高考数学一轮总复习专题34数列的综合应用检测文

专题34数列的综合应用

【学习目标】

1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．

2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．

【知识要点】

1．数列综合问题中应用的数学思想

(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．

(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．

(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．

(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．

1．数列综合问题中应用的数学思想

(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．

(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．

(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．

(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．

【方法总结】

1.数列模型应用问题的求解策略

(1)认真审题，准确理解题意.

(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前n项和公式求解，或通过

探索、归纳、构造递推数列求解.

(3)验证、反思结果与实际是否相符.

2.数列综合问题的求解程序

(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解.

(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题.

【高考模拟】

一、单选题

1．已知为数列的前项和，，，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】分析：由2S n=（n+1）a n，n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，则2a n=2（S n﹣S n﹣1），整理得：，则，可得：a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n ≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围．

详解：∵a1=1，2S n=（n+1）a n，

∴n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，

∴2a n=2（S n﹣S n﹣1）=（n+1）a n﹣na n﹣1，整理得：，

∴

∴a n=n．

不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，

∴0＜n≤2t，

关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，

可知n=1，2．

∴1≤t＜，

故答案为：A.

点睛：本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.

2．在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（）

A．17m B．16m C．15m D．14m

【答案】C

点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．我国古代数学著作《九章算术》由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，

其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（）

A．6 B．5 C．4 D．7

【答案】A

【解析】分析：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．

详解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，

记为{a n}，设公差为d，

则，解得a1=，d=，

∴该金杖的总重量M=10×=15，

∵48a i=5M，∴48[（i﹣1）×]=25，

即39+6i=75，解得i=6，

故选：A．

点睛：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，是基础题．

4．删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．B．C．D．

【答案】B

【解析】分析：由于数列共有项，去掉个平方数后，还剩余项，所以去掉平方数后第应在后的第个数，即是原来数列的第项，从而求得结果.

详解：由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正

整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.

点睛：解决该题的关键是找出第项的大概位置，所以数列共有项这个条件非常关键，只要弄明白去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解.

5．5．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )

A．33个B．65个

C．66个D．129个

【答案】B

【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，，故小时后细胞的存活数是，故选B.

6．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出

的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.14

6寸表示115寸14

6

分（1寸=10分）.

已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )