考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算
高考数学 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 高考真题
专题六 平面向量6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a -b |= ( )A.2B.3C.4D.5答案D 由题意知a -b =(4,-3),所以|a -b |=√42+(−3)2=5,故选D .2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n答案B 由题意可知,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -n ,又BD =2DA ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m -n ),所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n -2(m -n )=3n -2m ,故选B .3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗ C.AD⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗ 答案 A AD⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ .故选A. 4.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗ 答案 A 设AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则EB ⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,FC ⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =(−12b +a )+(−12a +b )=12(a+b)=AD ⃗⃗⃗⃗ ,故选A.5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案12解析 由于a ,b 不平行,所以可以以a ,b 作为一组基底,于是λa +b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.6.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗ ,则x = ,y = .答案12;-16解析 由AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有AN⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )-23·AC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗ , 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16. 7.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案12解析 DE ⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ , ∵DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 考点二 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 根据题意得AB ⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a =(2,4)知2a =(4,8),所以2a -b =(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a =( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{k 2=3,2k 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{−k 1+5k 2=3,2k 1−2k 2=2,解之得{k 1=2,k 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a =(2,5),b =(λ,4),若a ∥b ,则λ= .答案85解题指导:利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1”解题.解析由已知a ∥b 得2×4=5λ,∴λ=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a =(2,6),b =(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 答案 -3解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b =(-1,λ),a ∥b , ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= . 答案 -6解析 因为a ∥b ,所以m 3=4−2,解得m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= . 答案12解析∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=1 2 .。
2012年高考试题分类考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算
考点19 平面向量的概念及其线性运算、 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.（2012·广东高考理科·Ｔ3）若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =( )（A ）（-2,-4） （B ）(2,4) （C ）(6,10) （D ）(-6,-10)【解题指南】本小题考查了平面向量的坐标运算，解题关键为BC BA AC BA CA =+=- .【解析】选A. (2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC BA CA =+=-=-=--.2.（2012·广东高考文科·Ｔ3）若向量(1,2)AB = ，(3,4)BC = ，则AC = ( )（A ）（4，6） （B ）（-4,-6） （C ）（-2，-2） （D ）（2，2）【解题指南】本题考查了平面向量的坐标运算，解题关键是AC AB BC =+ .【解析】选A.(1,2)(3,4)(4,6)AC AB BC =+=+=.3.（2012·浙江高考文科·Ｔ7）与（2012·浙江高考理科·Ｔ5）相同设a ，b 是两个非零向量.( )（A ）若|a +b |=|a |-|b |，则a ⊥b（B ）若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |（C ）若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λa（D ）若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b |【解析】选C. 对于Ａ：若|a +b |=|a |-|b |，则a 与b 共线，且a 与b 反向，故选项Ｂ也不对，因为选项D 中λ不一定为负，所以选项D 也不正确，故选项Ｃ正确．二、填空题4.（2012·湖北高考文科·Ｔ13）已知向量a =（1,0），b =（1,1），则（1）与2a +b 同向的单位向量的坐标表示为____________.（2）向量b -3a 与向量a 夹角的余弦值为____________.【解题指南】本题考查向量的坐标运算,解答本题的关键是明确同向的单位向量和向量夹角的余弦值的求法.【解析】（1）2(2,0)(1,1)(3,1)a b +=+=,2a b ∴+== 则与2a b + 同向的单位向量为22a b a b +=+ .（2）设所求夹角为θ. 向量3(2,1)b a -=-,(3)cos 53a b a a b aθ∙-∴===-- . 【答案】（1） （2） 5.（2012·山东高考文科·Ｔ16）与（2012·山东高考理科·Ｔ16）相同如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________.【解题指南】本题考查圆周运动的距离即为P 点转过的弧长，再利用单位圆中的三角函数可求得P 点坐标，即为OP 的坐标.【解析】设圆心运动到C 时，圆与x 轴的切点为D ，则弧PD 长为2，所以2=∠PCD ,点P 的横坐标为2sin 222cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--π，点P 的纵坐标为2cos 122sin 1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+π，所以点P 的坐标为()2cos 1,2sin 2--，即OP 的坐标为()2cos 1,2sin 2--.【答案】()2cos 1,2sin 2--。
高考数学一轮总复习-平面向量的概念、线性运算及坐标运算-知识点梳理
平面向量的概念、线性运算及坐标运算【考纲要求】1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示.2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量；平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理 平面向量的线性运算②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |表示，|AB ||BA |=.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图），向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC +=.（起点相同） 2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC =，即在ΔADC 中，AD DC AC +=. 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =-. 则AB CD AB DC -=+. 要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ⋅a a ；（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ=0时，0λ=a ；2．运算律设λ，μ为实数，则 （1）()()λμ=λμa a ； （2）()λ+μ=λ+μa a a ； （3）()λ+=λ+λa b a b3．向量共线的充要条件已知向量a 、b 是两个非零共线向量，即//a b ，则a 与b 的方向相同或相反. 向量(0)≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a . 要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=a ；当0=a 时，也有0λ=a ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i ，j 为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量a 表示成x y =+a i j 的形式，由于a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量a 的坐标表示. 2．平面向量的坐标运算已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则 （1）1212(x x ,y y )±=±±a b （2）11(x ,y )λ=λλa 3．平行向量的坐标表示已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则1221//x y x y 0⇔-=a b （0→≠b ） 要点诠释：①若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//a b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，1212x x y y 0-=等.②若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件是=λb a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 下列说法中正确的是① 非零向量a 与非零向量b 共线，向量b 与非零向量c 共线，则向量a 与向量c 共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
它们是代表平面上的量的有向线段，具有长度和方向，并可以用数和坐标表示。
平面向量的运算包括加法、减法、数乘、点积和叉积等。
接下来，我们将对平面向量的基本概念、运算和相关定理进行详细介绍。
第一部分：基本概念1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用有向线段来表示。
