2006年高考第一轮复习数学：6.6 不等式的应用

6.6 不等式的应用●知识梳理1.运用不等式求一些最值问题.用a +b ≥2ab 求最小值；用ab ≤（2b a +）2≤222b a +求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题. ●点击双基1.已知函数f （x ）=log 21（x 2－ax +3a ）在［2，+∞）上是减函数，则实数a 的范围是A.（－∞，4］B.（－4，4］C.（0，12）D.（0，4］解析：∵f （x ）=log 21（x 2－ax +3a ）在［2，+∞）上是减函数， ∴u =x 2－ax +3a 在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤.032422a a a， ∴－4＜a ≤4. 答案：B2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A.233 cm 2B.4 cm 2C.32 cm 2D.23 cm 2解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ） cm ，则S =43（3x ）2+43（312x -）2=183（x 2－12x +72）=183［（x －6）2+36］≥23. 答案：D3.（理）如果0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x log a y =1，那么xy A.无最大值也无最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.有最大值也有最小值解析：∵log a x +log a y ≥2y x a a log log =2， ∴log a xy ≥2. ∴0＜xy ≤a 2.答案：B（文）已知a ＞b ＞c ＞0，若P =a cb -，Q =bca -，则 A.P ≥Q B.P ≤Q C.P ＞Q D.P ＜Q解析：特殊值检验.a =3，b =2，c =1. P =31，Q =1，P ＜Q . 答案：D4.已知实数x 、y 满足yx=x －y ，则x 的取值范围是_______. 解析：由yx=x －y ，得y 2－xy +x =0. ∵y ∈R ，∴Δ=x 2－4x ≥0.∴0≤x ≤4. ∵x =0时y =0不符合题意，∴0＜x ≤4. 答案：0＜x ≤45.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-08603422x x x x ，的解集是不等式2x 2－9x +a ＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是____________.解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-，，08603422x x x x 得2＜x ＜3.则⇒⎩⎨⎧≤≤0302）（）（f f a ≤9. 答案：（－∞，9］ ●典例剖析【例1】 函数y =122++x bax 的最大值为4，最小值为－1，求常数a 、b 的值.剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R ，故可用判别式法求最值.解：由y =122++x bax 去分母整理得yx 2－2ax +y －b =0. ①对于①，有实根的条件是Δ≥0， 即（－2a ）2－4y （y －b ）≥0. ∴y 2－by －a 2≤0.又－1≤y ≤4， ∴y 2－by －a 2=0的两根为－1和4. ∴⎩⎨⎧-=⨯-=+-.41412a b ，解得⎩⎨⎧==32b a ，或⎩⎨⎧=-=.32b a ， 评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展 已知x 、y ∈R +且x 2+y8=1，求x +y 的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？已知a 、b 是正常数，a +b =10，又x 、y ∈R +， 且x a +y b=1，x +y 的最小值为18. 求a 、b 的值. 略解：x +y =（x +y ）（y x 82+）=10+xy 2+y x8≥10+2y x x y 82⋅=18. 当且仅当yxx y 82=时取等号. 由⎪⎩⎪⎨⎧==+224182x y y x ，解得⎩⎨⎧==.126y x ，∴当x =6，y =12时，x +y 的最小值为18.同上题，x +y =（x +y ）（xa +y b）=a +b +y bx x ay +≥a +b +2ab .由⎪⎩⎪⎨⎧=+=++，，10182b a ab b a 得⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩⎨⎧==.28b a ，【例2】 已知a ＞0，求函数y =ax a x +++221的最小值.解：y =a x +2+ax +21，当0＜a ≤1时，y =a x +2+ax +21≥2，当且仅当x =±a -1时取等号，y min =2. 当a ＞1时，令t =a x +2（t ≥a ）.y =f （t ）=t +t 1.f '（t ）=1－21t＞0.∴f （t ）在［a ，+∞）上为增函数. ∴y ≥f （a ）=aa 1+，等号当t =a 即x =0时成立，y min =aa 1+.综上，0＜a ≤1时，y min =2；a ＞1时，y min =aa 1+.【例3】 已知函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0且bc ≠0）.（1）若| f （0）|=| f （1）|=| f （－1）|=1，试求f （x ）的解析式；（2）令g （x ）=2ax +b ，若g （1）=0，又f （x ）的图象在x 轴上截得的弦的长度为l ，且0＜l ≤2，试确定c －b 的符号.解：（1）由已知| f （1）|=| f （－1）|，有|a +b +c |=|a －b +c |，（a +b +c ）2=（a －b +c ）2，可得4b （a +c ）=0.∵bc ≠0，∴b ≠0.∴a +c =0. 又由a ＞0有c ＜0.∵|c |=1，于是c =－1，则a =1，|b |=1. ∴f （x ）=x 2±x －1.（2）g （x ）=2ax +b ，由g （1）=0有2a +b =0，b ＜0. 设方程f （x ）=0的两根为x 1、x 2.∴x 1+x 2=－a b =2，x 1x 2=ac . 则|x 1－x 2|=212214x x x x -+）（=ac44-. 由已知0＜|x 1－x 2|≤2，∴0≤ac＜1. 又∵a ＞0，bc ≠0，∴c ＞0.∴c －b ＞0. ●闯关训练 夯实基础1.已知方程sin 2x －4sin x +1－a =0有解，则实数a 的取值范围是 A.［－3，6］ B.［－2，6］ C.［－3，2］ D.［－2，2］ 解析：∵a =（sin x －2）2－3，|sin x |≤1， ∴－2≤a ≤6. 