第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中地妙用(可编辑修改word版)
第7节 用点差法解中点弦问题
又 A 、 B 两点在椭圆上，则 x12 4 y12 16 ， x22 4 y22 16
两式相减得 (x12 x22 ) 4( y12 y22 ) 0
于是 (x1 x2 )( x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
y1 y2 x1 x2 4 1 x1 x2 4( y1 y2 ) 4 2 2
所求椭圆的方程是 y2 x2 1 75 25
例 3：已知椭圆
．
（1）求过点
且被点 P 平分的弦所在直线的方程；
（2）解求：（1斜）设率过为点 2 的平且行被点弦P的平分中的点 弦与轨椭圆迹交方与 A程（；x1，y1），B（x2，y2）点，则
=，
= ∵A，B 在椭圆上，∴
（3）过点 A（2①，1）引直线与②②椭﹣①圆得交， 于 B+、（yC2﹣两y1）点=0，，求截得的弦 B=﹣C 中点的轨迹方程．
y0 x0
a2 b2
.
典例分析：
例 1：过椭圆 x2 y2 1内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 16 4
解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 )
M (2,1) 为 AB 的中点 x1 x2 4
y1 y2 2
b2 a2
.
又 kMN
y2 x2
y1 , y1 y2 x1 x1 x2
2y 2x
y x . kMN
y x
b a
2 2
.
同理可证，在椭圆 x 2 b2
y2 a2
1（ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M、N 两点，点 P(x0 , y0 )
是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则 kMN
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200a b x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN=⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ， 整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k ∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x 又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k .由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200a b x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN=⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ， 整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k ∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x 又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k .由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用doc
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用
点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.典题妙解例1 抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）A. 12-=x yB. )1(22-=x y C. 212-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x .由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y， 整理得：)1(22-=x y .∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.例2 抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ） A. 21=x （y ＞21） B. 21=y （x ＞21） C. x y 2=（x ＞1） D. 12+=x y 解：由22x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .由m x k MN=⋅1得：4121=⋅x ，21=∴x . 在22x y =中，当21=x 时，21=y . ∴点M 的轨迹方程为21=x （y ＞21）.故答案选A.例3 （03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________. 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为),(y x ，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则.1=MN k 由m y k MN =⋅0得：20=y ，.120-=∴x 从而30=x .∴所求的中点坐标是)2,3(.例 4 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交，所得的弦的中点在522=+y x 上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为)0(22≠=m mx y ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P 的坐标为),(00y x .由m y k MN =⋅0得：m y =0，.1100+=+=∴m y x又 点),1(m m P +在圆522=+y x 上，.5)1(22=++∴m m解之得：,2-=m 或.1=m由⎩⎨⎧=-=.2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m x 直线与抛物线有两个不同的交点，4)1(42-+=∆∴m ＞0.∴m ＜2-，或m ＞0. .1=∴m故所求的抛物线方程为.22x y =例5.