【名师一号】2015同步学习方略高中数学双基限时练(十一) Word版含解析

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【名师一号】(学习方略)高中数学 2.2.3直线与平面平行的性质双基限时练新人教A版必修2

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 2.2.3直线与平面平行的性质双基限时练新人教A版必修2 1．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是( ) A．平行B．相交或平行C．相交或异面D．平行或异面答案 A2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点解析分l∥α和l与α相交两种情况作答．答案 D3．设直线a，b，c不重合，平面α，β不重合，使a∥b成立的条件是( )A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥αC．a∥α，α∩β＝b D． a∥c，b∥c答案 D4．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A．过A且平行于a和b的平面可能不存在B．过A有且只有一个平面平行于a和bC．过A至少有一个平面平行于a和bD．过A有无数个平面平行于a和b解析过点A分别作a′∥a，b′∥b，∵a′∩b′＝A，∴a′与b′确定一个平面β，易知a∥β，b∥β.由作法知这样的平面β存在，且唯一．答案 B5．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析当a⊂β，B∈a时，过点B不存在与a平行的直线．答案 A6．已知a∥β，b∥β，则直线a与b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直且不相交．其中可能成立的有________．答案①②③④7．有以下命题，正确命题的序号是____________．①直线与平面平行，则直线与平面无公共点；②直线与平面平行，则直线与平面内的所有直线平行；③直线与平面平行，则直线平行于平面内任一条直线；④直线与平面平行，则平面内存在无数条直线与该直线平行．答案①④8．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．答案相交或平行9．过正方体AC1的棱BB1作一平面交CDD1C1于EF.求证：BB1∥EF.证明如图所示：∵CC1∥BB1，CC1⊄平面BEFB1，BB1⊂平面BEFB1，∴CC1∥平面BEFB1.又CC1⊂平面CC1D1D，平面CC1D1D∩平面BEFB1＝EF，∴CC1∥EF，∴BB1∥EF.10．如图，在空间四边形ABCD中，若P，R，Q分别是AB，AD，CD的中点，过P，R，Q 的平面与BC交于S.求证：S是BC的中点．证明在△ABD 中，点P ，R 分别是AB ，AD 的中点，则PR ∥BD ，又PR ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴PR ∥平面BCD ，又PR ⊂平面PRQS ，平面PRQS ∩平面BCD ＝SQ ，∴PR ∥SQ ，又PR ∥BD ，∴SQ ∥BD .又Q 是CD 的中点，∴S 是BC 的中点．11．如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．解 (1)证明：∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG .又EF ⊄平面ABD ，HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD .∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH .同理可证CD ∥平面EFGH .(2)设EF ＝x (0<x <4)，由于四边形EFGH 为平行四边形，∴CF CB ＝EF AB ＝x 4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC＝1－x 4. 从而FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长l ＝2(x ＋6－32x )＝12－x . 又0<x <4，则有8<l <12.即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．。

【名师一号】2015同步学习方略高中数学双基限时练(八) Word版含解析

双基限时练(八)1．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( ) A.12 B.32 C. 1D. 3解析椭圆的右焦点(1,0)到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3－0|3＋1＝32.答案 B2．若椭圆a 2x 2－a2y 2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 为( ) A.1－54 B.1＋52 C.12D.22解析由a 2x 2－a 2y 2＝1，得x 21a 2＋y2－2a＝1，∴a ＜0，∵焦点(－2,0)， ∴1a 2＋2a ＝4，即4a 2－2a －1＝0，解得a ＝1－54，或a ＝1＋54(舍去)．答案 A3．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．4,8B ．6,8C ．8,12D ．2,6解析设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，两圆的半径为R ，由题意可知|PM |＋|PN |的最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2R ，最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2R ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，R ＝1，所以|PM |＋|PN |的最大值为8，最小值为4.答案 A4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析由题意，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 24)，∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)， ∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3.此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2， ∵－2≤x 0≤2，∴当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6，选C. 答案 C5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3解析把y ＝x ＋2代入x 2m ＋y 23＝1，并整理得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.Δ＝16m 2－4m (m ＋3)＝12m (m －1)，由Δ>0，得m <0或m >1. ∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3. 答案 B6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点，作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB→等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－13或－3D ．±13解析设椭圆的一个焦点F (1,0)，则直线l ：y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，并整理得3x 2－4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝43，∴y 1＝－1，y 2＝13.又OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝－13.答案 B7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝12－3＝9.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝1. 答案 x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝18．设P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，O 为坐标原点，F 为椭圆的左焦点，点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＋|MF →|＝________. 解析如图所示，F 0为椭圆的右焦点，连接PF 0，由OM →＝12(OP →＋OF →)，可知M 为PF 的中点，则|OM →|＝12|F 0P →|，∴|OM →|＋|MF →|＝12|F 0P →|＋12|PF →|＝12(|F 0P →|＋|PF →|)＝a ＝2. 答案 29．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，以坐标原点O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若四边形P AOB 为正方形，则该椭圆的离心率为________．解析如图，∵四边形OAPB 是正方形，且P A ，PB 为圆O 的切线，∴△OAP 是等腰直角三角形，故b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝22. 答案 2210．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程．解 (1)由椭圆经过点N (2，－3)，得22a 2＋(－3)2b 2＝1，又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1.相减得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)16＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)12＝0. 整理得k AB ＝－12·(x 1＋x 2)16·(y 1＋y 2)＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝0.11．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN→＝0，求|MN |的最小值．解 (1)设P (x ，y )，依题意，有(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y 22＝1，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M ，N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， 6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立．故|MN |的最小值为2 6.12．如图椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.(a >b >0) 由e ＝12，得c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴x 24c 2＋y 23c 2＝1. 将A (2,3)代入，有1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为x ＝2.由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有|3x－4y＋6|5＝|x－2|，若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0.∴∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x－y－1＝0.。

