2014年湘教版选修1-1 3
湘教版高中数学选修1-1：导数的运算法则_课件1(1)
题型二 求导的综合应用
【例2】 利用导数求和： Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠1，且x≠0，n∈N＋)．
解 ∵x≠0，且x≠1时，
x＋x2＋x3＋…＋xn＝
数
得(x＋x2＋x3＋…＋xn)′＝x－1－xnx＋1′， 即Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝1－n＋11－xxn＋2 nxn＋1.
D．x－y＋1＝0
解析 ∵y′＝(x2＋x＋1)′＝2x＋1，∴y′x＝0 ＝1. ∴切线为y－1＝x－0，∴x－y＋1＝0.
答案 D
3．函数y＝x＋x12的导数为________． 解析 y′＝x＋x12′＝(x)′＋x12′＝1－x23. 答案 1－x23
4．函数y＝sincxo＋s 2cxos x的导数为________． 解析 y＝csoins2xx＋－csoins2xx＝cos x－sin x， ∴y′＝－sin x－cos x.
答案 －sin x－cos
要点阐释 1．掌握复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问 题转化为基本函数的导数来解决．(1)分析清楚复合函数是由哪些 基本函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算中的每一 步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 的关系；(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各 函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的 求导过程掌握以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合 过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接 应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．
导数的运算法则
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四 则运算求简单函数的导数． 3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则． 4．能求简单的复合函数的导数(仅限于形如f(ax＋b)的导 数)．
湘教版高中数学选修1-1文科课件 2.4 圆锥曲线的应用课件
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3．长度为1的线段AB在x轴上移动，点P(0,1)与点A连成直线 PA，点Q(1,2)与点B连成直线QB，求直线PA与直线QB交点的轨迹 方程．
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典例剖析 题型一 圆锥曲线在实际中的应用
【例1】 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的 土只能沿道路AP、BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m， ∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
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解 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角
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(3)数学求解．根据所建立数学关系的知识系统，解出结果， 从而得到实际问题的解答．
解题的一般思想是：
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活页规范训练2．圆锥曲线的应问题 解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通 过建立数学模型，实现实际问题向数学问题的顺利转化．要注 意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线的概念，充分利用圆 锥曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析 几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． 3．注意数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、 分类讨论等数学思想．
的解，
消去参数a，得点M的轨迹方程为(2－x)y＝2.
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题型四 直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例4】 (1)当k＝________时，曲线y＝k(x＋1)与y2＝4x恰有
湘教版高中数学选修1-1文科课件 1.1.3 充分条件和必要条件课件
又当 x>0，y>0 时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当 x<0，y<0 时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式
成立．
总之，当 xy≥0 时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
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②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且 x，y∈R. 则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即 x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0 是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
由根与系数的关系，得k－≤（14，2k－1）－2>0， k2＋（2k－1）＋1>0，
解得 k<－2，所以所求的充要条件是 k<－2.
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题型三 充要条件的证明
【例 3】 设 a，b，c 为△ABC 的三边，求证：方程 x2＋2ax
＋b2＝0 与 x2＋2cx－b2＝0 有公共根的充要条件是 A＝90°.
方程 x2－x－m＝0 无实根 m<－2.
∴p 是 q 的充分不必要条件．
(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；
而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴q p．∴p 是 q 的充分不必要条件．
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点评 判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p的命题 的正确性．若p⇒q为真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p为真， 则p是q成立的必要条件．注意利用“成立的证明，不成立的举 反例”的数学方法技巧来作出判断．
① ②
Ｋ
最新湘教版高二数学选修1-1(文科)电子课本课件【全册】
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第1章 常用逻辑用语 1.1.1 命题的概念和例子 1.1.3 充分条件和必要条件 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆的定义与标准方程 2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质 2.3.1 抛物线的定义与标准方程 2.4 圆锥曲线的应用 3.1 导数概念 3.1.2 问题探索——求作抛物线的切线 3.2 导数的运算 3.2.2 一些初等函数的导数表 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极大值和极小 常用逻辑用语
最新湘教版高二数学选修1-1(文科) 电子课本课件【全册】
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修1-1 3.3.1 利用导数研究函数的单调性》
利用导数研究函数的单调性珠海市斗门区第一中学 邢维金 高二2021【教材分析】“函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础,起到承上启下的作用【学情分析】课堂学生为高二年级的文科班学生，他们在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性【教学目标】1三维目标知识与技能：1探索函数的单调性与导数的关系;2会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：让学生经历知识的建构过程，培养学生观察、探究能力，在探究函数单调性与导数符号关系的过程中，渗透数形结合、转化等思想方法；情感态度价值观：利用几何画板的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，培养学生数学学习的兴趣2. 核心素养目标数学抽象：从几何与数量关系中抽象函数单调性与导数的关系，让学生学会“用数学的眼光看”数学问题; 逻辑推理：使用以已知探求未知，从特殊到一般的推导方法，让学生学会“用数学的思维”思考问题; 数学模型：建系让“数”和“形”之间建立联系，让学生学会“用数学的语言”表述问题【教学重难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间教学难点：⒈ 探究函数的单调性与导数的关系;⒉ 如何用导数判断函数的单调性易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性【教学策略与方法】教学方法：启发讲授式与问题探究式．教学准备：多媒体课件、几何画板、互动课堂平台【教学过程】一、温故知新问题引领问题一：判断函数的单调性有哪些方法？问题二: 如何判断函数=2－4＋3的单调性？问题三:如果遇到函数323y x x =-，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣二、探究新知简例探究引例：几何画板观察函数=2－4＋3的图象的切线情况【设计意图】从熟悉的二次函数出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系为学生提供一个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题师生共同总结：通过以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果_______，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果_______，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心三、理解新知归纳论证函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．说明：1如果0)(/=x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是常函数．2正确理解“ 某个区间 ”的含义，它必是定义域内的某个区间．【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系四、运用新知典例精析例1求函数323y x x =-的单调区间【师生活动】几何画板演示函数图像【变式训练1】判断下列函数的单调性，并求其单调区间。
【公开课课件】湘教版选修1-1：3.3.1利用导数研究函数的单调性
运用新知 用导数求单调区间的方法：
例 ：求出函数 f (x) x3 3x2 的单调区间，画出函数的大致图象.
