高中数学完整讲义——空间位置关系的判断与证明1.对平面的进一步认识.
高三数学专题复习课件专题9_空间直线与平面位置关系的判断与证明
3. 要求能够证明三点共线和三线共 点问题.
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[例1] (2005全国卷Ⅱ)正方体ABCD
-A1B1 C1D1中, P、Q、R分别是AB、AD、 B1 C1的中点. 那么正方体的过P、Q、R 的截面图形是 ( )
(A)三角形
(B)四边形
(C)五边形
的一条对角线，点M、N、P分别为其所
在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的
序号是
（写出所有符合要求的图
形序号）
P M Nl
①
P
P
lN M l
lN M
lN
MP
NP
M
②
③
④
⑤
[解析] 这是2003年的一道高考题. 我们可以先画出一个与l 垂直的正六边 形截面，然后检查过哪三点的截面就是 这个截面；而对于其他情况，要么画出 截面与正方体各表面的交线然后用三垂 线定理判断，要么建立空间直角坐标系 用向量法计算.
法二：如图建立空间直角坐标系. 并 设底面菱形边长为a，侧棱长为b.
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[例1] 在正方形SG1G2G3中，E、F分别 是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点, 现在 沿SE、SF及EF将这个正方形折成一个四面 体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点 记为G，则在四面体S-EFG中必有 ( )
A. SG⊥△EFG所在平面 B. SD⊥△EFG所在平面 C. GF⊥△SEF所在平面 D. GD⊥△SEF所在平面
[方法论坛]
1. 如何证三点共线：若要证A、B、C三 点共线, 可证A、B、C均为某两平面的公共点
.
2. 如何证三线共点：若要证直线a、b、c 相交于一点, 可设a为某两平面的交线, 而b与c 分别在这两个平面内且相交, 则b与c的交点必 在这两平面的交线a上.
空间位置关系的判断与证明
空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α∉； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α⊂； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系： ⑴共面直线：平行直线与相交直线； ⑵异面直线：不同在任一平面的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α：直线上所有的点都在平面，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行． 要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．lα直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．nmA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离．.. . . .. . . . .v ⑶斜线在平面的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面的射影．2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面的射影所成的锐角；⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；⑶直线和平面平行或在平面时，直线和平面所成的角的大小为0．显然，直线和平面所成的角的围为0,90⎡⎤⎣⎦．由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用。
空间位置关系的判断与证明.复习题-教师版
板块一.对平面的进一步认识【例1】 判断下面说法是否正确：①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．【难度】★★ 【解析】 ①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面；②正确，两条相交直线确定一个平面；③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面；④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形；⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线；⑥错误；若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确．【例2】 在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点,,'E F D 的截面与正方体的下底面相交于直线l ，①请画出直线l 的位置；②设l BC G =，求BG 的长．【难度】★★★D'C'B'A'F EDCB【解析】 ①延长'D F 交DC 的延长线于M ，连结EM ，如图所示，直线EM 即为所求的截面与底面的交线．典例分析空间位置关系的判断与证明.复习题MGABCDEFA'B'C'D'②因为F 为'CC 的中点，故CM DC =，又E 点为AB 的中点，故12BG EB GC MC ==，故1233BG BC ==．【例3】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 【难度】★★ 【解析】 要证明这种文字类的题，首先要把已知与求证的内容用具体的符号语言表述出来．CBAlcb a已知：////a b c ，,,l a A l b B l c C ===，求证：直线,,,a b c l 共面．证明：//,a b a b ⇒确定一个平面α，//,b c b c ⇒确定一个平面β， ,A a A B b B l A l B l ααα∈⇒∈⎫⎪∈⇒∈⇒⊂⎬⎪∈∈⎭，同理有l β⊂，又,b l B b l =⇒确定一个平面．而,b l 既在平面α内，又在平面β内，故α，β是同一个平面， 所以这四条直线,,,a b c l 共面．【例4】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？ 【难度】 ★★★【解析】⑴ 当三个平面互相平行时，把空间分成四个部分；⑵ 当其中两个平面互相平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六个部分； ⑶ 当三个平面都相交，且交线重合时，也将空间分成六个部分；⑷ 当三个平面都相交，且交线共点但不重合时，将空间分成八个部分； ⑸ 当三个平面两两相交，且交线平行时，将空间分成七个部分． 这几种情况分别如下图：（5）lγβα（4）βαγ（3）γβα（2）γβα（1）γβα【例5】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）A ．13部分B ．19部分C ．21部分D ．27部分【难度】 ★★★ 【解析】Ｄ【例6】 如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为1，过1A A ，11A B 和AC的中点E ，F ，G 画截面．EQM PFHGC 1B 1A 1CBA【难度】 ★★★ 【解析】 ∵E ，G ∈平面1BA ，∴连结EG 并延长交1BB 的延长线于H ．∵E ，F ∈平面11A ACC ，∴连结EF 并延长交1C C 的延长线于M ， 又∵M ，H ∈平面11BB C C ，∴连结MH 交BC 于P ，交11B C 于Q ，∴EMH ∆所在平面为切割平面∴连结Q ，G ，F ，P 即得切割平面与正三棱柱表面的交线， ∴五边形EFPQG 就是所求的截面．【例7】 （2008新课标海南宁夏）已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m α∥，m β∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A ．AB m ∥B ．AC m ⊥C ．AB β∥D ．AC β⊥【难度】 ★★★ 【解析】 D ；m m m l αβαβ⇒=∥，∥∥，AB m ∥，AC m ⊥一定成立；AB l ∥⇒AB β∥．【例8】 已知直线m n ，与平面αβ，，下面三个命题中正确的有______． ①m n m n αα⇒∥，∥∥；②m n n m αα⊥⇒⊥∥，；③m m αβαβ⊥⇒⊥，∥． 【难度】 ★★ 【解析】 ②③．【例9】 （05广东）给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若m α⊂，l A α=，点A m ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，∥l α，∥m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥； ③若∥l α，∥m β，∥αβ，则∥l m ；④若l α⊂，m α⊂，l m =点A ，∥l β，∥m β，则∥αβ． 其中为假命题的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【难度】 ★★★ 【解析】 C ；①真，假定共面可导出矛盾；②真，可以平面α内可找到与平面，l m 平行的直线，且它们相交；③假；④真，面面平行的判定定理．【例10】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【难度】 ★★【解析】③④；两个相交平面内也存在平行直线，故①错误；若②中的两条直线平行，则得不到平面平行的结论，②错误；在两个平行平面中的任一个平面内的直线都平行于另一个平面，从而平行于另一个平面内的任意一条直线，③正确；两条相交直线与两个平面都平行，可得到这两个平面平行，因为可以在其中分别找到两条相交直线，对应平行，④正确．【例11】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．求证：1B D ∥面11A C E ．EFAB CDB 1C 1D 1A 1【难度】★★ 【解析】 连结11B D ，与11A C 交于点F ，连结EF ，∵在11B D D 中，E 为1DD 的中点，F 为11B D 的中点，∴EF ∥1B D ，EF ⊂平面11A C E ，1B D ⊄面11A C E ∴1B D ∥面11A C E ．【例12】 如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【难度】 ★★★【解析】过M 点作//ME BC ，过N 点作//NF AD ，分别交1BB 和AB 于E F 、，连结EF ．