第3讲 有理数与无理数
有理数,无理数,实数的区别
有理数,无理数,实数的区别
实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。
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1、性质不同
有理数：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
实数：实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
2、所属不同
有理数：有理数属于实数，有理数包括正整数、0、负整数，又包括正整数和正分数，负整数和负分数。
实数：实属包括有理数，实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
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1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数，可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
第3讲有理数与无理数.doc
第 3 讲有理数与无理数1.判断题 .(1)无理数都是无限小数 .(2)无限小数都是无理数 .(3)有理数与无理数的差都是有理数 .(4)两个无理数的和是无理数 .3 π22242. 把下列各数填在相应的大括号内：5， 0，3，3.14 ，－3，7，9，－ 0.55 ， 8，1.121 221 222 1 ( 相邻两个１之间依次多一个２) ， 0.211 1 ， 999正数集合：｛｝；负数集合：｛｝；有理数集合：｛｝；无理数集合：｛}.3. 以下各正方形的边长是无理数的是（）（A）面积为 25 的正方形； (B) 面积为16 的正方形；(C)面积为 3 的正方形； (D) 面积为 1.44 的正方形 .4将下列小数分类：5.1，-3.14，，0，0.222，1.696696669，1.696696669，-0.210有限小数有 __________________________________________________;无限小数有 __________________________________________________;无限循环小数有______________________________________________;无限不循环小数有____________________________________________;有理数有 ____________________________________________________;无理数有 ____________________________________________________;5将下列各数填入相应的括号内：-6， 9.3， - 16，42， 0， -0.33 ，0.333， 1.41421356 ， -2，3.3030030003 ， -3.1415926. 正数集合：负数集合：有理数数集合：无理数数集合：。
有理数与无理数的性质在解题中的应用
整数和分数统称为有理数.无限不循环小数叫做无理数.有理数与无理数是初中数学的重要内容之一，在很多中考试题中都涉及了对有理数和无理数性质的运用技巧.因此，掌握有理数与无理数的相关性质，可以帮助同学们轻松应对数学问题，使解题更高效.一、有理数与无理数的性质归纳（1）任意两个有理数相加、减、乘、除（除数不为零），其和、差、积、商仍为有理数.（2）任何一个有理数与一个无理数相加，其和为无理数；任何一个不为零的有理数与一个无理数相乘，其积必定为无理数.（3）若m，n都为有理数，p为无理数，且m+n p=0，则有m=0，n=0.(4)任何一个无理数a都可以表示成a= m+n，其中m为整数，0<n<1，这样，根据这一性质，无理数的整数部分m就可以表示成m=a-n；无理数的小数部分n就可以表示成n=a-m.二、有理数与无理数的性质在解题中的应用例1如果（3+23）x-(1-43)y=7，其中所以有{3x-y-7=0，x+2y=0，解得{x=2，y=-1.说明：本题的解题思路是先对(3+23)x-(1-43)y=7进行变形，使之转化为m+ n p=0的形式，再根据“若m，n都为有理数，p为无理数，且m+n p=0，则有m=0，n=0”这一重要性质，得出方程组{3x-y-7=0，x+2y=0，进而求出x，y的值.例2已知m为自然数，方程x2-(1+5)x+ 5m-6=0，有正根k，则2m-k+2为（）.A.5B.3C.2D.0解：因为k为原方程的根，把m代入原方程中，整理可得：k2-k-6+5(m-k)=0.因为m，k均为有理数，而5为无理数，所以可得{k2-k-6=0，m-k=0，解得{k=-2或k=3，m=k.因为m>0，所以m=k=3，所以2m-k+2=5，所以正确答案为A项.说明：本题解题思路与例1相似.先是将学思导引有理数与无理数的性质在解题中的应用浙江省宁波市鄞州蓝青学校徐奋数学篇学思导引{k 2-k -6=0，m -k =0，进而得出m ，k 的值，此过程不能忽略m ＞0.例3已知x ，y 均为正有理数，而x 、y 为无理数，试问：x +y =2005是否成立？写出证明过程.答：x +y =2005不成立.证明：假设x +y =2005成立，那么则有：x -y ==x -y2005.因为x ，y 均为正有理数，所以x -y2005为有理数，即可知x -y 为有理数.