在平面上，向量由起点和终点确定。
2. 向量的表示：向量可以用字母或者有向线段的终点坐标表示，如向量AB可以表示为→AB，也可以表示为→a。
3. 零向量：零向量是起点和终点相同的向量，表示为→0。
4. 向量的相等：两个向量相等，当且仅当它们的大小和方向都相同。
5. 方向角：向量与平行于x轴正半轴的夹角的余角（0≤α≤2π）称为向量的方向角。
6. 基底向量：x轴的正方向单位向量i和y轴的正方向单位向量j称为平面直角坐标系的基底，分别用→i和→j表示。
7. 单位向量：大小为1的向量称为单位向量。
第二部分：运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即→a+→b=→b+→a和(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
2. 向量的减法：向量的减法可以通过向量的加法和负向量来表示，即→a-→b=→a+(-→b)。
3. 数乘：向量与实数的乘积称为数乘。
当数大于0时，数乘改变向量的方向和大小；当数小于0时，数乘改变向量的方向并使其大小反向；当数等于0时，结果为零向量。
4. 点积：向量的点积也叫数量积，用来计算两个向量的夹角余弦值，公式为→a·→b=|→a||→b|cosθ，其中|→a|和|→b|分别表示向量的大小，θ为两个向量的夹角。
5. 叉积：向量的叉积也叫向量积，用来计算两个向量所在平面的法向量，公式为→a×→b=|→a||→b|sinθ→n，其中|→a|和|→b|分别表示向量的大小，θ为两个向量的夹角，→n为所得到的法向量。
第三部分：相关定理1. 向量共线定理：两个非零向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容之一，它涉及到向量运算、平行四边形法则、数量积、向量共线、向量垂直等多个知识点。
本文将对这些知识点进行详细的归纳和总结。
1. 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，在数学上常用一个有向线段来表示。
用字母加上一个箭头来表示向量，例如：AB→表示从点A指向点B的向量。
向量的大小通常用线段的长度来表示，用两个点表示向量的起点和终点。
2. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数乘运算。
2.1 加法运算向量的加法运算满足平行四边形法则，即如果A、B、C是三个向量的顶点，则从A到C的向量等于从A到B的向量加上从B到C的向量。
表示为AC→ = AB→ + BC→。
2.2 数乘运算数乘运算指的是向量与一个实数的乘积。
当实数大于0时，数乘改变向量的大小；当实数小于0时，数乘改变向量的方向。
3. 平面向量的数量积数量积是平面向量比较重要的运算之一，它可以求出两个向量之间的夹角及其它相关性质。
3.1 定义设有两个向量a→和b→，它们的数量积定义为：a→·b→ =|a→|·|b→|·cosθ，其中|a→|和|b→|分别表示向量a→和b→的模长，θ表示向量a→和b→之间的夹角。
3.2 性质数量积具有以下性质：- 若a→·b→=0，则a→和b→垂直；- 若a→·b→>0，则a→和b→夹角为锐角；- 若a→·b→<0，则a→和b→夹角为钝角。
4. 平面向量的共线和垂直性4.1 共线性如果两个非零向量a→和b→平行或反向，则它们共线。
即存在一个实数k，使得a→=k·b→。
4.2 垂直性如果两个向量a→和b→的数量积a→·b→=0，则a→和b→垂直。
5. 平面向量的定位和坐标表示在坐标平面上，可以利用坐标表示向量。
5.1 向量的定位表示将向量终点的坐标减去向量起点的坐标，得到的差就是这个向量的定位表示。
2013年高考真题分类汇编：考点19平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算Word版解析
考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.（2013·辽宁高考文科·Ｔ3）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ3）相同 已知点(1,3),(4,1)A B -,则与向量AB 同方向的单位向量为（ ） 3443.(,).(,)55553443.(,).(,)5555A B C D ----【解题指南】利用向量的坐标运算和单位向量的定义求解.【解析】选A. 由点(1,3),(4,1)A B -得向量2(3,4),35AB AB =-==，则与向量AB 同方向的单位向量为(3,4)34(,).555AB AB-==- 2. （2013·广东高考文科·Ｔ10）设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：（ ） ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识，可逐一检验.【解析】选B.利用向量加法的三角形法则，易得①是真命题；利用平面向量的基本定理，易得②是真命题；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是假命题；由向量加法的三角形法则（不共线两边的和大于第三边），即=++>λμλμb c a ，而给定的λ和μ不一定满足此条件，所以④是假命题.3.（2013·湖北高考文科·Ｔ7）与（2013·湖北高考理科·Ｔ6）相同 已知点A （－1，1）、B （1,2）、C （－2,1）、D （3,4），则向量在方向上的投影为（ ） A.223 B. 2153 C. －223 D.－ 2153 【解题指南】考查了投影与数量积的关系。
平面向量的概念、线性运算、基本定理1
A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ), C ( x , y ) x1 x 2 1 1 y1 y2 1 x y
1 1 C为AB中点 OC OA OB 2 2
1.若 AB 8, AC 5, 求 BC 的取值范围 .
2
2
六、向量在三角形中的应用
1.O是平面上一定点， 、B、C是平面上不共线的三个 A 点， AB AC 动点P满足OP OA AB AC 一定通过 ABC的 _________ . 心 若改为： OA AB AC 呢 ？ OP , 0, , 则P的轨迹
几何方法
运算律
加 法
减 法
b
a b
a b
设 a ( x1 , y1 ),
b a
b ( x 2 , y2 )则 a b
a b b a
a 平行四边形法则
三角形法则
( x1 x 2 , y1 y2 )
(a b ) c a (b c )
3.已知：任意四边形 ABCD中, E , F分别为AD, BC的 1 中点, 求证： ( AB DC ). EF 2
共线定理
向量a(a 0)与b共线，当且仅当有唯一 一个实数 ，使得b a 即a(a 0) // b 存在唯一 R，使得b a
定理的应用： 证明 向量共线 证明 三点共线: AB CD AB // CD 证明 两直线平行:
平面向量基本概念、线性运算及坐标表示
向量的概念及坐标表示知识点一向量的概念知识点二向量的线性运算知识点三 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得________________． 知识点四 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，________一对实数λ1、λ2，使a ＝________________.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________． 知识点五 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，a －b ＝________________， λa ＝________________，|a |＝________________. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________，|AB→|＝________________. 知识点六 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔________________.例1已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(y,1)，若a ∥b ，则实数x ，y 一定满足( )A ．xy －1＝0B ．xy ＋1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋y ＝0例2 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA→＋BC →＋AB →等于( )A.CD→ B.OC →C.DA → D.CO → 例3 设向量a ＝(x －1,1)，b ＝(3，x ＋1)，则a 与b 一定不是( ) A ．平行向量 B ．垂直向量C ．相等向量D ．相反向量例4 给出下列命题：①不相等的向量一定不共线；②非零向量AB→与BA →是平行向量；③零向量应是没有大小的向量；④若向量a 是非零向量，且满足a ∥b ，a ∥c ，则b ∥c .其中命题正确的有________．(把序号填在横线上)例5 如图，在△ABC 中，已知D 是AB 上一点．若AD→＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则实数λ＝________.例6 设e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1＋10e 2，BC →＝－2e 1＋8e 2，CD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．例7 已知平面内三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(3)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝1，求向量d .一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．长度相等的向量叫做相等向量 B ．共线向量是在同一条直线上的向量 C ．零向量的长度等于0D.AB→∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 2．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 中点，AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( ) A ．－12a －b B ．－12a ＋b C.12a －bD.12a ＋b3．点P 的坐标为(1,2)，AB→＝(1,2)，则( )A ．点P 与点A 重合B ．点P 与点B 重合C ．点P 就表示AB→ D.OP →＝AB →4．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知点A (2，－12)，B (12，32)，则与向量AB→同方向的单位向量是( )A ．(35，－45)B ．(－35，45)C ．(45，－35)D ．(－45，35)6．若向量a ＝(3,4)，且存在实数x ，y ，使得a ＝x e 1＋y e 2，则e 1，e 2可以是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2) B ．e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6) C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1) D ．e 1＝(－12，1)，e 2＝(1，－2)7．已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，(a －b )∥c ，则锐角x 等于( ) A ．45° B ．30° C ．15° D ．60°8.如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF→等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 二、填空题9．已知e 1＝(2,1)，e 2＝(1,3)，a ＝(－1,2)，若a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则实数对(λ1，λ2)为________．10．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|b －a －c |＝________.11．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10,8)，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝______. 12.如图，在△ABC 中，AN→＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．13.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= 14.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( )15.平行四边形ABCD 中，M,N 分别是DC,BC 的中点.已知,AM c AN d ==，试用c ，d 表示AB ，AD .16.设,是两个不共线的非零向量.（1）若AB = a -b ，3BC = a + 2b ，CD = -8a -2b，求证：A, C,D 三点共线；（2）若a -k b 和k a -2b共线，求实数k 的值。