解: 函数的定义域为R
因为 f (x) x3 3x2 ， 所以f (x) 3x2 6x . 当 f (x) 0， 即_x____0_或 ___x____2_时, 函数 f (x) x3 3x2 ___单__调__递__增____ ;
只要饱含正能量，脚踏实地走好每一步，相信同学们的前 途会一片光明！
导数导的数符号
即：yy 0
xx
（瞬时变化率）
（函数的平均变化率）
合作探究 函数单调性与导数正负的关系
熟悉导的数基的本几初何等意函义数？？
函数图象在该点处 切线的斜率
合作探究 方 法 演 示
函数单调性与导数正负的关系
探索新知
函数
图象
增区间
增区间上 导数符号
减区间
减区间上 导数符号
典例分析
高台跳水
当 f (x) 0，即 0 x 4 时，函数 f (x) x 4ln x 1单调递减.
f (x) 单调递增区间为 (4,),
单调递减区间为 (0,4）.
问题分析
判断函数 f (x) x 4ln x 1 的单调性，并求出单调区间.
f (x) x 4ln x 1
x 2,5
f (x) 1 4 x
判断函数 f (x) x 4ln x 1 的单调性，并求出单调区间.
如何运用导数 知识解决？
问题解决
判断函数 f (x) x 4ln x 1 的单调性，并求出单调区间.
解: 函数的定义域为(0,)，
因为f (x) x 4ln x 1,
所以
f (x) 1 4 x
湘教版高中数学选修1-1第3章 3.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值[读教材·填要点]设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数，可能有以下三种情形：(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．①若a>0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(2)函数F′(x)有一个零点x＝w.①若a>0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(3)函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u<v.①若a>0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增.可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．②若a<0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减.可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．[小问题·大思维]1．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值；当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．2．若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上有且只有一个极小值点，那么该极小值是否是函数的最小值？提示：借助图象可知，该极小值就是函数的最小值．求下列函数的单调区间和极值．(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝－x3＋12x＋6.[自主解答](1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：当x＝－3时，函数有极大值，且y极大值＝57；当x＝1时，函数有极小值，且y极小值＝－7.(2)y′＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)，令y′＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调增区间为(－2,2)．当x＝－2时，y有极小值，且y极小值＝f(－2)＝－10；当x＝2时，y有极大值，且y极大值＝f(2)＝22.(1)求多项式函数的单调区间，关键是求出f′(x)后，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(2)单调区间可以是开区间，如果区间端点在定义域内，也可写成闭区间．1．求函数y＝8x3－12x2＋6x＋1的极值．解：y′＝24x2－24x＋6＝6(4x2－4x＋1)，令y′＝6(4x2－4x＋1)＝0，解得x1＝x2＝1 2.当x变化时，y′，y的变化情况如表所示：所以此函数无极值．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝－x 3＋x 2＋x ＋1，x ∈[－3,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]． [自主解答] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1， 令f ′(x )＝－(3x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，f (x )取最小值－1； 当x ＝－3时，f (x )取最大值34.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0，且x 0∈[a ，b ]；(3)求最值，有两种方式：①是将f (x 0)的值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值．2．求函数f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝12x 2＋6x －36＝6(2x 2＋x －6)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝32.又f (－2)＝57，f ⎝⎛⎭⎫32＝－1154，f (2)＝－23， ∴函数f (x )的最大值为57，最小值为－1154.设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．[自主解答] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0， 即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163. 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.(1)f (x )在区间I 上为增函数⇒f ′(x )≥0在区间I 上恒成立，f (x )在区间I 上为减函数⇒f ′(x )≤0在区间I 上恒成立．(2)由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－2时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若x ∈[－3,2]时都有f (x )>2c －12恒成立，求c 的取值范围．[巧思] 解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))恒成立问题转化为F (x )＝f (x )－g (x )>0(F (x )＝f (x )－g (x )<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F (x )的单调性及最值．[妙解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f ′(－2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，12－4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－6.(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋3x －6. 令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：∴f (x )在[－3,2]上的最小值为c －72.即2c －12<c －72，∴c <－3，∴c 的取值范围为(－∞，－3)．1．下面四幅图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是( )A ．①③B ．③④C ．②③④D ．②④解析：根据函数的单调性与其导函数函数值之间的关系，易得③④一定不正确． 答案：B2．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调递减区间为( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)，(2，＋∞)解析：f ′(x )＝6x 2－18x ＋12， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜2. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．答案：D4．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－195．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)是R 上的增函数，则a ，b ，c 的关系式为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在R 上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4b 2－12ac ≤0，从而解得a >0，且b 2≤3ac .答案：a>0且b2≤3ac6．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0，或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.故x＝0时，f(x)最大值是3.一、选择题1．函数y＝f(x)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值解析：由最值与极值的概念可知，D选项正确．答案：D2．函数y＝x3－3x＋3在区间[－3,3]上的最小值为()A．1B．5C．12 D．－15解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，得3x2－3＝0，∴x＝1或x＝－1.当－1<x<1时，y′<0；当x>1或x<－1时，y′>0，∴y极小值＝1，y极大值＝5.又当x＝－3时，y＝－15；当x＝3时，y＝21，∴y min＝－15.答案：D3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有－2和4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.答案：B4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为________． 解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 令f ′(x )<0，得－1<x <11. ∴f (x )的单调递减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)6．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，∵f (x )在R 上是单调函数， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴Δ＝4a 2＋96b >0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6.ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，∴ab 的最大值为9.答案：98．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，对任意x ∈[－1,2]都有f (x )>m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，得x ＝－23或x ＝1，由题意知只要f (x )min >m 即可， 易知f (x )min ＝f (1)＝72，所以m <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 三、解答题9．求下列各函数的最值： (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．解：(1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：又因为f (x )在区间端点处的函数值为f (－3)＝0， f (3)＝－18，所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2， 所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表： 单调递增 单调递减 单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)； 递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。
高中数学湘教版选修1-1课件：1.1.3充分条件和必要条件
(5)“△ABC中∠C=90°”是“△ABC中AB²=AC²+BC²的充要 条件 (6)”x>0”是“x≥1”的 必要不充分 条件
高 中 数 学 湘 教版选 修1-1课 件：1 .1.3充 分条件 和必要 条件(共 22张P PT)
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例题分析
例2：试证(1)在实数范围内，x=1是x2=1的充分而不必要条件
（2）“四边形的两组对边分别相等”是“四边形是矩形”的必 要而不充分条件。
注意：转化为集合关系更有利于理解和应用
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练习巩固
3、 请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不
充分也不必要”填空：
(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿必＿要＿不＿充＿分条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿充＿要＿条件. (3)“x=3”是“x2=9”的＿充＿分＿不＿必＿要＿条件.
