《梯形、等腰梯形及其性质、判定》2006年中考试题集锦

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等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明

等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。

在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。

下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。

性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。

证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。

假设∠A和∠B是两个底角。

首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。

接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。

因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。

因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。

我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。

由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。

因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。

将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。

因此，等腰梯形的两个底角是相等的。

性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。

证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。

我们需要证明AC=BD。

我们已经知道∠BAD=∠CBA。

因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。

我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。

因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。

根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。

因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。

因此，AD=BD和AC=CD。

等腰梯形的性质与判定试题

等腰梯形的性质与判定试题一、选择题1 ．下列命题错误的是( )A.矩形是平行四边形;B.相似三角形一定是全等三角形C.等腰梯形的对角线相等D.两直线平行,同位角相等2 ．顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是A 矩形B 菱形C 正方形D 平行四边形 3 ．如图,锐角三角形ABC 中(AB>AC),AH⊥BC,垂足为H,E 、D 、F 分别是各边的中点,则四边形EDHF 是( )A.梯形B.等腰梯形C.直角梯形D.矩形4 ．等腰梯形的下底是上底的3倍,高与上底相等,这个梯形的腰与下底所夹角的度数为A.30°B.45°C.60°D.135°5 ．若等腰梯形的两底差等于一腰长,那么它的腰与下底的夹角为A.︒30B.︒45C.︒60D.︒756 ．等腰梯形的腰长为13cm,两底差为10cm,则高为 ( )A 、69cmB 、12cmC 、69cmD 、144cm7 ．在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=3,BC=7,AB=CD,E 为CD 的中点,四边形ABED 的周长与△BCE 的周长之差为2,则AB 的长为( ).A.8B.3C.6D.78 ．如图8,等腰梯形ABCD 中,AB∥DC,AD=BC=8,AB=10,CD=6,则梯形ABCD 的面积是(•)二、填空题9 ．如图1,请写出等腰梯形ABCD(AB∥CD)特有而一般梯形不具有的三个特征: ________,________,________.10．等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,AB=6,AD=5,BC=8,且AB∥DE,则△DEC 的周长是____________.11．等腰梯形的对角线互相垂直,若高为8,则梯形的面积是_______.12．如图 2所示,在等腰梯形ABCD 中,∠B=450,已知腰长是3cm,则∠ADC=______度,高DE=_____｡13．等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,对角线AC 与BD 相交与O,请写出图中一对相等的线段___________｡14．顺次连结等腰梯形四边的中点,所得四边形是____________;15．等腰梯形的一个锐角为60°, 一腰长为24cm,•一底长为39cm,•则另一底长为_______. 16．若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为4,并且两条对角线所夹锐角为60,则该等腰梯形的面积为___________(结果保留根号的形式).三、解答题17．如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,延长底边AB 到E ,使得BE =DC .求证:AC =CE.18．如图,将等腰梯形ABCD 的一条对角线BD 平移到CE 的位置,(1)试猜猜线段AE 与AD 、BC有怎样的数量关系?为什么?(2)ΔACE 是等腰三角形吗?为什么?19．如图,等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,AD=BC,对角线AC⊥BD 于O,若DC=4cm,AB=9cm ｡求梯形的高｡O DCB A A B CDE答案一、选择题1 ．B点拨:两三角形全等是两三角形,相似的一种特例,所以全等一定相似,但相似不一定全等.2 ．B3 ．B4 ．B5 ．C6 ．A;7 ．C 解析:如图所示,四边形ABCD的周长=AB+BE+DE+AD,△BCE的周长=BC+EC+BE,两者之差为2,即AB+BE+DE+AD-(BC+EC+BE)=AB+AD-BC=AB+3-7=2,所以AB=6.BEDC A8 ．A二、填空题9 ．略10．15 ;11．解析:如图所示,过点D分别作DF⊥BC于F点,DE∥AC交BC•延长线于点E.∵梯形ABCD,AD∥BC,∴四边形ACED是平行四边形,∴DE=AC,AD=CE.∵AB=CD,∴AC=BD(等腰梯形对角线相等),∴BD=DE.∵BD⊥AC,∴BD⊥DE,∴∠DBF=∠DEF=45°,∴DF=BF=FE.∴S梯形ABCD=12(AD+BC)DF=12BE×DF=12(2DF)×DF=DF2.∵DF=8,∴S梯形ABCD=64. 答案:64BE DC A F 12．323 13．AC=BD 等;14．菱形15．如图所示,过D 点作DE∥AB 交BC 于点E.∵AD∥BC,∴四边形ABED 是平行四边形,∴∠DEC=∠B,∴AB=ED,AD=BE.∵∠B=∠C=60°,AB=DC=24cm,∴△ECD 是等边三角形,∴CD=ED=E C=24cm.若AD=39cm,则BC=BE+EC=AD+EC=63cm;若BC=39cm,则AD=BE=BC-EC=15cm,且均符合三边关系定理,∴另一底长应为63cm 或15cm.答案:63cm 或15cmBE DC A 16．三、解答题 17．证明:在等腰梯形ABCD 中∵ AB ∥CD AD =CB ,∴ ∠DAB =∠CBA又 ∵∠CDA +∠DAB =180°∠CBA +∠CBE =180°∴∠CDA=∠CBE又∵ BE=DC∴△ADC ≌△CBE∴AC =CE18．(1) AE=AD+BC ∵BD平移到CE ∴ 四边形DBCE是平行四边形∴ DE=BC ∴AE=AD+DE=AD+BC ｡(2) ∵ BD=CE AC=BD ∴AC=CE ∴△ACE是等腰三角形｡19．解:过C作CE∥BD交AB的延长线于E,过C作CF⊥AB于FAB∥CD, CE∥BD∴CE=BD , BE=CD=4等腰梯形ABCD中,AC=BD ∴CE=ACAC⊥BD, CE∥BD ∴CE⊥AC∴△ACE是等腰直角三角形∴CF=12AE=12(AB+BE)∵AB=9cm ∴CF=12(9+4)=132cm即梯形的高为132cm｡。

梯形、等腰梯形及其性质、判定

梯形、等腰梯形及其性质、判定第1题. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC G ∥，是边AB 上的一点，过点G 作GE DC∥交BC 边于点E F ，是EC 的中点，连结GF 并延长交DC 的延长线于点H ．求证：BG CH =．答案：证明：四边形ABCD 为等腰梯形，B DCB ∴∠=∠． GE DC GEB DCB ∴∠=∠ ∥，． GEB B GB GE ∴∠=∠∴=．．在GEF △和HCG △中， GE DC GEF HCF ∴∠=∠ ∥，． F 是EC 的中点，FE FC ∴=．而GFE CFH ∠=∠（对顶角相等）， GEF HCF ∴△≌△． GE HC BG CH ∴=∴=，．第2题. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，2AB CD =，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结EF 、CE 、BF 、CF ．（1）判断四边形AECD 的形状（不需证明）；（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明；（3）若2CD =，求四边形BCFE 的面积．A D C H F E BGD C B AFE答案：（1）平行四边形；（2）BEF FDC △≌△或（AFB EBC EFC △≌△≌△）证明：连结DE ．∵2AB CD =，E 为AB 中点，∴DC EB∥．又∵AB BC ⊥，∴四边形BCDE 为矩形．∴90AED ∠=°．Rt ABE △中，60A ∠=°，F 为AD 中点，∴12AE AD AF FD ===． ∴AEF △为等边三角形．∴18060120BEF ∠=-=°°°．而120FDC ∠=°，得BEF FDC △≌△（S ．A ．S ．）（其他情况证明略）（3）若2CD =，则4AD =， DE BC ==23 ∵S △ECF ＝21AECD S ＝21CD ·DE ＝21×2×23＝23 CBE S △＝21BE ·BC ＝21×2×23＝23∴S 四边形BCFE ＝S △ECF +S △EBC ＝23+23＝43．第3题. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥， 6047B AD BC ∠===°，，，则梯形ABCD 的周长是．答案：17第4题. 如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．D CBA FEDCAB（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．答案：解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==．在Rt ABK △中，sin 454AK AB =︒== 2cos 454242BK AB =︒==在Rt CDH △中，由勾股定理得，22543HC =-=∴43310BC BK KH HC =++=++=（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-=由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG = 即10257t t -= 解得，5017t =C（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M N（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD == ∴535t t -= 解得258t =解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC = 即553t t -= ∴258t =③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t == 解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===- 解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ADCB MN（图③）（图④）AD CBM NH E（图⑤）ADCBH NMF∴FC MCHC DC = 即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形第5题. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD⊥于点O ，AE BC DF BC ⊥⊥，，垂足分别为E 、F ，设AD =a ，BC =b ，则四边形AEFD 的周长是（） A ．3a b +B ．2()a b +C ．2b a +D ．4a b +答案：A第6题. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．答案：解：（1）∵PE AB ∥DCABE FO∴DE DPDA DB=．而10DE t DP t ==-，， ∴10610t t -=， ∴154t =．∴当15(s)4t PE AB =，∥．（2）∵EF 平行且等于CD ， ∴四边形CDEF 是平行四边形．∴DEQ C DQE BDC ∠=∠∠=∠，． ∵10BC BD ==，∴DEQ C DQE BDC ∠=∠=∠=∠． ∴DEQ BCD △∽△．∴DE EQBC CD =． 104t EQ =． ∴25EQ t =．过B 作BM CD ⊥，交CD 于M ，过P 作PN EF ⊥，交EF 于N ．2210210049646BM =--==∵ED DQ BP t ===， ∴102PQ t =-．又PNQ BMD △∽△，PQ PNBD BM=， 10210t -=15t PN ⎫=-⎪⎭211212255255PEQ t S EQ PN t ⎫==⨯⨯-=-+⎪⎭△． F（3）11422BCD S CD BM ==⨯⨯=△ 若225PEQ BCD S S =△△，则有2225+=⨯，解得1214t t ==，．（4）在PDE △和FBP △中，10DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP ==⎫⎪==-⇒⎬⎪∠=∠⎭，，△≌△， ∴PDE PFCDE PFCD S S S =+△五边形四边形 FBP PFCD S S =+△四边形 86BCD S ==△．∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．第7题. 在梯形ABCD 中，//60306AB CD A B AD CD ∠=∠===，，，，则AB 的长度为（） A ．9B ．12C ．18D ．633+答案：C第8题. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求AB 的长．A D CB O答案：解：作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ． 90AE DF AEF ∴∠=∥，°． AD BC ∴ ∥，四边形AEFD 是矩形． 3EF AD AE DF ∴===，．BD CD DF BC =⊥ ，，DF ∴是BDC △的BC 边上的中线． 19042BDC DF BC BF ∠=∴=== °，． 4431AE BE BF EF∴==-=-=，．在Rt ABE △中，222AB AE BE =+ AB ∴==第9题. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，904514B C AD BC ∠=∠===°，°，，，E为AB 的中点，EF DC ∥交BC 于点F ，求EF 的长．答案：解法一：如图1，过点D 作DG BC ⊥于点G ． ∵90AD BC B ∠=∥，°， ∴90A ∠=°．可得四边形ABGD 为矩形． ∴1BG AD AB DG ===，． ∵4BC =，∴3GC =．∵9045DGC C ∠=∠=°，°， ∴45CDG ∠=°． ∴3DG GC ==． ∴3AB =．又∵E 为AB 中点，∴1322BE AB ==． ∵EF DC ∥， ∴45EFB ∠=°．在BEF △中，90B ∠=°．ADCBOEFA DBE CFA DB ECF 图1G∴sin 45BE EF ==°解法二：如图2，延长FE 交DA 的延长线于点G ． ∵AD BC EF DC ∥，∥，∴四边形GFCD 为平行四边形，1G ∠=∠． ∴GD FC =．∵23EA EB =∠=∠，， ∴GAE FBE △≌△． ∴AG BF =．∵14AD BC ==，，设AG x =，则BF x =，41CF x GD x =-=+，． ∴14x x +=-．解得32x =． 45C ∠= °， ∴145∠=°．在BEF △中，90B ∠=°，∴32cos 452BF EF ==°第10题. 下列命题中错误的是（） A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．一组对边平行的四边形是梯形答案：D第11题. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，∠AEB =60°， AB = AD = 2cm ，则梯形ABCD 的周长为（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cmA DBE CF 图2G3 1 2A D CB E答案：C第12题. 如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．答案：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当90α∠=°时，四边形EDBC 是菱形． ∵90ACB α∠=∠=°，∴BC ED ∥．∵CE AB ∥，∴四边形EDBC 是平行四边形．在RtABC △中，90602ACB B BC ∠=∠==°，°，， ∴30A ∠=°．∴4AB AC ==，∴12AO AC == 在Rt AOD △中，30A ∠=°，∴2AD =． ∴2BD =． ∴BD BC =．又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．第13题. 如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：CDF BGF △∽△；OCA （备用图）（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．答案：（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥， ∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，，∴CDF BGF △∽△．（2）由（1）CDF BGF △∽△，又F 是BC 的中点，BF FC = ∴CDF BGF △≌△， ∴DF FG CD BG ==，又∵EF CD ∥，AB CD ∥，∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+． ∴22462BG EF AB =-=⨯-=， ∴2cm CD BG ==．第14题. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若20A BC '∠=°，则A BD '∠的度数为（）． A ．15° B ．20° C ． 25° D ．30°答案：C第15题. 如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米2． ①求S 与x 之间的函数关系式（要指出自变量x 的取值范围），并求当S =时x 的值；D C FE A BG D C F EA BGD A C B（第9题图）A '②如果墙长为24米，试问S 有最大值还是最小值？这个值是多少？答案：解：（1）∵AB =CD =x 米，∴40(402)BC AB CD x =---米（2)①如图，过点B 、C 分别作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，在Rt △ABE 中，AB =x ．∠BAE =60° ∴AE =21x ．BE =23x ．同理DF =21x ，CF =23x ．又402EF BC x ==-∴124021240AD AE EF DF x x x x =++=+-+=-∴S =21（40-2x +40-x )·23x =43x （80-3x )= =3203432+-x （0＜x ＜20) 当S =393时，3203432+-x =393 解得：1x =6，2x =3220（舍去）．∴6x =（8分）②由题意，得40x -≤24．解得x ≥16，结合①得16<20x ≤由①，S=3203432+-x =33400)340(3432+--x∵a =433-＜0， ∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如右）．其对称轴为x =340，∵16＞340．由左图可知，当16≤x ＜20时，S 随x 的增大而减小．∴当x =16时，S 取得最大值．此时S 最大值=312816320163432=⨯+⨯-．第16题. 已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D 、C 不重合），点E 、F 、G 分别是线段BC 、PC 、BP 的中点．（1）试探索四边形EFP G 的形状，并说明理由；（2）若∠A =120°，AD =2，DC =4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形？并加以证明.答案：解：（1）四边形EFPG 是平行四边形．理由：∵点E F 、分别是BC PC 、的中点， ∴EF BP ∥．同理可证EG PC ∥．∴四边形EFPG 是平行四边形．（2）方法一：当3PC =时，四边形EFPG 是矩形．证明：延长BA CD 、交于点M ．∵AD BC ∥，AB CD =，120BAD ∠=°，∴60ABC C ∠=∠=°． ∴60M ∠=°，∴BCM △是等边三角形．∵18012060MAD ∠=-=°°°，∴2AD DM ==． ∴246CM DM CD =+=+=．∵3PC =，∴3MP =，∴MP PC =，∴BP CM ⊥即90BPC ∠=°．由（1）可知，四边形EFPG 是平行四边形， ∴四边形EFPG 是矩形．方法二：当3PC =时，四边形EFPG 是矩形．证明：延长BA CD 、交于点M ．由（1）可知，四边形EFPG 是平行四边形．当四边形EFPG 是矩形时，90BPC ∠=°．∵AD BC ∥，120BAD ∠=°，∴60ABC ∠=°．∵AB CD =，∴60C ABC ∠=∠=°．∴30PBC ∠=°且BCM △是等边三角形．∴30ABP PBC ∠=∠=°，∴12PC PM CM ==．同方法一，可得246CM DM CD =+=+=，∴1632PC =⨯=．即当3PC =时，四边形EFPG 是矩形．（其它方法可参照此答案给分）第17题. 如图，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点AA D PF C EG BA DPF CEGBM运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程；（2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．答案：解：（1）如图，过B 作BG OA G ⊥于，则222212151016913AB BG GA +=+-=（）过Q 作，于H OA QH ⊥则QP ==要使四边形P ABQ 是等腰梯形，则AB QP =，即,13)310(1442=-+tt ∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）（2）当2=t 时，410282OP CQ QB ==-==，，。

