新北师大版高中数学必修二同步练习：2.3.1~2.3.2空间直角坐标系中点的坐标(含答案)

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高中数学(北师大版,必修2)活页规范训练：2-3-1～3空间直角坐标系(含答案)

2-3-1～3空间直角坐标系双基达标 (限时20分钟)1．已知A (－1,2,7)，B (－3，－10，－9)，则线段AB 中点关于原点对称的点的坐标是( )．A ．(4,8,2)B ．(4,2,8)C ．(4,2,1)D ．(2,4,1)解析 AB 中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2,4,1)．答案 D2．关于空间直角坐标系，下列叙述正确的是( )．A ．点P (x ，y ，z )中x ，y ，z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与三元有序数组(x ，y ，z )具有一一对应关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分成了八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标、位置可以相同解析选项A 中，x ，y ，z 的位置不可以互换；在空间中是三个坐标平面把空间分成了八部分而不是三条坐标轴，故C 选项错误；对空间中的一点，在不同的坐标系中所对应的三元有序数组不同，位置就不同，D 选项也错误，故选B.答案 B3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离为( )． A.534 B.532 C.532 D.132解析 ∵AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，故|CM |＝ (2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝ 534＝532，故选C.答案 C4．点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 面的距离为n ，则m 2＋n ＝________.解析 ∵点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ＝(－3)2＋52＝34，到xOy 面的距离为n ＝5，∴m 2＋n ＝39.答案 395．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO -A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为________．解析由图易知A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A ′(a,0，a )．∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. ∴|EF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22 ＝ a 24＋a 24＝22a .答案 22a6．(1)在z 轴上求一点，使它到点A (4,5,6)与到点B (－7,3,11)的距离相等；(2)已知点P 到坐标原点的距离等于23，且它的坐标分量相等，求该点坐标．解 (1)设z 轴上一点P (0,0，z )，则|P A |＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z )2，|PB |＝(－7－0)2＋(3－0)2＋(11－z )2，由|P A |＝|PB |，得z ＝515，∴所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，515. (2)设点P 的坐标为(x ，x ，x )，则d |OP |＝x 2＋x 2＋x 2＝3x 2＝23，∴x 2＝4，x ＝±2，所求点的坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．综合提高 (限时25分钟)7．已知△ABC 顶点坐标分别为A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，3，则△ABC 的形状为( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵|AB |＝5，|BC |＝3102，|AC |＝102，∴|AB |2＝|BC |2＋|AC |2，∴△ABC 为直角三角形．答案 C8．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A 、B 两点间的距离的最小值是( )．A.55B.555C.355D.115解析 |AB |2＝(t ＋1)2＋(1－2t )2＋02＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥95，∴|AB |min ＝355，故选C. 答案 C9．已知平行四边形ABCD ，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．解析由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1，设D (x ，y ，z )，则72＝x ＋22，4＝－5＋y 2，－1＝1＋z 2，∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，所以D (5,13，－3)．答案 (5,13，－3)10．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，则MN 的长________．解析以D 为原点，建立空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a ，所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a .因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点．故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a . 答案 64a11．建立适当的坐标系，确定棱长为2的正四面体各顶点的坐标．解以BC 边中点O 为原点，射线OC ，OD 分别为x 轴，y 轴的正半轴建立如图所示坐标系，则B (－1,0,0)，C (1,0,0)，D (0, 3，0)．由立体几何知识可知，A 在平面BCD 内射影为△BCD 的中心M ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，0，|MD |＝233.又AD ＝2，∴|AM |＝263，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，33，263. 12．(创新拓展)如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．(1)当2|C 1Q |＝|QC |时，求|PQ |； (2)当点Q 在棱CC 1上移动时，探究|PQ |的最小值．解据题意，知B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，故BD 1的中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.由于点Q 在CC 1上，故Q 点坐标可设为(0,1，a )(0≤a ≤1)．(1)由2|C 1Q |＝|QC |，易知|QC |＝23，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23. 从而|PQ |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－232＝196. (2)据题意，知|PQ |＝14＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122 ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12(0≤a ≤1)．当a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12取得最小值．从而|PQ |min ＝22，此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12.。

空间直角坐标系

北师大版高中数学教材（必修2）同步练习第二章解析几何初步§3 空间直角坐标系一．选择题：1．在空间直角坐标系中，一个点的坐标形式应该是A ．{ x , y , z }B ．x , y , zC ．xyzD ．( x , y , z )2．在空间直角坐标系中，点P 落在x 轴上，那么该点的坐标可以表成A ．（x , 0）B ．（x , 0 , 0）C ．（0 , x , 0）D ．（0 , 0 , x ）3．下列坐标系为右手系的是4．在空间直角坐标系中，点P( x , y , z )位于x O y 平面的上方，则A ．x > 0B ．y > 0C ．z > 0D ．xy > 05．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为（3，– 2，4），关于此点正确的描述是A ．点P 到x O z 平面的距离为2B ．点P 到z 轴的距离为4C ．点P 到x O y 平面的距离为3D ．点P 到y O z 平面的距离为4 6．在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是A ．任意一点P 都有无数个坐标B ．任意一个坐标都表示唯一的一个点C ．有些点是没有坐标的D ．有些坐标是不表示任何点的7．在空间直角坐标系中，点M (– 2 , – 3 , 5 )关于z 轴的对称点的坐标是A ．(– 2 , – 3 , –5 )B ．(2 , – 3 , 5 )C ．(2 , – 3 , –5 )D ．( 2 , 3 , 5 ) 8．在空间直角坐标系中，y 轴上有一点P ，它到点Q ( 1, 4, 2 )P 到坐标原点的距离为y xzA y x zB x y zC x yzDA．9 B．1 C．9或1 D．以上都不对二．填空题：请把答案填在题后的横线上，9．在空间直角坐标系中，点A ( 2 , – 3 , – 4 ) 和B ( 3 , – 4 , 1 ) 间的距离是______________ 10．在空间直角坐标系中，M (– 4 , – 3 , 5 ) 到z轴的距离为_ _________11．一块长方体砖的长、宽、高分别为25cm、15cm、8cm，那么它的对角线长为__________ 12．在空间直角坐标系中，点P ( a , 1 –a , 0 )落在x O y平面的直线上（写出这条直线的方程），这条直线上的点到定点M ( 4 , 1 , 1 )的最短距离是_____________．三．解答题：13．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体），其中空圈点代表钠原子，实心点代表氯原子，如图：建立空间直角坐标系O －xyz14．已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A (4，1，3)，B (2，– 5，1)，C (3，7，– 5)。

