人教版数学选修1-1：2.1.1《椭圆及其标准方程》ppt课件(共20张PPT)
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人教版高中数学选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程 优质课件
(2)设方程： ①依据上述判断设方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋xb22＝ 1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2＋ny2＝ 1(m>0，n>0 且 m≠n)；
(3)找关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组；
(4)得方程：解方程组，将 a，b，c 或 m，n 代入所设方 程即为所求.
方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0， A≠B)．将两点(2，－ 2)，(－1， 214)代入，
4A＋2B＝1 得A＋144B＝1
，解得AB＝＝1184
，
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
椭圆的焦点三角形问题
例 3 如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
椭圆的标准方程 例 2 求经过两点 P1(13，13)， P2(0，－12)的椭圆的标准方程．
[分析] 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”， 即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆 的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．
[解] 解法一：①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的 标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
练 2 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准 方程．
[解] 方法一 ＋by22＝1(a>b>0)．
若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为xa22
由已知条件得a42＋b22＝1 a12＋41b42＝1
，解得a12＝81 b12＝41
.
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
(3)找关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组；
(4)得方程：解方程组，将 a，b，c 或 m，n 代入所设方 程即为所求.
方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0， A≠B)．将两点(2，－ 2)，(－1， 214)代入，
4A＋2B＝1 得A＋144B＝1
，解得AB＝＝1184
，
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
椭圆的焦点三角形问题
例 3 如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
椭圆的标准方程 例 2 求经过两点 P1(13，13)， P2(0，－12)的椭圆的标准方程．
[分析] 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”， 即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆 的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．
[解] 解法一：①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的 标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
练 2 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准 方程．
[解] 方法一 ＋by22＝1(a>b>0)．
若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为xa22
由已知条件得a42＋b22＝1 a12＋41b42＝1
，解得a12＝81 b12＝41
.
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
第二章2.1-2.1.1椭圆及其标准方程 秋学期高中数学选修1-1(人教版)PPT课件
5．如果方程 x2＋ky2＝2(k 为实数)表示焦点在 y 轴上 的椭圆，那么实数 k 的取值范围是________．
解析：将方程 x2＋ky2＝2 整理，得x22＋y22＝1，根据 k
题意，得2k＞2，解得 0＜k＜1. k＞0，
答案： (0，1)
类型 1 椭圆定义的应用(自主研析) [典例❶] 已知 P 为椭圆1x22＋y32＝1 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积． 解：在△PF1F2 中，由余弦定理得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即 36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4 3， 即 48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0， B>0 且 A≠B)， 依题意有312AA＋＋4BB＝ ＝11， ，解得AB＝ ＝11515. ， 故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
类型 3 利用椭圆的定义求轨迹方程 [典例 3] 已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定 点 B(3，0)，圆 P 过点 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨 迹方程． 解：如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过点 B， 所以|PB|＝r.
解：如图所示，连接 AP，因为 l 垂直平分 AC，所以 |AP|＝|CP|，所以|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4.所以 P 点的轨 迹是以 A，B 为焦点的椭圆．
因为 2a＝4，2c＝|AB|＝2， 所以 a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. 所以点 P 的轨迹方程为x42＋y32＝1.
高中数学选修1-1精品课件1：2.1.1 椭圆及其标准方程(一)
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)． 因为 2a＝26,2c＝10，所以 a＝13，c＝5. 所以 b2＝a2－c2＝144. 所求椭圆方程为1y629＋1x424＝1.
[题后感悟] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
2.(1)已知椭圆的焦点 F1(－4,0)，F2(4,0)，且过点 A4，95， 求椭圆的标准方程．
(2)求以椭圆 9x2＋5y2＝45 的焦点为焦点，且经过点 M(2， 6)的椭圆的标准方程．
解析： (1)由已知 2a＝|AF1|＋|AF2|＝ 4＋42＋952＋ 4－42＋952＝ 1 26581＋95＝451＋95＝10.
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1，也可用待定系数 法．
1.(1)已知经过椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂
直于 x 轴，交椭圆于 A、B 两点，F1 是椭圆的左焦点．求△
AF1B 的周长． (2)椭圆1x22 ＋y32＝1，焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上．如
果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
(1)求椭圆的焦点坐标； (2)过 F1 作直线与椭圆交于 A，B 两点，试求△ABF2 的周 长．
[解题过程] (1)由1x020＋3y62 ＝1 得 a2＝100，b2＝36， 于是 a＝10，c＝ a2－b2＝ 100－36＝8， 所以椭圆的焦点坐标为 F1(－8,0)，F2(8,0)． (2)△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)， 由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40.
