河海大学, 概率统计, 课件, 概统教案

例 已知在10只电子管中有2只次品，在其中取 两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事 件的概率 （1）两只都是正品； （2）第二次取出的是次品。
全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
一般的，有如下定义
定义 事件组B1，B2，…，Bn (n可为)，称为样 本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：

n1
4. 差事件 A－B { x x A 且 x B } A发生但B不发生” “ 例 在E2中，事件{1，3}，B={0，3}，问若一次试验 中正面出现 1 次， AB，AB，A－B分别是否发生？ 正面出现 3 次， AB，AB，A－B又分别是否发生？
5. 互不相容或互斥 AB＝ A、B互不相容或互斥 Notes：基本事件是两两互不相容的事件 6. 对立事件或逆事件 AB＝ 且 AB＝ A与B互为逆事件或对立事件
i 1 i 1 n n
全概率公式 对 “划分” 本质的直观理解： 影响事件A发生的全部事件组。
例 某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售, 已 知其中有三箱已变酸，若你去购买第六箱（已售 出五箱),求： 你碰巧买到已变酸牛奶的概率。
定理 设B1,…, Bn是的一个划分，且P(Bi ) > 0， (i＝1，…，n)，则对任何事件A, P(A) > 0, 有
例 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知 所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是 否可以推断接待时间是有规定的？
实际推断原理：
概率很小的事件，在一次试验中可以认为是几 乎不发生的。当然在多次重复之后又几乎是必然 的。 留意区别概率很小的事件，与概率为零的事件。
条件概率 引例 某班有100人，其中男生60人，女生40人， 考试及格95人，其中男生58人，女生37人。 记A：任取一人考试及格；B：任取一人为男生 求：（1）任取一人考试及格的概率； （2）任取一男生考试及格的概率。 定义 设A、B是中的两个事件，且P(B)> 0，称
的事件 , 则 : f n ( A1 A 2 A m )
f n ( A1 ) f n ( A 2 ) f n ( A m )
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐趋向 一个定值。 例 为了确定某类种子的发芽率，从大批这类种子 中抽出若干批作发芽试验，其结果如下
P (B j | A) P (B j )P ( A | B j ) P ( A) P (B j )P ( A | B j )
n
,

i1
P (Bi )P ( A | Bi ) ( j 1 ,..., n )
贝叶斯公式或逆概率公式
例 某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售, 已 知其中有三箱已变酸，若你去购买第六箱（已 售出五箱),求： （1）你碰巧买到已变酸牛奶的概率； （2）若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶，求 已售出的五箱中恰好有两箱是已变酸牛奶的概 率。
P ( Ai B )
i 1

P ( Ai B )
i 1
P( A | B)
P ( AB ) P( B)
还有： P(A1A2 |B)＝P(A1 |B)＋P(A2 |B)－P(A1A2 |B) 等等 P(A B) 1 P(A B)
乘法公式
P( A | B) P ( AB ) P( B)
例 设有白球与黑球各 4 只，从中任取 4 只放 入甲盒，余下的 4 只放入乙盒，然后分别在两 盒中各任取 1 球，颜色正好相同，试问放入甲 盒的 4 只球中有几只白球的概率最大？并求出 此概率值。
事件的独立性 两个事件的独立性 定义 设A、B是两事件，若 P(A)＝P(A|B) 则称事件A与B相互独立。 上式等价于：P(AB)＝P(A)P(B) 定理 以下命题等价：
A的对立事件记为 A
A A
事件与集合对应关系类比 概率论 样本空间 事件 事件A发生 事件A不发生 事件A发生导致事件B发生
集合论 ＝{} 子集 A A AB
概率论 事件A与B至少有一个发生 事件A与B同时发生 事件A发生而B不发生 事件A与B互不相容
集合论 AB AB(或AB) A－B AB＝
本课堂相关基本要求
①课上注意听；
②课后认真尽快作 业。
第一章 随机事件与概率
§1.1 绪论 高等数学——训练逻辑思维； 线性代数——训练抽象思维。 概率统计——训练随机思维。
两个具体现象： I. 一枚六面均标有“ ”的正方体, 抛掷一 次。 II. 一枚骰子，抛掷一次。 现象Ⅰ本质: 开始的条件就能确定最后的结果。 —— 确定性现象 如 现象Ⅱ本质: 开始的条件不能确定最后的结果。 —— 不确定性现象 如
事件的运算 1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AB)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B AB, AB A B
可推广
P ( AB ) P ( A | B ) P ( B )
事件A、B的概率乘法公式 上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(C|AB) P(B|A) P(A) 一般的，有下列公式：
P(A1A2…An)＝ P(An|A1…An－1) ... P(A2|A1) P(A1)， 其中 P(A1A2…An) ＞0，n≥2
事实上 : f n ( A) P , n
P
相关问题：
概率的性质 (1) P()＝0； (2) 有限可加性： 1，A2，…An , 是n个两两互不 设A 相容的事件，即Ai Aj＝ ，(ij ), i , j＝1, 2, …, n , 则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+…+P(An ); (3) 单调不减性： 若事件B A，则P(B)≥P(A) , 且 P(B－A)＝P(B)－P(A)； 对 “概率” 的几何理解：
(4) 互补性： ( A ) 1 P ( A ), 且 P ( A ) 1 ; P
(5) 加法公式： 对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 上式可推广到任意n个事件A1, A2, …, An的情形； (6) 可分性： 对任意两事件A、B，有
P ( A ) P ( AB ) P ( A B )
事件之间的关系 1. 包含关系 A B “ A发生必导致B发生” A＝ B AB 且 BA 2. 和事件 AB { x x A or x B } “ A与B至少一个发生”
n

