等式及方程
等式与方程的解法
等式与方程的解法在数学中，等式和方程是我们常常遇到的两个概念。
它们在数学问题的解决中起着重要的作用。
本文将介绍等式和方程的基本概念以及它们的解法方法。
一、等式的解法等式是具有相等关系的数学表达式。
求解等式的解，就是找出使得等式成立的数值。
下面介绍两种常见的等式解法方法。
1.1 值的代入法值的代入法是求解等式的最直观的方法之一。
假设有一个等式x + 5 = 10，我们要求解x的值。
我们可以将x的值依次代入等式中，直到找到符合等式成立的值。
当我们将x = 5代入等式时，得到5 + 5 = 10，显然这不是一个正确的解。
继续尝试，当我们将x = 10代入等式时，得到10 + 5 = 10，仍然不满足等式。
最后，当我们将x = 5代入等式时，得到5 + 5 = 10，满足等式，因此我们可以得出结论，x = 5是等式的解。
通过值的代入法，我们可以逐一尝试不同的数值，找到等式的解。
1.2 变量的移项法变量的移项法是求解较复杂等式的一种常用方法。
当等式中含有未知数和常数时，我们可以通过变量的移项以简化等式的形式，再进行求解。
例如，考虑等式2x + 3 = 7，我们要求解x的值。
首先，我们可以将常数3移到等式的右侧，得到2x = 7 - 3。
继续化简等式，得到2x = 4。
最后，通过除以系数2，我们可以得到x = 2，即等式的解。
通过变量的移项法，我们可以通过移动项的位置来简化等式，使我们更容易求解。
二、方程的解法方程是一个含有未知数的等式。
与等式不同的是，方程通常不止一个解。
在解决方程时，我们要找到所有使方程成立的未知数的取值。
下面介绍两种常见的方程解法方法。
2.1 因式分解法因式分解法是一种寻找方程解的有效方式。
当方程可以分解成更简单的形式时，我们可以利用因式分解的思想，找到方程的根。
例如，考虑方程x^2 - 4 = 0，我们要求解x的值。
我们可以将方程进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2) = 0。
等式和方程的解法
等式和方程的解法等式和方程是数学中常见的概念，它们在解决各种实际问题和理论推导中起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨等式和方程的不同解法以及它们在数学中的应用。
一、等式的解法等式是指两个表达式的值相等。
解一个等式就是找到使等式成立的未知数的值。
在解等式时，我们可以使用逆运算、等式性质和等价变形等方法。
1.1 逆运算逆运算是指将等式两边同时进行相反的运算，从而保持等式的平衡。
常见的逆运算有加法的逆运算减法、乘法的逆运算除法等。
例如，对于等式2x + 5 = 15，我们可以通过逆运算的方式解出未知数x的值。
1.2 等式性质等式性质是指等式成立的基本性质。
根据等式性质，我们可以进行等式的变形，以便更容易解出未知数的值。
常见的等式性质包括交换律、结合律和分配律等。
例如，对于等式3x + 4 = 7 + x，我们可以利用结合律将等式变形为2x = 3，进而解出未知数x的值。
1.3 等价变形等式的等价变形是指通过一系列等式的变换，将原等式转化成一个与之等价的新等式，从而解出未知数的值。
等价变形的常见方法有合并同类项、消去离去项等。
例如，对于等式2(x + 1) = 3(x - 2)，我们可以通过合并同类项和消去离去项的变形，得到2x + 2 = 3x - 6，然后再用其他方法解出未知数x的值。
二、方程的解法方程是指等号连接的含有未知数的代数式。
解一个方程就是找到使方程成立的未知数的值。
在解方程时，我们可以使用逆运算、代入法和配方法等方法。
2.1 逆运算与解等式时的逆运算类似，我们可以对方程两边同时进行逆运算，从而解出未知数的值。
例如，对于方程3x - 5 = 7，我们可以通过加上5再除以3的逆运算，解出未知数x的值。
2.2 代入法代入法是指将一个已知的值代入方程中，检验方程是否成立，进而解出未知数的值。
代入法适用于一元一次方程组等情况。
例如，对于方程4x + 3y = 10和2x - y = 5，我们可以通过代入已知的x和y的值，来解出未知数x和y的值。
方程的意义和等式的性质
等式的性质二：等式的可加性
总结词
如果a=b，那么a+c=b+c。
详细描述
等式的可加性是指在等式中，如果一个数或表达式加上另一个数或表达式的结果 不变，那么加上或减去同一个数或表达式不会改变等式的成立。例如，如果3 + 4 = 7，那么根据等式的可加性，我们可以得出3 + 4 + 2 = 7 + 2。
等式的性质三：等式的可乘性
总结词
如果a=b，那么ac=bc。
详细描述
等式的可乘性是指在等式中，如果一个数或表达式乘以另一个数或表达式的结果不变，那么乘以或除 以同一个数或表达式不会改变等式的成立。例如，如果3 = 7，那么根据等式的可乘性，我们可以得 出3 × 2 = 7 × 2。
03
CATALOGUE
等式的性质一：等式的传递性
总结词
如果a=b且b=c，那么a=c。
详细描述
等式的传递性是数学中的一个基本性质，它表明如果两个数或表达式相等，并且第三个数或表达式与第二个数或 表达式相等，那么第三个数或表达式与第一个数或表达式也相等。例如，如果3 + 4 = 7且7 = 2，那么根据等式 的传递性，我们可以得出3 + 4 = 2。
等。
方程的应用场景
01
02
03
04
物理问题
描述物理现象和规律时，常常 需要建立和解决方程。
工程问题
在设计和制造各种机械、电子 设备时，需要解决各种复杂的
方程。
经济问题
在研究市场供求关系、生产成 本等问题时，需要建立和解决
方程。
日常生活
在解决日常生活中的问题时， 如购物、计算时间等，也可以
等式与方程
方程和等式的相同点
方程和等式的相同点
