2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第6讲 指数与指数函数

第6讲 指数与指数函数1．根式(1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a （当n 为奇数且n ∈N *时），xn 为偶数且n ∈N *时）.(2)①(na )n ＝a (n ∈N *)．②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．[做一做]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9答案：B 2．(2015·大连模拟)函数y ＝2|x |的值域为( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0，1] 答案：B1．辨明三个易误点(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . [做一做]3．(2015·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )解析：选A.由f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4．(2014·高考陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．解析：4a ＝2，a ＝12，lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.答案：105．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0＜a 2－1＜1，即1＜a 2＜2， 得－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2),[学生用书P 27～P 28])考点一__指数幂的运算________________________化简下列各式： (1)0.027－13－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .整体式子转化求值问题[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－72＋⎝⎛⎭⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫－52a －16b －3÷(2a 13b －32)·a 12b 12＝－54a －12b －32·a 12b 12＝－54b －1＝－54b .[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．1.化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)．解：(1)原式＝0.32＋⎝⎛⎭⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a .考点二__指数函数的图象及应用______________(1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)方程2x＝2－x 的解的个数是________．[解析] (1)法一：当a ＞1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0＜1－1a＜1，此时四个选项均不对；当0＜a ＜1时，函数y ＝a x －1a是减函数，且其图象可视为是由函数y＝a x 的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知选D.法二：因为函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图象必过点(－1，0)，所以选D.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． [答案] (1)D (2)1[规律方法] 指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时要根据其取值范围进行分类讨论．从甲函数图象通过变换得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的图象变换为甲函数的图象．2．(1)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________．解析：(1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)由于f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )，即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2， ∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0，∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ， ∴m ＋μ＝1.答案：(1)D (2)1考点三__指数函数的性质及应用(高频考点)____指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现，高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较幂值的大小； (2)解简单指数不等式； (3)研究指数型函数的性质．(1)已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c (2)(2015·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} (3)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x2＋2x ＋1的单调减区间为______.函数性质的综合应用[解析] (1)把b 化简为b ＝⎝⎛⎭⎫1243，而函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝⎛⎭⎫1243<⎝⎛⎭⎫122<⎝⎛⎭⎫121，即b <a <c .(2)f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4， x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时， 有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥02x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0.(3)u ＝－x 2＋2x ＋1在(－∞，1)上是增函数， 在[1，＋∞)上为减函数；而函数y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在R 上为减函数，∴f (x )在(－∞，1)上是减函数． [答案] (1)B (2)B (3)(－∞，1)[规律方法] 利用指数函数的性质解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．3.(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a(2)已知函数y ＝2－x2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．解析：(1)选A.由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .(2)解：函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间 (－∞，a 2]上单调递增，在区间[a2，＋∞)上单调递减，且函数y ＝2t 在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2 ＋ax ＋1在区间(－∞，a 2]上单调递增，在区间[a 2，＋∞)上单调递减．又因为函数y ＝2－x 2 ＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，所以3≤a 2，即a ≥6.,[学生用书P 28])方法思想——解决与指数函数型有关的值域问题(换元法)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．[解析] 因为x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. [答案] ⎣⎡⎦⎤34，57[名师点评] (1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x 进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________．解析：设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈[－2，2]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤19，9.又函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间 [－2，2]上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎡⎦⎤19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]．答案：(－∞，－18]1．(2015·北京模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称解析：选A.∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称．2．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9] D ．[1，＋∞)解析：选C.由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．(2015·浙江绍兴一中月考)函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)＞f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)＜f (1)D ．不能确定解析：选A.由题意知a ＞1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3＞a 2，∴f (－4)＞f (1)．4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )解析：选A.由题易知，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象过点(0，2)关于直线y ＝x 对称的图象一定过(2，0)这个点．由于原函数为减函数，故所求函数也为减函数，由此可以排除B ，C ，D.5．(2015·浙江丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，1)B ．(－4，3)C ．(－1，2)D ．(－3，4)解析：选C.原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立，等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.6．(2015·四川绵阳一诊)计算：23×31.5×612＝________．解析：2×312×⎝⎛⎭⎫3213×1216＝2×312×313×2－13×316×213＝2×312＋13＋16×2－13＋13＝6.答案：67．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍去)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n . 答案：m ＞n8．已知函数f (x )＝a 2x －4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m ，2)，则m ＋n ＝________． 解析：当2x －4＝0，即x ＝2时，y ＝1＋n ，即函数图象恒过点(2，1＋n )，又函数图象恒过定点P (m ，2)，所以m ＝2，1＋n ＝2，即m ＝2，n ＝1，所以m ＋n ＝3.答案：39．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x2；(2)y ＝32x －1－19.解：(1)显然定义域为R .∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数． ∴⎝⎛⎭⎫122x －x2≥⎝⎛⎭⎫121＝12.故函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)， 单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R .) 故a 的值为0.1．已知f (x )＝a x和g (x )＝b x是指数函数，则“f (2)>g (2)”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题可得，a ，b >0且a ，b ≠1，充分性：f (2)＝a 2，g (2)＝b 2，由f (2)>g (2)知，a 2>b 2，再结合y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，可知a >b ，故充分性成立；必要性：由题可知a >b >0，构造h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x b x ＝⎝⎛⎫a b x ，显然a b >1，所以h (x )单调递增，故h (2)＝a 2b 2>h (0)＝1，所以a 2>b 2，故必要性成立．故选C.2．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在x ∈[0，4]上解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选D.由f (x －1)＝f (x ＋1)，可知T ＝2. ∵x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，又∵f (x )是偶函数， ∴可得图象如图所示．∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在x ∈[0，4]上解的个数是4.故选D.3．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≥0，f （－x ），x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x ＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.答案：04．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________，最小值为________．解析：由3|x |＝1，得x ＝0，由3|x |＝9，得x ＝±2，故满足题意的定义域可以为[－2，m ](0≤m ≤2)或[n ，2](－2≤n ≤0)，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.答案：4 25．已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2－x2－x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)对于任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0有解，求k 的取值范围．解：(1)由f (x )为奇函数，知f (0)＝b －14＝0，∴b ＝1.(2)∵f (x )为奇函数，由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0，得 f (t 2－2t )<f (k －2t 2)．由(1)知b ＝1时，f (x )＝1－2－x 2－x ＋1＋2＝－12＋12－x ＋1在R 上是增函数，∴t 2－2t <k －2t 2.即k >3t 2－2t ＝3⎝⎛⎭⎫t －132－13≥－13. ∴k 的取值范围为k >－13.6．(选做题)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵x ∈[－1，1]，∴f (x )＝⎝⎛⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3，设t ＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．∵m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ② ②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )， 即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾， ∴满足题意的m ，n 不存在．。