高考模拟命题比赛数学试卷4 Word版含答案
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
高三数学模拟四试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[1,2]上存在零点，则下列结论正确的是（）A. f(1) = 0B. f(2) = 0C. f(1)f(2) < 0D. f(1)f(2) > 0答案：C解析：由零点定理，如果函数在某个区间内连续，且在该区间的两端函数值异号，则该区间内至少存在一个零点。
计算f(1) = -2，f(2) = 2，故f(1)f(2) < 0，正确。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 50，S10 = 150，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由等差数列前n项和的公式Sn = n(a1 + an)/2，可得S5 = 5(a1 + a5)/2 = 50S10 = 10(a1 + a10)/2 = 150由S5 = 50得a1 + a5 = 20，由S10 = 150得a1 + a10 = 30又因为a5 = a1 + 4d，a10 = a1 + 9d，所以a1 + a1 + 4d = 20a1 + a1 + 9d = 30解得d = 2。
3. 在平面直角坐标系中，直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相交于A、B两点，若|AB| = √2，则k的值为（）A. 1B. -1C. 1/2D. -1/2答案：A解析：由题意，圆心到直线的距离等于半径，即|kx - y + b|/√(k^2 + 1) = 1，且|AB| = √2。
由勾股定理，圆心到A、B两点的距离分别为1和√(1 - 1/2) = √1/2，所以圆心到直线的距离为√(1 - 1/2) = √1/2。
将圆心坐标(0,0)代入直线方程得b = 0，代入圆心到直线的距离公式得|k0 - 0 + 0|/√(k^2 + 1) = √1/2，解得k = 1。
4. 设函数f(x) = e^x - x，则f(x)在（）A. (-∞,0)上单调递减B. (0,∞)上单调递减C. (-∞,0)上单调递增D. (0,∞)上单调递增答案：D解析：求导得f'(x) = e^x - 1，当x > 0时，e^x > 1，所以f'(x) > 0，函数f(x)在(0,∞)上单调递增。
2024年辽宁省高考数学模拟试题04(解析版)
2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
湖北省2024届高三下学期四月模拟考试数学试题含答案
2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷（答案在最后）本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()1,2a =- ，()3,4b =- ，()3,2c = ，则()2a b c +⋅= （）A.()15,12- B.0C.3- D.11-2.已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A.)+∞B.⎡⎣C.[)3,+∞D.(⎤⎦3.下面四个数中，最大的是（）A.ln3B.()ln ln3 C.1ln3D.()2ln34.数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若n m n m S S S ++=，（m ，n +∈N ）则9a =（）A.9B.1C.8D.455.复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（）A. B. C.D.7.能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A.228B.210C.240D.2388.抛物线2:2x y Γ=上有四点A ，B ，C ，D ，直线AC ，BD 交于点P ，且PC PA λ= ，()01PD PB λλ=<<.过A ，B 分别作Γ的切线交于点Q ，若23ABP ABQS S =△△，则λ=（）A.2B.23C.3D.13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A.0B.4C.8D.1610.已知函数()()0,,22f x x t t ππωϕωϕ⎛⎫=++>-<<∈ ⎪⎝⎭Z 有最小正零点34，()01f =，若()f x 在94,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则（）A.ωπ= B.53ωπ=C.()91f =D.()91f =-11.如图，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为锐角三角形，点D ，H ，E 分别为棱1AA ，BC ，11C A 的中点，且1122BC B C ==，4AC AB +=；侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为6，则下列说法可能但不一定正确的是（）A.该三棱台的体积最小值为74B.112DH =C.111128E ADH ABC A B C V --=D.,44EH ⎛∈⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出函数()ln 2ex x xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：______.13.两个连续随机变量X ，Y 满足23X Y +=，且()23,X N σ~，若()100.14P X +≤=，则()20P Y +>=______.14.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，以实轴为直径作圆O ，过圆O 上一点E 作圆O 的切线交双曲线的渐近线于A ，B 两点（B 在第一象限），若2BF c =，1AF 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15.（13分）数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S .16.（15分）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b+=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，（1）证明：12BA BA ⊥；（2）设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值.参考公式：()()3322m n m n m mn n+=+-+17.（15分）空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为3π，图1图2（1）如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；（2）如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ α∥，PQ n ⊥且PQ m ⊥，（i ）证明：直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d .18.（17分）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，（1）若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；（2）记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<.19.（17分）欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n 为正整数，集合{}1,2,,1n X n =⋅⋅⋅-，欧拉函数()n ϕ的值等于集合n X 中与n 互质的正整数的个数；记(),M x y 表示x 除以y 的余数（x 和y 均为正整数），（1）求()6ϕ和()15ϕ；（2）现有三个素数p ，q ，()e p q e <<，n pq =，存在正整数d 满足()(),1M de n ϕ=；已知对素数a 和a x X ∈，均有()1,1a M xa -=，证明：若n x X ∈，则(),,dc x M M x n n ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；（3）设n 为两个未知素数的乘积，1e ，2e 为另两个更大的已知素数，且12231e e =+；又()11,ec M x n =，()22,e c M x n =，n x X ∈，试用1c ，2c 和n 求出x 的值.2024届高中毕业生四月模拟测试数学参考答案与评分标准选择题：题号1234567891011答案CBDBAAADACDBCBD填空题：12.2221ln2e ex y -=+--（合理即可）13.0.8614.2解答题：15.（13分）解：（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则18n n a a n +=+，则()()()12818182n n n a a n a n n --=+-=+-+-()218121441a n n n =⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+-=-+.……5分（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-：当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，在11b =时，()11n n S n -=-⋅；11b =-时，()1nn S n =-⋅.……13分16.（15分）（1）证明：当1a >时，1C 的离心率1e =，1a <时，1C 的离心率1e =；因为a b ≠==，得221a b =，又0a b >>，所以1ab =，且10a b >>>；由题意知()1,0A a ，()2,0A b -，即21,0A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2:1A B l y ax =+，1:1A B x l y a =-+，它们的斜率之积为11a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=-，因此12BA BA ⊥；……4分（2）解：由（1）问知，2222:1C a x y +=，联立1A B I 与2C 的方程22211x y aa x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，将y 消去得：222120xa x a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，2421a x a =+，又()0,1B 在曲线2C 上，则421P ax a =+，44111P P x a y a a -=-+=+，联立2A B l 与1C 的方程22211y ax x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，将y 消去得：222120a x ax a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得10x =，32421a x a =-+，又()0,1B 在曲线1C 上，则3421Q a x a =-+，44111Q Q a y ax a -=+=+，……9分因此PQ 的中点34,01a a C a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，连BC ，因为12BA BA ⊥，即BP BQ ⊥，所以2PQ BC ==()()3411a af a a a -=>+，当()f a 最大时，PQ 也最大；可知()()()()()()()()()()24334262422224443114331141111a a a a aaa a aa a f a a a a-+--+-++-+-===++'+，令()0f a '>得42410a a -+->，解得222a <<+，又1a >，则(a ∈，令()0f a '<得)a ∈+∞，因此()f a在a =且最大值为14f=，……14分因此PQ 最大值为max 322PQ ==.……15分17.（15分）（1）解：设点C 到平面α的距离为h ，作CH AB ⊥于点H ，可知h CH ≤，设CA b =，CB a =，在ABC △中，由余弦定理可知：2222cos 1a b ab ACB AB +-∠==，由于直线m 与n 之间的夹角为3π，且它们交于点C ，则3ACB π∠=，从而221a b ab +-=，又22a b ab ab +-≥，则1ab ≤（a b =时取等）；因为11sin 22ABC S ab ACB AB CH =∠=⋅△，所以22CH ab =≤，所以点C 到平面α的距离32h ≤，其最值为32；……5分（2）（i ）证：如图，过点P 作直线l n ∥，由题知直线l 与平面α必相交于一点，设其为点D ，连接DA ，DB ，则P ，Q ，D ，B 共面，又PQ α∥且DB α⊂，于是PQ DB ∥，又l n ∥，则四边形PQBD 为平行四边形，则DB PQ d ==，因为PQ n ⊥且PQ m ⊥，所以BD n ⊥且BD m ⊥，所以BD l ⊥，又l m P = ，所以BD ⊥平面PAD ，作PH AD ⊥于H ，则PH BD ⊥，又AD BD D = ，则PH α⊥，设PH h =，则P 到平面α的距离也为h ，且直线m ，n 与平面α的夹角分别为PAH ∠和PDH ∠；由于直线m 与n 之间的夹角为3π，则直线m 与l 之间的夹角也为3π，则3APD π∠=，于是23PAH PDH APD ππ∠+∠=-∠=，即直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值23π；……11分（2）（ii ）解：因为BD ⊥平面PAD ，所以BD AD ⊥，ABD △中，22221AD AB BD d =-=-，则AD =，又3APD π∠=，由（1）问同法算得332PH ≤=，即点P 到平面α距离h 的最大值为()()012f d d =<<，……15分18.（17分）（1）解：()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；……1分i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x '>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,+∞上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……3分ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令10x >，20x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……5分若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……7分若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x >，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =.……9分（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；……11分则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---……11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；……14分欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+=- -++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.……17分19.（17分）（1）解：6X 中，与6互质的数有1和5，则()62ϕ=；15X 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则()15ϕ=8；……2分（2）证明：因为n pq =，p 和q 为素数，则对n x X ∈，仅当x p +∈N 或xq+∈N 时，x 和n 不互质，又x n <，则x p =，2p ，…()1q p -，或x q =，2q ，…()1p q -时，x 与n 不互质，则()()()()()11111n n p q p q ϕ=-----=--，……4分设(),M x p s =，(),M x q t =，可知s ，t 不全为0，下证0st ≠时，()(),1n M x n ϕ=；由题知，()()11,,1p q M s p M t q --==，又()()()()1121122111100C C ,p p p p p p p p p p xkp s kp kp s kps s N p s k N ----------+=+=++⋅⋅⋅++=+∈N ，所以()()11,,1p p M xp M t p --==，同理有()1,1q M x q -=；于是记()11q x kq k -+=+∈N ，()()()11111p n x kq N q N ϕ-+=+=+∈N ，即()(),1n M xq ϕ=，同理()(),1n M xp ϕ=，记()21n xN p ϕ=+，于是2111N p N q +=+，则21q N N p =⋅，因为q p +∉N ，所以1N p +∈N ，所以()1111n N N x pq n p pϕ=⋅+=⋅+，即()(),1n M xn ϕ=；……8分i.0st ≠时，记(),cM x n c =，则()()()()1,,,k n ddcM c n M x n M xn ϕ+==，记10N k p=，又()()()(),,,1kk n n M x n M M x n n ϕρ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，而x n <，则()()1,k n M x n x ϕ+=，即(),dM c n x =，即(),,d e M M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；ii.若0st =，不妨设0s =，于是()1q x k p k X =∈，所以()()()1,,,ddcdc dcM c n M x n M k p n ==，又()11,dcM k n k =，()1,1q M p q -=，所以()()()()()()()1111,,,,,1,k p k n d dcdeq M c n M p k n pk M pq xM M p q q xM q x ϕ--⎛⎫⎡⎤===== ⎪⎣⎦⎝⎭；综上，(),,dcM M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭，得证：……11分（3）因为12231e e =+，所以12231e e xx +=，则()()12231,,e e M x n M x n +=，则()()2312,,M c n M xc n =，假设存在0a ，1a +∈N ，使得30211a c a n ⋅=+；记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，于是0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，从而数列{}k n 有且仅有01k +项，考虑使()()1101,kk k k k a n a n k k k +++-=-∈≤N 成立，则对于相邻项有()()1111111kk k k kk k k k k a n a n a n a n ++---⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，将两式相加并整理得：1111k k k k k kn n a a a n -+-+-=⋅+，令0k k =，得()00111k k a -+=-，又由于2n ，3n ，…，0k n 及0k 均由0n n =和312n c =确定，则数列{}k a 的各项也可根据n 和32c 确定，由上知()302,1M a c n =，()()2312,,M c n M xc n =，则()()()()()()233010202,,,,,1,M a c n M xa c n M M x n M a c n n M x n x ⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦，即()201,x M a c n =，其中0a 是根据n 和32c 唯一确定的.……17分。
2023年高考数学模拟试题（四）参考答案
