高三数学-淮安、宿迁、连云港、徐州2016届高考数学一模试卷

2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷一.填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分1．已知集合A={0，a}，B={0，1，3}，若A∪B={0，1，2，3}，则实数a的值为．2．已知复数z满足z2=﹣4，若z的虚部大于0，则z=．3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有辆．4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为．5．函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．6．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．7．抛物线y2=4x的焦点到双曲线=1渐近线的距离为．8．已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱柱D﹣ABC的体积．9．若公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，等差数列{b n}满足b7=a7，则b1+b2…+b13的值为．10．定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=log2（x+2）+（a﹣1）x+b（a，b为常数），若f（2）=﹣1，则f（﹣6）的值为．11．已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是．12．已知函数f（x）=若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则实数a的取值范围是．13．已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD 恒成立，则最小正整数t的值为．14．已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共90分15．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=，tan（A﹣B）=﹣．（1）求tanB的值；（2）若b=5，求c．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．17．如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数y=x+（1≤x≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN 的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求f（x）解析式；（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．18．已知各项均为正数的数列{a n}的首项a1=1，s n是数列{a n}的前n项和，且满足：a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=λa n a n+1（λ≠0，n∈N•）（1）若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；（2）若λ=，求S n．19．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．20．已知函数f（x）=e x[x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（3）讨论函数f（x）极值点的个数．选做题：在A、B、C、D四个小题中只能选做2题，每题10分，共20分A.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量．C.[选修4-4坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，已知，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．必做题：每小题10分，共20分25．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足=λ（0≤λ≤1）．（1）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；（2）若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为，求λ的值．26．已知数列{a n}满足a n=3n﹣2，f（n）=++…+，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1），n∈N*．（1）求证：g（2）＞；（2）求证：当n≥3时，g（n）＞．2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分1．已知集合A={0，a}，B={0，1，3}，若A∪B={0，1，2，3}，则实数a的值为2．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据题意，由A与B及A∪B，易得a=2，即可得到答案．【解答】解：∵集合A={0，a}，B={0，1，3}，且A∪B={0，1，2，3}，则有a=2，故答案为：2．【点评】本题考查集合的并集运算，注意要考虑集合元素的互异性．2．已知复数z满足z2=﹣4，若z的虚部大于0，则z=2i．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的基本运算，求复数z．【解答】解：由z2=﹣4，则z2=（±）2∴z=±2i，又z的虚部大于0，∴z=2i．故答案：2i．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数代数形式的运算，是基础题．3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有75辆．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出速度在70km/h以下的汽车所点频率，由此能求出速度在70km/h以下的汽车有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图，得速度在70km/h以下的汽车所点频率为（0.02+0.03）×10=0.5，∴从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，则速度在70km/h以下的汽车有：150×0.5=75（辆）．故答案为：75．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为9．【考点】伪代码．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟程序运行，依次写出每次循环得到的S，I的值，当I=5时，不满足条件I＜5，退出循环，输出S的值为9．【解答】解：模拟程序运行，可得S=1，I=1满足条件I＜5，S=3，I=2满足条件I＜5，S=5，I=3满足条件I＜5，S=7，I=4满足条件I＜5，S=9，I=5不满足条件I＜5，退出循环，输出S的值为9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的S，I的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】设A（x1，2），B（x2，﹣2），由函数图象可得（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，利用T=2×3=，即可解得ω的值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，设A（x1，2），B（x2，﹣2），∴（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．