15平面向量的概念、线性运算、坐标运算及平面向量基本定理
平面向量的概念、线性运算、坐标运算及平面向量基本定理【高考会这样考】1．考查平面向量的线性运算．2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．3．考查平面向量基本定理的应用．4．考查坐标表示下向量共线条件．【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则-≤+≤+a b a b a b3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 5．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．注意几个问题：1. 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底2. 这个定理也叫共面向量定理3. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数6．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 7．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线． 8. 定比分点：P 1=λ2PP 设P （x ，y ）则有λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y ，即P （λλ++121x x ，λλ++121y y ）实际上21111OP OP OP λλλ+++=注意这里1111=+++λλλ即，若有21,,P P P 共线且21OP n OP m OP +=， 必有1=+n m ,且若P P 1=λ2PP ，则λm n =（OP 上的其他点也类似） 9. 中点公式：若P 是21P P 中点时，λ=1 时P 为中点，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x重心坐标公式：)3,3(321321y y y x x x ++++10.为与同向的单位向量双基自测5. 在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，QA →＋QB →＋QC →＝BC →， RA →＋RB →＋RC →＝CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为_____考向一 平面向量的概念【例1】►1. 下列命题中正确的是______(1)．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线(2)．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 (3)．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 (4)．有相同起点的两个非零向量不平行解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同． 2. 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )， A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是____ A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【训练1】 1. 给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________．2. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )， 令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是____ (1)．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 (2)．a ⊙b ＝b ⊙a(3)．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b ) (4)．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2考向二 平面向量的线性运算及坐标运算【例2】►1. 如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则_____ （1）.AD →＋BE →＋CF →＝0 （2）.BD →－CF →＋DF →＝0 （3）.AD →＋CE →－CF →＝0 （4）.BD →－BE →－FC →＝02. 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 坐标和MN →.3. 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点， 则|P A →＋3PB →|的最小值为________．4. 在四边形ABCD 中，31,1(=+==，求四边形ABCD 的面积。
平面向量的概念、线性运算及基本定理(试题部分)
专题七平面向量【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、平面向量的概念、线性运算及根本定理1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算.1.从近几年高考命题来看,对本章的考查以根底题为主,主要考三局部内容:平面向量的线性运算及几何意义;平面向量的数量积的定义及运用数量积求长度、角度问题;平面向量的数量积的坐标表示.2.一般以选择题、填空题的形式直接进行考查,难度不大.解答题中有时与三角函数、解析几何等内容综合考查,以一个条件的形式出现.1.注意根底知识的识记,理解高考在这一章仍以求模、求夹角、应用平行或垂直关系解题为主,根底与能力并重,求解析几何与平面向量交汇问题的关键在于选择适宜的基底或坐标系,把未知向量用向量表示.2.向量主要考查数形结合思想与转化与化归思想的应用.平面向量的线性运算与数量积相结合的题目仍是考查的重点,对数量积的几何意义的理解不可无视.二、平面向量的数量积及向量的综合应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.了解平面向量根本定理及其意义.【真题探秘】§7.1 平面向量的概念、线性运算及根本定理根底篇固本夯基【根底集训】考点一 平面向量的概念及线性运算1.设D 为△ABC 中BC 边上的中点,且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,那么( )A.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,那么EB⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 D考点二 平面向量根本定理及坐标运算4.向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k+1,k-3),假设A,B,C 三点不能构成三角形,那么实数k 满足的条件是( ) A.k=-16 B.k=16 C.k=-11 D.k=1 答案 D5.点A(1,3),B(4,-1),那么与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.(35,-45) B.(45,-35)C.(-35,45)D.(-45,35) 答案 A6.向量a=(13,tanα),b=(cos α,1),且a ∥b,那么cos 2α=( )A.13B.-13C.79D.-79答案 C7.向量a=(1,1),点A(3,0),点B 在直线y=2x 上,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,那么点B 的坐标为 . 答案 (-3,-6)8.向量a,b,c 在正方形网格中的位置如下列图.假设c =λa +μb (λ,μ∈R),那么λμ= .答案 4综合篇知能转换【综合集训】考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略1.(2021辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC 中,G 为重心,记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么CG⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13a-23b B.13a+23bC.23a-13bD.23a+13b答案 A2.(2021安徽安庆调研,6)如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E 、F 两点,且交其对角线AC 于K,其中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ的值为( )A.29B.27C.25D.23答案 A3.(2021福建泉州四校第二次联考,11)如图,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设m=38,那么n=( )A.34 B.23 C.45 D.58答案 A考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略4.(2021东北三省三校二模,3)平面向量a=(1,1),b=(1,-1),那么向量12a-32b=( )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2) 答案 D5.(2021甘肃、青海、宁夏联考,3)在平行四边形ABCD 中,A(1,2),B(-2,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3),那么点D 的坐标为( ) A.(6,1) B.(-6,-1) C.(0,-3) D.(0,3) 答案 A6.(2021北京西城月考,5)向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2m,m+1),假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数m 的值为( ) A.-17B.-3C.-35D.35答案 B【五年高考】考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2021课标Ⅰ,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A2.(2021陕西,7,5分)对任意向量a,b,以下关系式中不恒成立····的是( )A.|a ·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a 2-b 2答案 B3.(2021北京,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .假设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么x= ,y= . 答案12;-16考点二 平面向量根本定理及坐标运算4.(2021课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ+μ的最大值为( )A.3B.2√2C.√5D.2 答案 A5.(2021课标Ⅲ,13,5分)向量a=(1,2),b=(2,-2),c =(1,λ).假设c ∥(2a+b),那么λ= . 答案126.(2021课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,那么实数λ= . 答案127.(2021江苏,6,5分)向量a=(2,1),b=(1,-2),假设ma+nb=(9,-8)(m,n ∈R),那么m-n 的值为 . 答案 -38.(2021上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 3教师专用题组1.(2021四川,7)设a,b 都是非零向量,以下四个条件中,使a |a|=b|b|成立的充分条件是( )A.a=-bB.a ∥bC.a=2bD.a ∥b 且|a|=|b| 答案 C2.(2021湖南,8,5分)点A,B,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC.假设点P 的坐标为(2,0),那么|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B3.(2021安徽,8)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点Q 的坐标是( )A.(-7√2,-√2)B.(-7√2,√2)C.(-4√6,-2)D.(-4√6,2)答案 A4.(2021浙江,7)设a,b 是两个非零向量,以下说法正确的选项是( ) A.假设|a+b|=|a|-|b|,那么a ⊥b B.假设a ⊥b,那么|a+b|=|a|-|b|C.假设|a+b|=|a|-|b|,那么存在实数λ,使得b =λaD.假设存在实数λ,使得b =λa,那么|a+b|=|a|-|b| 答案 C5.(2021四川理,12,5分)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 26.