2013-2014学年江苏省江阴市高二上学期期中考试数学试卷(带解析)

一、填空题（题型注释）
1、直线的倾斜角是 .
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2、过点(0，1)，且与直线2x＋y－3＝0平行的直线方程是_ .
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3、已知直线,互相垂直，则实数的值
是 .
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4、已知空间点,且,则点A到的平面yoz的距是 .
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5、圆:+=1,圆与圆关于直线对称,则圆的标准方程为 .
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6、已知a、b是不同的直线，、、是不同的平面，给出下列命题：
①若∥，a，则a∥；②若a、b与所成角相等，则a∥b；
③若⊥、⊥，则∥；④若a⊥, a⊥，则∥
其中正确的命题的序号是 .
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7、直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是 .
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8、如图，在三棱锥中，底面，，
，则与底面所成角的正切值为 .
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9、已知满足，则的取值范围是 .
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10、空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的表面积是 .
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11、设圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则圆半径r的取值范围 .
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12、圆和圆相内切，若
，且，则的最小值为 .
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13、如图，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-②），则图2-①中的水面高度为 .
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14、直线与圆相交于A、B两点，若，则实数t的范围 .
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二、解答题（题型注释）
15、已知直线经过点，求分别满足下列条件的直线方程：
（1）倾斜角的正弦为；
（2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.
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16、已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时，求（1）的值；（2）求过点并与圆相切的切线方程.
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17、如图，在四面体中，，，点，分别是，的中点．
(1)EF∥平面ACD；
(2)求证：平面⊥平面；
(3)若平面⊥平面，且，求三棱锥的体积．
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18、（文）已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线
相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，来源：2013-2014学年江苏省江阴市高二上学期期中考试数学试卷（带解析）
19、（理）已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线
，切点为，且满足．
(1)求实数间满足的等量关系；
(2)求线段长的最小值；
(3)若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的⊙方程．
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20、如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．
（1）求证：平面；
（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？
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21、如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。

点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。

试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：
（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

