高三数学月考试题及答案-常州市第一中学、江阴南菁高中2016届高三两校联考

常州市第一中学、江阴南菁高中2016届高三两校联考
数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．已知集合，，且，则实数的值是 ． 2．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 .条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．
3．已知m ，n 为实数，若关于x 的不等式x 2+mx +n ＜0的解集为(—1，3)，则m +n 的值为 ．
4．函数)0(2cos sin 3>--=x x x y 的值域是 .
5．已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ． 6. 底面边长为a 的正四面体的体积为 ．
7．已知F 是椭圆22
221+=x y a b
（0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，
⊥PF x 轴.若1
4
=
PF AF ，则该椭圆的离心率是 ． 8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面
积为 ．
9．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，若
函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，且(1)3f =，则(2015)f = . 10．在等腰梯形ABCD 中，已知AB //DC ,∠ABC=60°,BC =
1
2
AB=2,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE =λBC ，DF =λ
21
DC ，
则AE ·BF 的最小值为 ．
11．已知函数()x f x e =，对于实数m 、n 、p 有)()()(n f m f n m f +=+，
)()()()(p f n f m f p n m f ++=++，则p 的最大值等于 ．
12．已知函数()(a
f x x a x =+
∈R ), ()ln g x x =，若关于x 的方程()()22g x f x e x
=-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 则a = ．
{2,}A a a =+{1,1,3}B =-A B ⊆
a
13．设1a ，2a ，…，n a 是各项不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对⎪⎭
⎫
⎝⎛d a n 1,
所组成的集合为 ．
14．已知P 点为圆1O 与圆2O 公共点，圆2221:()()O x a y b b -+-=+1，圆
2222:()()O x c y d d -+-=+1 ，若8,
a c
ac b d
==，则点P 与直线l ：34250x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内） 15. （本题满分14分）
在△ABC 中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，若m =(2sin 2B C +,1）, (2,cos21)n A =-+,
且m ⊥n .
（1）求角A 的度数；
（2）当23a =，且△ABC 的面积222
43
a b c S +-=时，求边c 的值和△ABC 的面积。

16．（本题满分14分）
已知直三棱柱111ABC A B C -中，
,D E 分别为11,AA CC 的中点，AC BE ⊥,点F 在线段AB 上，且4AB AF =． （1）证:1BC C D ⊥；
（2）若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置，使得1//C D 平面1B FM ．
17．（本题满分14分）
如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0 < t < 8）．
（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；
（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．
18.（本题满分16分）
已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点D (1，3
2)，且右焦点为F (1,0)，右顶点为A ．过点F 的弦为
B C ．直线BA ，
直线CA 分别交直线l :x ＝m,(m ＞2)于P ､Q 两点． (1) 求椭圆方程； (2) 若FP ⊥FQ ，求m 的值．
19. （本题满分16分）
已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 单调递增区间；
（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．
20. （本题满分16分） 在数列中，，且对任意的,
成等比数列，其公比为
．
（1）若
=2(
)，求；
（2）若对任意的，
，
，
成等差数列，其公差为
，设
．
① 求证：成等差数列，并指出其公差；
②若=2,试求数列
的前项的和
．
参考答案
一、填空题：
1．； 2．充分不必要； 3．－5； 4．［－4,0］； 5．5
2； 6. 3
212
a ； 7．34； 8．153；
9．3-； 10．46l3-；11．2ln 2ln 3-； 12. 2
1
e e
+； 13．{}(4,4),(4,1)-； 14．2. 二、解答题：
15. （本题满分14分） 【解】（I ）由于m ⊥n ，所以
m ⋅2
2222sin cos 2112cos 2cos 12cos cos 122
B C A
n A A A A +=-++=-+-=-- (2cos 1)(cos 1)0A A =+-=. ....................................3分
所以1
cos 2
A =-
或1（舍去），....................................5分 又因为(0,)A π∈ . ...................................6分 即角A 的度数为
2
3
π .....................................7分 （II ）由222
43
a b c S +-=及余弦定理得：3tan 3C =，....................................9分
又因为(0,)A π∈ ∴6
π
=C ....................................10分
又由正弦定理
sin sin a c
A C
=得2c =， ....................................12分 所以ABC ∆的面积1
sin 32
S ac B ==。