已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围. 解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，点P 在直线l 上，l AB ⊥，∴41-=AB k . 又x y 122=，mx y 22=，∴6=m .由m y k AB =⋅0，得：6410=⋅-y ，∴240-=y . 又由m x y +=004，得：4240+-=m x .点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)24(-＜)424(12+-⨯m . 解之得：m ＜216-.故实数m 的取值范围)216,(--∞.例6. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.解：（Ⅰ）y x 212=，∴)81,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 金指点睛1. 已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 2. 直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则||PQ =____. 3. 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-，则抛物线C 的方程为____________.4. 设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P所在的直线方程.5. 过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 6. 已知抛物线22x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围. 7. （05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论.（Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围.8. (08陕西文理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1. 解：x y 42=，mx y 22=，∴2=m . 直线的斜率为1. 由m y k MN =⋅0得：20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .∴线段AB 的中点坐标是)2,4(.2. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .在2-=kx y 中，20=x 时，220-=k y ，∴若PQ 中点的纵坐标是220-=k y . 由m y k AB =⋅0得：4)22(=-k k ，即022=--k k . 解之得：2=k 或1-=k . 由⎩⎨⎧=-=.8,22x y kx y 得：04)2(422=++-x k x k .直线与抛物线交于不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=∆≠.016)2(16,0222 k k k 解之得：k ＞1-且0≠k . ∴2=k .由⎩⎨⎧=-=.8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则1,42121==+x x x x .∴[]152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ .3. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x . 4. 解：设抛物线的方程为mx y 22=（m ＞0）. 在14+-=x y 中，斜率为4-，2-=y 时，43=x . ∴弦AB 的中点M 的坐标为)2,43(--. 由m y k AB =⋅0得：m =-⨯-)2(4，∴8=m .∴所求的抛物线的方程为x y 162=.5. 解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为 1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x . 6. 解：设弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，l AB ⊥，∴1-=AB k .又y x 212=，my x 22=，∴41=m . 由m x k AB=⋅01，得：4110=⋅-x ，∴410-=x . 又由m x y +=00，得：m y +-=410. 点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)41(-＜)41(21m +-⨯.解之得：m ＞83.故实数m 的取值范围),83(+∞.7. 解：（Ⅰ）y x 212= ，∴)81,0(,41F p m ==.设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F.若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由m x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当2=k 时，由（Ⅰ）知，810-=x ，直线l 的方程为4120++=y x y ， ∴它在y 轴上的截距410+=y b ，410-=b y . 直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=，即16521-+-=b x y . 代入22x y =并整理得：085242=+-+b x x .直线AB 与抛物线有两个不同交点，∴)852(161+--=∆b ＞0，即932-b ＞0.∴b ＞329.故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞.8.（Ⅰ）证明：41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x .当0=k 时，点M 在y 轴上，点N与原点O 重合，抛物线C在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行.当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40k x =. ∴8222k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k . 设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=. 代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x .0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅，则⊥，即︒=∠90ANB .∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ，∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x kx x . ∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB . ∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅.。