高二数学人教A版选修1-1课件：2.1.1 椭圆及其标准方程
由椭圆定义得|AF1|=2a-32.
①
在 Rt△AF1F2 中,|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2=
3 2
2
+22.
②
由①②得
a=2,∴b2=a2-c2=3.∴椭圆
C
的方程为������2
4
+
���3���2=1,应选
C.
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
2.根据下列条件,求椭圆的标准方程.
+
3������
=
1,解得
������
=
1 4
.
∴所求椭圆方程为 x2+���4���2=1.
一 二三四
知识精要Βιβλιοθήκη 典题例解迁移应用(2)∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0,±√5),
则可设所求椭圆方程为������2
������
+
������������+25=1(m>0).
又椭圆经过点(2,-3),则有���4��� + ������9+5=1.
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
一、椭圆的定义
1.定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则: (1)当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2; (2)当2a<|F1F2|时,其轨迹不存在. 2.椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆. (2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.
的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则椭圆 C 的方程为(
高中数学人选修1-1 第二章2.1.1 椭圆及其标准方程课件
(3)
x2 m2
m
y
2
2
1
1
答：在y轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）
（4，0），椭圆上一点M 到两焦点距离之和
等于10，求椭圆的标准方程。
y
F1 o
M
F2 x
例2.已知椭圆的两个焦点为（0，-4）， （0,4），并且椭圆经过点
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
|MF1|+|MF2|=2a(2a> |F1F2|) 问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹
是什么？ 线段F1F2 问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹
是什么？ 轨迹不存在
练习
1.已知B,C是两个定点，它们之间 距离为6，以线段BC为一边画周长 为20的三角形，问三角形的第三 个顶点的轨迹是什么图形？
1
a
b
0
F(0，±c)在Ｙ轴上
c2=a2-b2
注: 结论：哪个项的分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上。反过来,焦点在哪个轴 上,相应那个项的分母就大。
练习
判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。
(1) x2 y 2 1 答：在x轴。（-3，0）和（3，0） 25 16
(2) x2 y 2 1 答：在y轴。（0，-5）和（0，5） 144 169
求椭圆的标准方程
y
F2 M
o
x
F1
求椭圆的标准方程的步骤
1、确定焦点的位置 2、设出椭圆的标准方程 3、求出方程中的a与b或待定系数法
解方程 4、把a与b代入标准方程
人教A版高中数学选修1-1课件： 2.1.1 椭圆及其标准方程 (共35张PPT)
教学重点难点
教材分析
目标分析
教学方法Biblioteka 教法：我主要采用引导发现法、探究讨论法。 同时使用多媒体辅助教学与自制教具相结合的 设计方案。 学法：让动手实践、独立思考、合作交流等等 都能成为学生学习数学的重要方式。 教学准备：学生准备一支铅笔、两个图钉、一 根细绳、一张硬纸板；教师准备多媒体课件。
教 学 过 程
y
y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
2
2
F2
M
O
x
F1
y
y
P( x, y )
F2
F2
P( x, y )
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1 2 a b
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
如何根据标准方程判断 焦点在哪个坐标轴上？
两种标准方程有何异同？
定 义
F2
x
F1
F2
x
方案一
y
方案二
M
O
F2
x
F1
方案三
1）建系设点： 以两定点 F1 、 F2 所在直线为 x 轴，线段
F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 .
设 F1 F2 2c (c 0)，则 F1 ( c ,0 )、F2 (c,0)
M ( x , y ) 为椭圆上
又设 的任意一点，
M 与 F1、F2的距离
F1
y
M
O
F2
x
的和等于 2a (2a 2c )
2）写出点集：
椭圆上点 M 的集合为 P M MF1 MF2 2a
教材分析
目标分析
教学方法Biblioteka 教法：我主要采用引导发现法、探究讨论法。 同时使用多媒体辅助教学与自制教具相结合的 设计方案。 学法：让动手实践、独立思考、合作交流等等 都能成为学生学习数学的重要方式。 教学准备：学生准备一支铅笔、两个图钉、一 根细绳、一张硬纸板；教师准备多媒体课件。
教 学 过 程
y
y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
2
2
F2
M
O
x
F1
y
y
P( x, y )
F2
F2
P( x, y )
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1 2 a b
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
如何根据标准方程判断 焦点在哪个坐标轴上？
两种标准方程有何异同？
定 义
F2
x
F1
F2
x
方案一
y
方案二
M
O
F2
x
F1
方案三
1）建系设点： 以两定点 F1 、 F2 所在直线为 x 轴，线段
F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 .