中考分类梯形、等腰梯形及其性质、判定(3)

8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（证明题，猜想探究题、证明题）第1题. （2008福建省福州市，7分）如图，在等腰梯形A B C D 中，A D B C ∥，M 是A D 的中点，求证：M B M C =．答案：证明：四边形A B C D 是等腰梯形， A B D C A D ∴=∠=∠，． M 是A D 的中点， A M D M ∴=．在A B M △和D C M △中，A B D C A D A M D M =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， A B M D C M ∴△≌△（SAS ）． M B M C ∴=．第2题. （2008广东广州，10分）如图，在菱形ABCD 中，60D AB ∠=°，过点C 作ACCE ⊥且与AB 的延长线交于点E ．求证：四边形AECD 是等腰梯形．答案：证法1：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC 平分∠DAB . ∵ ︒=∠60DAB ， ∴ ∠CAE 1302D A B ︒=∠=.∵ AC CE ⊥，∴ ∠E = 90°－∠CAE = 90°－30°= 60°. ∴ D A B E ∠=∠. ∵ AB //CD ，∴ 四边形AECD 是等腰梯形．证法2：连结BD ，D AB CE图1DABCE∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥，且A D A B =．由A D A B =，︒=∠60DAB ，得， △ABD 是等边三角形，即AB AD BD ==． ∵ AC BD ⊥且AC CE ⊥， ∴CE BD //．AB DC // ，∴四边形DBEC 是平行四边形． ∴B D E C =． ∴A D E C =．∴ 四边形AECD 是等腰梯形．证法3：设线段AD 和EC 的延长线交于点F ．∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC 平分∠DAB .∵ ︒=∠60DAB ， ∴ ∠CAE = 1302C A FD A B ︒∠=∠=.∵ AC CE ⊥，∴ ∠E =∠F = 90°－30°= 60°.∴ △AEF 是等边三角形，且点C 是EF 的中点．//D C A B，∴ 点D 是AF 的中点． ∴ 1122A D A F E F E C ===．∴ 四边形AECD 是等腰梯形．第3题. （2008广东省湛江市，5分）如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点O ．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．图2DABCE图3D ABCEF答案：解：∆ABC ≌∆DCB （2分）证明：∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ∴∠ABC =∠DCB （4分）在∆ABC 与∆DCB 中A B D C A B C D C BB C C B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆ABC ≌∆DCB （7分）（注：答案不唯一）第4题. （2008山东省，10分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点．求证：CE ⊥BE ．答案：证明: 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ． 1分∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， ∴ ∠D ＝∠A ＝∠CF A ＝90°． ∴四边形AFCD 是矩形． AD=CF , BF=AB-AF=1． 3分在R t △BCF 中， CF 2=BC 2-BF 2=8， ∴ CF=22．∴ AD=CF=22． 5分∵ E 是AD 中点， ∴ DE=AE=21AD=2． 6分在R t △ABE 和 R t △DEC 中， EB 2=AE 2+AB 2=6， EC 2= DE 2+CD 2=3，EB 2+ EC 2=9=BC 2． ∴ ∠CEB ＝90°． 9分 ∴ EB ⊥EC ． 10分第5题. （2008四川省重庆市，10分）已知：如图，在梯形A B C D 中，A DBC ∥，B CD C =，C F 平分B C D ∠，D F A B ∥，B F 的延长线交D C 于点E ．AC BD EA C DE F求证：（1）B F C D F C △≌△；（2）A D D E =．答案：证明：（1）C F 平分B C D ∠，B C F D C F ∴∠=∠．（1分）在B F C △和D F C △中，B C D C B C F D C F F C F C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，．（3分）B FCD F C ∴△≌△．（4分）（2）连结B D ．（5分）B FCD F C △≌△，B F D F ∴=， F B D F D B ∴∠=∠．（6分） D F A B ∥，A B D F D B ∴∠=∠． A B D F B D ∴∠=∠．（7分）A DBC ∥，BD A D B C ∴∠=∠． B C D C = ，D B C B D C ∴∠=∠． B D A B D C ∴∠=∠．（8分）又B D 是公共边，∴B A D B E D △≌△．（9分）A D D E ∴=．（10分）8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（猜想探究题）第1题. （2008四川省成都市，10分）已知：在梯形A B C D 中，A D B C ∥，A B D C =，E F ，分别是A B 和B C 边上的点．（1）如图①，以E F 为对称轴翻折梯形A B C D ，使点B 与点D 重合，且D F B C ⊥．若4A D =，8B C =，求梯形A B C D 的面积A B C D S 梯形的值；（2）如图②，连结E F 并延长与D C 的延长线交于点G ，如果F G k E F = （k 为正数），试猜想B E 与C G 有何数量关系？写出你的结论并证明之．答案：（1）解：由题意，有B E F D E F △≌△．AD E B C 图①B 图② F GCD A EB F D F ∴=．1分如图，过点A 作A G B C ⊥于点G ．则四边形A G F D 是矩形．4A G D F G F A D ∴===，．在R t A B G △和R t D C F △中， A B D C = ，A G D F =， R t R t A B G D C F ∴△≌△．（HL ） B G C F ∴=．2分11()(84)222B G BC G F ∴=-=-=．246D F B F B G G F ∴==+=+=． 2分 11()(48)63622A B C D S A D B C D F ∴=+=⨯+⨯= 梯形． 1分（2）猜想：C G k =B E （或1B E C G k=）．1分证明：如图，过点E 作E H C G ∥，交B C 于点H ．则F E H F G C ∠=∠．又E F H G F C ∠=∠， E F H G F C ∴△∽△．E F E H G FG C∴=．而F G k E F = ，即G F k E F=．1E H G Ck∴=．即C G k E H = ． 2分E H C G ∥，E H B D C B ∴∠=∠．而A B C D 是等腰梯形，B D C B ∴∠=∠．B E H B ∴∠=∠．B E E H ∴=．C G k B E ∴= ． 1分3.矩形、菱形、正方形及其性质、判定（证明题）第1题. （2008贵州省贵阳市，10分）如图，在A B C D 中，E F ，分别为边A B C D ，的中点，连接D E B F B D ，，．（1）求证：A D E C B F △≌△．（5分）（2）若AD BD ⊥，则四边形B F D E 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）B FG C DA EHA BC D EF答案：（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点 ∴AE =CF2分在A E D △和C F B △中，A D C B A C A E C F =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(S A S)A E D C F B ∴△≌△．5分（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形． 1分证明：A D B D ⊥ ，A B D ∴△是R t △，且A B 是斜边（或90A D B ∠=）2分E 是A B 的中点，12D E A B B E ∴==． 3分由题意可知E B D F ∥且E B D F =， ∴四边形B F D E 是平行四边形， ∴四边形B F D E 是菱形． 5分第2题. (2008湖北省黄冈市,7分)已知：如图，点E 是正方形A B C D 的边A B 上任意一点，过点D 作D F D E ⊥交B C 的延长线于点F ．求证：D E D F =．答案：证明：四边形A B C D 是正方形，A D C D = ，A D C F ∠=∠=90A D C ∠=，（2分）D F DE ⊥ ，90E DF ∴∠=．（3分）A D C E D F ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠．12∴∠=∠．（5分）在A D E △与C D F △中12A D C D A D C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，A D E C D F ∴△≌△．（6分） D E D F ∴=．（7分）（图8）ABCDEFA EB CF D 123 A E BCFD 123第3题. （2008湖北省咸宁市，8分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．答案：解（1）证明： ∵CE 平分BAC ∠， ∴12∠=∠，又∵MN ∥BC ， ∴13∠=∠， ∴32∠=∠， ∴E O C O =． 2分同理，F O C O =． 3分 ∴ E O F O =． 4分（2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形． 5分∵E O F O =，点O 是AC 的中点． ∴四边形AECF 是平行四边形． 6分又∵12∠=∠，45∠=∠． ∴124180902∠+∠=⨯︒=︒，即90E C F∠=︒． 7分 ∴四边形AECF 是矩形．8分第4题. （2008江苏省南京市，6分）如图，在中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．答案：证明：（1）∵BE ＝CF ， BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ，∴ BF ＝CE ．……………………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ．……………………………2分在△ABF 和△DCE 中，∵AB ＝DC ， BF ＝CE ，AF ＝DE ，∴△ABF ≌△DCE ． …………………3分（2）解法一：∵△ABF ≌△DCE ，∴∠B ＝∠C ． ………………………4分 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ．A BC E F M N O (第19题图）A BC E F MN O (第19题图）12345A B D C E F∴∠B＋∠C＝180°．∴∠B＝∠C＝90°．……………………5分∴四边形ABCD是矩形．………………6分解法二：连接AC，DB．∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC．∴∠AFC＝∠DEB．……………………4分在△AFC和△DEB中，∵AF＝DE，∠AFC＝∠DEB，CF＝BE，∴△AFC≌△DEB．∴AC＝DB．……………………………5分∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．……………6分第5题.（2008湖南省湘潭市，6分）如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.（2）请证明上面的结论.答案：解：（1）A D C F=. ………………………………………………………………………2分（2）四边形A B C D是矩形，∴∠=∠∴== (3)A E D F D C D E ABC D,分又,90, (4)C FDE CF D A⊥∴∠=∠=︒分A D E F C D (5)∴≅∆分A D C F∴= (6)分第6题.（2008江西省南昌市，4分）如图，把矩形纸片A B C D沿E F折叠，使点B落在边A D 上的点B'处，点A落在点A'处；（1）求证：B E B F'=；（2）设A E a A B b B F c，，之间的一种关系，并给予证明．，，，试猜想a b c===答案：（1）证：由题意得B F B F '=，B F E B F E '∠=∠， 1分在矩形A B C D 中，A D B C ∥， B E F B F E '∴∠=∠， B F E B E F ''∴∠=∠． 2分 B F B E ''∴=． B E B F '∴=．3分（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=． 4分证：连结B E ，则B E B E '=．由（1）知B E B F c '==，B E c ∴=．5分在A B E △中，90A ∠=，222A E AB B E ∴+=．A E a = ，AB b =，222a b c ∴+=．6分（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>． 4分证：连结B E ，则B E B E '=．由（1）知B E B F c '==，B E c ∴=． 5分在A B E △中，A E A B B E +>， a b c ∴+>．6分说明：1．第（1）问选用其它证法参照给分；2．第（2）问222a b c +=与a b c +>只证1种情况均得满分；3．a b c ，，三者关系写成a c b +>或b c a +>参照给分．第7题. （2008内蒙古自治区赤峰市，10分）如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形A B C D 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．ABCDFA 'B 'EAB CD FA 'B ' EABCDFA 'B 'EA B C D答案：答：四边形A B C D 是菱形．（不写已知、求证不扣分）（2分）证明：由A D B C ∥，A B C D ∥得四边形A B C D 是平行四边形（4分）过A C ，两点分别作A E B C ⊥于E ，C F A B ⊥于F ．90C F B A E B ∴∠=∠=．（6分）A E C F = （纸带的宽度相等）AB EC B F ∠=∠， R t R t A B E C B F ∴△≌△ （8分）A B B C ∴=∴四边形A B C D 是菱形（10分）第8题. （2008青海省，8分）如图，在A B C △中，D 是B C 边上的一点，E 是A D 的中点，过点A 作B C 的平行线交B E 的延长线于F ，且A F D C =，连接C F ．（1）求证：D 是B C 的中点；（2）如果A B A C =，试猜测四边形A D C F 的形状，并证明你的结论．答案：（1）证明：A F B C ∥， A F E D B E ∴∠=∠．（1分）E 是A D 的中点， A E D E ∴=．又A E F D E B ∠=∠ ， A E F D E B ∴△≌△．（2分） A F D B ∴=．（3分）A F D C = ， DB DC ∴=．即D 是B C 的中点．（4分）（2）解：四边形A D C F 是矩形，（5分）证明：A F D C ∥，A F D C =， ∴四边形A D C F 是平行四边形．（6分）A B A C = ，D 是B C 的中点， A D B C ∴⊥．即90A D C ∠=．（7分）∴四边形A D C F 是矩形．（8分）B A FC ED FDA第9题. （2008山东省聊城市，8分）如图，矩形A B C D 中，O 是A C 与B D 的交点，过O 点的直线E F 与A B C D ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：B O E D O F △≌△；（2）当E F 与A C 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．答案：（1）证明：四边形A B C D 是矩形， O B O D ∴=（矩形的对角线互相平分），A E C F ∥（矩形的对边平行）．E F ∴∠=∠，O B E O D F ∠=∠．B O E D O F ∴△≌△（A ．A ．S ）． 4分（2）当E F A C ⊥时，四边形A E C F 是菱形． 5分证明：四边形A B C D 是矩形，O A O C ∴=（矩形的对角线互相平分）．又由（1）B O E D O F △≌△得，O E O F =，∴四边形A E C F 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 6分又E F A C ⊥， ∴四边形A E C F 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 8分（注：小括号内的理由不写不扣分）．第10题. （2008山东省青岛市，8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′ ，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．（1）证明：（2）解：答案：证明：（1） ∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠BCD=90°． ∵∠BCD +∠DCE=180°， ∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE ， F D O B E A FD OB E AA BE ′∴△BCG≌△DCE．………………………4′（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90︒得到△DAE ′，∴CE=AE ′．∵CE=CG，∴CG=AE ′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE ′∥DG，AB=CD．∴AB－AE ′=CD－CG，即BE ′=DG．∴四边形DE ′BG是平行四边形．……………………8′第11题. （2008四川省宜宾市，8分）已知：如图，菱形A B C D中，E F，分别是C B C D，上的点，且B E D F=．（1）求证：A E A F=．（2）若60B∠= ，点E F，分别为B C和C D的中点．求证：A E F△为等边三角形．答案：证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，B D∠=∠，又∵BE=D F∴A B E△≌A D F△∴AE=AF(2)连接AC∵AB=BC，60B∠=︒∴A B C∆是等边三角形，E是BC的中点∴AE⊥BC，∴906030B A E︒∠=︒-=︒，同理30D A F∠=︒∵120B A D∠=︒∴60E AF B A D B A E D A F∠=∠-∠-∠=︒又∵AE=AF∴A E F△是等边三角形．AB DE F第12题. （2008新疆乌鲁木齐市，12分）如图，在四边形A B C D 中，点E 是线段A D 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是B E B C C E ，，的中点．（1）证明四边形E G F H 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若E F B C ⊥，且12EF BC =，证明平行四边形E G F H 是正方形．答案：证明：（1）在B E C △中，G F ，分别是B E B C ，的中点G F E C ∴∥且12G F E C =3分又H 是E C 的中点，12E H E C =，G F E H ∴∥且G F E H =4分∴四边形E G F H 是平行四边形6分（2）证明：G H ，分别是B E E C ，的中点G H B C ∴∥且12G H B C =8分又E F B C ⊥ ，且12E F B C =，E F G H ∴⊥，且E F G H =10分∴平行四边形E G F H 是正方形．BGA EFHD。