又因为x +y =2005也为有理数，所以（x +y ）+（x -y ）为有理数，所以x 为有理数，这与已知条件x 为无理数相矛盾，所以x +y =2005不成立.说明：本题先解答，再求证.求证时巧妙地采用了反证法，先假设结论成立，再从假设出发，结合已知条件和有理数、无理数这一性质，推导出与已知不相符的矛盾，得出假设不成立.例4若m ，n (m ≠n )和m +n 都是有理数，则下列说法正确的一项是().A.m ，n 都是有理数B.m ，n 都是无理数C.m ，n 中有一个是有理数或无理数D.m ，n 可能都是无理数，也可能都是有理数解：因为（m +n ）（m -n ）=m -n ，所以m -n =m -n m +n .因为m ，n 和m +n 都是有理数，所以m -n 为有理数.又因为m =12[（m +n ）+（m -n ）]，n =12[（m +n ）-（m -n ）]，所以m ，n 都是有理数，故正确答案为A 项.说明：破解本题的关键在于掌握“任意两个有理数相加、减、乘、除（除数不为零），其和、差、积、商仍为有理数”“任何一个不为零的有理数与一个无理数相乘，其积必定为无理数”这两个重要性质.例5若103103的整数部分为m ，小数部分为n ，求-n ）2的值.解：(103)2=7，而5<30<6，10<230<12，23<13+230<25，所以237<<257.所以可知m =3，n-3=.所n ）2)2=2==7949-.说明：该解答运用了“任何一个无理数a 都可以表示成a =m +n ，其中m 为整数，0<n <1，则有m =a -n ，n =a -m ”这一性质.27。
初二-第03讲-无理数与平方根(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(上) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第03讲-无理数与平方根授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解无理数、平方根的概念；②学会判断有理数与无理数；③掌握平方根的相关计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、无理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数；无理数：无限不循环小数称为无理数。
不能写成分数形式。
2、算术平方根的概念一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即2x a=，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记做a，读作“根号a”。
注意：（1）特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
体系搭建（2）负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数。
（3）a （0a ≥ ）是一个非负数。
3、平方根的概念（1）一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即2x a = ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
（2）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
（3）开平方的概念：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
4、2a 与()2a ()0a ≥ 的性质（1）2a a = ，即当0a ≥时，2a a =；当0a < 时，2a a =-。
（2）()2(0)a a a =≥。
考点一：无理数例1、下列实数中的无理数是（ ）A ．0.7B ．C ．πD ．﹣8 【解析】选：C ．例2、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14【解析】有理数集合：（﹣，﹣，0，，0.，3.14，…），无理数集合：（，﹣，，…）．例3、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．（1）有理数与无理数的积一定是无理数．×（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数．√．【解析】（1）任何无理数有有理数0的乘积等于0，故命题错误；（2）a+1是负数，即a+1＜0，即a＜﹣1，则a必小于它的倒数．故答案是：×，√．例4、已知在等式中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答：（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数；（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．【解析】（1）当a=c=0，d≠0时，s=是有理数．当c≠0时，s=，其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数．要使s为有理数，只有=0，即bc=ad．综上知，当a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc时，s是有理数．（2）当c=0，d≠0，且a≠0时，s是无理数．