2023年高考数学模拟试题(四)参考答案 一㊁选择题1.B 2.B 3.A4.D 提示:由题得c =(1+k ,2+k ),又b ʅc ,则b ㊃c =1+k +2+k =0,得k =-32㊂5.B 提示:设圆锥的母线长为l ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则πl =2πˑ2,解得l =22㊂6.A 提示:由频率之和为1,即(0.1+a +0.4+0.25+0.1)ˑ1=1,解得a =0.15,则学党史读书时间的平均数为9.5ˑ0.10+10.5ˑ0.15+11.5ˑ0.40+12.5ˑ0.25+13.5ˑ0.10=11.60(小时)㊂7.A 提示:因为X ~B (n ,p ),所以E (X )=n p =2,D (X )=n p (1-p )=1,解得n =4,p =12,则Y ~N (4,σ2),所以P (Y >8)=P (Y <0)=p 2=14,所以P (4<Y <8)=12P (0<Y <8)=121-14-14=14㊂8.D 提示:由a n +2=a n +1+a n ,得a 2+a 3+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 4+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 6+a 7+a 9+ +a 59= =a 58+a 59=a 60,所以k =60㊂9.A提示:由题意可知5ωπ8+φ=2k 1π+π2,11ωπ8+φ=k 2π,其中k 1,k 2ɪZ ,所以ω=43(k 2-2k 1)-23,又T =2πω>2π,所以0<ω<1,所以ω=23,φ=2k 1π+π12,因为φ<π,所以φ=π12㊂10.C 提示:不妨设0<x 1<x 2,则x 1-x 2<0,有x 2f (x 1)-x 1f (x 2)>0,又x 1x 2>0,所以f (x 1)x 1-f (x 2)x 2>0,即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2㊂设g (x )=f (x )x ,则g (x 1)>g (x 2),所以g (x )在(0,+ɕ)上单调递减,故f (x )x>2等价于g (x )>g (2),所以x ɪ(0,2)㊂11.D 提示:设内切圆与P F 1,P F 2,F 1F 2的切点分别为M ,N ,T ,则由切线长定理可得P M=P N ,F 1M=F 1T ,F 2N =F 2T ,因为P F 1-P F 2=F 1M -F 2M =F 1N -F 2T =2a ,F 1F 2=F 1T+F 2T=2c ,所以F 2T =c -a ,则点T 的坐标为(a ,0),故点I 的横坐标为定值a ,所以A 正确㊂因为F 1F 2=2b 2a ,所以2c =2b 2a =2c 2-2a2a,化简得c 2-a c -a 2=0,即e 2-e -1=0,解得e =1ʃ52,因为e >1,所以e =1+52,所以B 正确㊂设әP F 1F 2的内切圆半径为r ,由双曲线的定义可得P F 1-P F 2=2a ,|F 1F 2|=2c ,因为S әI P F =12㊃P F 1㊃r ,S әI P F =12P F 2㊃r ,S әI F F =12㊃2c ㊃r ,又S әI P F =S әI P F +λS әI F F,所以12P F 1㊃r =12P F 2㊃r +λ㊃12㊃2c ㊃r ,所以λ=P F 1-P F 22c =a c =1e =5-12,所以C 正确㊂当P F 2ʅx 轴时,可得P F 2=b2a=c =12F 1F 2,此时t a n øP F 1F 2=12,所以øP F 1F 2ʂ30ʎ,所以D 错误㊂综上可得,答案为D ㊂12.C 提示:令f (x )=l n xx,则f '(x )=1-l n xx 2,易知f (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减㊂由π>e ,f (π)< 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月f (e ),即l n ππ<l n e e,即e l n π<πl n e ,即l n πe<l n e π,所以πe <e π㊂在同一坐标系中作出图1y =(2)x与y =x 的图像,如图1所示,可知在(2,4)内恒有x >(2)x,所以π>(2)π,所以πe >(2π)e=(2)e π㊂综上可知,c <b <a ㊂二㊁填空题13.-35 提示:3s i n α+2c o s α2s i n α-c o s α=3t a n α+22t a n α-1=-1+2-23-1=-35㊂14.4 提示:因为A B =23,且圆的半径为r =23,所以圆心0,0 到直线m x +y +3m -3=0的距离为r 2-A B 22=3㊂由3m -3m 2+1=3,解得m =-33,代入直线l 的方程,得y =33x +23,所以直线l 的倾斜角为30ʎ,在梯形A B D C 中,由平面几何知识可得C D =A Bc o s 30ʎ=4㊂15.168 提示:①对E ,F ,G ,H 涂4种颜色,对于剩下的A ,B ,C ,D 各剩2种颜色,且相邻的都含一种颜色是相同的,即当某个点取一种颜色时,其他点的颜色是确定的,那么A ,B ,C ,D 共有2种情况,共有A 44ˑ2=48(种);②对E ,F ,G ,H 涂3种颜色,对于E ,F ,G ,H 从4种颜色中取3种,即C 34,从这3种颜色中取1种来作重复的一种,即C 13=3,再对这4种颜色进行排列,重复的那种只能在对角,有2个对角,再对其他不重复的2种进行排列A 22=2,即2A 22=4,对于剩下的A ,B ,C ,D 同①一样,各剩2种颜色,当其中一点取1种颜色时,其他点颜色是确定的,共有2种,故共有C 34㊃C 13㊃2A 22㊃2=4ˑ3ˑ2ˑ2ˑ2=96(种);③E ,F ,G ,H 涂2种颜色,则选2种颜色涂在对角位置,有C 24ˑ2=12(种),A ,B ,C ,D 共2种颜色,故共有C 24ˑ2ˑ2=24(种)㊂综上,涂色方法共有48+96+24=168(种)㊂16.29π 提示:易知三棱锥P A C D 的三组对棱分别相等,则该三棱锥可以理解为由正方体六个面的面对角线构成,且其外接球即为正方体的外接球,设该正方体的长,宽,高分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2=13,b 2+c 2=25,c 2+a 2=5,则外接球的半径R 满足2R =a 2+b 2+c 2,所以4R 2=a 2+b 2+c 2=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]=29,故外接球的表面积为4πR 2=29π㊂三㊁解答题17.(1)由等差数列的性质可得S 5=5a 3,则a 3=5a 3,所以a 3=0㊂设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2a 4=(a 3-d )(a 3+d )=-d 2,S 4=(a 3-2d )+(a 3-d )+a 3+(a 3+d )=-2d ,所以-d 2=-2d ,又d ʂ0,故d =2,所以a n =a 3+(n -3)d =2n -6㊂(2)由(1)可得a 1=-4,则S n =n ˑ-4 +n n -1 2ˑ2=n 2-5n ㊂由S n >a n ,得n 2-5n >2n -6,解得n <1,或n >6㊂又n ɪN *,故n 的最小值为7㊂18.(1)由题知B D =C D =2,则B D 2+C D 2=B C 2,所以B D ʅC D ㊂又P D 2+C D2=P C 2,所以P D ʅC D ㊂又P D ɘB D =D ,所以C D ʅ平面P B D ㊂又C D ⊂平面P D C ,所以平面P B D ʅ平面P D C ㊂图2(2)以D 为坐标原点,射线D B ,D C 分别为x 轴,y 轴的正半轴,建立如图2所示的空间直角坐标系D x yz ,则D (0,0,0),C (0,2,0),E 22,22,0,P 22,0,22,所以D E ң=22,22,0,D P ң=22,0,22,参考答案与提示高考数学 2023年7-8月P C ң=-22,2,-22㊂设平面P D E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃D E ң=22x +22y =0,n ㊃D P ң=22x +22z =0,令x =1,得n =(1,-1,-1)㊂设直线P C 与平面P D E 所成角为θ,则s i n θ=c o s <P C ң,n >=P C ң㊃n |P C ң||n |=63,故直线P C 与平面P D E 所成角的正弦值为63㊂19.(1)设 获三等奖 为事件A ,由题意得P (A )ȡ59,又因为P (A )=A 3nn3=(n -1)(n -2)n 2,所以(n -1)(n -2)n2ȡ59,整理得4n 2-27n +18ȡ0,解得n ȡ6,或n ɤ34(舍),所以n 的最小值为6㊂(2)设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为108,60,18,根据题意得P (ξ=108)=C 1663=136,P (ξ=60)=C 26C 12C 1363=1536=512,P (ξ=18)=C 36A 3363=2036=59㊂所以ξ的分布列为表1㊂表1ξ1086018P 13651259所以E (ξ)=108ˑ136+60ˑ512+18ˑ59=38㊂20.(1)设椭圆C 的标准方程为x2a2+y 2b2=1(a >b >0)㊂由题意得2a =4,1a 2+94b2=1,解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x24+y 23=1㊂(2)设直线l :x =m y -1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂联立x =m y -1,3x 2+4y 2=12,消去y 整理得(3m 2+4)y 2-6m y -9=0,Δ=36m 2+36(3m 2+4)>0,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4㊂设әP Q R 的面积为S ,则S =2S әP O Q=2ˑ12|O F 1||y 1-y 2|=|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m3m 2+42-4㊃-93m 2+4=12m 2+13m 2+4㊂令m 2+1=t (t ȡ1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ȡ1)㊂令f (t )=3t +1t(t ȡ1),则f '(t )=3-1t2>0,所以f (t )在[1,+ɕ)上为增函数,所以f (t )m i n =f (1)=4,所以S 的最大值为124=3,此时m =0㊂故当m =0,即直线l 的方程为x =-1时,әP Q R 的面积有最大值,且最大值为3㊂21.(1)当a =e 时,f (x )=x -e l n x +(x -e )2,则f '(x )=(2x +1)(x -e)x㊂令f '(x )>0,得x >e ;令f '(x )<0,得x <e ㊂故函数f x 的单调递增区间为(e ,+ɕ),单调递减区间为(0,e)㊂(2)求导得f '(x )=l n a -ax+2(x -e)=2x 2+(l n a -2e )x -ax㊂令t (x )=2x 2+(l n a -2e )x -a =0,因 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月为Δ=(l n a -2e )2+8a >0,所以方程2x 2+(l n a -2e )x -a =0有两个不相等的实根x 1,x 2(x 1<x 2)㊂又x 1x 2=-a2<0,所以x 1<0<x 2㊂令x 0=x 2,得到表2:表2x (0,x 0)x 0(x 0,+ɕ)f '(x )-0+f (x )减极小值增所以f (x )存在极值点x 0,即存在x 0使得2x 20+(l n a -2e )x 0-a =0成立,所以存在x 0使得a -x 0l n a =2x 20-2e x x 0对任意的a >0有解,因此需要讨论等式左边的关于a 的函数㊂记u (t )=t -x 0l n t ,则u '(t )=1-x 0t㊂令u '(t )=0,得t =x 0,易知u (t )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+ɕ)上单调递增,所以当t =x 0时,u (t )m i n =u (x 0)=x 0-x 0l n x 0,所以需要2x 20-2e x 0=a -x 0l n a ȡx 0-x 0l n x 0,即2x 20-(2e +1)x 0+x 0l n x 0ȡ0,即2x 0+l n x 0-(2e +1)ȡ0㊂令v (t )=2t +l n t -(2e +1),则u (t )在(0,+ɕ)上单调递增,且v x 0 ȡv (e )=0,所以需要x 0ȡe ,故x 0的最小值为e㊂22.(1)将x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,代入x22+y 2=1,整理得ρ=21+s i n 2θ㊂(2)方法1:由题意知,直线l 经过点F (-1,0),设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,将x =-1+t ,y =t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-2t -1=0,则t 1+t 2=23,t 1t 2=-13㊂所以|MN |=2|t 1-t 2|=2ˑ(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂方法2:将直线l 的参数方程化为标准形式为x =-1+22t ,y =22t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-22t -2=0㊂设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=223,t 1t 2=-23㊂所以MN =t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂23.(1)方法1:因为|f (x )|=||x -1|-|x -2||ɤ|(x -1)-(x -2)|=1,所以-1ɤf (x )ɤ1,即f (x )的值域为[-1,1]㊂方法2:由题意得f x =x -1-x -2=-1,x ɤ1,2x -3,1<x <2,1,x ȡ2,则易知f x 的值域为-1,1 ㊂(2)方法1:由基本不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2=1+b 22a 2+a 22b2ȡ2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂因为f (x )+x -2+2x -3=|x-1|+|2x -3|,所以|x -1|+|2x -3|ɤ2,等价于x ȡ32,x -1+2x -3ɤ2,或1<x <32,x -1+3-2x ɤ2,或x ɤ1,1-x +3-2x ɤ2,解得32ɤx ɤ2,或1<x <32,或23ɤx ɤ1,则实数x 的取值范围为23,2㊂方法2:由柯西不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2ȡ22+222=2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂余下同方法1㊂(责任编辑 王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学全真模拟测试(四)( 含答案)
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考全真模拟测试（四）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|lnx>2}，B={x|y=√x−2}，则(∁R A)∩B=（）A．(0,e2)B．(0,e2]C．[2,e2]D．[2,+∞))3，则|z|=（）2．已知复数z=(1+i1−iA．12B．1C．2D．33．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)和B(a,−1)，且直线l与l1平行，则实数a 的值为（）A．0B．1C．6D．0或64．已知函数f(x)=x a满足f(2)=4，则函数g(x)=|log a(x+1)|的图象大致为（）A．B．C．D．5．若函数y=−√4−(x−1)2的图象与直线x−2y+m=0有公共点，则实数m的取值范围为（）A．[−2√5−1，−2√5+1]B．[−2√5−1，1].C．[−2√5+1，−1]D．[−3，1]6．已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l交双曲线的右支于A，B两点.若|AB|:|AF1|:|BF1|=3:3:2，则双曲线的离心率为（）A．√333B．√2C．113D．117．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d．已知a3=12，S10>0，a6<0，则选项不正确的是（）A．数列{S na n }的最小项为第6项B．−245<d<−4C．a5>0D．S n>0时，n的最大值为58．已知函数f(x)=3x2−1x3，若g(x)=f2(x)−(a−3)f(x)−3a有四个不同的零点，其中恰有一个为负，三个为正，则实数a的取值范围为A．(−2,0)∪(0,2)B．(−1,e)C．(0,2)D．(−2,0)二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，以下判断正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，α∥β，则m∥β10．已知函数f(x)=cos(2ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π2，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是（）A．g(0)=0B．g(x)在[0，π2]单调递减C．g(x)的图像关于x=−π4D．g(x)在[−π12，π3]上的最大值是111．已知函数f(x)=xlnx+x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是（）A．0<x0<1e B．x0>1eC．f(x0)+2x0<0D．f(x0)+2x0>012．如图，已知圆锥的轴截面P AB为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2．C是圆O上异于A，B的一点，D为弦AC的中点，E为线段PB上异于P，B的点，以下正确的结论有（）A．直线AC⊥平面PDO B．CE与PD一定为异面直线C．直线CE可能平行于平面PDO D．若BC=√2，则CE+AE的最小值为√3+ 1三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且BC→⋅BO→=3，则BC 边的长度为___________．14．已知sin(α+π5)=−√63，则cos(α−3π10)=_______.15．若等比数列{a n}满足a2−a1=1,a3−a1=3，则{a n}的前n项和S n=____________．16．如图，将由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片沿虚线折起，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}是首项为1的等差数列，若a2是a1，a5的等比中项，且a2<a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，求数列{bn}的前n项的和S n.18．如图，在四棱锥S−ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=120°，点E是BS的中点．(1)求证：SD∥平面ACE；(2)若平面ABS⊥平面ABCD，求点E到平面ASD的距离．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC−b−c=0.(1)求A；(2)若a=2，则△ABC的面积为√3，求b，c.20．某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.(∥) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(∥) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析：∥列出所有可能抽取的结果；∥求抽取的2所学校没有大学的概率.21．在平面直角坐标系中，点M(−2,0),N(2,0)，P是平面内一点，直线PM,PN的斜率之积.为−34（1）求点P的轨迹方程；（2）设点p的轨迹为曲线Γ，过点E(−1,0)的直线l与Γ相交于A,B两点，以线段AB为直径的圆过点F(1,0)，求直线l的方程．22．已知函数f(x)=(2ae x−x)e x.（1）若a=0，求f(x)的单调区间；≤0恒成立，求a的最小值.（2）若对于任意的x∈R，f(x)+1a2022年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟测试（四）数学答案1．C由题意知,A ={x|x >e 2}，B ={x|x ≥2}， ∥∁R A ={x|x ≤e 2}， ∥(∁R A)∩B =[2,e 2]. 2．B ∥1+i 1−i=i∥z =(1+i 1−i)3=i 3=−i ,故|z |=1. 3．C因为直线l 的倾斜角为3π4，所以直线l 的斜率为tan3π4=−1，因为直线l 1经过点A (3,2)和B (a,−1)，所以直线l 1斜率为−1−2a−3， 因为直线l 与l 1平行，所以−1−2a−3=−1，解得：a =6， 4．C由恬2a =4，a =2，g(x)=|log 2(x +1)|={−log 2(x +1),−1<x <0log 2(x +1),x ≥0，函数定义域是(−1,+∞)，在(−1,0)上递减，在(0,+∞)上递增． 5．B将函数y =−√4−(x −1)2转化为：(x −1)2+y 2=4(y ≤0)， 表示以(1,0)为圆心，以2为半径的半圆，如图所示：由图知：当直线x−2y+m=0过点(−1,0)时，m=1，当直线x−2y+m=0与圆相切时，√5=2，解得过m=−2√5−1，所以当−2√5−1≤m≤1时，函数y=−√4−(x−1)2的图象与直线x−2y+m=0有公共点，所以实数m的取值范围为[−2√5−1，1].6．A因|AB|:|AF1|:|BF1|=3:3:2，令|AB|=|AF1|=3m，|BF1|=2m，而双曲线实半轴长a= 1，由双曲线定义知|BF2|=2m−2，|AF2|=3m−2，而|AB|=|AF2|+|BF2|，于是可得m=2，在等腰△ABF1中，cos∠ABF1=12|BF1||AB|=13，令双曲线半焦距为c，在△BF1F2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos∠F1BF2，而|BF1|=4，|BF2|=2，(2c)2=42+22−2×4×2×13，解得c=√333，所以双曲线的离心率为e=ca =√333.7．D解：由题意S10=102(a1+a10)=5(a5+a6)>0，又a6<0，所以a5>0，故选项C正确；由a3=12，且a5>0，a6<0，a5+a6>0，得{a5=12+2d>0a6=12+3d<0a5+a6=24+5d>0，解得−245<d<−4，选项B正确；由题意当1⩽n⩽5时，a n>0，当n⩾6时，a n<0，所以S10>0，S11=11a6<0，故S n>0时，n的最大值为10，故选项D错误；由于d<0，数列{a n}是递减数列，当1⩽n⩽5时，a n>0，当n⩾6时，a n<0；当1⩽n⩽10时，S n>0，当n⩾11时，S n<0，所以当1⩽n⩽5时，S na n >0，当6⩽n⩽10时，S na n<0，当n⩾11时，S na n>0，故数列{S n an}中最小的项为第6项，选项A正确．8．C令g(x)=0，即f2(x)−(a−3)f(x)−3a=[f(x)−a]⋅[f(x)+3]=0，解得f(x)=a或f(x)=−3.∵f′(x)=−3(x2−1)x4.令f′(x)>0，得x∈(−1,0)∪(0,1)，令f′(x)<0，得x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，故f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)上分别单调递减，在(−1,0)和(0,1)上分别单调递增，在x=1处取得极大值，f(x)极大值=f(1)=2，在x=−1处取得极小值，f(x)极小值=f(−1)=−2，当x从左边趋近0时，f(x)趋近于正无穷大，当x从右边趋近0时，f(x)趋近于负无穷大，当x无穷大时，f(x)趋近于0.可知，y=−3与y=f(x)的图象在y轴右侧只有一个交点，在y轴左侧无交点，故此时有一个正零点，当0<a<2时，y=a与y=f(x)的图象在y轴左侧只有一个交点，在y轴右侧有两个交点，故共有三个正零点，一个负零点，故选：C.9．