高考数学难点突破_难点32__极限及其运算
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
高考数学中的极限问题解析
高考数学中的极限问题解析高考数学中，极限问题是一个相对来说比较难的题型，但它是数字运算的基础，也是整个数学学科的核心概念之一。
因此，掌握高考数学中的极限问题非常重要。
一、极限的概念极限的概念是指数列或函数随着自变量趋近于某一值时所达到的极限值。
数列和函数都有自变量，当自变量变化时，因变量也会相应地发生变化。
极限的概念就是通过探究因变量的变化规律，来确定自变量趋近于某个值时因变量的取值。
二、极限的性质极限有很多性质，以下主要介绍常用的几个。
1. 唯一性对于某个数列或函数，它的极限只有可能有一个，即不存在多个不同的极限值。
2. 保号性如果极限值为正数，则必然存在一个与其小但大于0的正数；如果极限值为负数，则必然存在一个与其小但小于0的负数；如果极限值为0，则必定存在一个与其小的正数和负数。
3. 夹逼定理如果某个数列或函数，对于一个自变量趋近于某个值的区间，存在两个数列或函数，一个递增且趋近于某个限值，另一个递减且趋近于相同的限值，则该数列或函数的极限就是这个限值。
三、常见的极限计算方法1. 直接代入法这是最简单、最常用的一种求极限的方法。
当自变量趋近于某个数值的时候，可以直接将那个数值代入函数表达式中，看看函数是否有定义且取值有限，如果有，就代表它存在极限。
2. 替换法在求某个函数在某一点的极限时，一般可以用代数式子来替换函数式子，这样就可以直接用代数方式求值了。
这种方法的关键是，被替换的函数式子需要符合极限的定义。
3. 等价无穷小代换法当函数的极限无法直接求得时，可以用等价无穷小代换法来解决。
这种方法的核心是找到一个相对于极限值的无穷小量，以破除在求取某个函数极限时的不定性。
4. some other methods。
还有很多其他的求极限方法，这里就不一一列举了。
四、常见的极限问题类型1. 无穷大类型当函数的自变量趋近于某个数值时，函数取值越来越大，这种情况下就存在无穷大的情况。
即如果自变量增大，函数值也必须无限增大，反之，如果自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0。
高中数学解极限问题的技巧
高中数学解极限问题的技巧在高中数学学习中，极限是一个重要的概念，也是数学分析的基础。
解决极限问题需要一定的技巧和方法，下面我将介绍一些常见的解极限问题的技巧，希望能对高中学生和他们的父母有所帮助。
一、利用代数运算法简化式子在解极限问题中，有时候我们会遇到复杂的式子，难以直接求解。
这时，可以尝试利用代数运算法简化式子，使其更容易处理。
例如，对于形如$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用泰勒展开公式将$\sin x$展开成$x$的幂级数，然后化简式子，得到$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。
二、利用等价无穷小替换在解极限问题时，有时候我们可以利用等价无穷小替换来简化计算。
等价无穷小是指当$x$趋于某个特定值时，与之相比的无穷小量。
例如，对于形如$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用等价无穷小替换$\sin x \approx x$，将原式化简为$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。
三、利用夹逼定理求解夹逼定理是解极限问题中常用的方法之一。
当我们遇到一个难以直接求解的极限问题时，可以尝试利用夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得这两个函数的极限都等于要求的极限，从而确定极限的值。
例如，对于形如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用夹逼定理，构造两个函数$f(x)=x$和$g(x)=\sin x$，显然有$f(x) \leq\frac{\sin x}{x} \leq g(x)$。
当$x$趋于0时，$f(x)$和$g(x)$的极限都等于1，因此根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$。
四、利用洛必达法则求解洛必达法则是解决极限问题中常用的方法之一。
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
高中数学极限解题技巧
高中数学极限解题技巧在高中数学中，极限是一个重要的概念，也是解题过程中常见的题型之一。
掌握好极限解题技巧，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍一些常见的高中数学极限解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握。
一、极限的定义和性质在解题过程中，首先需要了解极限的定义和性质。
极限的定义是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定值。
而极限的性质包括四则运算、复合函数、极限与连续性等。
掌握好这些基本概念和性质，是解决极限题的基础。
例题1：求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x = 2处的极限。
解析：根据极限的定义，我们需要计算当x趋于2时，函数f(x)的取值趋于多少。