设 F1 F2 2c (c 0)，则 F1 ( c ,0 )、F2 (c,0)
M ( x , y ) 为椭圆上
又设 的任意一点，
M 与 F1、F2的距离
F1
y
M
O
F2
x
的和等于 2a (2a 2c )
2）写出点集：
椭圆上点 M 的集合为 P M MF1 MF2 2a
高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.1《椭圆及其标准方程》
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即：a2 cx a (x c)2 y2
焦点坐标
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
平于面常内数到（两大个于定F1F点2）F椭系1的，圆数点F2方为的的距轨程正离迹有加的特相和等点连
y 分母较大焦点y 定
P
右边数“1”F2记心P间
F1 O F2
x
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
条件的点都在曲线上（完备性）。
(证明一般省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
2.如何求椭圆的方程？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
F1 O O OF2 x x x
y
M
F2
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平 分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
“天宫一号”与“神八” 将实现两次对接
压扁
椭圆的定义 自己动手试试看:取出课前准备好的一条定长为6cm的 细绳，把它的两端固定在画板上的F 1 和F 2 两点，用铅 笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察, 你画出的是一个什么样的图形呢?
人教A版 选修1-1 高二数学 2.1.1椭圆及标准方程 教学课件(共46张PPT)
=
(m 2
+ 1)(b2 - a2b2 ) a2 + b2m2
-
2b 2m 2 a2 + b2m2
+1
-m2a2b2 + b2 - a2b2 + a2
=
a2 + b2m2
< 0.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m ∈
R恒成立，
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m ∈ R恒成立.
过程与方法：
注重数形结合，掌握解析法研究几何问 题的一般方法；
注重探索能力的培养.
情感态度与价值观：
探究方法激发学生的求知欲，培养浓 厚的学习兴趣; 进行数学美育的渗透，用哲学 的观点指导学习.
教学重难点
重点：
椭圆定义的理解及标准方程的推导
难点：
标准方程的推导
从上述的探究中，我们可以知道：把细 绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中， 细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的 距离和等于常数.
y
如图2.2-3，如果焦点 M
F1
F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐 标分别为（0，-c），（0，
O
x
F2
c），a，b的意义同上，那 么椭圆的方程是什么？
图2.2-3
容易知道，此时椭圆的方程是
y2 a2
+
x2 b2
=1
(a>b>0)
这个方程也是椭圆的标准方程.
例1：
已知椭圆的两个焦点坐标分别 是（-2，0），（2，0），并且经 过点（5，- 3），求它的标准方程.
2
高中数学人教版选修1-1：2.1.1-1 椭圆及其标准方程 课件(共16张PPT)
距离的和等于定长（2a） （大于|F1F2 |）的点的 轨迹叫椭圆.
定点F1、F2叫做椭圆 的焦点.
两焦点之间的距离叫 做焦距（2c）.
椭圆定义的符号表述：
MF1 MF2 2a 2c
M
F1 2c F2
三、椭圆的标准方程
求曲线的方程 的步骤是什么？
建
写
列
化
系
出
出
简
检
设
点
方
方
验
点
集
程
程
三、椭圆的标准方程
M
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
X
F1(0,-c)
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1.
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2.
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值.
五、课堂小结
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 y2 + x2 = 1a > b > 0
a2 b2
a2 b2
y
y
P
不
图
形
同
点
F1 O F2
x
F2
P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
三、椭圆的标准方程 y
定点F1、F2叫做椭圆 的焦点.
两焦点之间的距离叫 做焦距（2c）.
椭圆定义的符号表述：
MF1 MF2 2a 2c
M
F1 2c F2
三、椭圆的标准方程
求曲线的方程 的步骤是什么？
建
写
列
化
系
出
出
简
检
设
点
方
方
验
点
集
程
程
三、椭圆的标准方程
M
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
X
F1(0,-c)
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1.
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2.
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值.
