配方法(3)(矩形花园设计方案)
新人教版九年级数学上册：《配方法》教学案
配方法课题§2．2．3 配方法(三)教学目标(一)教学知识点1．利用方程解决实际问题．2．训练用配方法解题的技能．(二)能力训练要求1．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，增强学生的数学应用意识和能力．2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．3．进一步训练利用配方法解题的技能．(三)情感与价值观要求通过学生创设解决问题的方案，来培养其数学的应用意识和能力，进而拓宽他们的思维空间，来激发其学习的主动积极性．教学重点利用方程解决实际问题教学难点对于开放性问题的解决，即如何设计方案教学方法分组讨论法教具准备投影片二张第一张：练习(记作投影片§2．2．3 A)第二张：实际问题(记作投影片§2．2．3 B)教学过程Ⅰ．巧设情景问题，引入新课[师]通过上两节课的研究，我们会用配方法来解数字系数的一元二次方程．下面我们通过练习来复习巩固一元二次方程的解法．(出示投影片§2．2．3 A)用配方法解下列一元二次方程：(1)x 2+6x+8＝0；(2)x 2-8x+15＝0；(3)x 2-3x-7＝0；(4)3x 2-8x+4＝0；(5)6x 2-11x-10＝0；(6)2x 2+21x-11＝0．[师]我们分组来做，第一、三、五组的同学做方程(1)、(3)、(5)，第二、四、六组的同学做方程(2)、(4)、(6)．[师]各组做完了没有?[生齐声]做完了．[师]好，我们来交叉改一下，看看哪位同学批改得仔细，哪位同学的方程解得全对．[生甲]我改的是××同学的，他做的是方程(1)、(3)、(5)，方程(1)解对了，答案是x 1＝-2，x 2＝-4．解方程(3)时，在配方的时候，他配错了，即x 2-3x-7＝0，x 2-3x ＝7，x 2-3x+32＝7+32 应为(-23)2． [师]很好，这里一次项-3x 的系数-3是奇数，所以应在方程两边各加上(-3)的一半的平方，那方程(3)的正确答案是多少呢?[生乙]方程(3)的解为x 1＝2373,23732-=+x . [师]好，继续．[生丙]方程(5)的二次项系数不为1，所以首先应把方程化为二次项系数是1的形式，然后再应用配方进行求解．××同学解的对，其解为x 1＝25，x 2＝-23． [生丁]××同学做的是方程(2)、(4)、(6)．他解的完全正确，即方程(2)的解：x 1＝5，x 2=3，方程(4)的解：x 1＝2，x 2＝23，方程(6)的解：x l =21，x 2＝-11． [师]利用配方法求解方程时，一定要注意：①方程的二次项系数不为1时，首先应把它化为二次项系数是1的形式，这是利用配方法求解方程的前提．②配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是方程的二次项系数为1． 另外，大家在利用配方法求解方程时，要有一定的技能．这就需要大家不仅要多练，而且还要动脑．尤其是在解决实际问题中．这节课我们就来解决一个实际问题．Ⅱ．讲授新课[师]看大屏幕．(出示投影片§ 2．2．3B)在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗?[师]大家仔细看题，弄清题意后，分组进行讨论，设计具体方案，并说说你的想法．[生甲]我们组的设计方案如右图所示，其中花园四周是小路，它们的宽度都相等．这样设计既美观又大方，通过列方程、解方程，可以得到小路的宽度为2 m 或12 m ．[师]噢，同学们来想一想，甲组的设计符合要求吗?如果符合，请说明是如何列方程，又如何求解方程的；如果不符合，请说明理由．[生乙]甲组的设计符合要求．我们可以假设小路的宽度为x m ，则根据题意，可得方程 (16-2x)(12-2x)=21×16×12， 也就是x 2-14x-24＝0．然后利用配方法来求解这个方程，即x 2-14x+24＝0，x 2-14x ＝-24，x 2-14x+72=-24+72，(x-7)2＝25，x-7=±5，即x-7=5，x-7＝-5．∴x 1=12．x 2=2．因此，小路的宽度为2 m 或12 m ．由以上所述知：甲组的设计方案符合要求．[生丙]不对，因为荒地的宽度是12 m ，所以小路的宽度绝对不能为12 m ．因此甲组设计的方案不太准确，应更正为：花园四周的小路的宽度只能是2 m ．[师]大家来作判断，谁说的合乎实际?[生齐声]丙同学说得有理．[师]好，一般地来说：在解一元一次方程时，只要题目、方程及解法正确，那么得出的根便是所列方程的根，一般也就是所解应用题的解，而一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题．因此，解完一元二次方程之后，不要急于下结论，而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解．这一点，丙同学做得很好，大家要学习他从多方面考虑问题．接下来，我们来看其他组设计的方案．[生丁]我们组的设计方案如右图．我们是以矩形的四个顶点为圆心，以约5．5 m 长为半径画了四个相同的扇形，则矩形除四个相同的扇形以外的地方就可作为花园的场地．