【名师一号】2015同步学习方略高中数学双基限时练(十七) Word版含解析

双基限时练(十七)1．已知f (x )＝e xcos x ，则f ′(π2)的值为( )A ．e πB ．－e πC ．－e π2 D ．以上均不对答案 C2．函数f (x )＝sin xx 的导数是( ) A.x sin x ＋cos x x 2 B.x cos x ＋sin xx 2 C.x sin x －cos x x 2 D.x cos x －sin x x 2答案 D3．曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝5x －4 C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1 解析 y ′＝3x 2－8x ，∴y ′|x ＝1＝－5.∴切线方程为y －1＝－5(x －1)，∴y ＝－5x ＋6. 答案 C4．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2] B ．[π2，3π4] C ．[3π4，π]D ．[0，π2)∪[3π4，π)解析 ∵y ′＝3x 2－1≥－1.∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈[0，π2)∪[3π4，π)．答案 D5．抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2 B.78 2C ．2 2D ．以上答案都不对解析 ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∵抛物线y ＝x 2的切线与直线x －y －2＝0平行的只有一条，且k ＝1，∴y ′＝2x ＝1，∴x ＝12.∴切点为(12，14)．该点到直线的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.答案 B6．已知f (x )＝x 2＋2sin x ，则f ′(0)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2cos x ， ∴f ′(0)＝2×0＋2cos0＝2. 答案 27．已知曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为________．解析 f ′(x )＝3x 2＋1，直线y ＝4x －1的斜率为4，f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝1，或x 0＝－1.当x 0＝1时，f (x 0)＝0；当x 0＝－1时，f (x 0)＝－4， ∴P 点坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案 (1,0)或(－1，－4)8．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案－49．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 解析 ∵f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1.∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋1，f ′(1)＝23. 答案 2310．在曲线y ＝1x (x <0)上求一点P ，使P 到直线x ＋2y －4＝0的距离最小．解由题意知，平行于直线x ＋2y －4＝0与y ＝1x (x <0)相切的切点即为所求．设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝－1x 2，得 k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20，又x ＋2y －4＝0的斜率为－12.∴－1x 20＝－12，∴x 0＝2，或x 0＝－ 2.∵x <0，∴x 0＝－2，y 0＝－12＝－22. ∴P (－2，－22)为所求．11．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴可得切点为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.① ∵f ′(x )＝4ax 3＋2cx ， ∴f ′(1)＝4a ＋2c . ∴4a ＋2c ＝1.② 由①②得a ＝52，c ＝－92. ∴f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

北师大版高中数学必修5双基限时练：第一章+数列(11套,含解析)双基限时练2

双基限时练(二)一、选择题1．若数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一群孤立的点D ．一个圆解析 ∵n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点，且这些点都在直线y ＝3x ＋2上．答案 C2．在数列{a n }中，a n ＝3－2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2<0，∴数列{a n }为递减数列．答案 B3．已知数列{a n }为递减数列，且a n ＝(3－2a )n ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．a <32B ．a >32C ．a ≤32D ．a ≥32解析由{a n }为递减数列，知3－2a <0，即a >32. 答案 B4．数列{3n 2－28n }中，各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析对称轴n ＝286＝143＝423，∴当n ＝5时，a n 取得最小值．答案 B5．数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 都为正实数，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 有关解析 a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋1－anbn ＋1＝abn 2＋abn ＋an ＋a －abn 2－abn －an (bn ＋1)[b (n ＋1)＋1]＝a(bn ＋1)[b (n ＋1)＋1]. ∵a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0. 答案 B6．已知数列{－2n 2＋4an ＋3}中的数值最大的项为第6项，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫112，6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫6，132C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤112，132 D ．{6}解析由题意得，对称轴a ∈[5.5,6.5]．答案 C 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，则a 5＝________.解析由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，得a 2＝12，a 3＝121＋12＝13，a 4＝1343＝14，a 5＝1454＝15.答案 158．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＝_______________. 解析由a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，知a 2＝3，a 3＝5，a 4＝7，…，a n ＝2n －1.答案 2n －19．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )＝________.解析由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n ＋1)＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案12n ＋1－12n ＋2三、解答题10．已知a n ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ≠0且为常数)，试判断{a n }的单调性．解 ∵a n －a n －1＝－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2，且n ∈N ＋)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.即a n <a n －1，数列{a n }为递减数列．当a <0时，a n －a n －1>0，即a n >a n －1，数列{a n }是递增数列． 11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？求出最小值．解 (1)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94当n ＝2时，a n ＝－2，当n ＝3时，a 3＝－2，当n ＝1时，a 1＝0，同理，当n ＝4时，a 4＝0，由函数的单调性可知，当n ≥5时，a n >0，∴数列中只有a 2，a 3这两项为负数． (2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，知对称轴为n ＝52＝2.5，又n ∈N ＋，∴当n ＝2，或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 12．已知数列{a n }满足a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，求实数λ的取值范围．解 ∵a n ≤a n ＋1，∴n 2＋λn －(n ＋1)2－λ(n ＋1)≤0，即λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋.∴λ≥－3.∴实数λ的取值范围是[－3，＋∞)．思维探究13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？解(1)对任意n∈N＋，∵a n＋1－a n＝1(n＋1)2＋5(n＋1)＋4－1n2＋5n＋4＝－2(n＋3)[(n＋1)2＋5(n＋1)＋4](n2＋5n＋4)<0，∴数列{a n}是递减数列．(2)令a n<0，即1n2＋5n＋4<0，∴n2＋5n＋4<0得(n＋4)(n＋1)<0，∴－4<n<－1. 而n∈N＋，故数列{a n}没有负数项．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练11(含解析)新人教A版必修4

双基限时练(十一)1．把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34π C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －512π 解析用x －π12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)解析当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π. 答案 D3．要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位解析把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π8个单位即得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．答案 C4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是( )A ．－x ＋π6，π6B ．x －π6，－π6C ．x ＋5π6，5π6D ．x ＋5π6，π6解析因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6.答案 C5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 C ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1 D ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解析由图象知A ＝2－－2＝3，b ＝－1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π. ∴ω＝2πT＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－4，得－4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z )．令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1.答案 C6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析由题意可得，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2ω，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.答案 B7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________．解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)，∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )．答案k π5＋π10，k ∈Z 8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.解析由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案 2π39．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．解析令－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0.则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z .故取k ＝1时，x ＝π12.∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π12，010．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0. ∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案 211．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求f (x )的最值．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，得4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝－12，即x ＝－π12时，f (x )有最小值－32，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3.12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)∵x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4＋φ＝±1. ∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π8.由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．解由图象得A ＝2，T ＝72π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π.则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝0，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.由条件知3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z )，或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z )． ∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z )．则所有交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π6，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π6，3(k ∈Z )．。