CD对于A，若m∥α，α∥β，则m可能在β内，所以A不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；对于C，若m∥α，n∥α，则m∥n，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确；对于D，若m∥α，α∥β，则m∥β，满足面面平行的性质定理和线面垂直的判定定理，所以D正确；10．AC因为函数f(x)=cos(2ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π2，所以2ω=2ππ2=4，解得ω=4，所以f(x)=cos(4x−π6)，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到y=cos(4(x+π6)−π6)=cos(4x+π2)=−sin4x，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)=−sin2x，A. g(0)=0，故正确；B. 因为x∈[0，π2]，所以2x∈[0，π]，所以g(x)在[0，π2]不单调，故错误；C.因为g(−π4)=−sin[2(−π4)]=1，所以g(x)的图像关于x=−π4，故正确；D. 因为x∈[−π12，π3]，所以2x∈[−π6，2π3]，则g(x)在[−π12，π3]上的最大值是12，故错误；11．AD函数f(x)=xlnx+x2,(x>0),∴f′(x)=lnx+1+2x,∥x 0是函数f(x)的极值点，∥f ′(x 0)=0，即∴lnx 0+1+2x 0=0， ∴f ′(1e )=2e>0,当x >1e 时，f ′(x )>0∵x →0,f ′(x)→−∞,∴0<x 0<1e ,即A 选项正确,B 选项不正确;f (x 0)+2x 0=x 0lnx 0+x 02+2x 0=x 0(lnx 0+x 0+2)=x 0(1−x 0)>0,即D 正确,C 不正确. 12．ABD对于A 项：在△AOC 中，OA =OC ，D 为AC 中点， 所以AC ⊥OD ，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC ，因为PO ∩OD =O ，所以AC ⊥平面PDO ，故A 正确．对于B 项：由于P ，C ，E 共面，且D 在平面PCE 外，所以CE 与PD 异面，故B 正确． 对于C 项：因为CB //OD 可得CB //平面PDO ，若直线CE //平面PDO ，则有平面PBC //平面PDO ，这与两平面有公共点P 矛盾，故C 错．对于D 项：在三棱锥P −ABC 中，将侧面PBC 绕PB 旋转至平面PBC ′，使之与平面P AB 共面，如图所示，则当A ，E ，C ′共线时，CE +AE 取得最小值，因为AB =2，BC ′=√2=PB =PC ′，所以∠ABC ′=105°，由余弦定理可得AC ′=√3+1，即CE +AE 的最小值为√3+1，故D 对． 13．√6设AB 的长度为a (a >0)，由BC →⋅BO →=BO →⋅BC →，而BO →⋅BC →的几何意义为：BO →在BC →上的投影与|BC →|的乘积，∥a2⋅a =3⇒a =√6故答案为：√6. 14．−√63cos (α−3π10)=cos [(α+π5)−π2]=sin (α+π5)=−√63， 故答案为：−√63.15．2n −1设等比数列{a n }的公比为q ，由已知，得{a 2−a 1=a 1(q −1)=1a 3−a 1=a 1(q 2−1)=3，解得{a 1=1q =2 ，所以S n=a 1(1−q n )1−q =2n −1. 16． 9√228√627π易得该六面体为两个正四面体的组合体，所以体积为V =2⋅13⋅√6⋅12⋅3⋅3√32=9√22;设该六面体的内切球的半径为r ，则V =13S ⋅r(S 为该六面体的表面积)，S =6×√34×32=27√32，所以r =√23，则该六面体的内切球的体积为4π3r 3 = 8√627π;17．(1)根据给定条件求出数列{a n }的公差即可求解作答. (2)由(1)结合裂项相消法计算求出S n 作答. (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2是a 1，a 5的等比中项得a 22=a 1a 5，即(1+d)2=1+4d ，因a 2<a 3，则d >0，解得d =2，a n =a 1+(n −1)d =2n −1， 所以{a n }的通项公式是：a n =2n −1. (2)由(1)知，b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，则S n=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1，所以数列{bn }的前n项的和S n=n2n+1.18．(1)在四棱锥S−ABCD中，连接BD交AC于F，则F为BD中点，连接EF，又E为BS中点，∥EF∥SD又SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∥SD∥平面ACE(2)方法一：∥四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120°，∥△ABD为正三角形，取AB中点的O，连接OD，OS，则OD⊥AB，∥平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS ∩平面ABCD =AB ，∥OD ⊥平面ABS∥△ABD 、△ABS 是正三角形，AB =4，易得OD =2√3，∥S △ASE =12S △ASB =√3 ∥V D−AES =13×2√3×2√3=4．易得OS =2√3，由OD ⊥OS ，∥DS =√OS 2+OD 2=2√6，取DS 的中点M ，连接AM ，因为AD =AS =4，∥AM ⊥DS ， ∥AM =√42−(√6)2=√10，可得S △ADS =12×2√6×√10=2√15，设点E 到平面ASD 的距离为ℎ，∥V D−AES =V E−ADS =13×S △ADS ×ℎ=13×2√15ℎ=4， 解得ℎ=2√155，即点E 到平面的距离为2√155．方法二：∥四边形ABCD 是菱形，且∠ABC =120°，∥△ABD 为正三角形，取AB 中点的O ，连接OD ，OS ，则OD ⊥AB ， ∥平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS ∩平面ABCD =AB ，∥OD ⊥平面ABS ∥△ABS 是正三角形∥OS ⊥AB分别以线段OS 、OB 、OD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O −xyz 又∥AB =4则A (0,−2,0)，D(0,0,2√3)，S(2√3,0,0)，B (0,2,0)，E(√3,1,0) ∥AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,2√3)，AS⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3,2,0) 设平面ADS 的法向量为n ⃑ =(x,y,z )则{AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0AS ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0即{2y +2√3z =02√3x +2y =0令x =√3，则n ⃑ =(√3,−3,√3)又SE⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√3,1,0)设点E 到平面ASD 的距离为d则d =|n ⃑ ⋅SE ⃑⃑⃑⃑⃑ ||n ⃑ |=√3+9+3=25√15即点E 到平面ASD 的距离为2√155．19． (1)解：根据正弦定理得sinAcosC +√3sinAsinC =sinB +sinC ， ∥sinAcosC +√3sinAsinC =sin(A +C)+sinC ，所以sinAcosC +√3sinAsinC =sinAcosC +cosAsinC +sinC . 整理，得√3sinA −cosA =1，即sin (A −30°)=12. 因为0∘<A <180∘,∴−30∘<A −30∘<150∘ 所以A −30°=30°，即A =60°. (2)解：由A =60°，S =12bcsinA =√3，得bc =4.由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−2bc −2bccosA ，所以b +c =4 又bc =4，所以b =c =2. 20(∥) 解: 学校总数为21+14+7=42，分层抽样的比例为6÷42=17计算各类学校应抽取的数目为：21×17=3，14×17=2，7×17=1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1所.(∥) 解: ∥ 在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为a 1,a 2,a 3；2所中学分别记为b 1,b 2；1所大学记为c .则应抽取的2所学校的所有结果为：{a 1,a 2}，{a 1,a 3}，{a 1,b 1}，{a 1,b 2}，{a 1,c }，{a 2,a 3}，{a 2,b 1}，{a 2,b 2}，{a 2,c }， {a 3,b 1}，{a 3,b 2}，{a 3,c }， {b 1,b 2}，{b 1,c }，{b 2,c }，共15种. ∥设“抽取的2所学校没有大学”作为事件A .其结果共有10种.所以，P(A)=1015=23. 21．（1）设P(x,y)，因为直线PM 的斜率k PM =yx+2(x ≠−2)， PN 的斜率k PN =yx−2（x ≠2） 由已知得yx+2⋅yx−2=−34（x ≠±2）， 化简得点P 的轨迹方程为x 24+y 23=1（x ≠±2）.（2）解法一：设直线l 的方程为x =my −1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my −1x 24+y 23=1 得(3m 2+4)y 2−6my −9=0， y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，因为以线段AB 为直径的圆过点F(1,0)，所以FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 得(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0，又因为x 1=my 1−1，x 2=my 2−1，得(my 1−2)(my 2−2)+y 1y 2=0， 所以(m 2+1)y 1y 2 −2m(y 1+y 2)+4=0， 所以(m 2+1)⋅−93m 2+4−2m ⋅6m3m 2+4+4=0，解得m =±√73，所以直线l 的方程为x =±√73y −1，即3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0解法二：∥当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =−1，不妨设A(−1,32)，B(−1,−32)，FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =74≠0，故舍去. ∥当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =k(x +10（k ≠0），A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{y =k(x +1)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，x 1+x 2=−8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，因为以线段AB 为直径的圆过点F(1,0)，所以FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 得(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0， 又因为y 1=k(x 1+1)，y 2=k(x 2+1)，得(k 2+1)x 1x 2+(k 2−1)(x 1+x 2)+k 2+1=0， 所以(k 2+1)⋅4k 2−124k 2+3+(k 2−1)⋅−8k 24k 2+3+k 2+1=0，解得k = ±3√77， 所以直线l 的方程为x =±√73y −1，即3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0综上，直线l 的方程为3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0. 22．（解：（1）因为a =0，所以f (x )=−xe x ，f ′(x )=−(x +1)e x . 令f ′(x )=0，得x =−1. 当x ∈(−∞,−1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(−1,+∞)时，f ′(x )<0.故f (x )的单调速增区间是(−∞,−1)，单调递减区间是(−1,+∞). （2）f ′(x )=4ae 2x −(x +1)e x =−e x (x +1−4ae x ). 因为∀x ∈R ，f (x )+1a ≤0，又f (0)=2a ，所以2a +1a ≤0，则a <0. 令g (x )=x +1−4ae x ，则g (x )在R 上单调递增. 因为当x <0时，g (x )<x +1−4a ， 所以g (4a −1)<4a −1+1−4a =0.因为g (−1)=−4ae −1>0，所以∃x 0∈(4a −1,−1)，使得g (x 0)=0. 且当x ∈(−∞,x 0)时，g (x )<0，则f ′(x )>0， 当x ∈(x 0,+∞)时，g (x )>0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(−∞,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 故f (x )max =f (x 0)=2ae 2x 0−x 0e x 0. 由g (x 0)=x 0+1−4ae x 0=0，得a =x 0+14e x 0.由f (x )max +1a ≤0，得x 0e x 0−e 2x 0⋅x 0+12e x 0≥4e x 0x0+1，即x 0−12≥4x0+1.结合x 0+1<0，得x 02−1≤8，所以−3≤x 0<−1.令ℎ(x )=x+14e x(−3≤x <1).则ℎ′(x )=−x4e x >0，所以ℎ(x )在[−3,−1)上单调递增， 所以ℎ(x )≥ℎ(−3)=−e 32，即a ≥−e 32.故a 的最小值为−e 32.。
2023届高考全国甲卷乙卷全真模拟(四)数学试卷及答案
2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 满足2i 3i 0z z --+=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i+B ．1i-C ．1i5+D ．1i5-2．设集合(){},A x y y x ==，(){}3,B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q∨D ．()p q ∧⌝4．已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．()34()()5f f f <<--B ．()()()435f f f <->-C ．()()()534f f f -<-<D ．()()()453f f f <-<-5．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1AC 的中点，12AB AA ==，且AD =异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．3B ．3C ．22D ．26．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．2167．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．π12B ．π4C ．3π4D ．11π128．在区间[]22-,上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．3B ．12C D ．49．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN .在过N 点的水平面上确定两观测点,A B ，在A 处测得M 的仰角为30°，N 在A 的北偏东60°方向上，B 在A 的正东方向30米处，在B 处测得N 在北偏西60°方向上，则MN =（）A ．10米B ．12米C ．16米D ．18米10．已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B C D 12．已知3e a -=，ln1.01b =，sin 0.02c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．b<c<a第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．14．向量()2,1a =-r ，()2,3b =-r ，(),1c m =- ，c b ⊥r r，则a c -= ___．15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m = ．若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______．16．如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE V 沿DE 折起，构成四棱锥F BCDE -，若EF CD ⊥，则四棱锥F BCDE -外接球的表面积为__________．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y （单位：台）和销售价格x （单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格x 2428303236销售量y340330300270260(1)通过散点图发现销售量y 与销售价格x 之间有较好的线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123n n n S S a +=++，11a =．(1)证明：数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 3n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =，MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．20．已知函数()2()4e 6x f x x x x =--+，()()ln 1g x x a x =-+，1a >-．(1)求()f x 的极值；(2)若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，求实数a 的取值范围．（3e 20.09≈）21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ；(2)若0,0a b >>且a b M +=2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 满足2i 3i 0z z --+=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i +B ．1i-C ．1i5+D ．1i5-【答案】B【分析】由复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念可得z .【详解】由2i 3i 0z z --+=，得3i 12i z -=-(3i)(12i)(12i)(12i)-+=-+55i 1i 5+==+，所以1i z =-.故选：B2．设集合(){},A x y y x ==，(){}3,B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】联立3,y x y x ==求出交点坐标，从而得到答案.【详解】联立3y x y x=⎧⎨=⎩，即3x x =，解得：0x =或1±，即()()(){}0,0,1,1,1,1A B =-- ，故A B ⋂的元素个数为3.故选：C3．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q∨D ．()p q ∧⌝【答案】B【分析】先判断命题p 和命题q 的真假，再根据复合命题真假的判定方法，即可得出结果.【详解】根据不等式的性质，若0x y >>，则22x y >；反之，若22x y >，则220x y ->，即()()0x y x y +->，因为,x y 正负不确定，所以不能推出0x y >>，因此“0x y >>”是“22x y >”的充分不必要条件，即命题p 为假命题；所以p ⌝为真命题；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃>，21x ≤”，故命题q 为假命题；q ⌝为真命题；所以p q ∧为假，p q ∨为假，()p q ∧⌝为假，()()p q ⌝∧⌝为真.即ACD 错，B 正确.故选：B.4．已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．()34()()5f f f <<--B ．()()()435f f f <->-C ．()()()534f f f -<-<D ．()()()453f f f <-<-【答案】A【分析】由题干条件得到(),0x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递减，结合()f x 为偶函数，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，从而判断出大小关系.【详解】(),0x ∈-∞时，()0xf x '>即()0f x '<，∴()f x 在(),0∞-上单调递减，又()f x 为偶函数，∴()f x 在()0,∞+上单调递增．∴()()()345f f f <<，∴()()()345f f f -<<-.故选：A ．5．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1AC 的中点，12AB AA ==，且AD =面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．23B C D 【答案】C【分析】将异面直线AE 与BC 所成角转化为EAD ∠或其补角，再通过边的计算得到4EAD π∠=，即可求解.【详解】连接1,,DE AC A D ，由BC AD ∥可得EAD ∠或其补角即为异面直线AE 与BC 所成角，又1A A ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，则1A A AC ⊥，则111222AE A C ==⨯，同理可得1A D DC ⊥，1122DE AC ==，则222AE DE AD +=，4EAD π∠=，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为cos4π=故选：C.6．