方程和等式是数学中常见的两个概念，它们的相同点有以下几点：
1. 表示关系：方程和等式都是用数学符号来表示两个或多个数之间的关系。
它们可以用于解决各种数学问题，如求解未知数、比较大小、判断等式是否成立等等。
2. 拥有相等符号：方程和等式都包含一个相等符号“=”，这个
符号表示两边的值是相等的。
3. 可以进行推导和变形：方程和等式都可以进行推导和变形，以便更好地理解和解决问题。
例如，可以将两个等式相加或相减，或者将一个未知数代入到另一个等式中求解。
4. 具有数学性质：方程和等式都具有一些基本的数学性质，如可逆性、传递性、对称性等等，这些性质在解决问题时起到了重要的作用。
总之，方程和等式在数学中具有重要的作用，它们的相同点包括表示关系、拥有相等符号、可以进行推导和变形以及具有数学性质。
小学数学中的等式和方程
小学数学是学生们开启数学学习的起点，其中等式和方程是数学学习的基础内容之一。
等式和方程是数学中的重要概念，通过学习等式和方程，学生们能够培养逻辑思维和解决问题的能力。
等式是数学中最基本的关系式之一，它表示两个量相等。
等式的左边和右边是相等的，它们之间以等号“= ”连接。
我们通过观察、计算等方式可以验证一个等式是否成立。
例如，在小学数学中我们学习了“10-7 = 3”这个等式，我们可以将等式中的数值代入计算，确保两边的结果相等，从而证明等式成立。
方程是数学中与未知数有关的等式。
在小学数学中，我们接触的方程多为一元一次方程，即只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
例如，我们学习了“x + 2 = 8”这个方程，其中的“x”即为未知数，我们需要求解出x的值。
通过观察和计算，我们可以得出x = 6的答案。
小学数学中的等式和方程的学习，不仅仅是为了掌握计算技巧，更为重要的是培养孩子们的逻辑思维和解决问题的能力。
通过等式和方程的学习，孩子们将逐渐形成一种观察分析和推理问题的能力，这是培养孩子们创新思维和解决实际问题能力的基础。
在小学数学中，等式和方程的学习可以通过生活实例进行展开。
例如，通过日常生活中的购物场景，我们可以引导学生思考如何使用等式和方程计算物品的价格和数量，了解货币的概念和使用方法。
此外，我们还可以通过简单的盒子问题引导学生进行等式和方程的计算，培养他们分析问题和解决问题的能力。
在教学过程中，需要教师灵活使用不同的教学方法，帮助学生理解等式和方程的概念。
除了通过讲解和演示，教师还可以组织学生进行小组活动，引导他们合作探索等式和方程的规律。
通过让学生们通过游戏和练习实践等方式，将等式和方程的概念应用到具体问题的解决中，帮助他们加深对等式和方程的理解。
通过小学数学中的等式和方程的学习，学生们不仅能够掌握计算技巧，还能够培养逻辑思维和解决问题的能力。
等式和方程是数学学习的基础内容，为学生们进一步学习和应用数学打下了坚实的基础。
等式和方程的应用
等式和方程的应用一、等式的概念与性质1.等式的定义：表示两个数或表达式相等的式子，用等号“=”连接。
2.等式的性质：a.两边同时加减同一个数，等式仍成立；b.两边同时乘除同一个非零数，等式仍成立；c.等式两边交换位置，等式仍成立；d.等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍成立。
二、方程的概念与解法1.方程的定义：含有未知数的等式，简称方程。
2.方程的解法：a.代入法：将方程中的未知数替换为具体的数值，求出方程的解；b.移项法：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到另一边，使未知数系数化为1；c.合并同类项法：将方程中的同类项合并，简化方程；d.因式分解法：将方程进行因式分解，求出方程的解；e.求根公式法：对于一元二次方程，利用求根公式求解。
三、方程的应用1.实际问题中的应用：a.行程问题：速度、时间和路程的关系；b.利润问题：售价、成本和利润的关系；c.浓度问题：溶质、溶剂和溶液的关系；d.比例问题：比例、外项和内项的关系。
2.方程在科学计算中的应用：a.物理中的力学问题：力、质量、加速度的关系；b.化学中的反应问题：反应物、生成物和反应速率的关系；c.生物学中的种群问题：种群数量、增长率的关系。
四、等式和方程在生活中的应用1.购物问题：计算商品总价、找零等；2.Time 问题：计算时间差、周期等；3.测量问题：计算长度、面积、体积等；4.分配问题：计算分配比例、分配数量等。
五、等式和方程的拓展应用1.函数关系式：用等式表示两个变量之间的关系；2.不等式：表示两个数或表达式的大小关系；3.系统方程：多个方程组成的求解体系。
习题及方法：1.等式性质习题：已知等式 2x + 3 = 13，求 x 的值。
答案：将等式两边同时减去3，得到 2x = 10，再将等式两边同时除以2，得到 x = 5。
解题思路：利用等式的性质，将常数项移到等式右边，未知数系数化为1。
2.方程解法习题：已知方程 5x - 8 = 2x + 1，求 x 的值。
等式与方程
等式与方程 【知识要点】一、方程1、等式的意义：表示相等关系的式子叫做等式。
如：25-5=202、方程：含有未知数的等式是方程。
如：28-x =123、两者之间的关系：方程一定是等式；等式不一定是方程。
4、方程成立的条件：（1）必须是等式； （2）必须设有未知数二、解方程1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程。
2、等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
（2）等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