点差法求椭圆的中点弦
部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
12
+ 2
22
+ 2
=1
=1
两式相减得
(1 +2 )(1 −2 )
(1 +2 )(1 −2 )
−
2
2
=0
2
求椭圆 2
2
+ 2
= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
(1 +2 )(1 −2 )
=
2
− 2
(1 +2 )(1 −2 )
2
−
(1 −2 )
(1 −2 )
因为
(1 +2 )(1 −2 )
2
=0
(1 +2 )
(1 +2 )
= ，
= =
2
求椭圆 2
2
+ 2
= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
+
+
12
2
22
2
=1
=1
两式相减得
( + )( − )
整理得 (1 +2 )(1 −2 )
1
2
1
2
所以
=
2
− 2
=
2
− 2
(1 +2 )(1 −2 )
第7讲 点差法(解析版)
，过点
F
的直线交 E 于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
1
A．
2
B． 2 2
C． 3 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】令 AB 的中点为 M，坐标为 (1, 1) ，则 kAB
kMF
0 1
3 1
1 2
，
kOM
1
因为 A、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在 x 轴，所以 kAB
A． x2 y2 1 18 9
B． x2 y2 1 27 18
C． x2 y2 1 36 27
D． x2 y2 1 45 36
【答案】A
【解析】设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， F c, 0
所以
x12 2m x22 2m
y12 m y22 m
1
，相减得
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由题得 x1+x2 =2，y1+y2 =2 ，
所以
b2 b2
x12 x22
a2 y12 a2 y22
a2b2 a2b2
，
两式相减得 b2 (x1 x2 )(x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
所以 2b2 (x1 x2 ) 2 a2 ( y1 y2 ) 0 ，
所以
2b2
4b2
( y1 ( x1
y2 ) x2 )
0
，
所以1 2k 0,k 1 . 2
故选：C
2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆 E : x2 y2 1(m 0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 2m m
中点弦点差法的应用
中点弦点差法的应用（1）在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；（2）在椭圆12222=+b x a y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y b x a ；（3）在双曲线12222=-b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；（4）在双曲线12222=-b x a y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y b x a ；（5）在抛物线)0(22>=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =（6）在抛物线)0(22>-=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0y p k -=。
（7）在抛物线)0(22>=p py x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0x p k =（8）在抛物线)0(22>-=p py x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0x p k -=。
AB 为椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB的斜率0202y a x b k AB -=AB 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB的斜率0202y a x b k AB =AB 抛物线px y 22=的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB 的斜率0AB k y P=1 过椭圆141622=+y x 上一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
(完整版)第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中地妙用
第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--=Θ.22ab x y k MN -=⋅∴ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.典题妙解例1 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .焦点在y 上，.1,422==b a 假设直线l 的斜率存在.由22b a x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-xyx y整理，得：.0422=-+y y x当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
