2020年高考考前大冲刺卷 理科数学(二)
2020冲刺高考理科数学精选高分压轴试卷第二卷答案解析(10页)
2020冲刺高考理科数学精选高分压轴试卷第二卷数学试题1.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，外接球的表面积为40π，四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为M ，N ，则直线MN 与1CD 所成的角的余弦值是（ ） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】D【解析】设该四棱柱的外接球的半径为R ，高为h ，由2440S R ππ==，得=R ，由==R h =所以112,6,3=====CD CC C D DE EC .因为四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为M ，N ，所以M ，N 分别为BD 和1BC 的中点，所以1//MN DC ，所以DEC ∠为直线MN 与1CD 所成的角或其补角，又9947cos 2339+-∠==⨯⨯DEC ，所以直线MN 与1CD 所成的角的余弦值为79，故选：D.2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=,260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为（ ）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182y x -=D ．22184x y -=【答案】C【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260F MF ∠=︒，2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒，21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅， 22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=，12F MF ∴△的面积为2121||||sin 602MF MF ⋅⋅︒=2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182y x -=.故选：C3.在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A．5 B ．C D ．【答案】C【解析】∵向量AB u u u v在AC u u u v 上的投影的数量为2-，∴||cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．② 由①②得tan 1A =-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴2||3sin4 ABπ== u u u r在ABC∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB ACπ=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC=故选C．4.函数()sin()8cos22xf x xπ=--的最小值为_______．【答案】7-【解析】由()sin()8cos22xf x xπ=--所以2()cos8cos2cos18cos222x x xf x x=-=--即2()2cos8cos122x xf x=--，由1cos12x-≤≤令cos2xt=，[]1,1t∈-则2281y t t=--，对称轴为2t=所以2281y t t=--在[]1,1-递减当1t=，即cos12x=时，有min()7f x=-故答案为：7-5.函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且()f x 为奇函数.当0x >时，(2)2()1f x f x =-，且(2)3f =，则满足()5272xf -<-<的x 的取值范围是___________. 【答案】()2log 3,3【解析】根据题意，因为当0x >时，(2)2()1f x f x =-，且(2)3f =()()22113f f ∴=-=， 所以()12f =．又()()42215f f =-=， 所以()()445f f -=-=-，5(27)2x f -<-<Q()()()4271x f f f ∴-<-<．因为()f x 在[0，)+∞上单调递增，且()f x 为奇函数， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．所以()()()4271xf f f ∴-<-<，4271x ∴-<-<，328x ∴<<，2log 33x ∴<<即()2log 3,3x ∈，故答案为：()2log 3,3．6.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =， 所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥. 又PD CE ⊥，CD CE C =I ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥. 又CD PD D =I ，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，所以()2,1,3PE =-u u u r ，()2,1,0EC =-u u u r ，()2,0,0DA =u u u r. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =r， 则0PE n EC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n =r .cos ,||||n DA n DA n DA ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r ，故DA 与平面PCE7.已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值； （2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围；②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<. 【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--， 所以21'(2)233f m =-=-，即12m =. 则3()ln (21)2f x x x =--+，2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >， 令'()0f x =可得32x =， 当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x . ∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值. （2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >，∴210x ->，∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-， 令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，)'(0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减， 故()g x 的最大值为11()2e g e+=，∴1m e>， 即实数m 的取值范围是1(,)e+∞.②由①可知，25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立. 令21()k x k *=-∈N ，则2ln 5kk <，2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（）L L ， 即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）L ， ∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<. 8.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y kx m =+与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足DA DB DA DB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意2422a c =⎧⎨=⎩，即21a c =⎧⎨=⎩，∴b ==∴椭圆E 的方程是22143x y +=.（2）由（1）可知()2,0D -，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，()()()22222(8)4344121612390mk k m k m ∆=-+-=-+>，即22340k m +->，∴122834mk x x k -+=+，()21224334m x x k-=+， 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++22231234m k k -=+，∵DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴DA DB ⊥u u u r u u u r，即0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，即()()()11221212122,2,240x y x y x x x x y y +⋅+=++++=，∴2222224128312240343434m mk m k k k k---+⨯++=+++，∴2271640m mk k -+=， 解得12m k =，227m k =，且均满足即22340k m +->， 当12m k =时，l 的方程为()22y kx k k x =+=+，直线恒过()2,0-，与已知矛盾；当22 7m k=，l的方程为2277y kx k k x⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，直线恒过2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
2020年高考数学(理科)冲刺卷 全国卷(二)
绝密★启用前2020年高考数学(理科)冲刺卷全国卷（二）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上1.已知复数i(,)z a b a b =+∈R ，且满足i 1z z -=+，则a b +=() A.-2B.-1C.1D.22.已知全集1,0,1,,3{}2U =-，集合{}0,1,2A =，1,{1}0,B -=，，则()U C A B ⋂=() A.{}1-B.{}0,1C.{}1,2,3-D.1,0,{}1,3-3.已知:12:,p x x 是方程2560x x +-=的两根，12:5q x x +=-，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()()2ln 28f x x x =--的单调递增区间是() A ．(),2-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()4,+∞5.已知,a b ∈R ，不等式组1111a b -⎧⎨-⎩剟剟，表示的平面区域为M ，不等式组2222a b a b -⎧⎨--⎩„…，表示的平面区域为N .现向平面区域M 内随机抛撒一粒豆子，则该豆子落在平面区域N 的概率是() A.78B.67 C.89D.456.执行下面框图，则输出结果S 为（）A ．19-B ．29-C ．41-D ．55-7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16 D.158.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=()A ．50-B ．0C ．2D ．509.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过焦点F 向两条渐近线作垂线，垂足分别为,M N ，若四边形OMFN 3O 为坐标原点，则该双曲线的焦距为() A.23 C.3D.410.已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(0a >，且1a ≠)在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D.123,334⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭11.ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若232cos cos 22A B C -+=，且ABC △的面积为214c ，则C =()A.π6B.π3C.π6，5π6 D.π3，2π312.已知函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A.()-∞⋃+∞B.⎡⎣C.()-∞⋃+∞D.(13.已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r，其中R x ∈，那么b =r ________. 14.若22nx ⎫+⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.15.已知圆2222:()()(R,0)C x a y a r a r -+-=∈>与直线14y =-相切，则圆C 所过的定点为__________.16.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若π5π21212f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为________.17.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=. (1)求n a ;(2)设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，点E 为棱PC 的中点.(1)求证:BE DC ⊥;(2)若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求平面FAB 与平面ABP 夹角的余弦值.19.为庆祝新中国成立七十周年，某地在每周末的晚上8点到10点半会举行灯光展.灯光展共涉及10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为(0)1P P <<，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位:min)，得到下面的频数表： 亮灯时长/min [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长. (1)试估计的p 值.(2)设X 表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.。
2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷ⅱ数学(理)试题(解析版)
2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷ⅱ数学（理）试题一、单选题1．复数()2121i z i +=+的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】先将复数()2121i z i +=+进行化简，然后求出共轭复数，再判断对应点所在象限. 【详解】 ()()()()21212422121125i i i i z i i i +-+===++-， 4255z i ∴=-. 故选：D ．【点睛】本题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标，属于基础题. 2．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2|680,A x x x x Z =-+≤∈，则U A =（ ） A ．{}2,3,4B ．{}1,5,6C ．{}4,5,6D ．{}1,2,3【答案】B 【解析】解一元二次不等式并用列举法表示出集合A ，即可求得U A .【详解】 {}{}{}2|680,|24,2,3,4A x x x x Z x x x Z =-+≤∈=≤≤∈=，则{}U 1,5,6A =.故选：B【点睛】本题考查集合的补集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题. 3．某校高二学生在一次学业水平合格考试的数学模拟测试中的成绩服从正态分布()274,7N ，若该校高二学生有1000人参加这次测试，则估计其中成绩少于60分的人数约为（ ）参考数据：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=．A ．23B ．28C ．68D ．95【答案】A【解析】根据题意，结合参考数据，根据正态分布的概率求解，即可容易求得结果.【详解】由()220.9544P Z μσμσ-<<+=，得 ()()7414600.9544P X P X -<<74+14=<<88=，所以()()()1601600.02282P X P X P X ⎡⎤<=≥88=-<<88=⎣⎦， 从而成绩少于60分的人数约为10000.022822.823⨯=≈（人），故选：A ．【点睛】本题考查正态分布中3σ原则的使用，属基础题.4．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，则向量2a b +与b 的夹角是（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】由向量的坐标运算求得向量2a b +，再运用向量的数量积的坐标运算求得()20a b b +⋅=，可得选项.【详解】因为()21,3a b +=，()()213310a b b +⋅=⨯+⨯-=，所以向量2a b +与b 的夹角是90︒.故选：D ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示 ，属于基础题.5．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若m β⊥，αβ⊥，则//m αC ．若//αβ．m γα=，n γβ=，则//m n D ．若m αβ=，n ⊂α，m n ⊥，则n β⊥【答案】C【解析】根据面面平行、线面平行、线线平行以及线面垂直的判定，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断.【详解】因//m α，//m β，α与β可以相交，故A 错；因m 可能在α内，故B 错；因α与β不垂直时，n 与β不垂直，故D 错；根据面面平行的性质，即可由面面平行得到线线平行，故C 正确；故选：C ．【点睛】被难题考查面面平行、线面平行、线线平行以及线面垂直的判定，属综合基础题.6．函数()224,02,4,20x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨---≤≤⎪⎩的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性，再根据02x <≤时，()0f x ≥，可得答案.【详解】设20x -≤<，则02x <-≤，从而()()24f x x x f x -=--=；设02x <≤，则20x -≤-<，从而()(()2244f x x x x x f x -=---=-=； 又()()00f f -=．综上，对于22x -≤≤，都有()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则可排除A 和B ； 又当02x <≤时，()0f x ≥，则可排除D ．故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.7．已知抛物线C :()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 和B 是C 上的两个动点，且AF AB ⊥，30ABF ∠=︒，设线段AB 的中点M 在l 上的射影为点N ，则MNAB=（ ） A ．12 BC ．1 D【答案】B【解析】根据题意，设=AF a ，得到2FB a =，AB =，设A ，B 在l 上的射影分别为点1A ，1B ， 根据抛物线定义，以及梯形的性质，即可得出结果.【详解】如图，在直角三角形ABF 中，因为AF AB ⊥，30ABF ∠=︒， 设=AF a ，则2FB a =，AB =；设A ，B 在l 上的射影分别为点1A ，1B ， 则11232A BB AF BF MN A a a a +=+=+==，32MN a =，所以3aM AB N ==故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，属于常考题型.8．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，并且()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】由题意，3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，可得61,k k Z ω=+∈.由0>ω，可得k ∈N .对k 进行赋值，结合函数()f x 的单调性，即得答案.【详解】 由题意，3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，2362k ωππππ∴+=+，即61,k k Z ω=+∈． 0ω>，k ∴∈N ．当0k =时，1ω=，()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符合题意； 当1k =时，7ω=，()sin 76f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭符合题意. ω∴的最小值为7. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题.9．已知双曲线C :()222210,0x y b a b α-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 的右支上的一点，1PF 与y 轴交于M 点，且2PM PF =，290MPF ∠=︒．设C 的离心率为e ，则2e =（ ）A ．322+B ．()212+C ．22+D ．222+ 【答案】C 【解析】利用双曲线定义，结合已知条件，列出方程，求得22c a，则问题得解. 【详解】根据题意，作图如下：设2PM PF n ==，则122MF MF n ==；在直角12PF F △中，2221221F F PF PF =+， 解得2222c +=， 又()12122a PF PF =-=， 所以22222c e a== 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，注意数形结合，属基础题. 10．某公司圆满完成年初制定的生产目标，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定召开年终总结联欢晚会，在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏，规定：每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，则每位员工所获得的奖励额的数学期望是（ ）A ．80元B ．100元C ．120元D ．140元【答案】B【解析】设每位员工所获得的奖励额为X ，则X 的所有可能取值为80，120，根据古典概率公式求得随机变量每一个取值的概率，再由期望公式可得选项.【详解】设每位员工所获得的奖励额为X ，则X 的所有可能取值为80，120，则()23241802C P X C ===，()11312411202C C P X C ===， 所以员工所获得的奖励额的数学期望为()118012010022E X =⨯+⨯=（元）． 故选：B .【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90PBC ∠=︒，2PA =，若三棱锥P ABC -的体积为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．24πC ．36πD ．40π 【答案】D【解析】取PC 的中点O ，由题目分析可知球心位于O 点，根据题目中的几何条件解出底面边长BA ，AC ，然后求解球体的半径，得出外接球表面积.【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥；又BC PB ⊥，PA PB P =，所以BC ⊥平面PAB ，从而BC AB ⊥，所以AC 是ABC 外接圆的直径．设PC 的中点为O ，在直角PAC 中，有OA OP OC ==；在直角PBC 中，有OP OC OB ==，所以O 是三棱锥P ABC -外接球的球心．由三棱锥P ABC -的体积为6得：2111112633233ABC S PA AB BC AB BC AB ⨯=⨯⨯⨯=⨯==△， 此时218AB =，236AC =，所以22240PC PB AC =+=，从而三棱锥外接球的半径为10=R ，所以外接球的表面积为2440R ππ=， 故选：D ．【点睛】本题考查与球体结合的相关计算问题，考查椎体的外接球半径计算，难度一般.解答时，要根据题目条件确定出球心位置是解题的关键. 12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若23sin c b A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（ ）A ．332B ．332+C ．23D ．23【答案】D【解析】根据余弦定理和23sin c b A =得222212sin 223sin cos a b A b b b A A =+-⋅，进而得2274323a A b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cos a c b b A =+-，结合23sin c b A =，得222212sin 223sin cos a b A b b b A A =+-⋅，解得22212sin 1232a A A b=+-， 即2274323a A b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当12A π=时，222max (23)743b a ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭． max max ()23b aλ==+.故选：D ．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.二、填空题 13．若x 、y 满足约束条件0,2,0,x y x y -≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为______．【答案】6．【解析】首先根据题意画出可行域，再根据z 的几何意义即可得到答案.【详解】满足约束条件的可行域如图所示：由2z x y =+，得到2y x z =-+，z 表示直线2y x z =-+的y 轴截距.当直线2y x z =-+过()2,2A 时，z 取得最大值，max 2226z =⨯+=.故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.14．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的终边与单位圆221x y +=交于点43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点P 沿单位圆绕原点O 按逆时针方向旋转90α+︒，得到点Q ，则点Q 的纵坐标为______．【答案】725【解析】根据三角函数的定义，以及二倍角公式，即可求出结果.【详解】 由题意得，4cos 5α=，3sin 5α=， 将点P 沿单位圆绕原点O 按逆时针方向旋转90α+︒，得到点Q ，则290α+︒是以OQ 为终边的角，则点Q 的纵坐标为()2167sin 290cos 22cos 1212525ααα+︒==-=⨯-=． 故答案为：725. 【点睛】 本题主要考查三角函数的定义的应用，涉及二倍角公式与诱导公式，属于基础题型. 15．古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此，分子是1的分数叫做埃及分数（也称为单位分数），如18，115，124，1100等都是埃及分数．现从12，13，14，15，…，120这19个分数中，找出3个不同的分数，使它们的和为12，则这3个分数的分母从小到大可以依次是______．（只写出一种情形即可）【答案】4，6，12．（答案不唯一）【解析】假设这三个分数的分母分别为x ，y ，z ()+,,x y z N ∈，若11112x y z ++=成立，则这三个数不能都小于16，取其中一个数为16，利用方程思想解出另外两数即可. 【详解】 设11112x y z ++=（2x y <<，x ，y ，z *∈N ），三个分数的和为12，平均值为16，三个分数不能都小于16（否则三个分数的和小于12），所以至少有一个是16，或15，或14，或13，若6x =，则1113y z +=，从而4y =，12z =；同理可得4，5，20；3，9，18；3，10，15等．【点睛】本题考查合情推理，属于基础题，只需要根据题目意思列出满足题目条件的方程组求解即可.三、双空题16．已知函数()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是______；若不等式()1x x a f x x+>-≥对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】1y x =- []0,1．【解析】由题意结合导数的几何意义、直线的点斜式方程即可得切线方程；易得1y x x =+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交，再作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，数形结合即可得解.【详解】由题意()10f =，()21ln xf x x-'=，()11f '=， 所以曲线1ln xy x-=在点()1,0处的切线方程为1y x =-； 由1y x x x=+>，且随着x 的增加，1x x +与x 的取值不断接近，所以1y x x=+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交； 令()()ln 1x h x x x =--，则()221ln x x h x x--'=， 当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，结合()10h =可得()0h x ≥即ln 1xx x≥-， 在坐标系中作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，如图所示，由图可知，曲线y x a =-的最低点(),0a 必须在以()0,0和()1,0为端点的线段上运动，所以01a ≤≤，故a 的取值范围是[]0,1．故答案为：1y x =-；[]0,1. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及作函数图象，考查了函数图象的应用及数形结合思想，属于中档题.四、解答题17．已知公比为正数的等比数列{}n a 的首项12a =，且满足()12343n n n a a a n --=+≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2k ≠，则4S ，2k S +，2k S 是否成等差数列？并说明理由． 【答案】（1）212n na -=；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）设公比为q （0q >），代入已知条件可求出q 的值，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据题意求出数列{}n b 以及前n 项和n s ，判断4222k k S S S ++-是否为0，可得出结果. 【详解】解：（1）设公比为q （0q >），则22n n a q a -=，12n n a qa --=， 代入1234n n n a a a --=+，得222224n n n q a qa a ---=+，因为20n a -≠，得2340q q --=，结合0q >，解得4q =． 又12a =，所以数列{}n a 的通项公式为：121242n n n a --=⨯=.（2）2log 21n n b a n ==-，则数列{}n b 是以1为首项、2为公差的等差数列， 所以()2122n n n S n n -=+⨯=．()()()22224222422222k k S S S k k k ++-=+-+=-，若2k ≠，则()2220k ->，即4222k k S S S ++>，所以，若2k ≠，则4S ，2k S +，2k S 不能组成等差数列． 【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查数列基本量的运算，考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，属于中档题.18．市场调查员在当地一个水果批发市场收集了某短季节性水果自从上市以来，连续第x 天每公斤的销售价格y （单位：元）的一组数据，得到如下统计表：（1）根据表中和题后所给出的统计数据，求y 关于x 的线性回归方程；（2）设第x 天的销售量P （单位：吨）与x 近似地满足：0.2510.5P x =+，试预测：该产品投放市场第几天的销售收入最高？附：①对于一组数据（1u ，1v ），（2u ，2v ），…，（n u ，n v ），其回归直线ˆˆv u βα=+的斜率和截距的最小二乘估衣计分别为()()()121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． ②参考统计量：9.7+9.6+9.5+9.5+8.8+8.6+8.6+8.5+82=81，()92160i i x x =-=∑，()()9112iii x x yy =--=-∑．【答案】（1）0.210y x =-+；（2）第4天.【解析】（1）先计算,x y 的平均数，再利用公式，结合已知数据，即可求得结果； （2）根据（1）中所求方程，建立销售收入与天数之间的函数关系，即可求得结果. 【详解】（1）设y 与x 的线性回归方程为ˆˆˆybx a =+， 12345678959x ++++++++==，8199y ==，()()()9192112ˆ0.260iii i i x x y y bx x ==---===--∑∑， ˆˆ90.2510ay bx =-=+⨯= 所以y 与x 的线性回归方程为0.210y x =-+．（2）设第x 天的销售收入为()Q x 元，对应的销售量0.2510.5x +吨， 即为()10000.2510.5x +公斤则()()()()210000.2510.50.210504105800Q x x x x =+-+=--+，当4x =时，()()max 4105800Q x Q ==．所以该产品投放市场第4天的销售收入最高，且最高可达105800元． 【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解，以及用回归方程对总体进行估计，属综合基础题. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥上底面ABCD ，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，4AB =．（1）在棱PD 上是否存在点E ，使得//PB 平面EAC ？并说明理由． （2）若E 为棱PD 的中点，求二面角C AE D --的余弦值． 【答案】（1）存在，理由见解析；（2）1111. 【解析】（1）E 为PD 中点时满足题意，根据线线平行，即可证明；（2）以AD 中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得平面的法向量，即可求得夹角的余弦值. 【详解】（1）当E 为PD 的中点时，//PB 平面EAC ，证明如下 连结AC ，BD 相交于点F ，因为F 为BD 的中点，E 为PD 的中点， 所以//EF PB ，又PB ⊄平面EAC ，EF ⊂平面EAC ， 所以//PB 平面EAC ．所以在棱PD 上存在PD 的中点E ，使得//PB 平面EAC ．（2）取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ， 则OP AD ⊥，OM AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，所以OP ⊥平面ABCD ，即OM ，OD ，OP 两两垂直.以OM ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：()002P ,,，()0,2,0A -，()4,2,0C ，()0,1,1E ．因为OM OD ⊥，OM OP ⊥， 所以OM ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量为1n ()1,0,0OM ==；()0,3,1AE =，()4,4,0AC =，设平面PAC 的法向量为2n ()222,,x y z =，则111130,440,y z x y +=⎧⎨+=⎩取1x =，可得2n ()1,1,3=-．故cos 21122111cos ,11n n n n n n ⋅=== 故二面角C AE D --的平面角的余弦值为1111．【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角的求解，涉及空间向量的应用，属中档题. 20．已知函数()ln 2f x a x x a =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设点A （1x ，()1f x ）和B （2x ，()2f x ）是曲线()y f x =上不同的两点，且()()12f x f x =，若12ak x x <+恒成立，求正数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(]0,2. 【解析】（1）求函数导数()a xf x x-'=，讨论0a ≤和0a >即可得解； （2）由条件得1212ln ln x x a x x -=-，代入12ak x x <+，整理得1211221ln 01x x xk x x x -⋅-<+，设()121x t t x =>，研究()()1ln 11t g t k t t t -=⋅->+的函数单调性即可得解. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1a a xf x x x-'=-=． 若0a ≤，()0f x '<，则()f x 在()0,∞+上为减函数；若0a >，当0x a <<时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,a 上为增函数，在(),a +∞上为减函数， 综上，0a ≤时，()f x 在()0,∞+上为减函数，0a >时，()f x 在()0,a 上为增函数，在(),a +∞上为减函数．（2）不妨设120x x >>，由（1）可知，0a >，由1122ln 2ln 2a x x a a x x a -+=-+， 得1212ln ln x x a x x -=-．由12ak x x <+，得121212ln ln x x k x x x x -⋅<+-，即1211221ln 01x x xk x x x -⋅-<+． 设()121x t t x =>，()()1ln 11t g t k t t t -=⋅->+，则()()()()2222112111t k t kg t t t t t --+'=-=-++． 记()()()22111h t t k t t =--+>，()()241442k k k ∆=--=-．（i ）当02k <≤时，0∆≤，则()0h t ≥恒成立，从而()()()201h t g t t t '=-≤+，所以()g t 在()1,+∞上是减函数，于是()()10g t g <=，此时适合题意． （ii ）当2k >时，对称轴方程为1t k =-，且()1420h k =-<， 又()2410h k k =+>，所以()h t 在()1,k -+∞内只有一个零点0t ， 所以存在()01,2t k k ∈-，使得()00h t =， 所以当01t t <<时，()0h t <，从而()()()201h t g t t t '=>+，所以()g t 在()01,t 上是增函数，于是当()01,t t ∈时，()()10g t g >=，此时不适合题意． 综上，正数k 的取值范围是(]0,2． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查了换元的思想，解题的关键是设()121x t t x =>，属于难题. 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C :2212x y +=，过1C 上的一点P （0x ，0y ）（000x y ≠）的直线l 的方程为0022x x y y +=．（1）设直线l 和OP 的斜率分别为k 和1k ，求证：1k k ⋅为定值；（2）设直线l 与椭圆2C :22142x y +=交于M 、N 两点，试求OP MN ⋅的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）根据题意，求得1,k k ，通过计算即可证明；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式，求得,MN OP 关于0y 的函数关系式，利用基本不等式求其最值即可. 【详解】（1）由题意，得002x k y =-，010y k x =，则00100122x y k k y x ⋅=-⋅=-， 所以1k k ⋅为定值．（2）由()00,P x y 在1C 上，得220022x y +=，即220022x y =-，所以OP === 由00222224x x y y x y +=⎧⎨+=⎩消去y ，并结合220022x y +=x+2%=2整理，得22002240x x x y -+-=．由点P 在2C 的内部，得>0∆；设()11,M x y ，()22,N x y N （x2，y2），则1202x x x +=，212024x x y =-，所以MN =====所以22232OP MN +⋅=≤⨯=．=即2012y =时，()max3OP MN ⋅=．【点睛】本题考查椭圆中的定值问题，以及范围问题，涉及韦达定理，以及基本不等式，属综合中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3sin 2ρθβ+=（β为常数，02πβ<<）．（1）当6πβ=时，判定直线l 与圆C 的位置关系； （2）设直线l 分别与射线0θ=（0ρ≥）、3πθ=（0ρ≥）、23πθ=（0ρ≥）交于点P 、Q 、R ，求证：111OP OR OQ+=． 【答案】（1）直线l 与C 相切；（2）证明见解析.【解析】（1）首先得到直线和圆的直角坐标方程，再求圆心到直线的距离，即可得到直线与圆的位置关系. （2）首先将0θ=、3πθ=、23πθ=分别代入()3sin 2ρθβ+=，从而得到OP ，OQ ，OR ，再利用三角函数的性质化简即可证明.【详解】 （1）当6πβ=时，直线l 的极坐标方程为3sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，13sin cos 222+=ρθρθ. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得l的直角坐标方程为3x +=． 圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， 因为圆心()1,0C 到直线l1=，所以直线l 与C 相切．（2）当0θ=，3πθ=，23πθ=时，32sin OP β=，32sin 3OQ πβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，322sin 3OR πβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 1122sin sin 33OP OR πββ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2121sin cos sin sin 322322βββββ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin 33OQπβ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 即证：111OP OR OQ+=. 【点睛】本题主要考查直线的极坐标方程，同时考查了圆的参数方程和直线与圆的位置关系，属于中档题.23．函数()12f x x x =-++，()21g x x ax =--（a ∈R ）．（1）求()7f x ≤的解集； （2）当[]2,1x ∈-时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）[]4,3-；（2）[]3,0-.【解析】（1）分类讨论得函数()f x 的解析式，再分段求解不等式可得答案. （2）由（1）知， ()3f x =，根据不等式恒成立的思想得231x ax ≥--在[]2,1-上恒成立．可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）()12f x x x =-++，所以()21,2,3,21,21, 1.x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以解不等式组2172x x --≤⎧⎨<-⎩或2137x -≤≤⎧⎨≤⎩或1217x x >⎧⎨+≤⎩，解得42x -≤<-或21x -≤≤或13x <≤，∴()7f x ≤的解集是[]4,3-（2）由（1）知，当21x -≤≤时，()3f x =，21 由()()f x g x ≥知，231x ax ≥--．故240x ax --≤在[]2,1-上恒成立.令()24h x x ax =--，则()()20,10,h h ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即4240,140,a a +-≤⎧⎨--≤⎩解得30a -≤≤，故a 的取值范围为[]3,0-.【点睛】本题考查分类讨论含绝对值符号的分段函数解析式，以及不等式的恒成立的问题，关键在于得出函数的最值，建立关于参数的不等式，属于中档题.。
2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷(理科)(二)(附详解)
