次方程
学以致用
3.一次函数y=mx+n的图象如图所示， 则方程mx+n=0的解为( C ) A.x=2 B.y=2 C.x=-3 D.y=-3 4.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函 数y=kx+b的图象可能是( C )
11
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
4
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都 可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一 次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
5
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳 一次函数与一元一次方程的联系：
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变 形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一 元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在 图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
下面3个不等式有什么共同点和 不同点？你能从函数的角度对解这3个不等 式进行解释吗？ (1)3x+2＞2; (2) 3x+2＜0；(3) 3x＋2＜-1.
12
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
可以看出，这3个不等式的不等号左 边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有 不同.从函数的角度看，解这3个不等式相 当于在一次函数y＝3x＋2的函数值分别大 于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取 值范围.或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐 标分别满足大于2、小于0、小于－1的点， 看它们的横坐标分别满足什么条件(如图).
人教版八年级数学下册-19.2.3 一次函数与方程、不等式(教案)
19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。
19.2.3一次函数与方程、不等式优秀课件
激趣导入
知识回顾
一次函数y=ax+b(a、b是常数，a≠0) 的图像和性质
a的正负性
a＞0
a＜0
b取正、负、0 b＞0 b=0 b＜0 b＞0 b=0 b＜0
正比例函数
正比例函数
示意图
图像经过的 一、二、三 一、三 一、三、四一、二、四 二、四 二、三、四
象限
象限 象限 象限 象限 象限 象限
(2)由图像可知：一次函数y=-2x+2与y 轴的交点为 （0,2）；∴当y=2时，x=0
点拨导讲
根据下列图像，将一次函数转化为一元一次方程，并 直接说出相应方程的解？
（1）
y
10
5
（2）
y=5x
y
4
(2,0)
2
-2
0
2x
-5
(0,0)
-10
-2
0
2x
-2 y=-2x+4
-4
5x=0
-2x+4=0
思考：
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解 这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般 情形吗？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
不等式ax+b＞c的解集就是
使函数y =ax+b 的函数值大于c
的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是
使函数y =ax+b 的函数值小于c 的对应的自变量取值范围．
点拨导讲
y y=ax+b
2
-2
0 2x
-2
y
2
-2
人教版八下数学 学霸笔记整理19.2.3 一次函数与方程、不等式
人教版八下数学学霸笔记整理19.2.3 一次函数与方程、不等式1.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.2.因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0 (a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于当某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.3.一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这样直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.4.由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.1.解关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)可以转化为:已知函数y=kx+b的函数值为0,求相应的自变量x的值.从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的横坐标.2.用图象法求解问题,作图要准确.1.规律方法:(1)根据图象求关于x的不等式kx+b>mx+n的解的方法:①求当自变量x取何值时,直线y=(k-m)x+b-n上的点在x轴的上方;②求当x取何值时,直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方.特别说明:不等号为“<”时,道理类似.(2)用图象法解二元一次方程组的一般步骤:①先把方程组中的两个二元一次方程转化成一次函数的形式;②建立平面直角坐标系,画出这两个一次函数的图象;③写出这两条直线的交点的横、纵坐标,从而得出二元一次方程组的近似解(横坐标为x,纵坐标为y).2.