3、解方程的方法：（1）等式的性质；（2）四则运算各部分的关系：一个加数＝和-另一个加数 减数＝被减数-差 被减数＝减数＋差一个因数＝积÷另个因数 除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数（3）移项。
4、等式的检验：将方程的解代入原方程看方程两边是否相等。
注意：解方程的时候要注意三点：1、要写“解”字；2、所有的等号要上下对齐；3、解完方程，要养成检验的好习惯。
【经典例题】【例1.1】下面的式子中，是等式的在后面（ ）里画“√”。
x +18=36（ ） x +2﹥10（ ） 72-x （ ） x =3（ ）等式方程【例1.2】哪些是等式，哪些是方程，请填入相应的横线上。
(填序号)①3+x=12②3.6+x③4+17.5=21.5④48+x﹤63等式______________________；方程：_____________________。
【练习1】判断。
（1）含有未知数的式子叫方程。
（）（2）等式都是方程。
（）（3）方程都是等式。
（）（4）10＝4x－8不是方程。
（）【例2】练习：1、解方程x-18=2020+3x=452x-4=133x+12=15x÷26=528x=33.6x÷25=1512x=108【练习2】解方程32+4x=4672-3x=181.2x-3=11.46.3x×3=22.6834÷3.2x=2.1255.6x÷1.12=10【例3】解方程并检验x -97=145 1.15+x =6.8 x ÷3=2.1 15x =240 -x【练习3】解方程并检验13.5-x =8.2 3x =3.9 28÷x =42 7.6+x =34.5【例4】填空。
等式与方程的解法
等式与方程的解法在数学中，等式和方程是我们经常会遇到和解决的问题。
它们是数学中最基础和重要的概念之一。
通过解等式和方程，我们可以找到未知数的值，从而解决实际生活中的各种问题。
本文将介绍等式和方程的解法，并通过示例来说明。
一、等式的解法等式是两个数或表达式之间的相等关系。
我们要找到使等式成立的解，即满足等式的变量的值。
1.1 同加同减法如果一个等式中有同一个数同时加上或减去某个数，我们可以通过同加同减法来解决。
例如，对于等式2x + 3 = 7，我们可以通过将3同时减去两边，得到2x = 4，再除以2，即可找到x的值，即x = 2。
1.2 同乘同除法当等式中有同一个数同时乘以或除以某个数时，我们可以通过同乘同除法来解决。
例如，对于等式3x = 9，我们可以通过将等式两边同时除以3，得到x = 3，从而求得x的值。
1.3 倒数关系有时候，在等式中，如果两个数之间存在倒数关系，我们可以通过互换它们的位置来解决问题。
例如，对于等式1/x = 2，我们可以通过倒数关系，得到x = 1/2，从而求得x的值。
二、方程的解法方程是一个陈述了两个表达式之间相等关系的等式。
在方程中，我们要找到使方程成立的未知数的值，即解方程。
2.1 一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数和次数为1的项的方程。
例如，x + 3 = 7就是一个一元一次方程。
我们可以通过移项、合并同类项和运算法则来解决一元一次方程。
2.2 一元二次方程一元二次方程是指只有一个未知数和次数为2的项的方程。
例如，x^2 + 4x + 4 = 0就是一个一元二次方程。
我们可以通过配方法、公式法或因式分解法来解决一元二次方程。
2.3 多元方程组多元方程组是指包含两个或两个以上未知数的方程组。
例如，x + y = 5，2x - y = 1就是一个多元方程组。
我们可以通过代入法、消元法或Cramer法则来解决多元方程组。
三、解法示例为了更好地理解等式和方程的解法，以下是一些实际问题的解法示例。
等式的性质和解方程
a+b=4b
a+b-b=4b-b a=3b
等式的基本性质一：
等式的两边同时加上或减去相等的数，等式不变。
x+75=100 x+75-75=100-75
125-x=100
125-x-100=100-100 25-x=0 x=25
x=25
a=2b
a×2=2b×2 2a=4b
2a=6b
2a÷2=6b÷2 a=3b
24-x=16 解：24-x-16=16-16 8-x=0 x=8
124÷x=62 解：124÷x÷62=62÷6 2÷x=1 x=2
当X是加数、被减数、因数、被除数时。也就是当X在前面时。
x+24=70 解：x+24-24=70-24 x=46 x×25=125 解：x×25÷25=125÷25 x=5
a=2b
a+b=2b+b a+a=2b+a
1把茶壶的重量＝2个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋1个茶杯的重量＝2个茶杯的重量＋1个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋2个茶杯的重量＝2个茶杯的重量＋2个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋1把茶壶的重量＝2个茶杯的重量＋1把茶壶的重量
等式的两边同时加上相等的数，等式不变。
等式的两边同时乘或除以相等的数（0除外），等式不 变。
等式的基本性质二：
x÷5=100 x÷5×5=100 × 5 x=500
125÷x=25
125÷x÷Leabharlann 5=25÷25 5÷x=1 x=5
当X是加数、减数、因数、除数时。也就是当X在中间时。
24+x=76 解：24+x-24=76-24 x=52 24×x=96 解：24×x÷24=96÷24 x=4
《等式》方程
标准型、去分母型、去括号型、移 项型、合并同类项型、系数化为1型 等。