k 1
A k n 个事件 A1 , A 2 , , A n的和事件
A n 可列个事件
古典概型(等可能概率) 特征： 10 样本空间的元素只有有限个； 20 试验中每个基本事件发生的可能性相同； 满足上述两个特征的试验称为等可能概型（或 古典概型）。 有限性：样本空间＝{1, 2 , … , n }; 等可能性：P( i )＝1/n, (i＝1, 2, … , n). 古典概型中事件发生概率计算公式推导
P( A | B) P ( AB ) P( B)
为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
P( A | B)
P ( AB ) P( B)
Notes：10 条件概率的计算除了按上式计算之 外，也可在缩减的样本空间B里直接计算。 20 条件概率P(A|B)也是概率。它也具有 概率所具有的一切性质。 比如： i ) 0 P(A|B) 1； i i) P( |B) =1； iii)设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件， 则
n
(1 )
Bi
i 1
j
;

(2)Bi B

,
( i j ), i , j 1 , 2 ,..., n .
对 “划分” 的直观理解
定理 设B1，…, Bn是的一个划分，且P(Bi )>0， (i＝1，…，n)，则对任何事件A，有
P ( A)＝ P ( ABi ) P ( Bi ) P ( A | Bi )
设事件A中包含k个样本点(基本事件) P(A)＝
A中所含样本点数 ＝ ＝ 中样本点总数 n k ( ) k k ( A)
例 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中 任取 n 件，问这 n 件中恰有 k( k≤D)件次品的概 率是多少？ 放回抽样： 不放回抽样： 例 将 3 只球随机地放到 4 个杯子中去，试求 每个杯子中球的最大个数为 1 的概率。
综上随机试验有以下特点：
1.在相同条件下，可重复进行; 2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 具有上述三个特点的试验称为随机试验，记为E。 样本空间 随机试验E的所有可能试验结果组成的集 合称为样本空间，记为。
样本点： 组成样本空间的元素，即随机试验E 的每个可能Baidu Nhomakorabea果，记为。
种子粒数 25 130 310 700 1500 2000 3000 发芽粒数 24 116 282 639 1339 1806 2715 发芽率 0.96 0.89 0.91 0.89 0.893 0.903 0.905
相关问题： 发芽率计算公式？ 如何理解重复试验？
频率的特征——频率的稳定性。
定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每 一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满 足条件： (1)非负性： 对任一事件A，有P(A) ≥0； (2)规范性：P()＝1； (3) 可列可加性： 设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即Ai Aj＝，(ij ), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1)＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A发生的概率。 “集合函数”解释； 概率的实质：
概率论与数理统计
Probability & Statistics 袁永生 教授
概率统计课程特点
1.新概念相对比较多；
避免概念性错误。
2.实用性强；
注意结合生活经验及在各领域的广泛应用。
3.渗透性:
与其他学科结合可产生许多新的学科和研究方向。
例如：信息论、系统论、控制论、可靠性理论、平差 分析、生物统计、水文统计、 数量经济等等。
A1 , A 2 , , A n , 的和事件

n1
3. 积事件 AB＝AB { x x A 且 x B } “ A与B同时发生” n

k 1
A k n 个事件 A1 , A 2 , , A n的积事件
A n 可列个事件
A1 , A 2 , , A n , 的积事件
随机事件 试验E的样本空间的子集称为E的随机事 件，简称事件，记为A、B等。 即试验E的部分试验结果组成的集合为随机事件。 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个 样本点出现时，称这一事件发生。 基本事件： 由一个样本点构成的单点集。 必然事件： 在每次试验中总是发生的事件。 也记为。 不可能事件： 在每次试验中都不发生的事件。 也记为。
k
Ak
Ak
k
Ak
k

Ak
k
例 试把A∪B∪C 表示成三个两两互不相容事 件的和。
频率与概率 定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值 nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记 为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n. 频率的性质 (1) 非负性： fn(A) ≥0； (2) 规范性： fn()＝1； 若 (3) 有限可加性： A1 , A 2 , , A m 为两两互不相容
笛卡儿：
有一个颠扑不破的真理，那就是当我们 不能确定什么是真的时，我们就应去探索什 么是最可能的。
在个别试验中其结果呈现出不确定性， 在大量重复试验后，其结果又呈现某种规律 性的现象称为随机现象。
§1.2 随机试验与随机事件
E1：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的 次数； E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面 (H)、 反面 (T) 出现的情况； E3：记录测量两点距离是产生的误差； E4：早上7：30在校食堂某摊位前排队买早 点的人数。