梯形(中考专题复习)

A D A B D
∟
B
E
C
E E
A
D
B
C
E B C
∟
F
C
A
D
知识梳理
5.梯形中常用的辅助线：
E
A
A D
D
A
D
A
D
B
B C
E
F
C
B
E
C
B
C
E
延腰
作高
A
D
平移腰
D F CB AFra bibliotek平移对角线
D E C F
A
E
B C
B
连对角线
连中位线
连一腰中点并延长
尝试4
1.已知：如图所示，AB∥CD，AE⊥DC， AE=12，BD=15，AC=20，则梯形ABCD 的面积是 ( C )
A D F
B
H
C
典型例题解析
例3：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5 AB=7，BC=12，求∠B的度数。
分析：解决提醒问题的方法常常是把梯形化为平行四边形和三角形。平移腰DC即可。
解：过点A做AE ∥DC，交BC于点E， ∵ AD∥BC ， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵ EC=AD=5，AE=DC=AB=7 ∴BE=BC-EC=12-5=7
等腰梯形的有关概念,性质和应用.
（２）在梯形学习中,我们经常使用哪一种数学思想?
转化思想
学会利用分割、拼补的方法解决梯形问题.

2. 等腰梯形的性质和判定
性质
边角
两底边平行,两腰相等
判定
两腰相等的梯形是等腰梯形
同一底上的两个角相等

中考真题分类汇编_梯形、等腰梯形及其性质、判定

8.梯形、等腰梯形及其性质、判定第1题. （2007北京课标，5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高．答案：解：作DF BC ⊥于点F ．因为AD BC ∥，所以12∠=∠．因为AB AD =，所以23∠=∠．所以13∠=∠．又因为AB DC =，60C ∠= ，所以11133022ABC C ∠=∠=∠=∠= ．又因为AE BD ⊥于点E ，1AE =，所以2AB DC ==．在Rt CDF △中，由正弦定义，可得DF =．所以梯形ABCD第2题. (2007福建福州课改,3分)下列命题中，错误的是（） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等答案：ＢBCBC第3题. (2007福建福州课改,4分)如图，45AOB ∠= ，过OA 上到点O 的距离分别为1357911 ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标出一组黑色梯形的面积（如图所示1234S S S S ，，，，）写出第10个黑色梯形的面积10S = ．答案：76第4题. （2007福建三明课改，4分）用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③ 答案：B第5题. （2007甘肃兰州课改，4分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（）Ａ．等腰梯形Ｂ．直角梯形Ｃ．矩形Ｄ．菱形答案：Ｄ第6题. （2007广东河池非课改，2分）已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是．答案：5＜a ＜9第7题. （2007广西玉林课改，2分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠=．答案：120第8题. （2007湖南郴州课改，8分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ．求证：EM =EN答案：因为AD ∥BC ，AB =DC ，所以B C ∠=∠……………………………2分因为,,EM AB EN CD ⊥⊥所以90BME CNE ∠=∠=︒……………3分在Rt △BME 和Rt △CNE 中，BME CNE B C BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以Rt △BME ≌ Rt △CNE ………………………7分所以EM ＝EN …………………………………8分ENMDCBA第9题. （2007河南课改，3分）如图，在直角梯形ABCD 中，1cm 2cm AB CD AD CD AB AD ==∥，⊥，，，4cmCD =，则BC =cm ．第10题. （2007湖北十堰课改，3分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（） A ．矩形 B ．菱形C ．梯形D ．平行四边形答案：Ｃ第11题. （2007湖北宜昌课改，3分）如图，四边形ABCD 是矩形，F是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（）Ａ．AE FC =Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠Ｄ．BE AF =BCDAACD F E答案：D第12题. (2007湖南长沙课改，3分)下列说法正确的是（） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直C ．等腰梯形的对角线相等D ．对角线互相垂直的四边形是菱形答案：C第13题. (2007湖南怀化课改,2分)如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．答案：平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种均给满分）第14题. （2007湖南娄底课改，3分）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪开后，可以拼成的四边形是（） A ．矩形或等腰梯形 B ．矩形或平行四边形 C ．平行四边形或等腰梯形A DECBD ．矩形或等腰梯形或平行四边形答案：D第15题. （2007江苏连云港课改，8分）已知：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为点D ，E ，连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形．答案：证明：在等腰ABC △中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠． CE AB ⊥ ，BD AC ⊥，90BEC CDB ∴∠=∠= ．又BC CB =， BEC CDB ∴△≌△． 3分BE CD ∴=．AE AD ∴=．AED ADE ∴∠=∠．AED ABC ∴∠=∠．ED BC ∴∥． 5分又BE CD ，不平行，∴四边形BCDE 是梯形．7分 ∴四边形BCDE 是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形） 8分第16题. （2007江西课改，7分）如图，在正六边形ABCDEF 中，对角线AE 与BF 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．（1）观察图形，写出图中两个不同形状．．．．的特殊四边形；（2）选择（1）中的一个结论加以证明．AD CB E答案：解：（1）矩形ABDE ，矩形BCEF ；或菱形BNEM ；或直角梯形BDEM ，AENB 等． 4分（2）选择ABDE 是矩形．证明：ABCDEF 是正六边形，120AFE FAB ∴== ∠∠，30EAF ∴= ∠，90EAB FAB FAE ∴=-= ∠∠∠． 5分同理可证90ABD BDE == ∠∠．∴四边形ABDE 是矩形．7分选择四边形BNEM 是菱形．证明：同理可证：90FBC ECB == ∠∠，90EAB ABD == ∠∠，BM NE ∴∥，BN ME ∥．∴四边形BNEM 是平行四边形．BC DE = ，30CBD DEN == ∠∠，BNC END =∠∠， BCN EDN ∴△≌△． BN NE ∴=．∴四边形BNEM 是菱形． 7分选择四边形BCEM 是直角梯形．证明：同理可证：BM CE ∥，90FBC = ∠，又由BC 与ME 不平行，得四边形BCEM 是直角梯形． 7分第17题. （2007江西南昌课改，3分）下列三角形纸片，能沿直线剪一刀得到等腰梯形的是（）答案：B第18题. （2007辽宁12市课改，3分）把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（）A ．（cm B ．（cm C ．22cm D ．18cm 答案：A第19题. （2007内蒙呼和浩特课改，3分）如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC BD =，120A ∠= ．则C ∠=50 70A ．50 80B ．50100C ．50 D ．C度．答案：75第20题. （2007山东聊城课改，4分）如图1，ABC △是直角三角形，如果用四张与ABC △全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那么在Rt ABC △中，ACAB的值是．答案：2第21题. (2007山东青岛课改,3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB CD∥，对角线AC平分602cm BAD B CD ∠∠== ，，，则梯形ABCD 的面积为（）2cm A． B ．6 C． D ．12答案：A第22题. （2007山东泰安课改，8分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，BAD ∠的平分线AE 交BC 于E F G ，，分别是AB AD ，的中点．（1）求证：EF EG =；（2）当AB 与EC 满足怎样的数量关系时，EG CD ∥？并说明理由．ACB图1图2B答案：（1）证明：AD BC ∥DBC ADB ∴∠=∠又ABD DBC ∠=∠ABD ADB ∴∠=∠ AB AD ∴=2分又12AF AB = ，12AG AD =AF AG ∴=3分又BAE DAE ∠=∠ ，AE AE =AFE AGE ∴△≌△EF EG ∴= 5分（2）当2AB EC =时，EG CD ∥6分2AB EC = 2AD EC ∴=12GD AD EC ∴==7分又GD EC ∥∴四边形GECD 是平行四边形EG CD ∴∥8分ＢＥＣＤＧＡＦＢＥＣＤＧＡＦ第23题. （2007山东潍坊课改，3分）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，45B = ∠，120D = ∠，8cm AB =，则DC 的长为（） A．3B．cm 3C． D ．8cm答案：A第24题. （2007山西临汾课改，3分）在等腰梯形ABCD中，5AB DC AD BC ==∥，，713DC AB ==，，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（）A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s 答案：A第25题. （2007山西太原课改，8分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，E F ，是边AB 上两点，且AE BF =，DE 与CF 相交于梯形ABCD 内一点O ．（1）求证：OE OF =；（2）当EF CD =时，请你连接DF CE ，，判断四边形DCEF 是什么样的四边形，并证明你的结论．ABCDABQAB CDOF E答案：（1）证明：梯形ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，∴AD BC =，A B ∠=∠． 2分AE BF =， ∴ADE BCF △≌△．3分 ∴DEA CFB ∠=∠．∴OE OF =．4分（2）当DC EF =时，四边形DCEF 是矩形． 5分证明： DC EF ∥且DC EF =．∴四边形DCEF 是平行四边形．6分又由（1）得ADE BCF △≌△，∴CF DE =．7分 ∴四边形DCEF 是矩形．8分评分说明：判断四边形DCEF 为平行四边形，并说理正确的，得2分第26题. （2007四川德阳课改，2分）如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，110A = ∠，则C =∠（）Ａ．90 Ｂ．80Ｃ．70Ｄ．60答案：Ｃ第27题. （2007四川绵阳课改，4分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1 =BFEAD CB35︒，则∠D = ．答案：110︒第28题. (2007浙江嘉兴课改,8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是AD 延长线上一点，DE BC =．（1）求证：E DBC ∠=∠；（2）判断ACE △的形状（不需要说明理由）．答案：（1）AD BC ∵∥，BCD EDC ∠=∠∴． 1分BC DE =∵，BCD EDC ∠=∠，CD DC =， BCD EDC ∴△≌△． 3分 E DBC ∠=∠∴．2分另证：DE BC ∵∥，DE BC =， 2分 BCED ∴是平行四边形．2分 E DBC ∠=∠∴．2分DA BCE（2）ACE△是等腰三角形．2分第29题. (2007 浙江宁波课改，3分)面积为l个平方单位的正三角形，称为单位正三角形．下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点．在图1、2、3中分别画出一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点在格点、面积都为l2个平方单位．答案：每画出一个(与顺序无关)正确的给l分，答案不唯一，下图供参考：第30题. （2007浙江舟山课改，8分）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．答案：③——相邻两边垂直； ④——相邻两边相等； ⑤——相邻两边相等； ⑥——相邻两边垂直； ⑦——两腰相等； ⑧——一条腰垂直于底边．第31题. (2007湖南邵阳课改，3分)如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB CD AD ===cm ，60B ∠=°，则梯形ABCD 的周长为 cm ．答案：10第32题. (2007湖南张家界课改，3分)沿着虚线将矩形剪成两部分，既能拼成三角形又能拼成梯形的是（）B CＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：D第33题. (2007黑龙江非课改，6分)在数学活动课上，小明做了一梯形纸板，测得一底为10cm ，高为12cm ，两腰长分别为15cm 和20cm ，求该梯形纸板另一底的长．答案：解：不妨设10cm AD =，15cm AB =，20cm CD =，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．12cm AE DF ==，10cm EF AD ==．在Rt ABE △中，9(cm)BE == 同理可求16cm CF =．分三种情况：（1）如图1，35(cm)BC BE EF CF =++=ADCF EB图１ADCF EB 图2ADC FE B 图3（2）如图2，17(cm)BC EF BE CF =-+= （3）如图3，3(cm)BC BE EF CF =+-=综上所述，该梯形纸板另一底的长为35cm 或17cm 或3cm ．第34题. (2007青海课改，3分)在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点，则四边形EFGH 是（） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形答案：Ｃ第35题. (2007新疆课改，8分)已知直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，90DAB ∠= ，12AD DC AB ==，E 是AB 的中点．（1）求证：四边形AECD 是正方形．（2）求B ∠的度数．答案：（1）证明：E 是AB 的中点，ＤＣＥＡＢ12AE AB DC ∴==AB CD ∥，AE DC ∴∥∴四边形AECD 是平行四边形90DAE ∠= ，AECD ∴是矩形AD DC = ，∴矩形AECD 是正方形（2）四边形AECD 是正方形，45CAE ∴∠=CE 垂直平分AB ，CA CB ∴=45B CAE ∴∠=∠=。