将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3。
因此，函数f(x)在x = 2处的极限为3。
二、极限的基本运算法则在解决极限题时，经常会遇到需要进行四则运算的情况。
掌握好极限的基本运算法则，可以简化计算过程，提高解题效率。
例题2：求极限lim(x→0) [(1 + x)^3 - 1] / x。
解析：根据极限的基本运算法则，我们可以先对分子进行展开，然后进行化简。
展开后的式子为[(1 + 3x + 3x^2 + x^3) - 1] / x，化简后得到(3x + 3x^2 + x^3) / x。
再根据极限的性质，我们可以将分子和分母都除以x，得到3 + 3x + x^2。
最后，将x趋于0，得到极限lim(x→0) (3 + 3x + x^2) = 3。
三、极限的夹逼准则极限的夹逼准则是解决一类特殊极限问题的重要方法。
当我们无法直接计算极限时，可以通过夹逼准则将其转化为已知的极限问题，从而求解。
例题3：求极限lim(x→∞) (x - √x) / (x + √x)。
解析：根据极限的夹逼准则，我们可以将(x - √x) / (x + √x)进行变形，得到[(x - √x) / (x + √x)] * [(x - √x) / (x - √x)] = (x^2 - 2x√x + x) / (x^2 - (√x)^2) = (x^2 - 2x√x + x) / (x^2 - x)。
高中数学中的极限概念详解
高中数学中的极限概念详解在高中数学中，极限是一个关键的概念，它为我们理解数学的连续性和趋势提供了基础。
在本文中，我们将详细解释极限的概念、计算方法和应用。
首先，我们来了解极限的定义。
在数学中，极限表示一个函数在自变量无限接近某一特定的值时的趋势。
当自变量趋近于这个特殊值时，函数的取值也会逐渐接近于一个确定的数值。
这个特殊值被称为极限点，而函数在极限点处的取值则称为极限。
数学上用符号“lim”来表示极限，例如lim f(x) = L表示当x趋近于某一值时，f(x)的极限为L。
接下来，我们来看一些常用的极限计算方法。
在高中数学中，有几种常见的方法可以计算极限。
首先是代入法，即将自变量的值代入函数中计算。
如果得到的结果存在一个有限值，那么这个有限值即为函数在该点的极限。
如果得到的结果是无穷大（正无穷大或负无穷大），则说明函数在该点不存在极限。
其次是夹逼定理，它用于计算特定类型的极限。
夹逼定理基于一个原则：如果一个函数在两个连续的点之间被夹在两个其他函数之间，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个公共极限。
另外还有无穷小量的概念，即当自变量趋近于某一值时，函数取值可以无限接近于零。
利用无穷小的性质，我们可以推导出一些特定类型的极限。
然后，我们来探讨极限的应用。
极限在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和解析几何中。
在微积分中，极限是求导和积分的基本工具。
通过极限的概念，我们可以推导出导数的定义并计算各种函数的导数，进而研究函数的变化趋势。
在解析几何中，极限可以用来计算曲线的切线和曲率。
通过求解极限，我们可以确定曲线上某一点的切线斜率以及曲线在该点的曲率大小，从而揭示出曲线的几何性质。
最后，我们来总结一下。
高中数学中的极限概念是我们理解数学中连续性和趋势的基础。
极限的定义为我们提供了一种数学语言来描述函数在特定点的趋势。
我们可以通过代入法、夹逼定理和无穷小量的应用等方法计算极限。
极限的应用广泛，特别是在微积分和解析几何中。
高考数学极限运算方面精讲
高考数学极限运算方面精讲在高考数学中，极限运算是考察学生数学素养和逻辑思维的重要知识点之一。
在这篇文章中，将系统、全面地讲解高考数学中与极限运算相关的知识点，帮助学生更好地掌握这一难点。
一、极限的概念首先，我们需要了解什么是极限。
极限是指函数在自变量趋近于某个值时，相应的函数值也趋近于某个确定的值。
通俗地说，如果一个序列或者函数在某个点附近越来越接近一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为这个序列或者函数的极限。
通常用符号“lim”表示。
例如：lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = 2其中“x→1”表示x趋近于1的时候，函数值的极限是2。
在高中数学课程中，我们已经学习了一些基础的极限运算，包括无穷小量的定义、极限的四则运算、夹挤定理等等。
这里我们不再赘述。
二、常用的极限公式除了基本的极限运算，高中数学还有一些常用的极限公式，下面分别介绍。
1. 洛必达法则洛必达法则是求解不定式的极限时常用的一种方法。
它的核心思想是将极限转化为求导数的极限。
具体而言，如果一个不定式的极限为0/0或者±∞/±∞时，我们可以对这个不定式进行求导，再重新计算极限，如果新的极限存在，那么它就是原不定式的极限。
例如：lim(x→0) sinx/x这个不定式的极限为0/0型。
我们对它求导得到：lim(x→0) cosx/1 = cos0/1 = 1因此，原不定式的极限为1。
需要注意的是，洛必达法则是一种常用的方法，但并不是所有的不定式都可以用它来求解。
对于其他类型的不定式，我们需要采取不同的方法。
2. Π面积公式Π面积公式是一种计算极限的常用公式，它的核心思想是将面积转化为无穷小量的加和求解。
具体而言，如果一个曲线在自变量趋近于无穷大的时候，它的面积趋近于某个确定的值，那么我们就可以用Π面积公式计算这个确定的值。
例如：lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/n*[1+(k/n)]²这个极限表示一个从1到n，等差为1/n的序列。
