福建省福州市八县(市)2016-2017学年高二下学期期末联考数学(理)试题-含答案

2016—2017学年度第二学期八县(市)一中期末联考
高中二年数学理科试卷
完卷时间：120分钟 满 分：150分
附：1、回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，()()()
2
1
2
1
1
2
1
ˆx n x
y x n y
x x x y y
x x b n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i
i
--=
---=∑∑∑∑====，ˆˆˆa
y bx =-. 2、得2
K 观测值()()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
)(02k K P ≥
0.10 0.05 0.005 0k
2.706
3.841
7.879 3
、
若
X ～
()
2
,N μσ，
则
()0.6826
=+≤≤-σμξσμp ，
()0.954422=+≤≤-σμξσμp
()0.997433=+≤≤-σμξσμp
4、条件概率公式 ()
()()()()
A n A
B n A P AB P A B P ==
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、某校从高中三个年级中各选取1名学生干部参加某项校外活动，若高一、高二、高三年级分别有2,3,4个学生干部备选，则不同选法有（ ）。

A 、 9种
B 、10种
C 、12种
D 、24种
2、在6件产品中有4件合格品，2件次品，产品检验时，从中抽取3件，至少有1件次品的
抽法有（ ）。

A 、10
B 、16
C 、32
D 、24
3、已知随机变量的分布列为P (＝i )＝
a
i
3(i ＝1,2,3,4,5)，则P (1＜＜4)等于( )。

A 、
31 B 、53 C 、a 35 D 、a
39 4、6个人排成一排，对排位顺序有如下要求，甲不能排在第一位，乙必须排在前两位，丙
必须排在最后一位，那这样排位方法有（ ）种。

A 、54种
B 、48种
C 、42种
D 、36种
5、某人将密码“19923”记错密码数字顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重
犯)( )。

A 、120
B 、119
C 、60
D 、59
6、将5名大学生分配到A,B,C 3个乡镇去任职，每个乡镇至少一名，那么A 镇分得两位大学生的
概率为（ ）。

A 、
51 B 、52 C 、32 D 、4
1
7、某厂生产的零件外直径ξ~N （10，0.09），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为11cm 和9.3cm ，则可认为（ ）。

A 、上午生产情况正常，下午生产情况异常
B 、上午生产情况异常,下午生产情况正常
C 、上、下午生产情况均正常
D 、上、下午生产情况均异常 8、由1,2,3,4,5,6,六个数字组成一个无重复数字的六位数,则有且只有2个偶数相邻的概率为（ ）。

A 、
15 B 、25 C 、35 D 、310
9、在二项式(2
＋＋1)(－1)5
的展开式中，含3
项的系数是( )。

A 、－25
B 、－5
C 、5
D 、25 10、三个元件123T ,T ,T 正常工作的概率分别为4
3
,41,21，将它们中某两个元件并联后再和第三个元
件串联接入电路，三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大( )。

A 、3213
B 、327
C 、3215
D 、 32
3
？T
？T
？T
11、盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，任意摸出2个球使用，已知其中一
个是新球的条件下，另一个也是新球的概率为（ ）。

A 、
135 B 、185 C 、31 D 、9
5
12、(
)7
2345670123456712x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，
则代数式7161514131212
1765432a a a a a a a a a a a a a ++++++的值为（ ）。

A 、98 B 、-98 C 、-196 D 、196 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －4)＝P (ξ>2a ＋2)，则a 的值为 。

14、若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝34，D (ξ)＝9
8
，则P (ξ＝1)的值为 。

15、设编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒子内投放一个球，并且恰好有1个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为________． 16、如图，是在竖直平面内的一个“通道游戏”。