解题技巧:(1)在直角坐标系中,以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点的集合组成的图象就是一次函数y=kx+b 的图象.(2)由于两条直线的交点坐标是由这两条直线的解析式所组成的二元一次方程组的解,所以求两条直线的交点坐标时,通常把两个一次函数的解析式联立成二元一次方程组,通过解方程组求得.[典例精析]【例1】 如图,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P ,根据图象可得方程组{x -y =2,2x +y =1的解是( )A.{x =1,y =1B.{x =-1,y =-1C.{x =1,y =-1D.{x =-1,y =1解析:由y=x-2,得x-y=2;由y=-2x+1,得2x+y=1.由图象可知:函数y=x-2和y=-2x+1的图象的交点P 的坐标是(1,-1).∴方程组{x -y =2,2x +y =1的解是{x =1,y =-1.故选C . 答案:C 解题总结:二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解,即两条直线的交点坐标.【例2】 如图,直线y=kx+b 经过点A (-1,-2)和点B (-2,0),直线y=2x 经过点A ,则2x<kx+b<0的解集为( )A.x<-2B.-2<x<-1C.-2<x<0D.-1<x<0解析:2x<kx+b<0体现的几何意义就是直线y=kx+b上,位于直线y=2x上方,x轴下方的那部分点,显然,这些点在点A与点B之间.故选B.答案:B解题总结:解决此类问题关键是仔细观察图形,注意几个关键点(两直线的交点,直线与坐标轴的交点、原点等),数形结合求解即可.。
人教版八年级数学下册教案：19.2.3一次函数与方程,不等式
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学下册19.2.3节，主要内容包括：
1.一次函数与一元一次方程的关系：利用一次函数图像求解一元一次方程，以及方程的解与函数图像上点的坐标关系。
2.一次函数与一元一次不等式的关系：根据一次函数图像，判断不等式的解集，并能在数轴上表示出来。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数与方程、不等式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点，并进行交流。大家普遍对一次函数与方程、不等式在实际生活中的应用表现出较高的兴趣。但在讨论过程中，我也注意到有些学生参与度不高，可能是由于他们对这一知识点还不够自信。因此，我需要在今后的教学中，更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，提高自信心。
总体来说，今天的教学还有许多需要改进的地方。首先，我需要在讲解难点时，更加注重学生的接受程度，适时调整教学节奏，确保每一个学生都能跟上。其次，针对学生在一次函数图像与不等式解集关系上的困惑，我计划在下一节课中增加一些更具针对性的练习和案例分析，帮助他们更好地理解这一部分内容。
3.应用实际问题：结合生活实例，让学生学会运用一次函数与方程、不等式的关系解决问题，如利润问题、速度问题等。
4.练习题：通过练习题巩固一次函数与方程、不等式的转换与应用，提高学生实际操作学知识解决实际问题的能力，使学生能够结合一次函数与方程、不等式的知识，分析并解决生活中的数学问题，提升数学应用意识。
19.2.3一次函数与方程、不等式、方程组
y2 1
y2 1
4、根据1中所填答案的图象求： （1）龟兔赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的 取值范围）； 40t (0 t 5) 龟:S= 60 t 7 (0 t 35) 兔:S= 200 (5 t 35) 20t-500 (35 t 40)
（2）乌龟经过多长时间追上了兔子，追及地距起点有多远的路程？ 60 70 200米 t=200 t= (分 ) 7 3
y= ４
（1）当 x = ３ 时，函数值 y 为４。 （2）当x > ３ 时，函数值 y ＞４。 （3）当x <３ 时，函数值 y ＜４。
=1 当y1= y2时，x___ <1 >1 当y1> y2时，x___ >1 <1 当y1< y2时，x___
y1在y2的下方
看两直线的交点 y1在y2的上方
①0时时哪种物质的温度更高？ ③哪种物质的温度先到达 3℃？哪种物质 2时时呢？ ②何时两种物质的温度相等？何时甲的 4、下图是甲乙两种物质加热后温度随时 4时时呢？8时时呢？ 的温度先到达 5℃？ 温度大于乙的温度？何时甲的温度小于 间的变化而变化的图象： y y 2 x － 4 甲 乙的温度？ 5 1 y乙 x 2 4 2 3
y
y = -x+6
6
A P
y=
6
1 2
2 O 4
x
B
x
求三角形面积
令y1=y2,先求x, 再把x代入求y
令x=0,求y
令y2=0,求x
令x=0,求y
令y1=0,求x
3 2k b 6 k 3 27 所以 8 即y=x+ (x≥2) 10k b 3 8 4 27
19.2.3一次函数与方程、不等式(1)-wlyz
一次函数与一元一次方程
对于任意一个一元一次方程 ax+b=0(a≠0)，它有唯一解，我们可以把 这个方程的解看成函数y=ax+b当y=0时与 之对应的自变量的值．
从图象上看，方程的解是函数图象与
x轴交点的横坐标．
巩固与应用
1、解方程2x+3=5就是求当y= 的自变量x的取值。 2、通过下列个函数图像能直接观察出哪个方程的解 是多少？ y
ax b 0
与一次函数 y ax b 的 关系
ax b 0(ax b 0)
y ax b 函数值唯一确定 ax b 0
y ax b 函数值范围确定 ax b 0(ax b 0)
一 次 函 数 y ax b 当 y 0( y 0) 时 x 的取值 范围 图象 y ax b 在 x 轴上 （下）方部分对应的 x 的 取值范围
例2 用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10． 解法1：不等式可化为3x-6<0， 画出直线y=3x-6， 可以看出图象在x轴下方的部分 对应的自变量的取值范围是x<2.