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限问题
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限问题在高考数学科目中，极限问题是一类相对较难且比较常见的问题。
解决复杂的极限问题要求掌握一些技巧和方法，以便能够快速准确地求解。
本文将介绍一些高考数学技巧，帮助你在考试中迅速解决复杂的极限问题。
一、利用代入法简化问题解决复杂极限问题的第一步是观察并尝试利用代入法简化问题。
对于形如lim (x→a) f(x) 的问题，我们可以尝试将 x 代入 a，然后计算函数值，观察其趋近情况。
如果函数在 a 处的函数值已经知道，那么我们可以直接进行代入计算。
通过代入法，我们可以将极限问题转化为一个求解函数值的问题，从而简化计算。
二、利用极限的性质进行变形在计算复杂的极限问题时，我们可以利用极限的性质进行变形，以便更方便地进行计算。
常见的极限性质包括四则运算、函数的复合、极限的唯一性等。
例如，当我们遇到一个复杂的极限问题时，我们可以利用极限的性质将其进行拆解，然后简化计算。
另外，我们还可以利用一些常用的极限公式，如lim (x→0) sin(x)/x = 1，来简化计算过程。
三、利用洛必达法则求解洛必达法则是解决一些特殊极限问题的有效方法。
当我们计算复杂的极限问题时，可能会遇到一种形式如lim (x→a) f(x)/g(x) 的问题，其中 f(x) 和 g(x) 在 a 处的函数值都为 0 或者±∞。
利用洛必达法则，我们可以将其转化为求导数的问题，然后通过求导计算极限。
具体而言，我们可以对 f(x) 和 g(x) 分别求导，然后计算导数的极限，从而得到原始函数的极限。
四、利用泰勒展开逼近极限有些复杂的极限问题可以利用泰勒展开来逼近。
泰勒展开是将函数在某一点附近用一个多项式逼近的方法。
通过使用泰勒展开，我们可以将原始函数表示为一个多项式的形式，从而简化计算过程。
然而，利用泰勒展开逼近极限可能会导致一定的误差，因此需要注意取近似时的精度。
总结起来，解决高考数学中的复杂极限问题需要我们掌握一些技巧和方法。
高中数学中的极限运算解题技巧
高中数学中的极限运算解题技巧数学是一门需要运用逻辑思维和数学原理来解决问题的学科。
在几何、代数、概率等各个领域中，极限运算是数学中重要的概念之一。
在高中数学课程中，学生需要掌握极限运算的解题技巧，以提高数学分析和问题解决的能力。
本文将介绍一些高中数学中的极限运算解题技巧，并提供相应的例题进行讲解。
一、直接法直接法是一种常用的求解极限的方法，当函数在某一点附近存在定义时，可以直接代入数值进行计算。
通过观察函数的性质，可以得到一些有用的结果。
例题1：计算极限lim(x→2) (x^2 + 3x - 2)解析：根据直接法，将x=2代入函数中，得到lim(x→2) (x^2 + 3x -2) = 2^2 + 3×2 - 2 = 10。
二、代入法代入法是求解极限的另一种常用方法，通过将未知的极限值代入函数中，求得函数的极限值。
这种方法通常用于求有界函数的极限。
例题2：计算极限lim(x→0) sin(2x) / x解析：将极限值x=0代入函数sin(2x) / x中，得到lim(x→0) sin(2x) / x = sin(0) / 0。
由于sin(0) = 0，所以lim(x→0) sin(2x) / x = 0。
三、夹逼法夹逼法也是一种常用的求解极限的技巧，适用于无法直接计算的复杂函数。
夹逼法通过将函数夹在两个已知的函数之间，利用已知函数的极限性质来求解未知函数的极限。
例题3：计算极限lim(x→0) x * sin(1 / x)解析：对于极限值lim(x→0) x * sin(1 / x)，可以利用夹逼法来求解。
首先，考虑函数f(x) = x，它的极限为lim(x→0) x = 0。
其次，考虑函数g(x) = sin(1 / x)，由于-1 ≤ sin(1 / x) ≤ 1，所以lim(x→0) sin(1 / x) = 0。
由于f(x) ≤ x * sin(1 / x) ≤ f(x)，根据夹逼法，得到lim(x→0) x *sin(1 / x) = 0。
高中数学考试的重点和难点有哪些？
高中数学考试的重点和难点有哪些？高中数学考试是学生高考升学的重要关卡，也是检验学生数学能力的重要指标。
本文将从教育专家的角度，深入分析高中数学考试的重点和难点，帮助学生更好地把握考试重点，突破学习难点。
一、高考数学考试重点1. 基础知识：高考数学考试以考察基础知识为主，函数的定义、导数、积分、数列、三角函数、向量、解析几何等基本概念和公式的理解和应用是考试的重中之重。
2. 逻辑推理：高考数学注重考查学生的逻辑推理能力，包括对数学概念的理解、分析问题的能力、运用数学工具解决问题的能力等。
3. 解题技巧：高考数学考试除了对基础知识的考核，还考查解题技巧。
例如，利用函数图像求最值，运用导数求极值，借用积分求面积等。
4. 应用能力：高考数学考试越来越重视对数学知识的实际应用。
例如，运用数学模型研究问题，利用数学方法解决经济、科技等领域的实际问题。
二、高考数学考试难点1. 抽象思维：高中数学很多概念比较抽象，例如函数、极限、导数、积分等，学生理解起来比较困难。
2. 逻辑推理：高中数学的逻辑推理难度相对较高，例如证明题、几何证明题，需要学生具备较强的逻辑思维能力。
3. 综合运用：高考数学考试经常将多个知识点融合在一起，要求学生能综合运用所学的知识解决问题。
4. 时间压力：高考数学考试时间有限，学生需要在有限的时间内完成大量题目，这就要求学生具备熟练的解题技巧和快速分析问题的能力。
