二次函数解析式的确定----三点与交点式
九年级数学二次函数第23课时用待定系数法求二次函数的解析式(2)顶点式与交点式
第三页，共十四页。
典型 例题 (diǎnxíng)
知识点2：利用交点(jiāodiǎn)式求抛物线的解析式 【例3】 已知抛物线经过点A（-4，0），B（-2，6），C（1， 0），求这条抛物线的解析式.
解:y=-x2-3x+4.
11. 已知二次函数的图象经过点（0，-3），顶点坐标为（-1，4）. （1）求这个二次函数的解析式； （2）求图象与x轴的交点(jiāodiǎn)A，B两点的坐标； （3）若图象与y轴的交点为点C，求△ABC的面积.
2021/12/10
第十一页，共十四页。
拓展 提升 (tuò zhǎn)
解:（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2-4，把点（0， -3）代入,得a-4=-3. 解得a=1. 所以函数解析式y=（x+1）2-4或y=x2+2x-3. （2）当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3.所以 A（3，0），B（1，0）. （3）∵C（0，-3）， ∴△ABC的面积= ×（1+3）×3=6.
解:（1）A（0，1），B（0，-1），
C（4，-1），D（4，1），E（2，1）.
（2）y= 2021/12/10
（x－2）2+1.
第九页，共十四页。
拓展 提升 (tuò zhǎn)
9. 已知抛物线过点A（2，0），B（-1，0），与y轴交于点C，
且OC=2. 则这条抛物线的解析式为（
）
C
A. y=x2-x-2
No （3）若图象与y轴的交点为点C，求△ABC的面积.。（1）求此抛物线的解析式。（2）当PB+PC的值最小
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为对应训练1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．对应训练2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3对应训练3．（株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- （x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．例5 （重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．对应训练6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）洛阳市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1、如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞53、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④4、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45、若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞16、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9二、解答题7、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．11、如图，一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大第 11 页 共 11 页 值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．14．已知抛物线y= x 2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数解析式的确定-三点与交点式
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解即为二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
若一元二次方程有两个相等的实根 $x_1 = x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有一个交点，即抛物线的顶点。
若一元二次方程有两个不相等的实根 $x_1, x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有两个交点，且这两个交点关于对 称轴对称。
灵活选用方法
在求解二次函数解析式时，可以根据题目给出的条件灵活选用适当的方法。如果已知三个 点的坐标，则可以使用三点确定二次函数解析式的方法；如果已知与$x$轴的两个交点和 另外一点的坐标，则可以使用交点式确定二次函数解析式的方法。
注意方程组的解法
在使用三点确定二次函数解析式的方法时，需要解一个包含三个未知数的方程组。在解方 程组时，可以使用代入法或加减法等方法进行求解。
构造方程组求解系数
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$。 将三个点的坐标分别代入解析式，得到如下方程组
构造方程组求解系数
$begin{cases} y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c
y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c
构造方程组求解系数
• y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c
设二次函数解析式为$y = a(x x_1)(x - x_2)$，将点$(x_0,
y_0)$代入解析式，得到一个方 程。
解这个方程，可以求得$a$的值， 从两个交点 $(x_1, 0), (x_2, 0)$，以及另一个不在 $x$轴上的点$(x_3, y_3)$。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
<
>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
>
m
<
关于 轴
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
为相反数，
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
二次函数解析式的确定
二次函数解析式的确定待定系数法（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组211122222333y ax bx cy ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++．温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式． （2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠由于222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图像的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，就可以设二次函数形如22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bx a=-又称为二次函数图像的对称轴． 温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式． （3）交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠我们知道，()()22212424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭，这里12x x ，分别是方程20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图像与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式． 温馨提示：已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． （4）对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠温馨提示：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化【例1】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【巩固】已知一个二次函数过()00，、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式． 已知抛物线经过三点A （0，2），B （1，0），C （-2，3），求二次函数的解析式。