【名师一号】北师大版高中数学必修1双基限时练11

双基限时练(十一) 二次函数的图像基础强化1．函数f (x )＝2x 2＋4x －1的对称轴和顶点坐标分别是( ) A. x ＝－2 (－2，－1) B. x ＝2 (－2，－1) C. x ＝－1 (－1，－3) D. x ＝1 (－2,3)解析 ∵f (x )＝2x 2＋4x －1＝2(x 2＋2x ＋1)－3＝2(x ＋1)2－3，∴对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1，－3)．答案 C2．已知二次函数f (x )与g (x )的图像开口大小相同，开口方向相反，g (x )＝4(x －1)2－1，f (x )图像的顶点(3，－2)，则f (x )为( )A. f (x )＝4(x ＋3)2－2B. f (x )＝－4(x －3)2－2C. f (x )＝4(x －3)2＋2D. f (x )＝－4(x ＋3)2＋2解析由题可知f (x )＝－4(x －3)2－2. 答案 B3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x >0)，－x 2＋bx ＋c(x ≤0)，)若f (0)＝－2f (－1)＝1，则2b ＋3c 的值为( )A. 4B. －2C. 2D. 8解析由题意得c＝－2(－1－b＋c)＝1，得c＝1，b＝12，∴2b＋3c＝4.答案 A4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b ＋c>0；③abc>0；④b＝2a，其中正确结论的个数是()A．4 B．3C．2 D．1解析由图可得f(1)＝a＋b＋c<0；f(－1)＝a－b＋c>0；∵－b2a＝－1，∴b＝2a；∵由b＝2a可知，a，b同号，∴ab>0，又f(0)＝c>0，∴abc>0.答案 A5．为了得到y＝x2－2x＋3的图像，只需将y＝x2的图像()A. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位解析y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.答案 B6．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是()解析选项A ，y ＝ax ＋b 中，a >0而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，矛盾；选项B ，y ＝ax ＋b 中，a >0，b >0，而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴x ＝－b2a >0，矛盾；选项D ，y ＝ax ＋b 中，a <0，b <0，但y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上，矛盾．答案 C7．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．解析函数y ＝x 2－2x ＋3的图像如图．故在区间[0，m ]上y ＝3时，m ＝0或2，又对称轴方程为x ＝1，∴最小值为2，m 的取值范围是[1,2]．答案 [1,2]能力提升8．下列给出的二次函数图像的开口，按从小到大的顺序排列为________． (1)f (x )＝－14x 2(2)f (x )＝13(x ＋5)2(3)f (x )＝12x 2－6 (4)f (x )＝－5(x －8)2＋9解析因为图像在同一直角坐标系中|a |越小，图像开口就越大，根据⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14<⎪⎪⎪⎪⎪⎪13<⎪⎪⎪⎪⎪⎪12<|－5|，知图像开口按从小到大的顺序排列为(4)(3)(2)(1)．答案 (4)(3)(2)(1)9．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图像与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合是________．解析当m ＝1时，f (x )＝4x －1符合题意；当m ≠1时，由题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0 即m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，或m ＝0， ∴m 的取值集合为{－3,0,1}．答案 {－3,0,1}10．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解将函数y ＝x 2的图像向右平移4个单位长度得到y ＝(x －4)2的图像，再向下平移2个单位长度得到y ＝(x －4)2－2，即y ＝x 2－8x ＋14，所以b ＝－8，c ＝14.11．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．解方法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件，可得二次函数图像的顶点坐标为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c 0＝a ＋b ＋c 0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.方法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13. ∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.方法三：∵二次函数图像的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)，∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3.将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3，解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？解由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－2(3－k )3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.考题速递13．已知把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的二次函数为y ＝x 2－2x ＋1，则该二次函数的解析式为________．解析方法一：∵y ＝x 2＋bx ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋c －b 24，∴将y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2＋22＋c －b24＋3. ∵y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，比较对应项系数可得⎩⎪⎨⎪⎧2＋b 2＝－1，c －b 24＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝6，∴所求函数解析式为y ＝x 2－6x ＋6. 方法二：∵y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴将y ＝(x －1)2的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得解析式为y ＝(x －1－2)2－3＝x 2－6x ＋6，即二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝x 2－6x ＋6.答案 y ＝x 2－6x ＋6。

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 1.2.1函数的概念双基限时练新人教A版必修1

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 1.2.1函数的概念双基限时练新人教A 版必修11．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析 A 中一个x 对应的y 值不唯一．答案 A2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1与g (x )＝ x ＋1 x －1 B ．f (x )＝(2x －5)2与g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝ x 4x与g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t t 2解析 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝ x ＋1 x －1 的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同，不是相等函数；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1的对应关系不同，不是相函数等．D 中，f (x )＝ x4x＝x (x >0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫t t 2＝t (t >0)的定义域与对应关系都相同，它们是相等函数．答案 D3．下列函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝ax ＋b B ．y ＝kx ＋2(k 为常数)C ．y ＝x 2＋x －1 D ．y ＝1x 2＋x ＋1答案 B4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析 y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．答案 B5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或a ＝3B ．a ＝－1C ．a ＝3D ．a 不存在解析因为函数f (x )的定义域和值域都为R ，所以函数f (x )是一次函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a －3≠0，所以a ＝－1.答案 B6．周长为定值a 的矩形，它的面积S 是这个矩形的一边长x 的函数，则这个函数的定义域是( )A ．(a ，＋∞)B ．(a2，＋∞)C ．(a2，a )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2 解析根据题意知，矩形的另一边长为a －2x 2＝a2－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a2－x >0，得0<x <a2，故这个函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.答案 D7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析由题意3a －1>a ，则a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．若f (x )＝x 2＋x 的定义域为{－1,0,1}，则函数的值域为________．解析 f (－1)＝(－1)2－1＝0，f (0)＝02＋0＝0，f (1)＝12＋1＝2，∴函数的值域为{0,2}．答案 {0,2}9．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________. 解析由f (a )＝5a a 2＋1＝2，得2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12，或a ＝2.答案 12或210．若f (x )＝ax 2－2，且f (f (2))＝－2，求a . 解因为f (2)＝a (2)2－2＝2a －2，所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－2，于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0，所以a ＝22或a ＝0. 11．若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．解由函数f (x )的定义域为－2≤x ≤1知，f (－x )的定义域为－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－1≤x ≤2，得－1≤x ≤1.故g (x )的定义域是[－1,1]． 12．已知函数f (x )＝x 2x 2＋1.(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x有什么关系？并证明你的发现．(3)求值：f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014.解 (1)∵f (x )＝x 2x 2＋1，∴f (2)＝2222＋1＝45；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝15.f (3)＝3232＋1＝910；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＝110.(2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＝x 2x 2＋1＋1x 2＋1＝1.(3)由(2)知，f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，…， f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12014＝1， ∴原式＝＝2013.。