一元一次方程的解法
01
02
03
步骤
去分母、去括号、移项、 合并同类项、系数化为1 。
解法
通过对方程进行变形，使 方程的形式变成ax=b或 ax±bx=c的形式，再求解 x的值。
注意事项
注意运算顺序和符号，以 及方程的解是否符合题意 。
例如
在机械设计中，多元方程可以用于计算物体 的重心和压力中心。
例如
在经济学中，多元方程可以用于预测通货膨 胀率和失业率的关系。
06
偏微分方程
偏微分方程的定义
偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的方程，通 常用于描述物理、工程和其他学科中的问题。
偏微分方程可以根据不同的分类方法进行分类，如根 据未知函数的个数、方程的形式等。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法包括分离变量法、变量代换法、格林函 数法等，这些方法的使用取决于方程的具体形式和性质。
对于一些简单的偏微分方程，可以通过直接求解得到精确 解，但对于复杂的偏微分方程，通常需要使用数值方法进 行近似求解。
偏微分方程的应用
偏微分方程在物理、工程、经济和其他学科中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、薛定谔方程等。
用于计算机科学、经济学等领域。
05
多元方程
多元方程的定义
定义
多元方程是指包含两个或更多未知数的等式。
例如
x + y = 10是一个二元方程，因为它有两个未知数x和y。
多元方程的解法
代数法
通过替换、化简等技术，将多元方程 转化为一元方程进行求解。
例如
对于方程`x + y = 10`，可以通过减 去y，得到`x = 10 - y`，然后代入求 解y。
等式与方程的认识与运算
等式与方程的认识与运算等式与方程在数学中扮演着重要的角色，它们是数学语言中的基础表达形式。
通过等式与方程，我们可以描述数与数之间的关系，并解决各种实际问题。
本文将从等式与方程的认识和运算两个方面展开讨论。
一、等式的认识等式是含有相等关系的数学表达式。
它由两个数值相等的表达式组成，通常以等号连接。
例如：2 + 3 = 5，这个等式表达了2 + 3与5的关系，即两边的和相等。
等式具有一些基本性质，比如等式是对称的。
即如果A = B，则B= A。
例如：3 + 2 = 5，那么5 = 3 + 2也是成立的。
在数学中，等式不仅可以用来表示数的关系，还可以描述物理规律和推导数学定理。
通过等式，我们可以推导出一些重要的数学关系和结论。
二、方程的认识方程是含有未知数的等式。
它是通过求解未知数，使得等式成立。
方程通常以字母表示未知数。
例如：3x + 2 = 8，其中x为未知数，我们需要求解x的值使得等式成立。
方程的解是使等式成立的未知数的取值。
方程可以有一个或多个解，也可以没有解。
解方程的过程就是求解未知数的取值。
三、等式的运算在等式中进行运算时，我们需要保持等式的平衡性。
即对等式两边同时进行相同的操作，等式仍然成立。
以下是等式的运算法则：1. 加减法原则：等式两边同时加（减）同一个数，等式仍然成立。
例如：a + b = c，我们可以在两边同时加上d，得到a + b + d = c + d。
2. 乘除法原则：等式两边同时乘以（除以）同一个非零数，等式仍然成立。
例如：ax = b，我们可以在两边同时乘以c，得到acx = bc。
通过这些运算原则，我们可以对等式进行变形，化简等式，从而更方便地求解方程。
四、方程的运算解方程是通过一系列运算步骤，使得方程的未知数利用等式的性质逐步消去，得到最终的解。
以下是解方程的基本步骤：1. 化简方程：对方程进行化简，去除括号、合并同类项等，使方程尽可能简化。
2. 移项操作：将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，以便于求解未知数。
等式和方程式
等式和方程式
等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
定义：数学术语，含有等号的式子叫做等式。
形式：把相等的两个数（或字母表示的数）用等号连接起来
等式的性质
性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍相等。
若a=b那么a+c=b+c
性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c（c≠0）
性质3：等式具有传递性。
若a1=a2,a2=a3,a3=a4,那么a1=a2=a3=a4
方程式：含有未知数的等式叫方程式。
方程（英文：equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。
等式的基本性质
1.等式两边同时加(或减)同一个数，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。
则：(1)a+c=b+c (2)a-c=b-c
2.等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。
则：a×c=b×ca÷c=b÷c
3.若a=b,则b=a（等式的对称性）。
4.若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
10--等式及方程概念