所以不等式的解集为x<2．
应用新知
例2 用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10． 解法2：将原不等式两边分别看成一次函数 y=5x+4和y=2x+10，画出两个函数的图象， 找到交点的横坐标为2，当x<2时， 对于同一个x，直线y=5x+4上的点在
用函数观点看一元一次不等式吗？
下列不等式与函数y=2x+2有什么关系？ （1）2x+2>2 （2）2x+2<0 （3）2x+2<-1
19.2.3 一次函数与方程、不等式(1) 课件
4.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：
(3)若-1≤y≤3，求x的取值范围.
由图象可得：函数图象过 F(1.5，3)，G(-3.5，-1)两点， 当-3.5≤x≤-1.5时，函数y=2x+6 的函数值满足-1≤y≤3， ∴x的取值范围是-3.5≤x≤-1.5.
综合应用
5.已知一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0) 的图象(如图①).
习题19.2
减小
二、四
0
-5
象肯定不是直线 y=ax+b的是（ B ）
y
y
-2 0
x
2
(A)
y
x
0
-2
(B)
y -2 0 x
-2 0
x
(C)
(D)
归纳
因为任何一个以x为未知数的一 元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0) 的形式，所以解一元一次方程相当于 在 某 个 一 次 函 数 y=ax+b(a≠0) 的 函 数 值为0时，求自变量x的值.
第十九章 一次函数 19.2 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、 不等式
新课导入
数学知识之间是相互联系的，一次函数 知识并不是孤立的，其实它与以前我们学过 的有关知识有密切联系.今天我们来探讨一次 函数与方程、不等式之间的联系.
推进新课
知识点 1 一次函数与一元一次方程
例1 2x 1 3 2x 1 0 2x1 1
2k ∴k =± 3
4
4
误区 诊断
误
不能正确理解图象导致错解不等式
区 已知直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三
象限，求m得取值范围.
八年级数学下册19.2.3 一次函数与方程、不等式
一次函数与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程 任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元 一次方程,相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为 时,求自变量x的 . 0 2.一次函数与一元一次不等式 任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为 ax+b>0或ax+b<0 值 (a≠0)的形式.所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值 或 时,求自变量x的 .