(北师大版)高中数学必修2课件：2.3.1-2空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标

数学必修2
第二章
解析几何初步
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2．(1)在空间直角坐标系中，点 M(－2,1,0)关于原点的对称点 M′的坐标是 ( ) A．(2，－1,0) C．(2,1,0) B．(－2，－1,0) D．(0，－2,1)
(2)已知点 A(2,3－μ，－1＋υ)关于 x 轴的对称点为 A ′(λ，7，－6)，则 λ，μ， υ 的值为( )
c)，平面的对称点 M2 的坐标为(a，－b，关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐标为(－a， b，c)．关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(a，－b，－c)，关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(－a，b，－c)，关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(－a，－b，c)，关于原点对称的点 M7 的坐标为(－a，－b，－c)．
2 2 1 1 1 2 2 2 2 DD DF DA DG DC P ，， | | | | | | | | | | ′ ＝，＝＝，＝＝，所以点的坐标为 3 3 3 3 3 3 3 3 3，故
选 D.
答案：
(1)D
(2)D
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理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置写出点的坐标．
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空间直角坐标系的建立 (1)空间直角坐标系建立的流程图平面直角坐标系 ↓

(北师大版)高中数学必修2检测2.3.1-2空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标 Word版含解析

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．下列说法：①在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，，)；②在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，，)；③在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，)；④在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，)．其中，正确的个数是( )．．．．解析：由定义可知，在轴上的点(，，)，有＝＝，所以点的坐标可记为()，故①错，②③④正确，故选.答案：.如图，在空间直角坐标系中，点(，，)，过点作平面的垂线，则垂足的坐标为( )．(，，)．(，，)．(，，)．(，)解析：点在平面上，＝，其余不变，∴(，，)．答案：．在空间直角坐标系中()，(－)两点的位置关系是( )．关于平面对称．关于轴对称．以上都不对．关于坐标原点对称解析：∵、两点对应的横坐标互为相反数，∴、关于平面对称．答案：．如图，在正方体－中，棱长为，是上的点，且＝，则点的坐标为( )．．()．解析：∵＝，∴＝＝.又在上，∴的坐标为.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在空间直角坐标系中，点的坐标是()，则点关于轴对称的点在坐标平面上的射影的坐标为．解析：点关于轴对称点为(－，－)，在上的射影的坐标为，即(－，－)．答案：(－，－)．以正方体－的棱、、所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱中点坐标为．答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知－为正四棱锥，为底面中心，＝，＝，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以为原点，互相垂直的对角线、所在直线为轴、轴，为轴建立如图所示坐标系．∵正方形边长＝，∴＝＝＝＝，又∵＝.∴(，－，)，(，)，(，，)，(－，)，()．．已知为平行四边形，且()，(，－)，(，－)，求点的坐标．解析：∵为平行四边形，且()，(，－)，∴线段的中点坐标为.设点的坐标为(，，)，则对角线的中点坐标也为.∴(\\((＋)＝(),(－)＝,(＋)＝－))，解得(\\(＝＝＝－)).。

高中数学北师大版必修2 2.3 基础练习《空间直角坐标系中点的坐标》(数学北师大必修二)

《空间直角坐标系中点的坐标》基础练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1. 在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标可记为( )A ．(0，b,0)B ．(a,0,0)C ．(0,0，c )D ．(0，b ，c )2．点(0,2,3)位于( )A ．y 轴上B ．x 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内3．空间直角坐标系中，点(1,2,3)P 关于x 轴对称的点的坐标是( )A ．(1,2,3)-B ．(1,2,3)--C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)--4．空间直角坐标系中，(3,5,1),(3,5,1)P Q ---两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对5. 已知点A （-3，1，-4），B （3，-5，10）则线段AB 的中点M 的坐标为（）A ．（0，-4，6）B ．（0，-2，3）C ．（0，2，3）D ．（0，-2，6）二、填空题6. 在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点P 1的坐标特点为___________，在Oy 轴上的点P2的坐标特点为___________，在Oz轴上的点P3的坐标特点为___________．7.空间直角坐标系oxyz中点（2，-3，5）关于z轴对称的点的坐标是．三、简答题8．画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系.（1）求各顶点的坐标；（2）求棱C1C中点的坐标；（3）求面AA1B1B对角线交点的坐标.解析和答案一、选择题1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】B解：根据线段的中点坐标公式可得线段AB的中点坐标是3315410 (,,) 222-+--+，即（0，-2，3）．二、填空题6.【答案】由空间坐标系的定义知；Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z），在xOy平面上的点P4。

高中北师大版数学必修2精练：第二章空间直角坐标系 3.1 3.2 3.3

时间：25分钟1．下列叙述中，正确的个数是()①空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式；②空间直角坐标系中，在yOz平面内的点的坐标一定是(0，b，c)的形式；③空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定是(0,0，c)的形式；④空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式．A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标可写成(a,0,0)的形式，故①错；在yOz平面内的点的坐标可写成(0，b，c)的形式，故②正确；在z轴上的点的坐标可写成(0,0，c)的形式，故③正确；在xOz平面内的点的坐标可写成(a,0，c)的形式，故④正确．因此选C.2．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案D解析由空间点的坐标的定义知Q的坐标为(1，2，0)．3．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是() A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案C解析点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7 C．－1 D．1答案D解析由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是()A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内答案C解析∵A点横坐标为0，∴点A在yOz平面内．6．光线由点A(1,2,3)射出，经xOy平面反射后，射到B(－3，1,4)，则光线所经过的距离为()A.18B.66C.14D.26答案B解析由光的反射原理，点A关于xOy平面的对称点A′(1，2，－3)，∴|A′B|＝(1＋3)2＋(2－1)2＋(－3－4)2＝66，故选B.7．到定点(1,0,0)的距离小于或等于1的点的集合是()A．{(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2≤1}B．{(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2＝1}C．{(x，y，z)|x＋y＋z≤1}D．{(x，y，z)|x2＋y2＋z2≤1}答案A解析由已知可设动点M(x，y，z)，则由两点间的距离公式得(x－1)2＋(y－0)2＋(z－0)2≤1，即(x－1)2＋y2＋z2≤1.故选A.8．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(－1，2，－1)、B(3，－2,3)，则正方体的棱长为________．答案4解析由题意可知A、B两点位于正方体的体对角线上，从而可据此求得正方体的棱长为4.画出图形，数形结合，更为直观．9．已知点A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________．答案101解析求线段AB在坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)，B(－2，4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)，故|A′B′|＝d(A′，B′)＝(0－0)2＋(5－4)2＋(－7－3)2＝101.10．直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．求|MN|的长．解如图所示，以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，∵CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∴N (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2. 由两点间的距离公式得|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(1－2)2＝62. 故|MN |的长为62.由Ruize收集整理。