【名师一号】(学习方略)高中数学 3.2.2函数模型的应用实例双基限时练新人教A版必修1

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 3.2.2函数模型的应用实例双基限时练新人教A版必修1 1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )A.C．指数函数模型D．对数函数模型解析由表知自变量x变化1个单位时，函数值y变化2个单位，所以为一次函数模型．答案 A2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点答案 D3．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是小于或等于m的最大整数，如[4]＝4，[2.7]＝2，[3.8]＝3，从甲地到乙地通话时间为6.5分钟的话费为( )A．3.71 B．3.97C．4.24 D．4.77解析由题意可知，[6.5]＝6，代入公式f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24，故选C.答案 C4．某居民小区收取冬季取暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一： (1)按照使用面积缴纳每平方米20元； (2)按照建筑面积缴纳每平方米16元．李明家的使用面积为80平方米，如果他家选用第(2)种方案缴纳取暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过( )A ．90平方米B ．100平方米C ．110平方米D ．120平方米答案 B 5.某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y (平方米)与时间t (月)之间的函数关系式是y ＝at －1(a >0，且a ≠1)，它的图象如右图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米； ②到第7个月浮草的面积一定能超过60平方米； ③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到4平方米，16平方米，64平方米所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2<t 3，其中所有正确命题的序号是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④ 解析由题图知，y ＝2t －1，当t ＝0时，y ＝12＝0.5，∴①正确．当t ＝7时，y ＝26＝64>60，∴②正确，③显然不正确．当y ＝4,16,64时，t 1＝3，t 2＝5，t 3＝7，∴t 1＋t 2>t 3. ∴④不正确，综上知①②正确，故选A. 答案 A6．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )A．[5,6) B．(5,6]C．[6,7) D．(6,7]解析设陈先生此趟行程为x千米(x∈Z)，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．答案 B7．下表是某工厂产品的销售价格表：解析按每件27元购买，可买107件．答案1078．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格为________元．解析依题意可得8100(1－13)3＝8100×⎝⎛⎭⎪⎫233＝2400(元)．答案24009．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)解析设至少经过x小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.答案 510．某商人将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个．现在他采取提高售价减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？最大利润是多少？解设每件商品涨价x元，则售价为(10＋x)元，每件可获利(2＋x)元，由题意可得每天可获利润y ＝(2＋x )(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360(0≤x ≤10) ∴当x ＝4时，y 有最大值．即每件商品定价14元时，才能获得最大利润，最大利润是360元．11．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度I 用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L I 表示，它们满足以下公式：L I ＝10·lg I I 0(单位为分贝：L I ≥0，其中I 0＝1×10－12W/m 2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少．解 (1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12 W/m 2，则I 1I 0＝1，所以LI 1＝10lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则I 2I 0＝102，所以LI 2＝10lg102＝20，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I 3＝1×10－8W/m 2，则I 3I 0＝104，所以，LI 3＝10lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝． (2)由题意知：0≤L 1<50即0≤10lg I I 0<50，所以，1≤I I 0<105，即10－12≤I <10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 大于或等于10－12W/m 2，同时应小于10－7 W/m 2.12．某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台使用，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．试求f (x )和g (x )．(2)你认为选择哪一家比较合算？为什么？解 (1)依题意得f (x )＝5x (15≤x ≤40)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，x ，2x ＋30，x(2)f (x )－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －90，x，3x －30，x易知：当15≤x <18时，f (x )－g (x )<0， ∴f (x )<g (x )，即选甲家；当x ＝18时，f (x )－g (x )＝0.∴f (x )＝g (x )，即选甲家和乙家都一样；当18<x ≤30时，f (x )－g (x )>0， ∴f (x )>g (x )，即选乙家；当30<x ≤40时，f (x )－g (x ) >0， ∴f (x )>g (x )，即选乙家．。