2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x2−2x−3≤0}，B={x|x−1>0}，则集合A∩B=()A. {2,3}B. {−1,1}C. {1,2，3}D. ⌀=n+i(m,n∈R)，其中i为虚数单位，则m+n=()2.己知m−2iiA. −1B. 1C. 3D. −33.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，且a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则|b⃗ |=()A. 1B. 3C. √3D. √54.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，则S7=()A. 42B. 21C. 7D. 35.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980−1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是()A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()6.函数f(x)=e x+1x3(e x−1)A. B.C. D.7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 5 D. 528.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为()A. 57B. 47C. 27D. 179.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x=π6对称，则θ的最小值为()A. π6B. π3C. π2D. π10.设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是()A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±xD. y=±2x12.已知球O是正四面体A−BCD的外接球，BC=2，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是()A. 89π B. 11π18C. 512π D. 4π9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1.如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为6，则输出i的值为______．14.已知cos(2α+π6)=−25，则sin(2α−π3)=______．15.若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为______(用数字作答)．16.已知函数f(x)={e x−1−e1−x,x≤1|x−2|−1,x>1(其中e为自然对数的底数)，则不等式f(x)+ f(x−1)<0的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}中，a1=1且2a n+1=6a n+2n−1(n∈N∗).(1)求证：数列{a n+n2}为等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为√2的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1．(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；(2)在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为√5？若存在，求出5点P的位置；若不存在，说明理由．19.已知椭圆的一个顶点A(0,−1)，焦点在x轴上，离心率为√3．2(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内(含4小时)每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内(含24小时)收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次)，得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．(1)现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？(2)(i)X表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望E(X)；(ii)现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于E(X)的车辆数，求P(ξ≥2)的概率．参考公式：k2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=e2x+mx，x∈(0,+∞)(其中e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调性；(2)若m=−2，g(x)=a2x2e x，对于任意a∈(0,1)，是否存在与a有关的正常数x0，使得f(x02)−1>g(x0)成立？如果存在，求出一个符合条件x0；否则说明理由．22.在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2−4x−6y+5=0.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−3√22．(1)写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|．(1)解不等式f(x)≤1；(2)记函数f(x)的最大值为s，若√a+√b+√c=s(a,b，c>0)，证明：√a b√c≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x∈Z|−1≤x≤3}={−1,0，1，2，3}，B={x|x>1}，∴A∩B={2,3}．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D=n+i，得m−2i=i(n+i)=−1+ni，【解析】解：由m−2ii∴m=−1，n=−2．则m+n=−3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得m，n的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，∴4a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=7．又a⃗与b⃗ 的夹角为60°，∴4+4⋅1⋅|b⃗ |⋅cos60°+|b⃗ |2=7，则|b⃗ |=1，或|b⃗ |=−3(舍去)，故选：A．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，∴a1+5d+a1+2d−a1−4d=a1+3d=3，∴S7=7(a1+a7)=7(a1+3d)=21．2故选：B．利用等差数列通项公式求出a1+3d=3，再由S7=72(a1+a7)=7(a1+3d)，能求出结果．本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．本题考查例题真假的判断，考查整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：f(−x)=e −x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．故选：D．由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】考查抛物线的定义的应用，属于基础题．抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x=−1，设M(x,y)，N(x′,y′)，由抛物线的定义得，MF+NF=x+x′+p=x+x′+2=5，线段MN的中点的横坐标为x+x′2=32，线段MN的中点到y轴的距离为：32．故选：B．8.【答案】A【解析】解：我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，∴至少含有一颗上珠的概率为P=mn =2535=57．故选：A．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，由此能求出至少含有一颗上珠的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y=f(x−θ)=2sin[2(x−θ)+π6]=2sin(2x−2θ+π6)；又函数y的图象关于直线x=π6对称，即2×π6−2θ+π6=kπ+π2，k∈Z；解得θ=−12kπ，k∈Z；又θ>0，所以θ的最小值为π．2故选：C．根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移问题，是基础题．10.【答案】B【解析】解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．本题考查了空间中的直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．12.【答案】A【解析】解：作AO′⊥面BCD ，垂足为O′连接BO′并延长交CD 于F ，由题意得F 时CD 的中点，且O′为三角形BCD 的外接圆的圆心，设三角形BCD 的外接圆半径为r ，则r =BO′=23BF =23⋅√32BC =√33⋅2=2√33，高ℎ=AO′=√AB 2−BO′2=(2√33)=2√63，设外接球的球心为O ，设外接球的半径为R ，则由题意知O 在AO′上，连接OB ，R =OB ，在三角形BOO′中：R 2=r 2+(ℎ−R)2，所以2Rℎ=r 2+ℎ2，将r ，h 值代入可得：R =√62，所以OO′=AO′−R =2√63−√62=√66， 因为点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，BD =2，所以BE =23，在三角形BEO′中，由余弦定理：O′E =√BO′2+BE 2−2⋅BO′⋅BE ⋅cos30°=√(2√33)2+(23)2−2⋅2√33⋅23⋅√32=23，正三角形OEO′中，OE 2=O′E 2+OO′2=(23)2+(√66)2=1118当过E 的截面与OE 垂直时，截面的面积最小，设截面的半径为r′则r′2=R 2−OE 2=(√62)2−1118=1618=89，所以截面的面积S =πr′2=89π，故选：A．由正四面体的棱长求出底面外接圆的半径即棱锥的高，再由外接球的半径与高和底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径，在△BEO′，由余弦定理求出EO′的值，当过E的截面与OE垂直时，截面的面积最小，求出OE，再求求出截面的半径，进而求出截面的面积．考查正四面体的外接球的半径与棱长的关系，及截面面积最小时的情况．属于中档题．13.【答案】8【解析】解：i=0，n=6；n为偶数，n=3，i=1；n为奇数，n=10，i=2；n为偶数，n=5，i=3；n为奇数，n=16，i=4；n为偶数，n=8，i=5；n为偶数，n=4，i=6；n为偶数，n=2，i=7；n为偶数，n=1，i=8；跳出循环，输出结果8，故答案为：8．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14.【答案】25【解析】解：因为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)=25．故答案为：25．直接根据诱导公式把所求问题转化为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)即可求解．本题主要考查诱导公式在解题中的应用，属于基础题目．15.【答案】64【解析】解：∵(3+ax)(1+x)4展开式中x 的系数为：3C 41+aC 44=12+a =13，∴a =1， 令x =1，得：(3+x)(1+x)4展开式中各项系数和为：(3+1×1)(1+1)4=64， 故答案为：64．依题意，可得3C 41+aC 44=12+a =13，求得a =1，再赋值x =1，即可求得展开式中各项系数和．本题考查二项式定理，依题意，求得a =1是关键，考查赋值法的灵活应用，属于中档题．16.【答案】(−∞,72)【解析】解：因为f(x)={e x−1−e 1−x ,x ≤1|x −2|−1,x >1，∴当x ≤1时，x −1≤0，∴由f(x)+f(x −1)<0，得e x−1−e 1−x +e x−2−e 2−x <0，∴x ≤32，又x ≤1，∴x ≤32； 当1<x ≤2时，0<x −1≤1，∴由f(x)+f(x −1)<0， 得|x −2|−1+e x−2−e 2−x <0，∴|x −2|<1−e x−2+e 2−x ， ∵当1<x ≤2时，|x −2|∈[0,1)，1−e x−2+e 2−x ∈[1,1+e +1e )， ∴当1<x ≤2时，f(x)+f(x −1)<0成立，∴1<x ≤2， 当x >2时，由f(x)+f(x −1)<0，得|x −2|−1+|x −3|−1<0，∴|x −2|+|x −3|<2， ∴32<x <72，又x >2，∴2<x <72， 综上，不等式的解集为(−∞,72)． 故答案为：(−∞,72)．根据f(x)+f(x −1)<0，分x ≤1，1<x ≤2和x >2三种情况解不等式即可． 本题考查了指数不等式和绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属中档题．17.【答案】(1)证明：∵2a n+1=6a n +2n −1(n ∈N ∗)∴a n+1=3a n+n−12；∴a n+1+n+1 2a n+n2=3a n+n−12+n+12a n+n2=3a n+32na n+n2=3；∴{a n+n2}为等比数列，首项为32，公比为3．(2)解：由(1)得：a n+n2=(a1+12)×3n−1=32×3n−1=12×3n；∴a n=12×3n−n2；S n=a1+a2+a3+⋯…+a n=12(31+32+33+⋯…+3n)−12(1+2+3+⋯…+n) =123(1−3n)1−3−12n(n+1)2=3(3n−1)4−n2+n4=3n+1−n2−n−34．【解析】(1)把已知的递推关系式整理即可证明结论；(2)先利用(1)的结论求出通项公式，再直接利用分组求和即可求解．本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项以及分组求和的应用，是对数列知识的综合考查，属于中档题目．18.【答案】解：(1)∵点S在底面ABCD上的射影为点O，∴SO⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，∴AC=2；∵三角形SAC的面积为1，∴12×2×SO=1，即SO=1，∴SC=√2，∵CD=√2，点P是SD的中点，∴CP⊥SD，同理可得AP⊥SD；又因为AP∩CP=P，AP，CP⊂平面PAC；∴SD⊥平面PAC，∵SD⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面PAC．(2)如图，连接OB，易得OB，OC，OS两两互相垂直，分别以OB，OC，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，则A(0,−1,0)，C(0,1，0)，S(0,0，1)，D(−1,0，0)；假设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，不妨设SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又点P 在棱SD 上，∴0≤λ≤1， 又SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−1)， ∴SP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0，−λ)，∴P(−λ,0，1−λ)， 设平面PAC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,1，1−λ)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， ∴{−λx +y +(1−λ)z =02y =0， 令z =λ，可得x =1−λ，∴平面PAC 的一个法向量为n⃗ =(1−λ,0，λ)， 又平面ACD 的一个法向量为OS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，二面角P −AC −D 的余弦值为√55； ∴|cos <OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OS ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√(1−λ)2+λ2=√55， 即3λ2+2λ−1=0，解得λ=13或λ=−1(不合题意，舍去)；所以存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点．【解析】(1)根据题意证明CP ⊥SD ，AP ⊥SD ，得出SD ⊥平面PAC ，即可证明平面SCD ⊥平面PAC ；(2)连接OB ，易知OB ，OC ，OS 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0≤λ≤1； 利用法向量表示二面角的余弦值，求出λ的值，从而求出点P 的位置．本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求出二面角余弦的计算问题，是中档题．19.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a +y2b =1(a >b >0)， 则{b =1ca =√32,a 2=b 2+c 2,解之得：a =2,b =1,c =√3．故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)弦MN 的中点，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =kx +m,x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 因为直线与椭圆相交，所以x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1，△=(8km)2−16(4k 2+1)(m 2−1)>0⇒m 2<1+4k 2，① ∴x 0=x 1+x 22=−4km4k 2+1，所以y 0=kx 0+m =m4k +1． ∴k AP =y 0+1x 0=−m+1+4k 24km，又|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ，则−m+1+4k 24km=−1k，即3m =4k 2+1，②把②代入①得m 2<3m ，解得0<m <3， 由②得k 2=3m−14>0，解得m >13．综上可知m 的取值范围为(13,3)．【解析】(1)根据顶点、离心率建立方程求出椭圆的标准方程；(2)先由直线与椭圆方程联立方程组，由判别式得出不等关系，根与系数关系，再将条件|AM|=|AN|转化为A 在线段MN 的垂直平分线上，建立等量关系，最后将它们相结合进行求解．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，有一定难度，属于中档题目．20.【答案】解：(1)2×2列联表如下：根据上表数据代入公式可得K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关． (2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30， P(X =5)=110，P(X =8)=110，P(X =11)=15， P(X =15)=15，P(X =19)=720，P(X =30)=120．所以X 的分布列为：∴E(X)=5×110+8×110+11×15+15×15+19×720+30×120=14.65． (ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35， ∴ξ～B(3,35)，∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C 32(35)2(25)+(35)3=3×925×25+27125=81125．【解析】(1)作出2×2列联表，求出K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，从而没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关．(2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30，分别求出相应的概率，由此有求出X 的分布列和数学期望．(ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35，从而ξ～B(3,35)，由此能求出P(ξ≥2)的概率．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2e 2x +m ，①当m ≥0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增；②当−2≤m <0时，x ∈(0,+∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增； ③当m <−2时，由f′(x)=0得x =12ln(−m2)>0，x ∈(0,12ln(−m2))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x ∈(12ln(−m 2),+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 综上所述：当m ≥−2时，f(x)在(0,+∞)上的单调递增；当m <−2时，f(x)在(0,12ln(−m2))上单调递减，f(x)在(12ln(−m2),+∞)上单调递增；(2)f(x02)−1>g(x 0)⇒e x 0−x 0−1>a2x 02e x 0⇒1−x 0+1e x 0>a2x 02⇒a2x 02+x 0+1e x 0−1<0(∗)，需求一个x 0，使(∗)成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，∵t′(x)=x(a −1e x )∴t(x)在(0,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， ∴t(x)min =t(−lna)=a2ln 2a +a(−lna +1)−1，只需证明a2ln 2a +a(−lna +1)−1<0在a ∈(0,1)内成立即可，令φ(a)=a 2ln 2a +a(−lna +1)−1⇒φ′(a)=12ln 2a >0， ∴φ(a)在a ∈(0,1)单调递增，∴φ(a)<φ(1)=12ln 21+1×(−ln1+1)−1=0，所以t(x)min <0，故存在与a 有关的正常数x 0=−lna(0<a <1)使(∗)成立．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， (2)需求一个x 0，满足结论成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，结合函数的性质及导数即可证明．本题考查了导数的综合应用，考查了一定的推理与运算的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)圆C 的方程可化为(x −2)2+(y −3)2=8，圆心为C(2,3)，半径为2√2，∴圆C 的参数方程为{x =2+2√2cosαy =3+2√2sinα(α为参数)直线l 的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ=−3， ∵{ρcosθ=x ρsinθ=y， ∴直线l 的直角坐标方程为x +y +3=0． (2)：曲线C 是以C(2,3)为圆心，半径为2√2的圆， 圆心C(2,3)到直线l ：x +y +3=0的距离d =22=4√2，所以|PQ|min =4√2−2√2=2√2，此时直线PQ 经过圆心C(2,3)，且与直线l ：x +y +3=0垂直，k PQ ⋅k l =−1， 所以k PQ =1，PQ 所在直线方程为y −3=x −2，即y =x +1． 联立直线和圆的方程{y =x +1x 2+y 2−4x −6y +5=0，解得{x =0y =1或 {x =4y =5当|PQ|取得最小值时，点P 的坐标为(0,1) 所以|PQ|min =2√2，此时点P 的坐标为(0,1)．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，方程组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)={−3,x ≤−12x −1,−1<x <23,x ≥2，①当x ≤−1时，−3≤1恒成立，所以x ≤−1；②当−1<x <2时，2x −1≤1，即x ≤1，所以−1<x ≤1； ③当x ≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意； 综上，不等式的解集为(−∞,1]． (2)证明：由(1)知f(x)max =3=s ， 于是√a +√b +√c =3， 所以√a√a √b√b +√c+√c≥2√b +2√c +2√a =6，当且仅当a =b =c =1时取等号， 所以√a √b √c ≥3．【解析】(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤1分别解不等式即可； (2)先由(1)得到f(x)的最大值s ，然后利用基本不等式即可证明√a √b √c ≥3成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷(二)理科数学