∵//ME BC ， ∴11B MME BC B C =， 又∵//NF AD ， ∴NF BNAD BD=， 又已知CM DN =，1B C BD =，∴1B M BN =，11B M BN B C BD =，从而有ME NFBC AD=， 又∵//,BC AD BC AD =， ∴,//ME NF ME NF =， ∴MNFE 是平行四边形， ∴//MN EF ． 又MN ⊄平面11ABB A ，EF ⊂平面11ABB A ，∴//MN 平面11ABB A ．【例13】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【难度】 ★★★【解析】取CD 中点M ，连结OM ，EMOABCDEF在平行四边形ABCD 中，1//2OM BC ，又1//2EF BC ，则//EF OM ，于是四边形EFOM 为平行四边形．∴FO ∥EM 又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ， ∴FO ∥平面CDE【例14】 下列说法正确的有 ．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【难度】 ★ 【解析】 ①错误，过一点有一个平面垂直于已知直线，该平面内任一条过该点的直线都垂直于已知直线；②错误，若这无数条直线都是平行直线，则这条直线可以不垂直于这个平面，并且可以与这个平面相交，平行或在平面内；③正确，这条直线平行于这个平面，则必平行于该平面内的一条直线（过这条直线作一个与此平面相交的平面，交线即满足），而垂直于该平面的直线垂直于平面内任一条直线，故必垂直于这条与此平面平行的直线； ④错误，可以在此平面内，或与此平面平行；⑤错误，在这个平面内有一组平行线与它异面垂直；⑥正确，比如正方体上底面的两条相邻的棱互相垂直，且都与下底面平行； 综上知，正确的说法有③⑥．【例15】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【难度】 ★★★ 【解析】 分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证AE SB ⊥，可证AE ⊥平面SBC ，为此须证AE BC ⊥、AE SC ⊥，进而转化证明BC ⊥平面SAB 、SC ⊥平面AEFG ．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴SA BC ⊥． 又∵ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥． ∴BC ⊥平面ASB ．∵AE ⊂平面ASB ，∴BC AE ⊥．又∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．又∵SB ⊂平面SBC ，∴AE SB ⊥， 同理可证AG SD ⊥．【例16】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BD ．OABCD A 1B 1C 1D 1【难度】 ★★★ 【解析】 ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC连结BD ，AC 交于点O ，连结1A B ，1A D∵1160A AB A AD ∠=∠=，由1A AD ∆≌1A AB ∆可知，∴1A BD ∆为等腰三角形，又BO OD =∴1A O ⊥BD ，又1AC AO O =， ∴BD ⊥面1A AO ，又1AA ∥1CC ，且1CC ⊂面1A AO ．∴1CC ⊥BD【例17】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【难度】 ★★★ 【解析】 ①过B 作CD 的垂线，垂足E ，连AE ，FEDCBA∵CD AB ⊥，∴CD ⊥平面ABE ， ∴CD AE ⊥．∴222AC AE CE =+、222BD BE DE =+； 又有222AD AE DE =+、222BC BE CE =+． ∴222222AC BD AE BE CE DE +=+++， 而222222AD BC AE BE CE DE +=+++． ∴2222AC BD AD BC +=+．②过A 点作CD 的垂线，垂足设为F ，于是有： 222AD AF DF =+、222BC BE CE =+； 222AC AF CF =+、222BD BE DE =+；∵2222+=+；AD BC AC BD∴22222222 +++=+++ AF DF BE CE AF CF BE DE ∴2222+=+，DF CE CF DE∴2222-=-，DF CF DE CE∴()()()() +-=+-，DF CF DF CF DE CE DE CE∴DF CF DE CE-=-．∴DF CE DE CF+=+．∴E、F只能重合于一点，故有CD⊥平面ABE，∴CD AB⊥．【例19】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．FE ABCDA 1B 1C 1D 1【难度】 ★★★★ 【解析】 分析：证明1//EF BD ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和1A D 的公垂线（现在不提出这个名词），这一条件对构造线面垂直十分有用． ⑴∵1BB ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ， ∴111BB AC ⊥．∵四边形1111A B C D 为正方形， ∴1111AC B D ⊥，1111B D BB B =，∴11AC ⊥平面11BB D D ，而1BD ⊂平面11BB D D ，∴111AC BD ⊥． 同理11DC BD ⊥，1111DC AC C =，∴1BD ⊥平面11A C D ．⑵连结11A C ，由于11//AC AC ，EF AC ⊥， ∴11EF AC ⊥． 又1EF A D ⊥，1111A DAC A =， ∴EF ⊥平面11A C D ． 又由⑴知1BD ⊥平面11A C D ， ∴1//EF BD ．【例20】 （2009江苏高三调研）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，E F G ，，分别为线段1111AC A C BB ，，的中点，求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．C 1B 1A 1GFE CB A【难度】 ★★★★ 【解析】 ⑴∵BC AB ⊥，1BC BC ⊥， 1ABBC B =，∴BC ⊥平面1ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵∵111AE EC A F FC ==，，∴1EF AA ∥． ∵11BB AA ∥，∴1EF BB ∥∵11EF BCC B ⊄，∴EF ∥面11BCC B ； ⑶连接EB ，则四边形EFGB 为平行四边形， ∵1AB BC =，1AE EC =，∴1EB AC ⊥， ∴1FG AC ⊥．又∵BC ⊥面1ABC ，∴11B C ⊥面1ABC ． ∴11B C BE ⊥．∴11FG B C ⊥． ∵1111B C AC C =，∴GF ⊥平面11AB C ．。
高考数学讲义空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.教师版
板块一.对平面的进一步认识典例分析题型一平面的基本性质【例1】在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．【考点】平面的基本性质【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】略【答案】B；【例2】判断下面说法是否正确：①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面．②经过一点的两条直线确定一个平面．③经过空间任意三点有且只有一个平面．④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形．⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段．⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．【考点】平面的基本性质【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】略【答案】①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面；②正确，两条相交直线确定一个平面；③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面；④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形；⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线；⑥错误；若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确．【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个【考点】平面的基本性质 【难度】星 【题型】选择 【关键词】无【解析】P 是AC 的中点，无数个；P 不是AC 的中点，1个． 【答案】C ；【例4】 下列推理错误的是（ ）A ．,,,A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=IC ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线⇒,αβ重合D ．,l A l A αα⊄∈⇒∉【考点】平面的基本性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无【解析】直线上有两点有一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确；如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理2保证了Ｂ，Ｃ正确；直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故Ｄ错误．【答案】D ；【例5】 已知点A ，直线l ，平面α，①,A l l A αα∈⊄⇒∉ ②,A l l A αα∈∈⇒∈ ③,A l l A αα∉⊂⇒∉ ④,A l A l αα∈∉⇒⊄ 以上命题表达正确，且是真命题的有________． 【考点】平面的基本性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】略【答案】直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误；直线是点集，故只能用l α⊂，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确．