中考分类梯形、等腰梯形及其性质、判定(1)

8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（选择题、填空题、计算题）第1题. （2008甘肃省兰州市，4分）把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（）A ．(10+cmB．(10+cmC ．22cmD ．18cm答案：A第2题. (2008湖北省黄冈市,3分)(多选)如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD AD ==，AC BD ，相交于O 点，60BCD ∠=，则下列说法正确的是（）A ．梯形ABCD 是轴对称图形B ．2BC AD =C ．梯形ABCD 是中心对称图形 D ．AC 平分DCB ∠ 答案：ABD第3题. （2008江苏省南通市，4分）下列命题正确的是【】A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是等腰梯形答案：C第4题. （2008江西省南昌市，3分）如图，在ABCD 中，E 是BC的中点，且∠AEC =∠DCE ，则下列结论不正确．．．的是（） A ．2AFD EFB S S =△△ B ．12BF DF =C ．四边形AECD 是等腰梯形 D ．AEB ADC ∠=∠答案：A第5题. （2008内蒙古呼和浩特市，3分）如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于（） A ．6B ．8C ．4D ．3cm3cmADOC BA D答案：A第6题. （2008山东省潍坊市，3分）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，BC BD =，100A =∠，则C =∠（）A ．80B ．70C ．75D ．60答案：C第7题. （2008四川省乐山市，3分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是边CD 的中点，若52AB AD BC BE =+=，，则梯形ABCD 的面积为（）A ．254B ．252C ．258D ．25答案：A第8题. （2008浙江省绍兴市，4分）如图，沿虚线EF 将ABCD 剪开，则得到的四边形ABFE 是（） A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形答案：A8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（填空题）第1题. （2008甘肃省白银九市，4分）如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形.对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．答案：答案不唯一. 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．第2题. （2008海南省，3分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，AB =6cm ，则AE = cm . 答案：6第3题. （2008辽宁省大连市，3分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 上一点，DE ∥AB ，AD 的长为1，BC 的长为2，则CE 的长为 ________．答案：1D A BAD ECBD CFB A E A BC E D第4题. （2008内蒙古自治区包头市，3分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥且AC BD ⊥于E ，2AD =，8BC =，则该梯形的面积为．答案：25第5题. （2008青海省，2分）已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是 cm ；等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AD =cm ，9BC =cm ，60C ∠=，则梯形的腰长是 cm ．4第6题. （2008山东省泰安市，3分）若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60，则该等腰梯形的面积为（结果保留根号的形式）．答案：第7题. （2008山西省太原市，2分）在梯形ABCD 中，3AD BC AB DC ==∥，，沿对角线BD 翻折梯形ABCD ，若点A 恰好落在下底BC 的中点E 处，则梯形的周长为．答案：15第8题. （2008浙江省，5分）如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．（1）当AE =5，P 落在线段CD 上时，PD = ；（2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于．答案：（1）2,（2）8第9题. （2008浙江省义乌市，4分）如图，直角梯形纸C片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．（1）当AE =5，P 落在线段CD 上时，PD = ；（2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于．答案：（1）2 （2）8第10题. （2008贵州省毕节地区，5分）如右图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，EF 是梯形的中位线，DH 为梯形的高，则下列结论正确的有（填序号）．①四边形EHCF 为菱形 ②60BCD ∠= ③12BEH CEH S S =△△ ④以AB 为直径的圆与CD 相切于点F 答案：①②③8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（计算题）第1题. （2008北京市，5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，AD =，BC =DC 的长．解：答案：解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．1分 ∴AE DF ∥．又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．EF AD ∴== 2分AB AC ⊥，45B ∠=，BC = AB AC ∴=．12AE EC BC ∴===DF AE ∴==CF EC EF =-=4分AD FE BHCA BCDA BCDFE 图1在Rt DFC △中，90DFC ∠=，DC ∴===5分解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． 1分AB AC ⊥，90AED BAC ∴∠=∠=． AD BC ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=．在Rt ABC △中，90BAC ∠=，45B ∠=，BC =sin 45424AC BC ∴=== 2分在Rt ADE △中，90AED ∠=，45DAE ∠=，AD =1DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=．4分在Rt DEC △中，90CED ∠=，DC ∴===． 5分第2题. （2008黑龙江省黑河市，6分）有一底角为60的直角梯形，上底长为10cm ，与底垂直的腰长为10cm ，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm ，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．答案：解：当15BE =cm 时，ABE △的面积是250cm ；当15CF =cm 时，BCF △的面积是275cm ；当15BE =cm 时，BCE △的面积是2cm ．（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）第3题. （2008内蒙古呼伦贝尔市，6分）如图：在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=，AE BD ⊥于E ，1AE =．求梯形ABCD 的高．ABCDFE图2B答案：解：AD BC ∥，23∴∠=∠又AB AD = 13∴∠=∠，60ABC C ∠=∠=1230∴∠=∠=2分在Rt ABE △中，1AE =，130∠=，2AB ∴=4分作AF BC ⊥垂足为F ，在Rt ABF △中，sin 602AF AB === 所以梯形ABCD ． 6分ADC B EF1 2 3。

《梯形、等腰梯形及其性质、判定》2005年中考试题集锦

《梯形、等腰梯形及其性质、判定》2005年中考试题集锦第1题. （2005 桂林课改）下列四个图形缺口都能与右边的图形缺口吻合，哪个图形能与右边残缺的图形拼成一个梯形（）答案：Ｃ第2题. （2005 贵阳课改）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD ⊥，且8AC =cm ，6BD =cm ，则此梯形的高为 cm ．答案：245（或4.8）第3题. （2005 长沙课改）下列说法正确的是( ) Ａ、等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．Ｂ、正方形的对角线互相垂直平分且相等．Ｃ、矩形是轴对称图形且有四条对称轴．Ｄ、菱形的对角线相等．答案：B第4题. （2005 常州课改）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，8AD BC ==，10AB =，6CD =，则梯形ABCD 的面积是（）（A ）1516 （B ）516 （C ）1532 （D ）1716答案：A第5题. （2005 南京课改）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称：．答案：平行四边形、矩形、等腰梯形三个中任意写出其中的两个即可第6题. （2005 成都课改）用两个全等的直角三角形一定能拼出的图形是（）Ａ．等腰梯形Ｂ．直角梯形Ｃ．菱形Ｄ．矩形答案：Ｄ 118o140o Ａ128o 130o 118o130o 138o 150o 62o 50oＢＣＤ D ABＤＡＥＣ第7题. （2005 泉州大纲）下面命题错误．．的是（）Ａ．等腰梯形的两底平行且相等Ｂ．等腰梯形的两条对角线相等Ｃ．等腰梯形在同一底上的两个角相等Ｄ．等腰梯形是轴对称图形答案：Ａ第8题. （2005 漳州大纲）如图，一铁路路基的横截面是等腰梯形，根据图中数据计算路基的高为 m ．答案：5第9题. （2005 河南大纲）如图，梯形ABCD 中，1AD BC AB CD AD ===∥，，60B ∠=o ，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC PD +的最小值为．第10题. （2005滨州大纲）如图，是一个风筝的平面示意图，四边形ABCD 是等腰梯形，E F G H 、、、分别是各边的中点，假设图中阴影部分所需布料的面积为1S ，其它部分所需布料的面积之和为2S （边缘外的布料不计），则(A)12S S > (B)12S S <(C)12S S =(D) 不确定答案：C第11题. （2005滨州大纲）梯形的两底角之和为90o，上底长为３，下底长为７，连结两底中点的线段的长是 (A)２ (B)３ (C)４ (D)５答案：A第12题. （2005威海大纲）如图：梯形纸片6026ABCD B AD BC AB AD BC ∠====o，，∥，，．将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE = ．CBAE DCG答案：4第13题. （2005烟台大纲）如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，E 是AD 中点，EF CB ∥交AB 于F ，4BC =cm ，则EF 的长等于 ( )Ａ．1.5cm Ｂ．2cm Ｃ．2.5cm Ｄ．3cm答案：B第14题. （2005 天津大纲）如图，已知五边形ABCDE 中，AB ED ∥，90A B ∠=∠=o，则可以将该五边形ABCDE 分成面积相等的两部分的直线有_________条，满足条件的直线可以这样确定：______________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________．答案：无数．例如，过点C 作与AB 平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分；设该直线与边DE ，AB 的交点分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为O ，则经过点O 且与边DE ，AB 相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分第15题. （2005 安徽混合）用两个完全相同的直角三角板，不能．．拼成下列图形的是（）Ａ．平行四边形Ｂ．矩形Ｃ．等腰三角形Ｄ．梯形答案：Ｄ第16题. （2005形拼成一个等腰梯形．要求：（1）按11∶的比例画出所拼的图形．（2）简要写出拼图过程．BCD AEF答案：（1）按比例画出正方形按比例画出所拼的梯形（正方形的对角线，虚、实均可给分）（2）拼图过程是：①先将两直角三角形斜边重合，拼成一个正方形②再将另外两直角三角形的直角边分别与正方形的一组对边重合，对称地拼放在正方形两侧即可得到如图所要求的等腰梯形第17题. （2005 四川课改）如图，梯形ABCD 中，120AD BC AB DC ADC =∠=o∥，，，对角线CA 平分DCB ∠，E 为BC 的中点，试求DCE △与四边形ABED 面积的比．答案：解：120AD BC ADC ∠=oQ ∥，， 60.DCE ∴∠=o1230CA DCB ∠∴∠=∠=oQ 又平分，． 30CAD AD DC ∴∠=∴=o，． 120AB DC BAD ADC =∴∠=∠=oQ ，， 90BAC ∴∠=o．在230ABC ∠=oRt △中，，2AB BC ∴=．E Q 为BC 的中点，BE EC AD ∴==． ∴四边形ABED 为平行四边形． DCE ∴△与四边形ABED 面积的比为1:2．第18题. （2005 包头大纲）如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）A ＤＢ EAＤＢE1 2Ａ．只有①和②相等Ｂ．只有③和④相等Ｃ．只有①和④相等Ｄ．①和②，③和④分别相等答案：Ｄ第19题. （2005 山东大纲）如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB DC ∥．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．（1）求四边形ABCD 四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．答案：（1）如图，123∠=∠=∠，123360∠+∠+∠=o ，所以31360∠=o ，即1120∠=o．所以梯形的上底角均为120o，下底角均为60o．（2）由于EF 既是梯形的腰，又是梯形的上底可知，梯形的腰等于上底．连接MN ，则180120302FMN FNM -∠=∠==o oo ，从而30HMN ∠=o，90HNM ∠=o．所以12NH MH =．因此梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．（3）能拼出菱形．如图第20题. （2005 长沙大纲）下列说法中，正确的是（）Ａ．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形Ｂ．正方形的对角线互相垂直平分且相等Ｃ．矩形是轴对称图形且有四条对称轴Ｄ．菱形的对角线相等 A B图甲图乙231MHF NE第21题. （2005 海南大纲）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60C ∠=o，10AD =，18AB =．求BC 的长．答案：解法1：如图1，过D 点作DE ∥AB 交BC 于E ． ∵AD ∥BC ， ∴10BE AD ==，18DE AB DC ===．∵60B C ∠=∠=o，∴18EC DC DE ===．∴101828BC BE EC =+=+=．解法2：如图2，分别过A ，D 两点作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 和F∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴60B C ∠=∠=o，10EF AD ==，30BAE CDF ∠=∠=o． ∴Rt Rt ABE DCF △≌△， ∴192BE CF AB ===，∴BC =BE +EF +910928FC =++=．解法3：如图3，分别延长BA ，CD 交于点E ．∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴60B C ∠=∠=o，60EAD EDA ∠=∠=o，∴EBC △与EAD △均为等边三角形， ∴181028BC BE AB AE AB AD ==+=+=+=．解法4：如图4，过C 作CE ∥BA 交AD 的延长线与点E ．∵AD ∥BC ，∴四边形ABCE 是平行四边形，60C CDE ∠=∠=o∴18AB EC DC ===， ∴DEC △是等边三角形，18DE AB ==，∴101828BC AD DE =+=+=．第22题. （2005 杭州大纲）如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，以斜边AB为一边作等边△ABD ，使点C ，D 在AB 同侧，再以CD 为一边作等边△CDE ，使点C ，E 在AD 的异侧，若AE =1，则CD 的长为（） 1 Ｂ． 12Ｄ．2A BCDA B CD图2 E F A C D图3 EA B C D 图4 EA B CD图1E第23题. （2005 梅州）一组对边平行，并且对角线互相垂相等的四边形是（） A ．菱形或矩形 B ．正方形或等腰梯形C ．矩形或等腰梯形D ．菱形或直角梯形答案：B第24题. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 、BD 相交于点O ，有如下五个结论：①AOD BOC △∽△； ②DAC DCA ∠=∠； ③梯形ABCD 是轴对称图形；④AOB AOD △≌△； ⑤AC BD =．请把其中正确结论的序号填写在横线上．答案：①③⑤第25题. (2005 浙江课改)请将四个全等直角梯形(如图)，拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)．答案：拼对一个4分，共8分，不同的拼法例举如下：A B C DO。