高中数学北师大版必修2 2.3 提升练习《空间直角坐标系中点的坐标》(数学北师大必修二)

《空间直角坐标系中点的坐标》提升练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1.设x 为任意实数，相应的点(3，x ,3)的集合是( )．A ．一个平行于y 轴的平面B ．一条平行于y 轴的直线C ．一个垂直于y 轴的平面D ．一条垂直于y 轴的直线2. 如图，长方体1111ABCO A B C O -中，|OA |=4，|OC |=6，12OO =，1BC 与1B C 相交于点P ，则点P 的坐标是（）A ．（6，2，1）B ．（1，2，6）C ．（4，6，2）D ．（2，6，1）3. 已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是( )A ．(72，1，－2)B ．(12，2,3) C ．(－12,3,5) D ．(13，43，2) 4. △ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题5. 点()1,4,3M -关于点()4,0,3P -的对称点'M 的坐标是________．6. 在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,5,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为________．三、简答题7．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长都为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．8．如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，|P A |＝|AC |＝12AB ＝4，N 为AB 上一点，|AN |＝14AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M ，N ，S 的坐标．。

新版高中数学北师大版必修2习题：第二章解析几何初步2.3.1-2.3.2

个帅哥帅哥的ffff
§3空间直角坐标系
3.1空间直角坐标系的建立
3.2空间直角坐标系中点的坐标
1.已知点A(3,5,-7),B(-2,4,3),则线段AB的中点坐标是()
A.(1,9,-4)
B.-
C.(5,1,-10)
D.(-5,-1,10)
解析:由中点坐标公式可得AB的中点坐标是--,即-.
答案:B
2.已知空间直角坐标系中有一点M(x,y,z)满足x>y>z,且x+y+z=0,则点M的位置是()
A.一定在xOy平面上
B.一定在yOz平面上
C.一定在xOz平面上
D.可能在xOz平面上
解析:因为x>y>z且x+y+z=0,所以x>0,z<0,y有可能为0,所以点M可能在xOz平面上.
答案:D
3.点P(1,2,-1)在xOz平面内的垂足为点B(x,y,z),则x+y+z=()
A.3
B.2
C.1
D.0
解析:由已知条件可知,x=1,y=0,z=-1,
则x+y+z=1+0+(-1)=0,故选D.
答案:D
4.在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的主视图和俯视图分别为()
二位分为Greg。

北师大版高中数学必修二课后训练2.3.1空间直角坐标系的建立2.3.2空间直角坐标系中点的坐标

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）3.2 空间直角坐标系中点的坐标练习1．xOy平面内点的坐标的特点是()．A．z坐标是0 B．x坐标和y坐标都是0C．x坐标是0 D．x坐标，y坐标和z坐标不可能都是0 2．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于xOz平面对称的点的坐标是()．A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(－1，－3,5)3．点10,26,3M⎛⎫-⎪⎝⎭所在的位置是()．A．x轴上B．xOz平面内C．xOy平面内D．yOz平面内4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，5)，过P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是()．A．(0，2，0) B．(0，2，5)C．(1,0，5) D．(1，2，0)5．在空间直角坐标系中，已知M(－1,2,3)，过该点作x轴的垂线，垂足为H，则H点的坐标是()．A．(－1,2,0) B．(－1,0,3)C．(－1,0,0) D．(0,2,3)6．设x为任意实数，相应的点(3，x,3)的集合是()．A．一个平行于y轴的平面B．一条平行于y轴的直线C．一个垂直于y轴的平面D．一条垂直于y轴的直线7．点P(－4,2，－3)关于xOy平面的对称点是________；关于yOz平面的对称点是________；关于xOz平面的对称点是________；关于x轴的对称点是________；关于y轴的对称点是________；关于z轴的对称点是________．8．以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点坐标为________．9．如图所示的空间直角坐标系中，正方体棱长为2，|PQ|＝3|PR|，则点R的空间直角坐标为________.10．如图，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥AC，|P A|＝|AC|＝12AB＝4，N为AB上一点，|AN|＝14AB，M，S分别为PB，BC的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M，N，S的坐标．参考答案1. 答案：A2．答案：C3. 答案：D4. 解析：根据空间直角坐标系的概念知yOz 平面上的点Q 的x 坐标为0，y 坐标，z 坐标分别等于点P 的y 坐标2，z 坐标5，∴垂足Q 的坐标为(0，2，5)．答案：B5. 解析：因为垂足H 在x 轴上，故点H 与M 的x 坐标相等，其余两个坐标均为0. 答案：C6. 答案：B7. 答案：(－4,2,3) (4,2，－3) (－4，－2，－3)(－4，－2，3) (4,2,3) (4，－2，－3)8. 解析：如图，CC 1的中点坐标为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 答案：44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ 10. 解：由线面垂直的性质可知AB ，AC ，AP 三条直线两两垂直，如图，分别以AB ，AC ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (8,0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，因为M ，S 分别为PB ，BC 的中点，由中点坐标公式可得，M (4,0,2)，S (4,2,0)．因为N 在x 轴上，|AN |＝2，所以N (2,0,0)．。

高中数学北师大版必修2 2.3 提高练习《空间直角坐标系的建立》(数学北师大必修二)

《空间直角坐标系的建立》提高练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1. 点P (2,1,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．x 轴上2. 点(1,2,1)A -在xoy 平面上的射影点的坐标是（）A ．(1,2,0)-B ．(1,2,0)--C ．(1,0,0)-D ．(1,2,0)-3. 设a 是任意实数，则点(,1,2)P a 的集合在空间直角坐标系中所表示的图形是（）A ．垂直于平面xoy 的一条直线B ．垂直于平面yoz 的一条直线C ．垂直于平面xoz 的一条直线D ．以上均不正确4. 点P （x ，y ，z 2，则点P 在（）．A ．以点（1，1，－1B ．以点（1，1，－1C ．以点（1，1，－1）为球心，2为半径的球面上D ．无法确定5. 有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作（0，0，c ）；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是（a ，0，c ）.其中正确的个数是（）.A .1B .2C .3D .4二、填空题6. 已知点M （3，-4，5）是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，则点M 关于z 轴的对称点坐标是________．7. 设z 为任意实数，相应的所有点P （1，2，z ）组成的图形为___________.三、简单题8. 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝12，写出B ′，C ，E 的坐标．。