等式及方程概念知识点睛1.等式等式的概念：用等号”＝”来表示相等关系的式子，叫做等式.恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立.如：数字算式123+=.条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立.方程56x+=需要1x=才成立.矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立.如125+=，11x x+=-.等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.若a b=，则a m b m±=±；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式.若a b=，则am bm=，a bm m=(0)m≠2.方程：含有未知数的等式叫作方程.3.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的”元”是指未知数，”次”是指含未知数的项的最高次数.一元一次方程的形式：一元一次方程的最简形式：方程ax b=(0a≠，a，b为已知数)叫一元一次方程的最简形式.一元一次方程的标准形式：0ax b+=(其中0a≠，a，b是已知数)的形式叫一元一次方程的标准形式.例题精讲【例1】回答下列问题，并说明理由(1)由2323a b+=-能不能得到a b=？(2)由56ab b=能不能得到56a=？(3)由7xy=能不能得到7yx =？(4)由0x=能不能得到11xx x+=？【解析】紧扣等式变形的两个性质是解题的关键(1)由2323a b+=-不能得到a b=理由：根据等式性质1，等式两边都减去3应得226a b=-，根据等式性质2，等式两边都除以2，得3a b=-，而3b b≠-，∴a b≠(2)由56ab b=不能得到56a=理由：根据等式性质2，等式两边都除以整式b时，b应不等于0，但题中b的取值情况未作说明，因此由56ab b=，当0b≠时，才有56a=.(3)由7xy=得7 yx =理由：7xy =这个等式中隐含了0x ≠，0y ≠这个条件，根据性质2，等式两边都除以一个不等于0的整式x ，应得7y x= (4)由0x =不能得到11x x x+= 理由：因为1x不是整式，等式性质1要求在等式两边都加上或减去同一个整式， 所以由0x =得到11x x x +=是错误的.并且0x =使1x失去意义. 【例2】 用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的.(1)如果23x =+，那么x =_______； (2)如果6x y -=，那么6x =+______；(3)如果324x y -=，那么2y -=-_____； (4)如果324x =，那么x =______. 【解析】 (1)1-，根据等式性质1，在等式两边都减去3；(2)y ，根据等式性质1，在等式两边都加上y ；(3)34x ，根据等式性质1，在等式两边都加上34x -； (4)8，根据等式性质2，在等式两边都除以3.【例3】 下列说法不正确的是：( )A.等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式.B.等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式.C.等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式.D.一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式.【解析】 选择C.【例4】 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由(1)373x x -=-+ (2)223y -= (3)2351x x -+(4)112--=- (5)42x x -=- (6)152x y -= 【解析】 判断一个式子是不是方程，一要看是否为等式，二要看是否含未知数.(1)是方程.未知数是x ，已知数是3，7-，3-；(2)是方程.未知数是y ，已知数是2，2-，3；(3)不是方程.因为不含等号”=“；(4)不是方程.因为不含未知数；(5)是方程.未知数是x 、已知数是4，2-，1-；(6)是方程.未知数是x 、y ，已知数15、12-、1常数项、未知数的系数均为已知数，未知数的系数为1时，可以省略不说，但未知数系数为1-时，一定要指明，如(5).【例5】 检验括号里的数是不是方程的解，()3212y y -=(1y =，32y =) 【解析】 把1y =分别代入方程的左边和右边，左边＝()21110⨯⨯-=，右边32=， 左边≠右边，故1y =不是方程()3212y y -=的根. 把32y =代入方程的左边和右边，左边33321222⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，右边32=， 左边=右边，32y =是方程()3212y y -=的根. 【例6】 下列各式中：(1)3x +；(2)2534+=+；(3)44x x +=+；(4)12x=；(5)213x x ++=；(6)44x x -=-；(7)23x =；(8)2(2)3x x x x +=++.哪些是一元一次方程？(6)、(8)是一元一次方程.(1)不是等式，更不是方程；(2)不含未知数；(3)化简后x 的系数为0；(4)x 在分母上出现，也不是一元一次方程；(5)未知数的最高次数是2，不是一次；(6)是；(7)是方程，但不是一元一次方程；(8)是. 例子若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解.【解析】 2||0m -=，2m =±且20m -≠，2m ≠，所以2m =-.【例7】 (1)若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值.