共线问题【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1O 三点（ ）A ．不共面共线B ．共线C ．共面不共线D ．不共面【考点】平面的基本性质 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】无【解析】连结BD 、11B D 、1BD ，在矩形11BB D D 中，易知O 、P 、1O 三点共线．【答案】B ；【例7】 如图，已知在空间四边形ABCD 中（即这四点不共面），,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上．G FEDCBAP H【考点】平面的基本性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】∵P ∈直线EH ，∵P ∈平面ABD ，∵P ∈直线FG ，∴P ∈平面BCD ， ∴P ∈（平面ABD ∩平面BCD ）， 又BD 是平面ABD 与平面BCD 的交线， ∴P BD ∈．【例8】 在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点,,'E F D 的截面与正方体的下底面相交于直线l ， ①请画出直线l 的位置；②设l BC G =I ，求BG 的长．【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】D'C'B'A'F EDCBA①延长'D F 交DC 的延长线于M ，连结EM ， 如图所示，直线EM 即为所求的截面与底面的交线．MGABCDEFA'B'C'D'②因为F 为'CC 的中点，故CM DC =，又E 点为AB 的中点，故12BG EB GC MC ==，故1233BG BC ==．【例9】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．KRQP NMDBC A【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】直线KR 和NR 为相交直线，故它们确定一个平面，记为α，则,P Q αα∈∈⇒直线PQ α⊂，故,,M N K α∈， 又,,M BC N BD K CD ∈∈∈，故,,M N K ∈平面BCD ，故,,M N K ∈（平面αI 平面BCD ），故在它们的交线上， 从而知,,M N K 三点共线．【例10】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．【考点】平面的基本性质 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结11A C ，AC ，∵11A C ∥AC ，∴11A C ，AC 确定平面11AC CA 交平面11ABC D 于1AC ． ∵1Q AC ∈，∴Q ∈平面11AC CA又Q ∈平面11ABC D ，而面11AC CA I 平面11ABC D 1AC = ∴点Q 必落在1AC 上，∴A ，Q ，1C 三点共线．【例11】 在正方体 1111ABCD A B C D -中（如图）， 1A C 与截面 1DBC 交于O 点，,AC BD 交于M ，求证：1,,C O M 三点共线．MODD 1A 1ABB 1CC 1【考点】平面的基本性质 【难度】3星【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】三点共线问题的证法是：证明此三点同在两个相交平面内，从而在它们的交线上．∵1,,C O M ∈平面1BC D ． 又∵1,,C O M ∈平面 11A ACC 根据公理2知：1,,C O M 在平面 1BC D 与平面 11A ACC 的交线上，即1,,C O M 三点共线．【例12】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为上底面1111A B C D 的中心，M 是正方体对角线1A C 和截面11AB D 的交点．求证：O 、M 、A 三点共线．OM ABCDB 1C 1D 1A 1【考点】平面的基本性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结AC ，11A C ，∵11A C ∥AC ，∴11A C ，AC 确定平面11AC CA 交平面11AB D 于AO ． ∵1M AC ∈，∴M ∈平面11AC CA ．又M ∈平面11AB D ，而面11AC CA I 平面11AB D AO = ∴点M 必落在AO 上，∴O ，M ， A 三点共线．共面问题【例13】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．【考点】平面的基本性质 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无 【解析】略【答案】要证明这种文字类的题，首先要把已知与求证的内容用具体的符号语言表述出来．CBAlcb a已知：////a b c ，,,l a A l b B l c C ===I I I ， 求证：直线,,,a b c l 共面．证明：//,a b a b ⇒确定一个平面α，//,b c b c ⇒确定一个平面β， ,A a A B b B l A l B l ααα∈⇒∈⎫⎪∈⇒∈⇒⊂⎬⎪∈∈⎭，同理有l β⊂，又,b l B b l =⇒I 确定一个平面．而,b l 既在平面α内，又在平面β内，故α，β是同一个平面， 所以这四条直线,,,a b c l 共面．【例14】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，A B C D E '''''，，，，分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点，求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．E'D'C'B'A'FED CBAab【考点】平面的基本性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴A B ''，是AD DB ，的中点，所以A B a ''∥．同理C D a ''∥，于是A B C D ''''∥．同理C B D E ''''∥即A B C '''∠的两边和C D E '''∠的两边平行且方向相同，因此A B C C D E ''''''∠=∠． ⑵A B C D ''''∥，于是A B C D ''''，，，共面α，同理B C D E ''''，，，共面β，于是αβ，都经过点B C D '''，，．因为a b ，异面，所以B C D '''，，三点不共线，因此过B C D '''，，有且只有一个平面，综上知αβ，重合，从而A B C D E '''''，，，，共面．【例15】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、的中点，求证：这六点共面．LG F ED CBAK H A 1D 1B 1C 1【考点】平面的基本性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结BD 和KF ，∵E L 、是CD CB 、的中点 ∴ //EL BD ．又∵矩形11BDD B 中//KF BD ， ∴ //KF EL ，∴ KF EL 、可确定平面α，从而E F K L 、、、在同一个平面α内， 同理//EH KL ，故E H K L 、、、共面β．又∵平面α与平面β都经过不共线的三点E K L 、、，故平面α与平面β重合，所以E K L F H 、、、、共面于平面α． 同理可证G α∈，∴E K L F H G 、、、、、六点共面．【例16】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面； ⑵求证：A ，Q ，1C 三点共线．【考点】平面的基本性质 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无 【解析】略【答案】如图，连结11D B ，ACDB 1C 11A E FQ⑴∵E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，∴EF 是111C D B ∆的中位线， ∴EF ∥11D B ．又∵在正方体1AC 中，11B D ∥BD ，∴EF ∥DB ，AB CDB 1C 1D 1A 1Q∴EF ，DB 可以确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面． ⑵连结11A C ，AC ，∵11A C ∥AC ，∴11A C ，AC 确定平面11AC CA 交平面11ABC D 于1AC ． ∵1Q AC ∈，∴Q ∈平面11AC CA又Q ∈平面11ABC D ，而面11AC CA I 平面11ABC D 1AC = ∴点Q 必落在1AC 上，∴A ，Q ，1C 三点共线．【例17】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，AC BD P =I ，11AC EF Q =I ．⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；⑵若1A C 交平面BDEF 于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．【考点】平面的基本性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】如图，连结11D B ，C QE F PR D 1C 1B 1A 1D BA⑴∵E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点， ∴EF 是111C D B ∆的中位线， ∴EF ∥11D B ．又∵在正方体1AC 中，11B D ∥BD ， ∴EF ∥DB ，∴EF ，DB 可以确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面． ⑵正方体1AC 中，记平面11A ACC 为α，平面BDEF 为β， ∵11AC EF Q =I ，∴11Q AC ∈，Q α∈，Q EF ∈，Q β∈． 同理，P 点也是α与β的公共点． ∴PQ αβ=I又由1AC R β=I ，1AC α⊂可知，1R AC ∈，R α∈，R β∈ ∴R PQ ∈，即P 、Q 、R 三点共线．【例18】 已知空间四边形ABCD 的对角线是,AC BD ，点,,,,,E F G H M N 分别是,,AB BC ,CD ,,DA AC BD 的中点，求证：三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．