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．216【答案】D【解析】根据题意，先将5人分成4组，减去甲乙在一起的1组，然后4组再安排到4个不同的部门可得答案.【详解】由()24541216C A -=故选：D.7．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．π12B ．π4C ．3π4D ．11π12【答案】C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和ϕ的范围可得答案.【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()sin π21ϕ+=，则ππ22π2k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ4k ϕ=-+，k ∈Z ，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π4．故选：C ．8．在区间[]22-,上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A B C ．6D 【答案】C【分析】求出直线与圆相交时k 的取值范围，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】因为圆221x y +=的圆心为()0,0，半径1r =，直线()2y k x =+与圆221x y +=相交，所以圆心到直线()2y k x =+的距离1d =，解得33k -<<，所以，直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为346P ==，故选：C ．9．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN .在过N 点的水平面上确定两观测点,A B ，在A 处测得M 的仰角为30°，N 在A 的北偏东60°方向上，B 在A 的正东方向30米处，在B 处测得N 在北偏西60°方向上，则MN =（）A ．10米B ．12米C ．16米D ．18米【答案】A【分析】由已知分析数据，在NAB △中，由正弦定理可求得NA ，在直角MNA △中，可求得MN .【详解】由已知得，30MAN ∠=︒，30NAB NBA ∠=∠=︒，30AB =米在NAB △中，由正弦定理可得30sin120sin 30NA=︒︒，求得NA =米在直角MNA △中，tan 3010M NA N ⋅︒==米故选：A 10．已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出27b c =-⎧⎨=-⎩，即可根据导数得出其单调性，再结合特值得出其零点个数.【详解】由题意得()232f x x bx c ¢=++，因为函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()2118f b c b -=-+-+=，()1320f b c '-=-+=，解得27b c =-⎧⎨=-⎩(经检验适合题意)，或33b c =⎧⎨=⎩（经检验不合题意舍去）故()32274f x x x x =--+，()()()2347137f x x x x x '=--=+-，当(),1x ∈-∞-或7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即函数()f x 单调递增，当71,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即函数()f x 单调递减，又因为()30f -<，()10f ->，()10f <，()40f >，则()f x 有3个零点，故选：C.11．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B C D 【答案】B【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于23-，可得2223b a =，所以椭圆的离心率为e 3=；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.【详解】法一：设内椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，外椭圆为()222220x y m m a b+=>，切线AC 的方程为()1y k x ma =+，联立()1222222,,y k x ma b x a y a b ⎧=+⎨+=⎩消去y 可得：()2222322422211120b a k x ma k x m a k a b +++-=，因为直线AC 为椭圆的切线，所以()()26422224222111Δ440m a k b a k m a k a b =-+-=，化简可得：2212211b k a m =⋅-，设直线BD 的方程为：2y k x mb =+，同理可得()222221b k m a =-，因为两切线斜率之积等于23-，所以2223b a =，所以椭圆的离心率为e =故选：B.法二；设内层椭圆：22221x y a b +=，外层椭圆：22222x y m a b+=.设切点()111,P x y ，()222,P x y ，(),0A ma ，()0,B mb ，切线1l ：11221x x y ya b +=，切线2l ：22221x x y y a b+=，∴21121x b k a y =-⋅①，22222x b k a y =-⋅②，又∵11AP k k =，即211211x y b a y x ma-⋅=-，即222222111b x b m ax a y -+=，即22222222111b m ax a y b x a b =+=，∴1mx a =，同理22BP k k =，∴2my b =，∴21y b x a=，将1P ，2P 代入椭圆22221x y a b +=中得：221222y b x a =，经分析得：12y b x a =-，由①②可知22212122212x x b b k k a y y a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，∴2223b a =，∴2221e 13b a =-=，∴e 3=.故选：B.12．已知3e a -=，ln1.01b =，sin 0.02c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】D【分析】先利用不等式()sin 0x x x >>比较a ，c 的大小，再构造函数，利用函数的单调性比较b ，c 的大小，即可得到结果．【详解】如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则BC 的长度l θ=，sin BD θ=，则由图易得，l BC BD >>，即sin θθ>，所以3321110.02sin 0.02e 350e c a -==>>=>=.设()()sin 2ln 1f x x x =-+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()112cos 21011f x x x x '=->->++，所以()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()0.010f >，即sin 0.02ln1.01>，即b c <.综上，b<c<a .故选：D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．【答案】8-【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到2211,a b m ==-，211c m=-，根据题意列出方程，求出m 的值.【详解】221x my +=化为标准方程：2211y x m-=-，则2211,a b m ==-，故211c m =-，则可得：=8m =-，故答案为：8-14．向量()2,1a =-r ，()2,3b =-r ，(),1c m =- ，c b ⊥r r，则a c -= ___．【答案】172【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数m 的值，再利用平面向量的坐标运算以及向量模的坐标运算可求得结果.【详解】由已知可得230c b m ⋅=--= ，解得32m =-，则3,12c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以，1,22a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，因此，a c -== .15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m = ．若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______．【答案】20,83⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简254m = 可得2π3A B +=，即π3C =，由正弦定理可得22168πsin 2336a b A ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再结合ABC 是锐角三角形，即可求出ππ62A <<，则可写出22a b +的取值范围.【详解】由题意得()221cos 5cos 11224A B A B m +++=+=+= ，所以()1cos 2A B +=-，因为0πA B <+<，所以2π3A B +=，所以()ππ3C A B =-+=，由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A ，2πsin 3b B A ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，则2222162sin sin 33a b A A π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1684cos 2cos 2333A A π⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1681cos 2cos 22332A A A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭168πsin 2336A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π02A <<，π02B <<，又2π3B A =-，所以ππ62A <<，即ππ5π2666A <-<，所以1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以20168πsin 283336A ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，故222083a b <+≤．故答案为：20,83⎛⎤ ⎥⎝⎦.16．如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE V 沿DE 折起，构成四棱锥F BCDE -，若EF CD ⊥，则四棱锥F BCDE -外接球的表面积为__________．【答案】112π【分析】根据给定的几何体，确定四边形BCDE 外接圆圆心，进而求出外接球半径即可计算作答.【详解】取BC 中点G ，连接AG 交DE 于H ，连接,,,FH EG DG FG ，如图，因为ED 是边长为2的正ABC 平行于BC 的中位线，则,AG ED FH ED ⊥⊥，H 是AG 中点，,,AG FH H AG FH =⊂ 平面AFG ，则有ED ⊥平面AFG ，ED ⊂平面BCDE ，有平面AFG ⊥平面BCDE ，显然有112GE GD GC GB =====，则G 是四边形BCDE 外接圆圆心，在平面AFG 内过G 作直线l AG ⊥，因为平面AFG ⋂平面BCDE AG =，因此l ⊥平面BCDE ，则四棱锥F BCDE -的外接球球心O 在直线l 上，过F 作FQ AG ⊥于Q ，FQ ⊂平面AFG ，有FQ ⊥平面BCDE ，则有//OG FQ ，连接,FO BO ，四边形FOGQ 为直角梯形，因为//,EG CD FE CD ⊥，则有FE EG ⊥，FG =，在AFG 中，FH AH HG ==，则AFG 是直角三角形，90AFG ∠= ，而AG =则1AF =，于是得3AF FG FQ AG ⋅==，过O 作OP FQ ⊥于P ，有PQ OG =，2FG OP GQ AG ===OB OF R ==，Rt OBG △与Rt OFP 中，222222OB BG OG OF OP FP ⎧=+⎨=+⎩，即222214)3R OG R OG ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得44OG R ==，所以四棱锥F BCDE -外接球的表面积为21142S R ππ==.故答案为：112π三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分三、解答题17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y （单位：台）和销售价格x （单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格x 2428303236销售量y340330300270260(1)通过散点图发现销售量y 与销售价格x 之间有较好的线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】(1)7.5525ˆyx =-+(2)35百元【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程；（2）利用销售额的公式可得到()27.5359187.5zx =--+ ，利用二次函数的性质即可求解【详解】（1）2428303236305x ++++==，3403303002702603005y ++++==，6402302(30)6(40)7.536ˆ4436b-⨯-⨯+⨯-+⨯-==-+++，3007.530ˆ525a=+⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为7.5525ˆyx =-+（2）设销售额为 ()227.55257.5359187.5zx y x x x ==-+=--+ ，070x ≤≤，当35x =百元时，此时销售额到达最大，该值为max 9187.5z =百元18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123n n n S S a +=++，11a =．(1)证明：数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 3n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明过程见详解，123n n a +=-(2)2239222n n T n n n+=⋅--【分析】（1）先利用n a 与n S 之间的关系化简已知等式，得到1n a +，n a 间的关系，从而可求得数列{}3n a +的首项和公比，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先求得数列{}n b 的通项公式，再根据分组求和和错位相减即可求得n T ．【详解】（1）因为123n n n S S a +=++，所以123n n n S S a +-=+，得123n n a a +=+，即()1323n n a a ++=+，又11a =，所以数列{}3n a +是首项为4，公比为2的等比数列，所以113422n n n a -++=⋅=，得123n n a +=-．（2）由题意得()()()()()1111223log 21231231n n n n n b n n n ++++=-⋅=+⋅-=+-+，所以()()2316332232122n n n n T n +++=⨯+⨯+++⨯-．令()231223212n n P n +=⨯+⨯+++⨯ ，则()3422223212n n P n +=⨯+⨯+++⨯ ，两式相减，得()()()223412222212222212412221n n n n n n P n n n ++++--=⨯++++-+⨯=+-+⨯=-⋅- ，故22n n P n +=⋅，所以2239222n n T n n n +=⋅--．19．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =，MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明AD ⊥平面MOE ，从而可证明平面MOE ⊥平面MAD ；(2)连接OA ，证明DO OA ⊥，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵AD ⊂平面ABCD ，MO ⊥平面ABCD ，∴MO AD ⊥．∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴2DO =，DE =∵=45ADC ∠︒，由余弦定理得22222222EO =+-⨯⨯，则222EO DE DO +=，则DE EO ⊥．∵MO EO O ⋂=，,MO EO ⊂平面MOE ，∴AD ⊥平面MOE ，又∵AD ⊂平面MAD ，∴平面MOE ⊥平面MAD ．（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD的中点时，AE DE EO ===，则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故DO OA ⊥．故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又MC =2MO =，∴(0,0,0)O ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，(0,0,2)M ．又3AE DE =，则13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴(0,0,2)OM = ，(2,0,2)DM =- ，(2,2,0)DA =-，13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，解得1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取11x =，则平面MAD 的一个法向量为(1,1,1)m =．设平面MEO 的法向量为()222,,x n y z = ，则2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，解得22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取23x =，则平面MEO 的一个法向量为(3,1,0)n =-．则30cos 15m n m n m n⋅⋅==⋅，则二面角D ME O --的余弦值为15．20．已知函数()2()4e 6x f x x x x =--+，()()ln 1g x x a x =-+，1a >-．(1)求()f x 的极值；(2)若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，求实数a 的取值范围．（3e 20.09≈）【答案】(1)极大值()2ln 28ln 28-+-，极小值为39e -(2)361,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '=，得3x =或ln 2x =，再列出,(),()x f x f x '的变化关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；（2）根据（1）求出()f x 在[]1,3上的最小值为3(3)9e f =-，则将若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，转化为3ln 9e 1x a x-++<在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，再构造函数3ln 9e ()x h x x-+=，23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，转化为min 1()a h x +<，利用导数求出min ()h x 代入可得解【详解】（1）由()2()4e 6x f x x x x =--+，得()()()e 4e 263e 26x x xf x x x x x '=+--+=--+()()3e 2x x =--,令()0f x '=，得3x =或ln 2x =，,(),()x f x f x '的变化关系如下表：x (),ln 2-∞ln 2()ln 2,33()3,+∞()f x '＋0－＋()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当ln 2x =时，()f x 取得极大值，为(ln 2)f =()()2ln 2ln 24e ln 26ln 2--+()2ln 28ln 28=-+-，当3x =时，()f x 取得极小值，为()32(3)34e 318f =--+39e =-.（2）由（1）知，()f x 在[]1,3上单调递减，所以当[]1,3x ∈时，3min ()(3)9e f x f ==-，于是若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，则()()3ln 19e 1x a x a -+>->-在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即3ln 9e 1x a x-++<在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，令3ln 9e ()x h x x -+=，23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则min 1()a h x +<，()321ln 9e ()x x x h x x⋅--+'=3210e ln xx -+=，因为23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，所以[]ln 2,3x ∈，33310e ln 12e ,13e x ⎡⎤-+∈--⎣⎦，因为3e 20.09≈，所以313e 1320.097.090-≈-=-<，所以()0h x '<，所以()h x 单调递减，故333min 33ln e e 96()(e )1e e h x h +-===-，于是3611e a +<-，得36e a <-，又1a >-，所以实数a 的取值范围是361,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l yx =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24x y=(2)⎡⎣【分析】（1）计算2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，根据距离公式计算得到2p =，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到AB 的直线方程为()002y y xx +=，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y -≤≤，再计算PAB S =△.