大于0
小于0
取值范围
3.一次函数与二元一次方程(组) (1)每个含有未知数x和y的二元一次方程,都对应一个一次函数,即对应一条直线,直 线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的 . 解 (2)解二元一次方程组,从“数”的角度看,相当于求自变量为何值时相应的两个函数 值 ,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,相当于确定两条相应直线 的坐标. 相等
交点 【预习诊断】 (对的打“√”,错的打“×”) 1.直线y=kx+b与y轴的交点横坐标即为方程kx+b=0的解.( ) × 2.直线y=kx+b在x轴上方部分的自变量取值范围即为不等式kx+b>0的解集.( 3.求两直线的交点坐标可以解它们的解析式组成的二元一次方程组. ( ) √ √
)
探究点一:一次函数与一元一次方程 【例1】 一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关 于x的方程kx+b=0的解为 . x=-1
【导学探究】 1.求出一次函数y=kx+b的关系式. 2.求方程kx+b=0的解,即为求直线与x轴交点的
人教初中数学八下 19.2.3《一次函数与方程、不等式》一次函数与一元一次不等式课件 【经典初中数学
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
例题讲解
1、计算: (1 )1x 69x (2 ) 8 045 解：(1) 16x 9x (2) 80 45
4 x3 x (43) x
4 53 5 (43) 5
7 x
5
探究
2、计算:
(1)2 81 181 32
18a , 28, x2 4, 5x4 y ,
×× √
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
1
2 5 3x
√
×√
×
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外 面的正方形边长为 cm，里2 面2的正方形的边 长为 cm，两个正方形2 的周长和为多少？
22
两个正方形的周长和为：
2
4(2 2 2)
8 24 2
若两个正方形的面积分别为 27cm2、12cm2，则两正方形的周长 和为多少？
1.求Y1和Y2与X的函数关系式
2.问拍这批照片到照相馆拍，费用省还是由学校自己拍费用省＝8x,Y2=4x+120
y
(2)由图象可知，当x=30 时，两家一样， Y=4x+120
当X>30时，照相馆省钱，
当X<30时，学校自己省钱.
0 30
x
24
25
教学反思：
5 63 2
3
4
下列解答是否正确？为什么？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算。
( 2 ) 72 18 3 2 2
人教版八年级数学下册 第十九章 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一课时 课件 (共26张PPT)
（1）途中乙发生了什么事，
P
（2）他们是相遇还是追击； 12
（3）他们几时相遇。
10
8
D E
AB
0
0.5
1 1.2
t
1.右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
y 2x 1
y 4
l1
3
2
l2 1
-1 0 -1
1 2 3 4x
x 2y 2 2.解方程组 2x y 2
问 经过多长时间两人相遇 ?
你明白他的想法吗？
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
用他的方法做一做，看 看和你的结果一致吗？
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
A、B 两地相距150千米，甲、
对于乙，s 是t
乙两人骑自行车分别从A、B 两地相
的一次函数，
向而行。假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都
120千米,即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
2 时后甲距A 地 40千米, 故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的 速度, 以及 ……
2
4
6
所以方程
x 2 y 2 2x y 2
-6
的解是 x 2 。
y
2
一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。
以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3－x 的图象.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
已知一次函数y =2 x +1，求当函数值y =3、 y =0、
y = -1时，自变量x的值。
根据题意得：2x 1 3 2x 1 0 2x 1 1
由上可知，当一个一次函数y =k x + b确定了y的值， 它就变成了一个一元一次方程。也就是说，每一 个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具 体情况。
归纳：二元一次方程组与一次函数之间的关系
每个二元一次方程组对应两个一次函数，于是 也对应两条直线. 1.从形的角度看，二元一次方程组的解就是两 直线交点的坐标； 2.从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量 为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值 是何值.
通过图象可以看出，不等式 是求y ＞0时，自变量x的取值 范围。 ∴ x ＞2
y=2x-4 y
x 02
-4
从数的角度看
求ax+b＞0(a≠0)的解
从形的角度看
求ax+b＞0(a≠0)的解
x为何值时y=ax+b的 函数值大于0
确定直线y=ax+b在x轴上方 的图象所对应的x的取值范围
由于任何一元一次不等式都可以转 化为k x + b ＞0或k x + b ＜0(k, b为 常数， k ≠0)的形式，所以解一元一 次不等式可以看作：某个一次函数 y =k x + b的函数值大于0或小于0时， 求自变量x相应的取值范围.
2x +1=-1 的解 -1
好是自变量x的一个值。
y =2x+1
2x +1=3 的解 1 2 3x
一元一次方程都可以转化为__k_x_+_b_=_c__ 的形式.