(2021浙江,17,6分)正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 答案 0;2√57.(2021江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.假设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),那么m+n= .答案 3【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2021辽宁东北育才学校三模)在△ABC 中,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么CP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.-34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C2.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,6)如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,那么EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 B3.(2021届九师联盟9月质量检测,5)向量a=(1,3),b=(2,-12),假设c ∥(a-2b),那么单位向量c=( )A.(-35,-45)或(35,45)B.(-35,45)或(35,-45)C.(-√22,-√22)或(√22,√22) D.(-√22,√22)或(√22,-√22)答案 B4.(2021河南平顶山一模,5)在平行四边形ABCD 中,E 是对角线AC 上一点,且AE=4EC,那么DE⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2021河北衡水金卷(六),10)点P 为四边形ABCD 所在平面内一点,且满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +4DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),那么λμ=( ) A.76B.-76C.-13D.13答案 D6.(2021届湖南衡阳八中模拟检测,6)在△OAB 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD,BC 的交点为M,过M 作动直线l 分别交线段AC,BD 于E,F 两点,假设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0),那么λ+μ的最小值为( )A.2+√37 B.3+√37C.3+2√37D.4+2√37答案 D7.(2021河南郑州一模,9)如图,在△ABC 中,N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点,点P 在线段BN 上且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +211)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211BC ⃗⃗⃗⃗⃗,那么实数m 的值为( )A.1B.13C.911D.511答案 D8.(2021安徽黄山一模,12)如图,在△ABC 中,∠BAC=π3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为CD 上一点,且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设△ABC 的面积为2√3,那么|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( )A.√2B.√3C.3D.43答案 B9.(2021宁夏银川一中一模,5)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上一点,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数t 的值为( )A.23 B.25 C.16 D.34答案 C二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)以下说法中正确的选项是( ) A.假设a ∥b,b ∥c,那么a ∥cB.假设2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,那么S △AOC ∶S △ABC =1∶6C.两个非零向量a,b,假设|a-b|=|a|+|b|,那么a 与b 共线且反向D.假设a ∥b,那么存在唯一实数λ使得a =λb 答案 BC11.(2021山东济南高一下学期期末学习质量评估)设点M 是△ABC 所在平面内一点,那么以下说法正确的选项是( ) A.假设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是边BC 的中点 B.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 在边BC 的延长线上 C.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是△ABC 的重心D.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y=12,那么△MBC 的面积是△ABC 面积的12答案 ACD三、填空题(每题5分,共20分)12.(2021辽宁辽阳一模)设向量a=(-2,3),b=(3,1),c=(-7,m),假设(a+3b)∥c,那么实数m= . 答案 -613.(2021广东七校第二次联考,16)G 为△ABC 的重心,过点G 的直线与边AB,AC 分别相交于点P,Q,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么△ABC 与△APQ 面积的比值为 . 答案20914.(2021黑龙江大庆二模,16)W 为△ABC 的外心,AB=4,AC=2,∠BAC=120°,设AW ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么2λ1+λ2= . 答案 315.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,15)设O 为△ABC 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么S △AOB ∶S △BOC ∶S △COA = . 答案 2∶3∶1。
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。
它通常用有序数对表示，即(x,y)。
其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。
平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。
1.向量的加法：向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。
加法满足以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A2.向量的数乘：向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。
数乘满足以下性质：- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A-1的作用：1*A=A-0的作用：0*A=0除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。
3.向量的减法：向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。
减法满足以下性质：-A-A=04.向量的数量积：向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。
用符号表示为A·B。
数量积的性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
除了上述基本概念和运算外，还有一些与平面向量相关的重要知识点，如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。
平面向量的基本概念与运算知识点总结
平面向量的基本概念与运算知识点总结平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。
本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和掌握相关知识。
1. 平面向量的定义平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。
向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。
平面向量有两个基本属性：方向和大小。
方向由向量的方向夹角确定，大小由向量的长度表示。
2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。
在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。
位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。
3. 平面向量的相等与相反两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
两个向量的相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。
4. 平面向量的加减运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。
向量的减法可以通过向量加上其相反向量得到。
5. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。
6. 平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b)- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c7. 平面向量的夹角与垂直条件两个向量夹角的余弦值可以通过数量积的公式计算。
若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直。
8. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，表示为a×b，是两个向量长度之积与它们夹角的正弦值的乘积，另外加上垂直于这两个向量所在平面的单位向量n。
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算平面向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决几何问题和物理问题中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的定义、表示、基本运算以及一些常见的性质和应用。
一、平面向量的定义和表示平面向量是有大小和方向的量。
在平面直角坐标系中，以有向线段表示平面向量。
设点A和点B为平面上的两个点，线段AB的起点为A，终点为B，则线段AB代表的向量记作AB。
平面向量表示为：AB = (x,y)，其中x和y分别代表向量在x轴和y 轴上的投影长度。
例如，向量AB = (3,2)表示该向量在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为2。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的和记作AB + CD = (x1+x2, y1+y2)。
例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的和为AB + CD = (3+(-1), 2+4) = (2, 6)。
2. 平面向量的数乘设有一个向量AB = (x, y)和一个实数k，则k乘以向量AB记作kAB = (kx, ky)。
例如，向量AB = (3, 2)的2倍为2AB = (2*3, 2*2) = (6, 4)。
3. 平面向量的减法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的差记作AB - CD = AB + (-CD)，其中-CD = (-x2, -y2)。
例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的差为AB - CD = AB + (-CD) = (3,2) + (-1,-4) = (2,-2)。
三、平面向量的性质和应用1. 平面向量的共线性与共面性如果两个向量的夹角为0°或180°，则它们共线；如果三个向量在同一个平面内，则它们共面。
2. 平面向量的数量积设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，它们的数量积记作AB·CD = x1x2 + y1y2。
2024年新高考版数学专题1_6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
零向量和共线向量不能作基底.