高中数学第二章解析几何初步2.3.1空间直角坐标系的建立练习北师大版必修2

3．1 空间直角坐标系的建立3．2 空间直角坐标系中点的坐标时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)答案：C解析：点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案：B解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标2，z坐标3分别相等，∴Q(0，2，3)．3．在空间直角坐标系中，y＝a表示( )A．y轴上的点 B．过y轴的平面C．垂直于y轴的平面 D．平行于y轴的直线答案：C解析：y＝a表示所有在y轴上的投影是点(0，a,0)的点的集合，所以y＝a表示经过点(0，a,0)且垂直于y轴的平面．4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a答案：C解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝10，b＝17，c＝5.5．空间直角坐标系中，到坐标平面xOy, xOz，yOz的距离分别为2,2,3的点有( ) A．1个 B．2个C．4个 D．8个答案：D解析：分别为(3,2,2)、(3,2，－2)、(3，－2,2)、(3，－2，－2)、(－3,2,2)、(－3,2，－2)、(－3，－2,2)、(－3，－2，－2)6．三棱锥O－ABC中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)此三棱锥的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．6答案：A解析：OA ，OB ，OC 两两垂直，V O －ABC ＝13·12·1·2·3＝1 二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知点A (－2,4,0)，B (3,2,0)，则线段AB 的中点坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，0 解析：由两点P (x 1，y 1，z 1)，Q (x 2，y 2，z 2)的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22，知线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，0. 8．已知平行四边形ABCD 中，A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．答案：(5,13，－3)解析：设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为点P ，则P 为AC ，BD 的中点．由A (4,1,3)，C (3,7，－5)，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.又点B (2，－5,1)，所以点D 的坐标为(5,13，－3)．9．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．答案：(2,0,3)解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点，且正方体的棱长为1.请建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点及点E ，F ，G 的坐标．解：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12.11．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3，1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．12．如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF平面ABC，BC平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.又BC是圆O的直径，所以|OB|＝|OC|.又|AB|＝|AC|＝6，所以OA⊥BC，|BC|＝6 2.所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝3 2.如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。

2021-2022年高中数学 2.3空间直角坐标系中点的坐标同步练习北师大版必修2

2021-2022年高中数学 2.3空间直角坐标系中点的坐标同步练习北师大版必修2 1．(xx 年高考安徽卷)在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M 的坐标为(0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0) 2．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，则实数x 的值为________．解析：因为△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，则有|AB |＝|AC |，∴(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝(x －4)2＋(4－1)2＋(3－9)2，化简得(x －4)2＝4，∴x ＝2或6.答案：2或63．已知x 、y 、z 满足方程C ：(x －3)2＋(y －4)2＋(z ＋5)2＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2＋z 2可看成球面上的点到原点距离的平方，其最小值为(32＋42＋(－5)2－2)2＝(42)2＝32.答案：324．(xx 年广州调研)与A (3,4,5)、B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是________．解析：由|MA |＝|MB |，即(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0.答案：10x ＋2y ＋10z －37＝05．(原创题)已知A (3,5，－7)和点B (－2,4,3)，点A 在x 轴上的射影为A ′，点B 在z 轴上的射影为B ′，则线段A ′B ′的长为________．解析：可知A ′(3,0,0)，B ′(0,0,3)，∴|A ′B ′|＝32＋02＋(－3)2＝3 2.6．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，P 、Q 分别是D ′B ，B ′C 的中点，求PQ 的长．解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD ′分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意得，B (a ，a,0)，D ′(0,0，a )，∵P (a 2，a 2，a2)．又C (0，a,0)，B ′(a ，a ，a )，∴Q (a2，a ，a 2)．∴|PQ |＝(a 2－a2)2＋(a2－a )2＋(a 2－a2)2＝a2. 1．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,3,1)、B (4,1，－2)、C (6,3,7)，则△ABC 的重心坐标为______．解析：三角形三个顶点分别为A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，则其重心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33，故所求重心为(4，73，2)．答案：(4，73，2)2．设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB |等于______．解析：点A 关于xOy 面的对称点为B (2，－3，－5)，∴|AB →|＝|5－(－5)|＝10.3．正方体不在同一表面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积为______．解析：设棱长为a ，则3a ＝42＋(－4)2＋42，∴a ＝4，∴V ＝64.4．(xx 年江苏宜兴模拟)已知B 是点A (3,7，－4)在xOy 平面上的射影，则OB →2等于______．解析：A 在xOy 平面上射影为B (3,0，－4)，则OB →＝(3,0，－4)，OB →2＝25.5．在z 轴上与点A (－4,1,7)和点B (3,5，－2)等距离的点C 的坐标为 ______.解析：设z 轴上的点为(0,0，z )，则根据题意有(－4－0)2＋(1－0)2＋(7－z )2＝(3－0)2＋(5－0)2＋(－2－z )2，则17＋49－14z ＝9＋25＋4＋4z ，∴z ＝149.故该点是(0,0，149)．6．在空间直线坐标系中，方程x 2－4(y －1)2＝0表示的图形是__________．解析：x 2－4(y －1)2＝0化为[x －2(y －1)][x ＋2(y －1)]＝0，∴x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0，表示两个平面．答案：两个平面7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为__________．解析：由A (3，－1,2)，中心M (0,1,2)所以C 1(－3,3,2)．正方体的体对角线长为AC 1＝[3－(－3)]2＋(－1－3)2＋(2－2)2＝213，所以正方体棱长为2133＝2393.答案：23938．已知ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)、B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点O (72，4，－1)，设D (x ，y ，z )，则72＝x ＋22，4＝－5＋y 2，－1＝1＋z2，∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)． 9．如图所示，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是______．解析：∵OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，∵A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，B (2,3,0)，故B 1(2,3,2)．∴M 点的坐标为(22，32，22)，即M (1,1.5,1)．答案：(1,1.5,1)10．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D 、E 分别是棱AB 、B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE 、EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)，∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.11．已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)．(1)在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |；(2)在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点的轨迹．解：(1)设P (a,0,0)，则由已知，得(a －1)2＋(－2)2＋12＝(a －2)2＋22，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8.解得a ＝1.所以P 点坐标为(1,0,0)．(2)设M (x,0，z )，则有(x －1)2＋(－2)2＋(z ＋1)2＝(x －2)2＋(z －2)2. 整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0. 故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．12．在正四棱锥S －ABCD 中，底面边长为a ，侧棱长也为a ，以底面中心O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P 点在侧棱SC 上，Q 点在底面ABCD 的对角线BD 上，试求P 、Q 两点间的最小距离．解：由于S －ABCD 是正四棱锥，所以P 点在底面上的射影R 在OC 上，又底面边长为a ，所以OC ＝22a ，设P 点的坐标为(－x ，x ，22而侧棱长也为a ，所以SO ＝OC ，于是PR ＝RC ，故可a －2x )(x >0)，又Q 点在底面ABCD 的对角线BD 上，所以可设Q 点的坐标为(y ，y,0)，因此P 、Q 两点间的距离PQ ＝(－x －y )2＋(x －y )2＋(22a －2x )2 ＝4(x －a4)2＋2y 2＋a 24，显然当x ＝a 4，y ＝0时d 取得最小值，d 的最小值等于a2，这时，点P 恰好为SC的中点，点Q 恰好为底面的中心． ht22790 5906 夆29487 732F 猯32613 7F65 罥24491 5FAB 徫b 23236 5AC4 嫄{32528 7F10 缐。