求方程kx+b=4的解
八年级下册数学19.2.3 一次函数与方程、不等式
解二元一次方程组 求对应两条
直线交点的坐标 .
第十九章 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
学习目标
情境引
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程入（组）、
一元一次不等式之间的联系．（重点、难点）
2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集） 的意义.
导入新课
观察与思考
今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员 按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
y=0.5x+15成立，即直线y
=0.5x+15上的每个点的坐
5
标都是二元一次方程 y=0.5x+15的解
-5 O
5 10 x
(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的
高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别
加以研究.
从数的角度看：
y =x+5 解方程组 y =0.5x+15
h1
h2
就是求自变量为何值时，
（2）由图象可知，当x>1时，y<3. O 1
x
做一做
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当 y>0时，x的取值范围是（ C ）
A.x>-4 B. x>0 C. x<-4 D. x<0
归纳总结
一次函数与一元一次不等式的关系
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数值”看
y2x2 NhomakorabeaA.
y
19.2.3一次函数与方程、不等式(1)
x
X+2=0的解 其解为X=-2
y y=x-1
y
o
2
x
o -1
1
x
y = -3 x + 6
X-1=0的解 其解为X=1
随堂检测
请同学们完成下面两题看谁做得又快又好（6分钟） 1．一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加 2m/s，则速度v和时间t的函数关系式是？再过几 秒它的速度为17m/s？ 2．利用函数图象解出x: 5x−1= 2x+5
（注：6分钟后请学生回答）
学以致用
1.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定 B） 不是直线 y=ax+b 的是（ y
y
-2
o -2
x
A
o -2
x
B
y
y
-2
o
x
-2
o
x
C
D
2.根据下列图像，你能说出哪些一元一次 方程的解？并直接写出相应方程的解？
y y=5x
2 y y=x+2
0
x
-2
o
5x=0的解 其解为X=0
当堂练习
必做题 1.画出函数y=-x+2的图象，利用图象回答问题： （1）求当x=-1时， y的值；（2）求当y=-1，对 应的值； （3）求方程-x+2=0的解；（4）求方程-x+2=3的 解 2.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程 2x+a=0的解，则a的值是______ 选做题 习题19.2第8题
19.2.3一次函数与方程、不等式（1）
学习目标
1 .理解一次函数与一元一次方程的 关系，会根据一次函数的图象解决 一元一次方程的求解问题。 2.学习用函数的观点看待一元一次 方程的方法。
2020版八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)教案(新版)
19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时【教学目标】知识与技能:认识一次函数与一元一次方程之间的联系.会用函数观点解释一元一次方程的意义.过程与方法:经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课我们来看下面两个问题:1.解方程2x+20=0.2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?这两个问题之间有什么联系吗?我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法.二、探究归纳活动1: 一次函数与一元一次方程的关系1.问题:填空:(1)解方程2x+6=0,得x=________.(2)从函数图象上看,直线y=2x+6与x轴交点的坐标为________ ,这也说明函数y=2x+6值为________,对应的自变量x为__________,即方程2x+6=0的解是________.答案:(1)-3(2)(-3,0)0 -3x=-32.思考:直线y=2x+6与x轴的交点坐标和方程2x+6=0的解有什么关系?提示:直线y=2x+6与x轴的交点的横坐标,就是方程2x+6=0的解.3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系(1)由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.(2)一元一次方程ax+b=0的解,是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标值.活动2:例题讲解【例1】利用函数图象解下列方程:(1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4.分析:将方程转化为kx+b=0的形式,画出y=kx+b的图象,由直线与x轴的交点坐标确定原方程的解.解:(1)原方程可化为0.5x-4=0.画出一次函数y=0.5x-4的图象,由图象看出直线y=0.5x-4与x轴的交点为(8,0),所以方程0.5x-3=1的解为x=8.(2)原方程可化为2x-6=0.