概率3-2讲义

n
D(Xi) = p(1-p)
i 1
所以 D(X) D X i ) D( X i ) = np(1-p) （
i 1
若 X~B(n,p)，则 E X） np, D X） np(1 p) （ （
概率论
例7 解
设X ~ N (0,1), 求E ( X )和D( X ). X的概率密度为
因此,均匀分布
1 a xb f ( x) b a 0 其它
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
2
例4
设随机变量X服从指数分布,其概率密度为 概率论 x 1 e x0 f ( x ) 0 x0 其中 0，求E ( X )，D( X )
。泊松分布的 分布律中只含一个参数 , 只要知道 ,
例3 解
设X ~ U (a , b)，求D( X )。 X的概率密度为
概率论
ab 已求得 E ( X ) 2 2 2 2 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] x 2 f ( x)dx a b 2 b 2 2 1 ab 2 b a x dx ba 2 a 12
由切比雪夫不等式可以看出，若 DX 越小，则事
我们只就连续型随机变量的情况来证明.
证
概率论
设X的概率密度为f (x)，则有
P{ X }

x

f ( x )dx


x

x
2

2
f ( x )dx
1

2


( x )2 f ( x )dx
一、方差的定义
E[(X-E(X)]2 为 X 的方差. 记为D(X)或Var(X)，
概率论
设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在 , 称 即
D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2
方差的算术平方根 D( X )称为X的标准差或均方差 记为 ( X )，它与X具有相同的量纲。
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小； 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.
随机变量与其均值的偏离是 X-EX, 如何刻画其平均偏离 E(X-EX) =EX-EX =0
容易看到
E{ X E ( X ) }
才能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.
但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量 E{[ X E ( X )]2 } 来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度. 这个数字特征就是 方差
概率论
例
设随机变量X具有(0—1）分布，其分布律为
P{ X 0} 1 p, P{ X 1} p
求D(X) .
解
E ( X ) 0 (1 p) 1 p p
E ( X 2 ) 02 (1 p) 12 p
由公式
2 2 2
p
D( X ) E ( X ) [ E ( X )] p p p(1 p)
因此,0-1分布
E ( X ) p, D( X ) p(1 p)
例2 设X ~ ( )，求D( X )。 概率论 k 解 X的分布律为 P{ X k } e , k 0,1,2,, 0 k! 上节已算得 EX
E ( X 2 ) E[ X ( X 1) X ] E[ X ( X 1)] E ( X ) k k 2 e 2 e k ( k 1) k! k 2 ( k 2)! k 0 2e e 2 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 2 ） 2 （ 因此,泊松分布 E ( X ) , D( X ) 由此可知，泊松分布的 数学期望与方差相等，等于
D( X * ) E ( X *2 ) [ E ( X * )]2 1
称 X *为 X 的标准化变量
三、方差的性质 1. DC 0
概率论
2.
D(CX ) C 2 DX
D( X ) DX
3. D( X Y ) DX DY 2E[( X EX )(Y EY )] D( X Y ) DX DY 2E[( X EX )(Y EY )]

解
E( X )
2



xf ( x)dx

0
x e dx
1

x

E( X )


x f ( x)dx
2
2

x
0
2
1

2
e dx 2

2 ) E ( X ) [ E ( X )]
由此可知,指数分布
E（X） ，D（X） 2
因此，D（X）是刻画 X 取值对于其期望的分散程
度的一个量。
二、方差的计算
概率论
1、用定义 由定义知，方差 D(X)=E[X-E(X)]2 是随机变量 X 的函数的数学期望 .
先计算EX, 于是
[ xk E ( X )]2 pk , D( X ) k 1 [ x E ( X )]2 f ( x )dx
2
2


P{| X E ( X ) | }
DX
2
DX
概率论
P{| X E ( X ) | } 1

2
例：设随机变量X、Ｙ相互独立，EX＝－2，EＹ＝2
DX＝1，DＹ＝4，根据切比雪夫不等式估计
3/4 P{4 X 0} _____ 1/5 P{| X Y | ≥5}≤ _____ -4< X <0 -2< X+2 <2 |X+2 |<2
概率论
例
设随机变量X具有数学期望 E ( X ) ，
D( X ) 2 0 ，记 方差 求EX , DX .
* *
X
*
X

解 E ( X * ) E ( X ) 1 E ( X ) 1 [ E ( X ) ] 0
X 2 1 1 2 *2 ) 2 E ( X ) 2 DX 1 E( X ) E(
这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数和 2 分别是该分布的数学期望和方差，因而正态分布完全 可由它的数学期望和方差所确定。
若X i ~ N ( i , i2 ), i 1,2,n, 且它们相互独立，则概率论
由 P77结论知
它们的线性组合 : C1 X 1 C 2 X 2 C n X n (C1 , C 2 ,C n是不全为0的常数)仍然服从正态分布.
若X、Ｙ独立，则
D( X Y ) DX DY
D( X Y ) DX DY 若X 1 , , X n相互独立，则有 D( X 1 X 2 X n ) DX 1 DX 2 DX n
4. D(X)=0

P{X= C}=1,
概率论
证明：（3）
D( X Y ) E[( X Y ) E ( X Y )]2 E[( X EX ) (Y EY )]2
i 1 i 1 n n
例如, 若X ~ N (1,3),Y ~ N ( 2,4), 且X和Y相互独立,
概率论
求 Z 2 X 3Y 的分布， 解 Z 2 X 3Y 也服从正态分布，
而E(Z ) E(2 X 3Y ) 2 E ( X ) 3E (Y ) 4, D(Z ) D(2 X 3Y ) D(2 X ) D(3Y ) 4 D( X ) 9 D(Y ) 48, 故有Z ~ N 4， ） （ 48 2 X 3Y 1 的分布？ N (3, 48)
概率论
例 求二项分布的方差 若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中某事件A发生的次数
1 如第i次试验中A发生 若设 X i i=1,2，…，n 0 如第i次试验中未发生
则 X= X1+X2+…+Xn 且各 Xi 相互独立 因为 P(Xi =1)= p,
n
P(Xi =0)= 1-p
n n
且 C1 X 1 C 2 X 2 C n X n ~ N ( C i i , C i2 i2 )
i 1 i 1
由 P53 例4 知
C1 X 1 C2 X 2 Cn X n d 也服从正态分布.
且 C1 X 1 C2 X 2 Cn X n d ~ N ( Ci i d , Ci2 i2 )
概率论
上一节我们介绍了随机变量的数学期望， 它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变 量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 还需要知道随机变量的取值与其均值的偏离程度。
概率论
第二节
方差的定义
方差
方差的计算
方差的性质
切比雪夫不等式
课堂练习
小结 布置作业
研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那 概率论 么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?
因此，D( X Y ) DX DY
概率论
思考： D ( X C ) ?
D ( DX ) ? D ( EX ) ? E ( DX ) ?
解答：D( X C) DX
D( DX ) 0 D( EX ) 0 E ( DX ) DX
下面我们举例说明方差性质的应用 .


xe
x2 2 2
E ( X ) 0, D( X ) 1