当c≠0时，s=其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数．所以当≠0，即bc≠ad，s为无理数．综上知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数．考点二：平方根例1、（﹣2）2的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【解析】∵（﹣2）2=4，∴4的平方根是：±2．故选：C．例2、用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．【解析】用代数式表示实数a（a＞0）的平方根为：，故答案为：．例3、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是16 ．【解析】∵一个正数的平方根是2x和x﹣6，∴2x+x﹣6=0，解得x=2，∴这个数的正平方根为2x=4，∴这个数是16．故答案为：16．例4、若=2，则2x+5的平方根是±3 ．【解析】∵=2，∴x+2=4，解得x=2∴2x+5=9，9的平方根是±3，即2x+5的平方根是±3．故答案为：±3．例5、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．【解析】∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，∴2a﹣3+5﹣a=0，解得：a=﹣2，∴2a﹣3=﹣7，∴x=（﹣7）2=49．考点三：算术平方根例1、计算（﹣）0﹣=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣2 D．﹣【解析】原式=1﹣2=﹣1，故选A例2、下列等式正确的是（）A．B．C．D．【解析】故答案选D．例3、已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根．【解析】由已知可得：+=0，则，解得，，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．例4、已知a，b满足+|b﹣2|=0，解关于x的方程（a+2）x+4b=2﹣a．【解析】由题意得2a﹣4=0，b﹣2=0，解得a=2，b=2．所以4x+8=0，解得x=﹣2．例5、我们来看下面的两个例子：，，和都是9×4的算术平方根，而9×4的算术平方根只有一个，所以．，和都是5×7的算术平方根，而5×7的算术平方根只有一个，所以=（填空）（1）猜想：一般地，当a≥0，b≥0时，与之间的大小关系是怎样的？（2）运用以上结论，计算：的值．【解析】根据题意，有=；（1）根据题意，有=；（2）=×=8×15=120．故答案为：=．例6、设a1=22﹣02，a2=42﹣22，a3=62﹣42，…（1）请用含n的代数式表示a n（n为自然数）；（2）探究a n是否为4的倍数，证明你的结论并用文字描述该结论；（3）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”（如：1，16等），试写出a1，a2，…a n 这些数中，前4个“完全平方数”．【解析】（1）∵a1=22﹣02，a2=42﹣22，a3=62﹣42，…∴a n=（2n+2）2﹣（2n）2（n为自然数）；（2）a n=（2n+2）2﹣（2n）2=4n2+8n+4﹣4n2=8n+4=4（2n+1），故a n是4的倍数；文字语言：两个连续偶数的平方差是4的倍数；（3）前4个完全平方数是4，36，100，196．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1.在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】，0.343343334…是无理数，故选：B．2.如果一个正数的平方根为2a+1和3a﹣11，则a=（）A．±1 B．1 C．2 D．9【解析】根据题意得：2a+1+3a﹣11=0，移项合并得：5a=10，解得：a=2，故选C3.的平方根是（）A．81 B．±3 C．﹣3 D．3【解析】∵=9，而9=（±3）2，∴的平方根是±3．故选B．4．化简的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．2【解析】∵42=16，∴=4．故选A．5．已知+（b+3）2=0，则（a+b）2016的值为（）A．0 B．2016 C．﹣1 D．1【解析】由题意得，a﹣2=0，b+3=0，解得，a=2，b=﹣3，则（a+b）2016=1，故选：D．6.在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，整数集合{ …}，分数集合{ …}，无理数集合{ …}．【解析】整数集合{0，﹣}；分数集合{，3.14}；无理数集合{，﹣，7.151551…}．7.已知一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，则x的值是 2 ．【解析】∵一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，∴x﹣7+3x﹣1=0．解得：x=2．故答案为：2．8.若正数m的两个平方根分别是a+2与3a﹣6，则m的值为9 ．【解析】∵正数m的两个平方根分别是a+2与3a﹣6，∴a+2+3a﹣6=0，解得：a=1，则a+2=3，则m的值为：9，故答案为：9．9.