二次函数的解析式的确定
二次函数的解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数的研究必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环。
本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法。
重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确地确定二次函数的解析式。
一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)任何二次函数都可以整理成一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)的形式。
如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。
模块一：一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)例1：已知二次函数的图像经过点A（-1，-5）、B（0，-4）和C（1，1）。
求这个二次函数的解析式。
解析：设二次函数为y=ax^2+bx+c，把A、B、C代入二次函数解析式，可得：a-b+c=-5a+b+c=-4a+b+c=1解得a=2，b=3，c=-4.所以这个二次函数的解析式：y=2x^2+3x-4.例2：已知二次函数y=ax^2+bx+c图像经过点（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）。
1）求这个二次函数的解析式；2）求这个二次函数的最值。
解析：（1）把（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）代入二次函数解析式，可得：a-b+c=39a+3b+c=-54a-2b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4，则当x=1时，函数有最大值，最大值为y=4.例3：已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）。
1）求该抛物线的解析式；2）当x为何值时，y>3？解析：（1）把A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）代入二次函数解析式，可得：a+b+c=3c=316a+4b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）将y>3代入解析式，得到-x^2+2x>0，解得13.已知二次函数的图像经过点（0，3）、（-3，-5）、（2，-3），且与x轴交于A、B两点。
二次函数几种解析式求法
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？
解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），
B（3.6，0），P（0，3.6）。
又∵P（0，3.6）在图像上，
当x=OC=0.8时，
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法： 待定系数法、配方法、数形结合等。 2、求二次函数解析式的 常用思想： 转化思想 : 解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解，最后 结果最好化为一般式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为 ∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∵A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上， ∴ 即：
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？ 分析：卡车能否通过，只要看卡 车在隧道正中间时，其车高3米是否 超过其位置的拱高。 即当x= OC=1.6÷2=0.8米时， 过C点作CD⊥AB交抛物线于D点， 若y=CD≥3米，则卡车可以通过。
二次函数的几种解析及求法
一、二次函数常用的几种解析式的确定
1、一般式
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式
二次函数表达式三种形式的联系与区别
⼆次函数表达式三种形式的联系与区别⼆次函数表达式三种形式的联系与区别⼆次函数的表达式有三种形式，即⼀般式、顶点式、交点式。
它们之间各不相同，⽽⼜相互联系。
⼀、⼀般式：y = a JQ +bx + c （a 0）优点：⼆次项系数"，⼀次项系数b,常数项c,三系数⼀⽬了然。
缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴b 4（〔c _ b⼆、顶点式：y = a（X-\----- ） + ------- （°H0）2a牝优点：很容易看出顶点坐标和对称轴缺点：不容易看出⼆次项系数“，⼀次项系数b,常数项C各是多少。
三、交点式：y = ?（x-x1）（-^-x2）优点：很容易看出图像与X轴的交点坐标（⼪，0）和（⼔，0）缺点：（1）不容易看出⼆次项系数"，⼀次项系数⽅，常数项C各是多少。
（2）当图像不与x轴相交时，此式不成⽴。
四、三种表达式之间的联系（1）⼀般式转化为顶点式利⽤配⽅法转化（⼀提、⼆配、三整理）y = X + bx + cu 2a 2a ⼀提，提⼆次项系数，只对⼆次项、⼀次项提系数“3—⼆配，配⼀次项系数⼀半的平⽅，⼒⼝上后⽴即减下来（2）顶点式转化为⼀般式展开整理即可z b 、 4ac — b y = ） + —- （? ⼯o ）2G 牝2 b h 4uc — b=^X +-"孑）+"4Q 4“4uc - X= a x +bx + ^- + --------- 」A 4a 4a2 f 4ac =a Y + bx +A 4a 2 =d X + bx + c（3）交点式转化为⼀般式展开，利⽤韦达左理整理可得⼆次函数y = 0才+加+（? （c H 0）与x 轴有两交点（弟，0）和（兀2，0）则X\和Xi 为⽅程a X +快+ c= 0的两个根y = a{x-x ^x-x ^= a （X-X i x -X 2x + X l X2>⼆川⽦⼀⼔+上权+兀矩]b c由韦达左理得：X] + X° = __ _a a代⼊得：y = a[x ⼀（X + X^x + %!兀2】r 2 . b. c.=a ^X _（__）% + _1a a=a ” + bx + c三种表达式视情况⽽定：（1）不知道特殊点的坐标时，常⽤⼀般式来表⽰：（2）知道顶点坐标，常⽤顶点式来表⽰：（3）如果知道图像与尤轴的交点坐标，常⽤交点式来表⽰。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
冀教版九年级数学下册_30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物
线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移
后抛物线的解析式． 导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的
值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加
感悟新知
例 1 已知三点A(0，0)，B(1，0)，C(2，3)，求由这 三点所确定的二次函数的表达式.