五、课堂小结
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 y2 + x2 = 1a > b > 0
a2 b2
a2 b2
y
y
P
不
图
形
同
点
F1 O F2
x
F2
P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
三、椭圆的标准方程 y
人教版选修1-12.1.1椭圆及其标准方程课件
y M
F1 o
x F2
a2 - c2 x2 + a2 y2 = a2 a2 - c2
设 a2 - c2 = b2 b > 0 得 b2 x2 a2 y2 a2b2
即： x2 + y2 = 1 a > b > 0 椭圆的标准方程
a2 b2
x2 + y2 = 1 a > b > 0
汽车贮油罐的横截面的外轮廓 线的形状像椭圆.
地球、哈雷慧星 的运动轨迹都是椭圆 。
❖（1）取一条细绳，
❖（2）把它的两端固定在板上的两点 F1、F2
❖（3）用铅笔尖（M）把细绳拉紧， 在板上慢慢移动,看看画出的图形
F1
F2
❖ 平面上到两个定点的距离的和等于常数 （>|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
a2 b2
表示焦点在x轴上的椭圆
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
表示焦点在y轴上的椭圆
对于一个具体的椭圆方程，怎么判断它 的焦点在哪条轴上呢？
哪个分母大，它对应的分子就是焦点所在轴。
例1、 判断下列椭圆的焦点位置， 并求出焦点坐标和焦距。
（1）a=10,b=8,c=6, 焦点在x轴， 焦点(-6，0)、(6，0)，焦距为12；
（2）a=5,b=3,c=4, 焦点在y轴， 焦点(0，-4)、(0，4)，焦距为8。
例2、 的
椭圆
x2 100
y2 36
1 上 一点P到焦点F1
距离等于6，则点P到另一焦点F2的距 离是 __1_4___.
1、 指出下列椭圆中a、b、c的值，
并说出焦点所在的坐标轴
(1) x2
y2
1 (2) y2
校中数学选修1-1课件：2.1.1椭圆及其标准方程 (共26张PPT)
M
F1
O
F2
思 考
你知道2a=2c和2a<2c时点的轨迹是什么吗？
绳长＝ F1F2
绳长＜ F1F2
归纳概念
M
A1
F1
F2
注记: (1) |MF1|+|MF2|>|F1F2|时轨迹是椭圆; (2) |MF1|+|MF2|=|F1F2|时轨迹是线段F1F2; (3) |MF1|+|MF2|<|F1F2|时无轨迹。
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a=
6
,b=1,焦点在x轴上；
x2 6
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5； 25 16 (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； x y 1
（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
x2 ①a=4，b=1，焦点在x轴上； 答案： (1) y 2 1 16 y2 ② a 4, c 15 ，焦点在Y轴上； (2) x 2 1 16 ③a+b=10，c 2 5 。 x2 y2 y2 x2 (3) 1或 1 36 16 36 16
下列各式哪些表示椭圆？若是, 则判定其焦点在何轴？并指明a2，b2，写
出焦点坐标.
x y (1) 1 16 16
2 2
(4) 9 x 25 y 225 0
2 2
x y ( 2) 1 25 16
2 2
2
2
(5) 3 x 2 y 1
2 2
2 2
F1
O
F2
思 考
你知道2a=2c和2a<2c时点的轨迹是什么吗？
绳长＝ F1F2
绳长＜ F1F2
归纳概念
M
A1
F1
F2
注记: (1) |MF1|+|MF2|>|F1F2|时轨迹是椭圆; (2) |MF1|+|MF2|=|F1F2|时轨迹是线段F1F2; (3) |MF1|+|MF2|<|F1F2|时无轨迹。
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a=
6
,b=1,焦点在x轴上；
x2 6
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5； 25 16 (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； x y 1
（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
x2 ①a=4，b=1，焦点在x轴上； 答案： (1) y 2 1 16 y2 ② a 4, c 15 ，焦点在Y轴上； (2) x 2 1 16 ③a+b=10，c 2 5 。 x2 y2 y2 x2 (3) 1或 1 36 16 36 16
下列各式哪些表示椭圆？若是, 则判定其焦点在何轴？并指明a2，b2，写
出焦点坐标.
x y (1) 1 16 16
2 2
(4) 9 x 25 y 225 0
2 2
x y ( 2) 1 25 16
2 2
2
2
(5) 3 x 2 y 1
2 2
2 2
人教B版高中数学选修1-1课件2.1.1《椭圆及其标准方程》.pptx
的斜率就可以用含x, y的式子表示.由于直线AM ,
BM的斜率之积是
4 9
,因此可以建立x,
y之间的
关系式, 得出点M的轨迹方程 .