梯形性质与判定练习题

梯形性质与判定练习题1. 梯形的定义梯形是指有两个平行边的四边形。

它的两个平行边被称为底边，不平行的两边分别称为斜边。

除此之外，梯形还有以下一些性质和判定条件。

2. 梯形的性质性质1：对角线梯形的两条非平行边端点的连线成为梯形的对角线。

梯形的对角线互相垂直，并且两条对角线的交点是它们的中点。

性质2：底角和顶角梯形的底边上的两个角称为底角，不平行边上的两个角称为顶角。

底角和顶角互补，即它们的和等于180度。

性质3：等腰梯形如果梯形的两条斜边相等，则称该梯形为等腰梯形。

等腰梯形的底角和顶角也相等。

性质4：平行线分割比梯形的平行边上的两条线段被横截线分割，分割的线段比等于梯形两个相邻边的长度比。

3. 判定题请根据给出的图形，判断以下每个命题的真假。

1. 命题：梯形ABCD的底边AB与顶边CD平行。

2. 命题：梯形ABCD的底角A和顶角D互补。

3. 命题：梯形ABCD是等腰梯形。

4. 命题：梯形ABCD的横截线EF与底边AB的长度比等于横截线GH与顶边CD的长度比。

请在每个命题后面标记出正确（√）或错误（×）。

答案1. 命题：梯形ABCD的底边AB与顶边CD平行。

√√2. 命题：梯形ABCD的底角A和顶角D互补。

√√3. 命题：梯形ABCD是等腰梯形。

××4. 命题：梯形ABCD的横截线EF与底边AB的长度比等于横截线GH与顶边CD的长度比。

√√以上是关于梯形性质与判定的练习题。

希望对你的学习有所帮助！。

2006年中考数学压轴题汇编及解1

2006年中考数学压轴题汇编及解析1、在等腰梯形ABCD 中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E 在下底边BC 上，点F 在腰AB 上. （1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BE 的面积；（2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由.[解析] （1）由已知条件得：梯形周长为12，高4，面积为28。

过点F 作FG ⊥BC 于G 过点A 作AK ⊥BC 于K则可得：FG=12－x5 ×4∴S △BEF=12 BE 〃FG=－25 x 2+245 x （7≤x ≤10）（2）存在由（1）得：－25 x 2+245 x=14得x 1=7，x 2=5（不合舍去）∴存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE=7 （3）不存在假设存在，显然是：S △BEF ∶S AFECD =1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2 则有－25 x 2+165 x=283整理得：3x 2－24x+70=0△=576－840<0∴不存在这样的实数x 。

即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积。

同时分成1∶2的两部分2、已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2+-=x y 并且线段CM 的长为22（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

[解析]（1）解法一：由已知，直线CM ：y=－x ＋2与y 轴交于点C （0,2）抛物线cbx ax y ++=2过点C （0,2），所以c=2，抛物线c bx ax y ++=2的顶点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22在直线CM 上，所以20,224242-==+=-⨯b b aba b a 或解得若b ＝0，点C 、M 重合，不合题意，舍去，所以b ＝－2。

中考数学专题复习梯形的概念、性质与判定试题

无棣县埕口中学中考数学专题复习梯形的概念、性质与断定新人教版制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日2．等腰梯形的性质：等腰梯形中同一底上的两个角相等，两腰相等，两对角线相等，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，经过两底中点的直线就是它的对称轴．3．等腰梯形的断定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形；对角线长度相等的梯形是等腰梯形．4．梯形的周长和面积：①梯形的周长即梯形四边之和；②梯形的面积＝12(a ＋b )h ．【考试方向】除了考察根本知识点的简单题以外，梯形常常作为一个问题的载体，结合三角形、平行四边形，结合全等形、相似形，结合平移、轴对称和旋转，结合圆、锐角三角函数，结合平面直角坐标系等问题来进展综合考察．也就是说，有关梯形的问题既可能比拟简单，也可能出难题．梯形在中考里表现活泼，变化多样．本文谨从三个方面对梯形的概念、性质与断定做一简要讲解．【考点例析】考点1．考概念——正确理解根本概念例1．(根据2021年西城区一模试题改编)：如图，△ABC 中，AC ＜AB ＜BC ．(1)过点A 作BC 的平行线l 1，直线l 2分别与AB 、BC 相交于点P 、Q ，交l 1于点D ．那么四边形ADQC 是_____________；(2)试在图中画出直线l 1与l 2，使得四边形ADQC 是等腰梯形．C B A备用图CBA DQ PC B A【解析】对于(1)，根据平行四边形和梯形的定义，只存在两种情形，即四边形ADQC 是平行四边形或者者是梯形；对于(2)，如图，设AB 中点为P ，以点P 圆心，以AC 长为直径作圆，分别交l 1、BC 于点D 、Q ，那么四边形ADQC 即是等腰梯形．【点评】此题先后考察了梯形和等腰梯形的定义．从对概念的理解出发，先作平行线，再一步步确定“等腰〞，注意到中点的作用，此题将变得非常简单．此外，梯形和等腰梯形的定义是断定一个图形是梯形或者者等腰梯形的重要根据．考点2．考方法——合理构造根本图形例2．(2021)：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝AD ＝2，BC ＝4．求∠B 的度数及AC 的长．D C B A G F D C B AE DCBA【解析】解法1：如图，分别作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，F 、G 是垂足． ∴∠AFB ＝∠DGC ＝90°． ∵AD ∥BC ，∴四边形AFGD 是矩形．∴AF ＝DG ．∵AB ＝DC ，∴Rt△AFB ≌Rt△DGC ．∴BF ＝CG ． ∵AD ＝2，BC ＝4，∴BF ＝1．∴∠B ＝60°．∵BF ＝1．∴AF ＝3．由勾股定理，得AC ＝23．解法2：过A 点作AE ∥DC 交BC 于点E ．显然四边形AECD 是平行四边形．∴AD ＝EC ，AE ＝DC ． ∵AB ＝DC ＝AD ＝2，BC ＝4，∴AE ＝BE ＝EC ＝AB ．∴ △BAC 是直角三角形，△ABE 是等边三角形．∴∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，∠BCA ＝30°，BC ＝2AB ＝4．在Rt△ABC 中，由勾股定得AC ＝23．【点评】解决梯形问题，一般要通过分割和拼接的方法将问题转化为三角形或者平行四边形(包括特殊的平行四边形)等根本图形的问题来解决，表达了平移、轴对称和旋转三大几何变换．概括如下：1．平移一腰，即从梯形一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图(1)所示)；2．从同一底的两端向另一个底作垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形(图(2)所示)；3．平移对角线，即过底的一端作对角线的平行线，与另一底相交，可以借助新得的平行四边形或者三角形来研究梯形(图(3)所示)；4．延长梯形的两腰交于一点，得到一对相似的三角形，假如梯形是等腰梯形，那么得到两个等腰三角形(图(4)所示)；5．以梯形一腰的中点为对称中心，作某图形的中心对称图形(图(5)～(7)所示)；6．连结梯形两腰中点，作梯形的中位线(图(8)所示)．(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)对于此题，同学们可以尝试其它的解法做一做，看一看你能不能另辟蹊径！例3．(根据人教版九年级上第88页第9题改编)：AB、CD是⊙O上的两条弦，且AB∥CD．求证：四边形ACDB是等腰梯形．O DCBAOEDCBA【解析】如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，∵AB⊥CD，∴OE⊥CD．根据垂径定理，AE⌒＝BE⌒、CE⌒＝DE⌒，∴AC⌒＝BD⌒，∴AC＝BD，∴四边形ACDB是等腰梯形．【点评】一方面，在解决梯形问题时，要判断四边形是梯形，可以根据前面所述的梯形的三个定义来判断；要判断等腰梯形，可以从腰长相等、对角线相等或者同一底上的两底角相等来判断．另一方面，在综合问题中，要注意寻找知识连结的纽带，此题的纽带无疑是两条相等的弦，即AC ＝BD考点3．考思想——灵敏运用数学思想例4．如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H〞型甬道，甬道宽度相等．甬道面积是整个梯形面积的213．设甬道的宽度为x 米．(1)求梯形ABCD 的周长；(2)用含x 的式子表示甬道的总长； (3)求甬道的宽是多少?E F DCB A 【解析】(1)要求等腰梯形周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ，根据条件只需求出AB 长即可，甬道AE＝40即是梯形的高，故在Rt△ABE 中通过勾股定理求出AB ＝AB ＝CD ＝302 +402＝50，所以梯形ABCD 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝50＋108＋50＋48＝256(米)；(2) 要求“H〞型甬道的长由三个矩形构成，三个矩形的宽均为x 米，左右两边两个矩形长为40米；中间矩形长为(48－2x )米．所以甬道长为40×2＋48－2x ＝(128－2x )(米)；(3) 由(2)可知甬道面积为(128－2x )·x ，又“甬道面积是整个梯形面积的213〞，所以有(128－2x ) ·x ＝213，解得x 1＝4，x 2＝60．因60>48，不符合题意，舍去．所以甬道的宽为4米．【点评】对于实际问题，我们先要把问题归纳为数学问题，再用数学知识求解．第(1)问综合了勾股定理，用直角三角形三边关系来进展数值计算，表达了代数与几何知识之间的联络；第(2)问在本质上是一个一次函数关系；第(3)通过列方程来求解，解题思路明晰．此题的三问分别表达了数学中的“数形结合思想〞、“函数思想〞和“方程思想〞．正因为此，笔者建议同学们平时练习的时候多考虑、多总结、多回味，定会加深对数学的感悟，学习的效果必然进步．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

等腰梯形的性质和判定

等腰梯形的性质和判定习题课
A ED
B
F
C
知识回顾
１．等腰梯形的性质定理
①等腰梯形在同一底上的两个角相等. ②等腰梯形的对角线相等.
２．等腰梯形的判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
３．梯形中常见的辅助线----转化的数学思想. 梯形转化三角形或平行四边形或矩形
已知:在梯形ABCD中, AD∥BC,AB=CD,PB=PC.
C
E
动手操作
已知梯形纸片ABCD, AD∥BC, 请剪一刀将梯形ABCD拼成等腰梯形.
A
D
B
C
如图所示,在直角梯形ABCD中，AD∥BC,
∠ B=90 °,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C 开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动,P、Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为ts,t分别为何值时四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形?
AD=6cm, BC=16cm,∠B=60°
A
D
O
A
D
B
E
C
A
D
B
C
┓
┓
B EFC
已知:梯形ABCD中, AD∥BC, 若点
M是腰CD的中点.
求证:S△ABM=
1 2
S梯形ABCD
A
D
M
B
CG
等腰梯形ABCD的上底AD=2,下底 BC=6,对角线AC⊥BD. 求此等腰梯形的高和周长.
A
D
O
B
┓
H
A P 24-t D
B
3t C

中考数学考前专题：梯形

梯形【复习要点】1、梯形的定义：一组对边而另一组对边的四边形.2、等腰梯形的性质：（1）具有一般梯形的性质.（2）等腰梯形的两腰，对角线 . （3）等腰梯形同一底边上的两个相等. 3、等腰梯形的判定：（1）两腰的梯形；（2）同一底上的的梯形；（3）对角线相等的梯形.4、直角梯形的定义：有一个角是的梯形.5、三角形与梯形的中位线：（1）平行线等分线段成比例定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.（2）连结三角形两边的线段叫做三角形的中位线. （3）连结梯形两边的线段叫做梯形的中位线.（4）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的 . （5）梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的 . （6）过三角形的一边中点与另一边平行的直线必第三边. （7）经过梯形一腰上的中点且与底边平行的直线，必另一腰.【实弹射击】一、选择题。

1、已知梯形的上底边长是6cm ，它的中位线长是8cm ，则它的底边长是（） A 、8cm B 、10cm C 、12cm D 、14cm2、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，有如下四个结论：①AC=BD ；②AC ⊥BD ；③等腰梯形ABCD 是中心对称图形；④△AOB ≌△DOC ．则正确的结论是（）Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．①②③ Ｄ．①②③④图1 图2 图3 图4 3、如图2，等腰梯形ABCD 下底与上底的差恰好等于腰长，DE AB ∥．则DEC ∠等于（）Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°4、如图3，梯形ABCD 中，AD BC ∥．90C =∠，且AB AD =．连结BD ，过A点A D ECB作BD 的垂线，交BC 于E ．如果3cm EC =，4cm CD =，那么，梯形ABCD 的面积是___________2cm ．5、如图4，在等腰梯形ABCD 中，//,5,7A B D C A D B C D C A B ====，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动.在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（） A 、3s B 、4s C 、5s D 、6s 二、填空题。

九年级数学上册324等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明习题精选试题

习题精选制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日[自主演练，各个击破]等腰梯形的性质1．以下说法中，不正确的选项是〔〕A．等腰梯形同一底上的两个等角相等B．等腰梯形的对角线相等C．对角线相等的四边形是等腰梯形D．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，那么一个底角是〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°3．假如等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个等腰梯形的底角是〔〕A．60°B．30°C．45°D．15°4．在以下四个图形中，不是中心对称图形的是〔〕A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．梯形ABCD中，DC∥AB，E为腰BC的中点，假设AB=8，CD=2，AE把梯形分为△ABE 和四边形ADCE，它们的周长相差4，那么梯形的腰AD的长为〔〕A．12B．10C．2或者10D．2或者126．等腰梯形有一角为120°，腰长为3cm，一底边长为4cm，那么另一底边长为_______。

7．等腰梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=CD，且AC ⊥ BD，梯形的高为5，那么S梯形ABCD=_________。