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1．已知集合{}(1)0A x x x =-<，{}e 1xB x =>，则=⋂B )AC (R （ ）．A ．[1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．[0,1]2．函数()sin f x x x =的图像在点33,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．4π C ．34π D ．56π3．设2,log 3-===a b e c π，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a << 4．函数的图象可由y=cos2x 的图象经过怎样的变换得到（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5．下列命题中，是假命题的是A ．0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x > B ．x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠C ．函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2πD ．42log 323=6．在不等边三角形中，a 是最大的边，若222a b c <+，则角A 的取值范围是 （ ） A ．(,)2ππ B ．(,)42ππ C ．(0,)2π D ．(,)32ππ7．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5B ．6C ．10D ．118．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．已知变量x 、y 满足220110x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则42x y x +++的取值范围是（ ）A ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上,AB 是球O 的一条直径,且AC=2,BC=4,现有下面四个结论: ①球O 的表面积为20π; ②AC 上存在一点M ,使得AD ∥BM ; ③若AD=3,则BD=4;④四面体ABCD体积的最大值为3. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①③④B ．②④C ．①②D ．①④12．已知定义在R 上的函数()f x 在[0，7]上有1和6两个零点，且函数()2f x +与函数()7f x +都是偶函数，则()f x 在[0，2019]上的零点至少有（ ）个A ．404B ．406C ．808D ．812二、填空题13．已知i 是虚数单位，则复数21iz i-=+的共轭复数是_______. 14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-，其中0x >，若a 与b 共线，则yx的最小值为__________．15．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为12cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为________ 16．已知直线与函数和分别交于两点，若的最小值为2，则__________．三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．已知0)1)(12(3:,0352:22≤+-+-≤--m m mx x q x x p ．（其中实数2m >）．（1）分别求出p ，q 中关于x 的不等式的解集M 和N ； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．在ABC ∆中，a ， b ， c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin -sin )()(sin sin )a A B c b B C =-+.（1）求角C 的值：（2）设函数()cos sin()3f x x x π=⋅+-(A)f 的取值范围.19．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点.已知AB=3米，AD=2米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，请问AN 的长应在什么范围； （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小，并求出最小面积.20．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和n S 满足212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1111n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）在（2）条件下，若245n m mT -<<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.21．如图，已知ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面,//ABCD AF DE ，且6DE =，2AF =.(1)求几何体ABCDEF 的体积； (2)求二面角A BE C --的余弦值.22．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212xx g x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.高三数学理科参考答案1．A 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D7．C 8．B 9．B 10．A 11．D 12．C13．. 14．15.16．2【解析】设，则，所以，则,设，则，当时，.因为的最小值为，故将代入，解得，所以，得，故. .17．（1）；（2）.1由题意，命题（x 7）（x +5）≤0，解得，即得M =[5，7]；又由[x （2m -1）][x （m +1）]≤0，∵m ＞2，∴2m 1＞m +1，解得，即N =[m +1，2m 1]． （2）因为命题p 是q 的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，所以，且等号不同时取，解得-6≤m ≤4，又因为m ＞2，所以2＜m ≤4，即实数m 的取值范围.18．（1）；（2）（1）由正弦定理得：，∴，∴，∴.（2），∵，，∴. 19．（1）；（2）的长为米时，矩形的最小面积为平方米. （1）（），则由，得，∴，由，得，又，所以，解得，或，所以的长度的取值范围为；2 .，当且仅当，即时，等号成立．所以当的长度是时，矩形的面积最小，最小值为．20．（1）；（2）=；（3）.（1）当时，. 当时，，化简得，所以.（2）由（1）知，. 则，所以.（3），∴单调递增，∴. ∵，∴，要使得恒成立，则只需，解之得.21．（1）21；（2）解：（2）由题可知，全等于，过A作交BE于M，连接CM，则，为二面角的平面角，在中，，在中，，22．(1) 函数在上单调递增，在上单调递减;(2) 的取值范围为.（1）由题意知，，令，当时，恒成立，∴当时，；当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减. （2）∵，∴，由题意知，存在，使得成立.即存在，使得成立，令，∴.①时，，则，∴函数在上单调递减，∴成立，解得，∴；②当时，令，解得；令，解得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，又，∴，解得，∴无解；③当时，，则，∴函数在上单调递增，∴，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为.。
2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学(理)(二)试题(解析版)
【解析】根据
x
，
y
满足线性约束条件
x
2
，且直线 kx y 2 0 过定点
kx y 2 0
0, 2 ，将目标函数化为 y 2x z ，平移直线 y 2x ，根据 z 2 时，最优解在直线
A． x2 z2 y2 ? B． x2 y2 z2 ? C． y2 z2 x2 ? D． x y ?
【答案】A
【解析】根据题意得， AC x , AB y , BC z, 则 x y z 1600,y x 80 ，所以 z 1520 2x ，再根据 ABC 为直角 三角形∠C 90 求解.
【答案】
1 3
,1
【解析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出 g x lg x2 a x 为奇函数，
g 0 0 a 1 ，利用函数的单调性解不等式，即可求出 f 2x 1 f x 的解集.
【详解】
解：由题知， f x 是偶函数，
故 g x lg x2 a x 为奇函数， g 0 0 a 1，
1 3
，故 cos
1 3
.
故选：B. 【点睛】
本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题. 4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、 朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的 方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题： 甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜
.
8．已知函数 y sin( x )( 0, (0, 2 )) 的一条对称轴为 x ，且 f (x) 在 6
,
4 3
上单调，则
2020年06月高考数学冲刺卷(2)【解析版】_名师汇编高考数学卷
A．0
B．3
C．
D．15
【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x+3）＝﹣f（x），则有 f（x+6）＝f（x），则函数 f（x）是周
期为 6 的周期函数，
f（2018）＝f（2+6×336）＝f（2）， 又由函数为偶函数，则 f（2）＝f（﹣2）＝（4﹣（﹣2）﹣1）＝15，
故选：D． 12．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+4）＝f（x﹣2）．若当 x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则 f
2020 年 06 月高考数学冲刺卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 37 小题） 1．函数 f（x）＝8x﹣2﹣x+2 的一个零点所在区间为（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（3，4）
【解答】解：∵函数 f（x）＝8x﹣2﹣x+2 在（0，+∞）上连续，
D．（4，5）
且 f（1）＝8﹣1+2＝9，
＝（ ）
A．6
B．4
C．2
D．1
【解答】解：由 f（x+3）＝f（x﹣1），得 f（x+4）＝f（x）， ∴f（x）是周期为 4 的周期函数，又 f（x）为偶函数，且当 x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣x+1，
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∴当 x∈[0，2]时，f（x）＝3x+1， ∴f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝4 故选：B． 15．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且满足 f（x+3）＝f（x），若 f（1）＜1，f（11）＝
，则满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 的 x 的取值范围是（ ）
2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学二 Word版含解析
2020年高考考前45天大冲刺卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，2{|2}M x x x =-≥，则U M =ð（ ） A ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|2x x <-或0}x >D ．{|2x x ≤-或0}x ≥2．已知i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2 D ．1i 2-3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边落在射线()200x y x +=>上， 则sin α=（ ） A ．55B ．55-C ．255D ．255-4．空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图：根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 5．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3519a a a =，313S =，则5a =（ ） A ．8116B ．27C ．81D ．2436．已知函数()lg(1)f x x =+，记0.2(5)a f =，0.2(log 3)b f =，(1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<7．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||πϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．ππ()23sin()84x f x =+ B ．π3π()23sin()84x f x =+ C ．ππ()23sin()84x f x =- D ．π3π()23sin()84x f x =- 8．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．16C ．323D ．8039．设函数()f x '为函数()sin f x x x =的导函数，则函数()f x '的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意0x >都有2()()0f x xf x '+>成立，则（ ）A ．4(2)9(3)f f -<B ．4(2)9(3)f f ->C ．2(3)3(2)f f >-D ．3(3)2(2)f f -<-11．已知O 为坐标原点，F 是椭圆22221(0):x y a b a C b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3412．已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且当(0,4]x ∈时，ln(2)()x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>在区间[200,200]-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(ln 2,ln 6)3--B ．1(ln 2,ln 6]3--C ．13(ln 6,ln 2)34--D ．13(ln 6,ln 2]34--第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 则m = ．14．已知实数x ，y 满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最小值为 ．15．已知抛物线方程为x y 42=，直线l 的方程为05=+-y x ，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为 ．16．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，3AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在数列{}n a 中，11a =，2a b =，前n 项之和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，且822a =，求b 的值；（2）对任意的*n ∈N 有：24n na a +=，且101021S a =-，试证明：数列{}n a 是等比数列．18．（12分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行一次业务技能测试，测试项目共5项，现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）． 表1：规定：每项测试合格得5分，不合格得0分．（1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率．①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格的项数为X ，根据上面的测试结果统计表，列出X 的分布列，并估计这120名职工的平均得分；②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率；（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为i i RN z=，其中i N 为第i 项测试难度，i R 为第i 项合格的人数，Z 为参加测试的总人数，已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）： 表2：定义统计量22211221[()()()]n n S N N N N N N n'''=-+-++-L ，其中i N 为第i 项的实测难度，i N '为第i 项的预测难度（1,2,,i n =L ），规定：若0.05S ≤，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表3）所示：表3：判断本次测试的难度预估是否合理．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，90APD ∠=︒，且AD PB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若AD PB ⊥，求二面角D PB C --的余弦值．20．（12分）已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，椭圆C 的另一个焦点是1F ，且1294MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点()1,0-，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求2F PQ △的面积的最大值及此时2F PQ △内切圆半径．21．（12分）已知函数2()x e f x x a =-，且曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：0x >时，()1ln 1xe ex x x --≥-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线12:n x y C αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线224cos 3:C ρρθ=-． （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点()0,1P -，求PM AB ⋅的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．（1）若4a =-，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围．答案与解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】2{|2}{|20}M x x x x x =-≥=-≤≤，全集U =R ，则{|2U M x x =<-ð或0}x >． 2．【答案】A【解析】由题意可得21i 1i 1111i (1i)2i 2i 222z --===-=--+，则11i 22z =-+， 据此可得，z 的虚部为12． 3．【答案】D【解析】在α的终边上取点(1,2)P -，则221(2)5r =+-= 根据三角形函数的定义得25sin 55y r α===-，故选D ． 4．【答案】C【解析】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好，故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定， 因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据， 因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 5．【答案】C【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，依题意可得241112111913a q a q a a a q a q ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，解得3q =，11a =，所以4451381a a q ===，故选C ．6．【答案】A【解析】)(x f 是偶函数，在),0[+∞上单调递增， ∴)31(log )3log ()3(log 2.02.02.0f f f b =-==， ∵15502.0=>，0.20.210log log 0.213<<=，∴0.20.210log 153<<<， ∴0.20.21(log )(1)(5)3f f f <<，∴a c b <<，故选A ． 7．【答案】D【解析】由题意23A =，又2[6(2)]16T =⨯--=，∴2π2π1π68T ω===，∴62π8πk ϕ⨯+=，k ∈Z ， ∵πϕ<，∴3π4ϕ=-，∴3()23sin(π4π)8f x x =-，故选D ．8．【答案】D【解析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱111ABC A B C -切掉一个三棱锥111C A B D -， 如下图所示：则D 为1AA 中点，1111444322ABC A B C V -∴=⨯⨯⨯=，1111116424323C A BD V -=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积11111116803233ABC A B C C A B D V V V --=-=-=，故选D ．9．【答案】B【解析】()sin cos f x x x x '=+，可得()f x '是奇函数，排除C ， 当πx =时，()0f x '<，排除A ，D ． 10．【答案】A【解析】设22()()'()2()'()[2()()]0()g x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x =⇒=+=+>⇒'在[0,)+∞上是增函数，易得()g x 是偶函数4(2)(2)(2)(3)9(3)f g g g f ⇒-=-=<=，故选A ． 11．【答案】A【解析】由题意可设(,0)F c -，(,0)A a -，(,0)B a ，令x c =-，代入椭圆方程可得2by a =±，可得2(,)b P c a-±，设直线AE 的方程为()y k x a =+，令x c =-，可得()y k a c =-，所以(,())M c k a c --， 令0x =，得y ka =，所以(0,)E ka ， 设OE 的中点为H ，则可得(0,)2ka H ， 由B ，H ，M 三点共线，可得BHBM k k =，所以0()020ka k a c a c a---=---， 即12a c a c -=+，即3a c =，所以离心率13c e a ==，故选A ．12．