解 设点M的坐标为x, y,
y
因为点 k AM
x
y
5
x
5
;
A O
B x
同理,直线 BM 的斜率
一点 ,椭圆的焦距为 2c
y M
c 0,那么焦点F1,F 2的 坐标分别为 c,0,c,0.
F1 c O c F2 x
又设 M与F1 , F2的距离的 和等于2a .
图2.1 2
由椭圆的定义, 椭圆就是集合
P M || MF1 | | MF2 | 2a .
因为| MF1 | x c2 y2 ,| MF2 | x c2 y2 ,
义同上 ,那么 椭圆的方程 是
O
什么?
F1
容易知道 ,此时椭圆的方程是
y2 a2
x2 b2
1 a
b
0,
图2.1 4
这个方程也是椭圆的标 准方程.
例1 已知椭圆的两个焦点坐 标分别是 2,0,
2,0,
并且经过点
5 2
,
3 2
, 求椭圆的标准方程 .
解 因为椭圆的焦点在x轴上,所以它的标准方
所以 x c2 y2 x c2 y2 2a.
为化简这个方程, 将左边的一个根式移到右边, 得
x c2 y2 2a x c2 y2 ,
将这个方程两边平方, 得
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2,
人教版A版选修1—1 2.1.1 椭圆及其标准方程(共20张ppt)
A.5
B.6 C.4
D.10
2、若动点 P 到两定点 F1 (－4,0)， F2 (4,0)的距离之和为 8，则动点 P 的轨迹为（ D ）
A.命题P :动点M到两定点A,B的距离之和 MA MB 2a(a 0,常数）； 命题P:动点M的轨迹是椭圆，则P是q的（B ）
三：求轨迹方程 典例1
如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) ,直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，
9 求点 M 的轨迹方程.
分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
直译法： 把题目条件直接用 x 、y
表示出来, x 、y 之间的关系 式就显示出来了.
4.涉及椭圆焦点三角形面积是，可把 PF1 • PF2 看成
整体。运用 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 2 2 PF1 • PF2
及余弦定理求出 PF1 • PF2 ，而无需单独求解。
人教版A版选修1—1 2.1.1 椭圆及其标准方程（共20张ppt).
,
六：课后 作业
（1）已知动点P到点 F1(0, 2) F2(0, 2) 的距离之和为12,求动点P的轨迹方程.
(2)已知椭圆C: x 2 y 2 1 ,点M与点C的焦点不重合
94
若M关于C的焦点的对称点分别为A,B，线段MN的重
中点在C上，求 AN BN 的值
（3）若点P在椭圆 x 2
2
两个焦点， PF1F2
y 2 1 上，F1,F2 分别是椭圆的
900 求 PF1F2 的面积。
将 1 代入 2 ，得点M的轨迹方程为x2 4 y2 4 9
即 x2 y2 1.所以点M的轨迹是一个椭圆。 49
人教版高中数学选修1-1-2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程ppt课件
这样 ,我们把方 2叫 程做 椭圆的标准
方程 .它的焦点 x轴在上 ,两个焦点分
别是 F1c,0,Fc,0,这里 c2 a2b2.
y
思考 如图 2.1 4,如果焦点
F1 , F2在 y轴上 ,且 F1 , F2的坐标
F2
分别为 0,c, 0, c, a, b 的意
M
分析设点 M的坐标x为 , y,那么直A线 M,BM
的斜率就可以 x, y的 用式 含子表 .由示 于直A线 M, BM的斜率之积49,是 因此可以x建 , y之 立间的 关系,式 得出M 点的轨迹方 . 程
解 设点M的坐标为x, y,
因为点A的坐标是 5,0 ,
所以,直线 AM 的斜率
4上 ,所以 x02y024. 1
y P
M
OD
x
图2.15
把 x 0 x ,y 0 2 y 代 入 1 ,得 x 2 方 4 y 2 4 ,程
即x2 4
y2
1.所以M 点的轨迹是一个 . 椭圆
在例2中,寻找点M的坐标x, y与中间变量 x0, y0 之间的关系 ,然后消去x0, y0 ,得到点 M 的轨迹方程 .这是解析几何中求点迹轨 方程常用的一种方. 法
由椭圆的定义,2可a知2c,
y
P
即ac,所以a2 c2 0.