【考点】平面的基本性质 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】如图，连结EF ，FG ，GH ，HEMN BADF HGO∵,,,E F G H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点， ∴EF ∥AC ∥HG ，EH ∥BD ∥FG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．设EG FH O =I ，则O 平分EG ，FH ．同理，四边形MFNH 是平行四边形， 设'MN FH O =I ，则'O 平分MN ，FH ， ∵点,'O O 都平分线段FH ∴O 与'O 两点重合，∴MN 过EG 和FH 的交点，即三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．题型二 平面分空间问题【例19】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？【考点】空间分平面问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴ 当三个平面互相平行时，把空间分成四个部分；⑵ 当其中两个平面互相平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六个部分； ⑶ 当三个平面都相交，且交线重合时，也将空间分成六个部分； ⑷ 当三个平面都相交，且交线共点但不重合时，将空间分成八个部分； ⑸ 当三个平面两两相交，且交线平行时，将空间分成七个部分． 这几种情况分别如下图：（5）lγβα（4）βαγ（3）γβα（2）γβα（1）γβα【例20】 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分【考点】空间分平面问题 【难度】星【关键词】2007年，重庆高考【解析】可用三线,,a b c表示三个平面，如图，将空间分成7个部分．acb【答案】C；【例21】把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（）A．13部分B．19部分C．21部分D．27部分【考点】空间分平面问题【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】略【答案】D；【例22】把正四面体的各个面伸展成平面，则把空间分为（）A．11部分B．13部分C．15部分D．17部分【考点】空间分平面问题【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】略【答案】C；【例23】右图是一个长方体，问此长方体过点A的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面ABB A''，BCC B''和对角面ACC A''所在的三个平面将空间分成几个部分？D'C'A'B'CAB【考点】空间分平面问题【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】过点A 的三个面所在的平面将空间分成八个部分；侧面ABB A '，BCC B ''和对角面ACC A ''所在的三个平面将空间分成七个部分．题型三 截面问题【例24】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q，，的截面（ ）A ．邻边不等的平行四边形B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【考点】截面问题 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无【解析】B ；如图，易知过B P Q ，，的截面为面1PBQD ．容易证明四边形1PBQD 是菱形，证其不是正方形用反证法比较直观：PQD 1C 1B 1A 1DCBA若1BQ QD ⊥则111111BQ QD BQ CDD C BQ CC BQ D C ⊥⎧⇒⊥⇒⊥⎨⊥⎩面矛盾! 部分学生可能没有学反证法，教师在讲解时可以跳过这一概念．【答案】B ；【例25】 如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为1，过1A A ，11A B 和AC的中点E ，F ，G 画截面．EQM PFHGC 1B 1A 1CBA【考点】截面问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】∵E ，G ∈平面1BA ，∴连结EG 并延长交1BB 的延长线于H ．∵E ，F ∈平面11A ACC ，∴连结EF 并延长交1C C 的延长线于M ， 又∵M ，H ∈平面11BB C C ，∴连结MH 交BC 于P ，交11B C 于Q ， ∴EMH ∆所在平面为切割平面∴连结Q ，G ，F ，P 即得切割平面与正三棱柱表面的交线， ∴五边形EFPQG 就是所求的截面．【例26】 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、R 的截面．RS G QPAB CDA 1B 1C 1D 1EF MN【考点】截面问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】∵P 、Q ∈平面ABCD ，∴连结PQ 并延长，交DA 的延长线于N ，交DC 的延长线于M ，又∵R 、M ∈平面11D C CD ，∴连结RM 交1C C 于E ，并延长MR 与1DD 延长线交于点S ，∵S 、N ∈平面11ADD A ，∴连结SN 交1A A 于F ，交11A D 于G ， ∴SMN ∆所在平面为切割平面，并且与正方体棱的交点已确定． 又∵F 、Q ∈平面11A ABB ，P 、E ∈平面11BCC B ， ∴连结FQ 与PE ，则六边形PQFGRE 即为所求作的截面．【例27】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．A BCDA 1B 1C 1D 1PFEQ【考点】截面问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】∵1,D E ∈平面11A ADD ，∴连结1D E 并延长，与DA 延长线交于点P ，同理连结1D F 并延长，与DC 延长线交于点Q ，连结PQ ，A BCDA 1B 1C 1D 1PFEQ∴1D PQ ∆为切割平面，过正方体的顶点B （分析见下）． 又∵E 、B ∈面11A ABB ，连结EB ，FB ， ∴四边形1D EBF 就是所求的截面．分析：其中点B 在PQ 所在直线上，可通过平面几何知识证明， 在1PDD ∆中，由于E 为1AA 中点，EA ∥1DD ，所以A 为PD 中点，同理C 为DQ 中点，在DPQ ∆中，设PQ 与AB 交于点M ，即AM ∥DQ ，且A 为PD 中点，AM 为中位线，所以12AM DQ AB ==，因此有B 与M 重合．另：也可通过证明四点1,,,D E B F 共面，得到过点,E F 及点1D 的截面即为面1D EBF ．DMBAQ⑵（法一）连结BD ，1BD ，则将所围成的几何体分成两个四棱锥，1B CFD D -与1B AED D -，QEFPD 1C 1A 1D CBAB 1111134B CFD D CFD D V S BC -=⋅=，同理114B AED D V -=，111442V =+=．（法二）所围成的几何体体积也可由补形法： 1D DPQ E APB F BCQ V V V V ---=--其中1111122213323D DPQ DPQ V S D D -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，1111111332212E APB APB V S EA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=同理112F BCQ V -=，∴121123122D DPQ E APB F BCQ V V V V ---=--=-⨯=。
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
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前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
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5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
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后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
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25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
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1.下列结论中正确的是 ( )
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解47---空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学复习考点知识与题型专题讲解7.2空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交或异面．2．平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？提示平行或相交．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有三个公共点的两个平面必重合．(×)(2)三条两两相交的直线确定一个平面．(×)(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.(√)(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(√)题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．4．两两平行的三条直线可确定________个平面．答案1或3解析若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面．题组三易错自纠5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案D解析由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．答案④解析①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，异面或相交．