【详解】（1）直线1:2l y x =-，当2p y =-时，22p x =-，即2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，则QF ==，解得2p =或25p =-（舍去），故抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，24x y =，2x y '=，PA 的直线方程为：()1112x y x x y =-+，整理得到()112y y xx +=，同理可得：PB 方程为()222y y xx +=，故()()0102020222y y x x y y x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故AB 的直线方程为()002y y xx +=，()00224 y y xx x y ⎧+=⎨=⎩，整理得到200240x x x y -+=，12012024 x x x x x y +=⎧⎨=⎩，()()()1122121212,1,11FA FB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++()02221212221212000216123164x x x x x x x x y x y y +-=+-+=-++=-，09235y -≤-≤，解得034y -≤≤，设P 到AB 的距离为d，12PABS AB d =⋅=△，034y -≤≤，故[]2044,20y+∈，4,PAB S ⎡∈⎣△（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．【答案】(1)2243sin 1ρθ=+(2)证明见解析【分析】（1）先消去参数ϕ化为直角坐标方程，再根据公式cos x ρθ=，sin y ρθ=化为极坐标方程即可得解；（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2π,2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ρθ，将,A B 的极坐标代入曲线C 的极坐标方程，根据极径的几何意义可求出结果.【详解】（1）由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得2222cos sin 14x y ϕϕ+=+=，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入到2214x y +=，得2222cos sin 14ρθρθ+=，得2243sin 1ρθ=+，所以曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+.（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2π,2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ρθ21243sin 1ρθ=+，2222443cos 1n π23si 1ρθθ⎛⎫+ ⎝=⎭=++⎪，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+()()223sin 13cos 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值54.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ；(2)若0,0a b >>且a b M +=【答案】(1)3M =;试卷第17页，共17页.【分析】（1）利用零点分段法将()f x 写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数()f x 的最小值；（2）由（1）知3a b +=，23≥，的最小值.【详解】（1）由于()()()()33323330330x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪=++=--≤≤⎨⎪+>⎩，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数()f x 的最小值为()03f =，即3M =．（2）由（1）知3a b +=，所以2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以149ab ≥，23≥，当且仅当32a b ==时等号成立，3+≥≥=,当且仅当32a b ==时等号成立．。
2023届高考文科数学模拟试卷四(含参考答案)
2023届高考文科数学模拟试卷四（含参考答案）本试题卷共六大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0.5mm 的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中， 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合},21|1||{R x x x P ∈≤-=，Q P N x x Q 则},|{∈=等于（ C ）A ．]1,0[B ．}1,0{C ．}1{D ．}0{2. 已知函数)63sin()(ππ+=x x f ，则)(x f 的最小正周期和初相ϕ分别为 （ C ）A ．6,6T ππϕ==B ．6,3T ππϕ==C ．6,6T πϕ==D ．6,3T πϕ==3. 命题“,R x ∈∃使0232<+-x x ”的否定是 ( D ) A ．,R x ∈∃使0232≥+-x xB ．,R x ∈∀都有0232<+-x xC ．,R x ∈∃使0232>+-x xD ．,R x ∈∀都有0232≥+-x x 4. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是 （ C）A.①②B.②③C.②④D.①③ 5．已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若235a a -=，则4S =（ B ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 126．已知三个数4,,1m 成等比数列，则圆锥曲线122=+my x 的离心率为 ( A )A ．22或3 B ．22 C ．3D ．23或3 ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱台7. 过定点)2,1(P 的直线在x 轴、y 轴的正半轴上的截距分别为b a ,，则224b a +最小值为：（ B ）A 8B 32C 45D 728．已知直线033:=--y x l ，圆4)3(:22=+-y x C 直线与圆交于B A ,两点，则AC AB ⋅是： （ A ）A 2B 3C 4D 329．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，给出下列命题： ①当0<x 时，)ln()(x x x f -= ②函数)(x f 有2个零点 ③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞⋃- ④]1,1[,21-∈∀x x ，都有ex f x f 2)()(21≤- 其中正确命题个数是：( C )A 、1B 、2C 、3D 、410．某人进行驾驶理论考试，每做完一道题，计算机自动显示已做题的正确率，记已做题的正确率为*∈N n n f ),(，下列关系不可能．．．成立的是： （ D ） A ． )8()3()2()1(f f f f <<<< B ．)8()3()2()1(f f f f <<==C ． )8(2)4(f f =D ．)8()7()6(f f f =<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．=-+2013)11(ii 12．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，︒=∠==60,7,2B b a ,则边长c =313.如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是4314.某调查机构就淮北地区居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图），为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出的人数为 2715．在计算“1223(+1)n n ⨯+⨯++”时，有如下方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+， 由此得：112(123012)3⨯=⨯⨯-⨯⨯， 123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，…，1(+1)[(1)(2)(1)(+1)]3n n n n n n n n =++--，相加，得：112+23(1)(1)(2)3n n n n n ⨯⨯++-=++．类比上述方法，请你计算“1324(2)n n ⨯+⨯+++”，其结果写成关于n 的一次因式的．．．．．积．(+1)(27)n n + ． 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 已知向量，设函数＋1(Ⅰ)求)(x f 的单调区间 （2）若，,求的值；.第13题图第14题图)(x f 单调递增区间为：]32,322[ππππ+-k k ，单调递增区间为：)(],342,32[Z k k k ∈++ππππ17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：11=a ，)1,(,0211>∈=+-*--n N n a a a a n n n n(Ⅰ) 求证：数列}1{na 是等差数列并求}{n a 的通项公式； （Ⅱ） 设1+=n n n a ab ，求证：2121<+++n b b b(Ⅰ)证明： ,0211=+---n n n n a a a a 两边同除1-n n a a 得：2111=--n n a a ，所以数列}1{na 是以1为首项，2为公差的等差数列 于是121-=n a n，)(,121*∈-=N n n a n （Ⅱ）由(Ⅰ)，)12)(12(1+-=n n b n则)12)(12(153131121+-++⨯+⨯=+++n n b b b n =)1211215131311(21+--++-+-n n =21)1211(21<+-n18.（本小题满分13分）现有一正四面体型骰子，四个面上分别标有数字1,、2、3、4，先后抛掷两次，记底面数字分别为b a ,设点),(b a P ，求点P 落在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+004y x y x 内的概率(Ⅱ)将3,,b a 作为三条线段长，求三条线段能围成等腰三角形的概率解：(Ⅰ) ),(b a P 所有可能的情况有：)4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(，)4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(落在区域的点有：)1,3(),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(),1,1(共6种情况，故P 落在区域内的概率为：83 (Ⅱ) （1）若b a =则满足情况的有：（2,2），（3,3），（4,4） （2）若b a ≠，则满足情况的有：（1,3），（2,3），（3，1），（3,2） 故三条线段能围成等腰三角形的概率16719. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，︒=∠60ABC ,⊥PA 平面ABCD ，2==AB AP ，E 在PD 上，且ED PE 2=,F 是PC 的中点， (Ⅰ)证明：平面⊥PBD 平面PAC ； (Ⅱ)求证：//BF 平面ACE（Ⅲ）求三棱锥BCF D -的体积V .(Ⅰ)证明：连接BD 交AC 于O ,因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥,又⊥PA 平面ABCD所以BD PA ⊥,⊥BD 面PAC ,于是平面⊥PBD 平面PAC(Ⅱ) 取PE 的中点G ,连BG ,FG ,由F 是PC 的中点，O 是BD 的中点,得//,//EG OE BG CE,所以平面//BFG 平面ACE ,故//BF 平面ACE（Ⅲ）331120sin 222131=⨯︒⨯⨯⨯⨯==--BCD F BCF D V V20.（本小题满分13分）已知()2ln b f x ax x x =-+在1x =与12x =处都取得极值. （Ⅰ） 求a ，b 的值；（Ⅱ）设函数2()=2+g x x mx m -，若对任意的11[,2]2x ∈，总存在21[,2]2x ∈，使得、 122()()ln g x f x x ≥-，求实数m 的取值范围。
江苏省淮阴中学2024年高三第四次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B2．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题4．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变5．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定6．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-7．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020218．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．111．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1912．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考第四次模拟考试数学试卷试题(含答案)
装 订 线 内 不 要 答 题，装 订 线 外 不 要 写 姓 名、考 号 等， 违 者 试 卷 作 0 分 处 理....................Ꙩ.......Ꙩ..................................Ꙩ.........Ꙩ...............................Ꙩ........Ꙩ...........................Ꙩ......Ꙩ..........................学号 姓名XXXX 市XX 中学2023年高考第四次模拟考试数 学注意事项：1.试卷共6页，150分，考试用时120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合1,2{},i M z =,i 为虚数单位,4{}3,N =,}4{MN =,则复数z = ( )A.2i -B.2iC.4i -D.4i2.阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为 ( )A.=22S i -*B.=21S i -*C.=2S i *D.=2S i +4*3.若2211d S x x =⎰,2211d S x x=⎰,231e d x S x =⎰,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) A.123S S S << B.213S S S << C.231S S S << D.321S S S <<4.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ∥,正方体的六个面所在的平面与直线CE ,EF 相交的平面个数分别记为m ,n ,那么=+m n ( )A.8B.9C.10D.115.过点)0引直线l 与曲线y A ,B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( ) B. C. D.6.已知双曲线222=1(0)4x y b b ->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为A.22443=1y x - B.22344=1y x - C.2244=1y x - D.2224=11x y - 7.已知ABC △是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得2DE EF =,则AF BC 的值为( )A.58-B.18C.14D.1188.已知函数2(4,0,()log (1)1,0),33a x a x f x x x a x ⎧+<⎪⎨+++⎪-⎩≥（0a >,且1a ≠）在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|2f x x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是( )A.20,3⎛⎤⎥⎝⎦B.23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D.123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭二、选择题：4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的多项.9.三、填空题：4小题，每小题5分，共20分．13.在261(3)x x+的展开式中，常数项为______．(用数字作答) 14.在ABC △中，若b =1c =，tan B =a ＝______．15.设x ，y 满足约束条件112210x y x x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≥≤，向量a (2,) b (1,1)y x m =-=-，，且a b ∥，则m 的最小值为____________．16.已知x ，y 为正实数 ，且满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的x ，y ，都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为____________．装 订 线 内 不 要 答 题，装 订 线 外 不 要 写 姓 名、考 号 等，违 者 试 卷 作 0 分 处 理...................................Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.........Ꙩ......................................四、解答题：6小题，共70分．17.（10分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222()10()=n n n n S S n n -+-+-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅰ）令221(2)n n n b n a +=+,数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对于任意的*n N ∈,都有564nT <.18.（12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O 为起点,再从1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A ,7A ,8A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若=0X 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. （Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅰ）求X 的分布列和数学期望.19.（12分）在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos (3)cos C A A B +0=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅰ）若=1a c +,求b 的取值范围.20.（12分）如图,四棱锥P ABCD —中,PA ⊥平面ABCD ,E 为BD 的中点,G 为PD 的中点,DAB△DCB ≌△,===1EA EB AB ,32=PA ,连接CE 并延长交AD 于F .（Ⅰ）求证：AD ⊥平面CFG ；（Ⅰ）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.21.（12分）如图,椭圆2222=1(0)x y a C b a b :+>>经过点()31,2P ,4x =.离心率12e =,直线l 的方程为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ）,设直线AB 与直线l 相交于点M ,记PA ,PB ,PM 的斜率分别为1k ,2k ,3k .问：是否存在常数λ,使得123=k k k λ+？若存在,求λ的值；若不存在,说明理由.22.（12分）已知函数1(1|)(|2)2f x x a --=,a 为常数且0a >. （Ⅰ）证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称； （Ⅰ）若0x 满足00()=()f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点.如果()f x 有两个二阶周期点1x ,2x ,试确定a 的取值范围；（Ⅰ）对于（Ⅰ）中的1x ,2x 和a ,设3x 为函数(())f f x 的最大值点,11()(())A x f f x ，,22()(())B x f f x ，,3(0),C x .记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.装 订 线 内 不 要 答 题，装 订 线 外 不 要 写 姓 名、考 号 等， 违 者 试 卷 作 0 分 处 理....................Ꙩ.......Ꙩ..................................