既不充分也不必要 (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿条件.
如果既有p q，又有q p,记作p q，则称p和q互相等价，
那么p是q的充分条件；也是必要条件，
叫做p是q的充分必要条件，简称充要条件。
高 中 数 学 湘 教版选 修1-1课 件：1 .1.3充 分条件 和必要 条件(共 22张P PT)
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2014年湘教版选修1-1 1
1.古诗文背诵默写。
①“__________，我言秋日胜春朝。
”②“衣沾不足惜，。
”杜甫在《春望》中点明长期战火，忧国思乡的句子是：“__________，。
”③陆游在其《十一月四日风雨大作》中表现风雨交加的深夜，睡梦中仍在战场激烈拼杀的诗句是“__________，。
”④人说“近墨者黑”，但“近墨者未必黑”，正如周敦颐在《爱莲说》中所说的：“__________，”。
1.阅读下文，完成下题埃博拉病毒①近年来，“埃博拉病毒”一词逐渐进入了人们的视线，它的出现往往伴随着人们的恐慌，已经引起全社会的高度重视。
②有关“埃博拉病毒”的起源要追溯到上世纪七十年代。
在扎伊尔有一条河叫埃博拉，在河边上有一个小村庄叫亚姆布库。
1976年8月底，当地学校校长认为自己得了疟疾，在当地医院注射了治疗疟疾的药物。
短短几天后，校长再次出现发高烧等类似疟疾症状，且病情越来越严重直至不治身亡。
在校长病情发作的一周内，医院里员工、病人也纷纷得了类似的疾病。
后在世界卫生组织的帮助下，疫情才逐渐被控制住。
最终，有318人发病，280人死亡，死亡率几乎达到90%。
病原体很快被分离了出来。
最终，它被确认为一种新的病毒，命名为埃博拉病毒，它导致的疾病，称为埃博拉出血热。
③幸运的是，埃博拉病毒凶狠，不像流感病毒那样可以通过飞沫传播，通过血液和其他体液传播，要与患者有比较密切的接触才会被传染上。
即使被埃博拉病毒传染上了，也不一定会发病。
我们人体的免疫系统会识别病原体，将它消灭。
有些人感染了埃博拉病毒，却没有出现任何症状，只是抽血检查时发现他们体内有对抗埃博拉病毒的抗体，说明他们曾经感染过埃博拉病毒，但是免疫系统迅速把病毒消灭了。
④其实埃博拉病毒的构造很简单，中间是一条单链核糖核酸（RNA），只包括7个基因，被由蛋白质组成的外壳包裹着，壳上分布着许多突起。
这些突起是一种含有寡糖的蛋白质，叫糖蛋白。
人体细胞含有一种叫NPC1的蛋白质，它的功能是转运胆固醇，但是埃博拉病毒的糖蛋白能跟NPC1结合，病毒借此被转运进了细胞内。
小结与复习-湘教版选修1-1教案
小结与复习-湘教版选修1-1教案前言选修1-1是我们高中英语的第一个课程，它为我们打下了基础。
面对未来三年的英语学习，我们需要对这个单元进行一个系统性的复习和总结，以便对下一个学期的学习做好准备。
本文档将对选修1-1的内容进行回顾和总结，并为同学们提供一些复习的建议。
Unit1 Travel plans学习内容在这个单元中，我们学习了关于旅行的知识。
包括： - Talking about travel destinations（谈论旅游目的地） - Describing tourist attractions（描述旅游景点）- Discussing travel plans（讨论旅行计划） - Vocabulary: accommodation, guidebook, itinerary, destination, attraction（词汇：住宿、旅游指南、旅行日程、目的地、景点）重点难点•句子结构和语法，在英语口语和写作中，语法是非常重要的。
在本单元的学习中，需要同学们花费一定的时间在句型和语法上，例如使用复合句和定语从句等。
•词汇与表达，通过贯穿整个单元的主题，我们学习了一些视为旅游相关的常用单词和表达方式。
复习建议•阅读课本和笔记，重点掌握文本中的重点难点，在练习中加深理解和记忆•完成课本中的练习题，在理解基础上加强运用•多听多说，模仿课本中的对话和练习，练习语音语调，提高口语水平•扩充词汇，多阅读英文文章和对话，习惯用英语表达生活中的体验和感受Unit2 Culture corner学习内容本单元主要介绍了一些文化相关的知识。
包括： - Discussing cultural differences（讨论文化差异） - Introducing customs and traditions（介绍习俗和传统）- Vocabulary: customs, etiquette, festival, gesture（词汇：习俗、礼仪、节日、手势）重点难点•文化差异的认识，听懂（读懂）文化方面的内容对我们学习英语非常重要。
【优化方案】精品课件数学湘教版选修1-1第3章3.3.3
三次函数的性质：单调区间 和极值
学习目标 课前自主学案 3.3.3 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.会求三次函数的单调区间和极值． 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其 中多项式函数一般不超过三次)．
课前自主学案
温固夯基
求函数f(x)的极值
首先解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时，
思考感悟
在区间[a，b]上函数y＝f想，在[a，b]上一定存
在最值和极值吗？ 提示：一定有最值，但不一定有极值．如果 函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a ，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单
调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．
课堂互动讲练
考点突破
求函数的单调区间和极值点
例1 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2) 若关于 x 的方程 f(x) ＝ a 有三个不同的实根， 求实数a的取值范围．
【思路点拨】
(1)利用导数求单调区间和
极值．(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)
f′(x0)＞0 ， 右 侧 (1) 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 ___________ 极大值 ； f′(x0)＜0 ，那么f(x0)是函数的________ ____________
f′(x0)＜0 ， 右 侧 (2) 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 ___________
f′(x0)＞0 ，那么f(x0)是函数的__________ 极小值． ____________
极大值 可见 F(x) 在 x ＝ u 处取 __________ ，在 x ＝ v
处取 __________ 极小值．
高中数学湘教版选修1-1课件：1.1.3充分条件和必要条件(共22张PPT)
1=0两侧的充要条件是（A ）
借助集合
A.– 4 <a< – 2 B. – 4 <a< 2
关系更易
C.–2<a< 2
D. -3<a<-2
于处理
3.已知p:A={x|x²+ax+1≤0}，q:B={x|x²-3x+2≤0}，
若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围 [-2,+∞)
课堂小结
1、充分、必要条件的定义． 2、在“若p，则q”中，若pq， 则p为q的充分条件，q为p的必要条件． 3、借助结合运算解决条件关系问题。
p q等价于A=B，p与q互为充要条件。
课堂检查
1、设有两个命题： ①关于x的不等式mx2 1 0的解集为R； ②函数两个命题中有且只有一个真命题， 则实数m的取值范围是 m =0 或 m≥ 1 。
例1、判断“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”
（1）x+y=0; （2）（3） （1）四边形的对角相等
(２)x²+y²＞0；
（2）四边形的两组对边分别相等
（3）x²+y²≠0；
（3）四边形有三个内角都为直角
（4）x3+y3≠0
（4）四边形的两组对边分别平行
且有一组对角互补
练习巩固
3、 请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不 充分也不必要”填空： (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿必＿要＿不＿充＿分条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿充＿要＿条件. (3)“x=3”是“x2=9”的＿充＿分＿不＿必＿要＿条件.
