2018年高考一轮江苏数学理科 第3章 第15课 基本不等式及其应用

第15课 基本不等式及其应用[最新考纲]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号)①a 2＋b 2>2ab ； ②a ＋b ≥2ab ； ③1a ＋1b >2ab ；④b a ＋a b ≥2.④ [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴①错误；对于②，③，当a <0，b <0时，明显错误．对于④，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为________．9 [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于________． 3 [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.]☞角度1 配凑法求最值(1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.【导学号：62172084】(2)(2017·无锡模拟)若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________．(1)1 (2)4 [(1)因为x <54，所以5－4x >0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (2)由log 2x ＋log 2y ＝1得xy ＝2. ∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )＋4x －y . 又x >y ，∴x －y >0.∴(x －y )＋4x －y ≥2(x －y )·4x －y＝4，当且仅当x －y ＝4x －y，即x －y ＝2时等号成立． 故x 2＋y 2x －y的最小值为4.] ☞角度2 常数代换或消元法求最值(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．(2)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________． (1)5 (2)－2 [(1)法一：由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二：由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15. ∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y 5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立， ∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1，当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立． 又a ＋b ＝2，b >0，∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b 取得最小值．] ☞角度3 不等式的综合应用(1)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为________．(2)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是________．(填序号)①q ＝r <p ； ②p ＝r <q ； ③q ＝r >p; ④p ＝r >q .(1)1 (2)② [xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤12x y ·4y x －3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝2y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.(2)因为b >a >0，故a ＋b 2>ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，∴p ＝r <q .][规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 【导学号：62172085】 [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练1] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2. [证明] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立， 又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立， 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[]50，100.(或y＝2 340x＋1318x，x∈[]50，100)．(2)y＝130×18x＋2×130360x≥26 10，当且仅当130×18x＝2×130360x，即x＝1810，等号成立．故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练2]某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N＋)．(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(十五)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．下列命题中正确的是________．(填序号) ①y ＝x ＋1x 的最小值是2；②y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－43； ③y ＝sin 2x ＋4sin 2x 的最小值是4； ④y ＝2－3x －4x (x ＜0)的最小值是2－4 3. ② [①不正确，如取x ＝－1，则y ＝－2. ②正确，因为y ＝2－3x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x ＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立．③不正确，令sin 2x ＝t ，则0＜t ≤1，所以g (t )＝t ＋4t ，显然g (t )在(0,1]上单调递减，故g (t )min ＝g (1)＝1＋4＝5.④不正确，∵x ＜0，∴－x ＞0，∴y ＝2－3x －4x ＝2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≥2＋4 3.当且仅当－3x ＝－4x ，即x ＝－233时等号成立．]2．关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x2的最小值是________．433 [依题意可得x 1＋x 2＝4a ，x 1·x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值为43 3.]3．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为________. 【导学号：62172086】16 [因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．因为3b a ＋3a b ≥23b a ·3ab ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab ≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16.]4．(2017·盐城模拟)若x >0，y >0，且2x ＋y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是________．32＋2 [由2x ＋y ＝2得x ＋y 2＝1. ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＝1＋12＋y 2x ＋xy ＝32＋y 2x ＋x y ≥32＋2y 2x ·x y ＝32＋ 2.]5．要制作一个容积为4 m 3 ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．160元 [由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ．又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160.当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号．]6．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，若1x ＋m y (m ＞0)的最小值为3，则m 的值为________．4 [由2x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 得x ＋y ＝3，则1x ＋m y ＝13(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋m y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m ＋y x ＋mx y ≥13(1＋m ＋2m )，∴13(1＋m ＋2m )＝3，即(m ＋1)2＝9，解得m ＝4.]7．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________． 22 [由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.]8．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________.【导学号：62172087】3 [由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] 9．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n 的最小值为________．22 [由题意可得：点A 的坐标为(2,1)，所以2m ＋n ＝1，所以4m ＋2n ＝22m ＋2n ≥222m ·2n ＝222m ＋n ＝2 2.]10．(2017·苏州期末)已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________. 【导学号：62172088】4＋423 [∵ab ＝14，∴b ＝14a .∴11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1＝11－a ＋24a －1＋2 ＝44－4a ＋24a －1＋2＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤24－4a ＋14a －1[](4－4a )＋(4a －1)＋2＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a ＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423.当且仅当a ＝1＋224＋22时，取“＝”．]二、解答题11．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． [解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2， ∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2. 12．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·扬州期末)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．3 [由2log a b ＋3log b a ＝7得log a b ＝12或log a b ＝3(舍去)， ∴a ＝b 2， ∴a ＋1b 2－1＝b 2＋1b 2－1＝(b 2－1)＋1b 2－1＋1≥2(b 2－1)·1b 2－1＋1＝3.当且仅当b 2－1＝1b 2－1，即b ＝2，a ＝2时等号成立．]2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．2 [因为x y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y ) x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0.故x y ＋(2y ) x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．]3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值． [解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t ＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．4．(2017·盐城模拟)已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．[解] (1)当0<x ≤40，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40； 当x >40，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104； ②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360， 由于40 000x ＋16x ≥240 000x ×16x ＝1 600，当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当产量为32万只时，W 取最大值为6 104美元．。