高中数学基础知识篇 2.3空间直角坐标系同步练测北师

§3 空间直角坐标系同步测试试卷（数学北师版必修2）一、选择题（本题包括10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1.点(3,4,5)P 在平面上的投影点1P 的坐标是（）A ．(3,0,0)B ．(0,4,5)C ．(3,0,5)D ．(3,4,0)2.已知点(1,2,11),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 3．已知(4,3,1)M -，记M 到x 轴的距离为a ，M 到y 轴的距离为b ，M 到z 轴的距离为c ，则（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >> 4. 在直角坐标系中，已知两点(4,2),(1,3)M N -，沿x 轴把直角坐标平面折成直二面角后，,M N 两点间的距离为( )A ．38B ．34C ．22D ．105．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z 满足方程222(2)(1)(3)1x y z -+++-=，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．圆C ．球面D ．线段6．在空间直角坐标系中，y a =表示（） A ．y 轴上的点 B ．过y 轴的平面 C ．垂直于y 轴的平面 D ．平行于y 轴的直线 7．给定空间直角坐标系中，x 轴上到点(4,1,2)P 的距离为30的点有（）A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个8．如图，在空间直角坐标系中有一棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，1A C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（）A ．2aB ．22aC ．aD ．2a9．在空间直角坐标系中，点(3,2,1)P --到x 轴的距离为（）A ．3B ．2C ．1D ．510．已知(,5,21),(1,2,2)A x x x B x x --+-，当,A B 两点间距离取得最小值时，x 的值为（）A ．19B ．87-C ．87D ．1914二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.请将正确的答案填到横线上）建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分1DA C1CO E 1BB1AF(D )11．已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为(2,3,5)A --和(1,3,2)B -，对角线的交点是(4,1,7)E -，则,C D的坐标分别为 .12.已知球面222(1)(2)(3)9x y z -+++-=，点(3,2,5)A -，则球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是 . 13．已知(0,1,1),(2,0,4),(2,2,2)A B C ----，则,,A B C 三点 .（填共线或不共线）14．在空间直角坐标系中，自点(4,2,3)P --引x 轴的垂线，则垂足的坐标为 . 三、解答题（本题共4小题，共44分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤） 15．（10分）在平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(6,5,1)N 的距离最小.16.（10分）对于任意实数,,x y z ，求222222(1)(2)(1)x y z x y z +++++-+-的最小值.17．（12分）已知点(1,1,0)A ，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy 轴上是否存在一点B ，使得PA AB ⊥恒成立？若存在，求出B 点的坐标；若不存在，说明理由. 18.（12分）已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)A B C a --，这三点能共线吗？若能共线，求出a 的值；若不能共线，说明理由.XAYB O Z P§3 空间直角坐标系同步测试试卷（数学北师版必修2）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题11． 12． 13. 14.三、解答题15.16.17.18.§3 空间直角坐标系同步测试试卷（数学北师版必修2）答案一、选择题1.B 解析：平面上点的坐标特征是(0,,)b c ．2.C 解析：根据两点间距离公式89,75,14AB AC BC ===，则有222AC BC AB +=．3.B 解析：M 到x 轴的距离10a =，M 到y 轴的距离17b =，M 到z 轴的距离5c =，所以c b a >>．4.B 解析：翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，,M N 两点的坐标分别为(4,2,0)M ，(1,0,3)N ，利用空间直角坐标系中两点间距离公式得，,M N 两点间的距离为222(41)(20)(03)22-+-+-=． 5.C 解析：动点P 到定点(2,1,3)-的距离为定值1，所以点P 的轨迹是球面．6.C 解析：在空间直角坐标系中，y a =表示垂直于y 轴的平面．7.A 解析：设满足条件的点为(,0,0)x ，代入两点间距离公式：222(4)(01)(02)30x -+-+-=，解得9x =或1x =-，所以满足条件的点为(9,0,0)或(1,0,0)-．8.B 解析：点E 的坐标为(,,)222a a a ，点F 的坐标为(,,0)2a a ，所以222()()222a a EF a =+=，故选B ．9.D 解析：点(3,2,1)P --到x 轴的距离为222(1)5+-=．10.C 解析：2143219AB x x =-+，所以当87x =时，,A B 两点间距离取得最小值．二、填空题11. (6,1,19)与(9,5,12)-解析：点E 分别是点A 与点C 、点B 点D 的中点，所以,C D 的坐标分别为(6,1,19)与(9,5,12)-． 12. 9与3解析：球心为(1,2,3)-，半径为3，所以点A 到球心距离为6，所以球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是9与3． 13. 共线解析：222(02)(10)(14)14AB =-+--+-=，222(02)(12)(12)14AC =++-+++=，222(22)(02)(42)214BC =+++++=，因为BC AB AC =+，所以,,A B C 三点共线．xz yNMO14. (4,0,0)-解析：过空间任意一点P 作x 轴的垂线，垂足均为(,0,0)a 的形式，其中a 为点P 在x 轴上的坐标．三、解答题15．解：因为点M 在平面内的直线1x y +=上，故可设点M 为(,1,0)x x -+，所以222(6)(4)12453MN x x x x =-+++=-+，所以当1x =时MN 取得最小值，此时点M 坐标为(1,0,0).16．解：在空间直角坐标系中，222222(1)(2)(1)x y z x y z +++++-+-表示空间中点(,,)x y z 到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)-的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)-之间的线段长，所以222222(1)(2)(1)x y z x y z +++++-+-的最小值为6. 17．解：若PA AB ⊥恒成立，则AB ⊥平面POA ，所以AB OA ⊥.设(0,,0)B x ，则有22,,1(1)OA OB x AB x ===+-，由222OB OA AB =+，得2221(1)x x =++-，解得2x =.所以存在点B ，当点B 为(0,2,0)时，PA AB ⊥恒成立.18．解：根据空间直角坐标系两点间距离公式，222(11)(12)(21)14AB =--+-++=，2222(1)(10)(23)(1)2AC a a =--+-+-=++， 2222(1)(20)(13)(1)20BC a a =-+-+--=-+，因为BC AB >，所以若,,A B C 三点共线，则BC AC AB =+或AC BC AB =+，若BC AC AB =+，整理得2518190a a ++=，此方程无解；若AC BC AB =+，整理得2518190a a ++=，此方程也无解. 所以,,A B C 三点不能共线..。