图中竖直线段和斜线段表示通道，并且在交点 处相遇，假设一个小弹子在交点处向左或向右 是等可能的。

若竖直线段有一条的为第一层， 有两条的为第二层，...，依此类推，现有一颗 小弹子从第一层的通道向下运动。

猜想该小弹 子落入第n+1层的第m 个通道里的概率 。

三、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤（共70分）。

17、(10分)在极坐标系中，圆 C 以点C 为半径为圆心2,3,
2⎪⎭
⎫
⎝
⎛π。

在以极点为原点,以极轴为x 轴正半轴且单位长度一样的直角坐标系中,直线l 的参数方程为
122(33x t t y t ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩为参数)
入口 第一层
第二层 第三层
第四层 第一个通道
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点B A ,．若点P 的坐标为(2，3)，求PA PB +．
18、(12分) 若22n
x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中前三项的二项式系数之和等于22，
（1）求该展开式中含
21
x
项的系数 （2）求展开式中系数绝对值最大的项的系数
19、(12分)某冻品店为了解气温对其销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C o ）的数据作为样本，如下表：
3 6 9 8 9 y
12
10
8
8
7
（1）利用最小二乘法求出y 与x 的回归方程ˆˆy
bx a =+； （2）设该地1月份的日最低气温X ～()2
,x
x
N
σμ，其中x
μ近似为样本平均数x ，2x
σ
近
似为样本方差2
x s ，该地1月份的最高气温ξ与最低气温x 的关系为12+=x ξ且ξ～
(
)
2
,ξξσμN ，其中ξμ近似为最高气温的平均数，2ξσ近似为最高气温的方差2
ξs ，
求().2424.01≤≤ξp .
附：①11.5130≈ 3.2 1.8≈，若X ～()
2,N μσ，
则()0.6826=+≤≤-σμξσμp ，()0.954422=+≤≤-σμξσμp
附：②回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，()()()2
1
2
1
1
2
1
ˆx n x y
x n y
x x x y y
x x b n
i i n
i i
i n i i
n
i i
i
--=
---=∑∑∑∑====，ˆˆˆa
y bx =-.
20、(12分)某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门
统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成。

该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见。

下面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图。

（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表，并判断我们能否有95%的把握认
为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？
赞成 不赞成 合计 城镇居民 农村居民 合计
注：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=
其中,)
)()()(()(2
2
)(02k K P ≥
0.10 0.05 0.005 0k
2.706
3.841
7.879
（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个
家长中是城镇户口的人数为x ，试求x 的分布列及数学期望()x E 。

21、（12分）袋中共有6个球，其中有2个白球，4个黑球，这些球除颜色外完全相同．从
袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为n x ． （1）求随机变量2x 的概率分布列及数学期望()2x E ； （2）求随机变量n x 的数学期望()n x E 关于n 的表达式． 22、(12分)在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数)曲线1
C 横坐标
扩大为原的两倍,纵坐标扩大为原的三倍得到曲线2C 。

农村
城镇
不赞成
赞成
0.6 0.4 0.2 0.8 0
(1)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴且单位长度一样的极坐标系中,求曲线2C 的极坐标方程
(2)若N M ,两点在曲线2C 上，且ON OM ⊥.求2
2
11ON
OM
+
的值．
(3)
3231(,.1x t
C t P C P C y t =-⎧⎨=+⎩
已知的参数方程为为参数)，为上的一点求点到直线的最大距离
2016-2017八县一中高二年段期末试卷答案
一、选择题12题，每题5分，计60分
二、填空题4题，每题5分，共20分
13 2 14 81
32
15 45 16 n m n C 21-
17、解：（1）圆C 的极坐标方程为)3
cos(4π
θρ-
=
)
4)3()1((0322sin 32cos 2sin 32cos 222222=-+-=--+∴+=+=y x y x y x C 或的直角坐标方程为：圆θρθρρθ
θρ--------------4分
（2）∵直线l 122()33x t t y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩为参数恰过定点P (2，3) 将122()332
x t t y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的直角坐标方程,得230t t --= 12121214(3)130,10,3,t t t t t t ∴∆=-⨯-=>+=>⋅=-∴异号
2121212()413PA PB t t t t t t ∴+=-=+-=-----------10分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
D B A C D B B C C C A D
----------------------------------------8分
--------6分
∵
18.解：（1）∵该展开式中前三项的二项式系数之和等于22
22210=++∴n n n C C C 222
)
1(1=-+
+∴n n n 6
)(70422=-==-+∴n n n n 或舍去解得
--------------------3分
()96-21-5
6052852352315
23222212)1()2
()2(1)2(566-105
821662642166261126662661=∴=∴∈≤≤≤
≤⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
-≥
∴⎩⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅∴⎩⎨⎧≥≥+⋅⋅-=-⋅⋅=∴*+---+--+---+C r N r r r r r C C C C a a a a a r x C x
x C T r r r r r r r r r r r r r r
r r r r r r r 最大的项的系数为
该展开式中系数绝对值取且解得得项，系数绝对值记为值最大的项为第设该展开式中系数绝对）
由（Θ
19. 解：(1)∵令5n =,113575n i i x x n ===
=∑， 1145
95
n i i y y n ====∑, ---------------------2分
∴()()1
5
(37)(129)(67)(109)(97)(89)(87)(89)(97)(79)20
i
i
i y x x y ==--+--+--+--+---=--∑
2
222221
5
()
(37)(67)(97)(87)(97)26i
i x x =-=-+-+-+-+-=∑
——————————4分
∴ˆ262010
13
b
-==- ----------------------------------------7分
---------------8分
------------------------------------10分
-----------------------------12分 ------------------------6分 ---------------------------------------12分
602)1(14)60(2262)1()2()2(,64
624226662661=⋅-∴=∴∈≤≤-=-⋅⋅-=-⋅⋅==*---+C x
r N r r r x C x x C T n r r
r r r r r r ∵
∴
10187971ˆ313ˆˆa y bx ⎛⎫=-=--⨯= ⎪
⎝⎭
———————5分 ∴
所
求
的
回
归
方
程是
10187
13ˆ13
y
x =-+
-------------------6分 (2)
由
(1)
知
26
7,5
x x =该地当日最低气温的方差为
—————————7分
22262115,45
2
130 4.65
x s ξξξμσσ=+===⨯
∴=
≈
-------------------------------9分
()()()()()()10.424.22211
222211
0.68260.9544220.34130.47720.8185
P P P P P P ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξμσξμσμσξμμξμσμσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+=-≤≤+≤≤+=-≤≤++-≤≤+=⨯+⨯=+=
-----------12分 20.解：
赞成 不赞成 合计 城镇居民 30 15 45 农村居民 45 10 55 合计
75
25
100
代入公式， 得
2
K 观测值
-----------------------------------------2分
22
2
()100(300675) 3.03 3.841
()()()()45557525n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯---------5分
所以，我们没有95%的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有关” -----------------6分
（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6
抽中农村户口家长的概率为0.4 的
可
能
取
值
为
0,1,2,3
-----------------------7分
31
23223333(0)(0.4)0.064
(1)0.6(0.4)0.288
(2)(0.6)0.40.432(3)(0.6)0.216
P X P X C P X C P X C =====⨯⨯===⨯⨯===⨯=
---------------------10分 所以X 的分布列为
()00.06410.28820.43230.216 1.8
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
-------------------------12分 21.
依
题
意
可
得
：
2
X 的取值为2,3,4.
----------------------------------------1分
当2X =2时，即两次摸球均摸到白球，其概率为9
1
)2(161
216122=⨯==C C C C X P ；------------2
分 当2X =3
时，即两次摸球恰好摸到一白，一黑，其概率为
95
)3(1613161
4161416122=
+==C C C C C C C C X P ----3分
当2X =4时，即两次摸球均摸到黑球，其概率是3
1
)4(1613161
42=⨯==C C C C X P 。