解：设直线与椭圆的交点为 、
为 的中点
又 、 两点在椭圆上，则 ，
两式相减得
于是
即 ，故所求直线的方程为 ，即 。
例2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由 得 。
∴ ，即 ，解得 。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
【答案】
【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为
得： 又
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
\
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆 的一条弦的斜率为3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，求点 的坐标。
解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则
，
又 ，
两式相减得
即
，即
点 的坐标为 。
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可得 。
13.椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
点差法求椭圆中点弦
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本文用这种方法作一些解题的探索。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x BΘ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y yΘ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x 两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN =⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知+=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q . 由平行四边形法则知：2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ） A.14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200ab x y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x .4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ， ∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x .（2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2）Θ P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x kΘ直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222φk k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,(Y Y ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,+=Θ由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x yx y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x kΘ直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又Θ300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k Θ直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
椭圆中点弦点差法
椭圆中点弦点差法
椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用领域，如天文学、工程建筑和航天技术等。
椭圆的特点是其上任意两点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的焦距。
在椭圆中，我们常常需要计算椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。
椭圆中点弦点差法是一种通过测量椭圆上的弦长和点到弦的距离来计算椭圆参数的方法。
具体步骤如下：
1. 首先，在椭圆上选择两个点，记为A和B，这两个点不在椭圆的主轴上。
2. 然后，连接AB两点，得到弦AB。
3. 接下来，在椭圆上选择任意一点，记为P。
4. 然后，从P点向弦AB引垂线，垂足为H。
5. 测量弦AB的长度，并记录为L，测量PH的长度，并记录为h。
6. 根据测量结果，可以利用椭圆中点弦点差公式计算椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。
椭圆中点弦点差法的原理是基于椭圆的几何性质，通过测量弦长和点到弦的距离来确定椭圆的参数。
这种方法的优点是简单易行，不需要复杂的数学计算，只需要准确测量即可得到结果。
椭圆中点弦点差法在实际应用中有很多用途。
例如，在天文学中，可以利用该方法计算行星和卫星的轨道参数；在工程建筑中，可以利用该方法确定椭圆形建筑物的尺寸和形状；在航天技术中，可以利用该方法确定卫星轨道的参数。
椭圆中点弦点差法是一种准确计算椭圆参数的方法，通过测量椭圆上的弦长和点到弦的距离，可以确定椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。
该方法简单易行，广泛应用于天文学、工程建筑和航天技术等领域。
通过使用椭圆中点弦点差法，可以准确计算椭圆的参数，为相关领域的研究和应用提供重要参考。
椭圆中点弦点差法
