高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.21.2.1 充分条件与必

1.2.1 充分条件与必要条件
A级基础巩固
一、选择题
1．a＜0，b＜0的一个必要条件为( )
A．a＋b＜0 B．a－b＞0
C.a
b
＞1 D.
a
b
＜－1
解析：a＜0，b＜0⇒a＋b＜0，故选A.
答案：A
2．“ab≠0”是直线“ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
解析：ab≠0⇒ax＋by＋c＝0与两轴相交；反之亦成立．
答案：C
3．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a＜0 B．a＞0
C．a＜－1 D．a＜1
答案：C
4．设x、y∈R，则“x≥2，且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：因为x≥2，且y≥2⇒x2＋y2≥4，x2＋y2≥4x≥2，
且y≥2，如x＝－2，y＝1，故“x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分不必要条件．”
答案：A
5．设x、y是两个实数，命题：“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
答案：B
二、填空题
6．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．
解析：由已知，得{x |－2＜x ＜－1}{x |(x ＋a )(x ＋1)＜0}，
所以－a ＜－2⇒a ＞2.
答案：a ＞2
7．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件：
①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；
②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β；
③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α；
④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.
其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．
答案：②④
8．“x ＝1”是“方程x 3－3x ＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)． 答案：充分
三、解答题
9．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件．那么：
(1)s 是q 的什么条件？
(2)r 是q 的什么条件？
(3)p 是q 的什么条件？
解：(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件．
(2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件．
(3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．
10．设p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12＞0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，
q ：x 2＋y 2≤r 2(r ＞0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求
实数r 的取值范围．
解：设p ，q 对应的集合分别为A 、B ，则点集A 表示的平面区域如图阴影部分所示，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，也即是圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合．问题可转化为利用A R B 求解．因为A R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ，所以结合图象可知，只需直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于或等于r .因为原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离d ＝|－12|
32＋42＝125，所以实数r 的取值范围为0＜r ≤125
.
B 级 能力提升
1．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( )
A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件
B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件
C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件
D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件
答案：B
2．“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案：a ＝1(或a ＝－1)
3．已知a 、b 为不等于0的实数，判断“a b ＞1”是“a ＞b ”的什么条件，并证明你的结论．
解：由条件“a b ＞1”可得
a －
b b ＞0， 若b ＞0，则a ＞b ；
若b ＜0，则a ＜b ，所以“a
b ＞1” “a ＞b ”，
“a b ＞1”不是“a ＞b ”的充分条件．
反过来，a ＞b ⇔a －b ＞0，也不能推出a b ＞1⇔
a －
b b ＞0，“a b ＞1”也不是“a ＞b ”的必要条件．
所以“a b
＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件，也不是“a ＞b ”的必要条件．。