Ꙩ.........Ꙩ...............................Ꙩ........Ꙩ...........................Ꙩ......Ꙩ..........................姓名 Ꙩ ꙨXXXXX 市XX 中学2023年高考第四次模拟考试数学答案解析322111k k -=+4ABO t =-33-，故答案为2x bx 2b =，Ⅰ，AF BC (AD DF)(AC AB)=+-221313311AB DE (AC AB)AB AC (AC AB)AC AB AC AB 2224442⎫⎛⎫+-=+-=--⎪ ⎪⎭⎝⎭，11111144228--=，故选B ．3)03a log +≥装 订 线 内 不 要 答 题，装 订 线 外 不 要 写 姓 名、考 号 等，违 者 试 卷 作 0 分 处 理...................................Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.........Ꙩ......................................由图像可知，在[0,)+∞上，f (x)2x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，f (x)2x =- 同样有且仅有一个解，当3a 2>即2a 3>时，联立2x (4a 3)3a 2x +-+=-，则2(4a 2)4(3a 2)0∆=---=，解得3a 4=或1（舍去），当13a 2≤≤时，由图像可知，符合条件，综上：a 的取值范围为123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，故选C ．【提示】利用函数是减函数，根据对数的图像和性质判断出a 的大致范围，再根据f (x)为减函数，得到不等式组，利用函数的图像，方程的解的个数，推出a 的范围． 【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．9.【答案】 10.13．【答案】6814．【答案】24n -+或24n -15．【答案】4(,)(0,)3-∞-+∞16．【答案】2F V E +-=17.【答案】（1）由222(1)()0nn S n n S n n -+--+=，可得，2[()](1)0n n S n n S -++=.正项数列{}n a ，0n S >，2n S n n ∴=＋于是112a S ==，2n ≥时，221()()112n n n a S S n n n n n =+----=-=－，1n =时也适合2n a n ∴=（2）证明：由22222211111(2)(2)416(2)n n n n b n a n n n n ⎡⎤++===-⎢⎥+++⎣⎦222222211111111116324112n T n n n n ⎡⎤∴=-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦221111115111641216464n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦【提示】（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=可求n S ，然后利用11a S =，2n ≥时，1n n an S S -=-可求n a ； （2）由22222211111(2)(2)416(2)n n n n b n a n n n n ⎡⎤++===-⎢⎥+++⎣⎦，利用裂项求和可求n T ，利用放缩法即可证明.【考点】数列的求和，等差数列的通项公式18.【答案】（1）27（2）314-【解析】（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有2828C =种，0X =时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率82(0)287P X ===； （2）两向量数量积的所有可能情形有2-，1-，0，1，2X =-时，有2种情形；1X =时，有8种情形；1X =-时，有10种情形.X 的分布列为： X2- 1-1P 114 514 27 27 152232(1)0114147714EX =-⨯+-⨯+⨯+⨯=-【提示】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而0X =时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求；（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值.【考点】离散型随机变量及其分布列，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差19.【答案】（1）π3（2）112b ≤<【解析】（1）由已知得cos()cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=，即sin sin 3sin cos 0A B A B -=，sin 0A ≠，sin 3cos 0B B ∴-=，即tan 3B =，又B 为三角形的内角，则π3B =； （2）1a c +=，即1c a =-，1cos 2B =，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即2222211()313(1)324b a c ac a c ac a a a ⎛⎫=+-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭，01a <<，2114b ∴≤<，则112b ≤<. 【提示】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sin A 不为0求出tan B 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数； （2）由余弦定理列出关系式，变形后将ac +及cos B 的值代入表示出2b ，根据a 的范围，利用二次函数的性质求出2b 的范围，即可求出b 的范围. 【考点】余弦定理，两角和与差的余弦函数20.【答案】（1）在DAB △中，E 为BD 的中点，1EA EB AB ===，12AE BD ∴=，可得π2BAD ∠=，且π3ABE AEB ∠=∠=DAB DCB △≌△，EAB ECB ∴△≌△，从而得到π3FED BEC AEB ∠=∠=∠=装 订 线 内 不 要 答 题，装 订 线 外 不 要 写 姓 名、考 号 等， 违 者 试 卷 作 0 分 处 理....................Ꙩ.......Ꙩ..................................Ꙩ.........Ꙩ...............................Ꙩ........Ꙩ...........................Ꙩ......Ꙩ..........................又PAD △中，PA ⊥平面，AD ⊂平面又EF 、FG AD ∴⊥平面（2）以点A x 轴、y 轴、(0,0,0)A ，3,0)，P 1,2BC ⎛∴= ⎝，32CP ⎛=- ⎝，32CD ⎛=- ⎝设平面BCP 的法向量1(1,,m y =1232m BC m CP ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩23，可得321,,33m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭， 的法向量22(1,,)n y z =，则3232n CD n CP ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得(1,3,2)n =，11cos ,||||411349m n m n m n ⨯+∴<>=++的夹角的余弦值等于2cos ,4m n <>=.ππAB 、AD 、P A 分别为x 轴、的坐标，从而得到BC 、CP 、CD 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出1,m ⎛=- ⎝和(1,3,2)n =分别为平面BCP 算出m 、n 夹角的余弦，即可得到平面BCP 与平面【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【答案】（1）椭圆2x 11c 1212132(x x x x x +-+得12k k =＋1-，所以装订线内不要答题，装订线外不要写姓名、考号等，违者试卷作分处理...................................Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.......Ꙩ.............Ꙩ.........Ꙩ......................................【提示】（1）由题意将点31,2P⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆的方程，得到22191(0)4a ba b+=>>，再由离心率为12e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为(1)y k x=-，代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设11(,)A x y，22(,)B x y，利用根与系数的关系求得2122843kx xk+=+，212241243kx xk-=+，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3，比较123k k kλ+=即可求得参数的值；方法二：设000(,)(1)B x y x≠，以之表示出直线FB的方程为0(1)1yy xx=--，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3，比较123k k kλ+=即可求得参数的值.【考点】直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程22.【答案】（1）证明：11112(12||)222f x a x a x⎛⎫⎛⎫+=-+-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11112(12||)222f x a x a x⎛⎫⎛⎫-=---=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1122f x f x⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，()f x∴的图象关于直线12x=对称.（2）当12a<<时，有2214,2141,2(())=a x xaf f xx x⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩.(())f f x x∴=只有一个解0x=又(0)0f=，故0不是二阶周期点.当12a=时，有1,211,(())2xxf f xxx⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎩=⎪.(())f f x x∴=有解集，12x x⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，故此集合中的所有点都不是二阶周期点.当12a>时，有222221441124,421412(12)4,(()24414)44a x xaa a x xaaa a a x xaaa a xf xxaf⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-=⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，，(())f f x x∴=有四个解：0，2214aa+，212aa+，22414aa+.由(0)0f=，221212a afa a⎛⎫=⎪++⎝⎭，22221414a afa a⎛⎫≠⎪++⎝⎭，2222441414a afa a⎛⎫≠⎪++⎝⎭.故只有2214aa+，22414aa+是()f x的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为12a>.（3）由（2）得12214axa=+，222414axa=+.2x为函数()f x的最大值点，314xa∴=，或3414axa-=.当314xa=时，221()4(14)aS aa-=+，求导得：221212222()14a aS aa⎛⎫⎛⎫+---⎪⎪⎝⎭⎝⎭'-(+).∴当112,22a⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭时，()S a单调递增，当12,2a⎛⎫+∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()S a单调递减.当3414axa-=时，22861()414a aS aa-+=(+)，求导得2221243()214a aS aa+-'=(+).12a>，从而有2221243()214a aS aa+-'=(+).∴当1,2a⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()S a单调递增.【提示】（1）只要证明1122f x f x⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立即可；（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性.【考点】利用导数研究函数的单调性，奇偶函数图象的对称性，函数的值。
2024年西安市高三数学(理)第四次模拟联考试卷附答案解析
2024年西安市高三数学（理）第四次模拟联考试卷（满分：150分，考试时间：120分钟）必考题部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}0.3log 10A x x =->，{}39xB x =<，则（）A ．AB =B ．A B ⋂=∅C ．A B B= D ．A B B⋃=2．已知i 是虚数单位，若7i 2iaz +=+是纯虚数，则实数=a （）A ．2-B ．2C ．12-D ．123．已知24a b ⋅=- ，2(5,2)a b +=- ，若a 与b模相等，则a r =（）.A ．3B ．4C ．5D ．64．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A ．e 2xy x=B ．()21e x xy x+=C ．e 2xy x=D ．22exx y =5．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为2π3，面积为3π，则球O 的表面积等于（）A ．81π8B ．82π8C ．121π8D ．121π26．下列说法不正确的是（）A ．若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分条件D ．若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补7．化简2222tan 7.51tan 7.57sin 7.5cos 7.5︒+=︒-︒+︒（）A ．3B ．3C D ．28．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示.其中()()()()12,6,4,8,n n A n B n A B Ω===⋃=则事件A 与事件B （）A ．是互斥事件，不是独立事件B ．不是互斥事件，是独立事件C ．既是互斥事件，也是独立事件D ．既不是互斥事件，也不是独立事件9．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种10．函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎝⎭的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则（）A ．函数()f x 在3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增B ．圆的半径为3C ．函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称D ．函数()f x 在2021π2023π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．已知点M ，N 是抛物线Γ：()220y px p =>和动圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的两个公共点，点F 是Γ的焦点，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，则当r 变化时，r MF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．612．定义在()0,∞+上的可导函数()f x ，满足()()22ln f x x f x x x='+，且()1e 2ef =，若(1,,e 4af b f c f ⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则AB在CD 上的投影为.14．数列{}n a 的前n 项积为2n ，那么当2n ≥时，n a ＝．15．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>左右焦点分别为12,F F ，过点1F 作与一条渐近线垂直的直线l ，且l 与双曲线的左右两支分别交于M ，N 两点，若2||MN NF =，则该双曲线的渐近线方程为．16．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A -=+，则ca的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．记n S 是公差为整数的等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，且51a -，82a -，123a -成等比数列．(1)求n a 和n S ；(2)若1n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T ．18．今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚字宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[)60.70，[)7080，，[)8090，，[]90100，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)从测试成绩在[]90100，的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立，记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ分布列及期望.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1112AB BC B A B C B B =====D 是AC 的中点，1AB BD ⊥．(1)证明：1B D ⊥平面ABC ；(2)求点1B 到平面11ACC A 的距离；(3)求平面11A B C 与平面1AB C 的夹角的余弦值．20．已知()21ln 22f x a x x x =+-（R a ∈且0a ≠），()cos sin g x x x x =+．(1)求()g x 在[],ππ-上的最小值；(2)如果对任意的[]1,x ππ∈-，存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()212f x ag x x -≤成立，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过两点(2，()6,1-，椭圆的上顶点为P ，圆C ：()(222103x y r r -+=<<在椭圆E 内．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 作圆C 的两条切线，切点为A 、B ，切线PA 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．直线AB 与y 轴交于点S ，直线MN 与y 轴交于点T ．求ST 的最大值，并计算出此时圆C 的半径r ．选考题部分请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2cos 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，且直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求11MA MB -的值.23．不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，函数()49f x x a x b c =-+++的最小值为4．(1)求证：9ab bc ca abc ++≥；(2)求证：64ab bc ca +．1．D【分析】解指数，对数不等式，求出集合,A B 后，结合集合的运算即可求出结果。
【高考冲刺】普通高等学校招生全国统一考试高考模拟卷(四)-理科数学(附答案及答题卡)
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数学 理科试题 第'!页 共"页
!%!本小题满分!#分 #$!4年!#月#0日开始长沙市公共电汽车和地铁按照里程分段计价具体如下表 不考虑公交卡折扣情况
乘坐公共电 汽车方案
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3公里含内'元 3公里至!#公里含(元 !! 乘坐地铁方案 !#公里至##公里含"元 不含机场线 ##公里至'#公里含3元 '#公里以上部分每增加!元 可乘坐#$公里含!
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2024年高考数学模拟冲刺卷04(新高考九省联考新题型)(解析版)
A．直线 A1G, EF 是异面直线
C．三棱锥
A
MC1D1
的体积为
16 3
【答案】ACD
B．平面 DMC1 截正方体所得截面的面积为12 2 D．三棱锥 A BMC1的外接球的表面积为 56π
【详解】设数列{an} 的公差为d ，则由 a7 4a3 得 2 6d 4(2 2d) ，解得 d 3 ，
S10
10a1
n(n 1) 2
d
10 2
10 9 2
(3)
115 ．
故选：D．
6．已知
i
为虚数单位，
a
R
,若
2 a
i i
为纯虚数，则复数
z
2a
3i 的模等于（
）
A． 17
B． 3
【答案】D
【解析】根据 g(x) x 1 f '(x) 图象，可知该函数的正负性，再结合导数的性质对 f (x) 的性质进行判断即
可.