三、如何应对考试重点与难点的方案1. 夯实基础：掌握基础知识是应对考试的最重要前提。
要认真学习教材，理解概念，记忆公式，并通过练习巩固知识。
2. 增强逻辑训练：要加强逻辑推理能力的训练，例如进行逻辑推理题的练习、分析数学证明过程、总结解题思路等。
3. 掌握解题技巧：学习并掌握各种解题技巧，例如函数图像法、导数法、积分法等，并通过练习将技巧应用自如。
4. 注重实际应用：平时学习过程中要重视数学知识的实际应用，将数学模型应用于实际问题，利用数学方法解决现实生活中的问题。
大学高数2-3极限的运算法则
03
复合函数的极限运算法则
函数的极限与复合函数的极限
函数的极限
当函数在某点的自变量趋于某值时，函数值的极限。
复合函数的极限
对于复合函数$f(g(x))$，当$x$趋于某值时，$g(x)$趋于某值，则$f(g(x))$的极限存在。
复合函数的极限运算法则
乘法法则
若$f(x)$和$g(x)$在某点的极 限都存在，则$f(x) cdot g(x)$ 在该点的极限也存在，且$f(x) cdot g(x) = f(x) cdot g(x)$。
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04
加法运算性质
两个无穷小量的和仍为无穷小 量。
减法运算性质
两个无穷小量的差仍为无穷小 量。
乘法运算性质
有限个无穷小量的乘积仍为无 穷小量。
除法运算性质
有限个无穷小量的商仍为无穷 小量，但除数不能为无穷大量 。
05
极限的运算技巧
利用等价无穷小替换求极限
等价无穷小替换是求极限的一种常用方法，通过将复杂的表达式替换为简单的无穷 小量，可以简化计算过程。
在等价无穷小替换中，常用的等价无穷小量包括：当x趋近于0时，sin x ≈ x，tan x ≈ x，e^x - 1 ≈ x，ln(1 + x) ≈ x等。
使用等价无穷小替换求极限时，需要注意替换的准确性和适用范围，以确保结果的 正确性。
利用洛必达法则求极限
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洛必达法则是求极限的一种重要 法则，适用于0/0型和∞/∞型的 极限问题。
利用反常函数求极限
总结词
反常函数包括无界函数和无穷大量，求极限时需要注意函数的定义域和性质。
详细描述
对于无界函数和无穷大量，需要分别讨论其类型和性质，利用等价无穷小替换、夹逼准则等方法求极 限。在处理反常函数时，需要注意函数的定义域和性质，以及无穷小与无穷大的关系。
如何利用高等数学知识解决高考数学中的极限问题
如何利用高等数学知识解决高考数学中的极限问题高考数学是每个高中生都必须面对的一项关键考试，而其中最受考生关注的部分是极限问题。
作为高等数学的一部分，极限问题需要考生掌握一定的数学知识和技巧才能得到满分。
本文将探讨如何利用高等数学知识解决高考数学中的极限问题。
一、先弄清楚什么是极限在解决极限问题前，必须先理解极限的概念。
极限是一种数学概念，指在一个函数中x趋向于一个值a的过程。
简单来说，就是当x无限靠近a时，函数f(x)越来越接近某个值L。
这个值L就是函数在a处的极限。
例如，f(x) = 1/x，在x趋向于0时，它的值越来越大，并且不会发散。
因此可以认为，f(x)在x等于0处的极限为无穷大。
二、掌握求极限的几种方法在高考数学中，求出一个函数的极限的方法有很多，下面列举一些：1. 代入法：当极限的解析式子很简单的时候，我们直接将x的值代入求解即可。
例如，求lim(x→2)(x^2 + 2x - 8)的极限，代入x=2，得到的结果为0。
因此，此函数的极限为0。
2. 夹逼准则：夹逼准则也称为挤压定理，它是一种比较常见的极限求法。
当函数f(x)在x趋于某个点a的左侧和右侧时趋于相同的极限L，且它夹在两个函数g(x)和h(x)之间，而这两个函数的极限也都是L时，我们就可以用夹逼准则来求f(x)在x等于a处的极限。
例如，求出lim(x→0)(sinx/x)的值。
因为0 < sinx/x < 1，所以我们可以将sinx/x夹在两个函数0和1之间。
当x趋向于0时，0和1的极限都是相同的，所以根据夹逼准则，sinx/x在x等于0处的极限为1。
3. 等价无穷小代换法：在某些情况下，我们可以将一个无穷小代换成另一个与其等价的无穷小来求解极限。
例如，求lim(x→0)(sin2x/x)的值。
因为sin2x/x可以化简为2cosx，而cosx在x等于0处的极限为1，所以根据等价无穷小代换法，sin2x/x在x等于0处的极限也为2。
高考数学如何应对复杂的极限和连续性问题
高考数学如何应对复杂的极限和连续性问题随着高考的临近，许多学生开始为数学复习而烦恼。
尤其是在面对复杂的极限和连续性问题时，很多学生容易感到迷茫和困惑。
本文将介绍一些处理这类问题的有效方法，帮助学生在高考中高效解决极限和连续性问题。
一、理解极限的概念极限是数学中的重要概念，掌握好极限的含义和性质对于解决极限问题至关重要。
首先，学生需要理解极限的定义：当自变量趋于某个值时，函数的值的变化趋势。
其次，熟悉常见的极限性质，例如当自变量趋于无穷大时的极限、复合函数的极限等。
通过理解极限的概念和性质，学生能够更加准确地理解和解决复杂的极限问题。
二、掌握常见的极限计算方法在高考中，经常会涉及到一些常见的极限计算方法，例如利用有理化、夹逼定理、洛必达法则等。
学生应该熟悉并灵活运用这些方法，能够根据具体问题选择合适的方法来求解。
在进行极限计算时，需注意运算的顺序和细节，避免出现计算上的错误。
三、加强对连续性的理解连续性是数学中的另一个重要概念，与极限问题密切相关。
学生需要理解函数连续性的定义和条件，并能够判断给定函数在某一点的连续性。
在解决复杂的连续性问题时，可以运用辅助线、数列趋势等方法来辅助分析。