②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面．③a，b不同在α内，则a与b异面或平行．④由异面直线的定义可知正确.题型一平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD 上的点．若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．证明因为K∈EH，EH⊂平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD ＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点．题型二判断空间两直线的位置关系例2 (1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．思维升华(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④. 题型三求两条异面直线所成的角例3 (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45 答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B与AD 1所成角的余弦值为45.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为() A.15B.56C.55D.22 答案C解析如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 课时精练1．(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题： ①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行． 其中正确命题的个数是() A ．0B ．1C ．2D ．3 答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误．2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足：a ⊂α，b ⊂β，c ⊂γ，则直线a ，b ，c 不可能满足以下哪种关系()A ．两两垂直B ．两两平行C．两两相交D．两两异面答案B解析设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，又α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，又a∥b∥c，可得c∥l，因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面．若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行．3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E 的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．异面答案A解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF∥BE，OF＝BE，∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.5．(多选)(2020·全国Ⅱ改编)下列四个命题中是真命题的为() A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l答案AD解析对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，A为真命题；对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l⊂平面α，所以直线m⊥直线l，D为真命题．6．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1共面C．A，M，C，O共面D．B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C.7．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④解析①中GH∥MN；②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此GH，MN是异面直线；③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案 2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.9.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.10．已知下列说法：①若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ；②若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线； ③若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 一定不相交； ④若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b ，a ⊂α，则a 与β一定相交． 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)． 答案③④解析①错．a 与b 也可能异面． ②错．a 与b 也可能平行．③对．∵α∥β，∴α与β无公共点， 又∵a ⊂α，b ⊂β，∴a 与b 无公共点． ④对．由已知及③知，a 与b 无公共点， 那么a ∥b 或a 与b 异面． ⑤错．a 与β也可能平行．11.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解∵BE 綊12AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12.已知空间四边形ABCD 的对角线AC ＝20，BD ＝19，异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为1819，点P ，Q ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：四边形PQMN 是平行四边形； (2)求四边形PQMN 的面积．(1)证明因为P ，Q 分别是AB ，BC 的中点， 所以PQ ∥AC ，且PQ ＝12AC ，同理MN ∥AC ，且MN ＝12AC ，所以PQ ∥MN ，PQ ＝MN ， 所以四边形PQMN 是平行四边形． (2)解因为P ，N 分别是AB ，AD 的中点，所以PN ∥BD ，PN ＝12BD ＝192，又因为PQ ∥AC ，所以PQ 与PN 所成的角就是异面直线AC ，BD 所成的角，所以sin ∠QPN ＝1－cos 2∠QPN ＝1－⎝⎛⎭⎫18192＝3719，所以四边形PQMN 的面积为S ＝PQ ·PN ·sin ∠QPN ＝10×192×3719＝537.13．(2019·全国Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 答案B解析如图，取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．14．已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________．答案2π解析如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，＝3，则O1D＝3sin60°×23AO1＝AD2－DO21＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，O1E＝3＋4－2×3×2cos30°＝1，∴OE＝O1E2＋OO21＝2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为22－(2)2＝2，面积为2π.15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为32，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，P 是线段A 1B 上的动点，C 1P 与平面D 1EF 的交点Q 的轨迹长为()A ．3B.13C ．4D ．3 2答案B解析如图所示，连接EF ，A 1B ，连接A 1C 1，B 1D 1交于点M ，连接B 1E ，BC 1交于点N ，由EF ∥B 1D 1，即E ，F ，B 1，D 1共面，由P 是线段A 1B 上的动点，当P 重合于A 1或B 时，C 1A 1，C 1B 与平面D 1EF 的交点分别为M ，N ，即Q 的轨迹为MN ，由棱长为32，得C 1M ＝12A 1C 1＝3, 则BC 1＝6， 又BEB 1C 1＝BN NC 1＝12， 则NC 1＝23BC 1＝4， 由A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，得∠A 1C 1B ＝60°，则MN ＝MC 21＋NC 21－2MC 1·NC 1·cos ∠A 1C 1B ＝9＋16－2×3×4×12＝13. 16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ,EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736.。
第2讲 空间位置关系的判断与证明
在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,
∵A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.
又四边形ADD1A1为正方形,∴A1D⊥AD1.
又AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,
∴直线A1D与直线D1B垂直.
易知直线A1D与直线D1B异面.故选A.
突破点二 空间角的定义求法
[例2-1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成
对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.
假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.
又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.
又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.
