12-1随机事件的概率

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或
“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的．( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( ) (4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事
件．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
出险 次数
0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保 费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费 但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．
中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个
是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是
偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事
件中，是对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
【解析】 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3 种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中“至少有 一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与 两个都是偶数是对立事件．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_0_≤__P_(_A_)_≤__1． (2)必然事件的概率为_1_． (3)不可能事件的概率为_0_． (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则 P(A∪B)＝_P_(_A_)_＋__P_(_B_)_． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件， 则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝_1_，P(A)＝_1_－__P_(_B_)_.
(3ห้องสมุดไป่ตู้由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋ 1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
跟踪训练2 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购 买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表， 其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品 顾客人数
100 217 200 300 85 98
甲乙丙丁
√ ×√√ ×√ ×√ √√√ × √ ×√ × √××× ×√ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概 率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中 哪种商品的可能性最大？
【思维升华】 (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机 的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件 发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的 估计值． (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复 试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常 数就是概率．
12-1随机事件的概率
2020/9/15
§12.1 随机事件的概率 1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率 (1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某 一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的___次__数__n_A为 事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A 出现的频率． (2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的 增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个 常数记作_P_(_A_)_，称为事件A的概率.
2．(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向
上恰有5次”是( )
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
【解析】 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10， 都有可能发生，正面向上5次是随机事件．
【答案】 B
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小
于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175](单位：
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件． 【答案】 C
【思维升华】 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生． ②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能 都不发生，即有且仅有一个发生． (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的 两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两 事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
题型二 随机事件的频率与概率 【例2】 (2019·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位： 元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度 的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险
012
3
4 ≥5
次数
保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况， 得到如下统计表：
题型三 互斥事件、对立事件的概率 【例3】 (2018·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业 窗口等候的人数及相应的概率如下：
跟踪训练1 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的 小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“ 取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1 个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中 至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对 立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．
cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率
为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
【解析】 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的
身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.
【答案】 B
题型一 事件关系的判断
【例1】 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其