如果的平方根等于±2，那么a= 16 ．【解析】∵（±2）2=4，∴=4，∴a=（）2=16．故答案为：16．10.已知+|2x﹣3|=0．（1）求x，y的值；（2）求x+y的平方根．【解析】（1）∵≥0，|2x﹣3|≥0，+|2x﹣3|=0，∴2x+4y﹣5=0，2x﹣3=0，则x=，y=．（2）x+y=+=2，则x+y的平方根为±．11.已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，求a2015﹣b2016的值．【解析】∵﹣（b﹣1）=0，∴+（1﹣b）=0，∵1﹣b≥0，∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2015﹣b2016=（﹣1）2015﹣12016=﹣1﹣1=﹣2．12.若5a+1和a﹣19是数m的平方根，求m的值．【解析】①当（5a+1）+（a﹣19）=0，解得：a=3，则m=（5a+1）2=162=256．②当5a+1=a﹣19时，解得：a=﹣5，则m=（﹣25+1）2=576．故m的值为256或576．➢课后反击1.下列各数是无理数的是（）A．0 B．﹣1 C．D．【解析】0，﹣1，是有理数，是无理数，故选：C．2.64的平方根为（）A．8 B．±8 C．﹣8 D．±4【解析】∵（±8）2=64，∴64的平方根是±8．故选：B．3.若=2﹣a，则a的取值范围是（）A．a=2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2【解析】∵=|a﹣2|=2﹣a，∴a﹣2≤0，故选：D．4.的值等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．【解析】，故选：A．5.下列计算正确的是（）A．（）﹣2=9 B．=﹣2 C．（﹣2）0=﹣1 D．|﹣5﹣3|=2【解析】故选：A．6.把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，，【解析】有理数集合{，，1.14141，|﹣7|…}，无理数集合{π，﹣，，，…}．7．（﹣0.7）2的平方根是±0.7 ．【解析】∵（﹣0.7）2=（±0.7）2，∴（﹣0.7）2的平方根是±0.7．故答案为：±0.7．8．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，则a= 4 ．【解析】∵一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，∴3a﹣4+12﹣5a=0．解得：a=4．故答案为：4．9．一个实数的两个平方根分别是m﹣5和3m+9，则这个实数是36 ．【解析】m﹣5+3m+9=0，解得m=﹣1，所以m﹣1=﹣6，所以这个实数是（﹣6）2=36，故答案为：36．10．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．【解析】，解得，于是 x﹣2y=1﹣2×（﹣2）=5，∴5的平方根是±．11．若|x﹣1|+（y+3）2+=0，求4x﹣2y+3z的平方根．【解析】由题意得，x﹣1=0，y+3=0，x+y+z=0，解得x=1，y=﹣3，z=2，所以，4x﹣2y+3z=4×1﹣2×（﹣3）+3×2=4+6+6=16，∵（±4）2=16，∴4x﹣2y+3z的平方根是±4．12．求下列式子中的x28x2﹣63=0．【解析】由28x2﹣63=0得：28x2=63，x2=，∴x=±．直击中考1．【2016•马山】若△ABC的三边a、b、c满足|a﹣15|+（b﹣8）2+=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．【解析】△ABC是直角三角形，理由如下：由题意得，a﹣15=0，b﹣8=0，c﹣17=0，解得，a=15，b=8，c=17，∵a2+b2=225+64=289，c2=289，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．2．【2016•会宁】已知a、b、c满足2|a﹣1|++c2﹣c+=0．求a+b+c的值．【解析】∵2|a﹣1|++c2﹣c+=0．即2|a﹣1|++（c﹣）2=0．∴a﹣1=0，2b+c=0，c﹣=0，∴a=1，c=，b=﹣，∴a+b+c=．S (Summary-Embedded)——归纳总结1、无理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数； 无理数：无限不循环小数称为无理数。
有理数与无理数辨析
有理数与无理数辨析四川省邻水县九龙中学 任贤德 2006.8在初中，我们已学过实数的有关概念，实数包括有理数和无理数。
很多同学对于有理数和无理数概念的理解较模糊，对学习造成一定影响，甚至到了高中，也存在这种现象。
为此，有必要对此进行辨析。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，如：218、18.25、1..6等。
我们可将整数、有限小数的小数位后面添加0，把它看成是以0为循环节的无限循环小数，如：218=218..0 ，18.25=18.25.0，在此观点下，有理数就可看成是无限循环小数。
而有理数又可化为分数，整数可看成是分母为1的分数，如：218=218/1，有限小数化成分数，先去掉小数点得到的数作为分子，若小数点后的位数有n 位,则分母就为n 10，如18.25=1825/100=73/4，无限循环小数可化为分数（其化法见后），如：1..6=4/3，所以有理数都可表示成分数，即表示成q/p(其中p 、q 是整数，且p 、q 互质)。
分数化小数时，若除不尽，则得到的小数一定是无限循环小数，因此分数与小数可以互化。
与此相对，无理数就是无限不循环的小数，如：2、3、π=3.1415926……、e=2.71828……、0.101001000……。
有人说无理数就是开方开不尽的数，这种理解是片面的，当然开方开不尽的数是无理数，但如π=3.1415926……、e=2.71828……并不是因为开方开不尽而得到的数，又如0.101001000……，1的后面依次多一个0，也不是因为开方开不尽而得到的数，所以前面对于无理数的理解是错误的，必须纠正。
下面再来谈谈有关的几个问题：1．（混）循环小数化为分数（此法证明须用到无穷递缩等比数列，证明较繁，故略去）（1） 无限循环小数化分数无限循环小数化分数时，其分母为9···90···0,其中9的个数为一个循环节的数字个数，0的个数为循环节前、小数点后0的个数，其分子为一个循环节的数字。
有理数与无理数
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2.2.4实数集是不可数的
定理6
实数集是不可数的。 证明：1）构造法 2）区间套法 定理7 存在着无理的实数。
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2.2.5代数数
a0 xn a1xn1 a2 xn2 ... an1x an 0
代数基本定理 n次方程（1）在复数域中有n 个根。 定义 一个实数或复数叫做代数数，如果它 是某一个整系数方程的根。 定义 任何不是代数数的实数叫做超越数。 定理8 代数数的集合是可数的。 定理9 存在超越数。
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几个对等集的例子：
A
A B
B
A
B
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2.2.3有理数集是可数的
定义
凡与集N对等的集A都叫做可数集, 或称集 A是可数的。 定理1 正有理数的集合是可数的。 定理2 一个有限集和一个可数集如无公共 元素，那么它们的和集是可数的。 定理3 两两不相交的有限个可数集的和集 是可数的。 系1 全体整数的集合是可数的。 系2 全体有理数的集合是可数的。 定理4 两两不相交的可数个有限集的和集 是可数的。 定理5 两两不相交的可数个可数集的和集
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2.1.5有理数域 数学造型:从0和1出发，通过有理运算可以 造出全部有理数。 有理数域兊服了自然数系的缺陷，相对来说 是比较完美的：对四则运算是封闭的，而且 具有稠密性。 数域是抽象代数的一个基本概念,有理数域 只是数域的一种(最小的数域).
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2.1.6第一次数学危机
一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的 「万物皆数」
书里的著名对话说明远在康托尔 的集合论创始之前，伽利略对 无限已经有了很好的理解。
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2.2.1一段富有启发性的历史对话
2.2有理数与无理数 说课稿 2022-2023学年苏科版数学七年级上册
2.2 有理数与无理数说课稿一、教材分析《2022-2023学年苏科版数学七年级上册》是针对七年级学生编写的数学教材。
本说课稿针对教材中的2.2单元进行讲解，主要内容涉及有理数和无理数的概念、表示方法以及它们之间的关系。
本单元内容是七年级学生初次接触有理数和无理数的重要环节，对于学生的数学思维能力的培养具有重要意义。
二、教学目标1. 知识与能力目标•理解有理数和无理数的概念。
•掌握有理数的表示方法，包括整数、分数和小数。
•了解无理数的特点和表示方法。
•理解有理数和无理数之间的关系。
2. 过程与方法目标•引导学生通过观察、实践和讨论等方式，积极参与学习。
•培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高数学思维能力。
•通过合作学习和探究学习，培养学生的团队合作和交流能力。
3. 情感态度与价值观目标•培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发他们学习数学的主动性。
•培养学生认真思考、勇于探究的学习态度。
•培养学生对有理数和无理数用处的认识，增强他们对数学知识的实际应用意识。
三、教学重点和难点1. 教学重点•学习有理数的概念和表示方法。
•学习无理数的特点和表示方法。
•理解有理数和无理数之间的关系。
2. 教学难点•学生对无理数的概念和表示方法的理解。
•学生对有理数和无理数之间的关系的掌握。
四、教学内容与教学步骤1. 教学内容1.有理数的概念2.有理数的表示方法3.无理数的概念4.无理数的表示方法5.有理数和无理数的关系2. 教学步骤Step 1: 导入引入教学内容，通过简单的问题让学生思考数的分类问题，引发学生对有理数和无理数的兴趣，为下面的学习做好铺垫。
Step 2: 有理数的概念通过实际例子和图示，引导学生理解有理数的概念，包括整数、分数和小数等。
通过举例让学生体会有理数与实际生活及数学实践的联系。