思考 观察图2.13,你能 F1 O
F2 x
从中找出表a示 ,c, a2 c2 的线段吗 ?
图2.13
由 2 . 1 3 可 图 ,|P 1 |知 P F 2 | a F ,|O 1 | |O F 2 | c ,F
为化简这个,将 方左 程边的一个根右式边 ,移 得到
x c 2 y 2 2 a x c 2 y 2 ,
方程 .它的焦点 x轴在上 ,两个焦点分
别是 F1c,0,Fc,0,这里 c2 a2b2.
y
思考 如图 2.1 4,如果焦点
F1 , F2在 y轴上 ,且 F1 , F2的坐标
F2
分别为 0,c, 0, c, a, b 的意
M
分析设点 M的坐标x为 , y,那么直A线 M,BM
的斜率就可以 x, y的 用式 含子表 .由示 于直A线 M, BM的斜率之积49,是 因此可以x建 , y之 立间的 关系,式 得出M 点的轨迹方 . 程
解 设点M的坐标为x, y,
因为点A的坐标是 5,0 ,
所以,直线 AM 的斜率
4上 ,所以 x02y024. 1
y P
M
OD
x
图2.15
把 x 0 x ,y 0 2 y 代 入 1 ,得 x 2 方 4 y 2 4 ,程
即x2 4
y2
1.所以M 点的轨迹是一个 . 椭圆
在例2中,寻找点M的坐标x, y与中间变量 x0, y0 之间的关系 ,然后消去x0, y0 ,得到点 M 的轨迹方程 .这是解析几何中求点迹轨 方程常用的一种方. 法
由椭圆的定义,2可a知2c,
y
P
即ac,所以a2 c2 0.
思考 观察图2.13,你能 F1 O
F2 x
从中找出表a示 ,c, a2 c2 的线段吗 ?
图2.13
由 2 . 1 3 可 图 ,|P 1 |知 P F 2 | a F ,|O 1 | |O F 2 | c ,F
为化简这个,将 方左 程边的一个根右式边 ,移 得到
x c 2 y 2 2 a x c 2 y 2 ,
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5 2 3 2 ( ) ( ) 2 2 1 n m ( 3) 2 ( 5 ) 2 1 n m
，解得 m 6, n 10
x2 y 2 1 所以，所求椭圆的标准方程为 6 10
例4： x2 y2 2 表示焦点在 1 2 ① 已知方程： y轴的椭 a b 圆，求m的取值范围？ 探究？方程： 焦点的关系。 ①
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
b2 = a2 –c2
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个 项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪 个轴上，相应的那个项的分母就越大.
椭圆标准方程的求法： 一定焦点位置； 二设椭圆方程； 三求a、b的值.
.
求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值，
写出椭圆的标准方程.
例3 的标准方程
3 5 已知椭圆经过两点( 2 , 2 )与( 3, 5)
,求椭圆
解：设椭圆的标准方程 则有
王新敞
奎屯Байду номын сангаас新疆
x2 y 2 1(m 0, n 0, m n) m n
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)， P到它较近的一个焦点的距离等于2.
x2 y2 1 解：(1)所求椭圆的标准方程为 4 2 y x2 （２）所求椭圆的标准方程是 1 100 36
教学目标
3.情感目标 ①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学 美的熏陶， ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和 成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精 神，形成学习数学知识的积极态度。 4、重点难点 基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定 为： ①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭 圆的标准方程及其推导方法， ②难点：椭圆的标准方程的推导。
则 的
1.若 F1 PF2
3
求 F1PF2 的面积
2.求|PF1|.|PF2|的最大值 3.若F1是椭圆的左焦点，直线x=m与椭圆 交于A、B两点，求三角形ABF1周长的最
变式题组一
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 + = 1，则这个椭圆的焦距为（ ） 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点，且 F1 F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y 2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3，则P到另一焦点的距离为（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
2.1《椭圆》
1.知识目标 ①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标 准方程， ②能根据已知条件求椭圆的标准方程， ③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程 的基本方法，体会数形结合的数学思想。 2.能力目标 ①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培 养解决实际问题的能力， ②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力， ③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
探究：如何建立椭圆的方程？
建式 系 列 化 设 简 点
椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a，则2a>2c
y
P(2x , y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c + y 2 = 2a
x + c
2
2
, 0 ca , 0- O x -F 2c + + y 2F= c2 y2 1 -2
变式题组二
1.如果方程x2 +ky 2 =1表示焦点在y轴上的椭圆， 那么实数k的取值范围是（ ） (A)（0，+¥ ） (B)（0，2） (C)（1，+¥ ） (D)（0，1） x2 y 2 2.椭圆 + =1的焦距是2，则实数m的值是（ m 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 x2 y 2 3.已知F1、F2是椭圆 + = 1的两个焦点，过 25 49 F1的直线与椭圆交于A、B两点，则D ABF2的 周长为（ (A)8 6 ） (B)20 (C)24 (D)28 ）
神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道.
复习提问：
1．圆的定义是什么？
2．圆的标准方程是什么？
导入新课： 1．视笔尖为动点，两个图钉为定点， 动点到两定点距离之和符合什么条 件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
§2.1 椭圆及其标准方程
２００３年10月15日9时我国首位航天员杨利伟乘坐的“ 神舟”五号载人飞船，在酒泉卫星发射中心成功升空。随 着那一声冲天而起的火光和共鸣，它顺利地进入了预定轨 道。它升起的不仅是载人飞船，还有中国人的骄傲与自信 ！
设置情境 问题诱导
2005年10月12日上 午9时，“神舟六号” 载人飞船顺利升空，实 现多人多天飞行，标志 着我国航天事业又上了 一个新台阶，请问： “神舟六号”载人飞船 的运行轨道是什么？
x
a2
b2
2.椭圆的标准方程 y
F1 O F2
y
F1
x
O F2
x
方 程
特
点
y2 x2 2 1 2 a b （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a、b、c都有特定的意义，
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
反思总结 提高素质
标准方程
不 同 点 图形
x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b y
y 2 x2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2
y
o
F1(-c,0)、F2(c,0)
x
o
x
焦点坐标
定义 共 同 点
a、b、c的关系 焦点位置的判定
F1(0,-c)、F2(0,c)
变式演练 加深理解
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0）， 椭圆上一点到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0， - 2）、（0，2）， 3 5 并且椭圆经过点（- ，）. 2 2
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
x2 y 2 1 解：（1）所求椭圆标准方程为 25 9 y 2 x2 1 （2）所求椭圆标准方程为 10 6
x
2
y
F2
O
x + c + y 2 = 4a 2 - 4a
2 2
x - c
2
2
+ y2 x - c + y2
a - c x + a y = a a - c
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
设 a -P cx xy +y (=xa ， )c 是椭圆上任意一点
x2 y2 x2 y2 与方程： 2 1 2 1 2 2 a b a b
x2 y2 求与椭圆： 9 4 1
共焦点，且过点M（3，
-2）的椭圆标准方程。
② 已知椭圆过点（2，-6），且a=2b求椭圆的标 准方程。
有关椭圆定在焦点三角形的应用
（1）已知三角形ABC的顶点B、C在椭
绘图纸上的三个问题
探究：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 椭圆 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在
归纳：椭圆的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.
作业：
一. 人教版选修P42
1,2
二. 思考题
方程Ax2 +By2 =1什么时候表示椭圆？ 什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么 时候表示焦点在y轴上的椭圆？
x2 2 y 1 上，顶点A是椭圆的一个 圆：3
焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，求 三角形ABC的周长。
x2 y2 1 (2)已知椭圆： 2 2 a b
上一点P，
F1、F2为其两个焦点，且 F1PF2 三角形F1PF2的面积为多少？
x2 y2 应用：已知F1、F2是椭圆： 1 100 64 两个焦点：
有关系式 a 2 b 2 c 2成立。
x2 y2 1 2 2 a b
如何确定焦点的位置
2 2 x y 如何认知方程： 1 m n
思考一？方程在m,n满足什么条件下才是 椭圆方程？
思考二？方程在什么条件下满足焦点在x 轴上？焦点在y轴呢？ 思考三？你能由焦点坐标判定焦点的位置并 x2 y2 方程改为下 1 设出标准方程吗？ m n 面形式还会 吗？ 如：若焦点坐标为（ c,0)和（-c,0）你能设 出标准方程吗？改为焦点坐标为：（0，c) 和（0，-c),标准方程又是怎么样设呢？
2
P
设F1 F=2 ，则有 F1(-c，0)、 F2(c，0) F1 F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． x y + = 1 a > b > 0 即：