故答案为：．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．6．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由甲与丙都不在第一天值班，得乙在第一天值班，由此能求出甲与丙都不在第一天值班的概率．【解答】解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．抛物线y2=4x的焦点到双曲线=1渐近线的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出抛物线y2=4x的焦点和双曲线=1渐近线，由此能求出抛物线y2=4x 的焦点到双曲线=1渐近线的距离．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线=1渐近线为3x±4y=0，∴抛物线y2=4x的焦点到双曲线=1渐近线的距离为：d==．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的焦点到双曲线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线和抛物线的性质的合理运用．8．已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱柱D﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】过B作BE⊥AC于E，由面面垂直的性质可得BE⊥平面DAC，故BE为棱锥的高，底面为△ACD，代入体积公式计算即可求出体积．【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵AB=4，BC=3，∴AC=5，BE==，∵平面DAC⊥平面BAC，平面DAC∩平面BAC=AC，BE⊥AC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面DAC，∴V棱锥D﹣ABC =V棱锥B﹣ACD=S△ACD•BE==．故答案为．【点评】本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积计算，是中档题．9．若公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，等差数列{b n}满足b7=a7，则b1+b2…+b13的值为26．【考点】等比数列的通项公式．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和对数的运算可得a7，再由等差数列的性质可得答案．【解答】解：∵公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，∴log2（a1•a2…a13）=log2（a7）13=13•log2a7=13，解得a7=2，∴b7=a7=2，由等差数列的性质可得b1+b2…+b13=13b7=26故答案为：26【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及对数的运算，属基础题．10．定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=log2（x+2）+（a﹣1）x+b（a，b 为常数），若f（2）=﹣1，则f（﹣6）的值为4．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据定义在R上的奇函数f（0）=0，求出b值，利用f（2）=﹣1，求出a，再由f （﹣6）=﹣f（6）得到答案．【解答】解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得：b=﹣1，∴当x≥0时，f（x）=log2（x+2）+（a﹣1）x﹣1，∵f（2）=﹣1，∴f（2）=2+2（a﹣1）﹣1=﹣1，∴a=0∴f（x）=log2（x+2）﹣x﹣1，∴f（﹣6）=﹣f（6）=4．故答案为：4．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义和性质，是解答的关键．11．已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1]．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，设出的坐标，判断C的轨迹．【解答】解：∵•=1，∴×cos＜＞=1，∴cos＜＞=．∴的夹角为．设，=（，），设=．则==（，），∴||=，∵|+|=1，∴|+﹣|=1，即|﹣|=||=1．∴C在以D为圆心，以1为半径的圆上，∴||的最小值为，||的最大值是+1．故答案为[﹣1，+1]．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立平面直角坐标系，判断C点轨迹是关键．12．已知函数f（x）=若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则实数a的取值范围是a＞﹣2．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则当x＜0时，f（x）=x（a﹣x）＜π恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则当x＜0时，f（x）=x（a﹣x）＜π恒成立，即a＞在x＜0时恒成立，令g（x）=，则当x=﹣时，g（x）取最大值﹣2，故a＞﹣2，故答案为：a＞﹣2【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，对勾函数的图象和性质，难度中档．13．已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD 恒成立，则最小正整数t的值为4．【考点】两点间的距离公式．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty﹣t=0，由AD≤2BD得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，求出t的最小值即可．【解答】解：设D（x，y），由D在AC上，得：，即x+ty﹣t=0，由AD≤2BD得：+≥，依题意，线段AD与圆+=，至多有一个公共点，∴，解得：t≥2+或t≤2﹣，∵t是使AD≤2BD恒成立的最小正整数，∴t=4，故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为﹣．【考点】基本不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式．【分析】由题意变形可得+≥+=（+）+﹣=+﹣，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数a，b，c满足b+c≥a，∴+≥+=（+）+﹣=+﹣≥﹣当且仅当=时取等号．故答案为：﹣【点评】本题考查基本不等式求式子的最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．二.解答题：本大题共6小题，共90分15．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=，tan（A﹣B）=﹣．（1）求tanB的值；（2）若b=5，求c．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【专题】对应思想；转化法；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出tanA，再利用两角差的正切公式，即可求出tanB；（2）求出sinB与cosB，计算sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．