【答案】D【解析】∵偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，∴(4)(4)(4)f x f x f x +=-=-， ∴()f x 的周期为8且()f x 的图象关于直线4x =对称，∵[200,200]-上含有50个周期，且()f x 在每个周期内都是轴对称图形， ∴当关于x 的不等式2()()0f x af x +>在(0,4]上有3个整数解，当(0,4]x ∈时，21ln 2()xf x x -'=， 由()0f x '>，得02e x <<；由()0f x '<，得42ex <<， ∴当函数()f x 在(0,)2e 上单调递增，在(,4)2e上单调递减，∵(1)ln 2f =，ln83(2)(3)(4)ln 2044f f f >>==>， ∴当(1,2,3,4)x k k ==时，()0f x >，∴当0a ≥时，2()()0f x af x +>在(0,4]上有4个整数解，不符合题意；∴0a <，由2()()0f x af x +>，可得()0f x <或()f x a >-，显然()0f x <在(0,4]上无整数解，故而()f x a >-在(0,4]上有3个整数解，分别为1，2，3， 所以3(4)ln 24a f -≥=，ln 6(3)3a f -<=，(1)ln 2a f -<=， 所以ln 63ln 234a -<≤-，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2【解析】(1,2)(4,2)(4,22)m m m m =+=+=++c a b ，c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴||||||||⋅⋅=a c b ca cbc ，520=，∴2m =．14．【答案】13-【解析】作出不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，得到如图的阴影部分，由2350y x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(11,2)B =--，设(,)z F x y x y ==+，将直线:l z x y =+进行平移，当l 经过点B 时， 目标函数z 达到最小值，∴min z (11,2)13F =--=-． 15．【答案】321-【解析】设焦点为(1,0)F ，则11d PF =-， 那么12d d +的最小值为1513212+-=-，故答案为321-．16．【答案】[2π,4π] 【解析】如图，设BDC △的中心为1O ，球O 的半径为R ， 连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin 6033O D =︒⨯=22113AO AD DO =-=， 在1OO D Rt △中，223(3)R R =+-，解得2R =，∵3BD BE =，∴2DE =，在1DEO △中，134232cos301O E =+-⨯⨯⨯︒=， ∴22112OE O E OO =+=过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为222(2)2-=，最小面积为2π；当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π，故答案为[2π,4π]．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）4b=；（2）证明见解析．【解析】（1）设{}n a的公差为d，则由已知可得111722aa d=⎧⎨+=⎩，解得3d=，4b=．（2）由24nnaa+=，得数列{}na的奇数项和偶数项依次均构成等比数列，由已知101021S a=-，得55441(41)24133bb--+=⋅-，解得2b=，∴1(21)12142n nna----==，1212242n nna--=⋅=，∴12nna-=，即{}na是首项为1，公比为2的等比数列．18．【答案】（1）①分布列见解析，平均得分为16；②316；（2）是合理的．【解析】（1）①根据上面的测试结果统计表，得X的分布列为：所以X的数学期望()10.120.230.240.450.1 3.2E X=⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以估计这12名职工的平均得分为5() 3.2516E X=⨯=．②“得分不小于20分”即“4X≥”，由①知(4)(4)(5)0.40.10.5P X P P X≥==+==+=，设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为ξ，则(5,0.5)Bξ:，所以4455551113(4)(4)(5)()()22216P P P C Cξξξ≥==+==⨯+=，即这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率为316． （2）由题意知222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]0.0120.055S =-+-+-+-+-=<，所以该次测试的难度预估是合理的． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）277． 【解析】（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ， 因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，所以AD =AB BD =， 因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．在APD △中，90APD ∠=︒，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 设2AD PB a ==，则3OB a =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥． 在APD △中，90APD ∠=︒，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在BOP △和BOA △中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =， 所以BOP BOA ≅△△，所以90BOP BOA ∠=∠=︒，所以OP OB ⊥． 因为OP AD O =I ，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以OB ⊥平面PAD ．因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =I ，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AD=，则()1,0,0A，()1,0,0D-，()0,3,0B，()0,0,1P，所以()1,0,1PD=--u u u r，()0,3,1PB=-u u u r，()2,0,0BC AD==-u u u r u u u r，设平面PBD的法向量为()111,,x y z=n，则111130PDPxBzy z⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u ru u u rnn，令11y=，则13x=-，13z=，所以()3,1,3=-n；设平面PBC的法向量为()222,,x y z=m，则2222030BC xPB y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u ru u u rmm，令21y=，则2x=，23z=，所以()0,1,3=m，设二面角D PB C--为θ，由于θ为锐角，所以27cos cos,727θ===⨯m n，所以二面角D PB C--的余弦值为27．20．【答案】（1）22143x y+=；（2）当2F PQ△的面积最大时，23F PQS=△，得内切圆半径34r=．【解析】（1）设椭圆方程为()222210x ya ba b+=>>，点M在直线32y x=上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点2(,0)F c，则点3(,)2cM c，∵1233(2,)(0,)2294c c MF MF c ⋅=--⋅-=u u u u r u u u u r ，即29944c =，∴1c =，所以3(1,)2M ，又222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆方程为22143x y +=．（2）由（1）知()11,0F -，设直线l 方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2243690k y ky +--=，∴122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，∴221211212121211||(||||)22F PQ F PF F QF S S S F F y y F F y y =+=+=⋅⋅-△△△ 222121222216491212()4()2343434k k y y y y k k k ⨯+=⨯+-=+=+++， 21k t +=，则1t ≥，∴21213F PQ S t t=+△，令()13f t t t =+，()213f t t'=-， 当[1,)t ∈+∞时，()0f t '>，()13f t t t=+在[1,)+∞上单调递增， ∴212313F PQ S t t=≤+△，当1t =时取等号，即当0k =时，2F PQ △的面积最大值为3．过点()11,0F -的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，则2F PQ △的周长为48a =． 又2142F PQ S a r =⋅⋅△（r 为三角形内切圆半径），∴当2F PQ △的面积最大时，21432F PQ S a r =⋅⋅=△，得内切圆半径34r =． 21．【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无减区间；（2）证明见解析． 【解析】（1）由2()xf x e ax =-，得()2xf x e ax '=-，因为曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直，所以(1)22f e a e '=-=-，所以1a =，即2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-． 令()2xg x e x =-，则()2xg x e '=-．所以(,ln 2)x ∈-∞时，0()g x '<，()g x 单调递减；(ln 2,)x ∈+∞时，0()g x '>，()g x 单调递增，所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->，所以()0f x '>，()f x 单调递增， 即()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无减区间．（2）由（1）知2()x f x e x =-，(1)1f e =-，所以()y f x =在1x =处的切线为(1)(2)(1)y e e x --=--，即(2)1y e x =-+， 令2()(2)1xh x e x e x =----，则()2(2)2(1)x xh x e x e e e x '=---=---， 且(1)0h '=，(1)2xh e ''=-，(,ln 2)x ∈-∞时，()0h x ''<，()h x '单调递减；(ln 2,)x ∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增，因为(1)0h '=，所以min ()(ln 2)42ln 20h x h e ''==--<， 因为(0)30h e '=->，所以存在0(0,1)x ∈，使0(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；0(,1)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．又(0)(1)0h h ==，所以0x >时，()0h x ≥，即2(2)10xe x e x ----≥，所以2(2)1x e e x x ---≥．令()ln x x x ϕ=-，则11()1x x x xϕ-'=-=， 所以(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， 所以()(1)1x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤，因为0x >，所以2(ln 1)x x x +≤，所以0x >时，(2)1(ln 1)xe e x x x ---≥+， 即0x >时，1(ln 1)xe ex x x --≥-．22．【答案】（1）()221:25C x y +-=，222:430C x y x +-+=；（2）3．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=．（2）将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=．点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB 的参数方程为22212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入22430x y x +-+=化简得23240t t -+=，所以1232t t +=124t t =，因为点M 对应的参数为123222t t +=， 所以()21212121232324184432t t PM AB t t t t t t +⋅=⋅-=+-=-⨯=． 23．【答案】（1）(,0][6,)-∞+∞U ；（2）[1,0]-． 【解析】（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2426x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩或24426x x x <<-+-≥⎧⎨⎩或4426x x x ≥-+-≥⎧⎨⎩，解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(,0][6,)-∞+∞U ． （2）原命题等价于()3f x x ≤-在[0,1]上恒成立，即23x a x x ++-≤-在[0,1]上恒成立， 即11x a x --≤≤-在[0,1]上恒成立， 即10a -≤≤，实数a 的取值范围为[1,0]-．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合M={y|y=8x+1,x∈N,y∈N}的非空子集个数是()A. 3B. 7C. 15D. 312.复数z满足z=2+ii+i，则|z|=()A. √2B. 2C. √5D. √103.已知cos(α+π3)+cosα=1，则sin(π3−α)=()A. 13B. √33C. √3D. −√334.给出50个数：1，3，5，7，…，99，要计算这50个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入()A. i≤50？和p=p+1B. i≤51？和p=p+1C. i≤51？和p=p+2D. i≤50？和p=p+25.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是()A. 1425B. 1225C. 34D. 356.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是()A. 相离B. 内切C. 相交D. 以上都有可能7. 在梯形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 38. 已知函数f(x)=3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92]∪[6,+∞) B. (−∞,−92]∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞)9. 已知圆(x −1)2+(y −1)2=2经过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. √2C. 2D. √2210. 已知(1−px)n =b 0+b 1x +b 2x 2+⋯+b n x n ，若b 1=−3，b 2=4，则p =( )A. 1B. 12C. 13D. 1411. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为( )A. 2√3B. 2√2C. √5D. 312. 函数f(x)=e x −x(e 为自然对数的底数)在区间[0,1]上的最大值是( )A. 1+1eB. 1C. e +1D. e −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=xlg(√a +x 2−x)为偶函数，则a =____.14.若实数x，y满足不等式组{y≥0x+y−1≥0x+2y−2≤0，则z=2x+y的最小值是____．15.已知圆x2+y2−2x+4y−20=0上一点P(a,b)，则a2+b2的最小值是______．16.如图，为测量某山峰的高度(即OP的长)，选择与O在同一水平面上的A，B为观测点．在A处测得山顶P的仰角为45°，在B处测得山顶P的仰角为60°.若AB=30米，∠AOB=30°，则山峰的高为______米．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在等差数列{a n}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1a n a n+1}的前n项和为S n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求锐二面角F−AB−P的余弦值．19.如图所示，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点A作抛物线C的切线交直线x=p于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆2上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由20.某快餐连锁店，每天以每份5元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售，当天不能岀售的早餐立即以1元的价格被总店回收进行环保处理．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量(单位：份)，整理得下表：日销售量253035404550频数10162824148如果这个早餐店每天购入40份早餐，完成下列问题：(1)写出每天获得利润y与销售早餐份数x(x∈N)的函数关系式；(2)估计每天利润不低于150元的概率；(3)估计该快餐店每天的平均利润．21.已知函数．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的极值点．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|．(1)解不等式f(x)≤x+2；(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了非空真子集，是一道基础题．先求出集合中元素的个数，从而求出其非空真子集个数．解：∵集合，∴集合M的非空子集个数是24−1=15，故选C.2.答案：A解析：解：∵z=2+ii+i，∴|z|=|1−i|=√2，故选：A．先化简z，再求模即可．本题考查复数求模，正确化简复数是关键．3.答案：B解析：本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．利用两角和与差的三角函数公式化简即可得解．解：由cos(α+π3)+cosα=1，得32cosα−√32sinα=1，所以√32cosα−12sinα=√33，从而sin(π3−α)=√33．故选B．4.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知，要计算50个数的和．故循环次数要50次，由循环变量的初值为1， 故判断框①处应填：i ≤50？ 由于每次累加的值步长为2， 故执行框②处应填：p =p +2， 故选：D ．5.答案：A解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题型．由题意可知甲和乙分别中靶的概率，并且判断是甲和乙中靶是相互独立事件，由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可．解：因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次， 所以P(甲)=45，P(乙)=710，所以他们都中靶的概率是P =45×710=1425． 故选A ．6.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质以及圆与圆的位置关系的判断，属中档题．由双曲线的定义和M ，O 均为中点，可得|MF 1|−|OM|=a ，即|OM|=|MF 1|−a ，进而可判断圆心距等于两圆的半径之差，故可知两圆的位置关系． 解：如图，∵P 在双曲线右支上， ∴|PF 1|−|PF 2|=2a ， ∵M 是线段PF 1的中点， ∴|MF 1|=|PM|=12|PF 1|，∵O 是线段F 1F 2的中点， ∴|MO|=12|PF 2|，∴12|PF 1|−12|PF 2|=a ，∴|MF 1|−|OM|=a ， ∴|OM|=|MF 1|−a ，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的位置关系是内切． 故选B ．7.答案：C解析：本题考查了向量的线性运算，考查平面向量基本定理，属于较易题． 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得到λ、μ的值． 解：∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即可得到λ=32、μ=1， ∴λ+μ=52． 故选：C ．8.答案：D解析：本题考查求由三角函数的单调性求最值的应用，属于中档题．分ω的正负讨论，要使函数y =3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3可知，−π2+2kπ∈[−π3ω,π4ω]或−π2+2kπ∈[π4ω,−π3ω]，分别求出ω的范围即可．解：当ω>0时，要使函数y =3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则−π3ω≤−π2+2kπ≤π4ω，k ∈Z ，即{ω≥32−6kω≥−2+8k，k ∈Z ，则可得ω≥32；当ω<0，则π4ω≤−π2+2kπ≤−π3ω，k ∈Z ，{ω≤−2+8k ω≤32−6k，k ∈Z ，则可得ω≤−2， 故选：D ．9.答案：D解析：本题考查椭圆的简单几何性质，以及a 、b 、c 的关系，属于基础题．由椭圆方程求出F 、B 的坐标，把坐标代入圆的方程求出b 、c ，由a 2=b 2+c 2求出a ，再求出椭圆C 的离心率．解：由题意得，椭圆的右焦点F 为(c,0)、上顶点B 为(0,b)， 因为圆(x −1)2+(y −1)2=2经过椭圆的右焦点F 和上顶点B ， 所以{(c −1)2+1=21+(b −1)2=2，解得b =c =2，则a 2=b 2+c 2=8，解得a =2√2， 所以椭圆C 的离心率e =ca=22=√22． 故选：D ．10.答案：C解析：本题考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题． 由二项展开式的通项及题意，列方程组，解得n 与p 的值．解：(1−px)n =b 0+b 1x +b 2x 2+⋯+b n x n ， 若b 1=−3，b 2=4，则{C n 1(−p )=−3C n 2(−p )2=4，解得{n =9p =13． 故选C ．11.答案：D解析：本题考查简单几何体的三视图的应用，判断几何体的棱长是解题的关键，属于中档题． 利用三视图画出几何体的直观图，通过三视图的数据，判断最长的棱长，求解即可． 解：由题意可知几何体是正方体中的一部分，正方体的棱长为2，三视图对应的几何体的棱长分别为：AB =BC =BE =2，AE =AC =EC =2√2，AD =DE =√4+1=√5， DC =√5+4=3． 最长的棱长为3． 故选：D ．12.