北师大版数学高一(北师大)必修2试题 2.3空间直角坐标系

第二章§3一、选择题1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]②③④正确．2．已知点A(－1,2,7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为()A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2,7)C．(1，－2，－7) D．(1,2，－7)[答案] A[解析]在空间中，若点关于x轴对称，则x坐标不变，其余均变为相反数．由于点A(－1,2,7)关于x轴对称，因此对称点A′(－1，－2，－7)．3．点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1，点A关于xOz平面的对称点为A2，则d(A1，A2)＝()A．213 B．13C．6 D．4[答案] A[解析]A(1,2,3)关于xOy的平面的对称点为A1(1,2，－3)，点A关于xOz平面的对称点为A2(1，－2,3)，∴d(A1，A2)＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(－3－3)2＝16＋36＝213.4．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上中线AD的长是()A．2 B． 6C ．3D ．2 2[答案] B[解析] 由题意可知A (0,0,1)，B (4,0,0)，C (0,2,0)，所以BC 边的中点坐标为D (2,1,0)，所以BC 边的中线长|AD |＝(2－0)2＋(1－0)2＋(0－1)2＝ 6.故应选B.5．如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，点P 在BD ′上，BP ＝13BD ′，则P 点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫13，13，13B ．⎝⎛⎭⎫23，23，23C ．⎝⎛⎭⎫13，23，13D ．⎝⎛⎭⎫23，23，13[答案] D[解析] 连BD ′，点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD 上， ∵BP ＝13BD ′，所以P x ＝P y ＝23，P z ＝13，∴P ⎝⎛⎭⎫23，23，13.6．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )则|AB |的最小值为( ) A ．55B ．555C ．355D ．115[答案] C[解析] |AB |＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥95＝355. 二、填空题7．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫12，0，12 [解析] 如图所示，A (0,0,0)，B 1(1,0,1)．面AA 1B 1B 对角线交点是线段AB 1的中点，由中点坐标公式得所求点的坐标为(12，0，12)．8．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别是A (0,3,4)，B (3，－1,4)，C (32，72，4)，则△ABC 是________三角形． [答案] 直角[解析] ∵|AB |＝(0－3)2＋(3＋1)2＋(4－4)2＝5， |AC |＝(0－32)2＋(3－72)2＋(4－4)2＝102，|BC |＝(3－32)2＋(－1－72)2＋(4－4)2＝3102，而|AB |2＝|AC |2＋|BC |2， ∴△ABC 是直角三角形．三、解答题9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面边长为2，高为3，D 为A 1B 1的中点，建立适当的坐标系，写出A 、B 、C 、D 、C 1、B 1的坐标，并求出CD 的长．[解析] 取AC 的中点为坐标原点，射线OA 、OB 分别为x 轴、y 轴，过点O 作垂直于底面ABC 的垂线为z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系，由题意知A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (12，32，3)，C 1(－1,0，3)，B 1(0，3，3)．∴|CD |＝(12＋1)2＋(32)2＋(3)2＝ 6.一、选择题1．点B (3，0,0)是点A (m,2,5)在x 轴上的射影，则点A 到原点的距离为( ) A ．2 2 B ．3 2 C ．4 2 D ．5 2[答案] C[解析] A (m,2,5)在x 轴上的射影是(m,0,0)，所以m ＝3，|OA |＝4 2.2．已知ABCD 为平行四边形，且A (－3,1,5)，B (1，－2,4)，C (0,3,7)，则点D 的坐标为( )A ．(－4,2,1)B ．(－4,6,8)C ．(2,3,1)D ．(5,13，－3) [答案] B[解析] 设D (x ，y ，z )，由ABCD 为平行四边形知，AC 与BD 互相平分，即AC 与BD的中点重合，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝－32，y －22＝2，z ＋42＝6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝6，z ＝8.故选B.二、填空题3．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．[答案]2393[解析] 设正方体的棱长为a ，显然C 1和A 点的中点为点M (0,1,2)． ∴C 1(－3,3,2)．∴|AC 1|＝(－3－3)2＋(3＋1)2＋02＝213＝3a . ∴a ＝2339.4．已知点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 为坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是__________．[答案]2或 6[解析] 由题意P (0,0,1)或P (0,0，－1)，所以|PA |＝2或 6.三、解答题5．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，P 、Q 分别是D ′B ，B ′C 的中点，求PQ 的长．[解析] 建立如图所示空间直角坐标系∴B (a ，a,0)，C (0，a,0)，B ′(a ，a ，a )，D ′(0,0，a )， ∴P (a 2，a 2，a 2)，Q (a 2，a ，a 2)．∴|PQ |＝(a 2－a 2)2＋(a 2－a )2＋(a 2－a2)2 ＝a 2. 6．正方形ABCD 和ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，(1)求MN 的长；(2)求a 为何值时，MN 的长最小．[解析] (1)∵面ABCD ⊥面ABEF ，而ABCD ∩ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥面ABC .∴AB 、BC 、BE 两两垂直．∴以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M (22a,0,1－22a )，N (22a ，22a,0)． |MN |＝(22a －22a )2＋(0－22a )2＋(1－22a －0)2 ＝a 2－2a ＋1＝(a －22)2＋12. (2)则当a ＝22时，|MN |最短为22，此时，M、N恰为AC、BF的中点．7．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．[解析](1)假设在y轴上存在点M满足|MA|＝|MB|，设M(0，y,0)，则有32＋(－y)2＋12＝(－1)2＋y2＋32，由于此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点均满足条件|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．∵|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，∴10＋y2＝20，解得y＝10或y＝－10.故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。