(2)已知方程2(63)70n m x -+=是关于x 的一元一次方程，求m ，n 满足的条件.(3)已知2(1)(1)30k x k x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求k 的值.【解析】 (1)21n -=，3n =.(2)630m -≠且21n =，所以12m ≠，1n =±. (3)由题意可知该方程是一元一次方程，二次项的系数必为0，则10k -=，所以1k =±，而一次项系数1k -不为0，则1k ≠，所以1k =-.【例8】 (1)已知4-是方程3602kx -=的解，则1999k = . (2) 如果关于x 的方程()2480m x m +-+=的根是0x =，求m 的值.【解析】 (1)根据题意可得3(4)602k ⨯--=，1k =-，则19991k =-. (2) 根据题意可得()20480m m +⨯-+=，2m =，2m =±.灵机一动已知关于x 的方程332ax a x +=+的解为4x =，求：23456...99100a a a a a a a a -+-+-++-的值. 【解析】 方程332ax a x +=+的解为4x =，则有43432a a +=+，求得1a =-， 23456...991005050a a a a a a a a a -+-+-++-=-=.家庭作业1. 选择(1) 下列结论中正确的是( )A ．在等式3635a b -=+的两边都除以3，可得等式25a b -=+；B ．如果2x =-，那么2x =-；C ．在等式50.1x =的两边都除以0.1，可得等式0.5x =；D ．在等式753x x =+的两边都减去3x -，可得等式6346x x -=+.【解析】 B(2) 下列变形中，不正确的是( )A ．若25x x =，则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ． 若10.2x x -=，则1012x x -=D ．若x y a a=，则ax ay = 【解析】 A2. 根据等式的性质填空：(1)4a b =-，则______a b =+； (2)359x -=，则39x =+( )；(3)683x y =+，则x =_________； (4)122x y =+，则x =__________. 【解析】 (1)4a b =+，在等式两端同时加上b ；(2)395x =+，在等式两端同时加上5；(3)836y +，在等式的两端同时乘以16；(4)24y +，在等式的两端同时乘以2. 3. 判断题：(1)11123x y ++是代数式. (2)12S ah =是等式. (3)等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.(4)若x y =，则44x m y m +-=+-.【解析】 (1)√ ；(2)√ ；(3)× ；(4)√.4. 下列各式不是方程的是：( )A. 24y y -=B. 2m n =C. 222p pq q -+D. 0x =【解析】 选择C.5. 下列说法不正确的是：( )A.解方程指的是求方程解的过程.B.解方程指的是方程变形的过程.C.解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程.D.解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程.【解析】 选择B.6. 下列方程是一元一次方程的是( )．A ． 2237x x x +=+B ．3435322x x -+=+ C ． 22(2)3y y y y +=-- D ．3813x y -=【解析】 C7. 若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =_______；若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =_______．【解析】 若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则20k -≠且11k -=±，所以0k =；若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则20k +=，2k =-，原方程可变形为：8100x -=，所以54x =.8. 某书中有一道解方程的题：113x x ++=程的解是2x =-( )A ．7 C ．2 D ．2-【解析】 B。
等式和方程的解法
等式和方程的解法等式和方程是数学中常见的概念，它们在应用数学中起着至关重要的作用。
解决等式和方程可以帮助我们求解各种实际问题，并拓展我们的数学思维能力。
本文将介绍几种常见的等式和方程的解法方法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程。
解一元一次方程可以使用反运算的方法。
首先将方程中的常数项移到等号另一边，然后将系数移到未知数的右边，最后将系数带入到等式中，求出未知数的值。
例如，解方程2x + 3 = 7：1. 将常数项3移到等号右边，得到2x = 7 - 3，即2x = 42. 将系数2移到右边，得到x = 4 / 2，即x = 2因此，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程。
解一元二次方程可以使用因式分解、配方法、求根公式等多种方法。
1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解，可以通过将方程两边都因式分解为两个一次因式的乘积，进而得到解。
