高考数学大一轮复习 三角函数、解三角形 4_5 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换教师用书

第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)(2017²嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sin π＋α2－cosπ＋α2sin π－α2－cosπ－α2等于( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 (1)12cos 2x (2)B解析 (1)原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋1 2³sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ²cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝ 2cos 2x －124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)sin π＋α2－cos π＋α2sin π－α2－cos π－α2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＝cos 2α2＋2sin α2cos α2＋sin2α2cos 2α2－sin2α2＝1＋sin αcos α.∵sin(π＋α)＝－sin α＝35，∴sin α＝－35.∵α是第三象限角，∴cos α＝－45，故原式＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－12.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)＝________.(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118C.1718D ．－1718答案 (1)－1 (2)D 解析 (1)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos(x －π6) ＝3³(－33)＝－1. (2)cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.题型二 三角函数的求值 命题点1 给值求值问题例2 (1)(2016²合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________. 答案 12解析 ∵α为锐角， ∴sin α＝1－ 17 2＝437.∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114³17＋5314³437＝4998＝12.(2)(2015²广东)已知tan α＝2. ①求tan(α＋π4)的值；②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2³1＝－3. ②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2³24＋2－2＝1. 命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 (1)C (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)，∴α＋β＝7π4.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β ＋tan β1－tan α－β tan β＝12－171＋12³17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³131－ 132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34³17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝________. 答案π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255³31010－55³1010＝22.又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法； (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．(1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6(2)(2016²义乌检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.5π4 C.5π4或7π4 D.3π2 答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55³31010－255³(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)因为α∈[π4，π]，sin 2α＝55>0，所以2α∈[π2，π]，所以cos 2α＝－255且α∈[π4，π2]，又因为sin(β－α)＝1010>0，β∈[π，3π2]， 所以β－α∈[π2，π]，所以cos(β－α)＝－31010，因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝1010³(－255)＋(－31010)³55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝(－31010)³(－255)－1010³55＝22，又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4，故选A.题型三 三角恒等变换的应用例4 (2016²天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ²cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }．f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.9．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (15分)(2015²重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决． 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，[6分]因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[7分](2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[9分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[11分]当π2≤2x －π3≤π， 即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．[13分]综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[15分]1．(2016²宁波模拟)设tan(α－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 答案 C解析 因为tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－4，故选C.2．(2016²全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725 答案 D解析 因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2³925－1＝－725，故选D.3．(2016²富阳模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 D 解析sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2³3＝6. 4．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos α－π4 ＝2sin α sin α＋cos α 22 sin α＋cos α ＝22sin α＝－255.5．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.6．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2³π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z )． ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C. 7．(2016²宁波十校联考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R ，则函数f (x )的最小值为________，函数f (x )的单调递增区间为__________________．答案 －2 [k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z 解析 因为f (x )＝32sin 2x －cos 2x ＋12－12＝sin(2x －π6)－1，所以f (x )的最小值为－2.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z .8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 9．化简：3tan 12°－3 4cos 212°－2 sin 12°＝________. 答案 －4 3 解析 原式＝3²sin 12°cos 12°－32 2cos 212°－1 sin 12° ＝23 12sin 12°－32cos 12° cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin －48° 2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 10．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是________． 答案 3－1解析 f (x )＝3sin 23x －(1－cos 23x ) ＝2sin(23x ＋π6)－1， 又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤2π3， ∴f (x )min ＝2sin 2π3－1＝3－1. 11．(2016²温州第一次适应性测试)已知2sin αtan α＝3，且0<α<π.(1)求α的值；(2)求函数f (x )＝4cos x cos(x －α)在[0，π4]上的值域． 解 (1)由已知，得2sin 2α＝3cos α，则2cos 2α＋3cos α－2＝0，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)， 又因为0<α<π，所以α＝π3. (2)由(1)，得f (x )＝4cos x cos(x －π3) ＝4cos x (12cos x ＋32sin x ) ＝2cos 2x ＋23sin x cos x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x＝1＋2sin(2x ＋π6)， 由0≤x ≤π4，得π6≤2x ＋π6≤2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值f (0)＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最大值f (π6)＝3， 所以函数f (x )在[0，π4]上的值域为[2,3]．*12.已知函数f (x )＝sin x 2sin(π2＋x 2)． (1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间；(2)已知角α满足α∈(0，π2)，2f (2α)＋4f (π2－2α)＝1，求f (α)的值． 解 f (x )＝sin x 2sin(π2＋x 2) ＝sin x 2cos x 2＝12sin x . (1)函数f (x )的单调递减区间为[－π，－π2]，单调递增区间为[－π2，0]． (2)2f (2α)＋4f (π2－2α)＝1 ⇒sin 2α＋2sin(π2－2α)＝1 ⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.∵α∈(0，π2)， ∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4， ∴f (α)＝12sin π4＝24. *13.已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )． 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝45³32－35³12＝43－310.。