2.平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
3.向量的坐标表示
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB
=(x2-x1,y2-y1).
1 2
( BD
- BA )= BA +
1 4
BC
-
1 2
BA =
1 2
BA +
1 4
BC
,∴D
错误.故选AC.
答案 AC
考法二 向量共线问题的求解方法
1.两非零向量共线是指存在实数λ,使两向量可以相互表示,在应用时注意
待定系数法和方程思想的应用.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线和三点共
λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1、e2}叫做表示这个平 面内所有向量的一个基底.
答案 6
高考 数学
专题六 平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
基础篇
考点一 平面向量的概念及线性运算 1.向量的线性运算
考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算
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考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T7同2019·全国卷Ⅰ文科·T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【命题意图】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归的思想,以及数学运算等数学素养.【解题指南】先由(a-b)⊥b得出向量a,b的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为π3,故选B.【题后反思】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的模,再利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,最后求出夹角,注意向量夹角范围为[0,π].2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T3)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·= ()A.-3B.-2C.2D.3【命题意图】考查向量的坐标运算,向量的模,以及向量的数量积运算.【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ()A.√2B.2C.5√2D.50【命题意图】考查向量的坐标运算以及向量的模,属于容易题.【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|=√12+12=√2.。
平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算
及向量坐标运算、选择题1.（优质试题•四川高考文科-T2）设向量a=（2,4）与向量b=（x,6）共线，则实数 x=()C.(-1,4)D.(1,4)【解析】选 A .因为2?=(3-0,2-1)=(3,1), 所以蛊匚=[-粘=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).、填空题4.（优质试题•浙江高考理科-T15）已知是空间单位向量,A.2B.3C.4D.6【解析】选B.由向量平行的坐标运算可知,2 X 6=4x,则x=3.2.（优质试题•新课标全国卷I 理科-T7）设D 为^ ABC 所在平面内一点，酬=3[0A. AD =—^AB + ^ACB. 3 3—■ 4 —■- 1 — C. AD= —AB+ —AC D. 3 3-- 1 -- 4 —- AD = —AB - —AC 3 3 —- 4 —1 —- AD = —AB - —AC3 3【解析】选A .由题知AD=AC+CD=AC +丄+-（7C —7B ）=—丄需+上；C「3 3 33.（优质试题-新课标全国卷I 文科-T2）已知点A （0,1）,B （3,2）,向量粗=（-4,-3）,A.(-7,-4)B.(7,4)【解题指南】先求出48,再利用肮二征-]B 求解.平面向量的概念及其线性运算、 平面向量的基本定理e 1 82=!,若空间向量b 满足b 2 =2； ,且对于任意x,y2 2b-(xe,' + ye j d b -^e + %◎) =1(怡，％忘 R)【解题指南】利用已知条件中平面向量的模长、数量积对不等式两 边同时平方化简求值 b —g ［当且仅当x =X o ,y = y o 时取到最小值X o =1 « y 。
=2答案：1 , 2 , 2迈5.（优质试题•浙江高考文科-T13）已知e且e 售=1 .若平面向量b 满足【解题指南】 由题意求向量e , e2的坐标，从而求向量b 的坐标从而求其模.【解析】由题可知，不妨e^=（1,O ）呼儿设b =xy ），则be1=x= 1 ,R, X o =,y 0= ，|b|=【解析】问题等价于两边平方即|b | b +x 2 +y 2-4x 一5y +xy2 +X 2+ y 2 -4x —5y +xy 在 x = x o ,y = y o 时取到最小值=x 2+ (y -4 )x + y2 —5y + b |，所以xo+「O,b o -2 = O,『=1解得—7 +e , 62是平面单位向量，♦—b e = b -62 =be2Ex+乎厂1，所以b=（1,f），所以ig全国名校高考数学优质学案专题汇编(附经典解析)答案：迹36.(优质试题•北京高考理科- T13)在AABC 中，点 M, N满足 AIM=2MC,BN =NC ，若 MN = X7B+y7C ，贝廿 x= ___________ , ____ y= ____________ 。
平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表(无答案)汇总
平面向量专题（1） 2016年9月30日∙ 中海部【知识清单1】 一、向量的相关概念1.向量：既有大小有方向的量叫做向量(矢量）. 只有大小没有方向的量称为数量.2.分类：自由向量（仅由大小和方向确定，与起点位置无关） 、滑动向量（允许起点在向量所在的直线上滑动） 、固定向量（大小与方向确定，且起点位置固定），高中阶段主要研究自由向量.3.几何表示: 向量可以用有向线段表示.区别：有向线段包括起点、方向、长度三个要素，向量包括方向、长度两个要素. 4.长度：向量的大小，也就是向量的长度(或称模).向量也可用字母c b a 、、（印刷用黑体a ，手写用）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示. 例如，.5.零向量：长度为0的向量.记做0.6.单位向量: 长度为1的向量.7.平行向量: 方向相同或相反的向量. 记作a//b .规定: 零向量与任一向量平行.8.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记做a =b . 注意: 向量相等与有向线段的起点无关.9.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量，记做-=规定：零向量的相反向量是零向量.10. 共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量. 二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算) 1.向量加法的三角形法则已知非零向量a 、b ， 在平面内任取一点A ， 作a =，b =，则向量叫做a 和b 的和，记做a +b ，即BC AB +=+b a. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种方法称为向量加法的三角形法则.特点：首尾向连！ 2.向量加法的平行四边形法则以同一个点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线是a 与b 的和， 即=+=+b a. 此法叫做向量加法的平行四边形法则.特点：共起点！ 3. 重要结论（1）对任意向量a 、b ，有≤|a +b ||a |+|b |； （2）当a 、b 同向时，|a +b |=|a |+|b |；（3）当a 、b 反向是，|a +b |=|a |-|b |（或|b |-|a |） 4.向量加法交换律：a +b =b+a ；5.向量加法结合律：(a +b)+c =a +(b +c)规定：对零向量与任一向量a ，00a +=+a =a6.向量减法的几何意义：a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 特点：箭指被减！bcab()a b +-b-a7.