例如，解方程x² - 4x = 0：1. 将方程因式分解为x(x - 4) = 02. 根据乘法法则，得到x = 0或x - 4 = 03. 因此，方程x² - 4x = 0的解为x = 0或x = 4。
2. 配方法：如果一元二次方程不能因式分解，可以使用配方法。
首先将方程进行配方，再通过解二次方程的方法得到解。
例如，解方程x² - 3x + 2 = 0：1. 进行配方法，得到(x - 1)(x - 2) = 02. 根据乘法法则，得到x - 1 = 0或x - 2 = 03. 因此，方程x² - 3x + 2 = 0的解为x = 1或x = 2。
3. 求根公式：一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，其中a、b、c分别为方程的三个系数。
例如，解方程x² + 4x + 4 = 0：1. 根据求根公式，得到x = (-4 ± √(4² - 4*1*4))/ (2*1)2. 简化计算，得到x = (-4 ± √(16 - 16)) / 23. 化简后，得到x = (-4 ± 0) / 24. 因此，方程x² + 4x + 4 = 0的解为x = -2。
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2.方程的有关概念 （1）含有未知数的________，叫做方程.
（2）使方程左、右两边的_____相等的未知数的值，叫做方程的解
（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）. （3）求方程解的过程，叫做解方程. （4）方程的两边都是关于未知数的_______，这样的方程叫做整式 方程.
1、已知x=-2是关于x的方程 2( x m ) 8 x 4m 的解， 求m的值
A. 2
B.1
C. 3
D.-2
知识点八
列分式方程解应用题
1.列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样,不同之处是列出
的方程是分式方程.
求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根，不要 缺少了这一步. 2.应用问题中常用的数量关系及题型 （1）数字问题.（包括日历中的数字规律） ①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是 ____________； ②日历中前后两日差___，上下两日差_____.
2 x 5 y 21 2 x 3y 8
x 4 由于甲看错了方程①中的m，得到的解是 y 2
mx ny 8① 甲、乙两人同时解方程组 mx ny 5 ②
x 2 乙看错了方程中②的n，得到的解是 y 污水，需要铺设一条长为1000m的管道，为了 尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比 原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天 铺设管道xm，则可得方程 ． 4、为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、 • 丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m3，• 其中 乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供 水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3． （1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？ （2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t土石， 运输公司派出A型，B• 型两种载重汽车，A型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆， B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A型 汽车，每辆B型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土 石都以准载重量满载）
(1)__________________________；
(2)________________________________. 2．增根在含参数的分式方程中的应用 由增根求参数的值．解答思路为：(1)将原方程化为整式方程；(2) 确定增根；(3)将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．
解方程：
2、方程
x 5 2的解是
．
知识点二
一元一次方程
1．一元一次方程
在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不
等于0的方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的标准形式是 ax+b=0(a≠0). ____________________ ． 2．解一元一次方程的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
2
D.2500(1 x) 2500(1 x) 2 3600 C.2500 1 x%
2
（2）体积变化问题. （3）打折销售问题. ①利润=_______-成本； ②利润率=_________×100%.