知1－练
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数 1.设一般式
表达式中，得
2.点代入
c 1, a b c 0, 4a 2b c 3,
(a＞0)上，则k＝0.
∴y＝a(x－1)2(a＞0)．
易知B(0，－1)，D(2，－1)都不在抛物线上．
由(1)知C，E两点不可能同时在抛物线上．
∴与抛物线经过其中三个点矛盾．
∴点A不在抛物线上．
感悟新知
由(2)可知点A不在抛物线上．结合(1)的结论易知 知2－讲 B，D一定在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
感悟新知
1 在平面直角坐标系中，设二次函数
知2－练
y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0. (1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式； (2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同
一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜ n，求x0的取值范围．
知2－练
感悟新知
(3)由题易知y1的图象的对称轴为直线x＝
1
.
二次函数解析式的确定----三点与交点式
小测：
1、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 式；
分析： 3 ∵直线 y x 3 与x轴、y轴的交点为
x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 y x3与 2
（2，0），（0，3）则： 4a 2b c 0 c 3 a b c 1
1、正比例函数的图像经过（2、-4）点，求此 函数解析式。 2、点（2，11）、（-4，5）在一次函数图像 上，求一次函数解析式。（时间 8分钟）
1、解：设y=kx (k≠0), 2、解：设y=kx+b (k≠0),由题得：
由题得：
2k=-4 K=-2 ∴正比例函数是y=-2x.
｛ ｛
2k+b=11 -4k+b=5 解之得：
二次函数解析式的求法
知识回顾：
正比例函数、一次函数、反比例函数的 解析式是怎样的？如何求它们的解析式？
二次函数解析式： 一次函数解析式： y=ax2+bx+c (a≠0) y=kx+b (k≠0)
反比例函数解析式
y=kx-1 (k≠0)
解析式的求法：将经过图像上的点的坐标代入解析 式，建立方程或方程组，求待定系数的值k和b，即可
2
小结
回顾上课的部分内容。
K=1 b=9 ∴一次函数是y=x+9
例：
1、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，
-2 ）（0，5）三点，求抛物线的解析式
解：由题得：
｛
｛
22a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5
解之得： a=5 b=-12 c=5
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数分析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
娴熟地求出二次函数的分析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的分析式有三种基本形式：1、一般式： y=ax 2 +bx+c (a≠0)。
2、极点式： y=a(x － h) 2 +k (a ≠0) ，此中点 (h,k) 为极点，对称轴为 x=h 。
3、交点式： y=a(x － x 1 )(x － x 2) (a ≠ 0) ，此中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的分析式一般用待定系数法，但要依据不一样条件，设出适合的分析式： 1、若给出抛物线上随意三点，往常可设一般式。
2、若给出抛物线的极点坐标或对称轴或最值，往常可设极点式。
3、若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离，往常可设交点式。
研究问题，典例指津：例 1、已知二次函数的图象经过点( 1, 5), (0, 4) 和 (1,1) ．求这个二次函数的分析式．剖析：因为题目给出的是抛物线上随意三点，可设一般式 y=ax 2 +bx+c (a ≠ 0) 。
解：设这个二次函数的分析式为y=ax 2 +bx+c (a ≠ 0)a b c5a 2 依题意得： c4解这个方程组得：b 3 a bc 1c4∴这个二次函数的分析式为 y=2x 2 +3x － 4。
例 2、已知抛物线 y ax 2 bx c 的极点坐标为 (4, 1) ，与 y 轴交于点 (0,3) ，求这条抛物线的分析式。
分 析 ： 此 题 给 出 抛 物 线 y ax 2 bx c 的 顶 点 坐 标 为 (4, 1) ，最好抛开题目给出的y ax 2bx c ，从头设极点式y=a(x － h) 2 +k (a ≠ 0) ，此中点 (h,k) 为极点。
解：依题意，设这个二次函数的分析式为 y=a(x －4) 2 － 1 (a ≠ 0)又抛物线与 y 轴交于点 (0,3) 。
九年级数学二次函数解析式的确定(新编201912)
分析： 先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）
①若A（1，2）为顶点： ②若B（2，5）为顶点：
设解析式为y=a(x-1)2+2 ∵5=a+2 ∴a=3 又∵函数有最大值, ∴a=3不合,舍去.