Step 3: 有理数的表示方法介绍有理数的表示方法，包括整数、分数和小数的表示方法，以及它们之间的相互转化关系。
通过具体的计算实例，帮助学生掌握有理数的表示方法。
初等数学研究第三讲
n na b
即n
性质3 实数集具有连续性（数学分析中已证明） 性质4 实数是不数集
二、复数域
1、复数的概念（矩阵）
定理：复数集C关于它的加法和乘法构成复数 域。
2、复数的代数形式 1）、复数的代数形式 a bi(a, b R) 叫做复数的代数形式。虚部不为 零的复数叫做虚数，实部为零的虚数叫做纯虚数。 2）、共轭复数
实数的乘法运算
对于 , R
有n n n n
则
注：正实数的积唯一
实数的除法运算
x,
x
注：正实数的商唯一 两个负实数，正、负实数以及正负实数 与零的四则运算按有理数数集中的相关规定 进行。
b、正实数的开方 定理 对于a R , 存在唯一的x R ，
第三讲
实数域和复数域
一、实数域
1、无理数的引入 1）证明 2 不是有理数。 2）可 2 为无限不循环的小数。
2、无理数的概念 无限不循环的小数叫做无理数 3、实数及其顺序 1）、实数的概念 a、正实数：十进位小数叫做正实数 b、负实数：对于每一个正实数 ，有一个新元 素 与其对应，满足 ( ) ( ) 0 c、正实数和负实数统称为实数。
2）、实数的顺序
3、退缩有理闭区间序列 1）、区间套定义：
4）、实数的运算 a、实数的四则运算 实数的加法运算（减法运算 , x,
x
n
）
对于 , R
有
n n n
则
定理：正实数 与 的和是唯一的。 正实数的加法运算满足交换律和结合律。
有理数与无理数
有理数与无理数知识点1 有理数整数和分数统称有理数.(有理数也叫可比数)整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。
()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。
40.3,0.31,......5••⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。
例：0.333……可以化为31 知识点2 有理数的分类1.按有理数的定义分类2.按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数负分数 负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数考点：有理数的分类例1 把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0，1713，0.03%，－314，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}．知识点3 无理数无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数有以下三种类型：（1）常数型无理数，如：π、e 等.（2）规律型无理数，如0.1010010001……（3）开方型无理数（八年级学习），如2、3、5等注意：（1）只有满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数.（2）圆周率π是无理数.（3）无理数与有理数的和差一定是无理数.（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数.例2下列各数中..3.14，12π，1.090 090 009…，227，0，3.1415是无理数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3、把下列各数填在相应的大括号里．+8，+3 4 ，0.275，2，0，-1.04，22 7 ，-8，-100，-1 3 ，0.•3 ．（1）正整数集合{ …}（2）负整数集合{ …}（3）正分数集合{ …}（4）负分数集合{ …}．例4、把下列和数按要求分类．-4，10%，−11 2 ，-2.00，101，2 1 ，-1.5，0，0.1010010001…，0.6．负整数集合：{ …}正分数集合：{ …}负分数集合：{ …}整数集合：{ …}有理数集合：{ …}例5、如图、两个圈分别表示负数集和整数集，请你分别在A、B、C处分别填入3个数．例6、把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内：。
无理数和有理数的性质对比
无理数和有理数的性质对比一、无理数的性质1.无理数不能表示为两个整数的比例，即无理数不是分数的形式。
2.无理数的小数部分是无限不循环的，即小数点后的数字没有规律地重复。
3.无理数的平方根不一定是整数或分数，例如√2和√3都是无理数。
4.无理数可以用近似值表示，但近似值无法完全等于无理数。
5.无理数在数轴上对应的是无限不循环的小数点后的点。
二、有理数的性质1.有理数可以表示为两个整数的比例，即有理数是分数的形式。
2.有理数的小数部分是有限或循环的，即小数点后的数字在某一位开始重复。
3.有理数的平方根一定是整数或分数，例如√4=2和√9=3都是整数。
4.有理数可以用精确值表示，因为它们是分数的形式。
5.有理数在数轴上对应的是有限或循环小数点后的点。
三、无理数和有理数的对比1.表示形式：无理数不能表示为分数，有理数可以表示为分数。
2.小数部分：无理数的小数部分是无限不循环的，有理数的小数部分是有限或循环的。
3.平方根：无理数的平方根不一定是整数或分数，有理数的平方根一定是整数或分数。
