全国青年教师素养大赛一等奖《正弦函数、余弦函数的周期性》教学设计

《正弦函数、余弦函数的周期性》教学设计
三门峡市第一高级中学 赵建平
1．教学任务分析
（1）从实际生活的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与正弦函数x y sin =，R x ∈的图象比较，抽象概括出周期函数的定义．让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程．
（2）运用周期函数的定义，结合诱导公式（一）研究正弦函数x y sin =，R x ∈的周期性，通过类比的方法，让学生自己动手研究余弦函数x y cos =，R x ∈的周期性，体会知识形成的过程．
（3） 通过例题的教学，学生的练习、讨论、归纳出函数)sin(φω+=x A y 与
)cos(φω+=x A y (其中)0,0≠≠ωA 的周期公式ω
π2=T ，并用此公式解决正弦
型、余弦型函数的周期，让学生形成系统的认识．
（4）通过本节课的学习，使学生能够初步对周期函数的定义形成认知，完善函数性质，并能够利用周期函数的定义解决简单的函数周期问题．
2．教学重点与难点：
重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 难点：对周期函数的理解及运用定义求函数的周期.
3．教学基本流程
4．教学情景设计
问题设计意图师生活动
1．生活中有哪些周期性变化规律的例子？
创设情境，让学生感受
周期现象丰富的实际背
景，激发学生的学习兴趣，
拉近了数学与现实的距
离．
教师先展示一
些周期性变化规律
的例子，然后由学生
举出生活中的周期
性变化规律的例子．
2．复习回顾诱导公式（一）和正弦函数的图象．
引导学生回顾旧知为
本课做好准备.
师生共同回顾．
3．正弦函数的图象有什么特征？
通过动画演示让学生
直观感知正弦函数图象周
期性变化规律.
教师引导学生
回答问题．
4．正弦函数图象的这种周期性的变化规律如何用数学语言表示？
通过对正弦函数
x
y sin
的图象观察、分
析，结合诱导公式，构建
出周期性变化规律，主要
是立足于从学生的最近思
维区入手，着力于知识建
构，培养学生观察、分析
和抽象概括能力，并进一
步渗透数形结合思想方
法．
教师提示学生
注意观察图象上的
每一点向右平移
个单位，横、纵坐标
的变化规律．并将此
规律推广到一般函
数．
5．把具有周期性变化规律的函数叫做周期函数，请同学们尝试着给周期函数下一个定义．
把发现定义的主动权
交给了学生，在突出重点的
同时培养了学生思维的深
刻性与创造性，为学生的可
持续发展奠定了基础。

学生分组讨论，
小组代表汇报讨论
结果．
6．请同学们仔细读定义并找出其中的关键词．
教给学生学习定义时
首先应把握住定义中的关
键词，抓定义的本质，实
现对定义的正确理解．
学生回答教师
提出的问题．
7．教师强调并解释定义中的关键词，加深学生对关键词的理解． 8.判断题： 1.因为4
sin
)2
4
sin(
π
π
π
=+
，所以
2
π是x y sin =的周期.
2．因为2sin )22sin(x
x =+π，所以2
sin x y =的周期是π2．
3．若定义在R 上的函数)(x f 是周期函数，且周期为T ,试问T 2、
T 3、T -是它的周期吗？由此你能归纳
出什么结论？
帮助学生正确理解概念，防止学生以偏概全，通过具体的实例，从学生
易错点出发，让学生认识到概念的本质以及关键词
在定义中的含义，培养学生透过现象看本质的能
力，使学生养成细致、全
面地考虑问题的思维品
质．
学生回答对错的同时，解释理由．教师进行点评，引导学生结合定义
分析．学生谈体会：
周期的定义是对定
义域中的每一个值来说的；周期T 是
自变量x 的增加值；周期函数的周期不唯一． 9．给出最小正周期的定义．
10．a x f =)( (a 为常数)是周期函数吗？最小正周期是多少？
让学生体会周期函数不一定存在最小正周期，形成对最小正周期的准确理解．
学生根据定义
判断出是周期函数，教师提问学生周期是什么？最小正周期是什么？学生总结出周期函数不一定有最小正周期．
11．正弦函数的周期是多少？最小正周期是多少？
从具体的问题入手，
检验学生对周期函数、最小正周期概念的理解．同时完善新知．
教师引导学生紧扣周期函数的定义，结合诱导公式（一）探究正弦函数的周期性．
12．同学们用同样的方法研究一下余弦函数的周期性．
培养学生类比思想． 学生独立完成，教师补充完善．
13.例1．求下列函数的最小正周期．
紧扣周期函数的定
义，形成求正弦型、余弦师生共同完成
1、2．第3个题由学
1．x x f cos 3)(=，R x ∈； 2．x x f 2sin )(=，R x ∈；
3．)6
21sin(2)(π
-=x x f ，R x ∈．
型函数的周期的方法. 生口答，教师板书．以规范总结解题步骤，为学生解答例2提供参考．
14.例2、求下列函数的周期. 第一组：
1．x x f 2cos 3)(=，R x ∈；
2．)6
41sin(2)(π
+=x x f ， R x ∈；
第二组： 1．)3
2sin()(π
+
=x x f ，R x ∈；
2．)4
41cos(2)(π
-=x x f ，R x ∈；
使学生在解题过程中寻找规律，归纳周期公式．
分组练习，教师引导学生在解题过
程中注意归纳周期和表达式中的哪些
量有关，各组之间相互交流讨论，小组代表展示研究成果
15.学生归纳出函数
)
sin(φω+=x A y 与
)
cos(φω+=x A y (
其
中)0,0≠≠ωA 的周期公式为ω
π
2=
T .
使学生产生对正弦
型、余弦型函数的周期性
的系统的认识，也为下一
节的学习奠定基础．
教师进行点评,并对学生的研究成果给予肯定和赞扬．
16．练习
1.下列函数中周期为2
π的是（ ）
A.2sin x
y = B.x y 2sin =
C.4
cos x
y = D.x y 4cos =
2．求下列函数的周期. （1）)2sin(3x y -=，R x ∈；
（2）)32sin(π
+=x y ，R x ∈；
（3）)13
1
cos(2--=x y ，R x ∈;
( 4 ) )3
sin(
4x y --=π
, R x ∈．
3．函数)3
cos(2π
ω+=x y ， R
x ∈（)0>ω的最小正周期为π4．求ω的值．
及时巩固周期公式
学生口答，教师进行点评．
17．小结
通过小结，使学生对所
学知识系统化、条理化，便于学生记忆．
学生回忆、归纳、总结．
18. 必做题：习题1.4 A 组 第3、
10题
选作题：
1.函数x x f sin )(=的最小正周期为（ ） A.
2π B.π C.2π D.4
π
2.设函数)(x f 是定义在R 上周期
为π的偶函数，当⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，x x f sin )(=. 试求)3
5(
π
f 的值.
课后作业分必做题和选做题，必做题是对课堂学习的反馈，选做题是对课堂学习的延伸与拓展．
5．几点说明
1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难，为了突破这个难点，借助了多媒体动画演示来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．
2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，对周期T 是自变量的增加值理解有偏差，为了突破这个难点，设计了二道判断题让学生思考，引导学生逐步形成正确的认知结构。

3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１的前2问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由个别学生口答，教师板书完成第3问，再由师生共同点评．
4.预计学生在归纳周期公式时有一定的困难，所以采用了小组讨论的方式归纳周期公式。