★等腰梯形的断定8．在四边形ABCD中，AD∥ BC，AB=DC，那么四边形ABCD是〔〕A．等腰梯形B．平行四边形C．直角梯形D．等腰梯形或者平行四边形9．以下说法中，正确的选项是〔〕A．对角线相等的四边形是矩形或者等腰梯形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴[互动探究，拓展延伸][学科综合]10．如图32-4-1所示，己知四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AE ∥ BD，证明：∠C= ∠DEB。

[创新思维]〔一〕新形题11．某校方案修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是〔〕A．等腰三角形B．正三角形C．等腰梯形D．菱形〔二〕课本习题变式题12．〔课本P153习题2题变式题〕如图32-4-2，在梯形ABCD中，AD ∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O。

中考分类梯形、等腰梯形及其性质、判定(2)

图 5E D C BA 8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（复合题、说理题、画作图题）第1题. (2008广东省深圳市，7分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．（2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．答案：（1）证明：∵AE ∥BD ， ∴∠E ＝∠BDC ∵DB 平分∠ADC ∴∠ADC ＝2∠BDC 又∵∠C ＝2∠E ∴∠ADC ＝∠BCD∴梯形ABCD 是等腰梯形 3分（2）解：由第（1）问，得∠C ＝2∠E ＝2∠BDC ＝60°，且BC ＝AD ＝5∵ 在△BCD 中，∠C ＝60°, ∠BDC ＝30° ∴∠DBC ＝90°∴DC ＝2BC ＝10 7分第2题. (2008湖北省黄石市,9分)如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作B E A D ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ．（1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由；（3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件14DG DA =，并说明理由．答案：（1）在Rt AEB △中，AC BC =，12CE AB ∴=，CB CE ∴=，CEB CBE ∴∠=∠． 90CEF CBF ∠=∠=，BEF EBF ∴∠=∠，EF BF ∴=．ABC D FEMAE90BEF FED ∠+∠=，90EBD EDB ∠+∠=，FED EDF ∴∠=∠． EF FD =． BF FD ∴=．（3分）（2）由（1）BF FD =，而BC CA =， CF AD ∴∥，即AE CF ∥．若AC EF ∥，则AC EF =，BC BF ∴=． BA BD ∴=，45A ∠=．∴当045A <∠<或4590A <∠<时，四边形ACFE 为梯形．（6分）（3）作GH BD ⊥，垂足为H ，则GH AB ∥．14DG DA =，14DH DB ∴=．又F 为BD 中点，H ∴为DF 的中点． GH ∴为DF 的中垂线． GDF GFD ∴∠=∠．点G 在ED h 上，EFD GFD ∴∠∠≥． 180EFD FDE DEF ∠+∠+∠=， 180GFD FDE DEF ∴∠+∠+∠≤． 3180EDF ∴∠≤． 60EDF ∴∠≤．又90A EDF ∠+∠=，3090A ∴∠<≤．∴当3090A ∠<≤时，DE 上存在点G ，满足条件14DG DA =．（9分）第3题. （2008江苏省连云港市，8分）如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=，CD AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF 是正方形；（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．E C D答案：证明：（1）90A ∠=，AB DC ∥，90ADE ∴∠=．由沿DF 折叠后DAF △与DEF △重合，知AD DE =，90DEF ∠=．∴四边形ADEF 是矩形，且邻边AD AE ，相等． ∴四边形ADEF 是正方形．3分（2）CE BG ∥，且CE BG ≠，∴四边形GBCE 是梯形． 4分四边形ADEF 是正方形，AD FE ∴=，90A GFE ∠=∠=．又点G 为AF 的中点，AG FG ∴=．连接DG ．在AGD △与FGE △中，AD FE =，A GFE ∠=∠，AG FG =，AGD FGE ∴△≌△，DGA EGB ∴∠=∠．6分 BG CD =，BG CD ∥，∴四边形BCDG 是平行四边形． DG CD ∴∥．DGA B ∴∠=∠．EGB B ∴∠=∠． ∴四边形GBCE 是等腰梯形． 8分注：第（2）小题也可过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，证EGF CBH △≌△．第4题. （2008山东省潍坊市，10分）如图，ABCD 为平行四边形，AD a =，BE AC ∥，DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点．（1）求证：DF FE =；（2）若2AC CF =，60ADC =∠，AC DC ⊥，求BE 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED 的面积．答案：（1）证明：延长DC 交BE 于点M ，∵BE ∥AC ，AB ∥DC ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴CM =AB =DC ，C 为DM 的中点，BE ∥AC ，DF =FE ；（2）由（2）得CF 是△DME 的中位线，故ME =2CF ，又∵AC =2CF ，四边形ABMC 是平行四边形，∴BE =2BM =2ME =2AC ，又∵AC ⊥DC ， ∴在Rt △ADC 中利用勾股定理得AC =a 23， ∴=a 3． ECBDAG FADFE B C（3）可将四边形ABED 的面积分为两部分，梯形ABMD 和三角形DME ，在Rt △ADC 中利用勾股定理得DC =2a ，由CF 是△DME 的中位线得CM =DC =2a，四边形ABMC 是平行四边形得AM =MC =2a ，BM =AC =a 23，∴梯形ABMD 面积为：=⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛+21232a a a 2833a ；由AC ⊥DC 和BE ∥AC 可证得三角形DME 是直角三角形，其面积为：4323212a a a =⨯⨯，∴四边形ABED 的面积为2833a +8354322a a =第5题. （2008山西省，12分）如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CF ．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明．（2）判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由．（3）若AB =6，BD =2DC ，求四边形ABEF 的面积．答案：解：（1）（选证一）BDE FEC △≌△．1分证明：ABC △是等边三角形，60BC AC ACB ∴=∠=，．CD CE BD AE EDC =∴=，，△是等边三角形．2分60DE EC CDE DEC ∴=∠=∠=， 120BDE FEC ∴∠=∠=．3分又EF AE BD FE =∴=，．BDE FEC ∴△≌△． 4分（选证二）BCE FDC △≌△．1分证明：ABC △是等边三角形，60BC AC ACB ∴=∠=，．又CD CE =，EDC ∴△是等边三角形．60BCE FDC DE CE ∴∠=∠==，．2分EF AE EF DE AE CE =∴+=+，．FD AC BC ∴==． BCE FDC ∴△≌△．4分（选证三）ABE ACF △≌△．1分证明：ABC △是等边三角形，60AB AC ACB BAC ∴=∠=∠=，．CD CE =，EDC ∴△是等边三角形．60AEF CED ∴∠=∠=．2分EF AE =，AEF ∴△是等边三角形． 60AE AF EAF ∴=∠=，．ABE ACF ∴△≌△．4分（2）解：四边形ABDF 是平行四边形．5分理由：由（1）知，ABC △、EDC △、AEF △都是等边三角形．60CDE ABC EFA ∴∠=∠=∠=．6分 AB DF BD AF ∴∥，∥．∴四边形ABDF 是平行四边形．8分（注：此题有多种方法，请参照评分．）（3）解：由（2）知，四边形ABDF 是平行四边形． EF AB EF AB ∴≠∥，．∴四边形ABEF 是梯形．过E 作EG AB ⊥于G ，则2323sin 6063232EG AEBC ===⨯⨯=． 10分11()(64)22ABEF S EG AB EF ∴=+=⨯+=四边形 12分第6题. （2008四川省巴中市，10分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：BCD FDE △≌△．（2）连结BD CF ，，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．答案：（1）证明：点E 是DC 中点 DE CE ∴= 1分又AD BC ∥，F 在AD 延长线上，DFE EBC ∴∠=∠，FDE ECB ∠=∠3分 A B CD EF在BCE △与FDE △中EBC DFE ECB FDE CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩5分(AAS)BCE FDE ∴△≌△6分（2）四边形BCFD 是平行四边形．理由如下： 7分 BCE FDE △≌△DE CE ∴=，FE BE =9分 ∴四边形BCFD 是平行四边形． 10分第7题. （2008四川省广安市，9分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点，连接AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：CF =AD ；（2）若AD =2，AB =8，当BC 为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，为什么？答案：（1）证明：AD BC ∥，F DAE ∴∠=∠．1分又FEC AED ∠=∠，CE DE = FEC AED ∴△≌△．3分 CF AD ∴=． 4分（2）当6BC =时，点B 在线段AF 的垂直平分线上． 6分其理由是：6BC =，2AD =，8AB =，AB BC AD ∴=+．7分又CF AD =，BC CF BF +=AB BF ∴=．8分 ∴点B 在AF 的垂直平分线上． 9分8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（说理题）第1题. （2008云南省，6分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB DC =，若点M 为线段AD 上任意一点（M 与A 、D 不重合）．问：当点M 在什么位置时，MB MC =，请说明理由．A EB CF D A EBCFD 操作答案：解：当点M是AD的中点时，MB MC=．2分理由如下：如图，连结MB、MC，∵在梯形ABCD中，AB DC=，∴梯形ABCD是等腰梯形，从而A D∠=∠．5分∵点M是AD的中点，∴MA MD=．又∵AB DC=，∴△MAB≌△MDC．∴MB MC=．8分8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（画作图题）第1题. （2008湖北省襄樊市，6分）如图11-1，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成；（1）一个非矩形的平行四边形；（2）一个等腰梯形；（3）一个正方形．请在图11-2中画出拼接后的三个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方格顶点重合．答案：解：如图2所示．说明：正确画出拼接图形每个2分，共6分．。