答案：D解析：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是求导确定函数的单调性，属于基础题．求导函数，确定函数的单调性，即可得到函数的最大值． 解：求导函数，可得f ′(x)=e x −1 ∵x ∈[0,1]，∴f ′(x)≥0， f(x)在[0,1]单调递增， ∴f(x)max =f(1)=e −1，∴函数f(x)=e x −x 在区间[0,1]上的最大值是e −1， 故选D ．13.答案：1解析：本题主要考查函数奇偶性，属于基础题． 解：因为f(x)为偶函数， 所以f(−x)−f(x)=0恒成立，所以−xlg(√a +x 2+x)−xlg(√a +x 2−x)=0恒成立， 所以xlg a =0恒成立， 所以lg a =0， 故a =1． 故答案为1．14.答案：1解析：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示阴影部分的△ABC(包含边界)，由z =2x +y 可得y =−2x +z ，则z 为直线在y 轴上的截距 把直线L ：y =−2x 向上平移至经过点A 时，z 最小， 此时由{x +y −1=0x +2y −2=0可得A(0,1) 此时z =1， 故答案为：1．根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数z =2x +y 可得y =−2x +z ，此时z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求z 的最值.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z的意义是关键．15.答案：30−10√5解析：解：圆x 2+y 2−2x +4y −20=0，化为标准方程为(x −1)2+(y +2)2=25 ∴圆心坐标为(1,−2)，半径r =5，∴原点到圆心的距离为√5，则a 2+b 2最小值为(5−√5)2=30−10√5． 故答案为：30−10√5将圆的方程化为标准方程，求出原点到圆心的距离，即可求得a 2+b 2的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.答案：30√3解析：解：设OP =x ，在Rt △POA 中，由∠PAO =45°，得AO =x ， 在Rt △POB 中，由∠PBO =60°，得OB =√33x ，在△AOB 中，∵AB =30，∠AOB =30°， ∴302=x 2+(√33x)2−2x ⋅√33x ⋅cos30°，得x 2=2700，x =30√3(米)． 故答案为：30√3．设OP =x ，由已知求得OA ，OB ，在△AOB 中，由余弦定理列式求解x 值得答案． 本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是中档题．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 1+a 2=5a 3=7，即{2a 1+d =5a 1+2d =7，解得{a 1=1d =3， ∴a n =a 1+(n −1)d =1+3(n −1)=3n −2， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3n −2，(n ∈N ∗). (2)∵1an a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)， ∴数列{1an a n+1}的前n 项和S n =1a 1a 2+1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n−1a n +1a n a n+1=13(1−14)+13(14−17)+13(17−110)+⋯+13(13n −5−13n −2)+13(13n −2−13n +1)=13(1−13n+1)=n3n+1．解析：本题考查等差数列的通项公式及裂项相消法求和，属于基础题． (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 1+a 2=5a 3=7可解得a 1，d ，从而可求得a n ；(2)表示出1an a n+1，利用裂项相消法可求得S n ．18.答案：证明：(1)∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由题意得：B(1,0，0)，P(0,0，2)，C(2,2，0)，E(1,1，1)，D(0,2，0)， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以BE ⊥DC ；解：(2)BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 由点F 在棱PC 上，设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,2−2λ,2λ)， ∵BF ⊥AC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1−2λ)+2(2−2λ)=0， 解得：λ=34， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,32)，设平面FAB 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +32z =0， 不妨令z =1，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,1)，因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AD ，又AD ⊥AB ，AP ∩AB =A ，AP ，AB ⊂平面ABP ， 所以AD ⊥平面ABP ，可取平面ABP 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10=−3√1010， 易知，二面角F −AB −P 是锐角， 所以锐二面角F −AB −P 的余弦值为3√1010．解析：本题考查线面垂直的判定和性质，利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BE ⊥DC;(2)设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1)，通过BF ⊥AC ，解得：λ=34，求出平面FAB 的法向量，平面ABP 的一个法向量，即可得解．19.答案：解：(Ⅰ)由题意可得，直线l 的方程为y =x −p2，联立方程{y =x −p2y 2=2px，消去y 整理得x 2−3px +p 24=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p ， 故|AB|=x 1+x 2+p =4p =8，∴p =2， ∴抛物线C 方程为y 2=4x ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线x =−p2即x =−1，A(y 124,y 1)(y 1≠0)，设切线方程为y −y 1=k(x −y 124)，联立方程{y −y 1=k(x −y 124)y 2=4x，消去x 得：k 4y 2−y +y 1−ky 124=0，∵△=1−k(y 1−ky 124)=0，∴k 2y 124−ky 1+1=0，即k =2y 1，∴切线方程为y −y 1=2y 1(x −y 124)，则4x −2y 1y +y 12=0，令x =−1，得y =y 12−2y 1，即D(−1,y 12−2y 1y 12−2y 1)，∴以AD 为直径的圆为(x +1)(x −y 124)+(y −y 1)(y −y 12+2y 1)=0，由抛物线的对称性，若以AD 为直径的圆经过定点，则此定点一定在x 轴上， ∴令y =0，得(x −1)(x +2−y 124)=0，得x =1，故存在定点M(1,0)在以AD 为直径的圆上．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，再由抛物线的焦点弦长公式列式求得p ，则抛物线方程可求；(Ⅱ)设出A 的坐标，得到过A 点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0把切线的斜率用A 的纵坐标表示，进一步求得D 点坐标，得到以AD 为直径的圆的方程，从而得到存在定点M(1,0)在以AD 为直径的圆上．20.答案：解：(1)y ={5x −4(40−x),x <40200,x ≥40，即y ={9x −160,x <40200,x ≥40．(2)根据(1)中函数关系完成统计表如下：所以获利不低于150元的概率为P =1−10+16100=0.74．(3)65×10100+110×16100+155×28100+200×(24100+14100+8100)=159.5， 所以快餐店每天平均利润为159.5元．解析：【试题解析】本题考查函数与方程的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题． (1)利用已知条件，直接写出获得利润y 与销售早餐份数x(x ∈N)的函数关系式；(2)利用对立事件的概率以及古典概型求解即可．(3)利用分布表，转化求解期望即可得到该快餐店每天的平均利润．21.答案：解：f(x)的定义域为，(Ⅰ)若a =1，则，此时f(1)=2，因为f ′(x)=2x +1−12x ，所以f ′(1)=52，故所求切线方程为y −2=52(x −1)，即5x −2y −1=0； (Ⅱ)由于，，(1)当a ⩾0时，，f ′(x)=2x +a −12x=4x 2+2ax−12x，令f ′(x)=0，得x 1=−a+√a2+44>0，x 2=−a−√a 2+44<0(舍去)，且当x ∈(0,x 1)时，f ′(x)<0；当时，f ′(x)>0， 所以f(x)在(0,x 1)上单调递减，在上单调递增，f(x)的极小值点为x =−a+√a2+44．(2)当a <0时，①当x ⩾−a 时，f ′(x)=4x 2+2ax−12x，令f ′(x)=0，得x 1=−a+√a2+44，x 2=−a−√a2+44<−a(舍去)，若−a+√a2+44⩽−a ，即a ⩽−√22时，则f ′(x)⩾0，所以f(x)在上单调递增；若−a+√a2+44>−a ，即−√22<a <0时，则当x ∈(−a,x 1)时，f ′(x)<0；当时，f ′(x)>0， 所以f(x)在区间(−a,x 1)上单调递减，在上单调递增；②当0<x <−a 时，f ′(x)=−2x −a −12x =−4x 2−2ax−12x，令f ′(x)=0，得−4x 2−2ax −1=0，记，当，即−2⩽a <0时，f ′(x)⩽0，所以f(x)在(0,−a)上单调递减；当，即a <−2时，由f ′(x)=0，得x 3=−a−√a2−44，x 4=−a+√a2−44且0<x 3<x 4<−a ，当x ∈(0,x 3)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 3,x 4)时，f ′(x)>0；当x ∈(x 4,−a)时，f ′(x)<0， 所以f(x)在区间(0,x 3)上单调递减，在(x 3,x 4)上单调递增；在(x 4,−a)上单调递减； 综上所述，当a <−2时，f(x)的极小值点为x =−a−√a2−44和x =−a ，极大值点为x =−a+√a2−44；当−2⩽a ⩽√22时，f(x)的极小值点为x =−a ；当a >−√22时，f(x)的极小值点为x =−a+√a2+44．解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数求函数的极值，考查分类讨论思想，属于较难题． (1)求出f(1)，利用导数求出f′(1)，即得切线斜率，由点斜式求得切线方程；(2)当a ⩾0时，去绝对值，求出导函数，得到导函数的零点，即可求得原函数的单调性，求得极值点，当a <0时，分段去绝对值，化为分段函数，再根据分段函数分别研究单调性，求得极值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsinπ4,(t 为参数)， 即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0， 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2， 又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4， 所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当x ≤−1时，不等式f(x)≤4可化为：−3x ≤x +2，解得：x ≥−12(舍去)；当−1<x <12时，不等式f(x)≤4可化为−x +2≤x +2，解得：x ≥0，即0≤x <12；当x ≥12时，不等式f(x)≤4可化为3x ≤x +2，解得：x ≤1，即12≤x ≤1．综上可得：不等式f(x)≤x +2的解集为[0,1]； (2)g(x)=|x +2019|+|x +2021−a|，则g(x)=|−x −2019|+|x +2021−a|≥|−x −2019+x +2021−a|=|a −2|， f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x <123x,x ≥12，图象如图：则当x =12时，函数f(x)取最小值32，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立， 则|a −2|≤32， 解得：12≤a ≤72． 故实数a 的取值范围为[12,72].解析：(1)由函数f(x)=|x +1|+|2x −1|，利用零点分段法，可得不等式f(x)≤x +2的解集； (2)利用放缩法求得g(x)的最小值为|a −2|，由分段函数求得f(x)的最小值为32，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则|a −2|≤32，求解可得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题．。
山东省2020年高考数学(理)冲刺卷及答案(二)
绝密★启用前 试卷类型A山东省2020年高考模拟冲刺卷（二） 理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2B ．3C ．11D ．62、在ABC ∆中，设命题B cA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（ ） A ．22B ． 2C ．－ 22D ．－ 24、如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．52 B ．107 C ．54D ．109 5、在ABC ∆中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，︒=30B ，ABC ∆的面积为23，那么=b（ ） A 13+ B ．13 C 23+ D ．236、直线L 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M 的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为（ ）A ．2224y x y x ==或B ．2248y x y x ==或C ．2268y x y x ==或D ．2228y x y x ==或7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．3160B ．160C ．23264+D ．2888+8、．如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表x ()f x ()y f x =[0,]（ ）xO1 π yx OB1 π yxO1π y x O1 π y9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡，已知),10(mod ,22212020202202120b a C C C a ≡++++=且Λ则b 的值可为 （ ）A ．2020B ．2020C ．2020D ．202010、若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()f x =则函数()()xH x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ） A ．4 B ．8 C ．6 D ．10第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知21k π-=⎰，直线1y kx =+交圆22:1P x y +=于,A B 两点，则AB = ．12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为 ．13、已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合B A ⋂= ．14、若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L ．15、给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数．则其中真命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，且m n ⊥u r r．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32Af =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30。
2020届全国高考理科数学模拟冲刺卷二(含答案)
2020届全国高考模拟冲刺卷 二数学(理)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两卷.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知集合{}{}1,2,2,3,4M N ==若,P M N =⋃则P 的子集个数为( ) A ．14B ．15C ．16D ．322、已知a R ∈,i 是虚数单位,若z a =+,4z z ⋅=，则a = ( ) A. 1或1-B.或C.D.3、设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b ＝＋＋ (b 为常数)，则1()f －＝( )A.1B.1－C.3D.3－4、下面与角233n终边相同的角是（ ） A.43π B.3πC.53π D.23π 5、已知12==，a b ，且()()52+⊥-a b a b ，则a 与b 的夹角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°6、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ）A ．1123B ．112C ．12127D ．1217、已知R x y ∈,，且0x y ＞＞，则（ ） A ．110x y->B ． sin sin 0x y ->C ．11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ln ln 0x y +>8、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为( )A.()4πB.()4πC.()6π1+D.()6π1++9、当方程22220x y kx y k ＋＋＋＋＝所表示的圆的面积最大时，直线1()2y k x ＝－＋的倾斜角α的值为（ ） A. 4πB.34πC.32πD. 54π10、某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,……,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A.623B.328C.253D.00711、已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，则椭圆22221x y a b +=的离心率为（ ）A ．12B12、若函数2()e (2)x f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．[(2-，(2+ B．((2-，(2+C．((2-，0) D ．(0，(2+第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、在如图所示的程序框图中，若输入x 的值为12log 3，则输出的y 为.14、若,a b R ∈,0ab >,则4441a b ab ++的最小值为__________.15、函数()sin(23f x x π=+在区间[0,]4π的最小值为__________.16、已知等边ABC △的边长为，,M N 分别为AB AC ,的中点，将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -.点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，已知ABC △的面积2224b c a S +-=(1)求A .(2)作角B 的平分线交边AC 于点O ，记AOB △和BOC △的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.18、某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)．1.求居民月收入在[3000,3500)的频率；2.根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；3.为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系．必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽取100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？19、已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，,M N 分别为棱,BE AD 的中点，1,2AB AD ==.（1）证明：直线//AM 平面NEC ； （2）求异面直线AM 与CN 的成角余弦值。
2020年高三数学冲刺试卷之二(理科)