【解答】解：（1）锐角三角形ABC中，sinA=，∴cosA=，tanA=；又tan（A﹣B）===﹣，∴解得tanB=2；（2）∵tanB=2，∴=2，sinB=2cosB；∴sin2B+cos2B=4cos2B+cos2B=5cos2B=1，∴cosB=，sinB=；∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=；又b=5，且=，∴c===．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了同角的三角函数关系的应用问题，是基础题目．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接BD，交AC于F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用面面垂直的判定定理，只要证得CD⊥平面PAD，由线面垂直和矩形的定义即可得证．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于F，由E为棱PD的中点，F为BD的中点，则EF∥PB，又EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，则PB∥平面EAC；（2）由PA⊥平面PCD，则PA⊥CD，底面ABCD为矩形，则CD⊥AD，又PA∩AD=A，则有CD⊥平面PAD，由CD⊂平面ABCD，则有平面PAD⊥平面ABCD．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，主要考查线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面性是解题的关键．17．如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数y=x+（1≤x≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN 的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求f（x）解析式；（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）求出P的坐标，直线OB的方程，点P到直线x﹣y=0的距离，即可求f（x）解析式；（2）利用导数的方法最低造价．（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为，【解答】解：所以点P坐标为，直线OB的方程为x﹣y=0，…则点P到直线x﹣y=0的距离为，…又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为．…（2）因为，所以，…令f'（x）=0，得x=4，列表如下：x （1，4） 4 （4，9）f'（x）﹣0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增所以当x=4时，函数f（x）有最小值，最小值为．…答：（1）两条道路PM，PN总造价f（x）为（1≤x≤9）；（2）当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．…（注：利用三次均值不等式，当且仅当，即x=4时等号成立，照样给分．）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．18．已知各项均为正数的数列{a n}的首项a1=1，s n是数列{a n}的前n项和，且满足：a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=λa n a n+1（λ≠0，n∈N•）（1）若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；（2）若λ=，求S n．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；归纳法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由于a1，a2，a3成等比数列，可设公比为q，则a2=q，a3=q2．由a n S n+1﹣a n+1S n+a n ﹣a n+1=λa n a n+1（λ≠0，n∈N•），分别令n=1，2，即可得出．（2）λ=，则a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，化为S n++1=0，由a1=1，a2=，a3=．猜想．再利用数学归纳法证明即可得出．【解答】解：（1）∵a1，a2，a3成等比数列，可设公比为q，则a2=q，a3=q2．∵a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=λa n a n+1（λ≠0，n∈N•），∴当n=1时，a1S2﹣a2S1+a1﹣a2=λa1a2，即（1+q）﹣q+1﹣q=λq，化为2﹣q=λq，当n=2时，a2S3﹣a3S2+a2﹣a3=λa2a3，化为：2﹣q=λq2，联立解得λ=q=1．∴λ=1．（2）λ=，则a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，∵S n+1=S n+a n+1，∴（a n﹣a n+1）S n++a n﹣a n+1=0．化为S n++1=0，∵a1=1，令n=1，则1++1=0，解得a2=，同理可得a3=．猜想．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==1，成立；②假设当n≤k（k∈N*）时成立，，则S k==．∵S k++1=0，∴++1=0，解得a k+1=．因此当n=k+1时也成立，综上可得：对于n∈N*都成立．由等差数列的前n项和公式可得：S n=．可得a n+1=，S n==，S n+1=．代入a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，验证成立．∴S n=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、数学归纳法，考查了猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OM∥l，能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），∴a=4，又，∴c=2．…又∵b2=a2﹣c2=12，∴椭圆C的标准方程为．…（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，．化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，∴x1=﹣4，．…当时，，∴．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，则．…直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，…由OM∥l，得=…=，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．20．已知函数f（x）=e x[x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（3）讨论函数f（x）极值点的个数．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】转化思想；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a的值；（2）由题意可得x3﹣2x2+4x﹣＜a（x﹣2），令x﹣2=t（t＜0），运用参数分离和构造g （t），求得单调性，可得a的范围；（3）求出函数的导数，令h（x）=x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）=0，即为a（x﹣1）=x2﹣x3，运用参数分离，求得令m=x﹣1，可得h（m）=，求得h（m）的单调区间，可得a的范围，即有f（x）的极值点的个数．