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参考答案1、
2、
3、，或
4、6或2
5、+=1
6、①④
7、
8、
9、
10、
11、
12、9
13、
14、
15、（1）或；（2）
16、（1）；（2）或
17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
18、（1）；（2）；（3）
19、（1）；（2）；（3）
20、（1）详见解析；（2）
21、（1）；（2）详见解析
【解析】
1、试题分析：由已知得，所以，.
考点：直线斜率的概念.
2、试题分析：设平行直线的方程为，将点代入得，故所求直线方程为
.
考点：两条直线位置关系.
3、试题分析：由两条直线垂直得，得，或.
考点：两条直线位置关系.
4、试题分析：由得，，∴或，所以点A到的平面yoz的距离是6或2.
考点：空间两点之间的距离公式.
5、试题分析：设（-1,1）关于直线的对称点为，则
，解得（2，-2），所以圆的标准方程为+=1. 考点：1、求点关于直线的对称点；2、圆的标准方程.
6、试题分析：若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，①正确；两条直线和同一个平面所成的角相等，位置关系不确定，②错误；垂直于同一个平面的两个平面可平行可相交，③错误；
垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确.
考点：1、空间直线和平面的位置关系；2、平面和平面的位置关系；3、直线和直线的位置关系.
7、试题分析：配方得，则，由已知直线和圆相交或相切，且直线过定点（0,1），只需点（0,1）在圆内或圆上，则，综上所述的取值
范围是.
考点：直线和圆的位置关系.
8、试题分析：因为底面，则就是直线与底面所成的角，在
中，=1，，所以.
考点：直线和平面所成的角.
9、试题分析：由已知得，则点在以（0,0）为圆心，2为半径的右半圆内，表示点和点（3,2）连线的斜率，设切线方程为，即，则，解得或，故的取值范围是.
考点：1、二次不等式表示的平面区域；2、直线的斜率.
10、试题分析：由PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，故以PA、PB、PC为棱构造正方体，该球相当于正方体的外接球，体对角线长为球的直径，
∴.
考点：球的表面积.
11、试题分析：平面内到直线的距离等于1的点在与已知直线平行，且距离等于1的两条平行线上，故只需圆与两条平行线有两个公共点即可，由图知，当时满足题意.
考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.
12、试题分析：圆：，圆心（-2a,0）,半径为2；圆：
，圆心（0，b）,半径为1，因为两圆相内切，则有，
∴=（）.
考点：1、圆和圆的位置关系；2、基本不等式.
13、试题分析：在图②中，水形成的小“圆锥”和大圆锥形容器高的比为，底面半径比为
，故其底面积的比为，所以体积比为，则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为，设水面高度为，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为
，体积比为，解的.
考点：圆锥的体积.
14、试题分析：方法一：将直线代入圆的方程得，因
为交与A、B两点，则，即，设，故
，=，则
>,两边平方且，代入解得
，∴，故的取值范围是.
方法二：∵直线tx+y+3=0与圆x2+y2=4交于相异两点A、B，∴O点到直线tx+y+3=0的距离d＜2，又因为，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，的夹角为锐角，圆心到直线的距离d大于，故，即，解之得的取值范围是
.
考点：1、直线和圆的位置关系；2、向量的模.
15、试题分析：（1）因为直线过定点，故只需求其斜率即可，由已知
，根据同角三角函数基本关系式，求，再用直线点斜式方程；（2）直线与与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积与直线在坐标轴的截距有关，所以可设直线
的截距式方程，由面积为4，可得关于的方程，又直线过定点，代入得关于，联立可求.
试题解析：（1）设直线的倾斜角为，，由得，
，
当时，由点斜式方程得：即；
当时，由点斜式方程得：即，
综上：直线方程为或；
（2）设直线在轴上的截距为，可设直线方程为，由题意
得得，，即：.
考点：1、直线的点斜式方程；2、直线的截距式方程.
16、试题分析：（1）涉及直线被圆所截得弦长的计算问题时，一般是利用垂径定理，在以圆心、弦的端点、弦的中点为顶点的直角三角中，利用勾股定理列式求值，该题中先计算圆心到直线的距离，可列式为，进而求；（2）先利用点
斜式方程设直线为，因为直线和圆相切，利用求参数，因为点在圆外，所以切线可引两条，则会想到另一条直线必是斜率不存在情况，再补.
试题解析：（1）依题意可得圆心，则圆心到直线的距
离，由勾股定理可知，代入化简得，解得，又，所以；
（2）由（1）知圆，又在圆外，①当切线方程的斜率
存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，
切线方程为……9分，②当过斜率不存在，易知直线与圆相
切，综合①②可知切线方程为或.
考点：1、弦长问题；2、直线和圆的位置关系.
17、试题分析：（1）由直线和平面平行的判定定理，只需在平面内找一条直线与平面外直线平行，由是的中位线，知∥；（2）由平面和平面垂直的判定定理，只需在一个平面内找另一个平面的垂线即可，由且是的中点，可得
，又且∥，知，且= ，所以面，又面，从而平面⊥平面；（3）由已知面⊥平面，则在一个平面内垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面，由面
平面=，且，所以面，∴，只需求的面积即可.