又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,
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专题四
第2讲 空间位置关系的判断与证明
命题角度1
有关线面位置关系的命题的真假判断
[例1-1]设α,β是空间两个不同平面,a,b,c是空间三条不同直线,下列命题为
真命题的是( D )
A.若α∥β,b∥α,则b∥β
B.若a与b相交,a∥α,b∥β,则α与β相交
C.若α⊥β,a∥α,则a⊥β
D.若α⊥β,α∩β=a,b⊂α,b⊥a,c⊥β,则b∥c
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
空间位置关系的判断与证明.参考教案.学生版 普通高中数学复习讲义Word版
板块一.对平面的进一步认识【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【例2】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个【例3】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．KRQP NMDBC A【例4】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．【例5】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．【例6】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，A B C D E '''''，，，，典例分析空间位置关系的判断与证明.教师版分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点， 求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．E'D'C'B'A'FED CBAab【例7】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、的中点，求证：这六点共面．LG F ED CBAK H A 1D 1B 1C 1【例8】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分【例9】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）A ．13部分B ．19部分C ．21部分D ．27部分【例10】 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、R 的截面．【例11】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．A B CDA 1B 1C 1D 1PF EQ【例12】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例13】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例14】 （05福建卷）已知直线m 、n 与平面，αβ，给出下列三个命题：①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例15】 （2010年二模·朝阳·理·题5）已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β⊂，有下面四个命题：①l m αβ⇒⊥∥②l m αβ⊥⇒∥③l m αβ⇒⊥∥④l m αβ⊥⇒∥其中正确的命题是 （ ）A ．①与②B ．③与④C ．①与③D ．②与④【例16】 （2010年二模·海淀·理·题6）已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ．αβ⊥，n β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥【例17】 （2010年二模·丰台·文·题7）设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若,a b αα⊥⊥，则ab ；② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ；③ 若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；④ 若c 是b 在α内的射影，a α⊂且a c ⊥，则a b ⊥． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例18】 （2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【例19】 （09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点A α∉，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A ． l m ∥，l α⊥B ． l m ⊥，l α⊥C ． l m ⊥，l α∥D ． l m ∥，l α∥【例20】 （05江苏）设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，∥m β，∥n β，则∥αβ； ③若∥αβ，l α⊂，则∥l β；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，∥l γ，则∥m n ．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 αβ=直线D ∉直线l N 两点不可能重合【例22】 下列命题中，正确的个数是（ ）①平行于同一条直线的两直线平行②平行于同一个平面的两直线平行 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④垂直于同一个平面的两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两平面平行 ⑥平行于同一个平面的两平面平行A ．1B ．2C ．3D ．4【例23】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例24】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例25】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例26】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例27】 下列说法正确的有 ．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例28】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个．【例29】 如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例30】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例31】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例32】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例33】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例36】 （2010年一模·石景山·文·题17）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，14AA =．E 、F 分别是棱1CC 、AB 中点．⑴求证：CF ⊥1BB ；【例37】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC 的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例38】 （2009江苏高三调研）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，E F G ，，分别为线段1111AC A C BB ，，的中点，求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．C 1B 1A 1GFE CB A。
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结
1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面α互相垂直，记作 L⊥α，直线 L 叫做平面α的
垂线，平面α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。
L
p α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。
3 三个公理：
（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L B∈L A∈α
=> L α
A
α·
L
B∈α
公理 1 作用：判断直线是否在平面内
（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使 A∈α、B∈α、C∈α。
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a、b、c 是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
A
B
α· C ·
·
公理 2 作用：确定一个平面的依据。
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
高中数学空间位置关系(专题)
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期：【考纲说明】1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理。
2、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
【趣味链接】【知识梳理】（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质 1.内容归纳总结 ,//b P a βα=⇒//,a bαββ⊂=,//a b a bγγ==⇒直线、平面平垂直的判定及其性质 1.内容归纳总结 （一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。
高中数学课件-第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
12
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(2)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且
A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( D )
A.垂直
B.相交
C.异面
D.平行
D 若m与n平行，由于A∈m，A∈α，可得m⊂α，与m⊄α矛盾，故m 与n不平行.
13Leabharlann 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
知识梳理
1.平面的基本事实及推论
(1)平面的基本事实
基本事实1：过___□_1 _不__在__一__条__直__线__上___的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的__□_2_两__个__点____在一个平面内，那么这
条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只
有__□_3__一__条___过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线__□_4_平__行____.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(2)三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条__□_5 _相__交__直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条__□6__平__行__直线，有且只有一个平面.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
2.回源教材
(1)下列命题正确的是( D )
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线确定一个平面
D.两两平行的三条直线确定一个或三个平面
D A中，不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错； B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错； C中，当三条直线交于一点时不一定确定一个平面，C错，故只有选 项D正确.
通用版2019版高考数学(文)二轮复习讲义：重点增分专题八 空间位置关系的判断与证明(含解析)