通过加强对连续性的理解，可以更好地应对相关的数学题目。
四、多进行习题训练提高解决复杂极限和连续性问题的能力需要进行大量的习题训练。
在解题过程中，学生可以尝试使用不同的方法和思路，比较不同方法的优缺点。
并且及时总结解题经验，找到解决问题的规律和技巧。
通过反复练习，不断提升解决复杂数学问题的能力。
五、思维开阔，积极思考面对复杂的极限和连续性问题，学生应该保持积极的思维态度，并且具备一定的数学思维能力。
在解决问题时，可以运用归纳法、逆向思维等方法来开阔思路。
同时，要注重培养自己的逻辑思维和分析问题的能力，善于总结并归纳规律。
通过思维的开阔和积极思考，可以更好地应对复杂的极限和连续性问题。
在高考数学中，极限和连续性是相对难度较大的内容，需要付出更多的努力和时间去理解和掌握。
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算函数极限在高中数学学习中占据非常重要的地位。
它不仅是理解数学概念的基础，还在应用数学和其他学科中起到重要的作用。
本文将详细解析和计算高中数学中的函数极限，帮助读者深入理解和掌握相关知识。
1. 极限的定义函数极限是指当自变量趋于某一值时，函数值的变化趋势。
根据定义，对于函数 f(x)，它的极限可以用以下方式表示：lim(x→a)f(x) = L其中，x→a表示x趋近于a，L表示函数f(x)在x趋近于a时的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下基本性质：- 唯一性：函数在某一点的极限是唯一确定的。
- 有界性：如果函数在某一点的极限存在，则函数在该点附近有界。
- 保号性：如果函数在某一点的极限为正（负），则函数在该点的右邻域（左邻域）内的函数值也为正（负）。
3. 极限的计算方法在计算函数极限时，可以运用以下的计算方法：- 直接代入法：当函数在某一点连续时，可以直接将该点的值代入函数并计算函数值，得到极限值。
- 合并因子法：将复杂的函数分解为简单的因子，然后运用极限的性质进行化简和计算。
- 夹逼准则法：对于一个函数，如果它夹在两个极限已知的函数之间，那么它的极限也可以简单地确定。
- 等价无穷小代换法：当函数的极限形式无法直接计算时，可以通过等价无穷小的代换将其转化为可以计算的形式。
4. 函数极限的应用函数极限在图像的分析和应用问题中有着重要的作用。
以下是一些常见的应用：- 导数和微分的计算：导数的定义本质上就是一个函数极限，通过计算函数在某一点的极限，可以得到该点的导数。
- 泰勒展开和函数逼近：利用函数的极限，可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，用于简化计算和分析。
- 无穷级数和收敛性分析：通过函数的极限，可以判断无穷级数是否收敛，并计算其收敛值。
5. 实例解析为了更好地理解函数极限的计算和应用，我们通过以下实例进行解析。
例题：计算函数lim(x→2)(3x^2 - 8x + 4) / (x - 2)解析：首先，我们可以应用直接代入法。
高中数学极限问题解题思路与例题
高中数学极限问题解题思路与例题一、引言高中数学中，极限问题是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的一个难点。
正确理解和掌握极限问题的解题思路对于学习数学和应对考试都具有重要意义。
本文将从基本概念、解题思路和例题分析三个方面，详细介绍高中数学极限问题的解题方法。
二、基本概念1. 极限的定义极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的趋势。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近于一个常数L，那么我们就说函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。
掌握这些性质对于解题非常有帮助。
三、解题思路1. 分析题目在解决极限问题时，首先要仔细分析题目，明确题目中给出的条件和要求。
特别要注意是否存在不确定形式，如0/0、∞/∞等。
2. 利用基本极限高中数学中，有一些基本的极限公式是非常重要的，如lim(x→0)(sinx/x)=1、lim(x→∞)(1+x)^1/x=e等。
在解题时，可以利用这些基本极限公式来简化计算。
3. 利用极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限等。
在解题时，可以灵活运用这些性质来简化计算。
4. 利用夹逼定理夹逼定理是解决极限问题的常用方法之一。
当我们无法直接计算出极限时，可以通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限都等于我们要求的极限，从而利用夹逼定理求出极限的值。
四、例题分析1. 例题一求极限lim(x→0)(x^2+sinx)/x。
解析：首先，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1，将题目转化为lim(x→0)(x+sinx)/x。
然后，利用极限的四则运算法则，将分子和分母分别求极限，得到lim(x→0)x/x+lim(x→0)sinx/x=1+0=1。
2. 例题二求极限lim(x→∞)(2x^2+x)/(3x^2-4x)。
2019高考数学_难点32__极限及其运算共6页