设 A={a,b,c方 程 ax2bxc0有 一 根 为 1}
湘教版高中数学选修1-1第3章 3.3.1 利用导数研究函数的单调性
3．3导数在研究函数中的应用3．3.1 利用导数研究函数的单调性[读教材·填要点]函数在区间(a ，b )上的单调性与其导函数的正负有如下关系：[小问题·大思维]1．在区间(a ，b )内，若f ′(x )>0，则f(x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立．比如y ＝x 3在R 上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f ′(x )>0是y ＝f (x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．右图为导函数y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)； 单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0,2)上是增函数． [自主解答] f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1,1－ln x >0. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0.根据导数与函数单调性的关系，可得函数f (x )＝ln xx 在区间(0,2)上是增函数．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f ′(x )>0(f ′(x )<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f ′(x )；②判断f ′(x )的符号；③给出单调性结论．[注意] 如果出现个别点使f ′(x )＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．1．求证：函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． 证明：由f (x )＝e x －x －1，得f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(0，＋∞)时，e x －1>0， 即f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数． 当x ∈(－∞，0)时，e x －1<0， 即f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)内是减函数.求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝e x x －2.[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x . 因为x >0，所以2x ＋1>0. 由f ′(x )>0得x >22， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得0<x <22， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后在定义域内通过解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，来确定函数的单调区间．(2)当单调区间有多个时，不要写成并集．2．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋cos x .解：(1)f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3⎝⎛⎭⎫x 2－1x 2. 由f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞1； 由f ′(x )＜0，解得－1＜x ＜1，且x ≠0.∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)函数的定义域为R ，其导数为f ′(x )＝12－sin x ，令12－sin x >0，解得2k π－7π6<x <2k π＋π6，k ∈Z ； 令12－sin x <0， 解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z ，因此f (x )在⎝⎛⎭⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)上为减函数， 在⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6(k ∈Z)上为增函数．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [自主解答] 因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，所以a ≥G (x )max . 而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1. 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)． 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .∵x ∈[1,4]，∴h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞.若将本例中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a 的取值范围？ 解：∵h (x )在[1,4]上单调递增， ∴x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≥0恒成立． 即a ≤1x 2－2x恒成立． 设G (x )＝1x 2－2x ，∴只需a ≤G (x )min . 又G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， ∵x ∈[1,4]， ∴1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1. ∴G (x )min ＝－1.∴a ≤－1.经验证：a ＝－1时，h (x )在[1,4]上单调递增， 综上所述，a 的取值范围为(－∞，－1]．已知f (x )在区间D 上单调，求f (x )中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f ′(x )为二次函数，可以由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立求出参数的取值范围．3．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数，若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解：对f (x )求导得f ′(x )＝ex 1＋ax2－2ax(1＋ax 2)2，①若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为(0,1]．证明：方程x －12sin x ＝0有唯一解．[巧思] 方程f (x )＝0的解即曲线y ＝f (x )与x 轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决．[妙解] 设f (x )＝x －12sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，所以x ＝0是方程x －12sin x ＝0的一个解．因为f ′(x )＝1－12cos x ，当x ∈R 时，f ′(x )>0总成立， 所以函数f (x )在R 上单调递增．所以曲线f (x )＝x －12sin x 与x 轴只有一个交点．所以方程x －12sin x ＝0有唯一解．1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e x C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况． 2．函数y ＝x ·cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)解析：f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，当x ∈(π，2π)时，f ′(x )>0. 答案：B3．已知函数f (x )＝x ＋1x (x ＞1)，则有( ) A ．f (2)＜f (e)＜f (3) B ．f (e)＜f (2)＜f (3) C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)解析：选A 因为在定义域(1，＋∞)上有f ′(x )＝1－1x 2＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (2)＜f (e)＜f (3)．故选A.4．函数y ＝2x ＋sin x 的单调递增区间是________． 解析：y ′＝2＋cos x >0，∴函数在R 上单调递增． 答案：(－∞，＋∞)5．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)6．求函数f (x )＝x ＋1x 在(0,2]上的单调性． 解：∵f (x )＝x ＋1x ，∴f ′(x )＝1－1x 2.令f ′(x )>0得x >1或x <－1， 又0<x ≤2，∴1<x ≤2.令f ′(x )<0，结合0<x ≤2，得0<x <1.