椭圆中点弦点差法椭圆中点弦点差法是一种计算椭圆面积的方法，它利用椭圆的中点弦和长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。
下面我们来详细介绍一下椭圆中点弦点差法。
我们需要了解一下椭圆的基本概念。
椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状像一个拉长的圆。
椭圆有两个焦点和两条主轴，其中离椭圆中心最远的两个点称为焦点，两个焦点之间的距离称为焦距。
主轴是通过椭圆中心的一条直线，其中长的主轴称为长轴，短的主轴称为短轴。
椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它描述了椭圆的扁平程度。
接下来，我们来介绍椭圆中点弦点差法的具体步骤。
首先，我们需要确定椭圆的两个主轴的长度，即长轴的长度a和短轴的长度b。
然后，我们可以计算出椭圆的离心率e，它的计算公式为e = √(1 - (b/a)^2)。
接着，我们可以计算出椭圆的焦距f，它的计算公式为f = √(a^2 - b^2)。
最后，我们可以使用椭圆中点弦点差法来计算椭圆的面积。
椭圆中点弦点差法的计算公式为S = πab(1 - (2d/a)^2)，其中S表示椭圆的面积，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，d表示椭圆中点弦的长度。
根据这个公式，我们可以通过测量椭圆的相关参数来计算椭圆的面积。
椭圆中点弦点差法的原理是利用椭圆中点弦的长度和椭圆的长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。
中点弦是一条通过椭圆中心并且垂直于长轴的直线，它与椭圆的交点分别称为弦点。
根据椭圆中点弦点差法的原理，我们可以得出椭圆的面积与中点弦的长度和长短半轴之差的平方成正比。
椭圆中点弦点差法的优点是计算简单，只需要测量椭圆的长短半轴和中点弦的长度就可以得到椭圆的面积。
而且，该方法适用于任何形状的椭圆，不受椭圆的离心率和焦距的影响。
因此，椭圆中点弦点差法在实际应用中具有广泛的应用价值。
总结来说，椭圆中点弦点差法是一种计算椭圆面积的简便方法，它利用椭圆的中点弦和长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。
该方法适用于任何形状的椭圆，且计算简单方便。
椭圆中点弦点差法
椭圆中点弦点差法椭圆是数学中一种重要的几何形状，它具有许多独特的性质和特点。
在研究椭圆的过程中，人们发现了一种称为椭圆中点弦点差法的方法，用于确定椭圆的中点、弦和点差的关系。
本文将详细介绍这一方法的原理和应用。
我们来了解一下椭圆的基本概念。
椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数。
椭圆的形状由两个焦点和连接两个焦点的直线（称为主轴）所确定。
在研究椭圆的性质时，人们常常需要确定椭圆上的点与其它几何元素（如弦、中点等）之间的关系。
椭圆中点弦点差法就是一种用于确定椭圆上的中点、弦和点差之间关系的方法。
具体而言，对于一个椭圆上的中点M、椭圆上的一条弦AB和椭圆上的一点P，我们可以利用椭圆的性质来推导出它们之间的关系。
首先，连接弦AB的两个端点与椭圆的焦点分别连成两条直线，这两条直线与椭圆的主轴相交于两个点C和D。
然后，连接点C和点D的直线与弦AB相交于一点E。
根据椭圆的性质，我们可以得知，连接点M和点E的直线与弦AB平行。
通过上述推导过程，我们可以得到椭圆中点弦点差法的结论：对于一个椭圆上的中点M、椭圆上的一条弦AB和椭圆上的一点P，如果连接弦AB的两个端点与椭圆的焦点连成的直线与椭圆的主轴相交于两个点C和D，连接点C和点D的直线与弦AB相交于一点E，那么连接点M和点E的直线与弦AB平行。
椭圆中点弦点差法在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在工程设计中，我们常常需要确定椭圆上的中点和弦的位置，以便进行合理的布局和设计。
通过利用椭圆中点弦点差法，我们可以准确地确定椭圆上的中点和弦的位置，从而提高工程设计的精度和效率。
除了工程设计，椭圆中点弦点差法还可以应用于数学研究和科学实验中。
例如，在椭圆轨道的行星运动研究中，我们需要确定椭圆上的中点和弦的位置，以便分析行星的运动轨迹和速度。
通过运用椭圆中点弦点差法，我们可以更加准确地描述行星的运动规律，从而深入理解天体运动的规律和机制。
椭圆中点弦点差法是一种用于确定椭圆上的中点、弦和点差之间关系的重要方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 2 22 2第 7 讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用x 2 y 2定理 在椭圆 + a 2 b 2 = 1（ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M 、N 两点，点 P (x 0 , y 0)是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则 k MN⋅ y 0= - b . x 0 a证明：设 M 、N 两点的坐标分别为(x 1 , y 1 ) 、(x 2 , y 2 ) ，⎧x 2 y 2⎪ 1 +1 = 1, (1) ⎪ a2 b 2 则有⎨ x 2 y 2 ⎪ 2 + 2 = 1. (2)⎪⎩ a 2b 2x 2 - x 2y 2 - y 2(1) - (2) ，得 1 2 + 1 2 = 0.a 2b 2y - y y + y b 2∴ 2 1 ⋅ 2 1 = - .x 2 - x 1 x 2 + x 1 y - y a 2 y + y 2 y y y b 2又 k = 2 1 , 1 2 = = . ∴ k ⋅ = - . MN2 - x 1 x 1 + x 22x x MN x a 2x 2 同理可证，在椭圆 b2 + y 2a 2= 1 （ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M 、N 两点，点 P (x 0 , y 0 )是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则 k MN ⋅ y 0= - a . x 0 b典题妙解例 1 设椭圆方程为 x 2+ y 4= 1 ，过点 M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A 、B ， O 为坐标原点， 点 P 满足= 1+，点 N 的坐标为⎛ 1 , 1 ⎫.当l 绕点MOP (OA OB ) ⎪2 ⎝ ⎭旋转时，求：（1） 动点 P 的轨迹方程； （2）| NP | 的最大值和最小值.解：（1）设动点 P 的坐标为(x , y ) .由平行四边形法则可知：点 P 是弦 AB 的中点 .x 2⎪ 2y 焦点在 y 上， a 2 = 4, b 2 = 1. 假设直线l 的斜率存在.y a 2 y - 1 y由 k AB ⋅ x = - b 2 得：⋅ = -4. x x整理，得： 4x 2 + y 2 - y = 0.当直线l 的斜率不存在时，弦 AB 的中点 P 为坐标原点O (0,0) ，也满足方程。