【解答】解：（1）函数f（x）=e x[x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]的导数为f′（x）=e x•（x3﹣x2+ax﹣a），图象在x=0处的切线斜率为﹣a，切线与直线x+y=0垂直，可得﹣a=1，解得a=﹣1；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，即为x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣＜0在x＜2恒成立．即有x3﹣2x2+4x﹣＜a（2﹣x），令x﹣2=t（t＜0），可得﹣a＜，令g（t）=，t＜0，g′（t）==＜0，即g（t）在t＜0递减，可得g（t）＞0，可得﹣a≤0，即a的取值范围是[0，+∞）；（3）由f（x）的导数为f′（x）=e x•（x3﹣x2+ax﹣a），令h（x）=x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）=0，即为a（x﹣1）=x2﹣x3，若x=1时，方程不成立；若x≠1时，a=，令m=x﹣1，可得h（m）===，h′（m）=，当m＞0即x＞1时，h（m）递减，m＜﹣1时，h（m）递增，﹣1＜m＜0时，h（m）递减．则当a＞0时，a=h（m）有一个解，f（x）有一个极值点；当a＜0时，a=h（m）有三个解，f（x）有三个极值点．综上可得，a=0时，f（x）有一个极值点；a＞0时，f（x）有一个极值点；a＜0时，f（x）有三个极值点．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义和两直线垂直的条件，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数的极值点的个数，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．选做题：在A、B、C、D四个小题中只能选做2题，每题10分，共20分A.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．【考点】弦切角．【专题】证明题；选作题；转化思想；数形结合法；推理和证明．【分析】连结OT，推导出AB∥OT，从而∠TBA=∠BTO，再由∠OBT=∠TBA，能证明BT平分∠OBA．【解答】证明：连结OT．因为AT是切线，所以OT⊥AP．…又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．…又OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，…所以∠OBT=∠TBA，故BT平分∠OBA．…【点评】本题考查直线平行角的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意切线性质、圆的简单性质的合理运用．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量．【考点】特征值与特征向量的计算．【专题】方程思想；定义法；矩阵和变换．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向量．【解答】解：∵矩阵A=，设矩阵A的特征多项式为f（λ）=|=（λ﹣1）（λ﹣4）+2=λ2﹣5λ+6，令f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=3，将λ1=2代入二元一次方程组解得x=2，y=﹣1所以矩阵A属于特征值2的一个特征向量为；同理，矩阵A属于特征值3的一个特征向量为．【点评】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算问题，也考查了运算求解的能力，是基础题目．C.[选修4-4坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，已知，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】求出圆C的直角坐标方程、A，B的直角坐标和点P到直线AB的距离的最小值，由此能求出△PAB面积的最小值．【解答】解：∵圆C的极坐标方程为，∴=，∴圆C的直角坐标方程为，即．…又∵，∴A（0，﹣1），B（0，﹣3），∴AB=2．…P到直线AB距离的最小值为，…所以△PAB面积的最小值为．…【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标的互化公式的合理运用．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．【考点】不等式的证明．【专题】不等式．【分析】因为x＞y，所以x﹣y＞0，所以不等式左边减去2y得：2x+=（x﹣y）+（x﹣y）+，这样便可证出本题．【解答】证明：由题设x＞y，可得x﹣y＞0；∵2x+﹣2y=2（x﹣y）+=（x﹣y）+（x﹣y）+；又（x﹣y）+（x﹣y）+，当x﹣y=1时取“=“；∴2x+﹣2y≥3，即2x+≥2y+3．【点评】考查对于不等式：a+b+c的运用．必做题：每小题10分，共20分25．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足=λ（0≤λ≤1）．（1）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；（2）若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【专题】综合题；数形结合；转化思想；空间角．【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），则，可得．设直线PC与平面A1BC所成角为θ，则sinθ==．（2）设二面角P﹣A1C﹣B的平面角为α，由图可知为锐角，由于sinα=，可得cosα=．由于=λ（0≤λ≤1），可得P（1，0，2λ）．设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），=，即可得出．【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），P．=（1，0，﹣2），=（﹣1，1，0），=．设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（2，2，1），设直线PC与平面A1BC所成角为θ，则sinθ====．（2）设二面角P﹣A1C﹣B的平面角为α，由图可知为锐角，∵sinα=，∴cosα==．∵=λ（0≤λ≤1），∴P（1，0，2λ）．∴=（1，﹣1，2λ），=（1，0，2λ﹣2）．设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），则，即，取=（2﹣2λ，2，1），∴===．∴=．化简解得：λ2+8λ﹣9=0，0≤λ≤1，解得λ=1．【点评】本题考查了空间角与空间位置关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．已知数列{a n}满足a n=3n﹣2，f（n）=++…+，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1），n∈N*．（1）求证：g（2）＞；（2）求证：当n≥3时，g（n）＞．【考点】不等式的证明；函数的值．【专题】转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】（1）g（2）=f（4）﹣f（1）=1+++﹣1，即可得证；（2）求出g（n），运用数学归纳法及不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）g（2）=f（4）﹣f（1）=1+++﹣1=++=＞；（2）当n≥3时，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1）=1++…+﹣（1++…+）=++…+，运用数学归纳法证明．当n=3时，g（3）=+++…+＞成立；假设n=k时，g（k）＞，即有++…+＞，则n=k+1时，g（k+1）=+…+=++…+++…+﹣=g（k）++…+﹣，可得+…+﹣＞0，又g（k）＞，即有n=k+1时，g（k+1）＞．故当n≥3时，g（n）＞．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用放缩法，考查化简整理和不等式的性质，属于中档题．。