因为四个相同的扇形拼凑在一起正好是一个圆，即四个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积，假设其半径为x m ，根据题意，可得πx 2＝21×12×16． 解得x=± 96≈±5．5．因为半径为正数，所以x ＝-5．5应舍去．因此，由以上所述可知，我们组设计的方案符合要求．[生戊]由丁同学组的启发，我又设计了一个方案，如右图．以矩形的对角线的交点为圆心，以5．5 m 长为半径在矩形中间画一个圆，这个圆也可作为花园的场地．[生己]老师，我也设计了一个方案，图形与戊同学的一样，他是把圆作为花园的场地,而我是把圆以外的荒地作为花园的场地，圆内以备盖房子．[师]同学们设计的方案都很好，并能触类旁通，真棒．其他组怎么样?[生庚]我们组设计的方案如右图．顺次连结矩形各边的中点，所得到的四边形即是作为花园的场地．因为矩形的四个顶点处的直角三角形都全等，每个直角三角形的面积是24 m 2(即21×6×8)，所以四个直角三角形的面积之和为96 m 2，则剩下的面积也正好是96 m 2，即等于矩形面积的一半．因此这个设计方案也符合要求．[生辛]我们组设计的方案如下图．图中的阴影部分可作为建花园的场所．因为阴影部分的面积为96 m 2，正好是矩形面积的一半，所以这个设计也符合要求．[生丑]我们组设计的方案如右图．图中的阴影部分可作为建花园的场地．经计算，它符合要求．[生癸]我们组的设计方案如下图．图中的阴影部分是作为建花园的场地．[师]噢，同学们能帮癸组求出图中的x 吗?[生]能，根据题意，可得方程2×21 (16-x)(12-x) ＝21×16×12， 即x 2-28x+96＝0，x 2-28x ＝-96，x 2-28x+142＝-96+142，(x-14)2＝100，x-14＝±10．∴x 1＝24，x 2＝4．因为矩形的长为16 m ，所以x 1＝24不符合题意．因此图中的x 只能为4 m.[师]同学们真棒，通过大家的努力，设计了这么多在矩形荒地上建花园的方案． 接下来，我们再来看一个设计方案．Ⅲ．课堂练习(一)课本P 55随堂练习 11．小颖的设计方案如图所示，你能帮助她求出图中的x 吗?解：根据题意，得 (16-x)(12-x)=21×16×12， 即x 2-28x+96=0．解这个方程，得x 1=4，x 2＝24(舍去)．所以x=4．(二)看课本P 53～P 54，然后小结．Ⅳ．课时小结本节课我们通过列方程解决实际问题，进一步了解了一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并且知道在解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．另外，还应注意用配方法解题的技能．Ⅴ．课后作业(一)课本P 55习题2．5 1、2(二)1．预习内容：P 56～P 572．预习提纲如何推导一元二次方程的求根公式．Ⅵ．活动与探究汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米／时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米，查有关资料知，甲种车的刹车距离S 甲(米)与车速x(千米／时)之间有下列关系：S 甲＝0．1x+0．01x 2；乙种车的刹车距离S 乙(米)与车速x(千米／时)的关系如下图所示．请你就两车的速度方面分析相碰的原因．[过程]通过对本题的研究、探讨，让学生体会数学与现实生活紧密相连． 由甲车的刹车距离和车速的关系式S 甲＝0．1x+0．01x 2，又S 甲＝12，从而可求得甲 车速度，对乙车而言，从图象上知刹车距离与车速是成正比例函数关系，因而可设为x 乙＝kx ，又其过点(60，15)，从而得到k 值，由10<s 乙<12，可得乙车车速，进而可确定事故的原因．[结果]解：对于甲车：∵甲车刹车距离为12米，根据题意，得12＝0．1x+0．01x 2．解这个方程，得x 1＝30或x 2＝-40(舍去)，即甲车的车速为30千米／时，不超过限速．对于乙车：由图象知，其关系是一个正比例函数，设此函数为x 乙＝kx∵经过点(60，15)，∴15＝60k ， ∴k ＝41，即此函数解析式为S 乙=41x 根据题意，得10<41x<12． ∴40<x<48．∴乙车超过限速40千米／时的规定．∴就速度方面分析，两车相碰的原因在于乙车超速行驶．板书设计§2．2．3 配方法(三) 一、实际问题的设计方案：设计方案一：设计方案二：设计方案三：设计方案四：二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
2.2 配方法(3)
用配方法解一元二次方程的步骤:配方法
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都 除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一 半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平 方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
40 x x 200. 2 2 即x 40 x 400 0.