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （1） ||||||λλ=a a ；（2） 当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；（3） 当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相同；（4） 当=时，=λ（5） 当0=λ时，=λ8.向量共线定理：如果有一个实数λ，使)0(≠=a a b λ，那么b 与a 是共线向量，反之，如果b 与a 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使)0(≠=a a b λ 9.数乘的运算律： (1) ()()λμλμ=a a ； (2) ()λμλμ+=+aa a ；(3) ()λλλ+=+a b a b .10. 线段定比分点定理（1）定理的证明：如图)1(≠=∆λλCB AC ，AB ，COAB 的一点为直线中， 求证：OB OA OC λλλ+++=111 .111λλλλλλλ++=∴-≠+=+-=-∴=-=-=OBOA OC OBOA OC ）（OC OB （OA OC Q Q 又即又（2）两种方法证明A ，B ，C 三点共线： ①t s +=+++=λλλ111（1=+t s ） ②⇒=λC B A 、、三点共线.（3）实数λ的取值对C 点位置的影响： ①当>λ0时，点C 在AB 之间；②当<λ0时，点C 在AB 之左或之右； ③当λ=1时，点C 在AB 的中点； ④当λ=0时，点C 与A 点重合； ⑤当R ∉λ时，点C 与B 点重合.【共同开发】——1.线性计算：（1）a 4)3(⨯- (2) ---+)(2)(3 (3) )23()32(+---+解析：ACBO2．在ABC ∆中，，c AB =，b AC = 若D 点满足2= ，则=( )A ．3132+ B.3532+- C.3132- D.3231+ 解析一：解析二：3.已知向量b a 、，且0)(4)2(2)(3=+---++b a x a x a x ， 求x 的值. 解析：4.在中，AE =51AB ，BC EF //，EF 交AC 于F ， 设a AB =，b AC =， 则BF 用表示的形式是BF =________.解析：5.在ABC ∆中，P N M 、、分别是CA BC AB 、、边上的靠近C B A 、、的三等分点，O 是ABC ∆平面上的任意一点，若++=131e -221e ， 则ON OM ++=________. 解析：6. 已知任意两个非零向量、，试作b a OA +=， 2+=，3+=. 你能判断C B A 、、三点之间的位置关系吗？ 为什么？ 解析：7. 已知任意两个不共线向量a 、b ， k 21+=, 2+=，4+=，若C B A 、、或D B A 、、三点共线，求k 的值.8.设两非零向量21e e 不共线，且21e e k +与21e k e +共线，则k 的值为（ ）A .1B .-1C ±1D .0解析：ABCDcb ABCEab F AB9.如图，已知AB AD 3=、BC DE 3=，试判断AC 与是否共线？解析：10.已知ABC ∆的重心为G ，O 为坐标原点， a OA =，b OB =，c OC =， 求证:OG =)(31c b a ++解析：【知识清单2】三、平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理: 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一个实数1λ、2λ，使得：1122λλ=+ae e ，把不共线的向量1e 、2e 叫做这一平面内所有向量的基底.2.向量的夹角: 已知两个非零向量和a b ，作a =，b =，则(0180)AOB θθ∠=≤≤ 叫做向量a 与b 的夹角.当a 与b 的夹角是90，称a 与b 垂直，记作⊥a b ；当0θ=时，与a b 同向； 当180θ=时，与a b 反向.3.正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.4.向量的坐标表示: 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得：x y =+a i j .这样，平面内的任一向量a 都可以由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)x y =a . 其中x ，y分别叫做a 在x 轴上，在y 轴上的坐标. 在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示.5.平面向量的坐标运算: (1) 若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y ±=±±a b ；(2) 若(,),x y R λ=∈a,则(,)x y λλλ=a ；(3) 若11(,)A x y ,22(,)B x y ，则)(1212y y x x --=，.（终点坐标减去起点坐标）C EABD6.平面向量共线的坐标表示： 设11(,)x y =a,22(,)x y =b ()≠0b ，则向量()≠0、a b b 共线的充要条件为12210x y x y -=.7.设111(,)P x y ,222(,)P x y .(1) 若P 是12PP 的中点时，则)22(2121y y x x p ++，； (2) 若21PP P λ=，则)22(2121y y x x P λλ++，. 四、平面向量的数量积： 1、向量的数量积概念及其运算：（1）定义:如果两个非零向量b a 、的夹角为θθ叫做向量与向量的数量积，记做⋅即：=⋅θ．（2）投影：b 在aθ，它可以为正，可以为负，也可以为0.（3）坐标计算公式：若向量)(11y x a，=，)(b 22y x ，=，则2121y y x x b a +=⋅（横乘横，纵乘纵）3222221212121yx y x y y x x b +⋅++==θ42121y x +==5、平面向量的平行与垂直问题： （1）若)(11y x ，=，)(22y x ，=，b //a ，则12210x y x y -=（2）若)(11y x ，=，)(22y x ，=，⊥，则02121=+=⋅y y x x6.重要结论：(1)G 为ABC ∆的重心(中线的交点) ），33(0321321y y y x x x G ++++⇔=++⇔；(2)G 为ABC ∆的外心（角平分线的交点）⇔==.题型1——向量数量积定义的应用 典例1 （1）已知1=，2= 向量a 的夹角为3π，求)22-+）（（ （2）已知)43()12(-=-=，、，b a求：② )3b a b a -⋅+（）（ ；②若91=⋅-=⋅， ，求的坐标解析：题型2——向量的夹角问题典例2 （1）已知向量、都是非零向量，且向量3+与向量 57-垂直，向量4-与向量27-垂直，求向量与的夹角.（2）若向量=)(x x 2,，=)(2,3x -，且，的夹角为钝角，求x 的取值范围.解析：【自力更生】1．下列向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）)21(00(.21-==，），e e A )75(21(.21，），=-=e e B )106(53(.21，），==e e C )4321(32(.21-=-=，），e e D解析：2．已知向量 ，且2+=， 65+-= ， 27-= ，则一定共线的三点是（ ）A ． DB A 、、 B ．C B A 、、 C ．D C B 、、 D ．D C A 、、解析：3．如果1e 、2e 是平面α内两个不共线的单位向量，那么在下列各说法中错误的有（ ） ①)(21R e e ∈+μλμλ，可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使21e e a μλ+=的μλ，有无数多对；③若向量2111e e μλ+与2212e e μλ+共线， 则有且只有一个实数k ，使)(21112212e e k e e μλμλ+=+；④若实数μλ，使21=+e e μλ，则0==μλ.A ．①②B ．②③C ．③④D ．仅② 解析：4．若向量)42()11(11--=-==，，，），，（，则=（ ）A ． 3+-B ．-3C ．3-D ． +-3解析：*5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点），，（），，3113(-B A 若点)(y x C ，满足，OB OA OC βα+=其中R ∈βα、， 且1=+βα，则y x ，所满足的关系式为（ ）A ．01123=-+y xB ．5)2()1(22=-+-y x C ．02=-y x D ． 052=++y x解析：6. 作用于原点的两力），（），，（321121==F F ，为使得它们平衡，需加力=3F .解析： 7. 若，，，，，，)3()4()32(y C x B A 且2=，则x = ，y = . 解析：8. 已知），（），，4132(B A 且12AB =)cos sin (βα，，），，22(ππβα-∈，则=+βα . 解析：9．已知），（，，23)21(-==b a ，若b a k +与b a 3-平行，则实数k 的值为 . 