试题解析：（1）∵EF是△BAD的中位线，所以EF∥AD（2分），又EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD
∴EF∥平面ACD；
（2）∵EF∥AD，AD⊥BD，∴BD⊥EF，又∵BD⊥CF∴BD⊥面CEF，又BD⊂面BDC，∴面EFC⊥面BCD；
（3）因为面ABD⊥面BCD，且AD⊥BD，所以AD⊥面BCD，由BD=BC=1和CB=CD
得△BCD是正三角形，所以
.
考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、面面垂直的判定和性质定理；3、几何体的体积.
18、试题分析：（1）由圆心在轴，可设圆心为，又直线与圆相切，∴圆心到直线的距离，列式求，则圆的标准方程可求；（2）因为直线
与圆相交于两点，则，解不等式可求实数的取值范围；（3）首先根据垂直关系得，又直线过点，根据直线的点斜式方程写出的方程为，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必过圆心，将
圆心代入，可求的值，再检验直线是否圆相交于两点.
试题解析：(1）设圆心为（m∈Z）,由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为
5，∴即|4m-29|=25,即4m-29=25或4m-29=-25，解得,或，因为m为整数，故m=1，故所求的圆的方程是；
（2) 此时，圆心C(1, 0)与该直线的距离，
，即：；
（3）设符合条件的实数a存在，∵a≠0，则直线的斜率为，的方程为
，即，由于直线垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在，所以1+0+2-4a=0，解得，
经检验，直线ax-y+5=0与圆有两个交点，故存在实数，使得过点P（-2，4）的直线垂直平分弦AB.
考点：1、圆的标准方程；2、直线和圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.
19、试题分析：（1）连接OP,OQ，
则，在中，，且，结合两点之间距离
公式可得关于的等式；（2）在中，，是含有的二元函数，结合（1）可得关于的一元函数，求其最小值即可；（3）方法一：因为⊙与
⊙有公共点，则得圆心距和其半径的关系即
，要求半径的最小值，只需最小，将用两点之间距离公式表示出来，求其最小值并求取的最小值时，得⊙的圆心，进而求出圆的标准方程；方法二：由（1）知⊙的圆心的轨迹方程为：，过点作垂直于的
垂线，垂足为，当两圆外切且以为圆心时，半径最小，此时，两条直线求交点确定圆心，从而求出圆的标准方程.
试题解析：（1）连为切点，，由勾股定理有，又由已知，故.即：，化简得实数a、b 间满足的等量关系为：；（2）由，得，
=
，故当时，即线段PQ长的最小值为；
（3）方法一：设圆P的半径为，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，
即且，而
，故当时，此时, ，，得半径取最小值时圆P的方程为
．
方法二：圆与圆有公共点，圆半径最小时为与圆外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的
交点， ,又：x－2y = 0,解方程组，得.即,∴所求圆方程为.
考点：1、两点之间距离公式；2、两圆的位置关系；3、函数的最值.
20、
试题分析：（1）要证明平面，只需在平面内找一条直线与平行，如果不
容易直接找到，可以将平移到平面内，平移直线的方法一般有①中位线平移；②平行四边形对边平行平移；③成比例线段平移，该题连接交于，连接，可证
，从而∥，进而可证平面；（2）该题主要是如何分析得到的位置，然后再证明，由已知可得平面平面，进而可证平面，故AD CM，只需有，则CM平面，从而平面平面，那么如何保证呢？在矩形中，只需，则
，则，所以，倒过来，再证明平面平面即可.
试题解析：（1）连接交于，连接，因为CE，AD为△ABC中线，所以O为
△ABC的重心，，从而OF//C1E，OF面ADF，平面，所以平面；
（2）当BM=1时，平面平面．
在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面
B1BCC1平面ABC，由于AB=AC，是中点，所以，又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD平面B1BCC1，而CM平面B1BCC1，于是AD CM，因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所CM DF，
DF与AD相交，所以CM平面，CM平面CAM，所以平面平面，∴当BM=1时，平面平面．
考点：1、直线和平面平行的判定；2、面面垂直的判定；3、面面垂直的性质.
21、试题分析：（1）由已知得，又，则根据斜率的关系，且过点（2，0），可求，分别求直线与的交点的坐标，进而可求以为直径的圆的方程；（2）
设，由直线和的方程，分别求与的交点，得
，利用勾股定理求以为直径的圆截轴的弦长为，长度为定值，故圆过定点.（1、该题还可以根据两直线的垂直关系设直线方程，
斜率分别为和，方法如上；2、对于探索型和开放型题目，大胆的猜想和必要的论证是解决问题非常好的方法）.
试题解析：建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为，直线L的方程为.
（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，∴，
,将x=4代入，得,∴MN的中点坐标为（4，0），MN=,∴以MN为直径的圆的方程为,同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是；
（2）设点P的坐标为，∴（），∴，
∵，将x=4代入，得，，∴，MN=，MN的中点坐标为，
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。

∴⊙必过⊙O内定点.
考点：1、直线和圆的方程；2、直线被圆所截的弦长计算方法；3、直线和圆的位置关系.。