∴函数f (x )在(1,2]上为增函数，在(0,1)上为减函数．一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2)B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．答案：D2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．答案：A3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()解析：由y＝f′(x)的图象可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为单调增函数，在(0,2)上为单调减函数．答案：C4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：由题知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，根据奇偶函数图象的特点知，当x<0时，f(x)的单调性与x>0时相同，g(x)的单调性与x>0时恰好相反，因此，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B二、填空题5．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是________．解析：y ′＝2x －2b ≥0在(2,8)内恒成立，即b ≤x 在(2,8)内恒成立，∴b ≤2. 答案：(－∞，2]6．已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：f ′(x )≤0的解集，即为函数y ＝f (x )的单调减区间， ∴f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－43，1∪⎣⎡⎦⎤113，6. 答案：⎣⎡⎦⎤－43，1∪⎣⎡⎦⎤113，6 7．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调增区间是________，减区间是________．解析：因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时， f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x ) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)8．已知f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在区间(6，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令g (x )＝f ′(x )，要满足函数f (x )在(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0，g (4)≤0，g (6)≥0，解得5≤a ≤7.答案：[5,7] 三、解答题9．讨论下列函数的单调性： (1)y ＝x 3－x ；(2)y ＝e x ＋e －x (x ∈[0，＋∞))．解：(1)∵y ＝x 3－x ， ∴y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋33⎝⎛⎭⎫x －33. ∵当x ＜－33或x ＞33时，y ′＞0，当－33＜x ＜33时，y ′＜0， ∴y ＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上是增函数，在⎝⎛⎭⎫－33，33上是减函数． (2)f ′(x )＝(e x)′＋⎝⎛⎭⎫1e x ′＝e x ＋⎝⎛⎭⎫－1e x ＝e x －e －x ＝(e x )2－1e x ， ∵当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1，∴f ′(x )≥0. ∴f (x )＝e x ＋e －x 在[0，＋∞)上为增函数．10．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2>0. 解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )x (x >0)，当a >0时，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间． (2)证明：当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3， 所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)． 即f (x )>－2，所以f (x )＋2>0.。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修1-1 3.3.3 三次函数的性质：单调区间和极
学做思二
问题2：函数在闭区间上存在最值的条件是什么？
问题3“最值”与“极值”的区别和联系？
学做思三
问题4：利用导数求函数的最值步骤：
一般地,求函数 在 上的最大值与最小值的骤如下:
【技能提炼】
1．求函数 在[0,3]上的最大值与最小值。
2．已知函数 在[－2，2]上有最小值－37，
章节：
课时：3备课人肖赛彪；
课题名称
第三章第三节函数的最大小值与导数
三维目标
学习目标
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念;
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数 必有最大值和最小值的充分条件;
3．掌握求在闭区间 上连续的函数 的最大值和最小值（其中多项式函数不超过三次）的思想方法和步骤
A等于 B大于 C小于 D以上都有可能
，最小值是_____________。
反思总结
1知识建构
2能力提高
3课堂体验
课后练习
同步练习金考卷
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。
达标检测
变式反馈
1求下列函数的最值：
（1）已知 ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知 ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知 ，则函数的最大值为______，最小值为______
2函数 在区间 上的最大值是 ,最小值是 ,若 ,则
重点目标
理解函数的最大值和最小值概念
难点目标
掌握求在闭区间 上连续的函数 的最大值和最小值（其中多项式函数不超过三次）的思想方法和步骤
2014年高中数学要点阐释课件(湘教版选修1-1)1.1.3《充分条件和必要条件》
• 4．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的 ________条件．
• 解析 由b2＝ac a，b，c成等比数列，
• 例如：a＝0，b＝0，c＝5.
• 若a，b，c成等比数列，由等比数列的定义， 知b2＝ac.
• 答案 必要不充分
k2＋（2k－1）＋1>0， 解得 k<－2，所以所求的充要条件是 k<－2.
题型三 充要条件的证明 【例 3】 设 a，b，c 为△ABC 的三边，求证：方程 x2＋2ax ＋b2＝0 与 x2＋2cx－b2＝0 有公共根的充要条件是 A＝90°. 证明 充分性：因为 A＝90°，所以 a2＝b2＋c2.于是方程 x2 ＋2ax＋b2＝0 可化为 x2＋2ax＋a2－c2＝0，即 x2＋2ax＋(a＋c)(a－ c)＝0. 所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，该方程有两根：x1＝－(a＋c)， x2＝－(a－c)． 同样，另一个方程 x2＋2cx－b2＝0 也可化为 x2＋2cx－(a2－c2)＝0， 即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0.该方程也有两根：x3＝－(a＋c)， x4＝－(c－a)．
入下表.
条件 p 与结论 q 的关系
结论
p⇒q，但 q⇒p
条件p是结论q的充分不必要条件
p⇒q，q⇒p，即 p⇔q 条件p是结论q的充要条件
条件p既不是结论q的充分条件也不是 q的必要条件
• 自主探究
• 1．如何判断p是q的什么条件？ • 提示 主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性． • 2．若p是q的充分条件，p唯一吗？ • 提示 不唯一，如x＞3是x＞0的充分条件，而
湘教版高中数学选修1-1第3章 3.4 生活中的优化问题举例