等腰梯形的性质专项练习30题(有答案)ok

等腰梯形的性质专项练习30 题（有答案）1．如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB=CD ， AD=2 ，AB=6 ，∠ B=60 °，求下底BC 的长．2．在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC，AB=CD=AD，AC⊥AB．求∠B的度数．3．如图，在等腰梯形ABCD 中， AB ∥ DC ，对角线AC 平分∠ BAD ，∠ B=60 °， CD=3 ，求梯形中位线的长．4．如图在梯形ABCD 中， AD ∥ BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，将CB延长至点F，使 BF=CD ．求∠ CAF 的度数．5．如图，已知在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB=CD ， AD=4 ，BC=8 ，∠ C=60°，求 AB 的长．6．已知：如图，梯形ABCD 中， AB ∥ CD ，AD=BC ，对角线AC 、BD 交于 M ，AB=2 ， CD=4 ，∠ CMD=90 °，求：BD 的长．7．如图，在等腰梯形△ ABCD中，AB∥ CD，AD=BC=CD，BD⊥AD．（1）求∠ A 的度数．（2）设 AD=2cm ，求梯形 ABCD 的面积．8．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB=CD ，∠ B=60 °．AE ⊥BC 于 E；EF⊥ CD 于 F，点 F 是 CD 的中点．求证： AD=BE ．9．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC， AB=CD ， AE ⊥BC 于 E，∠ B=60 °，∠ DAC=45 °，，求梯形 ABCD 的周长？10．如图示，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC，∠ B=45 °，中位线长为 5cm，高为 2cm，求梯形底边 BC 的长及梯形的面积．11．如图，在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，AB=DC=6cm ， BD ⊥ CD 于 D ，∠ C=60°．（1）求∠ DBC 的度数；（2）求 AD 的长．12．如图，等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，AB=2AD ，梯形周长为 40，对角线 BD 平分∠ABC ，求梯形的腰长及两底边的长．13．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AC 平分∠ BCD ，已知 AD=5cm ， BC=9cm ，求等腰梯形 ABCD 的周长．14．如图，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ， AB=DC ，点 E 在 BC 的延长线上，DE=DB ．求证： AD=CE ．15．如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， BD ⊥DC ，点 E 是 BC 边的中点， DE ∥AB ．（1）求∠ BCD 的度数；（2）若 AB=4 ，求等腰梯形 ABCD 的面积．16．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB=CD ，∠ D=120 °， AC 平分∠ BCD ，梯形的中位线长为 6，求 AC 的长及梯形的面积？17．如图， E 是等腰梯形ABCD 底边 AB 上的中点，求证：DE=CE ．18．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，AD=BC ，E、F 是 AB 上的两点且 AE=BF ，DF 与 CE 相交于点 O．问 OE 与OF 相等吗？为什么？19．如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ A=2 ∠ B ， BC=3， AB=2 ．求 AD 的长．20．如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， BD ⊥CD ，∠ A=2 ∠ C， BC=8cm ，求腰 DC 的长．21．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥ BC， AB=DC ，∠ ACB=42 °，∠ ACD=27 °．（1）∠ BAC= _________ °；（2）如果 BC=10cm ，连接 BD ，求 BD 的长度．22．如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， M 是 AD 的中点， MB=MC吗？为什么？23．如图，在梯形ABCD 中， AB=DC=AD ， AC=BC ，求∠ B 的度数．24．如图， E 是等腰梯形ABCD 底边 AB 上的中点， DE 和 CE 相等吗，为什么？25．如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， AB=CD ，两条对角线AC ⊥BD ， AE ⊥ BC ．（1）求证： AE= （ AD+BC ）；（2）若 AC=10cm ，求等腰梯形 ABCD 的面积．26．如图，已知在等腰梯形ABCD 中， CD ∥ AB ， AD=BC ，四边形 AEBC 是平行四边形．求证：∠ ABD=∠ ABE．27．如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， AB=CD ，对角线BD 平分∠ABC ，且 BD ⊥ DC ，上底 AD=3cm ．（1）求∠ ABC 的度数；（2）求梯形 ABCD 的周长．28．已知等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AB=CD ，BD 平分∠ABC ， BD ⊥CD，若梯形的周长为 25cm，求梯形各边的长．29．如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形， AD ∥ BC ，对角线AC ⊥BD ，延长 BC 至 E 点，使 CE=AD ，连接 DE ．（1）求∠ ACE 的度数；（2）若 AD+BC=10cm ，求△BDE 的面积．30．如图所示：在等腰梯形ABCD 中， AB ∥ DC， AD=DC=CB ，∠ ADC=120 °．（1）试探讨线段 AC 与 BC 的位置关系；（2）若 AD=4 ，求梯形 ABCD 的面积．参考答案：1．过点 D 作 DE∥ AB ，则可得 DE=AB=CD ，又∵ ∠ B=∠ DEC=60 °，∴ △ DEC 为等边三角形，∴CE=AB=6cm ，故可得 BC=BE+EC=AD+EC=8cm．2．在等腰梯形ABCD 中，∵AD ∥ BC ， AB=CD ，∴∠B=∠BCD ．（1 分）∵AD=CD ，∴∠ACD= ∠CAD ．（1 分）又∵AD ∥ BC，∴∠ACB= ∠CAD ．（1 分）∴∠ACB= ∠ACD ．（1 分）∵AC⊥AB ，∴ ∠ B+∠ ACB=90 °．（1 分）∴∠B+∠B=90°．∴ ∠ B=60 °．3．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∠ B=60 °，∴ ∠ BAD= ∠ B=60 °， AD=BC ，∵AC 平分∠BAD ，∴ ∠ BAC= ∠ DAC=30 °，∴ ∠ ACB=90 °，又∵AB ∥DC，∴∠ACD= ∠BAC ，∴∠ACD= ∠DAC ，∴DC=AD=3 ，∴BC=AD=3 ，在 Rt△ ACB 中，∵∠BAC=30 °，∴ AB=2BC=6 ，∴所求中位线的长是（AB+DC）=（6+3）=4.54．∵AD ∥BC ，∴∠DAC= ∠ACB ，∵AD=DC ，∴∠DCA= ∠DAC ，∴ ∠ ACD= ∠ ACB=∠DCB，∵AB=DC ，∴ ∠ ABC= ∠ DCB=2 ∠ ACB ，∵AC⊥AB ，∴ ∠ CAB=90 °，∴ ∠ ABC=60 °，∵AB=BF ，∴∠BAF= ∠F，∵ ∠ ABC= ∠ BAF+ ∠ F，∴ ∠ BAF=30 °，∴ ∠ CAF= ∠ CAB+ ∠ BAF=90 °+30°=120 °．5．分别过点 A ， D 作 AE ⊥ BC， DF⊥ BC ．∵在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB=CD ，AD=4 ，BC=8 ，∴AD=EF=4 ，BE=CF= （ 8﹣ 4） =2，∵ ∠ C=60 °，∴ ∠ CDF=30 °，∴CD=4 ，∵AB=CD ，∴ AB=4 ．6．如图，过点 B 作 BE ∥AC 交 DC 的延长线于点 E，∴ ∠ EBD= ∠ CMD=90 °，∵AB ∥CD ，∴四边形 ACEB 是平行四边形，∴AC=BE ，CE=AB ，∵ AB=2 ，CD=4 ，∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6 ，∵梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AD=BC ，∴AC=BD ，∴BD=BE ，在 Rt△BDE 中，由勾股定理得， BD2+BE2=DE2，即 BD2+BD2=62，解得 BD=3．故答案为： 3 ．7． 1）解：∵ AD=BC=DC ，∴∠CDB= ∠ CBD，∵DC ∥BA ，∴∠CDB= ∠ DBA ，∴ ∠ CBA=2 ∠ DBA ，∵DC ∥AB ， AD=BC ，∴∠A= ∠ABC=2 ∠DBA ，∵DB ⊥AD ，∴ ∠ ADB=90 °，∵AD ∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴ ∠ A= ×90°=60°，∴AE ∥DF，∴四边形 ADFE 是平行四边形，答：∠ A=60 °．∴，∴梯形 ABCD 的周长为： AD+DC+BC+AB=﹣（ 2）解：作 DE ⊥ AB 于 E，1+2+2+2+ ﹣ 1=4+2 ．∵ ∠ A=60 °，∠ DEA=90 °，答：梯形 ABCD 的周长是 4+2 ．∴ ∠ ADE=30 °，∴ AE= AD=1cm ，由勾股定理得： DE= cm，同理 AB=2AC=4cm ，10．取两腰 AB ，CD 的中点分别为 E 和 F，连接 EF，∴梯形 ABCD 的面积是（ CD+AB ）×DE= （×2cm+4cm ）根据梯形中位线定理得：EF= （ AD+BC ），× cm=3 cm 2，cm2∵ EF=5cm ，∴ AD+BC=10cm ，答：梯形 ABCD 的面积是过 A， D 作出梯形的两条高 AM 和 DN ，∵梯形 ABCD ，∴AD ∥BC，∴ ∠ MAD= ∠ AMN= ∠MND=90 °，∴四边形 AMND 为矩形，∴ AD=MN ，8．连接 ED．又 Rt△ABM 和 Rt△ DCN 中，∵AD ∥BC，AB=CD ，AM=DN ， AB=AC ，∴ ∠ B=∠ C=60°，∴ Rt△ABM ≌ Rt△ DCN ，∵ EF⊥CD ， F 是 CD 中点，∴ BM=CN ，∴ ED=EC （ 3 分）由∠ AMB=90 °，∠ B=45 °，得△ ABM 为等腰直角三角形，∴ ∠ DEC= ∠C=60°∴ MB=AM=2cm ，同理 CN=DN=2cm ，∴ △ ECD 是等边三角形，（ 4 分）设 AD=MN=xcm ，∴ ∠ B=∠ DEC 则 AD+BC=AD+BM+MN+NC=2x+4=10 ，∴AB ∥DE（5 分）解得： x=3，∴四边形 ABED 是平行四边形（ 6 分）∴ BC=2+x+2=7 ；∴ AD=BE （ 7 分）∴梯形的面积 S= = =10cm 2．9．∵ AD ∥BC ，∠ DAC=45 °，∴ ∠ ACB=45 °∵AE⊥BC，，∴，∵ ∠ B=60 °，∴BE=1 ， AB=2 ，∴DC=2 ，作 DF⊥ BC 于点 F，∴四边形 AEFD 是矩形，∴AE=DF ，∵ ∠ B=∠ C，∠AEB= ∠DFC=90 °，∴ △ ABE ≌△ DCF （AAS ），∴BE=FC=1 ，∴，答： BC=7cm ，梯形的面积10cm2．11．（1）∵BD⊥ CD 于 D，∴ ∠ BDC=90 °，∵ ∠ C=60 °，∴ ∠ DBC=180 °﹣ 90°﹣60°=30°；（2）如图，过 D 作 DE ∥ AB 交 BC 于点 E，∵AD ∥BC，∴四边形 ABED 是平行四边形，∴AD=BE ，AB=DE ，∵ AB=DC ，∴DC=DE ，∵ ∠ C=60 °，∴ △ CDE 是等边三角形，∴CE=DC=6cm ，在 Rt△ BCD 中，∵∠ DBC=30 °，DC=6cm ，∴BC=2DC=2 ×6=12cm，∴BE=BC ﹣ CE=12 ﹣ 6=6cm，∴AD 的长为 6cm．12．∵四边形 ABCD 是等腰梯形， AB ∥ DC，∴AD=BC ，∠DBA= ∠CDB ，又 BD 平分∠ABC ，∴∠ CBD= ∠ DBA ，∴∠ CDB= ∠ CBD ，∴CD=BC ，又 AB=2AD ，AB+AD+CD+BC=40，∴2AD+AD+AD+AD=40 ，5AD=40 ，AD=8 ，∴CD=8 ， AB=16 ，即梯形腰长为8，两底边长为8 和 16，答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8， 16 13．∵ AD ∥BC，∴∠DAC= ∠ACB ，∵AC 平分∠BCD ，∴∠DCA= ∠ACB ，∴∠DAC= ∠DCA ，∴AD=CD=AB=5cm ，∴等腰梯形 ABCD 的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+5cm+5cm+9cm=24cm ，答：等腰梯形 ABCD 的周长是 24cm．14．法一：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC，AB=AC ，∴ ∠ ABC= ∠ DCB （等腰梯形同一底上的内角相等），∠A+ ∠ABC=180 °，又∵ ∠ DCE+ ∠ DCB=180 °，∴∠A=∠DCE ，∵DB=BE ，∴∠DBC= ∠E，∵∠ADB= ∠DBC，∴∠ADB= ∠E，在△ABD 和△CDE 中，，∴△ABD ≌△CDE（AAS ），∴AD=CE ；证法二：连接AC ，在梯形 ABCD 中，∵ AD ∥ BC， AB=AC ，∴ AC=BD （等腰梯形的对角线相等），∠ ABC= ∠DCB （等腰梯形同一底上的内角相等），在△ABC 和△DCB 中，，∴ △ ABC ≌ △DCB （ SAS），∴∠ACB= ∠ DBC，∵DB=BE ，∴∠DBC= ∠ E，∴∠ACB= ∠ E，∴AC ∥DE ，又∵ DE=BD ，∴DE=AC ，∴四边形 ACED 是平行四边形（一组对边平行的四边形是平行四边形），∴AD=CE ．（平行四边形的对边相等）．15．（ 1）∵梯形 ABCD 是等腰梯形，∴AB=CD ，∵AD ∥BC ， DE∥ AB ，∴四边形 ABED 是平行四边形，∴AB=CD=DE ，∵BD ⊥DC，∴∠ BDC=90 °，∵点 E 是 BC 边的中点，∴BE=DE=CE ，∴DE=DE=CE ，即△ CDE 是等边三角形，∴∠ BCD=60 °；（2）过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，∵ △ CDE 是等边三角形，AB=CD=4 ，∴ DF=CD ?sin60°=4 × =2，∵AB=BE=CE=4 ，∴ BC=2AB=8 ，∴ S 梯形ABCD = （ AD6BC ）?DF= ×（ 4+8）×2 =1216．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∠ D=120°，∴ ∠ B= ∠ BCD=60 °，∵AC 平分∠BCD，∴ ∠ BCA= ∠ ACD=30 °，则∠ BAC=90 °，又∠ CAD= ∠BCA ，∴ ∠ CAD= ∠ACD ，则 AD=CD=AB ，在 Rt△ ABC 中，∵∠ BCA=30 °，∴BC=2AB=2AD ，∵中位线长为 6，∴AD+BC=3AD=12 ，∴AD=4 ， BC=2AD=8 ，在 Rt△ ABC 中，由勾股定理，得，作 AE⊥BC 于 E，则，∴ 梯形的面积为，答： AC 的长是 4，梯形的面积是12．17．∵等腰梯形ABCD ，∴BC=AD ，∠CBE= ∠ DAE ．∵ E 是 AB 上的中点，∴BE=AE ．∴△ CBE ≌△ DAE （SAS）．∴DE=CE ．18． OE=OF ．理由：∵AE=BF ，∴AE+EF=BF+EF ，即 AF=BE ．∵等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∴AD=CB ，∠A= ∠B ．∴△ADF ≌△BCE ．∴∠ DFE= ∠ CEF．∴OE=OF19．过点 A 作 AE ⊥BC 于 E，过点 D 作 DF⊥ BC 于 F，则四边形 AEFD 是矩形，所以 AD=EF ， BE=FC因为∠ A=2 ∠ B，又∠ BAD+ ∠B=180 °，所以∠ B=60 °在 Rt△ AEB 中，因为∠ BAE=90 °﹣60°=30°，AB=2 ，所以 BE= AB=所以 AD=BC ﹣ 2BE=3 ﹣ 1×2=1．20．因为四边形 ABCD 是等腰梯形， AD ∥ BC，所以∠ A= ∠ ADC ，∠ ADC+ ∠C=180 °（ 2 分）又∠ A=2 ∠ C，则 2∠ C+∠ C=180°，故∠ C=60°（ 4 分）因为 BD ⊥ CD，BC=8cm ，所以，∠ DBC=180 °﹣90°﹣60°=30°（6 分）则 DC= BC=4cm ，即为所求．21．（ 1）∵∠ ACB=42 °，∠ ACD=27 °，∴ ∠ BCD= ∠ BCA+ ∠ ACD=69 °；（2）∵∠ ABC= ∠ BAC=69 °，∴AC=BC=10cm ，又∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴BD=AC=10cm ．22．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC ，∠ A= ∠ D．∵M 是 AD 的中点，∴AM=DM ．在△ABM 和△ DCM 中，，∴ △ ABM ≌△ DCM （ SAS）．∴MB=MC23．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴∠B=∠BCD．∵AD ∥BC ，∴ ∠ DAC= ∠ACB ，∵AD=CD ，∴ ∠ ACD= ∠DAC ，∴∠ACB= ∠ DCA ，设∠ ACD=x ，则得到∠DAC= ∠ACB=x ，∠B= ∠ BAC=2x ，∴ ∠ B+ ∠ ACB+ ∠ BAC=180 °，即x+2x+2x=180 °，解得 x=36°，∴∠B=72°24． DE=CE ．理由是：∵等腰梯形ABCD ，AB ∥ CD，∴∠A= ∠B，∵E 为 AB 的中点，∴AE=BE ，在△CBE 和△DAE 中，∴△CBE≌△DAE （SAS），∴DE=CE ．25． 1）证明：过点 D 作 DF∥ AC ，交 BC 的延长线于点F，过点 D 作 DH ⊥BC 于点 H，∵AD ∥BC ，∴四边形 ACFD 是平行四边形，∴CF=AD ，DF=AC ，∵AC ⊥BD ，AE⊥BC，∴DH=AE ， DF ⊥BD ，∵ AB=CD ，∴AC=BD ，∴BD=DF ，∴△ BDF 是等腰直角三角形，∴BH=FH ，∴DH= BF= （ BC+CF ）= （AD+BC ），∴AE= （AD+BC ）；（2）解：∵AC=10cm ，∴BD=DF=10cm ，在 Rt△ BDF 中， BF==10（cm），∴ AD+BC=BF=10cm，∴AE= BF=5 （ cm），∴ S 梯形ABCD = （ AD+BC ）?AE=×10×5=50（cm2）．26．∵四边形 AEBC 是平行四边形，AD=BC ，∴AD=BC=AE ， BD=AC=BE ，在△AEB 和△ ADB 中，，∴△AEB ≌△ADB ，∴∠ABD= ∠ABE ．27．（ 1）等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AB=CD ，∴∠C=∠ABC ，∵BD 平分∠ABC ，∴ ∠ C=∠ ABC=2 ∠ DBC ，∵BD⊥DC，∴ ∠BDC=90 °，∴3∠ DBC=90 °，∴ ∠ DBC=30 °，∴ ∠ ABC= ∠ C=2∠ DBC=60 °；（2）∵AD ∥BC，∴∠ADB= ∠DBC，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD= ∠DBC，∴∠ABD= ∠ADB ，∴ AB=AD=DC ，∵AD=3cm ，∴AB=DC=3cm ，在 Rt△ BDC 中，∠BDC=90 °，∠DBC=30 °， DC=3cm ，∴BC=2DC=6cm ，∴梯形 ABCD 的周长是AD+AB+BC+CD=3cm+3cm+6cm+3cm=15cm．28．∵在等腰梯形ABCD 中， AB=CD ，∴∠ABC= ∠ C，∵对角线 BD 平分∠ABC ，∴ ∠ DBC=∠ ABC=∠ C，∵AD ∥BC ，∴∠DBC= ∠ ADB ，∴ ∠ C=2∠ DBC ，∵BD ⊥CD ，∴∠ DBC=30 °，∴ BC=2CD ，∵梯形的周长 =AD+AB+BC+CD=5AB=30cm ，∴AB=AD=CD=6cm ， BC=12cm29．（ 1）∵ AD ∥BC， CE=AD ，∴四边形 ACED 为平行四边形∴DE ∥ AC ，DE=AC∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AC=BD ，∴BD=DE ，∴∠ E=∠ DBE ，∵AC ⊥BD ， AC ∥DE，∴DE⊥BD ，∴ ∠BDE=90 °，∴∠E=45°∵DE∥AC ，∴ ∠ E+∠ ACE=180 °，∴ ∠ ACE=135 °（2）∵ AD=CE ，∴BE=BC+CE=BC+AD=10cm ，∴ Rt△BDE 中，由勾股定理得：BD2+DE2=BE2，又∵ BD=DE ，∴ BD2=50，∴ S△BDE =cm2．30．（ 1）线段 AC 与 BC 的位置关系是：AC ⊥ BC ，理由是：∵等腰梯形ABCD ，∠ ADC=120 °，∴ ∠ DAB= ∠CBA=60 °，又由 AD=DC ，∠ADC=120 °，∴ ∠ DAC=30 °，∴ ∠ CAB=30 °，∴ ∠ ACB=90 °，即 AC⊥BC ．（2）过 C 作 CE∥AD 交 AB 于 E，∵DC ∥AB ， CE∥ AD ，AD=DC ，∴四边形 ADCE 是菱形，又∠ CBA=60 °，△ CBE 为等边三角形，作 CF⊥AB 于 F，∴，则梯形 ABCD 的面积为cm2，答：梯形 ABCD 的面积是 12 cm 2．等腰梯形的性质---11。