北师大版高中数学必修5双基限时练：第一章+数列(11套,

双基限时练(十)一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12B.5＋12C.1－52D.5±12解析由题意得，a 3＝a 1＋a 2， ∴q 2＝1＋q ，得q ＝1±52，又a n >0，∴q >0，故q ＝1＋52. 即a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52. 答案 B2．公差不为0的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析 2a 3－a 27＋2a 11＝0得4a 7－a 27＝0，∴a 7＝4，或a 7＝0(舍)．∵b 7＝a 7，∴b 6b 8＝b 27＝16.答案 D3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析设公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ，a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d ，由已知得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＝－3d ，又S 8＝(a 1＋a 8)×82＝32，得d ＝2. ∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝5(2a 1＋9d )＝5×6d ＝60. 答案 C4．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }的相邻三项，若b 2＝5，则b n ＝( )A ．5·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1B ．5·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1C ．3·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1 D ．3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1 解析由题意得a 28＝a 5·a 13. 即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )，得d ＝2a 1. ∴a 8＝15a 1，a 5＝a 1＋4d ＝9a 1，q ＝15a 19a 1＝53.∴b n ＝b 2·q n －2＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －2＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1.答案 D5．数列9,99,999,9999，…的前n 项和等于( ) A ．10n －1 B.109(10n －1)－n C.109(10n －1)D.109(10n －1)＋n解析 a n ＝10n －1，∴S n ＝10(1－10n )1－10－n ＝10(10n －1)9－n . 答案 B6．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析由已知得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7.答案 D 二、填空题7．一个等比数列，它与一个首项为0，公差不为零的等差数列相应项相加后得到新的数列1,1,2，…，则相加以后新数列的前10项和为________．解析设{a n }为等比数列，公比为q ，数列{b n }为等差数列，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋a 1＝1，q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，a 1＝0，q ＝2，d ＝－1.∴新数列的前10项的和S 10＝1－2101－2＋10×92×(－1)＝978.答案 9788．1，12，2，14，4，18，…的前2n 项的和是________．解析 S 2n ＝(1＋2＋4＋…＋2n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n ＝1－2n1－2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.答案 2n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n9．首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和为S n ，则1S 1＋1S 2＋…＋1Sn＝________.解析由已知可知S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案 nn ＋1三、解答题10．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列．求a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值．解 ∵{a n }为等差数列，且a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1d ＝d 2，又d ≠0，∴a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.11．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n .求数列{S n }的通项公式．解 (1)∵{a n }为等比数列，a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25.又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n .(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴{b n }的前n 项和S n ＝(4＋5－n )n 2＝n (9－n )2. 12．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，并且满足a 3·a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)如果数列{a n }和数列{b n }都满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n2n (n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由{a n }为等差数列，知a 2＋a 7＝a 3＋a 6＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3·a 6＝55，a 3＋a 6＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝11，a 6＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11.又公差d >0，∴a 3＝5，a 6＝11. 由a 6＝a 3＋3d ，得d ＝2. ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝b 12，得b 1＝2.当n ≥2时，由a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1＋b n 2n ，得a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1.∴a n －a n －1＝b n2n . ∴b n ＝2n ＋1.又n ＝1时，2n ＋1＝4≠2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，2n ＋1 (n ≥2).当n ＝1时，S 1＝b 1＝2，当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋b 2(1－2n －1)1－2＝2n ＋2－6，又n ＝1时，上式也成立， ∴S n ＝2n ＋2－6.思维探究13．已知数列{a n }为等差数列且公差d ≠0，{a n }的部分项组成下列数列：ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k n .解由题设有a 2k 2＝ak 1ak 3，即a 25＝a 1a 17，∴(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，∴a 1＝2d 或d ＝0(舍去)，∴a 5＝a 1＋4d ＝6d ，∴等比数列的公比q ＝ak 2ak 1＝a 5a1＝3.由于ak n是等差数列的第k n项，又是等比数列的第n项，故ak n＝a1＋(k n－1)d＝ak1q n－1，∴k n＝2·3n－1－1.。

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.4.1等比数列双基限时练新人教A版必修5

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 2.4.1等比数列双基限时练新人教A 版必修51．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析由等比数列的定义，知①、②、④是等比数列．③中当x ＝0时，不是等比数列．答案 C2．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析 a 6＝a 1q 5＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－1.答案 B3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81解析由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴q 2(a 1＋a 2)＝9，∴q 2＝9. ∵a n >0，∴q ＝3.∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27. 答案 B4．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0(a n ≠0)，则2a 1＋a 22a 3＋a 4等于( )A ．1 B.12 C.13D.14解析由a n ＋1－2a n ＝0，得a n ＋1a n ＝2，∴{a n }为等比数列，且公比q ＝2，∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝a 1 2＋q a 3 2＋q ＝a 1a 1q 2＝14.答案 D5．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝a 1q 6＝64. 答案 A6．已知x,2x ＋2,3x ＋3是一个等比数列的前3项，则第4项为____________．解析由(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，∵x ＋1≠0，∴4(x ＋1)＝3x ，∴x ＝－4，∴公比q ＝2x ＋2x＝－6－4＝32. ∴第4项为xq 3＝－4×(32)3＝－272.答案－2727．2＋3与2－3的等比中项是________．答案 ±18．已知数列1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2＝________. 解析根据题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝b 1b 3＝1×4＝4，又b 2>0， ∴b 2＝2，∴a 1＋a 2b 2＝52. 答案 529．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则{a n }的通项公式为________．解析设等比数列的公比为q ，则q ≠0，a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.答案 a n ＝2×33－n或a n ＝2×3n －310．已知数列{lg a n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列．证明：设数列{lg a n }的公差为d ，根据等差数列定义，得lg a n ＋1－lg a n ＝d ，∴lg a n ＋1a n＝d ，∴a n ＋1a n＝10d (常数)，∴{a n }是一个以10d为公比的等比数列． 11．已知三个数成等比数列，它们的和为13，它们的积为27，求这三个数．解根据题意，设这三个数依次为aq ，a ，aq (aq ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝27，aq ＋a ＋aq ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.∴所求三个数依次为1,3,9或9,3,1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，S 1，S 2，…，S n ，…，成等比数列，试问数列a 2，a 3，a 4，…，a n 成等比数列吗？证明你的结论．解设a 1＝a ，则S 1＝a 1＝a ，∵{S n }成等比数列，设其公比为q ，则由等比数列的通项公式有S n ＝S 1·qn －1＝aq n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1－aqn －2＝aqn －2(q －1)．a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝aq n －aq n －1＝aq n －1(q －1)．当q ＝1时，{S n }为常数列，此时a n ＝0与题设条件a n ≠0矛盾，故q ≠1.又a n ＋1a n ＝aq n －1 q －1aq n －2 q －1＝q (n ≥2)，故数列a 2，a 3，a 4，…，a n ，…成等比数列．。