3．4生活中的优化问题举例[读教材·填要点]1．优化问题投入一定的成本如何获取最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫作优化问题．2．解决优化问题的基本思路[小问题·大思维]将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？提示：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2，且0≤x≤8，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，得x＝4.当0≤x<4时y′<0，当4<x≤8时y′>0，∴当x＝4时，y最小．即分成的这两个数应为4,4.如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． [自主解答] (1)设长为x m ，则宽为200x m ． 据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝⎛⎭⎫252≤x ≤16， (2)y ′＝800－259 200x 2＝0，解得x ＝18.当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵252≤x ≤16. ∴当x ＝16时，y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．1.已知A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水航行到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v 千米/时(8＜v ≤v 0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v ＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？解：设船每小时航行所需的燃料费为y 1元，比例系数为k (k ＞0)，则y 1＝k v 2.∵当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y 元，由题意， 得y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v(v －8)2.令y ′＝0，解得v ＝0(舍去)或v ＝16.∴当v 0≥16时，v ∈(8,16)，y ′＜0，即y 为减函数； v ∈(16，v 0]，y ′＞0，即y 为增函数，故v ＝16(千米/时)时，y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省； 当v 0＜16时，v ∈(8，v 0]，y ′＜0，即y 在(8，v 0]上为减函数， 故当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8，此时全程燃料费最省．综上可得，若v 0≥16，则当v ＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为：R ＝50 000＋200x (元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ [自主解答] 依题意，每月生产x 吨时的利润为： f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000，令f ′(x )＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内有意义，则有且只有当x ＝200时f ′(x )＝0，且它就是最大值点，最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000.故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值．2.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量． (1)若年销售量增加的比例为0.4x ，写出本年度的年利润p (万元)关于x 的函数关系式； (2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240×⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )；出厂价为13×(1＋0.7x )，年销售量为5 000×(1＋0.4x )．因此本年度的年利润p ＝[13×(1＋0.7x )－10×(1＋x )]×5 000×(1＋0.4x )＝(3－0.9x )×5 000×(1＋0.4x )＝－1 800x 2＋1 500x ＋15 000(0＜x ＜1)． (2)本年度的年利润为f (x )＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53 ＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)， 则f ′(x )＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)．令f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)．当0＜x ＜59时，f ′(x )＞0，当59＜x ＜1时f ′(x )＜0，所以x ＝59时，f (x )有最大值f ⎝⎛⎭⎫59＝20 000. 所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为20 000万元.请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[自主解答] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)， V ′＝62x (20－x ).由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )＝0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．3.已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为________． 解析：设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh .∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，因为V ′(r )只有一个极值点，故当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 为6πS3π. 答案：6πS3π4.如图，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽． 解：设AD ＝2x (0＜x ＜2)， 则A (x,0)，AB ＝y ＝4－x 2，所以矩形面积为S ＝2x (4－x 2)(0＜x ＜2)， 即S ＝8x －2x 3，S ′＝8－6x 2， 令S ′＝0，解得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 当0＜x ＜23时，S ′＞0； 当23＜x ＜2时，S ′＜0， 所以，当x ＝23时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83，433时，矩形的面积最大.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记|CD |＝2x ，梯形的面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数解析式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．[巧思] 可通过建立恰当的直角坐标系，列出面积S 关于x 的函数解析式，然后利用导数的知识，借助函数的单调性，即可求得面积S 的最大值．[妙解] (1)依题意，以AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点C (x ，y )满足方程x 2＋y 24＝1，且x >0，y >0，∴y ＝21－x 2(0<x <1)． ∴S ＝12(2x ＋2)·21－x 2＝2(x ＋1)1－x 2(0<x <1)．(2)令f (x )＝S 2＝4(x ＋1)2(1－x 2)(0<x <1)， 则f ′(x )＝8(x ＋1)2(1－2x )．令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝－1(舍去)．当0<x <12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当12<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数． ∴f ⎝⎛⎭⎫12是f (x )在区间(0,1)上的极大值，也是最大值， 且f ⎝⎛⎭⎫12＝274，此时S ＝332. 故当x ＝12时，S 取得最大值332.1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x ≤390，则P ′(x )＝－x 2300＋300，由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．答案：D2．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V解析：设正三棱柱的底面边长为x ，高为h ，则V ＝34x 2h ， ∴S ＝2×34x 2＋3xh ＝32x 2＋43V x .由S ′＝3x －43V x 2＝3(x 3－4V )x 2＝0得，x ＝34V . 当0＜x ＜34V 时，S ′＜0，当x ＞34V 时，S ′＞0， ∴x ＝34V 时，S 最小． 答案：C3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2(0≤x ≤400)，80 000(x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：由题意，总成本为：C ＝20 000＋100x ，所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，P ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大． 答案：D4．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大．