高中数学难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa . ●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理.解：bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n .命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解：(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n－1)+nb b)1(+ (n ≥2) 解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( ) A.2 B.0 C.1D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在 二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n .参考答案难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练 一、1.解析：)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案：A 2.解析：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案：C二、3.解析：xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案：21 4.解析：原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a∴a ·b =82 答案：82三、5.解：(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解：由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0 ①同理f (4a )=0 ② 由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim 222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由 1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③ 同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a a a x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.1)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a pp b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解：(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n－1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1-- ∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd d d nd n nd n d nd n ndd n nd n n n T。
高考数学难点突破_难点32__极限及其运算
命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律， 既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力 . 属★★★★★级题目. 知识依托： 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子 常用的一种方法. 错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理.
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知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系. 错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及 n=1 与 n=2 时的式子不统一 性.
(祝同 学们在 六月开 始中取 得好成 绩，为 中华民 族的伟 大复兴 奉献自 己的力 量）
技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律. 解：(1)an=Sn－Sn－1=－b(an－an－1)－
( 2) a1 S1 1 ba1 an ( (
b b b 1 b 2 b2 b [ a n 2 ] ( ) a n 2 1 b 1 b 1 b (1 b) n (1 b) n 1 (1 b) n 1
b 2 b b b b2 ) [ a n 3 ] 1 b 1 b (1 b) n 1 (1 b) n 1 b 2 b b2 b3 ) a n 3 , 1 b (1 b) n 1 b n 1 b b 2 b 3 b n 1 ) a1 1 b (1 b) n 1
n
命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前 n 项和 Sn 等有紧密的联 系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前 n 项和 Sn 再求极限，本 题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.