X 0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
-----------------------------------11分
---------------4分
所以随机变量2X 的分布列如下表：
2X
2 3 4
P
9
1 95 3
1 -数
学
期
望
9
29
314953912)(2=
⨯+⨯+⨯=X E 。

-----------------------------------------6分
（2）设.4,3,2,1,0,)2(==+=k P k X P k n 则143210=++++P P P P P ,
4
321065432)(P P P P P X E n ++++=。

---------------------------------------7分
0013162)2(P P X P n ===+； 1010121
326364)3(P P P P X P n +=+==+； 2121132216463)4(P P P P X P n +=+=
=+；323216
5
316562)5(P P P P X P n +=+==+； 434316
1
6661)6(P P P P X P n +=+=
=+； )
6
6
61(6)6562(5)6463(4)6364(3622)(4332211001P P P P P P P P P X E n +⨯++⨯++⨯++⨯+⨯=+1)(6
5
)()65432(65636631626621616432104321043210+=+++++++++⨯=++++=
n X E P P P P P P P P P P P P P P P
由此可知，)6)((656)(1-=
-+n n X E X E 又3
10
6386)(1-
=-=-X E 所以1
653106)(-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-=n n X E ------- -12分
22.解：（1）依题意，得
曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==θ
θsin 3cos 2y x 2C ∴的普通方程为1942
2=+y x ----------2
2
C ∴的极坐标方程为
19
sin 4cos 19)sin (4)cos (2
22222=+=+θρθρθρθρ即 -------3
----
（2）设点M 极坐标为),(11θρ，）
，极坐标为（2
12π
θρ+
∴⊥N ON OM Θ 9
cos 4sin 9
)2(sin 4
)
2(cos 1
9sin 4cos 1
12
1212122
21
2
122
1θθπ
θπ
θρθθρ+=+
+
+
=
+
=
36
13
91419cos 4sin 9sin 4cos 1
111
12
12
1212
2
2212
2
=+=+++=
+
=
+
∴θθθθρρON
OM
-----------8
（3）由（1）得2C 的参数方程为⎩
⎨
⎧==θθ
sin 3cos 2y x
3C 的普通方程为02=-+y x -------9
22
2262
2131)sin(2
2
)sin(132
2
sin 3cos 2sin 3,cos 2max 3+=
+=
-=+-+=
-+=
∴d d C P P 时，当距离到直线点）点坐标为（设ϕθϕθθθθθ
-------------- 11
----------------------12
------------5。