重点增分专题八空间位置关系的判断与证明[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018直线与平面所成的角、长方体体积的计算·T10求异面直线所成的角·T9面面垂直的证明及线面平行的存在性问题·T19线面翻折及面面垂直的证明、三棱锥体积的计算·T18线面垂直的证明及点到平面的距离计算·T192017线面平行的判定·T6线面平行的证明、四棱锥体积的计算·T18空间中线线垂直的判定·T10面面垂直的证明、四棱锥体积及侧面积的计算·T18线线垂直的判定、四面体体积的计算·T192016求异面直线所成的角·T11线线垂直、空间几何体体积的计算·T19线面平行、空间几何体体积的计算·T19线线垂直、线面垂直的判定与性质、四面体体积的计算·T18(1)选择题、填空题多考查线面位置关系的判断、空间角、表面积及体积的计算，此类试题难度中等偏下，考查次数较少．(2)解答题的第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，而第(2)问多考查面积、体积的计算，难度中等偏上．解答题的基本模式是“一证明二计算”．考点一空间点、线、面的位置关系保分考点练后讲评[大稳定——常规角度考双基]1.[判定直线间的位置关系]已知α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析：选D因为α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，所以n在平面α内，m与平面α相交，且A是m和平面α相交的点，所以m和n异面或相交，一定不平行．2.[命题真假的判定]已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又l⊂β，所以m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3.[线面垂直、面面垂直的判定]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF解析：选B根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，得AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H 作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.[解题方略]判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．[小创新——变换角度考迁移]1.[与充要条件的交汇]设l，m，n为三条不同的直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当l⊥α时，l垂直于α内的任意一条直线，由于m，n⊂α，故“l⊥m且l⊥n”成立，反之，因为缺少m，n相交的条件，故不一定能推出“l⊥α”，故选A.2.[线面位置中的创新]某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目．项目①：折叠状态下(如图1)，检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中(如图2)，检查OM＝ON＝O′M′＝O′N′；项目③：打开过程中(如图2)，检查OK＝OL＝O′K′＝O′L′；项目④：打开后(如图3)，检查∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°；项目⑤：打开后(如图3)，检查AB＝CD＝A′B′＝C′D′.在检查项目的组合中，可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是()A．①②③⑤B．②③④⑤C．②④⑤D．③④⑤解析：选B A选项，项目②和项目③可推出项目①，若∠MON>∠M′O′N′，则MN较低，M′N′较高，所以不平行，错误；B选项，因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，所以平面ABCD∥平面A′B′C′D′，因为AB＝A′B′，所以AA′平行于地面，由②③⑤知，O1O1′∥AA′∥平面MNN′M′，所以桌面平行于地面，故正确；C选项，由②④⑤得，OM＝ON，O1A⊥AA′，O1′A′⊥AA′，AB＝A′B′，所以AA′∥BB′，但O1A与O1′A′是否相等不确定，所以不确定O1O1′与BB′是否平行，又O1O1′∥MN，所以不确定BB′与MN是否平行，故错误；D选项，OK＝OL＝O′K′＝O′L′，所以AA′∥BB′，但不确定OM 与ON，O′M′，O′N′的关系，所以无法判断MN与地面的关系，故错误．综上，选B.考点二空间平行、垂直关系的证明增分考点深度精研[析母题——高考年年“神”相似][典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[证明](1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD.∴PA⊥CD.∵PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF.又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.[练子题——高考年年“形”不同] 1．在本例条件下，证明平面BEF⊥平面ABCD.证明：如图，连接AE，AC，设AC∩BE＝O，连接FO.∵AB∥CD，CD＝2AB，且E为CD的中点，∴AB綊CE.∴四边形ABCE为平行四边形．∴O为AC的中点，则FO綊12PA，又PA⊥平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD.又FO⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABCD.2．在本例条件下，若AB＝BC，求证BE⊥平面PAC. 证明：如图，连接AE，AC，设AC∩BE＝O.∵AB∥CD，CD＝2AB，且E为CD的中点．∴AB綊CE.又∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC.又∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC.[解题方略]1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.[多练强化]1.(2019届高三·郑州模拟)如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，PA ⊥AB ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ＝12AD .(1)求证：PA ⊥CD .(2)求证：平面PBD ⊥平面PAB . 证明：(1)因为平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， 又因为PA ⊥AB ， 所以PA ⊥平面ABCD ， 又CD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥CD .(2)取AD 的中点为E ，连接BE ， 由已知得，BC ∥ED ，且BC ＝ED ， 所以四边形BCDE 是平行四边形，又CD ⊥AD ，BC ＝CD ，所以四边形BCDE 是正方形， 连接CE ，所以BD ⊥CE . 又因为BC ∥AE ，BC ＝AE ， 所以四边形ABCE 是平行四边形， 所以CE ∥AB ，则BD ⊥AB .由(1)知PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ， 又因为PA ∩AB ＝A ，所以BD ⊥平面PAB ， 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAB .考点三 平面图形中的折叠问题 增分考点·讲练冲关 [典例] (2019届高三·湖北五校联考)如图①，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图②.在图②所示的几何体D -ABC 中．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F -BCE 的体积． [解] (1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22，∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC ，∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ， 平面ACD ∩平面BEF ＝EF ， ∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点， ∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，V F -BCE ＝V B -CEF ＝13×S △CEF ×BC ， S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F -BCE ＝13×12×22＝23. [解题方略] 平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．[多练强化]如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，E ，F 分别在线段BC ，AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF ⊥平面ECDF ，如图②.(1)求证：NC ∥平面MFD ； (2)若EC ＝3，求证：ND ⊥FC ； (3)求四面体NEFD 体积的最大值．解：(1)证明：∵四边形MNEF 和四边形EFDC 都是矩形， ∴MN ∥EF ，EF ∥CD ，MN ＝EF ＝CD ，∴MN 綊CD . ∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD . ∵NC ⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ， ∴NC ∥平面MFD . (2)证明：连接ED ，∵平面MNEF ⊥平面ECDF ，且NE ⊥EF ，平面MNEF ∩平面ECDF ＝EF ，NE ⊂平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.∵FC⊂平面ECDF，∴FC⊥NE.∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，∴FC⊥平面NED.∵ND⊂平面NED，∴ND⊥FC.(3)设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，由(2)得NE⊥平面FEC，∴四面体NEFD的体积为V NEFD＝13S△EFD·NE＝12x(4－x)．∴V四面体NEFD≤12⎣⎡⎦⎤x＋(4－x)22＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体NEFD的体积最大，最大值为2.考点四空间线面关系的探究性问题增分考点讲练冲关[典例](2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为»CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.[解题方略]解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立．(2)探索线段上是否存在满足题意的点时，注意三点共线条件的应用．[多练强化](2018·河南名校压轴第二次考试)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM＝33a时，AM∥平面BDF，理由如下：在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN.由(1)知四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC＝60°，所以AB＝2BC＝2DC，则CN∶NA＝1∶2.易知EF＝AC＝3a，因为EM＝33a，所以MF＝23EF＝233a，又易知AN＝233a，所以MF綊AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF.考点五空间角增分考点·讲练冲关[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22 B.32C.52 D.72(2)(2018·青海模拟)如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为()A．60°B．30°C．45°D．90°[解析](1)如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝5，则tan ∠EAB＝BEAB＝52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为5 2.(2)如图，正四棱锥P-ABCD中，根据底面积为6，可得BC＝ 6.连接BD交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P-ABCD的高，根据体积公式可得，PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则OA＝3，所以PA ∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因为PO＝1，＝2，OE＝12PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝3，所以tan∠BEO＝BOOE＝3，即∠BEO＝60°.[答案](1)C(2)A[解题方略]1．求异面直线所成角的步骤2．求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3解析：选C 如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°. 又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt △ACC 1中， CC 1＝AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.2.(2018·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选A 如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易＝EF ＝2a ，FG 知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG 余弦值为12，故选＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的A.逻辑推理——转化思想在平行、垂直证明中的应用[典例] 如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB ，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.[素养通路]本题(1)证明线面平行的思路是转化为证明线线平行，即证明EF与平面ABC内的一条直线平行，从而得到EF∥平面ABC；(2)证明线线垂直可转化为证明线面垂直，由平面ABD⊥平面BCD，根据面面垂直的性质定理得BC⊥平面ABD，则可证明AD⊥平面ABC，再根据线面垂直的性质，得到AD⊥AC.考查了逻辑推理这一核心素养．。