.....................................14分 16．（本题满分14分） 【解】
⑴ 直三棱柱可知1CC ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,
所以1CC AC ⊥，....................................1分 又因为1
,AC BE CC BE E ⊥=，1CC ⊂平面BCE ,
BE ⊂平面BCE ,AC ⊥面BCE ，
故AC BC ⊥， ....................................4分 又在直三棱柱中，11,CC BC AC
CC
C ⊥=，
1
AC ⊂平面1ACC ,1CC ⊂平面1ACC ,
故BC ⊥面11,ACC C D 在平面1ACC 内，所以1BC C D ⊥....................................7分 (2)连结AE ，在BE 上取点M ，使BE =4ME , ....................................8分 连结FM ，1B M ,F 1B ，在BEA ∆中，由BE =4ME ，AB =4AF ....................................10分 所以MF //AE ， ....................................11分 又在面AA 1C 1C 中，∵1C E AD =且1//C E AD ， ∴C 1D //AE ，又MF //AE ，所以1//C D MF ，
1C D /⊂平面1B FM ，FM ⊂平面1B FM ，1//C D 平面1B FM ．...................................14分
17．（本题满分14分） 【解】
（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点(0, 10)M ，由MN =14,MO =10,NN ’=8点(83, 8)N ...................................2分 设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N '，
则(83, 28)N t '-．
所以PM PN PM PN MN ''+=+≥22(830)(12810)t =-+--
2218129 (08)t t t =-+<<即为所求． ...................................6分
（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知
L PM PN PQ MN PQ '=+++≥2218129 (08)t t t t =+-+<<，
所以22()4(18129)L t t t -=-+， ...................................8分
即方程223(272)(516)0t L t L +-+-=在(0, 8)t ∈上有解． ..........................9分 故22(272)12(516)0L L ∆=---≥，即218630L L --≥， 解得21L ≥或3L -≤，
所以L 的最小值为21，此时对应的5(0, 8)t =∈． ...................................11分 故(83, 2)N '，MN '方程为3
103
y x =-， 令5y =得53x =，即(53, 5)P ．
从而22(53)(510)10PM =+-=，22(5383)(58)6PN =-+-=．....................13分 答：满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线53km ，此时污水处理站到小区
M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ． ...................................14分
18.（本题满分16分） 【解】：
（1）1a 2＋9
4b
2＝1,a 2－b 2＝1,解之得a 2＝4，b 2＝3，
所以椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1； ...................................4分
（2）设B (x 0，y 0)，则BC ：y ＝y 0
x 0－1(x －1)，...................................5分
与椭圆
E ：x 24＋y 2
3
＝1
联立方程组：
⎩
⎨⎧
y ＝y 0
x 0－1
(x －1)， x 24＋y 2
3
＝1．...................................4分
解得x ＝x 0，y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0，y ＝－3y 05－2x 0，所以C (8－5x 05－2x 0,－3y 0
5－2x 0)．......................6分
k AB k AC ＝y 0x 0－2⋅－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2＝y 0x 0－2⋅3y 0x 0＋2＝3y 02x 02－4＝9(1－x 02
4)x 02－4
＝－9
4．............................10分
显然k AB ＝k AP ,k AC ＝k AQ ，所以k AP k AQ ＝－9
4． ..................................12分
设Q (m,y 1)，k FQ ＝
y 1m －1＝y 1m －2⋅m －2m －1＝m －2
m －1k AQ ，同理k FP ＝m －2m －1 k AP
．................14分 所以k FP k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ ＝－94(m －2m －1)2
＝－1,又m ＞2，
所以m －2m －1＝2
3，所以m ＝4．...........16分
19. （本题满分16分） 【解】
⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+， 所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，
又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．............................3分 ⑵ 由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．
因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ..................................5分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，
故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+． ..................................7分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，
所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． ..................................8分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：
x (,0)-∞
(0,)∞+
()f x '
-
+
()f x
减函数
极小值
增函数
所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，
所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x
为()1f -和()1f 中的最大值．.......................10分
因为11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a
--=--=--+++，
令1
()2ln (0)g a a a a a
=-
->， 因为2
2121()1(1)0g a a a a '=-=->+，..................................11分 所以1
()2ln g a a a a
=-
-在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =， 故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；
当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． ..................................13分 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；
当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1
ln e 1a a
+-≥， 函数1ln y a a =
+在(0,1)a ∈上是减函数，解得1
0e
a <≤................................15分 综上可知，所求a 的取值范围为1
(0,][e,)e
a ∈∞+ ..................................16分
20. （本题满分16分） 【解】
（1）因为2k q =，所以
21
21
4k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项
，公比为4的等比数
列，所以13521141(41)143
n n
k a a a a --++++==--． ..................................2分
（2）因为，
，
成等差数列，所以2
= +
，
而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++=
=⋅，所以11
2k k
q q ++=， .................................4分 所以11111
1
k
k k k k q b b q q ++==
=+--，即11k k b b +-=， 所以
成等差数列，其公差为1． ..................................6分
（3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+，
所以22a =或21a =-． ..................................7分 （ⅰ）当22a =时，2112a q a =
=，所以1111
k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=， 即
11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k
+-+== ， .................................9分 22
2221112
(
)()()(1)1
1k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+-，212(1)k k k
a a k k q +==+， 所以2121k k k d a a k +=-=+， (21)(3)
22
k k k k k D +++==
..................................11分 （ii ）当21a =-时，2111a q a =
=-，所以111
12
k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，
即1312k k q =--，得1232k k q k -
=-．所以2221211
2()32
k k
k k a q a k +--
==- ，..................................13分 222221113
1
1222(
)()()(21)353122
2
k k k a a k k k +-
--
=⋅⋅⋅⋅=----，212(21)(23)k k k a
a k k q +==--，
所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)
22
k k k D k +-==． ..................................15分
综合得(3)2
k k k D +=
，或2
2k D k =． ..................................16分。