【名师一号】2015同步学习方略高中数学双基限时练(七) Word版含解析

双基限时练(七)1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距答案 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13 D.12答案 D3．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－3,3)C ．(－2,2)D ．(－4,4)答案 C4．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A ．点(－3，－2)不在椭圆上 B ．点(3，－2)不在椭圆上 C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判定(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)在椭圆上解析由椭圆的对称性知，点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)都在椭圆上．答案 C5．椭圆x2a2＋y2b2＝1和x2a2＋y2b2＝k(k>0，a>0，b>0)具有()A．相同的顶点B．相同的离心率C．相同的焦点D．相同的长轴和短轴解析不妨设a>b，则椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e1＝ca＝a2－b2a2.而椭圆x2a2＋y2b2＝k的离心率e2＝ka2－kb2ka2＝a2－b2a2，∴e1＝e2.答案 B6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3 2，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析由题意得2a＝12，ca＝32，所以a＝6，c＝33，b＝3，故椭圆G的方程为x236＋y29＝1.答案x236＋y29＝17．在一椭圆中以焦点F1，F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于________．解析由题可知b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，a＝2c.∴e＝ca＝22.答案2 28．过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析右焦点的坐标为(3,0)，当x ＝3时，代入椭圆方程得925＋y 216＝1，∴y 2＝16×1625，∴|y |＝165.故|AB |＝2|y |＝325. 答案 3259．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________．解析由题意知|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，|AB |＝a 2＋b 2， ∵BF ⊥BA ，∴|B F |2＋|BA |2＝|AF |2，即a 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2.化简得a 2－ac －c 2＝0， ∴e 2＋e －1＝0.解得e ＝－1±52.∵0<e <1，∴e ＝－1＋52. 答案－1＋5210．椭圆过(3,0)点，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．解当椭圆焦点在x 轴上时，则 a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6 ∴b 2＝a 2－c 2＝3故椭圆的方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，则b ＝3，又c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 故椭圆的方程为x 29＋y 227＝1，∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1，或x 29＋y 227＝1.11．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .解由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba ，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7， ∴7(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋5＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0， ∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.。

【名师一号】2015同步学习方略高中数学双基限时练(十) Word版含解析

双基限时练(十)1．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－x 24＝1答案 B2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.32 答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析由题意知a 2＋b 2a 2·m 2－b 2m 2＝1，化简得a 2＋b 2＝m 2∴以a ，b ，m 为边长的三角形为直角三角形．答案 B4．若0<k <a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线答案 C5．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，且离心率为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝100C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24答案 D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53B.43C.54D.32答案 A7．以椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为________．答案 x 24－y 212＝18．双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为________．解析由题意知a ＝2，当焦点在x 轴上时，有b a ＝2 ∴b ＝4，双曲线方程为x 24－y 216＝1；当焦点在y 轴上时，有ab ＝2∴b ＝1，双曲线方程为y 24－x 2＝1. 答案 x 24－y 216＝1或y 24－x 2＝19．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为________．解析 ∵x 2k ＋4＋y 29＝1是双曲线，∴k ＋4＜0，k ＜－4.∴a 2＝9，b 2＝－(k ＋4)． ∴c 2＝a 2＋b 2＝5－k .∴ca ＝5－k 3＝2.∴5－k ＝36，k ＝－31. 答案－3110．求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x . 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1，或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴标准方程为x 264－y 236＝1，或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32，且a ＝3，∴b ＝92. ∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1；当焦点在y 轴上时，由a b ＝32，且a ＝3，∴b ＝2. ∴所求双曲线方程为y 29－x 24＝1.11．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．解椭圆方程可化为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距2c ＝8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝12.∴双曲线方程为x 236－y 212＝1.②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝48，a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36.∴双曲线方程为y 212－x 236＝1.由①②知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 12．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的标准方程为3x 22－y 22＝1.。

【名师一号】高中数学第二章数列双基限时练11(含解析)新人教A版必修5

双基限时练(十一)1．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( )A ．nB ．n (n ＋1)C ．n (n －1) D.n n ＋2答案 D2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和且a 3＝－6，a 7＝6，则( )A ．S 4＝S 5B ．S 5＝S 6C ．S 4>S 6D ．S 5>S 6解析 ∵a 3＋a 7＝2a 5＝0，∴a 5＝0，∴S 4＝S 5.答案 A3．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第7项解析 a n ＝3n 2－28n ＝3(n 2－283n )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1432－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1432.∵n ∈N *，∴当n ＝5时，a n 有最小值．答案 B4．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )A ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前10项和(n ∈N *) B ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和(n ∈N *) C ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前11项和(n ∈N *) D ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前11项和(n ∈N *) 解析要理解循环体的含义，当第一次执行k ＝1时，S ＝12；当第二次执行k ＝2时，S ＝12＋14.可见，该程序是求前10项的偶数的倒数和．答案 B5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为__________；数列{na n }中数值最小的项是第__________项．解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11，当n ＝1时，也成立， ∴a n ＝2n －11，na n ＝2n 2－11n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1142－1218. ∵n ∈N *，∴当n ＝3时，na n 有最小值．答案 2n －11 36．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 1－a 2b 1－b 2＝________. 解析由于a 1－a 2＝x －y 3，b 1－b 2＝x －y 4，则a 1－a 2b 1－b 2＝43. 答案 43 7．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________. 解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝a 1＋a92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512. 答案6512 8．在等差数列{a n }中，a 2＋a 9＝2，则它的前10项和S 10＝________. 解析 S 10＝a 1＋a 102×10＝5(a 2＋a 9)＝10.答案 109．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n >0. (1)求a 1，a 2；(2)求{a n }的通项公式；(3)令b n ＝20－a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．解 (1)a 1＝S 1＝14(a 1＋1)2⇒a 1＝1. a 1＋a 2＝14(a 2＋1)2⇒a 2＝3.(2)当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝14[(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2] ＝14(a 2n －a 2n －1)＋12(a n －a n －1)，由此得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝2. ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(3)∵b n ＝20－a n ＝21－2n ， ∴b n －b n －1＝－2，b 1＝19.∴{b n }是以19为首项，－2为公差的等差数列． ∴ T n ＝19n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋20n . 故当n ＝10时，T n 的最大值为100.10．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c (c ≠0)，求常数c 的值； (3)对(2)中的b n ，c n ＝1b 2n －1，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)由等差数列的性质知， a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴d ＝a 4－a 3＝4， a 1＝a 3－2d ＝9－8＝1，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n n －2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵{b n }是等差数列．∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0.又∵c ≠0，∴c ＝－12.(3)由(2)知b n ＝2n ， ∴c n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋21n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1.。