画出一次函数y=2x-6的图象,由图象看出直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0),所以方程3x-2=x+4的解为x=3.总结:一次函数与一元一次方程的关系一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.【例2】甲、乙两地距离300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了______ h.(2)求线段DE对应的函数解析式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析:(1)根据图象中点C,点D的横坐标求出轿车在途中停留的时间.(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象得出D点坐标(2.5,80),与E点坐标(4.5,300),代入y=kx+b列方程组求解.(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.解:(1)CD平行于x轴,说明轿车离甲地的距离没发生变化,即轿车停留,时间为C,D两点横坐标的差,2.5-2=0.5(小时).(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象可得在线段DE上,D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),由题意得解得所以线段DE对应的函数解析式为:y=110x-195(2.5≤x≤4.5).(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.∵A点坐标为(5,300),代入解析式y=ax得300=5a,解得a=60,故y=60x,当60x=110x-195时,解得x=3.9,故3.9-1=2.9(小时),答:轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车.总结:用一次函数与方程的关系解决实际问题的步骤(1)分析题目中的数量关系及等量关系.(2)列出函数关系式.(3)利用函数与方程的关系求解.(4)验证所求的解是否符合题意,并作答.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与一元一次方程之间的联系.能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次方程,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为 ()A.x=2B.y=2C.x=-1D.y=-12.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是()A.x=2B.x=4C.x=8D.x=103.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()4.如图,直线y=kx+b分别交x轴,y轴于点A,B,则关于x的方程kx+b=0的解为()A.x=-2B.x=0C.x=2D.x=35.下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形,利用函数的图象解方程5x-1=2x+5,其中正确的是()6.如图所示,是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李重量x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为()A.20千克B.30千克C.40千克D.50千克7.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程是2x+b=0的解是x=________.8.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.(1)求出y与x的函数关系式.(2)已知某山的海拔高度为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8题六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次方程的关系,关于一次函数与一元一次方程的关系,教师通过引导学生观察分析图象与x轴交点或一次函数解析式与一元一次方程的关系,引导学生得出一次函数与一元一次方程的关系:一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.让学生明确有关方程问题可用函数的方法来解决,反之,有关函数问题也可用方程的方法来解决.。
19.2.3 一次函数与方程、不等式
x x
y y
a, b.
的解为
x
y
11, 4.
则直线y＝－x＋a与y＝x－b的
交点坐标为(11，4)．
名校讲 坛
例 在同一平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，解 决下列问题： (1)求方程－x＋4＝2x－5的解； (2)求二元一次方程组2xxyy45, . 的解； (3)当x取何值时，y1＞y2？当x取何值时，y1＞0且y2＜0?
巩固训 练
巩固训 练
3．(《名校课堂》19.2.3习题)如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x
的取值范围是( C )
A．x＜1
B．x＞1
C．x＜3
D．x＞3
4．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则下列判断中不正确的是( A )
A．k＞0，b＜0
B．方程kx＋b＝0的解是x＝－3
C．当x＜－3时，y＜0
预习反 馈
知识点4 一次函数与二元一次方程组的关系 4．由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组， 都对应两个一次函数．从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为