解析：设高为x 米，则V ＝x (x ＋0.5)⎝⎛⎭⎫14.84－0.5－2x ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，x ∈(0,1.6)， V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令V ′＝0， 解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．当0<x <1时，V ′>0，当1<x <1.6时，V ′<0，所以当x ＝1时，容器的容积取得最大值．5．做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．解析：用料最省，即水桶的表面积最小． 设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为r (r >0)，则水桶的高为27r 2，所以S ＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr (r >0)，求导数，得S ′＝2πr －54πr 2，令S ′＝0，解得r ＝3.当0<r <3时，S ′<0；当r >3时，S ′>0， 所以当r ＝3时，圆柱形水桶的表面积最小， 即用料最省． 答案：36．某工厂要围建一个面积为128 m 2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？解：设场地宽为x m ，则长为128x m ， 因此新墙总长度为y ＝2x ＋128x(x ＞0)， y ′＝2－128x 2，令y ′＝0，∵x >0，∴x ＝8. 因为当0＜x ＜8时，y ′＜0；当x ＞8时，y ′＞0， 所以当x ＝8时，y 取最小值，此时宽为8 m ，长为16 m. 即当堆料场的长为16 m ，宽为8 m 时，可使砌墙所用材料最省．一、选择题1．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ∈(9，＋∞)时，y ′＜0；当x ∈(0,9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr 2D.12πr 2 解析：设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝⎛⎭⎫22r 2 ＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 答案：A3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为( )A ．110元B ．115元C ．120元D ．125元解析：设每件商品定价x 元，依题意可得利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000(0<x <200)， S ′(x )＝－2x ＋230，令－2x ＋230＝0，得x ＝115.因为在(0,200)内S (x )只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大． 答案：B4．某商场根据以往规律预计某种商品2018年第x 月的销售量f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N＋，1≤x ≤12)，该商品的进价q (x )与月份x 的关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N ＋，1≤x ≤12)，该商品每件的售价为185元，若不考虑其它因素，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是( )A ．3 120元B ．3 125元C ．2 417元D ．2 416元解析：该商场预计销售该商品的月利润为 g (x )＝(－3x 2＋40x )(185－150－2x ) ＝6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N ＋，1≤x ≤12)， g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400.令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ≤5时，g ′(x )＞0；当5＜x ≤12时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(元)．所以5月份的月利润最大是3 125元．答案：B二、填空题5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x ，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x ，令f ′(x )＝4－1 600x 2＝0，解得x ＝20，x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故当x ＝20时，f (x )最小．答案：206．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆．总利润L ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)．令L ′＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.∴当x ＝10时，L 有最大值45.6.答案：45.67．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为______．解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R . 当0<h <4R 3时，V ′>0；当4R 3<h <2R 时，V ′<0. 因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大． 答案：43R8．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．解析：设产品的单价为p 万元，根据已知，可设p 2＝k x ，其中k 为比例系数．因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000，所以p 2＝250 000x ，p ＝500x，x >0. 设总利润为y 万元，则y ＝500x·x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200. 求导数得，y ′＝250x －225x 2. 令y ′＝0得x ＝25.故当0<x <25时，y ′>0；当x >25时，y ′<0.因此当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值．答案：25三、解答题9.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m ．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为x m ，则宽为2 400x m ，绿化区域的总面积为S (x ) m 2.则S (x )＝(x －6)⎝⎛⎭⎫2 400x －4＝2 424－⎝⎛⎭⎫4x ＋6×2 400x ＝2 424－4⎝⎛⎭⎫x ＋3 600x ，x ∈(6,600)． ∴S ′(x )＝－4⎝⎛⎭⎫1－3 600x 2＝－4(x ＋60)(x －60)x 2. 令S ′(x )＞0，得6＜x ＜60；令S ′(x )＜0，得60＜x ＜600.∴S (x )在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数，∴当x ＝60时，S (x )取得极大值，也是最大值，∴S (x )max ＝S (60)＝1 944.∴当休闲广场的长为60 m ，宽为40 m 时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m 2.10．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解：(1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%.∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q ＋3－x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)． ∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)． 当x ＝100时，y ＜0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得 y ′＝(－2x ＋98)(x ＋1)－(－x 2＋98x ＋35)2(x ＋1)2＝－x 2－2x ＋632(x ＋1)2. 令y ′＝0，则x 2＋2x －63＝0.∴x ＝－9(舍去)或x ＝7.∵当0＜x ＜7，y ′＞0；当x ＞7，y ′＜0，∴当x ＝7时，y 有最大值．即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．。
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1.默写填空（30分）1.,皆出酒食。
2.__________，并怡然自乐。
3.__________，各具情态。
4. 船头坐三人，__________，佛印居右，鲁直居左。