4.近似值：无理数只能用近似值表示，有理数可以用精确值表示。
5.数轴上的位置：无理数在数轴上对应的是无限不循环的小数点后的点，有理数在数轴上对应的是有限或循环小数点后的点。
四、无理数和有理数的实际应用1.几何学：无理数在几何学中有着广泛的应用，例如计算圆的周长和面积、三角形的边长等。
2.物理学：无理数在物理学中也有重要作用，例如计算声音的频率、光的速度等。
3.工程学：无理数在工程学中用于计算各种尺寸和角度，例如建筑物的尺寸、机械零件的配合等。
4.日常生活：无理数也存在于我们的日常生活中，例如计算食物的营养成分比例、身高的比例等。
通过以上对比，我们可以更好地理解无理数和有理数的性质，以及它们在各个领域的应用。
希望这份知识归纳能帮助您更好地掌握无理数和有理数的相关知识。
习题及方法：1.习题：判断以下哪个数是无理数？答案：c) √20是无理数。
无理数的概念是什么
无理数的概念是什么
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。
无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
扩展资料
有理数和无理数的区别
（1）性质区别：
有理数是两个整数的'比，总能写成整数、有限小数或无限循环小数；无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。
（2）结构区别：
有理数是整数和分数的统称；无理数是所有不是有理数的实数。
（3）范围区别：
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行；无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
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有理数与无理数知识点总结
有理数与无理数知识点总结
嘿，朋友们！今天咱要来好好唠唠有理数与无理数这个有趣的知识点。
先来说说有理数哈，有理数就像是一群乖乖听话的数字小伙伴。
什么是有理数呢？简单说，就是能写成两个整数之比的数，比如 1 呀，0 呀，-3 呀，还有 3/4 呀，这些都是有理数哦！比如说，咱去超市买东西，那个价格标签上的数字可几乎都是有理数呀，10 块钱一斤苹果，这不就是个有理数嘛！
再讲讲无理数，这可真是一群特别的存在呢！无理数可没法写成两个整数之比。
像圆周率π，还有根号 2 之类的，就是无理数啦！你想想看，圆周率那可是无限不循环的呀，多神奇！就好像是数字世界里的一群神秘小精灵。
比如说，你要计算圆的周长或者面积，那可就离不开圆周率π这个神秘的无理数了呢！
有理数和无理数在一起呀，那可真是构成了丰富多彩的数字世界。
这就好像是一个热闹的大家族，有理数是家族里循规蹈矩的一部分，而无理数是那充满个性的一群。
那它们能和平共处吗？当然能啦！
在咱日常生活中，两种数都有着重要的作用呢。
你去坐公交车，车费是个有理数；但你要研究一些高深的数学问题或者物理问题，可能就会碰到无理数啦！
有理数和无理数，它们相互映衬，相互补充，共同让我们的数学世界变得无比精彩。
咱可别小瞧了它们哦，它们的作用可大着呢！我的观点就是，有理数和无理数都是数学的宝藏，缺了谁都不行，我们要好好去理解它们，利用它们，才能在数学的海洋里尽情遨游呀！你们说是不是呢？。
有理数与无理数优秀教案
有理数与无理数【教课目的】1．理解有理数的意义；知道无理数是客观存在的，认识无理数的观点。
2．会判断一个数是有理数仍是无理数。
经历数的扩大，在探究活动中感觉数学的迫近思想，领会“无穷”的过程，发展数感。
【教课重难点】要点：划分有理数与无理数， 知道无理数是客观存在的。
感觉夹逼法，估量无理数的大小。
难点：会判断一个数是有理数仍是无理数，领会“无穷”的过程。
【教课过程】1．回首整数与分数的观点、整数可表示为分母为 1 的分数。
如 55， 44， 0 0 。
1 11我们把能够写成分数形式 _________________________的数叫有理数。
2．把以下分数化成小数形式：3 =____________； 1=______________； 311=____________； 4=________。
5 3 100 15事实上，分数化成小数后要么是有限小数，要么是无穷的且 ________的小数，反过来一个有限小数或一个无穷的循环小数都能够化成一个分数，所以有限小数或无穷的循环小数都是 _________数。
与之相对应，我们把无穷不循环的小数叫做 _____________数。
3．典型例题将以下小数分类： 5．1，-3．14， ，0， ，1．696696669，1．696696669 ，，有限小数有 ；无穷小数有 ； 无穷循环小数有； 无穷不循环小数有；有理数有；无理数有；4．稳固练习：将以下各数填入相应括号内：， ， 1 ， ，0，，，6 421.414 213 56 ，－ 2π， 3.303 003 000 3 ， -3.141 592 6负数会合： {} ；正有理数会合： {} ；无理数会合： {}5．能力提高（1）以以下图，将两个边长为 1 的正方形分别沿着对角线剪开，拼成一个大正方形，设大正方形的边长为a，则 a 是整数吗？假如不是，用小数表示，保存两位小数，大概是多少？（2）你会将 0.33333......化为分数吗？怎样将0.2525252525......化为分数？【作业部署】负数会合： {}有理数数会合： {} 无理数数会合： {}。
2.2有理数和无理数
初我们学过整数和分数. 你能把整数也写成分数的形式吗?