何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角
度看，解方程组相当于确定两条相应直线交点的坐标．
如：若方程组
课堂小 结
学生尝试小结：本节课你学到了什么？
预习反 馈
知识点3 一次函数与二元一次方程的关系 3．一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个 一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是 这个二元一次方程的解． 如：方程x＋y＝2可化为y＝－x＋2；直线y＝2－x上的任意一点的坐标 (x，y)都是方程x＋y＝2的解．
19.2.3 一次函数与方程、不等式
二、填空题(每小题 6 分，共 12 分) 11．如图，直线 y＝kx＋b 过 A(－1，2)，B(－2，0)两点，则 0≤kx＋b≤－2x 的 解集为__－2≤x≤－1__． 第 11 题图
12．已知一次函数 y＝2x＋m－3 和 y＝3x－m－1 的图象相交于 x 轴上同一点，则 7 m 的值为__ __． 5
3．(4 分)若点(2，5)在一次函数 y＝kx＋b 的图象上，则关于 x 的方程 kx＋b＝5 的解为__x＝2__．
一次函数与一元一次不等式
4．(4 分)直线 y＝x－1 上的点在 x 轴上方时对应的自变量的范围是( A ) A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1 1 5．(4 分)将一次函数 y＝ x 的图象向上平移 2 个单位长度，平移后，若 y＞0，则 2 x 的取值范围是( B ) A．x＞4 B．x＞－4 C．x＞2 D．x＞－2
正比例函数 y 3 ＝ x 的图象交于点 P(2，n)． 2
(1)求 m 和 n 的值； (2)求△POB 的面积．
3 解：(1)∵点 P(2，n)在函数 y＝ x 的图象上， 2 3 ∴n＝ ×2＝3.把 P(2，3)代入 y＝－x＋m，得 3＝－2＋m，解得 m＝5. 2 (2)由(1)知，一次函数 y＝－x＋5.令 x＝0，得 y＝5. 1 ∴点 B 的坐标为(0，5)，∴S△POB＝ ×5×2＝5. 2
【综合应用】 15．(14 分)甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向 乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地距离 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系； 折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y(千米)与 x(小时)之间的函数关系． 请根据图象解答下 列问题： (1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ (2)求线段 CD 对应的函数解析式； (3)轿车到达乙地后，马上沿原路以 CD 段速度返回， 求货车从甲地出发后多长时间再与轿车相遇．(结果精确到 0.01)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
y=x-3
3
x
x
学以致用
2、直线y=x+3与x轴的交点坐标为 ，所以相应的方程 x+3=0的解是 . 3、设m，n为常数且m≠0，直线y=mx+n（如图所示），则方 程mx+n=0的解是 . 4、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法： ①两直线平行；②两直线交于y轴于同一点；③两直线交 于x轴于同一点；④方程2x－1 =0与4x－2=0的解相同；⑤当 x=1时，y1=y2=1. 其中正确的是 （填序号） y
第十九章：一次函数
19.2.3 一次函数 与一元一次方程
课堂复习
1、一次函数的定义
2、一次函数的性质
3、如何用两点法画一次函数的图像。
对于函数中的两个变量x和y，我们可以从 哪些方面理解它们的含义呢？函数的表示方法 有哪些？
变量名称 平面直角坐标系 坐标系中的点 函数解析式 x x轴 横坐标 自变量 y y轴 纵坐标 函数变量
从数的角度看： 求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集 从形的角度看： 求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集 直线y= ax+b在X轴上方或 下方时自变量的取值范围 函数y= ax+b的函数值大于0 （或小于0）时x的取值范围
学以致用
1、根据一次函数与不等式的关系填空: （1）解不等式3x－6<0，可看作：求一次函数y=3x-6的 函数值小于0的自变量的取值范围。 （2）“当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0” 可看作： 求不等式3x+8>0的解集。
O
y =3x+2
y =2
1
2
3
x
y =－1
-1
归纳总结
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或 ax+b<0 (a≠0)的形式，其左边恰是一次函数y=ax+b的形式。所以解一元一 次不等式， （1）从函数值的角度看，就是求一次函数y=ax+b的函数值大于(或小 于)0的自变量x的取值范围； （2）从函数图像的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方 部分的点的横坐标的取值范围。
5 2
2
5 2
，则一次函数 y kx b ， .
当x 5 时,图象在x轴______；当
x
时,图象在x轴
学以致用
7、如右图, 一次函数 y kx b(k 0) 的图象经过 点 P(3, 2) ，则关于x的不等式 kx b 2 的解集为 ________________.
kx+b=0 的形式. 一元一次方程都可以转化为________ 求解kx+b=0
当一次函数y=kx+b的值为 0 时，求相应的自变量x 的值.
求直线y=kx+b与 x轴 的交点的 横
坐标.