等腰梯形性质与判定的运用

4如果等腰梯形一条对角线平分一个锐角且此梯形的周有一组对角互补的梯形是等腰梯形
回顾：
等腰梯形的性质是什么？判定呢？
A

B
D
C
练习： 1、一个四边形的四个内角的度数之比是2：2：1：1。则
等腰梯形次四边形的形状是 _____________ 2、如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有_______ 对。 3 直角或等腰梯形。 3、有两个角相等的梯形是_____________ 4、如果等腰梯形一条对角线平分一个锐角，且此梯形的周长为5厘米，下底长2厘米，则上底长为1CM _____，腰长为 ____ 。 1CM 5、下列说法正确的是： B A 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形， A D B 有一组对角互补的梯形是等腰梯形。 C有一组邻角相等的梯形是等腰梯形。 O D有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形。
B
C
例1：在梯形ABCD中，AB∥DC，DB评分∠ADC，过点A作AE∥BD,交CD延长线于点E，且∠ C=2∠E。（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形。（2）若∠1=30°，AD=5，求CD的长。 A B
E
D
C
练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点， MB=MC，试说明梯形ABCD是等腰梯形。
小结：1、等腰梯形的性质有哪些？ 1、两条腰相等，两底互相平行。 2、等腰梯形同一底上的两个角相等 3，等腰梯形的对角互补 4、等腰梯形是轴对称图形。 5、等腰梯形的对角线相等 2、判断等腰梯形的方法有哪些？ 1、定义 2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 3，对角互补的梯形 4、是轴对称图形的梯形。
A
M
D

2006年中考数学压轴题精选及解析华师大版

2006年中考数学压轴题精选及解析1、（2006 某某省实验区）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥，7460OA AB COA ===，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且58BD AB =，求这时点P 的坐标．1、解：（1）过B 点作BE OA ⊥，垂足是点E ，四边形OABC 是等腰梯形，60OC AB BAO COA ∴===，∠∠，在Rt BAE △中，sin 60cos604BE AEAB AB AB ===，，，14422BE AE ===⨯=． 725OE OA AE =-=-=，B ∴点的坐标(5，，（2）60COA =∠ ，OCP △为等腰三角形，OCP ∴△为等边三角形．4OC OP PC ∴===，P 点是在x 轴上，P ∴点的坐标(40)，或(40)-，。

x（3）58BD AB =，且342AD BD AB AB AD +==∴=，，． 60CPD OAB COA ===∠∠∠，12018060120OCP CPO CPO APD +=+=-=，∠∠∠∠，OCP DPA =∠∠．OCP APD ∴△∽△OP OC AD AP ∴=，设7OP x AP x ==-，，即4372x x =-． 21276016x x x x -+===，，这时P 点的坐标(10)(60)，，，．2、（2006某某省宿迁市）设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ，半径为r 的⊙O 的圆心O 在直线l 上运动．．，点A 、O 间距离为d ．（1）如图①，当r ＜a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：所以，当r ＜a时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有个；（2）如图②，当r ＝a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有个；l（题图①）l（题图②）（3）如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝54a ；（4）就r ＞a 的情形，请你仿照“当……时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有个”的形式，至少给出一个关于“⊙O 与正方形的公共点个数”的正确结论．解：（1）所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；（2）（题图③）l图①l图②所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；（3）如图所示，连结OC ．则OE ＝OC ＝r ，OF ＝EF －OE ＝2a －r ．在Rt △OCF 中，由勾股定理得：OF 2＋FC 2＝OC 2即（2a －r ）2＋a 2＝r24a 2－4ar ＋r 2＋a 2＝r 2 5a 2＝4ar5a ＝4r ∴r ＝54a ． 3、（2006 某某市）如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A B ，两点．（1）求AB ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与AB ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．l3、解：依题意得216412y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之得12126432x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (63)(42)A B ∴--，，， ························· 3分（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图1）由（1）可知：OA OB ==AB ∴=12OM AB OB ∴=-= 过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足由BEO OCM △∽△，得：54OC OM OC OB OE =∴=，，同理：55500242OD C D ⎛⎫⎛⎫=∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠52045522k k b b b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ AB ∴的垂直平分线的解析式为：522y x =-．（3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线12y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）． 212164y x m y x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩ 2116042x x m ∴-+-=图1 第3题抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m ⎛⎫∴--⨯-= ⎪⎝⎭，2523144m P ⎛⎫∴=∴ ⎪⎝⎭，在直线12524GH y x =-+：中， 25250024G H ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，2554GH ∴=设O 到GH 的距离为d ，112212551252524224552GH d OG OH d d AB GH ∴=∴⨯=⨯⨯∴=，∥P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d 。

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《梯形、等腰梯形及其性质判定》2006年中考试题集锦
第1题. (2006 常州课改)在平面直角坐标系中描出下列各点(21)(01)(43)(63)A B C D ---，，，，，，，，并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD ．（1）四边形ABCD 是什么特殊的四边形？答：；
（2）在四边形ABCD 内找一点P ，使得APB BPC CPD APD ，，，△△△△都是等腰三角形，请写出P 点的坐标．
答案：解：画图正确（1）等腰梯形；（2
）3)P ．
第2题. (2006 重庆课改)如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，90BCD ∠=，且1AB =，2BC =，tan 2ADC ∠=．（1）求证：DC BC =；
（2）E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且EDC FBC ∠=∠，DE BF =，试判断ECF △的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当:1:2BE CE =，135BEC ∠=时，求sin BFE ∠的值．
答案：（1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M ．
则2AM BC ==．
又tan 2ADC =∠，所以2
12
DM =
=．
E
B
F
C
D
A
因为1MC AB ==，所以2DC DM MC =+=．即DC BC =．（2）等腰直角三角形．
证明：因为DE BF =，EDC FBC =∠∠，DC BC =，所以，DEC BFC △≌△．
所以CE CF =，ECD BCF =∠∠．所以
90ECF BCF BCE ECD BCE BCD =+=+==∠∠∠∠∠∠．
即ECF △为等腰直角三角形．
（3）设BE k =，则2CE CF k ==
．所以EF =．因为135BEC =∠，又45CEF =∠，所以90BEF =∠．所以
3BF k =．
所以1
sin 33
k BFE k =
=∠．
第3题. (2006 泰安非课改)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，若B ∠与C ∠互余，则MN 与BC AD -的关系是（）Ａ．2MN BC AD <- Ｂ．2MN BC AD >- Ｃ．2MN BC AD =- Ｄ．()2MN BC AD =-
答案：Ｃ
第4题. （2006 滨州非课改）如图，已知等腰梯形ABCD 的周长是20AD BC ，，
∥120AD BC BAD <∠=，，对角线AC 平分BCD ∠，则ABCD S 梯形=
．
答案：
第5题. （2006 临沂非课改）如图，在等腰梯形ABCD 中，
2445A B B C B ===，，∠
，则该梯形的面积是（
）
Ａ．1
Ｂ．4
Ｃ．4
Ｄ．2
答案：Ｄ
A
B
E
F
C
M
D
A D C
B
M N
第6题. （2006 枣庄非课改）在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（）
答案：Ｄ
第7题. （2006 北京非课改）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，如果48
60A D B C B ==∠=，，，那么这个等腰梯形的周长等于．答案：20
第8题. （2006 常德课改等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm ，10cm ，6cm ，则等腰梯形的下底角为度．
答案：60
第9题. (2006 泰州课改)在等腰梯形ABCD 中，123AD BC AD AB CD BC ====，，，∥，则
B ∠＝度．
答案：60
第10题. (2006 潍坊课改)如图，等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，AC BC ⊥，点E 是AB 的中点，EC AD ∥，则ABC ∠等于（） A ．75︒ B ．70︒ C ．60︒ D ．30︒ 答案：Ｃ
第11题. (2006 烟台非课改)活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为2
450cm ，则两条对角线所用的竹条至少需要（）
Ａ．30cm Ｂ．60cm Ｃ．45cm Ｄ．90cm 答案：B
第12题. (2006 湛江非课改)若一梯形的上底长为3，下底长为5，则该梯形的中位线长为．答案：4
第13题. (2006 镇江课改)在平面直角坐标系中描出下列各点(21)
(01)(43)(63)A B C D ---，，，，，，，，
并将Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． A
D B
C
E B
各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD ．（1）四边形ABCD 是什么特殊的四边形？答：；
（2）在四边形ABCD 内找一点P ，使得APB BPC CPD APD ，，，△△△△都是等腰三角形，请写出P 点的坐标．
答案：解：画图正确（1）等腰梯形；
（2
）3)P ．
第14题. （2006 茂名课改）下列各图中，沿着虚线将正方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（）
答案：Ｂ
第15题. （2006 衡阳课改）下列说法：①对角线相等的梯形是等腰梯形；②对角线互相垂直的矩形是正方形．其中（） A ．①正确，②不正确 B ．①、②都正确 C ．①、②都不正确 D ．①不正确，②正确答案：B
第16题. （2006 荆州课改）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥．
90C =∠，且AB AD =．连结BD ，过A 点作BD 的垂线，交BC 于E ．如果
3cm EC =，4cm CD =，那么，梯形ABCD 的面积是___________________2
cm ．
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（中点）（中点）
A
D
E
C
B
答案：26
第17题. （2006 湘潭课改）如图是一个等腰梯形状的水渠的横切面图，已知渠道底宽2BC =米，渠底与渠腰的夹角120BCD =∠，渠腰5CD =米，求水渠的上口AD 的长．
答案：解：过C 和B 分别作CE AD BF AD ⊥⊥，
120BCD =∠ 30ECD ∴=∠
11
5 2.522
ED CD ∴==⨯=
∴四边形ABCD 为等腰梯形 2.5AF ED ∴== 2EF BC ==
2.52 2.57AD DE EF FA ∴=++=++=（米）
第18题. （2006 宜昌课改）下列四边形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（）Ａ．①②③ Ｂ．①②③④ Ｃ．①② Ｄ．②③ 答案：Ａ
第19题. （2006 株洲课改）如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB DC ∥．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．
（1）求梯形ABCD 四个内角的度数；
（2）试探梯形ABCD 四条边之间存在的数量关系，并说明理由．
答案：解：（1）如图123∠=∠=∠，123360∠+∠+∠=，即
1120∠=，所以图甲中梯形的上底角均为120，下底角均
A
B C
D
A B
C
D
E
F
图甲
图乙
Ｅ
ＦＨ
Ｍ 1
2
3
为60．
（2）由EF 既是梯形的腰，又是梯形的上底可知，梯形的腰等于上底．连结MN ，则30FMN FNM ∠=∠=，从而30HMN ∠=，90HNM ∠=，所以1
2
NH MH =
，因此梯形的上底等于下底长的一半，且等于腰长．
第20题. （2006 鄂尔多斯课改）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称：．答案：等腰梯形、矩形（长方形）、平行四边形中任选两个即可
第21题. （2006 兰州A 课改）如图：在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，EF 为梯形的中位线，DH 为梯形的高，则下列结论：①
60BCD ∠=，②四边形EHCF 为菱形，③1
2
BEH CEH S S =
△△，④以AB 为直径的圆与CD 相切于点F ，其中正确结论的个数为（）．Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 答案：Ｂ
第22题. （2006 新疆课改）如图，等腰梯形ABCD 下底与上底的差
恰好等于腰长，DE AB ∥．则DEC ∠等于（）Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°
答案：B
第23题. （2006 威海非课改）如图，梯形纸片ABCD ，已知AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝6，CD ＝3．将该梯形纸片沿对角线AC 折叠，点D 恰与AB 边上的E 点重合，则∠B ＝________．答案：60˚
A
D
C
E
B E。