北师大版数学高一必修2练习 2.3 空间直角坐标系

1．若P (a ，b ，c )既在平面xOy 内，又在平面yOz 内，则一定有( ) A ．a ＝b ＝0 B ．a ＝c ＝0 C ．b ＝c ＝0 D ．a ＝b ＝c ＝0 解析：选B ．平面xOy 内的点，z 坐标为0；平面yOz 内的点，x 坐标为0.2．在空间直角坐标系中，设A (1，2，a )，B (2，3，4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( ) A ．3或5 B ．－3或－5 C ．3或－5 D ．－3或5 解析：选A.由已知得（1－2）2＋（2－3）2＋（a －4）2＝3，解得a ＝3或a ＝5.3．若△ABC 的顶点坐标分别为A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫6，72，3 B ．⎝⎛⎭⎫4，73，2 C.⎝⎛⎭⎫8，143，4 D ．⎝⎛⎭⎫2，76，1 解析：选B ．设三角形的三个顶点坐标分别为A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，其重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33，故所求重心坐标为⎝⎛⎭⎫4，73，2. 4．已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.|AB |＝（1－4）2＋（－2－2）2＋（11－3）2＝89，|BC |＝（4－6）2＋（2＋1）2＋（3－4）2＝14，|AC |＝（1－6）2＋（－2＋1）2＋（11－4）2＝75，所以|AB |2＝|BC |2＋|AC |2.所以△ABC 为直角三角形．5．不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A (1，0，4)，B (3，－2，6)，则该正方体的棱长等于( )A ．1B ． 2C ．2D ． 3解析：选C.依题意，正方体的对角线的长为|AB |＝（1－3）2＋（0＋2）2＋（4－6）2＝23，设正方体的棱长为a ，则有3a ＝23，解得a ＝2.6．已知点A (－3，1，4)，B (5，－3，－6)，则点B 关于点A 的对称点C 的坐标为________．解析：设C 点的坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋52＝－3y －32＝1z －62＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11y ＝5z ＝14.则C 点的坐标为(－11，5，14)．答案：(－11，5，14)7．设点P 在x 轴上，它到P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为________．解析：因为点P 在x 轴上，所以设点P 的坐标为(x ，0，0)．由题意|PP 1|＝2|PP 2|，所以（x －0）2＋（0－2）2＋（0－3）2 ＝2（x －0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2，解得x ＝±1.所以所求点的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)．答案：(1，0，0)或(－1，0，0)8．在空间直角坐标系中，点M (x ，y ，z )满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则M 的轨迹是________________．解析：由x 2＋y 2＋z 2＝1，得（x －0）2＋（y －0）2＋（z －0）2＝1，即动点M 到定点O (坐标原点)的距离为常数1. 所以M 的轨迹是以原点O 为球心，半径为1的球面．答案：以原点O 为球心、半径为1的球面 9．在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，且SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC的中点，E 为SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S ，A ，B ，C ，D ，E 的坐标．解：因为在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，所以以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，所以A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (0，a ，0)，S (0，0，a )，D ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，连接AD ，因为SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，所以SA ⊥平面ABC ，则有平面SAD ⊥平面ABC ，交线为AD ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，则EF ⊥平面ABC .因为E 为SD 的中点，所以F 为AD 的中点，所以EF ＝12AS ，所以E ⎝⎛⎭⎫a 4，a 4，a 2，即点S (0，0，a )，A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (0，a ，0)，D ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，E ⎝⎛⎭⎫a 4，a 4，a2. 10. 在河的一侧有一塔|CD |＝5 m ，河宽|BC |＝3 m ，另一侧有点A ，|AB |＝4 m ，如图，求A 与塔顶D 的距离|AD |.解：以C 点为原点，CB 、CD 、CM 所在直线为x 轴、z 轴、y 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (3，－4，0)，D (0，0，5)．所以|AD | ＝（3－0）2＋（－4－0）2＋（0－5）2＝52，即A 到塔顶D 的距离是5 2 m.1. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO -A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2a B ．22a C ．aD ．12a解析：选B ．因为A ′(a ，0，a )，C (0，a ，0)， E 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，而F ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0. 所以|EF |＝a 24＋02＋a 24＝22a ，所以选B ． 2．已知x ，y ，z 满足方程C ：(x －3)2＋(y －4)2＋(z ＋5)2＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2＋z 2表示坐标原点(0，0，0)到点(x ，y ，z )的距离的平方，则点(0，0，0)到(3，4，－5)的距离d ＝32＋42＋（－5）2＝52，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为(52－2)2＝(42)2＝32.答案：323．在空间直角坐标系中，已知A (3，0，1)和B (1，0，－3)，试问： (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |. 因M 在y 轴上，可设M (0，y ，0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |. (2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA|＝（3－0）2＋（0－y）2＋（1－0）2＝10＋y2，|AB|＝（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20，于是10＋y2＝20，解得y＝±10.故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，且点M坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．4. (选做题)已知直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图所示，建立空间直角坐标系．(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；(2)在线段MN上是否存在一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请予以说明．解：(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等．又A(2，0，0)，B(0，4，0)，设点P坐标为(1，2，m)，由|PA|＝|AB|得，（1－2）2＋（2－0）2＋（m－0）2＝20，所以m2＝15.因为m∈，所以m＝15，故平面ABB1A1内的点P(1，2，15)使得△ABP为等边三角形．(2)设MN上的点Q(0，2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以|QF|＝12|AB|.又F(1，2，0)，则（0－1）2＋（2－2）2＋（n－0）2＝12＋（4－0）2＋（0－0）2，2（0－2）整理得，n2＋1＝5，所以n2＝4.因为n∈，所以n＝2.故在MN上存在点Q(0，2，2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．。