答案：B2.当x ∈［－1，2］时，不等式a ≥x 2－2x －1恒成立，则实数a 的取值范围是 A.a ≥2 B.a ≥1 C.a ≥0 D.a ≥－2 解析：当x ∈［－1，2］时，x 2－2x －1=（x －1）2－2∈［－2，2］. ∵a ≥x 2－2x －1恒成立，∴a ≥2. 答案：A3.b g 糖水中有a g 糖（b ＞a ＞0），若再添m g 糖（m ＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.解析：b a ＜mb m a ++. 答案：b a ＜mb m a ++ 4.若a ＞0，b ＞0，ab ≥1+a +b ，则a +b 的最小值为____________.解析：1+a +b ≤ab ≤（2b a +）2， ∴（a +b ）2－4（a +b ）－4≥0. ∴a +b ≤2244-或a +b ≥2244+.∵a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2+22. 答案：2+225.已知正数x 、y 满足x +2y =1，求x 1+y1的最小值. 解：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， ∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+yx≥3+22， 当且仅当x y 2=yx，即当x =2－1，y =1－22时等号成立.∴x 1+y1的最小值为3+22. 6.（2004年春季上海）已知实数p 满足不等式212++x x ＜0，试判断方程z 2－2z +5－p 2=0有无实根，并给出证明.解：由212++x x ＜0，解得－2＜x ＜－21.∴－2＜p ＜－21. ∴方程z 2－2z +5－p 2=0的判别式Δ=4（p 2－4）. ∵－2＜p ＜－21，41＜p 2＜4， ∴Δ＜0.由此得方程z 2－2z +5－p 2=0无实根. 培养能力7.（2003年全国）已知c ＞0，设P ：函数y =c x 在R 上单调递减，Q ：不等式x +|x －2c |＞1的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数y =c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1.不等式x +|x －2c |＞1的解集为R ⇔函数y =x +|x －2c |在R 上恒大于1.∵x +|x －2c |=⎩⎨⎧>≥-，，c x cc x cx 22222 ∴函数y =x +|x －2c |在R 上的最小值为2c . ∴不等式x +|x －2c |＞1的解集为R ⇔2c ＞1⇔c ＞21. 如果P 正确，且Q 不正确，则0＜c ≤21. 如果P 不正确，且Q 正确，则c ≥1. ∴c 的取值范围为（0，21］∪［1，+∞）.8.已知函数f （x ）=x 2+bx +c （b 、c ∈R ）且当x ≤1时，f （x ）≥0，当1≤x ≤3时，f （x ）≤0恒成立.（1）求b 、c 之间的关系式；（2）当c ≥3时，是否存在实数m 使得g （x ）=f （x ）－m 2x 在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f （1）≥0与f （1）≤0同时成立，则必有f （1）=0，故b +c +1=0. （2）假设存在实数m ，使满足题设的g （x ）存在.∵g （x ）=f （x ）－m 2x =x 2+（b －m 2）x +c 开口向上，且在［22bm -，+∞）上单调递增，∴22b m -≤0.∴b ≥m 2≥0.∵c ≥3，∴b =－（c +1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m 不存在. 探究创新9.有点难度哟！ 已知a ＞b ＞0，求a 2+）（b a b -16的最小值.解：∵b （a －b ）≤（2b a b -+）2=42a ，∴a 2+）（b a b -16≥a 2+264a ≥16.当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b ，，即⎪⎩⎪⎨⎧==222b a ，时取等号.深化拓展a ＞b ＞0，求b （a －b ）·216a的最大值.提示：b （a －b ）≤42a .答案：4●思悟小结1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤： （1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x +y ≥2xy 中，x 和y 要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.●教师下载中心 教学点睛1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题【例1】 （2003年福建质量检测题）已知函数f （x ）=|log 2（x +1）|，实数m 、n 在其定义域内，且m ＜n ，f （m ）=f （n ）.求证：（1）m +n ＞0；（2）f （m 2）＜f （m +n ）＜f （n 2）. （1）证法一：由f （m ）=f （n ），得|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|，即log 2（m +1）=±log 2（n +1），log 2（m +1）=log 2（n +1）， ①或log 2（m +1）=log 211+n .②由①得m +1=n +1，与m ＜n 矛盾，舍去. 由②得m +1=11+n ，即（m +1）（n +1）=1.③∴m +1＜1＜n +1.∴m ＜0＜n .∴mn ＜0. 由③得mn +m +n =0，m +n =－mn ＞0. 证法二：（同证法一得）（m +1）（n +1）=1.∵0＜m +1＜n +1，∴211）（）（+++n m ＞））（（11++n m =1.∴m +n +2＞2.∴m +n ＞0.（2）证明：当x ＞0时，f （x ）=|log 2（x +1）|=log 2（x +1）在（0，+∞）上为增函数. 由（1）知m 2－（m +n ）=m 2+mn =m （m +n ），且m ＜0，m +n ＞0，∴m （m +n ）＜0. ∴m 2－（m +n ）＜0，0＜m 2＜m +n . ∴f （m 2）＜f （m +n ）. 同理，（m +n ）－n 2=－mn －n 2=－n （m +n ）＜0， ∴0＜m +n ＜n 2.∴f （m +n ）＜f （n 2）. ∴f （m 2）＜f （m +n ）＜f （n 2）. 【例2】 求证：对任意x 、y ∈R ，都有497721++x x ≤5－3y +21y 2，并说明等号何时成立. 证明：72x +49≥2·7x ·7=2·7x +1， ∴497721++x x ≤21. 又∵5－3y +21y 2=21（y －3）2+21≥21，∴497721++x x ≤5－3y +21y 2.当且仅当x =1，y =3时取等号.。