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七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。
吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。
情也成空，且作“挥手袖底风”罢。
是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。
乃书于纸上。
毕而卧。
凄然入梦。
乙酉年七月初七。
-----啸之记。
难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa . ●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理.解：bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式； (3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n .命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解：(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2) 解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( ) A.2 B.0 C.1D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在 二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n .参考答案难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练 一、1.解析：)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案：A 2.解析：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案：C二、3.解析：xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案：21 4.解析：原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a∴a ·b =82答案：82三、5.解：(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解：由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0 ①同理f (4a )=0 ② 由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim 222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由 1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③ 同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a aa x a x a a x x f a x a x1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解：(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n－1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1--∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=-- (2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd dd nd n nd n d nd n nd d n nd n n n T。
高三数学极限及运算.doc
高三数学的极限及运算 人教版选修2【本讲教育信息】一. 教学内容：高三数学选修（II ） 数列的极限及运算目标：理解数列极限的描述性定义，掌握数列极限的四则运算法则。
重点：会判断无穷数列的极限，会进行简单运算。
难点：利用简单数列的极限求较为复杂数列的极限。
知识点：1. 数列极限的定义（描述性）；2. 四则运算法则。
1. 对无穷数列{a n }，当项数n 无限增大时，数列的项a n 无限趋近于某个常数a ，则称数列{a n }有极限，常数a 叫{a n }的极限，记为lim n n a a →∞=2.lim lim 若，，则n n n n a a b b →∞→∞==lim()lim()lim()n n n n n n n n na b a b a b ab a b ab b →∞→∞→∞±=±==≠，，0注：（1）以上法则只适用于有限个数列的运算；（2）基本数列的极限： lim lim lim (||)n n n n n c c a a →∞→∞→∞===<1001；；例1. 下列数列中，存在极限的数列是（）{}a a n nA aB a nC a nD a q q n n n nn n n .().().c o s.(||)=+-=+-==>1121141π解：直接由定义判断选BA 、C 是周期数列；D. a n 无限增大（n →∞）例2. 已知，，，则当时，的极限为（）a nn n nn n a n n =+≤>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪→∞11001100{}A. 0B. 1C. 0或1D. 不存在解：选A例3. 考察下列数列{a n }的极限： （）（）1122331a n na n n n n n=+=++解：（）111122 a n n n nn =+=+ 且limlimlim lim n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞===1011102∴=→∞lim n n a 0（）22331233231 a n n n =+=+<()()|| ∴=+=→∞→∞→∞lim lim()lim n n n n n a 2333例4. 求下列数列的极限（）1512522lim n n n n →∞--+（）21434214444lim()n n n n n →∞+++++-+解：（）原式1512155222=--+=→∞limn n n n （）2141212411414244a n n n n n n n n =++-⋅=+=+−→−−→∞()∴=→∞lim n n a 1注：不能直接按和的运算法则求解。
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( 1
b
b
)2
[ 1
b
b
an3
(1
b b) n 1
]
b b2 (1 b)n1
( 1
b
)2 b
an3
b b2 b3 (1 b)n1
,
由此猜想an
( b )n1 a1 1 b
b
b2
b3 bn1 (1 b)n1
b 把a1 (1 b)2 代入上式得
b bn1
an
b b2 bn (1 b)n1
(1
b)(1
b) n 1
(b
1)
n (b 1)
2n1
1
b bn1
1
(3) S n
1 ban
(1 b)n
1b (1 b)(1 b)n1
(1 b)n
1
1
b(b bn1 )
(
1
)n1(b 1),
(1 b)n 1 b 1 b
0 b 1时, lim bn 0, lim ( 1 )n 0, lim Sn 1.
(1 a 2 )x 2 (1 2ab)x (1 b2 )
lim
x
x2 x 1 ax b
要使上式极限存在，则 1－a2=0,
当 1－a2=0 时，
1 b2
(1 2ab)x (1 b2 )
(1 2ab)
上式 lim
lim
x2
(1 2ab)
x x2 x 1 ax b
lim
n
2n
2n1 an1
(a)n 1 lim 2 2
n 2 a( a )n
1 ;
4
2
a n 2n1
3 2n1 1
当a
2时, lim
n
2n
a n1
lim
n
6 2n1
; 2
a n 2n1 (2)n 2n1
当a 2时,
2n a n1 2n (2)n1
2n 2n1 2n1 1
2 2n 2n
n 2n1 2n1
2n1
3 2n
3 2n1 2n
(n为奇数) 6
3 (n为偶数)
2
歼灭难点训练
一、1.解析： an
C2n
n(n 1) 1
,
2
an
11 2( ) ，
n 1 n
11
1
1
lim ( ) lim 2(1 ) 2
n a1 a2
an n
n
1 2nd
2(n1)d 2nd
(2)当 d＞0 时，2d＞1
1 2nd
1 (2d )n
lim Tn
n
lim
n
2 ( n1) d
2nd
lim
n
(2d
) n1
(2d
)n
1
1
(2d )n
0 1 2d
lim
110
(1)求 an 和 an－1 的关系式； (2)写出用 n 和 b 表示 an 的表达式； (3)当 0＜b＜1 时，求极限 lim Sn.
n
命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前 n 项和 Sn 等有紧密的联 系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前 n 项和 Sn 再求极限，本 题考查学生的综合能力.属★ ★ ★ ★ ★ 级题目.