∴所求的轨迹方程为4x 2 + y 2 - y = 0.( y - 1 )2x 2 21 1（2） 配方，得： + 1 1 16 4= 1. ∴- ≤ x ≤ .4 4 ∴| NP |2 = (x - 1 )2 + ( y - 1)22 2= (x - 1 )2 + 1- x 22 4 = -3(x + 1 )2 + 76 1211 121 ∴当 x = 4 时， | NP |min = 4 ；当 x = - 6 时， | NP |max = 6.x 2 2例 2 在直角坐标系 xOy 中，经过点(0, 的交点 P 和 Q .（1） 求 k 的取值范围；2) 且斜率为 k 的直线l 与椭圆 + y 2= 1 有两个不同（2） 设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A 、B ，是否存在常数 k ，使得向量+ 与 共线？如果存在，求 k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l 的方程为 y = kx + 2.⎧ y = kx + 2, ⎪ 2 2 由⎨ x 2+ 2⎩ = 1. 得： (2k + 1)x + 4 2kx + 2 = 0.直线l 与椭圆 x 2 +y 2 = 1有两个不同的交点，2⎛ 2 ⎫ - ⎪ 2 PQ ⎪ e ∴∆ = 32k 2 - 8(2k 2+ 1) ＞0.解之得： k ＜ -2 或 k ＞ 2.22⎛ 2 ⎫ ⎛ 2⎫ ∴ k 的取值范围是 - ∞,- 2⎪ ,+∞ ⎪ . 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭x 2 2（ 2） 在 椭 圆+ y = 1 中 ， 焦 点 在2x 轴 上 ， a = 2, b = 1 ，∴ A ( 2,0), B (0,1), AB = (- 2,1).设弦 PQ 的中点为 M (x 0 , y 0 ) ，则OM = (x 0 , y 10 ). 由平行四边形法则可知： OP + OQ = 2OM .OP + OQ 与 AB 共线，∴ OM 与 AB 共线.∴x 0=y 0 ，从而y 0= -2 . 1x 02y b 2 1 由 k ⋅ 0= - 0 a 得： k ⋅ ⎝ = - 2 ⎭2 ，∴ k = .2 由（1）可知 k =2 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .2x 2 y 2 2 例 3 已知椭圆 + a 2 b 2 线方程为 x = 2 .= 1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2，离心率e = ，右准2(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点 F 的直线l 与该椭圆相交于 M 、N 两点，且| F M + F N |= 226，求直线l 的方程. 1解：（Ⅰ）根据题意，得2 2 3⎧ = c = a , 2 ∴ a =2, b = 1, c = 1 .∴所求的椭圆方程为 x+ y 2= 1. ⎨ 2⎪x = a⎩ c= 2. 2（Ⅱ）椭圆的焦点为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) . 设直线l 被椭圆所截的弦 MN 的中点为 P (x , y ) .由平行四边形法则知： F 2 M + F 2 N = 2F 2 P .- 22 x 2 23 2 2=c y y 由| F M + F N |= 26 得： | F P |26 .∴ (x - 1)2 + y 2 =26 ....................①223239若直线l 的斜率不存在，则l ⊥ x 轴，这时点 P 与 F 1 (-1,0) 重合， | F 2 + F 2 |=| 2F 2 F 1 |= 4 ， 与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由 k MN ⋅ x = - b 2a 2 得： ⋅ y x + 1 x = - 1 2 . ∴ y 2 = - 1 (x 2 + x ). 2………②②代入①，得(x - 1)2 - 1 (x 2 + x ) = 26.2 9整理，得： 9x 2 - 45x - 17 = 0 .解之得： x = 17 ，或 x = - 2.由②可知， x = 17 3 不合题意.∴ x = - 2 3 3 ，从而 y = ± 1 33 .∴ k =y x + 1 = ±1. ∴所求的直线l 方程为 y = x + 1 ，或 y = -x - 1 .例4 已知椭圆C : x a 2 + y 2b 2 = 1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 3两点. 当l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到l 的距离为2 .2（1）求 a , b 的值；（2）C 上是否存在点 P ，使得当l 绕 F 转到某一位置时，有OP = OA + OB 成立？若存在，求出所有点 P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为 F (c ,0) ，直线l 的斜率为1 时，则其方程为 y = x - c ，即 x - y - c = 0 .原点 O 到l 的距离： d == 2c = 2 2 ，∴ c = 1 . 2又e == a ，∴ a =3. 从而b = .∴ a = ， b = .x 2 （2）椭圆的方程为 3+ y22 = 1. 设弦 AB 的中点为Q (x , y ) . 由= + 可知，点 Q 是线段 OP 的中点，点 P 的坐标为(2x ,2 y ) .∴ 4x 23+ 2 y 2 = 1.…………………①若直线l 的斜率不存在，则l ⊥ x 轴，这时点 Q 与 F (1,0) 重合， OP = (2,0) ，点 P 不在椭圆上，| 0 - 0 - c | 23 2 3 3 22 2 23 33 y y 故直线l 的斜率存在.