学以致用
1、根据图象,请写出图象所对应的一元一次方程的解. y y y=x+2 y=5x
0 x -2 y y=-2.5x+5 0 2 0 y 0
－1 0 0.5
x y=mx+n
学以致用
1、利用图象求方程6x－3=x+2的解．
小结
函数和方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切 的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个解析表达式 就可以看作一个方程.因此许多有关方程的问题可以用函数 的方法 解决；反之，许多有关函数的问题可以用方程的方 法解决。 从数的角度看: 求ax+b=0（a≠0）的解 从形的角度看： 求ax+b=0（a≠0）的解
x为何值时，y=ax+b的 值为0？
确定直线y=ax+b与x轴 的横坐标
一次函数与不等式
练一练： =2 一次函数y=x-2的值为0， 如图:当x———— x-2=0 的解. x=2是一元一次方程————— y 1 ； 当x=3时，函数y=x-2的值是------2 ； 当x=4时，函数y=x-2的值是-------3 ； 当x=5时，函数y=x-2的值是-------3 2 1 思考：当x为何值时，函数 y=x-2对应的值大于0 ？
y
y=5x+4
y=2x+10 x O 2
y=5x+4
4 用画函数图象的方法解不等5x+4<2x+10．
Байду номын сангаас
解法2：不等式可化为3x-6<0，画出直线y=3x-6，
所以不等式的解集为x<2．
学以致用
5、如图是一次函数 y kx b(k 0) 的图象,则关于x的方 kx b 0 程 kx b 0 的解为 ；关于 的不等式 的解 kx xb 0 集为 ；关于x的不等式 的解集 为 。 6、若关于x的不等式 kx b 0 的解 集为 x
5 (1)方程 x 5 0的解 2
5 (2)不等式 x 5 0的解集 2
5
y y= 2
5 2
x+5
x
5 (3)不等式 x 5 0的解集 2
5 (4)不等式 x 5 5的解集 2
例2 用画函数图象的方法解不等5x+4<2x+10．
解法1：将原不等式两边分别看成一次函数 和y=2x+10，画出两个函数的图象， 所以不等式的解集为x<2．
y=x-2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2
x
即：解不等式x-2﹥0的问题
探究新知
观察下面这几个不等式: （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜－1． 思考：你能类比一次函数和一元一次方程的关系，试着用函 数观点看一元一次不等式吗？ y 不等式ax+b＞c的解 集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的 自变量取值范围； 不等式ax+b＜c的 解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的 自变量取值范围． 3 2 1 y =0 -2 -1
2
3 x
用函数的观点看： 解一元一次方程ax +b =k就是求当函数值为k 时 对应的自变量的值．
归纳总结
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的 形式，其左边恰是一次函数y=ax+b的形式。解这个方程： （1）从函数值的角度考虑，就是求函数值为0时的自变量x的值; （2）从函数图像的角度考虑，就是确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。
扩展练习
5x 看图象解不等式：
3 3x 1
y 7
y=5x-3 y=3x+1
0
2
x
归纳总结 1、从数的角度看：
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集 函数y= ax+b的函数值大于0 （或小于0）时x的取值范围
2、从形的角度看：
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集 直线y= ax+b在X轴上方或 下方时自变量的取值范围
一次函数与一元一次不等式
看图回答问题： y
3
问题①：当y=3时，x= 1 ；
问题②：当y=0时，x=
1 2
y=2x+1
；
2
2x +1=3的解 1
以上三个问题可转化为以下 三个方程： （1）2x+1=3；（2）2x+1=0； （3）2x+1=－1．
1 问题③：当y=－1时，x= －1 ； 2x +1=0的解 -1 O 2x +1=－-2 1的解 -1
学以致用
2、根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集 y
y=3x+6
y
y=-x+3
-2 x 3 x
（1）3x+6>0（即y>0） x>－2 （2）3x+6 ≤0（即y≤0） x≤－2
（3）–x+3 ≥0（即y≥0） x≤3 （4）–x+3<0（即y<0） x>3
学以致用
5 3、利用 y x 5 的图像，直接写出： 2