高三一轮复习函数的值域与最值ppt

高三总复习 数学 (大纲版)
7．单调性法 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性， 求出函数的值域． 8．数形结合法 当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值； 或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数 的值域．
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9．函数的有界性法 形如 y＝1＋sinsixnx，可用 y 表示出 sinx.再根据－ 1<sinx≤1，解关于 y 的不等式，可求得 y 的取值范围． 10．导数法 设 y＝f(x)的导数为 f ′(x)，由 f ′(x)＝0 可求得极 值点坐标，若函数定义域为[a，b]，则最值必定为极值 点和区间端点函数值中的最大值和最小值．
(2)当 m＝0 时，y＝2 2； 当 0<m≤1，y＝ m(x－3)2＋8－8m. ∴ymin＝ 8－8m. 因此，f(m)＝ 8－8m(0<m≤1)． ∴f(m)的值域为[0,2 2]．
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[例 1] 求下列函数的值域． (1)y＝xx－ ＋21； (2)y＝2＋x1－x2； (3)y＝2x－ x－1.
(3)设 t＝ x－1≥0，则 x＝t2＋1(t≥0)， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2(t－14)2＋185，∵t≥0， ∴y∈[185，＋∞)， ∴函数 y＝2x－ x－1的值域是[185，＋∞)．
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[拓展提升] 求函数值域时一定要先考虑其定义域， 如利用函数的单调性，必须要有定义域；用重要不等式求 值域时，若忽视定义域，则可能会导致等号成立的条件出 错；用导数求函数值域时要注意把极值与定义域区间端点 的函数值作比较；用换元法求值域要注意换元前后范围保 持一致．
4．函数 y＝x＋ 1－2x的值域是
()
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1]
C．R
D．[1，＋∞)
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解析：令 t＝ 1－2x，则 t≥0，且 x＝1－2 t2， 从而 y＝1－2 t2＋t＝－12t2＋t＋21 ＝－12(t2－2t)＋12＝－21(t－1)2＋1. ∵t∈[0，＋∞)，∴当 t＝1 时 ymax＝1， ∴y∈(－∞，1]．
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4．判别式法 把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x，y)＝0，通过方 程有实根，判别式 Δ≥0，从而求得原函数的值域．形如 y ＝aa12xx22＋ ＋bb12xx＋ ＋cc12 (a1，a2 不同时为零)的函数的值域常用此法求解．
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5．换元法 运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的 另一函数，从而求得原函数的值域．形如 y＝ax＋b± cx＋d (a、b、c、d 均为常数，且 a≠0)的函数常用此法求解． 6．不等式法 利用基本不等式：a＋b≥2 ab(a，b>0)，求函数的值 域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件 “一正、二定、三相等”．
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3．函数 f(x)＝1＋1 x2(x∈R)的值域是
A．[0,1]
B．[0,1)
C．(0,1]
D．(0,1)
()
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解析：设 y＝f(x)，则 y＝1＋1 x2.∴x2＝1y－1. 由 x2≥0，即1－y y≥0，解得 0<y≤1. 答案：C
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答案：B
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5．已知函数 y＝ mx2－6mx＋m＋8的定义域为 R. (1)求实数 m 的取值范围； (2)当 m 变化时，若 y 的最小值为 f(m)，求函数 f(m)的 值域．
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解：(1)依题意，当x∈R时，mx2－6mx＋m＋8≥0恒成 立．当m＝0时，x∈R；
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1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是
Aห้องสมุดไป่ตู้y＝x2－x＋1
B．y＝x＋1x(x>0)
C．y＝esinx
D．y＝(x＋1)－23
()
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解析：∵y＝x2－x＋1＝x－122＋43， ∴y≥43，∴排除 A 项． 又 y＝x＋1x≥2(x>0)，故排除 B 项． ∵－1≤sinx≤1，∴y＝esinx∈1e，e，∴排除 C 项． 答案：D
生活中的优化问题.
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求函数值域与最值的方法 1．基本函数法(直接根据函数求最值) 对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解． 2．配方法(二次函数法) 对形如F(x)＝a[f2(x)＋bf(x)＋c](a≠0)类的函数的值域问 题，可用配方法求解． 3．反函数法 对形如 y＝acxx＋＋db(a≠0)的函数值域可用此法．
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[解] (1)原式等价于 y＝1－x＋3 1， 显然x＋3 1≠0，∴y≠1. ∴函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
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(2)解法 1：∵2＋x－x2＝－(x－12)2＋94≤94，此时有三种情 况，若－(x－12)2＋94<0，则 y<0；若－(x－12)2＋94＝0，则 y 无 意义；若 0<－(x－21)2＋94≤94，则 y＝－(x－112)2＋94≥49.
∴函数的值域为(－∞，0)∪[49，＋∞)． 解法2：∵x≠2且x≠－1，∴所给的函数式可以转化为
yx2－yx－2y＋1＝0，∵必有实数满足这个方程，并对任意 实数x，都有y≠0，于是Δ＝(－y)2－4y(1－2y)≥0，
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解得 y∈(－∞，0)∪[94，＋∞)．当 x＝2 或 x＝－1 时 函数式无意义，∴函数的值域为(－∞，0)∪[49，＋∞)．
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第二节 函数的值域与最值
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考 纲 1.会求简单函数的值域或最值． 要 2．了解最值的应用． 求
1.利用函数图象、单调性、反函数的定义域求函 考 数的值域或最值；通过换元法、配方法、基本不 试 等式法、数形结合法、判别式法、求导法求函数 热 的值域或最值． 点 2．通过函数的最值求有关参数的范围，解决实际