解析：10. 若0<⋅，则a 与b 的夹角的取值范围是 .解析：〖桃李归纳〗—— 20020πθθπ=⇒>⋅<<⇒>⋅b a b a ；.11. 18036||10||-=⋅==b a b a ，，，a 与b 的夹角是 .解析：12. 已知，，，，)53()2(-==b m a若a 与b 的夹角为钝角，实数m 的取值范围为 . 解析： 13.已知⊥-==)(2||1||，，，则a 与b 的夹角是解析：14. 已知向量与向量)125(-=，26=，求=解析： 15．如果向量=，，mj i BC j i +=-2其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量， 试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线. 解析：16．已知C B A 、、三点坐标分别为），），（，），（，211301(--，BC BF AC AE 3131==， ， 求证：AB EF //. 证明：*17．已知），（）、，（、，10745)32(C B A ，若()AP AB AC R λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？解析：18. 已知，，，，)1()12(-=-=m m 若a 与b 的夹角为锐角，求实数m 的取值范围. 解析： 19. ABC ∆中，），（，，，，84)57()14(-C B A ，判断ABC ∆的形状. 解析：20、在ABC ∆中，)2()11(k ，，，==，若ABC ∆为直角三角形，求实数k 的值.解析：21、已知，，，，)1313()31(-+==b a 求与b 的夹角是多少？ 解析：22、 已知，，，，)313()353(-=-=求b a 2+与b a -的夹角是多少？ 解析：23、若与的夹角为θ，且)33(，=a ，)11(2，-=-，求θ. 解析：24 .（2013年上海卷）在边长为1的正六边形ABCDEF 中, 记以A 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为54321a a a a a ， 以D 为起点， 其余顶点为终点的向量分别为54321d d d d d .若M m ，分别为)()(t s r i d a k j ++⋅++的最小值、 最大值， 其中{}{}{}{}，，，，，，，，，，，，，，5432154321⊆⊆t s r k j i 则M m ，满足（ ）A ．00>=M m ，B ．00><M m ，C ．00=<M m ，D ．00<<M m ，解析：25．（2013年辽宁）及已知点），，（），，1431(-B A 则与向量AB 同方向的单位向量为（）A . 3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，解析： .1F)126．（2013年浙江数学）设P ABC ，∆是边AB上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB上任一点P,恒有CP B P PC PB 00∙≥∙， 则（ ）A ．090=∠ABCB ．090=∠BACC ．AC AB = D ．AC =解析：27.（2013年福建数学（理）在四边形ABCD 中，)21(，=, )24(，-= 则四边形的面积为（）A ．B ．C ．5D ．10解析：28．（2013年安徽数学）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点B A ，，2=⋅== 则点集{}R OB ∈≤++=μλμλμλ，，，1所表示的区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．解析：29.（2013年重庆数学）在平面上，21AB AB ⊥，1==，21AB AB AP +=21<，则的取值范围是（）A .⎛ ⎝B ．C ．D ．解析：30．（2013年湖南卷）已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦解析：)31.（2013年大纲版数学） 已知向量，，，，)22()11(+=+=λλn m 若)()(n m n m -⊥+， 则=λ （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1解析：32.（2013年高考湖北卷） 已知点()1,1A -，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量在CD 方向上的投影为（）ABC．D． 解析：33．（2013年高考北京）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若)(R ∈+=μλμλ，，则λμ=_________.解析：34.（2013年新课标Ⅱ卷数学）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则BD AE ⋅_______.解析：35．（2013年上海试卷）已知向量)1(k ，=，)6-9(k ，=，若//，则实数k = ________解析：36．（2013年山东学）已知向量与的夹角为1203=2=，若+=λ，且BC AP ⊥，则实数λ的值为__________. 解析37．（2013年高考新课标1）已知两个单位向量的夹角为60，t t )1(-+= ,若0=⋅，则=t _____.解析： .P BCAPBaAbc38. （2013年浙江数学） 设21e e ，为单位向量，非零向量，，，R y x e y e x b ∈+=21 若21e e ，的夹角为6π，则的最大值等于________.解析：39．（2013年江苏卷）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=(21λλ，为实数)，则21λλ+的值为__________.解析：40．（2013年高考四川卷） 在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ==，则λ=_________.解析：41．（2013年高考江西卷）设1e ，2e 为单位向量，且1e ，2e 的夹角为3π，若123ae e =+，12b e =，则向量在方向上的射影为 ___________ 解析：42.（2013年天津数学）在平行四边形ABCD 中， 1=AD ， 60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点. 若1=⋅，则AB 的长为______. 解析：AC。
初中数学平面向量相关知识点
初中数学平面向量相关知识点平面向量是代数和几何的结合,是数学中的一种重要概念。
初中数学中，学生首先接触到的是平面向量的定义、加法、数乘、减法等基本性质，然后逐步学习平面向量的线性运算、数量积、向量方向角等相关知识。
下面将对初中数学中的平面向量相关知识点进行详细介绍。
一、平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
设平面上两点A和B，以这两点为端点的有向线段AB称为平面向量，记作。
其中，点A称为向量的起点，点B称为向量的终点，通常用粗体字母表示向量。
向量的起点和终点相同时，称为零向量，记作。
二、平面向量的加法：设有向线段和，经过相同的平行移动后，得到点C，那么向量等于向量与的和，记作。
根据三角形法则，两个向量和的和等于构成的三角形的第三边。
三、平面向量的数乘：数与向量相乘，所得的向量长度为原向量长度的绝对值乘以数，方向与原向量相同（若数为负则方向相反），记作。
四、平面向量的减法：向量的减法可看作加上向量的相反数，即。
五、平面向量的线性运算：对于平面向量，有以下线性运算性质：1.交换律：；2.结合律：；3.分配律：。
六、平面向量的数量积（内积）：设两个向量和，向量的数量积定义为其长度乘积与夹角余弦值的乘积，即。
其中，表示向量的长度，表示两个向量的夹角。
根据数量积的定义1.向量与自身的数量积等于向量的长度的平方，即；2.若夹角为直角，则数量积为0，即；3. cosine公式：若夹角为锐角，则；4. cosθ为负，表示夹角大于180度，即，向量是反向的；5. cosθ为零，表示夹角为90度，即向量垂直；6.向量共线的充分必要条件是其数量积为零。
七、平面向量的方向角：设有向线段的终点为点P，向量与坐标轴正方向的夹角分别为α、β，则向量的方向角为。
八、平面向量的共线与共面：1.共线性：若存在实数k，使得，则向量共线；2.共面性：任意三个向量共面，当且仅当这三个向量张成的平行四边形不为平面向量。
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考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量
的基本定理及向量坐标运算（经典）
一、选择题
1.（2013·辽宁高考文科·Ｔ3）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ3）相同 已知点(1,3),(4,1)A B -,则与向量AB 同方向的单位向量为（ ）
3443.
