轴对称知识点

了解轴对称图形的相关概念，会判断一个图形是否为轴对称图形。会判断对称轴的条数。 了解对称轴的性质。

了解垂直平分线的性质及判断，并且熟练运用它的性质及判断解题。

会利用尺规作图画线段的垂直平分线。

【例题讲解】

例1

、下列图形中，轴对称图形的个数是（

）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 例2、从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是：则该编码实际上是____________. 例3、一个汽车车牌在水中的倒影为 ，则该车的牌照号码是______．

例4、如图，ΔABC 中AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D.若∠A=40°，则 ∠DBC=_________；若AC+BC=10cm ，则ΔDBC 的周长为__________

㎝；

例5、、如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE =3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为_________.

例6、作图：如图，在直线l 上找一点，使PA =PB ．

例7、如图所示，∠BAC ＝105°，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ．求∠PAQ 的度数．

6题 【相关练习】

1、下列图案中是轴对称图形的有：

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

2、在图中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.答：图形 ；理由是： .

3、．将写有字“B ”的字条正对镜面，则镜中出现的会是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

4、如图,△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=5cm ，△CBD 的周长为24cm ，△ABC 的周长___________cm

5、．已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点

D ，交AC 于点

E ，AC =8，△ABE 的周长为14，求AB 的长．

6、如图，两个班的学生分别在M 、N 两处参加植树劳动，现要在道路

AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相

等，且使PM=PN ，请你找出这个点P ，并说明理由． D C B A 第4题 第5题

A B D C E M B A N C

Q P 第7题 B

·N ·M

A B C

6题图 A B l

1、利用对称轴的性质作轴对称图形。

2、利用作图画出最短路径及求最短路程。

3、利用坐标表示轴对称，了解坐标关于x 轴，y 轴对称的特点。

【例题讲解】

例1、把下列图形补成以直线a 为对称轴的轴对称图形．

例2、如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

例3、如图所示，∠ABC 内有一点P ，在BA 、BC 边上各取一点P 1、P 2，使△PP 1P 2的周长最小． 例4、如图，在直线l 上找一点P ，使PA +PB 最短．．

．

例5、已知点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标是（2，3），那么P 关于

y 轴对称点P "的坐标是________．

（1）请画出ABC △关于y 轴对称的A B C '''△（其中A B C '''，，分 别是A B C ，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出A B C '''，，三点的坐标：(_____)(_____)(_____)A B C '''，，

．

（3）求△ABC 的面积是多少？ 【相关练习】

1、已知点A （x ， －4）与点B （3，y ）关于x 轴对称，那么x ＋y 的值为________.

2、在直角坐标系内，已知A 、B 两点的坐标分别为A （－1

，1）、B （3，3），若M 为x 轴上一点，且MA ＋MB 最小，则M 的坐标是___________.

3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是__________

4、如图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是_________。

5题

5、如图，△ABC 中，边AB 、BC 的垂直平分线交于点P ．

（1）求证:PA =PB =PC ．

（2）点P 是否也在边AC 的垂直平分线上?由此你还能得出什么结论?

6、如图7，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线

OA 、OB •的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，

则线段MN 的长是___________．

7、如图，根据要求回答下列问题：

解：（1）点A 关于x 轴对称点的坐标是_______________；

点B 关于y 轴对称点的坐标是_______________；

点C 关于原点对称点的坐标是_______________；

（2）作出与△ABC 关于x 轴对称的图形（不要求写作法） B M N P 1A P 2O P A B l O 1 2 x

1 -1 A

B C y ︰

4题 M A

N C Q P B

三、等腰三角形 1、了解等腰三角形的性质：①等边对等角，②三线合一，③等角对等边。 2、利用等腰三角形的性质证明。 3、了解等边三角形的性质及判断：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 ②在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 【例题讲解】 例1、等腰三角形中，有两条边分别是6和8，那么它的周长为_______________。 例2、等腰三角形中，有一个角是70°，那么另外两个角分别是_________________________。 例3、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于________________。 例4、如图,△ABC 中，AB=AC ，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F 。图中有______个等腰三角形,且EF 与BE 、CF 间等量关系是_____________。 例5、如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于 横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为___________ 例6、如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．• 求证：AF ⊥CD. 例7、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点， DE ⊥AB ，DF ⊥

AC ，垂足分别为E 、 F ，添加一个条件，使DE = DF ， 并说明理由．解：

需添加条件是 ． 理由是：

3题 4题 5题 6题 例8、如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，

DF=EF ，BD=CE 。求证：△ABC 是等腰三角形。

例9、如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点。

例10、如图9，△ABC 是边长为1的等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120°，

E 、

F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF=60°，求△AEF 的周长．

例11、如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =∠，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为

DF ）

，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转． （1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ．

①证明DM DN =；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM DN

=是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

A D C N F

E B M 图1 A

D C N F E

B M 图2 A D C

N F E B M 图3 C E F B D A E C M D B A F E D C B A (1)C B F O E A