【详解】根据函数 g(x) x 1 f '(x) 的图象可知： 当 x 2 时， g(x) 0 ，即 x 1 f '(x) 0 f '(x) 0 ，因此当 x 2 时，函数 f (x) 单调递增； 当1 x 2时，g(x) 0 ，即 x 1 f '(x) 0 f '(x) 0 ，因此当1 x 2时，函数 f (x) 单调递减，显然当 x 2 ， 函数有极小值，极小值为 f 2 ； 当2<x<1时， g(x) 0 ，即 x 1 f '(x) 0 f '(x) 0 ，因此当2<x<1时，函数 f (x) 单调递减； 当 x< 2 时，g(x) 0 ，即 x 1 f '(x) 0 f '(x) 0 ，因此当 x< 2 时，函数 f (x) 单调递增，显然当 x 2 ， 函数有极大值，极大值为 f 2 ，
高考数学命题比赛模拟试题4试题
2021年高考模拟试卷数学卷本套试卷分卷I 和卷II 两局部.考试时间是是120分钟.总分值是150分.请考生按规定用笔将所有试题之答案涂、写在答题卡上。
选择题局部(一共40分)一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分。
在每一小题给出的四个选项里面，只 有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1.〔原创〕假设集合},0x {N x a x A ∈<<=有且只有一个元素，那么实数a 的取值范围为〔〕A ．(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]2.〔原创〕复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，那么2|2i |z +=〔〕A．2C．103.〔原创〕“3<-b a 〞是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形〞的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.(改编)函数)0,0,0(cos sin )(≠≠≠+=ϖϖϖb a x b x a x f ,那么)(x fA ．是非奇非偶函数B ．奇偶性与b a ,有关C ．奇偶性与ϖ有关D ．奇偶性与b a ,无关参考公式：假设事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )假设事件A ，B 互相HY ，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )假设事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n5.〔原创〕函数2ln )(x x x f =的图象大致是〔〕A.B.C.D.6.〔原创〕不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥022041y x y x x ，那么11+-+=y x x y z 的取值范围是〔〕A ．]41[，B ．]141[，C ．]4150[， D ．]4172[，7.〔改编〕P 是双曲线116252=-yx 在第一象限．．．．上的动点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，M 是12F PF ∠的平分线上的一点，且MP MF ⊥2，那么OM的值是〔〕A ．48.(改编)平面上的两个向量OA 和OB 满足a OA =，b OB =，且221a b +=，0=⋅OB OA ，假设向量),(R OB OA OC ∈+=μλμλ，且()()222221214a b λμ-+-=，那么OC的最大值为()A ．1B ．23C ．2D ．49.〔改编〕函数()222,0,e e ,0,xx x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.）（1,0 B.）（+∞,e C.）（）（+∞⋃,e 1,0 D.）（）（+∞⋃,e 1,0210.〔改编〕如图1，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，AC CD ⊥，3CD AC =，当ABC ∠变化时，当对角线BD 取最大值时，如图2，将ABC ∆沿AC 折起，在将ABC ∆开场折起到与平面ACD 重合的过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是〔〕图1图2ABCDBA ．]6426,0[+B ．]1,6426[+C ．]1,6426[-D ．]6426,0[-第二卷〔一共110分〕二、填空题〔本大题一一共7小题，一共36分，将答案填在答题纸上〕11.〔原创〕数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的间隔是重心到垂心间隔的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，那么ABC △的欧拉线方程为12.〔原创〕假设9922109)1()1()1(1-+⋯⋯+-+-+=+x a x a x a a x ）（，那么7a =，13.〔改编〕函数()1122f x x x m =--的最大值为4，那么实数m =；假设0,02m m x ><<222x x +-的最小值为14.例3：如下列图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是〔〕15.〔改编〕数列}{a n 满足13)1()2(,2a 11++=++++=+n n n a n a n n ，那么=3a ，数列}{a n 的通项公式=n a16.〔改编〕6辆不同的汽车需停在并排连续的6个车位上，那么甲车不能停在首尾两个车位上，且甲车和乙、丙两车中至少一辆相邻的概率是. 17.〔改编〕函数)1(+=x f y 的图像关于直线1-=x 对称,且)(x f y =在),0[+∞上单调递减,假设]3,1[∈x 时,不等式)23(ln )3(2)3ln 2(mx x f f x mx f -+-≥--恒成立,那么实数m 的取值范围为.三、解答题〔本大题一一共5小题，一共74分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 18.〔本小题总分值是14分〕〔改编〕ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c 2222a c ac b ++=，5sin cos 0A B +=.〔1〕求cos C ；〔2〕假设ABC ∆的面积52S =，求b . 〔改编〕梯形BFEC 如图〔1〕所示，其中45==BF EC ，，四边形是边长为2的正方形，现沿进展AD 折叠，使得平面⊥EDAF 平面ABCD ，得到如图〔2〕所示的几何体〔1〕求证：平面⊥AEC 平面BDE〔2〕点H 在线段上BD ，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BEF 所成角的正弦值。
高三普通高等学招生统一模考试拟(四模考试)数学(理)试题 Word版含解析
2020年普通高等学校招生统一模拟考试数学理科一、选择题1.已知全集U =R ，函数()ln 2y x =-的定义域为M ，集合{}220N x x x =->，则下列结论正确的是（ ） A. M N N =B. () UM N =∅C. MN U =D. UM N =【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法，可得M ，根据一元二次不等式的解法，可得N ，然后根据交、并、补计算，可得结果【详解】令202x x ->⇒>，所以()2,M =+∞ 由2200x x x ->⇒<或2x >，所以()(),02,N =-∞+∞[] 0,2UN =，所以() UM N =∅，MN M N =≠，M N N U =≠， UM N ≠．故选：B【点睛】本题考查函数定义域以及一元二次不等式解法，以及交、并、补运算，重点在于掌握交、并、补的概念以及不等式的解法，属基础题. 2.已知复数(),z a bi a b R =+∈，1zi-是实数，那么复数z 的实部与虚部满足关系式（ ） A. 0a b += B. 0a b -= C. 20a b -= D. 20a b +=【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简1zi-，若为实数，则虚部为零，即得解. 【详解】()()()(1)1122a b a b iz a bi a bi i i i -+++++===--，1zi-是实数，所以0a b +=， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的四则运算和基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题目. 3.若1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A. 78-B.78C. 18-D.18【答案】A 【解析】 【分析】 根据1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，将sin 2α，利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为2sin 22cos 14παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.【详解】因为1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以27sin 2cos 22cos 1448ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.4.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点32A ⎛⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A. 2213y x -=B. 22126x y -=C. 2213x y -=D.22162x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入可得33b a =，连接FA ，根据圆的性质可得23333c -=，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：by x a=±， 3b a ∴=，连接FA ，则2333FAc b AO a -===2c =， 所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.5.已知函数()x xg x e e -=-，()()f x xg x =，若72a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()4c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数()g x 的奇偶性，判断函数()f x 为偶函数，再根据偶函数的性质及单调性，即可得答案；【详解】依题意，有()()g x g x -=-，则()xxg x e e -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数． 当0x >时，有()()0g x g >，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，由不等式的性质可得()()11220x g x x g x >>， 即()()120f x f x >>，所以，函数()f x 在()0,+∞上递增，因此，()3774222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴b a c <<,故选：C.【点睛】本题考查偶函数的性质及利用函数的单调性比较大小，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和B. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2019项的和C. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和 【答案】D 【解析】 【分析】先由程序的循环变量n 得到循环执行的次数，再由S 中第一次累加的是1121-=，第二次累加的是3124-=，依此循环得到结论.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n 的初值为1，终值为2021，步长为2，故循环共执行了1010次．由S 中第一次累加的是1121-=，第二次累加的是3124-=，一直下去， 故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和． 故选：D【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑辨析的能力，属于基础题. 7.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率为（ ）A.356 B.328 C. 314D.14【答案】B【解析】 【分析】这是一个古典概型，先算出从八卦中任取两卦的基本事件数，再根据图知仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，没有阳爻的是坤卦，得到两卦的六个爻中恰有一个阳爻的基本事件数，代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦的基本事件有2828C =卦，由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，没有阳爻的是坤卦， 所以两卦的六个爻中恰有一个阳爻的基本事件有313⨯=卦， 所以两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率283328P C ==． 故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8.将函数()()()sin 30f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A. ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2⎡⎤⎣⎦C. 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎡⎤⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移关系，结合三角函数的对称性，求出ϕ的值，利用整体代换即可求出函数的值域.【详解】()()sin 3f x x ϕ=+()0ϕπ<<，向右平移8π个单位长度后， 得到函数的解析式为()3sin 38f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 函数的图象关于直线3x π=对称，33382k πππϕπ⨯-+=+，k Z ∈，得8k πϕπ=-，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以78πϕ=， ()7sin 38f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 72sin 3,182πx ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．故选：C.【点睛】本题考查了函数图象变换规律以及正弦函数的性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题.9.如图，平面四边形ADBC 中，AB BC ⊥，3AB =，23BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A. 16πB. 8πC. 4π 6π【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE 中，计算半径OB 即可. 【详解】由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ． 将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同， 由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形，可得1BE =． 又32BCOE ==Rt OBE 中，2OB =此即为外接球半径， 从而外接球表面积为16π． 故选：A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属中档题.10.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线l ，M 是l 上一点，N 是线段MF 与C的交点，若2MN NF =，O 为坐标原点，且OFN △的面积S 3p 的值为（ ） 2 B. 23 D. 23【答案】C 【解析】 【分析】画图设点(),N x y ，根据三角形的相似关系以及三角形面积公式可得N 的横纵坐标关于p 的表达式，再联立求解即可.【详解】假设点M 在准线的上半部分，准线与x 轴交点为P ，过点N 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设点(),N x y ．易得，~MPF NQF △△，又2MN NF =，所以1133QF PF p ==，则16x p =①； 又113222OFN p S OF NQ y ==⋅⋅=△，得3y p=，代入抛物线方程()220y px p =>，得332x p =②，联立①②得， 3p =．故选：C【点睛】本题主要考查了根据直线与抛物线的位置关系，结合平面向量与相似比例的性质求解参数的问题，需要根据题意设点，将横纵坐标用参数表达，进而列式求解.属于中档题. 11.设a ，b ，c 为锐角ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos 33A B Ca b a+=，若2b =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） 3 B. 323 D.12【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得3sin 23sin C B C =，进而得到3sin B =，1cos 2B =，再由余弦定理和基本不等式，求得4ac ≤，利用三角形的的面积公式，即可求解. 【详解】因为cos cos 33A B Ca b a+=，可得3cos 3cos 23sin b A a B b C +=， 由正弦定理，可得3sin cos 3sin cos 23sin B A A B B C +=，又由3sin cos 3sin cos 3sin()3sin B A A B A B C +=+=，即3sin 23sin C B C =，又由(0,)2C π∈，则sin 0C >，所以sin B =， 又由(0,)2B π∈，所以1cos 2B =， 由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=， 又由2242a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且a c =时等号成立，所以4ac ≤，所以ABC ∆的面积的最大值为11sin 4222S ac B ==⨯⨯=故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12.新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的cos y B ωβ=，y k b β=+，人体肺部结构中包含sin y A ωβ=，ln y β=，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为()f β，若()()sin 1ln a f βββ=-+在区间()0,1上为增函数，则a 的取值范围为（ ） A. (],0-∞ B. (],1-∞C. [)0,+∞D. [)1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，()()1cos 10f a βββ'=--+≥⎡⎤⎣⎦在()0,1上恒成立，利用参变分离法分离出函数()()cos 1g βββ=-即可求解.【详解】∵()()sin 1ln a fβββ=-+在区间()0,1上增函数，∴()()1cos 10f a βββ'=--+≥⎡⎤⎣⎦在()0,1上恒成立，∵()10,10,2πβ⎛⎫-∈⊆ ⎪⎝⎭∴()cos 10β->，∴()1cos 1a ββ≤-，()()()cos 1cos 1sin 10βββββ'-=-+->⎡⎤⎣⎦()cos 1ββ-在()0,1单调递增，()()cos 10,1ββ-∈，∴()()11,cos 1ββ∈+∞-，∴1a ≤．故选：B【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围问题，属于中档题. 二、填空题13.二项式62()x x-的展开式中，常数项为__________． 【答案】160- 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可得到答案； 【详解】6621662)2),0,1,,6((r r r r rr r T C x C x r x--+-==-=，当6203r r -=⇒=时，∴463302(6)1T C =-=-，∴常数项为160-，故答案为：160-.【点睛】本题考查二项式定理通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知函数()241,022,0xx x x f x x -⎧--+≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()()()10f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为______． 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】转化为函数()y f x =的图象与直线1y =和直线y m =共有5个不同的交点，作出函数()y f x =的图象，观察图象可得结果.【详解】由()()()()10f x f x m --=，得()1f x =或()f x m =，则函数()y f x =的图象与直线1y =和直线y m =共有5个不同的交点， 作出函数()y f x =的图象，如图所示：由图可知，函数()y f x =的图象与直线1y =有两个交点，所以函数()y f x =的图象与直线y m =有三个交点，所以()1,2m ∈． 故答案为：(1,2).【点睛】本题考查了函数与方程思想，考查了数形结合思想，考查了等价转化思想，属于基础题.15.已知四边形ABCD 中，AD //BC ，90BAD ∠=︒，1AD =，2BC =，M 是AB 边上的动点，则2MC MD +的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】采用建立平面直角坐标系的方法，并假设AB m =，求得2+MC MD 的坐标，然后根据向量模的表示，简单计算和判断，可得结果. 【详解】建立如图的直角坐标系，设AB m =，()0,M t ，[]0,t m ∈，由题意可知，()2,0C ，()1,D m ，()2,MC t =-，()1,MD m t =-，()24,23MC MD m t +=-，2164MC MD +=≥，当且仅当23mt =时取等号， 即2MC MD +的最小值为4． 故答案为：4【点睛】本题考查利用向量的方法解决几何问题，关键在于坐标系的建立，将几何问题代数化，向量是纽带，考验对问题的转化能力以及分析能力，属中档题.16.波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==，则当ABC ∆的面积最大时，AC 边上的高为_______________. 【答案】83【解析】 【分析】ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==,即2ca=．根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹为圆, 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,求出B 的轨迹方程，进而得出结论． 【详解】解：||sin sin 2sin ,2||sin AB CC A CB A=∴==为非零常数， 根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹是圆.以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系 则(2,0),(2,0)A C -，设(,)B x y ，∵2AB CB ==223320120x y x +-+=，整理得22210833x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此，当ABC ∆面积最大时，BC 边上的高为圆的半径83.【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题17.在四棱锥中P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，1BC CD ==，2PD =．（1）证明：AB PD ⊥；（2）求二面角B PA D --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（23【解析】 【分析】（1）取AB 的中点为M ，连接,DM PM ，由PAB △是等边三角形可得AB PM ⊥，再由底面ABCD 为直角梯形，结合已知的边长可证得AB DM ⊥，于是得AB ⊥平面PDM ，从而证得结果；（2）由条件可得可知,,DM DC DP 两两垂直，所以以D 为坐标原点建立直角坐标系D xyz -，利用向量法求出二面角B PA D --的余弦值.【详解】（1）证明：取AB 的中点为M ，连接,DM PM ，因为PAB △是等边三角形，所以AB PM ⊥．因在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，1BC CD ==，2AB =，所以2AD BD ==所以DAB 为等腰三角形，所以AB DM ⊥ 因为PMDM M =，所以AB ⊥平面PDM因为PD ⊂平面PDM ，所以AB PD ⊥．（2）解：因为2PD =1DM =，PM 为正三角形PAB △的AB 边上的高，所以3PM =． 因为222PD DM PM +=，所以PD DM ⊥，由（1）可知,,DM DC DP 两两垂直．以D 为坐标原点建立直角坐标系D xyz -，则()1,1,0A -，()1,1,0B ，()0,1,0C ，(2P 则()0,2,0AB =，(1,1,2PA =--，()1,1,0DA =- 设平面APB 的法向量为(),,m x y z =则00AB m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2020y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩令2x 得()2,0,1m =．设平面PAD 的法向量为(),,n x y z '''=则00DA n PA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020x y x y z '''-'=⎧'⎪⎨--=⎪⎩令1x '=，则()1,1,0n =213cos ,32m n ⨯==⨯因为二面角B PA D --为锐二面角，所以其余弦值为33． 【点睛】此题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，属于中档题. 18.已知数列{}1n a +的前n 项和n S 满足3n n S a =，*n N ∈． （1）求证数列{}1n a +为等比数列，并求n a 关于n表达式；（2）若()32log 1n n b a =+，求数列(){}1n n ab +的前n 项和n T ．【答案】（1）证明详见解析；312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（2）13366222nn n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】 【分析】（1）因为()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=，即12...3n n a a a n a ++++=，当2n ≥时1211...13n n a a a n a --++++-=，两式相减再配凑得到数列{}1n a +是首项为32，公比为32的等比数列，即可计算出数列{1}n a +的通项公式，然后计算出数列{}n a 的通项公式； （2）根据（1）的结果计算出数列{}n b 的通项公式，进一步计算出数列{(1)}n n a b +的通项公式，根据通项公式的特点运用错位相减法计算出前n 项和n T ． 