(,).
(,)5555
3443.
(,).
(,)55
55
A B C D ----
【解题指南】利用向量的坐标运算和单位向量的定义求解.
【解析】选A. 由点(1,3),(4,1)A B -得向量2(3,4),35AB AB =-==，则与向量
AB 同方向的单位向量为
(3,4)34
(,).555
AB AB
-=
=- 2. （2013·广东高考文科·Ｔ10）设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：（ ）
①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；
③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识，可逐一检验.
【解析】选B.利用向量加法的三角形法则，易得①是真命题；利用平面向量的基本定理，易得②是真命题；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是假命题；由向量加法的三角形法则（不共线两边的和大于第三边），即=++>λμλμb c a ，而给定的λ和μ不一定满足此条件，所以④是假命题.
3.（2013·湖北高考文科·Ｔ7）与（2013·湖北高考理科·Ｔ6）相同 已知点A （－1，1）、B （1,2）、C （－2,1）、D （3,4），则向量在方向上的投影为（ ） A.
223 B. 2153 C. －223 D.－ 2
15
3 【解题指南】考查了投影与数量积的关系。
【解析】选A.()2,1,AB =()5,5,CD =252552;CD =+= 则向量AB 在向量方向
上的投影为cos ,AB AB CD <>=
2
AB CD CD
⋅====.
4.（2013·陕西高考文科·Ｔ2）已知向量a (1,m),b (m,2)==r r
, 若//, 则实数m
等于 ( ) A ．
B. C. D. 0
【解题指南】根据条件建立关于m 的方程，求解即得.
【解析】选C. .221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅==m m m m m 所以且因为 二、填空题
5.（2013·四川高考文科·Ｔ12）【备注：（2013·四川高考理科·Ｔ12）与之相比少图，其他相同】
如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则
λ=____________。
O
C
A
B
D
【解题指南】根据向量的平行四边形法则求解.
【解析】在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=，而2AC AO =，所以2λ= 【答案】2
6. （2013·天津高考理科·Ｔ12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1,
60BAD ︒∠=, E
为CD 的中点. 若·
1=AC BE , 则AB 的长为 . 【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由,AD AB 表示AC ,BE ，再
·1=AC BE 求
AB 的长.
【解析】
因为=+AB AD AC ,112
2
=++=-++=-BE BA AD DE AB AD AB AD AB ,
所以2
21
11
·()()2
22
=+⋅-=+
⋅-AC BE AB AD AD AB AD
AD AB AB 211
11cos601,22
=+⨯⨯︒-=AB AB
所以21
10,4
2-
=AB AB 解得1
.2
=AB 【答案】1
2
7. (2013·江苏高考数学科·T10)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,
AB AD 21=，BC BE 3
2
=,若12=+uu u r uu u r uu u r DE AB AC λλ (λ
1,λ2
为实数),则λ1+λ
2
的值
为 .
【解题指南】利用向量加法的三角形法则,将uuu r DE 转化为uu u r
AB 与错误！未找到引用
源。
和的形式.
【解析】由121212()232363
=+=+=+-=-+uuu r uu u r uur uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu
u r uuu r DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC
,则λ1+λ
2
的值为错误！未找到引用源。
. 【答案】错误！未找到引用源。
8.(2013·江苏高考数学科·T13) 在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x
y 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为
【解题指南】设点利用两点间的距离公式,换元,讨论求最值. 【解析】设1(,)(0)P m m m
>由两点间的距离公式得
||PA ===
令1
2t m m
=+
≥得2222||222()2PA t at a t a a =-+-=-+-.若a ≥2,则当t=a 时
, min ||PA a ==
解得a =
或a = (舍去);若a<2,则当t=2时,
2222min ||(2)224281PA a a a a a =-+-=-+=⇒=-,解得a=-1或a=3(舍去).
【答案】
-1, 9.(2013·北京高考理科·T13)向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示,若
c a b λμ=+ (λ,μ∈R),则错误！未找到引用源。
=
.
【解题指南】建立直角坐标系,写出三个向量的坐标,利用解方程组的方法解出λ,
μ.
【解析】以向量,a b 的交点为原点,正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系,则a = (-1,1),b =(6,2),c =(-1,-3),根据c a b λμ=+得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),
即
错误！未找到引用源。
解得λ=-2,μ=1
2
-,所以
4λ
μ
=. 【答案】4
10.（2013·北京高考文科·Ｔ14）已知点A （1，-1），B （3，0），C （2，1）.若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P 组成，则D 的面积为__________.
【解题指南】代入向量的坐标，得到关于,λμ的方程组，在直角坐标系下作出对应的区域，再求出面积。
【解析】设(,)P x y ，则(1,1)(2,1)(1,2)x y λμ-+=+，1212x y λμ
λμ-=+⎧⎨
+=+⎩
所以，解得
2113312133x y x y λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，2111233
,12011
33x y x y ⎧≤--≤⎪⎪⎨
⎪≤-++≤⎪⎩
所以即32360233x y x y ≤--≤⎧⎨≤-++≤⎩。
在平面直角坐标系中作出区域D ，可求得面积为3. 【答案】3
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