5. 香远益清，6. 予独爱莲之出淤泥而不染，7. __________，无案牍之劳形。
8. 选贤与能，9. 怀民亦未寝，10. 何夜无月，何处无竹柏，11. 悬泉瀑布，12．至于夏水襄陵，13. 大雪三日，14．《爱莲说》中，写君子行为方正，通达事理，不攀附权贵的句子是：15.《陋室铭》中与“时人莫小池中水，浅处无妨有卧龙”意思相近的句子是：2.根据课文内容填空（8分）（1）晴川历历汉阳树，。
（《黄鹤楼》崔颢）（2）__________，万物生光辉。
常恐秋节至，。
（《长歌行》汉乐府）（3）迷津欲有问，。
（《早寒江上有怀》孟浩然）（4）东皋薄暮望，。
树树皆秋色，。
（《野望》王绩）（5）苔痕上阶绿，。
__________，往来无白丁。
（《陋室铭》刘禹锡）3.根据要求默写古诗文。
（每空1分，共20分）1.请默写杜甫的《春望》。
2.造化钟神秀，。
（杜甫《望岳》）3.__________，如闻泣幽咽。
（杜甫《石壕吏》）4.夹岸数百步，中无杂树，__________，。
（陶渊明《桃花源记》）5.闭之，则右刻“__________，水落石出”，左刻“清风徐来，”。
（魏学洢《核舟记》）6.货恶其弃于地也，；__________，不必为己。
（《大道之行也》）7.《陋室铭》中描写“陋室”环境雅致，令人赏心悦目的句子是__________，。
8.登高远眺，万物皆于脚下。
这时的你心中便自然会涌起“__________，”的豪迈气概。
（杜甫《望岳》）1.阅读下面的文章，完成1-5题。
（12分）轻放⑴走廊里的声控灯，很早以前就坏了。
每次走到门口，同租三室一厅的几个人，都会习惯性地叹口气，在黑暗中摸索着将门打开，又重重地关上，似乎想要以此发泄对那一脸晦暗的廊灯的愤恨。
其实，楼下的小卖部里，摆满了各种各样的灯泡，而且价格低廉到不过是坐一站公交车的价格，但包括我在内的所有人，谁都没有想起，在买泡面的时候，顺手捎带一个灯泡上来。
⑵父亲过来看我，走到门口，看见我费力地用手机里微弱的光线照明，立刻放下手里的东西，说声“稍等”，便下了楼。
不过是几分钟的工夫，他便拿了一个灯泡上来，一声不响地安好。
然后，他轻轻一击掌，昔日暗淡无光的走廊，瞬间便有了温暖通透的光亮，我站在门口，看父亲脸上淡然的微笑，便说：“你可真是光明使者呢，你一来，这灯就好了。
”⑶父亲却扭过身来，正对着我，说：“其实路过的每一个人，都可以是光明使者，不过是一块五毛钱的灯泡，顺手就捎过来了，何必每次总是感叹世风日下，自己却始终不去动手呢？”⑷我笑，“可不是人人都像您这样乐于助人，况且，这还是租来的房子，这走廊，也属于公共的区域，不只我们这一层，楼上的人也都要从此经过呢。
”⑸父亲没吱声，只拿起身边的扫帚，边一层层地扫着楼梯上丢掉的烟头、纸屑、菜叶，边哼起他惯唱的京剧。
有人从他身边经过，他便停下来，将身子朝楼梯一侧，又朝来人笑着点一点头，表示让对方先行。
而路人总是诧异地看父亲一眼，又微微地停一下，这才在父亲的笑意里，慌乱地点一下头，匆匆离去。
那脚步的失措，看上去有些逃的意思。
⑹我在晚饭的时候，便抱怨他，说：“何必对陌生人这样殷勤？他们指不定在心里觉得你有毛病呢。
”父亲呷下一口酒，道：“我管不着别人心里怎么想，但我开心就可以啊，况且，我就不信你给别人微笑，他还能泼你一盆冷水不成？所谓寻开心，就是这样，你自己不去主动找，它还会自登家门？”⑺几日后，翻起账本，突然想起一个借钱的熟人，当时他信誓旦旦，说三个月后肯定一分不少地全都打到我的账户里来，可是又过去两个月了，他不仅没有打钱，连一个解释的电话都没有。
气愤之下，我抄起电话便要质问熟人。
父亲得知后将我拦住，说：“钱既然已经借出去了，就不必再催了。
”我不解，说：“难道就让这笔钱白白地给他了不成？这样不守信用的人，你又何必跟他客气？”⑻父亲一声不响地拿过我的账本，将我记下的还款日期一栏“啪”的一道线勾掉，这才说：“何时你将心里那个还款的日期，也一并改成无期限的时候，就不会像现在这样气愤了；假如人家忙得忘记了，你过去一通责问，那岂不是彼此坏了感情？一笔钱丢掉不要紧，连带地连一个朋友也给弄丢了，那就得不偿失了。
”⑼我依然心里憋闷，说：“可是我觉得这个人根本就是故意忘记的，我刚刚听说他借过别人的钱，每次别人一催，他就推说下个月还，结果是几个月过去了，还是没有丝毫要还的迹象。
”⑽父亲依然不紧不慢地喝一口茶，道：“如果他真是一个常占便宜的人，那你这钱，丢了也没有关系，能够用钱测出一个人的深浅，并在以后的路上，尽可能地远离这样的人，不是更好吗？况且，如果他不打算还你，你再怎样地催促，也是得不到这笔钱的，不如心中先放下，这样轻松的是你，而他，则会在你的安静里，心里有小小的失落与不安。
”⑾隔着十几年的光阴看过去，我第一次发觉，硕士毕业的我，从书本中得到的那些东西，在没有读过几本书的父亲面前，原来是如此的苍白且无力。
人生中一切矛盾的化解，并不是拿尖锐的刀子划过，而是那最朴素最温暖的轻轻一放。
【小题1】文章写了父亲哪四件事？请简要概括。
（4 分）第一件事：第二件事：第三件事：第四件事：【小题2】语段中两次出现“光明使者”，请结合上下文说说你的理解。
（2 分）【小题3】文章第⑸小节写路人的表现用了哪些描写方法？有什么作用？（2 分）【小题4】请你用简洁的语言说说题目“轻放”的含义。
（2 分）【小题5】欠债还钱，本是天经地义。
父亲却劝“我”不必催促，你认同父亲的这种做法吗？说说你的看法。
（2分）2.雾的形成及对人的影响（12分）①雾是一种常见的天气现象。
秋冬时节，当低层大气中的水蒸气达到饱和状态时，低层大气中的水汽凝结物悬浮于空中，并使能见度的水平距离小于1千米，气象学上把这种天气现象称为雾。
②雾是怎样形成的呢？原来，空气中能容纳一定量的水汽，气温越高，空气所能容纳的水汽越多，反之越少。
白天的温度一般比较高，空气中可容纳较多的水汽；到了夜晚，地面热量的散失，使地面温度下降，同时影响接近地面的空气层，使空气的温度也降低，当温度低到空气不能容纳原先所有的水汽时，过剩的水汽便凝结成小水滴或小冰晶，浮游在近地面的大气中，雾就形成了。
③大雾天气对交通影响很大。
在大雾天气，飞机不能起飞和着陆，汽车、船舶等也因能见度低而容易发生交通事故。
雾读农业生产也有一定的危害。
如果连续数天大雾，将使农作物缺乏光照，进而影响生长，诱发病害。
如小麦抽穗时遇上连续3天以上的大雾，就容易引起赤霉病。
雾对人体健康也有一定的危害。
据测定，雾滴中含有的对人体有害的酸、碱、盐、胺、酚、尘埃、病原微生物等物质的比例，比通常的大气水滴高出几十倍。
人们如果在雾中活动，就会吸入雾中的这些有害物质，从而诱发或加重气管炎、咽喉炎、结膜炎等诸多疾病。
④既然雾给人们的生产生活带来不利的影响，那么怎样才能消除它呢？⑤针对雾形成的过程，我们可以进行人工消雾。
所谓人工消雾就是指用人工影响的方式消除局部区域的雾滴以提高能见度的方法。
一般采用三种方法：一是加热法。
对小范围的雾区采取一定的措施，加热空气使雾滴蒸发而消失。
二是吸湿法。
播撒盐、尿素等吸湿物质颗粒作为催化剂，产生大量凝结核，使雾滴在凝结核上凝结成大水滴形成降雨或降雪，从而达到消除的目的。
三是人工搅动混合法。
用直升飞机在雾层顶部缓慢飞行，把雾顶以上干燥空气驱赶下来与雾中空气混合，促使雾滴蒸发消失。
2002年12月，陕西就曾通过播撒二氧化碳来改变雾的存在形式，使其变成雪后降落。
经现场勘察，在第一次作业20分钟后，距离作业现场下风向1.2千米处开始降雪，降雪时间持续约3小时。
降雪后有效区域内能见度由原来的不足20米增加到了300米。
（选文有改动）【小题1】用自己的话概括雾是怎样形成的。
（不超过50字）（3分）【小题2】文章第③段中加着重号的“容易”能否去掉？请说明理由。
（3分）【小题3】文章第③段从哪些方面说明了雾的危害？（3分）【小题4】文章第⑤段画线部分运用了什么说明方法？简要分析它的作用。
（3分）1.阅读下面的文言文，回答问题。
（15分）【甲】水皆缥碧，千丈见底。
游鱼细石，直视无碍。
急湍甚箭，猛浪若奔。
夹岸高山，皆生寒树，负势竞上，互相轩邈；争高直指，千百成峰。
泉水激石，泠泠作响。
好鸟相鸣，嘤嘤成韵。
蝉则千转不穷，猿则百叫无绝。
鸢飞戾天者，望峰息心，经纶世务者，窥谷忘反。
横柯上蔽，在昼犹昏，疏条交映，有时见日。
（节选自《与朱元思书》）【乙】崇桢五年十二月，余住西潮。
大雪三日，湖中人鸟声俱绝。
是日更定矣，余挐①一小舟，拥毳②衣炉火，独往湖心亭看雪。
雾凇沆砀③，天与云与山与水，上下一白，湖上影子，惟长堤一痕，湖心亭一点，与余舟一芥④，舟中人两三粒而已。
到亭上，有两人铺毡而坐，一童子烧酒炉正沸。
见余大喜曰：“湖中焉得更有此人！”拉余同饮。
余强饮三大白⑤而别。
问其姓氏，是金陵人，客此。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相公者！”(选自《陶庵梦忆》)【注】①挐：撑（船）。
②毳(cuì)衣：毛皮的衣服。
③凇：水气凝成的冰花。
沆砀（hàng d àng ）:天上的白气。
④芥：比喻细微，微小。
⑤白：酒杯。
【小题1】用斜线（／）标出下面句子的朗读停顿（各停一处）。
（2分）（1）独往湖心亭看雪（2）惟长堤一痕【小题2】写出下列句子中加点字的意思。
（4分）(1)互相轩邈（） (2)窥谷忘反（）(3)上下一白（） (4)及下船（）【小题3】用现代汉语写出文中画线句的意思。
（4分）横柯上蔽．在昼犹昏。
湖中焉得更有此人！【小题4】甲文通过描写富春江的山水，抒发了作者怎样的思想感情？（2分）【小题5】乙文中“雾凇沆砀……舟中人两三粒而已”几句意境优美。
有人依此作一幅画，请你为这幅画添加一个标题：。
(1分)【小题6】甲乙两文画线句都写环境的幽静，但艺术手法不同，请简析。
（2分）1.写作(40分)四季，色彩斑斓，草长莺飞的春，阳光绚烂的夏，天高云淡的秋，雪花纷飞的冬，给你遐想，让你向往。
人生也是如此，天真烂漫的童年，活泼快乐的少年，追求独立的青年……令你难忘，让你憧憬。
每一个“季节”都是风景，每一个“季节”都令人回味。
请以“我最喜欢的季节”为话题，自拟题目，写一篇文章，不得以此话题为题目。
要求：①表达真情实感。
②除诗歌外，文体不限。
600字以上。
③文中不得出现真实的地名、校名和人名。