（4）行程问题.
路程=____×_____.
若用v表示轮船的速度，用v顺、v逆、v水分别表示轮船顺水、逆水和 水流的速度，在下列式子中填空. v顺＝v＋ v＝__________ v逆＝v－____ v水＝_________
(1)去分母，转化为整式方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根．
3．增根 在方程变形时,使原分式方程的分母为零的根,称为原方程的增根.解
分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根(其方法是代入最
简公分母中，使最简公分母为0的是增根，否则不是)．
知识点七
与增根有关的问题
1．分式方程的增根必须同时满足两个条件
1、在 x 2 y 3 0 中，用x 的代数式表示y， 则______________．
x 2 和 2、若 、 y 1 y 2 y c 都是方程ax+by+2＝0的解，
x 1
x3
则c=____．
3、解方程组：
3x 2 y 15 1 7 x 2 y 27
解方程： （1） 3 x 2 5( x 2) （2）0.7 x 1.37 1.5 x 0.23
2x 1 1 4x 1 （3） 3 5
知识点三
二元一次方程组及解法
1.二元一次方程组 （1）二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a≠0,b≠0). （2）几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次 方程组. 2.解二元一次方程组的基本思路：消元. 3.二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法； 解方程组其实就是把方程组转化为方程.解二元一次方程组就是通过 消元，把它转化为一元一次方程求解. 温馨提示： 解方程组其实就是把方程组转化为方程.解二元一次方程组就是通过 消元，把它转化为一元一次方程求解.
知识点一
等式及方程的有关概念
1.等式及其性质
用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.
等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式. 温馨提示： 在等式两边都除以同一个代数式时，一定要保证这个代数式的值 ___________.
在轮船航行问题中，知v顺、v逆、v、v水中的任何两个量，总能求出 其他的量．
(5)教育储蓄问题． ①利息＝___________________；
②本息和＝_______________＝本金×(1＋利率×期数)；
③利息税＝_______________； ④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．
1、足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分， 负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这 个队胜了（ ） A．4场 B．5场 C．6场 D．13场
知识点四
列方程（组）解应用题
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）设未知数;
直接设未知数，就事论事，问什么设什么. 间接设未知数.
（2）找出能够包含未知数的等量关系，列出方程（组）（一般情况
下设几个未知数，就找几个等量关系）； （3）求出方程（组）的解；
（4）检验（看是否符合题意）； （5）写出答案（包括单位名称）. 2.列方程（组）解应用题的关键是： 找出能够包含未知数的等量关系，列出方程（组)
知识点五
一元二次方程的定义
在整式方程中，只含有_____个未知数，并且含未知数项的最高次数
是____，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是
_______________________.
一元二次方程的常用解法
1.直接开平方法:如果 x2=a(a≥0),则 x=± a，则 x1= a,x2=－ a. 2．配方法： （1）移：将常数项移到等号的右边； （2）除：将二次项系数化为 1； （3）配：两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开：开平方根求出方程的解. 3．公式法：将方程写出一般形式：ax2＋bx＋c＝0 根的判别式： －b± b2－4ac 2 若 b －4ac>0，方程 实数解：x＝ ； 2a 若 b2－4ac=0，方程 实数解； 若 b2－4ac<0，方程 实数解.
5、一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加 上45后，•结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两 位数是
6、为执行“两免一补”政策，某地区2012年投入教育经费 2500万元，预计2014年投入3600万元．设这两年投入教育经 费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ）
A.2500 x 2 3600 B.2500 1 x% 3600
5 1 2 0 1 2 x 3x x x
x2 x2 16 2 2 x2 x2 x 4
1 1 x 3 3 x2 2 x
2 x 1 1 4 2 x 1 x 1
1 kx 3 若分式方程 有增根，则k为（ ） x2 2 x
选用合适的方法解下列方程：
1 x 15
2
225 0
2 3x
2
4x 1 （用公式法） 0
2 3 4 x 0 8x 1 （用配方法）
2 4 x 2 2x 0
知识点六
分式方程及解法
1．分式方程 分母里含有________的方程，叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程
2、张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城 购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李 老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老 师每小时走x千米，依题意得到的方程是（ ）
15 15 1 A. x 1 x 2 15 15 1 C. x 1 x 2
15 15 1 B. x x 1 2 15 15 1 D. x x 1 2