【详解】（1）由题设()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=， 即12...3n n a a a n a ++++=① 当1n =时，1113a a +=，解得112a =， 当2n ≥时1211...13n n a a a n a --++++-=② ①－②得1133n n n a a a -+=-，即13122n n a a -=+ ()()131122n n a a n -+=+≥又1312a += 所以数列{}1n a +是首项为32，公比为32的等比数列，所以312nn a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）()33223log 1log 2n n n b a n ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，则()312nn n a b n ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，()123133333123...+122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2341333333123...1222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111333333...+2222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1333122n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和，考查学生逻辑推理能力和数学运算能力．属中档题．19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =，椭圆C 上的点到其左焦点1F 的最大距离为1+ （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线:2m x =-，过点1F 作直线l 的垂线与直线m 交于点T ，求1TF AB的最小值和此时直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）最小值为2，此时直线l 的方程为1x =-．【解析】 【分析】（1）根据椭圆C 上的点到其左焦点的最大距离为1+得到1a c +=+再由2e =，联立求解即可.（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，可分别求导T ，A ，B 的坐标，然后利用两点间距离公式求解；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，利用弦长公式求得AB ，再由()112y x k x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，求得交点12,T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到1TF =1TF AB 求解.【详解】（1）由题可知2c e a ==，又椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为1所以1a c +=+所以a =1c =，∴1b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，则()2,0T -，所以1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时12TF AB =； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩， 得()2222214220kx k x k +++-=，由韦达定理得2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -⋅=+， 则)22112k AB k +==+，联立()112y x kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，可得12,T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1TF =所以22212TF AB==>=. 因为221k k +≠所以等号不成立． 综上，1TF AB的最小值为2，此时直线l 的方程为1x =-． 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与直线，直线与椭圆的位置关系以及最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.某工厂生产某种电子产品，每件产品合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个（5k ≤）一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验一次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ． （1）X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越大时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少； （ii ）当0.9p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数． 【答案】（1）分布列详见解析，期望()11kE X p k=-+；（2）（i ）详见解析；（ii ）4k =时平均检验次数最少，约594次． 【解析】 【分析】（1）根据每k 个（5k ≤）一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验一次或1k +次，每件产品的平均检验次数X 的可能取值为1k，1kk+，再利用独立事件和互斥事件求得概率列出分布列，再求期望 （2）（i ）由（1）知()11kf p p k=-+，根据指数函数的单调性得到()f p 在()0,1p ∈上单调递减，从而得到结论. （ii ）由（1）记()110.9kg k k=-+，则由()1g k <且取最小值时，该方案最合理求解.【详解】（1）由题意，X 的可能取值为1k ，1kk+ 1k P X p k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11kk P X p k +⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故X 的分布列为()()11111k k k k E X p p p k k k+=⨯+⨯-=-+（2）（i ）由（1），记()11kf p p k=-+， 因为0k >．所以()f p 在()0,1p ∈上单调递减，故p 越大，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理． （ii ）记()110.9kg k k=-+，当()1g k <且取最小值时，该方案最合理， 因为()1 1.1g ≈，()20.69g ≈，()30.604g ≈，()40.594g ≈，()50.61g ≈． 所以4k =时平均检验次数最少，约10000.594594⨯=次．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的的分布列，期望及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.已知函数()ln mf x n x x=--（,m n 为常数）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对()0,x ∀∈+∞有()f x n m ≤-恒成立，且()()3g x f x x n =+-在()1212,x x x x x =≠处的导数相等，求证：()()12112ln 2g x g x +>-．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）利用导数，在定义域中并按0m ≤，0m >讨论，可得结果.（2）根据()1f n m =-并结合（1），可知m ，然后根据()()12''=g x g x ，可得12111x x +=，计算()()12g x g x +，并使用换元法，可得()()31ln 4ϕ=-->t t t t ，结合导数，可得结果.【详解】（1）()ln m f x n x x =--，()()2210m m x f x x x x x-'=-=> 当0m ≤时， ()0f x '<在0x >时恒成立，则()f x 在()0,∞+单调递减；当0m >时，若()0,x m ∈，()0f x '>若(),x m ∈+∞，()0f x '<所以()f x 在()0,m 单调递增，在(),m +∞单调递减．（2）因为()1f n m =-，而()0,x ∀∈+∞有()()1f x n m f ≤-=恒成立，知()f x 当1x =时有最大值()1f ，由（1）知必有1m =，所以()1ln f x n x x =--，()()133ln g x f x x n x x x=+-=--， ()2113g x x x'=+-，依题意设()()12g x g x k ''==，即21122211301130k x x k x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 所以12111x x +=，1212x x x x +=≥ 因为12x x ≠故124x x >所以()()()()12121212113ln ln g x g x x x x x x x ⎛⎫+=+-+-+ ⎪⎝⎭则()()12121231ln +=--g x g x x x x x令124t x x =>，()31ln t t t ϕ=--，所以，()()1304t t tϕ'=->>所以()t ϕ在()4,+∞上单调递增 ()()4112ln 2t ϕϕ>=-【点睛】本题考查函数导数的综合应用，掌握分类讨论方法以及换元法的使用，化繁为简，考验分析问题能力，本题难点在于m 的求取以及函数()31ln t t t ϕ=--的构建，属难题.22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos 221sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+． （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q 两点，且2OQ OP =，点M 坐标为()2,0，求OMP ∆的面积．【答案】（1）曲线1C ：cos ρθ=；2:C 2214x y += （2）3． 【解析】【分析】 （1）先把曲线1C 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得极坐标方程.将2224cos 4sin ρθθ=+，化为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得曲线2C 的普通方程.（2）设直线极坐标方程为0θθ=，代入1C ，2C ，表示出,P Q ρρ，再由||2||OP OQ = 从而求得P ρ及0cos θ，0sin θ，再利用01sin 2OMP P S OM ρθ∆=⋅⋅⋅求解. 【详解】解：（1）依题意，曲线1C ：221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即220x y x +-=，故cos ρθ=． 由2224cos 4sin ρθθ=+得2222cos 4sin 4ρθρθ+=，即2244x y +=，即2214x y += （2）作示意图如图所示，设直线l 的极坐标方程为0θθ=，分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程得0cos P ρθ=， 222200044cos 4sin 13sin Q ρθθθ==++． 由2OQ OP =得()202cos θ20413sin θ=+，解得202sin 3θ=，则201cos 3θ= 又002πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以03cos P ρθ==，06sin 3θ=． 故012sin 2OMP P S OM ρθ∆=⋅⋅⋅= 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.23.已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集；(2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 【答案】（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【解析】【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】解：(1)化简得321x x -->①当0x ≤时，()()323f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即231x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． (2)249233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭， 所以()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c++的最小值为1963. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题.。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(四)答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（四）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数1z =-，则2z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())222112z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C2.已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A.()6,2-B.()3,2-C.()()6,31,2--⋃ D.][()6,31,2--⋃【答案】D 【解析】【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D .3.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A.803π B.703p C.20πD.563π【答案】D 【解析】【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4.已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A.27B.272C.12D.11【答案】B 【解析】【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311[11(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为22221231[(1111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B5.若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b夹角的余弦值为（）A.34B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅= ,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅ 22cos 0a a b θ=-=.21cos 42a a b θ∴== .故选：D .6.已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）A.4条 B.3条C.2条D.0条【答案】B 【解析】【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7.已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22T π=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A.()1- B.20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.2,12⎫⎪⎪⎣⎭D.)1,1-【答案】D【解析】【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥-，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-=⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A.π36 B.7π36C.19π36D.5π36-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10.某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A.三人都选择长跑的概率为127B.三人都不选择长跑的概率为23C.至少有两人选择跳绳的概率为427D.在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为57【答案】AD 【解析】【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD11.设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A.1B.2C.3D.4【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2e k G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12.已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A.点C 到平面PAB 的距离为2B.直线AB 与PC 所成角的余弦值为2114C.若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD.直线PM 与平面ABC 所成的最大角的正切值为433【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠=，AB AC ==，6ABC π∴∠=，在Rt BCD中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则21cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C ，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D ，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠取得最大值为433，故D 正确.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.【答案】1【解析】【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k k f x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14.已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.【答案】【解析】【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===，因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15.由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.【答案】78【解析】【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816.已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.【答案】1【解析】3≤与3>讨论，得出()g x在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a的值即可得出答案.【详解】()22ag x xx+=+-，()()(2222221x xx aag xx x x+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a<≤时，则()0g x'>在()3,+∞上恒成立，则()g x在[)3,+∞上单调递增，()g x∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag+==，解得1a=，3>时，即7a>时，当x∈⎡⎣时，()0g x'<，()g x单调递减，当)x∈+∞时，()0g x'>，()g x单调递增，()g x∴在[)3,+∞上的最小值为22,2g a===，舍去，综上所述：1a=，故答案为：1.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y（单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y（百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y关于x的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑.【答案】ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【解析】【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,a b，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18.如图，四边形ABCD中，150,60,,3B D AB AD ABC ∠∠==== 的面积为.（1）求AC ；（2）求ACD ∠.【答案】（1）（2）π4【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【小问1详解】在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=4BC =，由余弦定理22232cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =【小问2详解】在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得3278sin 223sin 2AD D ACD AC ⨯∠∠===，∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19.设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.【答案】（1）2n n a =（2）7【解析】【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用裂项相消求和法求解.【小问1详解】因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.【小问2详解】令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+-⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11AC 的中点.（1）求证：BP ⊥平面11A EC ；（2）求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA = ，()2,2,4BP =--，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC .【小问2详解】解：由（1）可知()2,2,4BP =--可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则113sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅= ，故直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值为36.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y -=（2）证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问1详解】因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c =，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；【小问2详解】由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22.已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.（1）求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；（2）判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）14ln 2=+y （2）有两个零点，理由见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =，转化为()()2=e<xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【小问1详解】()()4e 122xf x x x=+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；【小问2详解】有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---xx x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时，()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--== ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。
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年高考模拟试卷数学卷双向细目表
题型
题号 分值
考查内容（难易程度）
选择题 （共分）
集合的基本运算（★）
复数的四则运算与复数的模的计算（★） 基本不等式结合充要条件的判断（★★）
利用导数的几何意义求函数的切线（★★）
函数的图像（★★）
简单的二元一次线性规划（★★） 简单计数原理的应用（★★★）
向量的四则运算及基本不等式的应用（★★★★） 立体几何中异面直线的夹角问题（★★★★）
函数的零点问题（★★★★★） 填空题
（共分）
抛物线的基本概念（★）
正弦定理和余弦定理的计算（★★）
三视图及简单几何体的体积表面积（★★）
等差等比数列的计算（★★★） 二项式定理的通项计算（★★★） 基本不等式的应用（★★★★）
平行直线之间距离及函数的基本性质（★★★★） 解答题
（共分）
三角函数的化简及性质（★★）
立体几何线面平行的证明及线面角的求解（★★★）
利用导数求函数切线和函数单调性等应用（★★★★）
圆锥曲线的计算能力（★★★★★）
数列的通项与求和的关系及放缩法的应用（★★★★★）
年高考模拟试卷数学卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共 页，满分 分，考试时间 分钟。
考生注意：
．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 题卷和答题纸规定的位置上。
．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。
选择题部分(共分)
一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是
参考公式：
如果事件，互斥，那么 ()()()
如果事件，相互独立，那么 (·)()·()
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 ()()(,…，)
)
(3
12211S S S S h ++柱体的体积公式
Sh V =
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式
Sh
V 31=
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式
π
3
π34R
V =。