____ 班级 座号________ 姓名____________________…………………………………………………………………….密…………………….封………………线…………………………………………2020年高三数学高考冲刺模拟试卷（理科2）（满分150分）一、选择题（每小题 5 分，12 小题共计60分）1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么U A =ð( ) (A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥ (D) {23}x x ≤≤ 2．6的展开式中常数项是( ) (A) -160 (B) -20 (C) 20 (D) 160 3. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是( )A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C ．34π⎫⎪⎭D ． 54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为( )A ．0B ．1C ．2D ．115.若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为( )（A ）5n ≤ （B ）6n ≤ （C ）7n ≤ （D ）8n ≤高三数学试卷 共6页 第1页6.已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为( ) （A ）51-（B ）57（C ）57-（D ）43 7．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=L 的整数k ( )（A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个 （D ）不存在 8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +( ) （A ）最小值为15 （B）最小值为5 （C ）最大值为15（D）最大值为59．一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上,数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为( )（A ）7575A A -（B ）2545A A（C ）115565A A A（D ）61156455A A A A +10．对于四面体ABCD ，有如下命题 ①棱AB 与CD 所在的直线异面；②过点A 作四面体ABCD 的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点； ③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④分别作三组相对棱的中点连线，所得的三条线段相交于一点， 其中正确的是( ) (A) ①(B) ②③(C) ①④(D) ①③11．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论： ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ② 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-其中，所有正确结论的序号是( )高三数学试卷 共6页 第2页A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③12. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r的实数λ的值有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（每小题 5 分，4小题共计20分）13．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线 3x+4y+14=0的距离是 ． 14．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上 一点，已知∠D=46°，则∠A= ．15．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 ．16．已知圆M ：x 2+y 2-2x-4y+1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．三、解答题（(共6题，70分)17、（15）（本小题共10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若25a =，求△ABC 面积的最大值．高三数学试卷 共6页 第3页得分评卷人得分 评卷人ABCDOA1D 1A 1C 1B DC BOPNM Q18.（本小题共10分）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=o ，2AB PB PD ===，3PC =，AC 与BD 交于O 点，E ，H 分别为PA ，OC 的中点．（Ⅰ）求证：EC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．19.（本小题共12分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．高三数学试卷 共6页 第4页OE CDPH20.（本小题共12分） 已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）设函数f(x)的图象与x 轴交点为A ，曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()'()axg x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．21. （本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范围. 高三数学试卷 共6页 第5页22(0)y px p =>F F y P ,A B A FA y 1FA AP λ=u u u r u u u r 2BF FA λ=u u u r u u u r 1211[,]42λλ∈2λ22.（本小题满分13分）定义为有限项数列的波动强度.（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若数列满足，求证：； （Ⅲ）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列.高三数学试卷 共6页 第6页=),,,(21n a a a Λτ12231||||||n n a a a a a a --+-++-L {}n a (1)nn a =-12100(,,,)a a a τL ,,,a b c d ()()0a b b c -->(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤{}n a {}n a {}n a2020年高三数学高考冲刺模拟试卷（理科2）参考答案一、选择题 1-6 B A A C C B 7-12 B A D C B C二、填空题 13．3 14．67°15．221432x y -=，y =± 16．2 三、解答题 17.（共10分） 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC 中，sin 0C ≠． 所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b c bc bc +-=≥-所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ．所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤所以三角形面积的最大值为53． 18.（共10分）（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点， 所以EO ∥PC ．又EO ⊂平面BDE ,PC ⊄平面BDE ． 所以PC ∥平面BDE ． （Ⅱ）证明：连结OP ， 因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD AC ⊥， 又因为OP AC O =I ， 所以BD ⊥平面PAC ． 又PH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥PH ．在直角三角形POB 中，1OB =，2PB =， 所以3OP =． 又3PC =，H 为OC 的中点，所以PH OC ⊥．又因为BD OC O =I 所以PH ⊥平面ABCD ．（Ⅲ）解：过点O 作OZ ∥PH ，所以OZ ⊥平面ABCD ．如图，以O 为原点，OA ，OB ，OZ 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．可得，(3,0,0)A ，(0,1,0)B ，(3,0,0)C -，33(,0,)22P -，33(,0,)44E ． 所以(3,1,0)AB =-u u u r ，333(,0,)22AP =-u u u r ， 533(,0,)44CE =u u u r ．OECDH设(,,)x y z =n 是平面PAB 的一个法向量，则AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n，即03022y x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，则=n ．设直线CE 与平面PAB 所成的角为θ，可得4sin cos ,7n CE ==u u u r θ〈〉．所以直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值为47． 19.（本小题共12分）解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ． ……1分则P(A)=111114444256⨯⨯⨯=，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分 P(B)33341-A =2565= （列式正确，计算错误，扣1分） ………5分三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P(C)222444111111111111()()()444444444444A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯964=．…7分 （Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则1,2,3ξ=． ……8分1(1)4P ξ==， 313(2)4416P ξ==⨯=，3319(3)44464P ξ==⨯⨯=，27(4)1(1)(2)(3)64P P P P ξξξξ==-=-=-==．（各1分） 故取球次数ξ的分布列为139271234 2.754166464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．(约为2.7) …12分20.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥， ∴2'()1f x x ax =++． ……………………1分 ∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-，∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩， ……………………3分∴1=a ，611-=b ． （各1分） …………………5分 （Ⅱ）'()()ax f x g x e=21axx ax e ++=()x R ∈． '()g x =22(2)(1)()ax ax ax x a e a x ax e e +-++2[(2)]axx ax a e -=-+-． ………………7分 ①当0a =时，'()2g x x =，()g x ………………9分②当0a >时，令'()0g x =，得0x =或2x a a=- ……………10分（ⅰ）当20a a->，即0a <<时，()g x 的单调递增区间为2(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，2(,)a a-+∞；……11分（ⅱ）当20a a-=，即a ='()g x =2220x x e -=-≤， 故()g x 在(,)-∞+∞单调递减； ……12分 （ⅲ）当20a a-<，即a >()g x 在2(,0)a a-上单调递增，在(0,)+∞，2(,)a a --∞上单调递减 ………13分 综上所述，当0a =时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；当0a <<时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-，单调递减区间为(,0)-∞， 当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当a >()g x 的单调递增区间为22(,0)a a-，单调递减区间为(0,)+∞，22(,)a a --∞．（“综上所述”要求一定要写出来）21. （共13分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C 上，解得2m =±，所以||OP =……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. 11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，OP ≤综上，所求OP的取值范围是. ………………………13分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①② ………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分由已知可得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分 由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ …………12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，OP ≤所求OP的取值范围是2. ………………………13分 22. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======L12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++====L112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =L ，则当m M ≥时必有m b n =， 所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=L L所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--L1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-L233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-L L L L 23[2(1)]M k k M k =-+++-L12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++L L 123()n M a a a a b =-+++++L 123()n a a a a n=-+++++L…………………12分∵123100n a a a a n ++++-=L ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. ………………………………………13分。
2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(二)含答案
2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设1i2i 1iz -=++（i 为虚数单位），则||z =( ) A ．0B ．12C ．1D2．若集合21|M y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{|N x y ==，那么M N ⋂=（） A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 3．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）A ．B ．C ．D ．2 4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）}{n a 25932a a a =21222A ．750B ．500C ．375D ．2505．若,,a b c 满足223,log 5,32a cb ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 7．已知实数,x y 满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是（） A ．[]2,1-B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,3-8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]5,1--D ．[]2,1-11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45πB ．57πC ．63πD ．84π12．若函数()1(2)ln xf x a x e x x =-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e -∞-B ．1(,)e -∞-C ．2111(,)(,)4e e e -∞---UD ．211(,)(1,)4e e--⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________.14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u v u u u v u u u v_________.15．若4()(2)ax y x y -+的展开式中23x y 的系数为8，则a =_________．16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足tan tan 2A aC b a=-． （1）求角C ；（2）设D 为边AB 的中点，ABC ∆的面积为CD 的最小值．18．(12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=.19．(12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 20．(12分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.21．(12分）函数()22()22ln 4f x x x x x x =--+. （1）求()f x 在x e =处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（2）设32()33()g x x x x f x =-++，若1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：121x x <. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈. （1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． C.2． D.3． C.4． C.5． A .6． B.7． B.8． B.9． C.10． B11． B.12． D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 214．144 2515． 1 16． 4三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）由正弦定理：sin 22sin sin a A b a B A =--，又tan sin cos tan cos sin A A CC A C=， 由题tan tan 2A a C b a=-，所以sin cos cos sin A C A C sin 2sin sin AB A =-.因为sin 0A ≠，所以cos (2sin sin )cos sinC B A A C -=,即cos sin cos sin 2sin cos C A A C B C +=,即sin sin()2sin cos B A C B C =+=, 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =，则3C π=.（2）由1sin 2ABC S ab C ∆=，即12ab 12ab =.由1()2CD CA CB =+u u u v u u u v u u u v ,所以2221(2)4CD CA CB CA CB =++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 222211(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++1(2)94ab ab ≥+=当且仅当a b =时取等,所以边CD 的最小值为3. 18．（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ，依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥，又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.19．（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ,//,AB CE AB CE =Q ,∴四边形ABCE 为平行四边形,AE BC AD DE ∴===,ADE ∴∆为等边三角形,∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=,BD BC ⊥,BD AE ∴⊥,翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥.又OP ⊂Q 平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =I ,AE ∴⊥平面POB .PB ⊂Q 平面POB ,AE PB ∴⊥.（2）解：在平面POB 内作PQ ⊥OB,垂足为Q ，因为AE ⊥平面POB ，∴AE ⊥PQ ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O,∴PQ ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP ⊥OB ，∴O 、Q 两点重合，即OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为111(,0,0),(0,(,0,(2222222P E C PE EC ∴=-=u u u r u u u r ,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =u r，则1110022,,01022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩u u u v u v u u uv u v设x =y=-1,z=1，∴1,1)n =u r ，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =u u r，设二面角A-EP-C 为α，1212|||cos |=||||n n n n α⋅==u r u u ru r u u r .易知二面角A-EP-C为钝角，所以cos α.20．（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y ,令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--u u u r u u u r∵613AB BC =u u u r u u u r ， ∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-=, ∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a =∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e =. （2）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==,∴椭圆的方程为2234120x y t +-=,由2234120x y t y kx m ⎧+-=⎨=+⎩得222(34)84120k x kmx m t +++-=,∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P,∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=,整理得2234m t k t =+, 设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k=+=+, ∴2243(,)3434km mP k k -++,又(1,0)M ,Q (4,4)k m +,若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k+-⋅--+=++恒成立,整理得2234k m +=, ∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =,所求椭圆方程为22143x y +=.21．（1）2()f e e =，()()41ln ,f x x x =-'则()4(1)f e e '=-，故()f x 在x e =处的切线方程为()()241e e y x e -=--即()241340e y e e x ---+=；（2）证明：由题可得()()()23141ln g x x x x =-+-'，()10g '=，当01x <<时，10,ln 0x x -<<，则()0g x '>；当1x >时，10,ln 0x x ->>，则()0g x '>， 所以，当0x >时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+上是增函数. 设()()()101G x g x g x x ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭， 则()()()()22431111311411ln G x g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎝⎭⎭''， 当01x <<时，10,ln 0x x -<<，431110,10,x x-<-<则()0G x '<，()G x 在()0,1上递减. 不妨设120x x <<，由于()g x 在()0,∞+上是增函数，则()()12g x g x <， 又()()128g x g x +=，()14g =，则()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<， 由101x <<，()G x 在()0,1上递减，则()()()11218G x G g >==，所以()1118g x g x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则()()12118g g x g x x ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭， 又2111,1x x >>，()g x 在()0,∞+上是增函数，所以，211x x >，即121x x <. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=,曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=,由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t ,所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤,∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）()21f x x ≤+Q 的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤,a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