由 k AB ⋅ x = - b 2 a 2得： ⋅ y x - 1 x = - 2 3 . ∴ y 2= - 2 (x 2 - x ) ................................. ② 3由①和②解得： x =3, y = ± .4 4∴当 x = , y = 4 2 时， k AB 4= y = - x - 1 3 ， 点 P 的坐标为 ( ,2 2 ) ， 直线 l 的方程为 22x + y - = 0 ；当 x = , y = -42 时， k AB 4=y x - 1 ， 点 P 的坐标为 ( ,-2 2 ) ， 直线 l 的方程为 22x - y - = 0 .金指点睛1. 已知椭圆 x 2 + 2 y 2 = 4 ，则以(1,1) 为中点的弦的长度为（）A. 3B. 2 30 3 6C.D .322.（06 江西）椭圆Q : x a 2+ y2b 2 = 1（ a ＞ b ＞0）的右焦点为 F (c ,0) ，过点 F 的一动直线 m 绕点 F转动，并且交椭圆于 A 、B 两点，P 为线段 AB 的中点.（1） 求点 P 的轨迹 H 的方程； （2） 略.3．（05 上海）（1）求右焦点坐标是(2,0) 且过点(-2,-2) 的椭圆的标准方程；x 2 （2） 已知椭圆 C 的方程为 a2 + y 2b 2= 1（ a ＞ b ＞0）.设斜率为 k 的直线l ，交椭圆 C 于 A 、B 两点，A B 的中点为 M . 证明：当直线l 平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线上；（3） 略.4. (05 湖北)设 A 、B 是椭圆3x 2+ y 2 = 上的两点，点 N (1,3) 是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C 、D 两点.2 2 23= 25 ⨯ (4 - 10) 3 (-2 - 2)2 + (- 2)2 2 ⎩5 2（1） 确定的取值范围，并求直线 AB 的方程；（2） 略.y 2 5. 椭圆 C 的中心在原点，并以双曲线 4其中一条准线.（1） 求椭圆 C 的方程；- x 2 2 = 1 的焦点为焦点，以抛物线 x 2= -66 y 的准线为（2） 设直线l : y = kx + 2(k ≠ 0) 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点，使 A 、B 两点关于直线l ' : y = mx + 1(m ≠ 0) 对称，求 k 的值.参考答案1. 解：由 x 2 + 2 y 2 = 4 得 x4+ y 2 2 = 1 ，∴ a 2 = 4, b 2= 2 .y b 2 1 1弦 MN 的中点(1,1) ，由 k MN ⋅ x = - a 2 得 k MN 1= - ，∴直线MN 的方程为 y - 1 = - (x - 1) . 2 2 即 x = -2 y + 3 . ⎧x 2 + 2 y 2 = 4k = - .2由⎨x = -2 y + 3 得： 6 y 2 - 12 y + 5 = 0 . 设 M (x , y ), N (x , y ) ， 则 y + y = 2, y y = .1122121 26| MN |=(1 +1)[( y + y )2 - 4 y y]==30 3k 21 2 1 2故答案选 C.y b 2y y b 2 2. 解：（1）设点 P 的坐标为(x , y ) ，由 k AB ⋅ x = - 整理，得： b 2 x 2 + a 2 y 2 - b 2cx = 0 .得：⋅ = - ， a 2 x - c x a∴点 P 的轨迹 H 的方程为b 2 x 2 + a 2 y 2 - b 2cx = 0 .3．解：（1） 右焦点坐标是(2,0) ，∴左焦点坐标是(-2,0) .c = 2 .由 椭 圆 的 第 一 定 义 知 ， 2a = + = 4 ， ∴(-2 + 2)2 + (- 2)222 a 2 + b 2 6 2a = 2 .∴ b 2 = a 2 - c 2 = 4 .∴所求椭圆的标准方程为 x 8+ y 24 = 1.y b 2 y b 2 2 2（2）设点 M 的坐标为(x , y ) ，由 k AB ⋅ x = - a 2 得： k ⋅ x = - a2 ，整理得： b a 、b 、k 为定值，∴当直线l 平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线b 2 x + a 2ky = 0 上.x + a ky = 0 .4. 解：（1） 点 N (1,3) 在椭圆3x 2 + y 2 = 内，∴ 3 ⨯12 + 32 ＜，即＞12.∴ 的取值范围是(12,+∞) .22y 2 x 22 2 由 3x + y = 得 + = 1，∴ a 3= ,b = ，焦点在 y 轴上. 3 若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB ⊥ x 轴，根据椭圆的对称性，线段 AB 的中点 N 在 x 轴上，不合题意，故直线 AB 的斜率存在.ya 2 3由 k AB ⋅ x = - b2 得： k AB ⋅ 1 = - ，∴ k AB = -1.3∴所求直线 AB 的方程为 y - 3 = -1⋅ (x - 1) ，即 x + y - 4 = 0 .从而线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 y - 3 = 1⋅ (x - 1) ，即 x - y + 2 = 0 .y 2 5. 解：（1）在双曲线 4- x 22 = 1 中， a = 2, b = 2, c = = ，∴焦点为 F 1 (0,- 6), F 2 (, 6) .在抛物线 x 2= -2 6 y 中， p = ，∴准线为y = 6 .2∴在椭圆中，a = c . 从而 a = 3,b = 3.2∴所求椭圆 C 的方程为 y 9+ x 23 = 1 .6 6 2 21（2）设弦 AB 的中点为 P (x 0 , y 0 ) ，则点 P 是直线l 与直线l '的交点，且直线l ⊥ l '.∴ m = - .k由 k AB ⋅ y 0= - a x 0 b 1得： k ⋅ y 0 = -3 ，∴ ky x 0 = -3x 0 .…………………………………………①由 y 0 = - k⋅ x 0 + 1得： ky 0 = -x 0 + k ............................................................................... ②k 3由①、②得： x 0 = - 2 , y 0 = 2.又 y 0 = kx 0 + 2 ，∴ 3 = -k ⋅ k+ 2 ，即 k 2 = 1 . 2 2 ∴ k = ±1.在 y = kx + 2 中，当 x = 0 时， y = 2 ，即直线l 经过定点 M (0,2) .而定点 M (0,2) 在椭圆的内部，故直线l 与椭圆一定相交于两个不同的交点.∴ k 的值为± 1.2 2 0。