高中数学空间点线面之间位置关系知识点总结计划
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系D C1平面含义：平面是无限延展的α2平面的画法及表示A B 〔1〕平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的倍长〔如图〕〔2〕平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
三个公理：1〕公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A∈LB∈L=>LαA α·A∈αLB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内〔2〕公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，α·C·使A∈α、B∈α、C∈α。
·公理2作用：确定一个平面的依据。
〔3〕公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
β符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据αPL空间中直线与直线之间的位置关系·空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b=>a∥c3c∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
【高中数学】8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】人教A版(2019)必修第二册同步讲义
第八章立体几何初步§8.4空间点、直线、平面之间的位置关系知识索引索引1：平面1.概念：平面是向四周无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分2.三个基本事实（1）过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（不共线的三点确定一个平面）（2）如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
索引2：空间中直线与直线的位置关系空间中的直线与直线之间有三种位置关系：索引3：空间中平面、直线的位置关系1.直线与平面(1)直线在平面内，有无数个公共点，如图(2)直线与平面相交，有且只有一个公共点如，如图（3）直线与平面平行，没有共同点，如图共面直线：异面直线：相交直线:平行直线:同一平面内，有且只有一个公共点；同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点2.平面与平面的位置关系①两个平面平行——没有公共点如图②两个平面相交——有一条公共直线．如图精例探究精例1在空间中，设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若且，则B. 若，，，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则必不垂直于【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，A不符合题意；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，B不符合题意；在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，C符合题意；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，D不符合题意．故答案为：C．【分析】由已知条件结合题意在A中，m//β或m⊂β；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的判定定理得m⊥β；在D 中，m有可能垂直于n ．精例2.“YouBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A. 三点确定一平面B. 两条相交直线确定一平面C. 不共线三点确定一平面D. 两条平行直线确定一平面【考点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】自行车两个车轮与地面的切点，以及撑脚与地面的交点，组成不共线的三点，不共线的三点确定一平面.故答案为：C.【分析】根据欧氏几何公理2及其推论，结合实际问题的场景，选出正确选项.课堂反馈练习1下列命题不正确的是（）A.若，且，则B. 若，且，则C. 若直线直线，则直线与直线确定一个平面D. 三点确定一个平面.练习2.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E为棱PC上不与点C重合的点．（1）求证：平面平而PAC；（2）若，且二面角的平面角为45°，求三棱锥的体积．参考答案.练习1【答案】D【考点】平面的基本性质及推论【解析】解：对于A：由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.A中，平面与平面有一个交点，则有一条交线，且在交线上.所以A符合题意.对于B：由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.所以B真确.对于C：由两条相交直线确定一个平面可知，C符合题意.对于D：由公理2：不共线的三点确定一个平面可知，三点共线时不能确定一个平面，所以D不符合题意.故答案为：D【分析】A. 由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.可判断A符合题意；B. 由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.可判断B符合题意；C. 由两条相交直线确定一个平面可知，C符合题意. D.三点共线时不能确定一个平面，所以D不符合题意.练习2【答案】（1）证明：又，，,（2）解：AC与BD交于点O，连接EO，过E作垂足为F，则即为的平面角，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面平行，即可得到面面垂直；（2）根据二面角的平面角，求出线段的长度，即可得到相应三棱锥的体积.。
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高中数学讲义
题型一 平面的基本性质
【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）
A ．充分不必要条件．
B ．必要不充分条件．
C ．充要条件．
D ．既不充分也不必要条件．
【例2】 判断下面说法是否正确：
①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．
【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面
（ ） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个
【例4】 下列推理错误的是（ ）
A ．,,,A l A
B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=
C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线⇒,αβ重合
D ．,l A l A αα⊄∈⇒∉
【例5】 已知点A ，直线l ，平面α，
①,A l l A αα∈⊄⇒∉ ②,A l l A αα∈∈⇒∈ ③,A l l A αα∉⊂⇒∉ ④,A l A l αα∈∉⇒⊄ 以上命题表达正确，且是真命题的有________．
典例分析
板块一.对平面的进一步认识
高中数学讲义 【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、
1O 三点（ ）
A ．不共面共线
B ．共线
C ．共面不共线
D ．不共面
【例7】 如图，已知在空间四边形ABCD 中（即这四点不共面），,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD
上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上．
【例8】 在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点,,'E F D 的截
面与正方体的下底面相交于直线l ， ①请画出直线l 的位置； ②设l BC G =，求BG 的长．
【例9】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,P
QC B 的延长线交于M ，
,RQ DB 的延长线交于点N ，,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．
【例10】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．
G F
E
D
C
B
A
P H
K
R
Q
P N
M
D
B
C A
高中数学讲义
【例11】在正方体
1111
ABCD A B C D
-中（如图），
1
A C与截面
1
DBC交于O点，,
AC BD交于M，求
证：
1
,,
C O M三点共线．
【例12】如图，在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，O为上底面
1111
A B C D的中心，M是正方体对角线
1
A C和
截面
11
AB D的交点．求证：O、M、A三点共线．
【例13】如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
【例14】如图，直线,a b是异面直线，,,
A B C为直线a上三点，D E F
，，是直线b上三点，
A B C D E
'''''
，，，，
分别为AD DB BE EC CF
，，，，的中点，
求证：⑴A B C C D E
''''''
∠=∠；⑵A B C D E
'''''
，，，，共面．
M
O
D
D1
A1
A B
B1
C
C1
O
M
A B
C
D
B1
C1
D1
A1
E'
D'
C'
B'
A'
F E D
C
B
A
a
b
高中数学讲义 【例15】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111
DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、 的中点，求证：这六点共面．
【例16】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，记1A C 与平面11ABC D 交于
点Q ．
⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；
⑵求证：A ，Q ，1C 三点共线．
【例17】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，AC
BD P =，11
AC EF Q =．
⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面； ⑵若1A C 交平面BDEF 于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．
【例18】 已知空间四边形ABCD 的对角线是,AC BD ，点,,,,,E F G H M N 分别是,,AB BC ,
CD ,,DA AC BD 的中点，
求证：三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．
题型二 平面分空间问题
【例19】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？
【例20】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A ．5部分
B ．6部分
C ．7部分
D ．8部分
【例21】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）
A ．13部分
B ．19部分
C ．21部分
D ．27部分
【例22】 把正四面体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）
A ．11部分
B ．13部分
C ．15部分
D ．17部分
L
G F E
D B
A
K H A 1
D 1B 1C 1
高中数学讲义
【例23】右图是一个长方体，问此长方体过点A的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面ABB A''，BCC B''和对角面ACC A''所在的三个平面将空间分成几个部分？
题型三截面问题
【例24】在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，P Q
，分别是棱
1
AA，
1
CC的中点，则过点B P Q
，，的截面（）A．邻边不等的平行四边形B．菱形但不是正方形
C．邻边不等的矩形D．正方形
【例25】如图所示，已知正三棱柱
111
ABC A B C
-的底面边长为1，高为1，过
1
A A，
11
A B和AC的中点E，
F，G画截面．
【例26】正方体
1111
ABCD A B C D
-中，P、Q、R分别为BC，AB，
11
C D的中点，求作正方体的过P、
Q、R的截面．
D'
C'
B'
A'
C
B
A
E
Q
M
P
F
H
G
C1
B1
A1
C
B
A
R
S
G
Q
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
M
N
高中数学讲义 【例27】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截
面．⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
F
E
Q。