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2020年高考大冲刺卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2160A x x =-≤，{}lg 20B x x =->，则A B =I （ ）A ．[4,1)(3,4]-UB ．[4,3)(1,4]---UC ．(4,1)(3,4)-UD ．(4,3)(1,4)---U2．已知复数i z a b =+（a ，b ∈R ），若(1i)(1i)i a b +-=，则z =（ ） A ．3B ．2C ．5D ．53．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．1084．正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．545．已知函数31()4f x x ax =++，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．34 C ．12- D ．34-6．在ABC △中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．137．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <8．将函sin(3)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π9个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“π6ϕ=”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且点(,)n n a S 在直线3210x y --=上，则43S S =（ ） 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．157B ．4013C ．112D ．311．已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）的左、右交点，其半焦距为c ，点P 在双曲线E 上，1PF 与x 轴垂直，1F 到直线2PF 的距离为23c ，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．212．设函数21()(1)1ln 2f x x a x x =-+++，其中0a >，若存在唯一的正整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,1]C ．(0,2ln 2)+D ．11ln 2(,]22+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在32()nx x-的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2x f x =， 则3(1)()2f f -+= ．15．在三棱锥P ABC -，PA AB ⊥，AC AB ⊥，3PA =，4AC =，5PC =，且三棱锥P ABC -的外接球的表面积为28π，则AB = ．16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 且斜率为13的直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则cos AOB ∠= ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，ABC △的面积为23sin aA，且1cos cos 6B C =． （1）求角A 的值；（2）若33b c +=，求a 的值．18．（12分）如图，几何体EF ABCD -中，平面ABCD ⊥平面EFCD ，四边形CDEF 为边长为2的正方形，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD =，4AB =． （1）求证：AC FB ⊥；（2）求二面角E FB D --的余弦值．19．（12分）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩分（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？ （3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤．（精确到0.001） 附：①2204.75s =204.7514.31≈；②2(,)z N μσ:，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=．20．（12分）已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x =-+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切．（1）求实数a ，m 的值；（2）当0m >，求()()()F x f x g x =-在[1,1]-上的最值．21．（12分）已知0m >，0n >且m n ≠，圆222:()4M x m y n ++=，点(,0)N m ，P 是圆M 上的动点，线段PN 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，点Q 的轨迹为曲线C ． （1）讨论曲线C 的形状，并求其方程；（2）若1m =，且QMN △l 过点N 且不垂直于坐标轴，l 与曲线C 交于A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ．求证：直线AD 过定点，并求出该定点的坐标．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是π2sin()3ρθ+=π:3OM θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()()f x x a a =-∈R ．（1）若关于x 的不等式()21f x x ≥+的解集为1[3,]3-，求a 的值； （2）若x ∀∈R ，不等式2()2f x x a a a -+≤-恒成立，求a 的取值范围．2020年高考大冲刺卷理 科 数 学（二）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解：求解二次不等式可得{44}A x x =-≤≤， 求解对数不等式可得{3B x x =>或1}x <， 结合交集的定义有[4,1)(3,4]A B =-I U ． 2．答案：C解：(1i)(1i)i a b +-=可化为1(1)i i a a b ++-=，因为a ，b ∈R ，故101a a b +=⎧⎨-=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以12i z =--，故z =3．答案：B解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为12，2，则小正方形的边长为122-，小正方形的面积21)1222S =-=-则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为12500(1500(10.866)5000.1345006711-⨯=-⨯≈-⨯=⨯=⨯． 4．答案：C解：∵正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，∴2552150a a --=，解得55a =或53a =-（舍），∴91959()995452S a a a =+==⨯=． 5．答案：D解：求导得2()3f x x a '=+，∵x 轴为曲线()y f x =的切线，∴可设切点为0(,0)x ，则0300()0104f x x ax '=⎧⎪⎨++=⎪⎩，即2030030104x a x ax ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得34a =-． 6．答案：A解：根据题意，设BH xBC =u u u r u u u r，则11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r11(1)22x AB xAC =-+u u u r u u u r ， 又AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，∴1(1)2x λ=-，12x μ=，∴111(1)222x x λμ+=-+=．7．答案：D解：经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110122S =+=⨯，112i =+=； 第二次循环：1122233S =+=⨯，213i =+=； 第三次循环：2133344S =+=⨯，314i =+=， 此时退出循环，根据判断框内跳出循环的语句，∴4?i <，故选D ． 8．答案：A解：将函数sin(3)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π9个单位长度， 得到的图象对应函数的解析式为ππ()sin[3()]sin(3)93f x x x ϕϕ=++=++，若函数()y f x =为偶函数，则πππ()32k k ϕ+=+∈Z ，解得ππ()6k k ϕ=+∈Z ，当0k =时，π6ϕ=，因此，“π6ϕ=”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件．9．答案：B解：设()ln 1g x x x =--，(1)0g =， 则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U ．1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增； 当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=，则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >， 故选B ． 10．答案：B解：∵点(,)n n a S 在直线3210x y --=上，∴3210n n a S --=， 当2n ≥时，113210n n a S ----=，两式相减，得13(2n n a a n -=≥且)n *∈N ，又当1n =时，113210a S --=，则11a =， ∴{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， ∴1(13)31132nnn S ⨯--==-，故443332403113S S -==-． 11．答案：A解：因为1PF 与x 轴垂直，所以12PF F △为直角三角形且直角顶点为1F ，因为122F F c =，1F 到直线2PF 的距离为23c ，故21213sin 23cPF F c ∠==． 因为21PF F ∠为锐角，故21cos PF F ∠=21tan PF F ∠=．在12PF F Rt △中，1212tan 2PF c PF F c =⨯∠==，2212cos 2c PF PF F ==∠．由双曲线的定义可得212a PF PF =-=，故ce a== 12．答案：D解：因为21()(1)1ln 2f x x a x x =-+++，故2111()2af e e e e =--，因为0a >，21102e e -<，故1()0f e<，又2(1)1()x a x f x x-++'=，若01a <≤，则2(1)40Δa =+-≤，故2(1)10x a x -++≥恒成立且不恒为零，所以()0f x '≥恒成立且不恒为零，故()f x 在(0,)+∞为增函数， 因为存在唯一的正整数0x 使得0()0f x <，故(1)0(2)0f f <⎧⎨≥⎩，解得11ln 2(,]22a +∈． 若1a >，则1(1)02f a =-<，(2)1ln 22ln 210f a =+-<-<， 与题设矛盾，故舍去1a >，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：112解：2)nx的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，∴8n =， 通项公式为4843318C (2)(2)C n r r rrrr r nT xx--+=⋅-⋅=-⋅⋅，令8403r -=，求得2r =，可得二项展开式常数项等于284C 112⨯=． 14．答案：解：因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数， 故(1)0f -=，且(1)(1)f f -=-， 所以(1)(1)f f -=--，即(1)0f -=．又123111()(2)()()22222f f f f =-=-=-=-=3(1)()2f f -+=．15解：∵3PA =，4AC =，5PC =，∴222PA AC PC +=，则PA AC ⊥， 又PA AB ⊥，AC AB ⊥，∴三棱锥P ABC -可以补成一个长方体，则其外接球的半径r =∴4π28π=，即AB = 16．答案：313-解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2p F ，设1:()32pAB y x =-，联立22y px =，可得224760x px p -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1219x x p +=，212x x p =-，则2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-u u u r u u u r ，22222211221122()()(2)(2)OA OB x y x y x px x px ⋅=++=++u u u r u u u r22222212121213(44())(438)444p p x x x x p p x x p p p =+++=++=， 则22334cos 13134p OA OB AOB OA OB p -⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．答案：（1）π3A =；（2）3． 解：（1）由题意得21sin 23sin a bc A A=，由正弦定理得2221(2)sin (2)sin sin sin 23sin R A R B C A A=（R 为ABC △外接圆的半径），∴2sin sin 3B C =， ∴1cos cos()cos cos sin sin 2A B C B C B C =-+=-+=， ∵(0,π)A ∈，∴π3A =．（2）由正弦定理可得232π3sin 3a R a ==， 又21sin 3sin 2a bc AA =，故223339sin 2248a bc A b c bc ==⨯⨯⨯=． 由余弦定理得222222π2cos()33a b c bc b c bc b c bc =+-=+-=+-， ∴222883333333393a bc a a =-=-⨯=-，解得3a =．18．答案：（1）证明见解析；（2）310535． 解：（1）证明：过点C 作CH AB ⊥于H ，∵ABCD 为等腰梯形，则AB CD ∥， 又2AD DC ==，4AB =，∴1BH =， 又∵2BC =，∴60ABC ∠=︒，又∵4AB =，2BC =，故1642423AC =+-⨯=， 故222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，∵平面ABCD ⊥平面EFCD ，FC CD ⊥，平面ABCD I 平面EFCD CD =，∴FC ⊥平面ABCD ．∵AC ⊂平面ABCD ，∴AC FC ⊥，又∵AC BC ⊥，BC FC C =I ，∴AC ⊥平面BFC ， ∵FB ⊂平面BFC ，∴AC FB ⊥．（2）以CA 方向为x 轴，CB 方向为y 轴，CF 方向为z 轴建立空间直角坐标系， 则(23,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)F ，(3,1,0)D -，设平面EFB 和平面DFB 的法向量分别为1111(,,)x y z =n 和2222(,,)x y z =n ，则1100BF BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n ，即11112202320y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取11x =，得1(13,3)=n ；又2200BF DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即22222220320y z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取21y =，得2(3,1,1)=n ，则12333105cos ,35133311==++⋅++n n ， ∴二面角E FB D --的余弦值为310535．19．答案：（1）70.5分；（2）约634人；（3）0.499． 解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分．（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，10.6826(84.81)0.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人． （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=， 而(4,0.8413)B ξ:，∴444(3)1(4)1C 0.841310.5010.499P P ξξ≤=-==-⋅=-=． 20．答案：（1）1a =，2m =或20227m =-；（2）min 23()1F x =-，min 23()1F x =-． 解：（1）联立2223y x ay x x =-⎧⎨=-+⎩，可得2430x x a -++=， ∵164(3)0Δa =-+=，∴1a =．设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2000()3232f x x x '=+-=，∴01x =或053x =-．当01x =时，01y =，∴11312m m +-+=⇒=；当053x =-时，0133y =-，∴12525132025279327m m -+++=-⇒=-，∴2m =或20227m =-．（2）由（1）2m =，∴3()1F x x x =--，∴2()31F x x '=-，令()0F x '≥，则31x -≤≤31x ≤≤；令()0F x '<，则33x <<， ∴()F x 在3(1,)-和3上单调递增，在33[上单调递减， 又(1)(1)1F F -==-，33(139F -=-，33139=-， ∴min 323())139F x F ==--，min 323()()139F x F =-=-． 21．答案：（1）见解析；（2）证明见解析，定点为(4,0)．解：（1）当m n <时，点N 在圆M 内，22QN QM QP QM n MN m +=+=>=，故曲线C 是以M ，N 为焦点，以2n 为长轴长的椭圆，其方程为222221x y n n m +=-；当m n >时，点N 在圆M 外，22QM QN QN QP n MN m -=-=<=，曲线C 是以M ，N 为焦点，以2n 为实轴长的双曲线，其方程为222221x y n m n-=-， 综上，当m n <时，曲线C 是椭圆，其方程为222221x yn n m +=-； 当m n >时，曲线C 是双曲线其方程为222221x yn m n-=-． （2）由QMN △3C 只可能是椭圆， 由椭圆几何性质知，当Q 位于短轴端点时其面积有最大值，因22MN m ==3又因焦距为2，故曲线C 的方程为22143x y +=．设:1(0)l x ty t =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(,)D x y -，联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，得22(34)690t y ty ++-=， ∴122634t y y t +=-+，122934y y t =-+， 直线121112:()y y AD y y x x x x +-=--，由椭圆的对称性知，若直线AD 过定点M ，则该定点M 必在x 轴上， 故令0y =，得2112121212214M x y x y ty y x y y y y +==+=++，所以直线AD 过定点(4,0)．22．答案：（1）2cos ρθ=；（2）2PQ =． 解：（1）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（2）设11(,)P ρθ，则由2cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11ρ=，1π3θ=，得π(1,)3P ； 设22(,)Q ρθ，则由π2sin()3π3ρθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得23ρ=，2π3θ=，得π(3,)3Q ，所以2PQ =．23．答案：（1）2a =；（2）(,0)[4,)-∞+∞U ． 解：（1）()21f x x ≥+，即21x a x -≥+， 两边平方并整理得2232(2)10x a x a +++-≤， 由已知3-，13是关于x 的方程2232(2)10x a x a +++-=的两根， 由韦达定理得242133311(3)33aa +⎧-=-+⎪⎪⎨-⎪=-⨯⎪⎩， 又因为224(2)12(1)0Δa a =+-->，解得2a =．（2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a -+=--+≤--+=， 所以不等式2()2f x x a a a -+≤-恒成立，只需222a a a ≤-， 当0a ≥时，222a a a ≤-，解得4a ≥或0a =； 当0a <时，222a a a -≤-，解得0a <，综上可知实数a 的取值范围是(,0)[4,)-∞+∞U ．。