北师大版高中数学必修二高考一轮复习同步训练文科空间直角坐标系

课时作业(四十九) [第49讲空间直角坐标系][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．若已知点A (1,1,1)，B (－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( )A ．4 3B ．2 3C ．4 2D ．3 22．在空间直角坐标系中，点P (－5，－2,3)到x 轴的距离为( )A ．5 B.29C.13D.343．在空间直角坐标系中，已知点P (x ，y ，z )满足方程(x ＋2)2＋(y －1)2＋(z －3)2＝3，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．球面D ．线段4．已知点A (－3,1,4)，B (5，－3，－6)，则点B 关于点A 的对称点C 的坐标为________．能力提升5．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 6．空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个7．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32D.639．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称点的坐标是________．10．已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为A (2，－3，－5)和B (－1,3,2)，对角线的交点是E (4，－1,7)，则C ，D 的坐标分别为____________．11．在平面直角坐标系中，由点A (a,0)，B (0，b )(ab ≠0)确定的直线的方程为x a ＋y b ＝1，类比到空间直角坐标系中，由A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )(abc ≠0)确定的平面的方程可以写成________________________________________________________________________．12．(13分)如图K49－1，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求MN 的长．图K49－1难点突破13．(12分)已知点A (1,1,0)，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy 轴上是否存在一点B ，使得PA ⊥AB 成立？若存在，求出B 点的坐标；若不存在，说明理由．课时作业(四十九)【基础热身】1．A [解析] |AB |＝(1＋3)2＋(1＋3)2＋(1＋3)2＝4 3.故选A.2．C [解析] 点P (－5，－2,3)到x 轴的距离为(－2)2＋32＝13.故选C.3．C [解析] 动点P 到定点(－2,1,3)的距离为定值3，所以点P 的轨迹是球面．4．(－11,5,14) [解析] 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，由中点公式得x ＋52＝－3，y －32＝1，z －62＝4，所以x ＝－11，y ＝5，z ＝14，所以点C 的坐标为(－11,5,14)．【能力提升】5．C [解析] 点C 的坐标为(1,1,0)，点C 1的坐标为(1,1,1)，故中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12.故选C.6．A [解析] 设满足条件的点为(x,0,0)，代入两点间距离公式：(x －4)2＋(0－1)2＋(0－2)2＝30，解得x ＝9或x ＝－1，所以满足条件的点为(9,0,0)或(－1,0,0)．故选A.7．C [解析] 由两点间距离公式可得|AB |＝89，|AC |＝75，|BC |＝14，从而|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以△ABC 是直角三角形．故选C.8．A [解析] 设该定点的坐标为(x ，y ，z )，则有x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，z 2＋x 2＝1，三式相加得2(x 2＋y 2＋z 2)＝3.所以该点到原点的距离为d ＝x 2＋y 2＋z 2＝32＝62.故选A.9．(2,0,3) [解析] M 在xOz 平面上的射影为M ′(－2,0，－3)，所以M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．10．(6,1,19)，(9，－5,12) [解析] 点E 分别是点A 与点C 、点B 与点D 的中点，由中点公式可得C ，D 的坐标分别为：(6,1,19)，(9，－5,12)．11.x a ＋y b ＋z c ＝1 [解析] 通过直线方程的结构形式，可以类比得出平面的方程为x a ＋y b ＋z c ＝1.12．[解答] 如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′中点O ′，所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，3a 4，a . 根据空间两点距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a .【难点突破】13．[解答] 若PA ⊥AB 恒成立，则AB ⊥平面POA ，所以AB ⊥OA ，设B (0，y,0)，则有OA ＝2，OB ＝y ，AB ＝1＋(y －1)2.由OB2＝OA2＋AB2，得y2＝2＋1＋(y－1)2，解得y＝2，所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PA⊥AB成立．。

【精准解析】北师大版必修2一课三测：2.3+空间直角坐标系

答案：C
知识点四
距离公式的综合应用
ห้องสมุดไป่ตู้
8.在空间直角坐标系中，已知 A(3,0,1)和 B(1,0，－3)．
(1)在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在 y 轴上是否存在点 M，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 的坐标．
解析：(1)假设在 y 轴上存在点 M，满足|MA|＝|MB|，
思考感悟：
1.点 Q(0,0,3)的位置是( )
练一练
A．在 x 轴上 B．在 y 轴上
C．在 z 轴上 D．在面 xOy 上
答案：C
2．点 A(－3,1,5)，点 B(4,3,1)的中点坐标是( )
7，1，－2
1，2，3
A. 2
B. 2
1，4，2 C．(－12,3,5) D. 3 3
答案：B
3．已知点 A(－1,2,7)，则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( )
如图所示，已知四棱锥 P－ABCD，PB⊥AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的等边三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120°，G 是棱 PB 的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点 P，A，B，C，D，G 的坐标．
解析：
如图所示，过点 P 作 PO⊥平面 ABCD，垂足为点 O.连接 PE.因为 AD⊥PB，PO⊥AD， PO∩PB＝P，
判一判 1.空间直角坐标系中，y 轴上的点的坐标满足 z＝0，x＝0.(√) 2．空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(√) 3．长方体的对角线长度都相等．(√) 4．空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(×) 5．将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(×) 6．空间直角坐标系中，在 xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式．(√) 7．关于坐标平面 yOz 对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√) 8．点 P(1,4，－3)与点 Q(3，－2,5)的中点坐标是(2,1,1)．(√)

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3．2 空间直角坐标系中点的坐标
1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA 、OC 、OD′的方向为正方向，以线段OA 、OC 、OD′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个______________________，其中点O 叫作______________，x 轴、y 轴、z 轴叫作__________，通过每两个坐标轴的平面叫作____________，分别称为__________________________，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即__________指向x 轴的正方向，__________指向y 轴的正方向，________指向z 轴的正方向．
2．空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z)来表示，有序实数组(x ，y ，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x ，y ，z)，其中x 叫做点M 的____________，y 叫做点M 的____________，z 叫做点M 的__________．
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x 轴的对称点为( ) A ．(1，－2，－3) B ．(1，－2,3) C ．(1,2,3) D ．(－1,2，－3) 2．设y ∈R ，则点P(1，y,2)的集合为( ) A ．垂直于xOz 平面的一条直线 B ．平行于xOz 平面的一条直线 C ．垂直于y 轴的一个平面 D ．平行于y 轴的一个平面
3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为1
2的小
正方体堆积成的正方体)．其中实圆•代表钠原子，空间圆代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz 后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )
A ．⎝⎛⎭⎫12，12，1
B ．(0,0,1)
C ．⎝⎛⎭⎫1，12，1
D ．⎝⎛⎭
⎫1，12，1
2 4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．(－3,4,5) B ．(－3，－4,5) C ．(3，－4，－5) D ．(－3,4，－5)
5．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 6．点P(a ，b ，c)到坐标平面xOy 的距离是( ) A ．a 2＋b 2 B ．|a| C ．|b| D ．|c| 二、填空题
7．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c)；②在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c)；③在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确说法的序号是________．
8．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(1，2，3)，过点P 作yOz 平面的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标是______．
9．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛
⎭⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22，
那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为________________．
三、解答题
10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．
11．如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶
点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E 是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．
13．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8．BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、
B、C、D、E、F的坐标．
1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．
2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”．
①点(x，y，z)关于xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，－z)，(－x，y，z)，(x，－y，z)，(x，－y，－z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，z)，(－x，－y，－z)．
②点(x，y，z)在xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴上的投影点坐标依次为(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)．
答案
知识梳理
1．空间直角坐标系Oxyz 坐标原点坐标轴
坐标平面 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面右手拇指食指中指 2．横坐标纵坐标竖坐标作业设计
1．B [两点关于x 轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反．] 2．A 3．A
4．A [两点关于平面yOz 对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标相同．] 5．C [三坐标均相反时，两点关于原点对称．] 6．D
7．②③④ 8．(0，2，3) 9．⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22
10．解
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝
⎛⎭⎫1，1，1
2． 11．解由于已经建立了空间直角坐标系，由图可直接求出各点的坐标：B(－2,3，－1)，C(2,3，－1)，D(2，－3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，
C 1(2,3,1)，
D 1(2，－3,1)．
12．解如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直
线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点
的坐标分别是
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(32，32，0)，D(12，32，0)，P(0,0,2)，E(1，3
2，0)．
13．
解因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ， BC ＝62．
以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，－32，0)、B(32，0,0)、C(－32，0,0)、D(0，－32，8)、E(0,0,8)、F(0,32，0)．。