20.3二次函数解析式 的求法
回味知识点：
二次函数解析式常见的三种表示形式： (1)一般式 (2)顶点式 (3)交点式
讲例：
1、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 y 3 x 3 与 x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线2的解析
式；
分析：
∵直线 y 3 x 3 与x轴、y轴的交点为 （2，0），（20，3）则：4a 2b c 0
（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n
则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一 个解。即△=0
2讲、例已：知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直
线 y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一 个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解 析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。
c 3 a b c 1
试一试：
1、已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1）， 交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试 求这个一次函数的解析式和b、c的值。
点拔：设一次函数的解析式为y=kx+n
则:
n 1 2k n
5
∴y=3x-1
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(
b
,
4c
b
2
)
24
4c b 2
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的
分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识回顾：
正比例函数、一次函数、反比例函数的 解析式是怎样的？如何求它们的解析式？
正比例函数解析式： y=kx (k≠0) 一次函数解析式： y=kx+b (k≠0)
反比例函数解析式
y=kx-1 (k≠0)
解析式的求法：将经过图像上的点的坐标代入解析 式，建立方程或方程组，求待定系数的值k和b，即可
将三个点代入二次函数解析式： y=ax2+bx+c 可得： a=0.6＞0 对称轴x=-2b/a=-0.4 a+b+c=2 4a+2b+c=5 x＞-0.4时， y随x的增大而增大。 9a-3b+c=2 解之得： a=0.6 b=1.2 c=-0.2
｛
｛
试一试：
已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y （1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A -1 o -2.5 D B 5 x
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
C 抛物线是：y=0.5(x+1)(x-5) x＜-1或x＞5时，y＞0 向左平移5个单位或向上平移4.5个单位后，抛物线都与坐标 轴仅有两个交点。
的解析式。
K=1 b=9 ∴一次函数是y=x+9
例：
1、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，
-2 ）（0，5）三点，求抛物线的解析式
解：由题得：
｛
｛
22a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5
解之得： a=5 b=-12 c=5
故：抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.
试一试：
1、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点下列三点，求解析式：
1、正比例函数的图像经过（2、-4）点，求此 函数解析式。 2、点（2，11）、（-4，5）在一次函数图像 上，求一次函数解析式。
1、解：设y=kx (k≠0), 2、解：设y=kx+b (k≠0),由题得：
由题得：
2k=-4 K=-2 ∴正比例函数是y=-2x.
｛ ｛
2k+b=11 -4k+b=5 解之得：
分析： 3 ∵直线 y x 3 与x轴、y轴的交点为
x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解析
3 y x3与 2
（2，0），（0，3）则： 4a 2b c 0 c 3 a b c 1
2
练一练
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c，它与直线 y=3x-1 交于A（m，2）、B（n，5），且经过C（-3、2） 点，求（1）此二次函数的解析式；（2）当x取何值 时，y随x的增大而增大。 分析： 先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）
（1）、（1，2）、（0，3）、（-1、-4）
（2）、（3，0）、（-1、0）、（2 、1）
（3）、与x轴相交于4和-6点，并与 y轴交于3
二次函数交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
注意：
个交点； 2、两个都是减去x轴的交点值。
讲例：
1、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 式；
再见！