3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：
lim (1)n 0, lim a n 0(| a | 1)
n n
n
a0 x k a1x k1 ak
lim
n
b0 x l
b1 xl1 b1
a0
b0
,当k
l时
0,当k l时
不存在,当k l时
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★ ★ ★ ★ )an 是(1+x)n 展开式中含 x2 的项的系数，则 lim ( 1
22
10
(2)Sn=
n
ak
5 [
n
( 1 )k1
n
( 1 )k1 ]
k 1
2 k1 2
k1 10
(1)2 (1)2
lim Sn
n
5 [
2
2
1 1
6 1
1
11 ]
9
2 10
f (x)
6.解：由于 lim
=1，可知，f(2a)=0
①
x2a x 2a
同理 f(4a)=0
②
由① ② 可知 f(x)必含有(x－2a)与(x－4a)的因式，由于 f(x)是 x 的三次多项式，故可设
10
2
5 100
∴
1 an+1－
10
1 an=(a2－
10
a1)(
1 2
)n-1=( 31 100
－
3 5
1 ×
10
)(
1 2
)n-1=
1 ( 1 )n1 42
1 2 n 1
,
11
∴
an+1= 10
an+
2 n1
①
1
1
又由数列{lg(an+1－ an)}是公差为－1 的等差数列，且首项 lg(a2－ a1)
n
n
n
n
lim Sn 1 n Sn1
8.解：(1)an=(n－1)d,bn=2 an =2(n－1)d Sn=b1+b2+b3+…+bn=20+2d+22d+…+2(n－1)d
由
d≠0,2d≠1,∴
1 (2d )n Sn= 1 2d
115
1 (2d )n
∴ Tn= Sn bn
1 2d 2 ( n1) d
答案：A
a c 2 a c 2 a c 2
2.解析：
a
2
c
2
, 1
得 a
2
c2
2
或 a
2
c2
6
答案：C
113
x x x x 二、3.解析： lim ( x x x x ) lim
x
x
x x x x
1 1
lim
x
1 1
x
1
.
11 2
x3
x2
1 答案：
2
a2 (2n2 n 1) n2b2
114
f(x)=A(x－2a)(x－4a)(x－C),这里 A、C 均为待定的常数，
f (x)
A( x 2a)(x 4a)(x C)
由 lim
1,即 lim
lim A( x 4a)(x C) 1,
x2a x 2a
x2a
x 2a
x2a
得A(2a 4a)(2a C) 1 ,即 4a2A－2aCA=－1
2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)Sn=a1+a2+…+an(n≥1),求 lim Sn.
n
f (x)
f (x)
f (x)
6.(★ ★ ★ ★ )设 f(x)是 x 的三次多项式，已知 lim
lim
=1,试求 lim
n2a x 2a n4a x 4a
n x 3a
的值.(a 为非零常数).
知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子
常用的一种方法.
错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错.
技巧与方法：有理化处理.
解： lim ( x 2 x 1 ax b) lim (x2 x 1) (ax b)2
x
x x 2 x 1 ax b
(2a2 b2 )n2 a2n a2
4.解析：原式= lim
lim
1
n a 2n2 n 1 nb n a 2n2 n 1 nb
2a 2 b2 0 a 2 2
2 b 1 b 4
∴ a·b=8 2
答案：8 2
1
1
3 31
三、5.解：(1)由{an+1－ an}是公比为 的等比数列，且 a1= ,a2= ,
难点 32 极限及其运算
极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具. 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生 深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.
●难点磁场
a n 2n1
(★
★
★
★
)求 lim
7.(★ ★ ★ ★ )已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公式分别为 p、q,其中 p＞
112
q,且 p≠1,q≠1,设 cn=an+bn,Sn 为数列{cn}的前 n 项和，求 lim Sn 的值. n Sn1
8.(★ ★ ★ ★ ★ )已知数列{an}是公差为 d 的等差数列，d≠0 且 a1=0,bn=2 an (n∈N*),Sn 是
p)
a1 (1
q)
b1 (1
p)(
q )n p
lim
n
a1 (1
q) b1(1 p n1
p)
a1 (1
q)
1 p
b1 (1
p)(
q 0 p. 1
0 a1(1 q) p 0
当 p＜1 时,q＜1, lim pn lim pn1 lim qn lim qn1 0
③
同理，由于 lim f (x) =1,得 A(4a－2a)(4a－C)=1,即 8a2A－2aCA=1
④
x4a x 4a