5
如: 5 = 1
，
-
4
=
4 1
，
0
0= 1
.
我们把可化为分数形式 m (m、n是整数, n≠0)
n
的数叫做有理数.
小学里学过的有限小数和循环小数是有理数吗？
0.3 3 10
3.12 312 100
练一练:
3. 下列关于有理数的说法中，错误的是（ ） A.所有的整数都是有理数 B. 所有的分数都是有理数 C. 所有的有限小数都是有理数 D. 所有的无限小数都是有理数
练一练: 4. 下列关于无理数的说法中，正确的是（ ） A.有最小的无理数 B. 有最大的无理数 C. 无理数有有限个 D. 无理数有无限个
练一练:
1.将下列各数填入相应的括号内：
6 ，9.3， 1 ，42，0，-0.33，0.333 ，1.414 213 56， 6
2π，3.303 003 000 3 ，-3.141 592 6．
正数集合：｛
…｝
负数集合：｛
…｝
正有理数集合：｛
…｝
负有理数集合：｛
…｝
练一练:
2.以下各正方形的边长是无理数的是( ) A.面积为25的正方形； B.面积为16的正方形； C.面积为3的正方形； D.面积为1.44的正方形.
;
因为
4 3
4 3
16 9
2，所以a不是
4 3
;
因为
5 3
5 3
25 9
2，所以a不是
5 3
.
事实上， a不能化为分数的形式，a是一个无限不循环小数，
有理数与无理数 知识讲解
（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数． 【典型例题】 类型一、有理数
1．下列说法正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数
B．分数包括正分数、负分数
C．正有理数和负有理数统称有理数
D．无限小数叫做无理数
【答案】B
【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和 0；C 选项正有理数、负有理数和 0 统称有理数；
2
7
整数集合：
分数集合：
负有理数集合：
无理数集合：
【答案与解析】
整数集合： -2， 0，-（-2），2012
分数集合： - 1 ， 22 ，- 0.23
27
负有理数集合： -2， - 1 ，- 0.23
2
无理数集合： 3 ，3．020020002…，
【总结升华】本题考查了对有理数的有关概念的理解和应用，关键是能区分有关定义，注意： 整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、0、负有理数；无理数是指无限不循环 小数． 类型三、循环小数化分数
有理数与无理数 知识讲解
【学习目标】 1、 理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念． 2、 会判断一个数是有理数还是无理数． 【要点梳理】 要点一、有理数
我们把能够写成分数形式 m （m,n 是整数，n≠0）的数叫做有理数． n
要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数． （2）所有整数都可以写成分母是 1 的分数，因此可以理解为整数和分数统称为 有理数．
要点二、无理数 1．定义：
无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式．
谈谈有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α³5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ²b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
对有理数和无理数的认识
对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。
也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。
维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。
若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。
或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。
因此在自然数域中算术运算是全可能的。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。
对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。
（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
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第3讲 有理数与无理数
1.判断题.
(1)无理数都是无限小数.
(2)无限小数都是无理数.
(3)有理数与无理数的差都是有理数.
(4)两个无理数的和是无理数.
2.把下列各数填在相应的大括号内：35，0，π3，
3.14，－23，227，49
，－0.55，8，1.121 221 222 1…(相邻两个１之间依次多一个２)，0.211 1，999
正数集合：｛ …｝；
负数集合：｛ …｝；
有理数集合：｛ …｝；
无理数集合：｛ …}.
3.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
（A ）面积为25的正方形；(B)面积为16的正方形；
(C)面积为3的正方形；(D)面积为1.44的正方形.
4将下列小数分类：
5.1，-3.14，π，0，0.222…，1.696696669，1.696696669…，-0.210
有限小数有__________________________________________________;
无限小数有__________________________________________________;
无限循环小数有______________________________________________;
无限不循环小数有____________________________________________;
有理数有____________________________________________________;
无理数有____________________________________________________;
5将下列各数填入相应的括号内：
-6，9.3，-6
1，42，0，-0.33，0.333…，1.41421356，-2π， 3.3030030003…，-3.1415926.
正数集合：{
} 负数集合：{}
有理数数集合：{}
无理数数集合：{
}。