北师大版高中数学必修二双基限时练11.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作双基限时练(十一)一、选择题1．如果一条直线与一个梯形的两腰所在的直线垂直，那么这条直线与这个梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．平行C．直线在平面内D．不确定解析梯形的两腰所在的直线为相交直线．答案 A2．直线l与平面α垂直，则()A．l与平面α内的某几条直线垂直B．l与平面α内的一条直线垂直C．l与平面α内的无数条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直答案 D3．如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中错误的个数是()①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1.A．0个B．1个C．2个D．3个解析由于BD∥B1D1，故①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，故BD⊥面ACC1，故BD⊥AC1，故②正确；由于AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故AC1⊥面CB1D1，故①②③全正确，答案为A.答案 A4．如图△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是()A．AD⊥面BDC B．BD⊥面ADCC．DC⊥面ABD D．BC⊥面ABD解析由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝AC，BD＝DC＝22AB.又∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝2BD，∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC.∴BD⊥面ADC，同理DC⊥面ABD.∴A、B、C项均正确．答案 D5．在四面体P—ABC中，P A＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是()A．BC∥面PDF B．DF⊥面P AEC．BC⊥面P AE D．AE⊥面APC解析∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面P AE，又DF∥BC，∴DF⊥面P AE，故B、C项正确，由于AE与AP 不垂直，故AE与面APC不垂直．答案 D6.下列说法中错误的是()①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线与某一平面的垂线平行，那么该直线垂直于这个平面；③如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线；④若一条直线与平面的垂线垂直，则该直线一定在这个平面内．A．①②B．①④C．①③④D．②④解析因为当直线与平面平行时，平面内仍存在直线与该直线垂直，故①不正确，②显然正确，根据线面垂直的定义可知，③正确；当一条直线与平面的垂线垂直时，这条直线可能在平面内也可能与平面平行，故④不正确．答案B二、填空题7．下列命题：①过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；②若a∥b，a⊥α，则b⊥α；③若直线a与平面α的两条直线垂直，则直线a⊥α；④若a∥α，α∥β，则a∥β；⑤若a∥α，b∥α，则a∥b；⑥若a⊥α，b⊥α，则a∥b，其中正确命题有________．答案①②⑥8．在三棱锥P—ABC中，最多有________个直角三角形．解析不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案 49．如图，在四面体ABCD中，BC＝CD，AD⊥BD，E，F分别为AB，BD的中点，则BD与面CEF的位置关系是________．解析∵E，F为AB，BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊥BD，∴EF⊥BD.又BC＝CD，F为BD的中点，∴CF⊥BD，又EF∩CF＝F，∴BD⊥面CEF.答案BD⊥面CEF三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，B1B的中点．求证：CF⊥面EAB.证明在平面B1BCC1中，∵E，F分别是B1C1，B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE.又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.11．如图所示，空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD.作BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥面BCD.证明取AB的中点F，连接CF，DF，∵BC＝AC，∴CF⊥AB.∵BD＝AD，∴DF⊥AB.又CF∩DF＝F，∴AB⊥面CDF.又CD面CDF，∴AB⊥CD.又BE⊥CD，AB∩BE＝B，∴CD⊥面ABE.∵AH面ABE，∴CD⊥AH.∵AH⊥BE，又BE∩CD＝E，∴AH⊥面BCD.12．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.证明设圆O所在平面为α，则已知PA⊥α，且BMα，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.而AN平面PAM，∴BM⊥AN.又PM⊥AN，PM∩BM＝M，∴AN⊥平面PBM.思维探究13．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，F 为BB1的中点，M为线段AC1的中点，求证：(1)直线MF∥面ABCD；(2)MF⊥面A1ACC1.证明(1)取AC的中点O，连接MO，∵M，O为AC1，AC的中点，∴MO 綊12CC 1.又F 为BB 1的中点，ABCD —A 1B 1C 1D 1为直四棱柱， ∴BF 綊12CC 1. ∴MO 綊BF.∴四边形MOBF 为平行四边形．∴MF ∥BO ，又MF 面ABCD ，BO 面ABCD ， ∴MF ∥面ABCD.(2)∵F 为BB 1的中点，∴AF ＝C 1F ，又M 为AC 1的中点，∴MF ⊥AC 1.又ABCD 为菱形，∴BO ⊥AC. 又MF ∥BO ，∴MF ⊥AC.又AC 1∩AC ＝A ，∴MF ⊥面A 1ACC 1.。

名师一号高一数学人教B必修4双基限时练正弦型函数y=Ainωx+φ 含解析

双基限时练(十一)基础强化1．要得到函数y ＝sin2x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象( )A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度答案 B2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析当a ＝0时，f (x )＝1，图象为选项C 所示；当0<a <1时，周期T ＝2πa >2π，图象为选项A 所示；当a >1时，周期T ＝2πa <2π，图象为选项B 所示．答案 D3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析由选项可知，A ＝2，12T ＝5π12－⎝⎛⎭⎪⎫－π12＝π2， T ＝π，∴ω＝2.当x ＝－π12时，y 取得最大值2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝1，∴－π6＋φ＝π2，∴φ＝2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A.π2B.3π8C.π4D.π8解析由最小正周期为π得ω＝2，于是f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其图象向左平移|φ|个单位长度后，对应的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2|φ|，由于该函数图象关于y 轴对称，所以它是偶函数，所以π4＋2|φ|＝k π＋π2，k ∈Z ，所以|φ|＝k π2＋π8，k ∈Z ，故选D. 答案 D5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析由该函数的最小值为0，可知A 不正确，由周期为π2可知B 不正确，将x ＝π3分别代入选项C 、D 中，易知D 正确．答案 D6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，则下列结论中正确的是( )①图象C 是关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . A ．①② B ．②③ C. ①②③D ．①②③④解析当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝－3，此时直线x ＝11π12经过函数图象的最低点，故直线x ＝11π12是函数图象的对称轴，结论①正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，结论②正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数，结论③正确；函数y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得函数y ＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，显然结论④不正确．答案 C7．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝sin x2至少向左平移________个单位长度．解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23π，故将y ＝sin x 2至少向左平移23π个单位长度．答案 23π8．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ，是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析观察图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝3π12，所以T ＝π，从而有ω＝2πT ＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入函数解析式f (x )＝2sin(2x ＋φ) 得－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，不妨令7π6＋φ＝3π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62. 答案 62能力提升9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上每一个点横坐标扩大为原来的2倍，所得图象所对应的函数解析式为______________；若将f (x )的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m ＞0)，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________．解析函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍，所得图象所对应的函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×12x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将函数f (x )的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m ＞0)，所得函数的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋m )＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3，当2m ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π2＋π12，k ∈Z 时，所得的函数图象关于y 轴对称，此时m 的最小值为π12.答案 y ＝2sin(x ＋π3) π1210．已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)．(1)当ω＝1时，写出由y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到的图象所对应的函数解析式；(2)若y ＝f (x )图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上是增函数，求ω的值．解析 (1)当ω＝1时，f (x )＝sin x ，将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到的图象解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6. (2)由题意可知sin 2π3ω＝0，故2π3ω＝k π，k ∈Z ，即ω＝32k ，k ∈Z .∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增．∴14T ≥π3，即π2ω≥π3，∴ω≤32. ∵ω＞0，∴ω＝32.11．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在同一个周期内，当x ＝π4时y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )；(2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象．解析 (1)∵2πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4，∴ω＝3.∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，∴3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4.(2)y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，再由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象． 12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，然后再将所得图象沿x 轴正方向平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．写出函数y ＝g (x )的解析式并用“五点法”画出y ＝g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解析 (1)由已知，易知 A ＝2，T2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，解得T ＝6π，∴ω＝13.把(0,1)代入解析式y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋φ，得2sin φ＝1.又|φ|<π2， ∴解得φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6.(2)压缩后的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再平移，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.列表：x π6 2π3 7π6 5π3 13π6 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 02－2品味高考13．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4解析利用平移规律求得解析式，验证得出答案． y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π时，y＝sin2x，为奇函数，故选B.4答案 B。

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双基限时练(十一)
1．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成
两段，则此双曲线的离心率为( )
A.32
B.95
C.355
D.62
解析由题可知b ＋c ＝5(c －b )，∴3b ＝2c . ∴9b 2＝4c 2＝9(c 2－a 2)． ∴5c 2
＝9a 2
，∴e 2
＝95，e ＝3
5 5.
答案 C
2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(2，＋∞)
解析设A (c ，y 0)代入双曲线方程得c 2a 2－y 20
b 2＝1，∴y 20＝b 4
a
2.
∴|y 0|＝b 2a ，∴|AF |＝b 2
a . ∵△ABE 是钝角三角形， ∴∠AEF >45°.
则只需|AF |>|EF |，即b 2
a >a ＋c ， ∴
b 2>a 2＋a
c ，
即c 2－a 2>a 2＋ac ，c 2－ac －2a 2>0.
∴e 2－e －2>0，解得e >2，或e <－1(舍去)．故选D. 答案 D
3．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，1e 21
＋1e 22
的值为( )
A ．2 B.3
2 C ．4
D.52
解析设椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为m ，不妨设P 在第一象限，由题可得
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
①
|PF 1
|－|PF 2
|＝2m ，②
|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝4c 2
，③
)
①2＋②2得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 2＋2m 2， ∴a 2＋m 2＝2c 2.
又1e 21＋1e 22
＝(a c )2＋(m c )2＝a 2＋m
2
c 2＝2.故选A. 答案 A
4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．3x ±4y ＝0
B ．3x ±5y ＝0
C ．4x ±3y ＝0
D ．5x ±4y ＝0
解析设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，
在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝(2c )2－(2a )2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，则4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，∴(2b －a )2＝a 2＋b 2. ∴3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a . 故双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，即y ＝±43x ，故选C. 答案 C
5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，而与曲线x 236－y 2
64＝1共渐近线的双曲线方程为( )
A.y 29－x 2
16＝1 B.x 216－y 2
9＝1 C.y 216－x 2
9＝1
D.x 29－y 2
16＝1
解析椭圆的焦点为(0，±5)，双曲线的渐近线为y ＝±4
3x ，验证
选项知应选C.
答案 C
6．下列三图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1，F 2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )
A ．e 1>e 2>e 3
B ．e 1<e 2<e 3
C ．e 1＝e 3<e 2
D ．e 1＝e 3>e 2
解析设|F 1F 2|＝2c ，在①中2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝(3－1)c ；在②中，2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝10－2
2
c ；在③中，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝(3－1)c .∴e 1＝e 3>e 2.
答案 D
7．若动点P (x ，y )到定点F (5,0)的距离是它到直线x ＝9
5的距离的5
3倍，则动点P 的轨迹方程为________．
解析设P (x ，y )，则(x －5)2＋y 2|x －9
5|＝5
3，化简整理得16x 2－9y 2＝144. 答案 16x 2－9y 2＝144
8．已知双曲线x 22－y 2
b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝________.
解析因为渐近线方程为y ＝x ，∴b ＝ 2. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. ∴点P 的坐标为(3，±1)．
又易知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，不妨取P (3，1)． ∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝0. 答案 0
9．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2
9＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.
解析由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0，且b ＝3可得a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 1|－3＝2⇒|PF 1|＝5.
答案 5
10．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144，F 1，F 2是其左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．
解双曲线的方程可化为x 29－y 2
16＝1， ∴a 2＝9，b 2＝16，∴c ＝5.
由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1
|·|PF 2
|
＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|
.
又|PF 1|·|PF 2|＝32，
∴cos ∠F 1PF 2＝62＋2×32－4×252×32＝0.
∴∠F 1PF 2的大小为90°.
11．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 的中点的横坐标为－2
3，求此双曲线的方程．
解设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意
c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 2
7－a 2
＝1，
由⎩⎨
⎧
x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，
得
(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，
∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2
＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 2
5＝1.
12．设k ∈R ，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解 ①当k <0时，方程变形为x 28k ＋y 2
4＝1，它表示焦点
在y 轴上的双曲线；
②当k ＝0时，方程为y 2－4＝0，它表示两条平行于x 轴的两条直线；
③当0<k <2时，曲线x 28k ＋y 2
4＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；
④当k ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝4，它表示一个圆； ⑤当k >2时，曲线x 2k 8
＋y 2
4＝1为焦点在y 轴上的椭圆．。