解这个方程, 得
25m 200m2
40 x 2
x
x1 x2 20.
2
答 :鸡场的面积能达到20 0m ,这时鸡场的长为20m
老师提示:学了二次函数后我们可 以知道, 当长为20m时, 这是鸡场最大的面积.
解 :设小路的宽为xm, 根据题意得 16 12 16 2x12 2x . 2 即x2 14x 24 0. 解这个方程, 得
12m 16m
老师提示:在检验时,方程 x1 2,x2 12(不合题意, 舍去).的根一定要符合问题的实 际意义.否则,舍去.
答 :小路的宽为2m.
方法二
解:(1)设养鸡场的宽为xm,根据题意得
x40 2 x 180.
2
25m
180m2 40-2x
即x 20x 90 0.
解这个方程, 得
x
当x2 10 10时, 长40 2 x 20 2 10 25不合题意, 舍去.
答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的宽为 10 10 m.
我—小亮
,是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相 同.你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是?m吗? 你能通过解方程,帮我得 到扇形的半径吗?
初中数学《设计符合要求的花园方案》研究性学习设计
初中数学《设计符合要求的花园方案》研究性学习设计设计符合要求的花园方案科数学年级九年级单元标题一元二次方程的解法——配方法(3) 研究性学习名称设计花园方案所需时间 1课时【学习目标】(1)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学知识解决实际问题的勇气、才能及个性。
(2) 通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程;【情境】星期天老师在公园遇到一位环卫工人，他提出一个问题，看大家能否帮着解决, 在一块长为,,m～宽为,,m的矩形荒地上～要建造一个花园～并使花园所占面积为荒地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗,若可以实现～你能给出具体的设计方案吗,【任务】1(小组合作，探索尽可能多的设计方案。
2(选取两种典型的设计方案进行列方程计算。
【过程】一、活动准备:你能举例说明什么是一元二次方程吗,它有什么特点,怎样用配方法解一元二次方程,活动目的:帮助学生回忆起一元二次方程及如何用配方法解一元二次方程，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
二、活动内容:活动一:1、学生先自己设计，画出草图，然后放到实物投影平台上展示、交流自己的作品。
活动目的:通过征集设计方案，激发学生的内在动力。
先独立思考，独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者。
教学效果: 学生的设计会是多种多样的，这里列举具有代表性的几种。
2、学生自行设计和展现作品时，老师提出问题:(1)怎样知道你的设计是符合要求的,你能说明你的设计是符合要求的吗,(2)以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的,剩下的图形怎样通过计算来说明,3、引入本课的研究内容。
方案设计的对与否，数据是最好的说明，如何来计算数据，我们可以通过列一元二次方程来解决活动二:方案合理性验证: 选取如下三种设计方案:1) 如何设未知数,怎样列方程,2) 分组解答由前面两图所列的方程。
2.2配方法(3)
你能给出设计方 案吗? 案吗?
我—小明
,是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽 我的设计方案如图所示 其中花园四周小路的宽 都相等.通过解方程 我得到小路的宽为2m或 通过解方程,我得到小路的宽为 都相等 通过解方程 我得到小路的宽为 或12m. 你认为小明的结果对吗?为什么? 你认为小
1.在一幅长 在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条 在一幅长 宽 的风景画四周外围镶上一条 宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图. 宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景 画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是 画的面积是整个挂图面积的 . 多少? 多少? , 解:设金边的宽为 x cm,根据题 意得
(
)
独立 作业
知识的升华
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 墙长25m), 鸡场的一边靠墙(墙长 另外三边用木栏围成,木栏长 木栏长40m. 另外三边用木栏围成 木栏长
设养鸡场的长为xm,根据题意得 解:(2)设养鸡场的长为 设养鸡场的长为 根据题意得
独立 作业
知识的升华
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 鸡场的一边靠墙(墙 另外三边用木栏围成,木栏长 长25m),另外三边用木栏围成 木栏长 另外三边用木栏围成 木栏长40m. 设养鸡场的长为xm,根据题意得 解:(3)设养鸡场的长为 设养鸡场的长为 根据题意得
40 x x = 250. 2 即 2 40x + 500 = 0. x
25m 250m2
解 个 程知 这 方 , 这个方程无解 . x 答: 鸡 的 积 能 到 m2. 场 面 不 达 250 2 老师 提示:当方程 配方 ( x 20) = 100时, 特别 为 要注 , 意
设计打造小花园方案
设计打造小花园方案在城市生活中，我们往往被高楼大厦、水泥森林所包围，很难看到绿色的自然风光。
在这种情况下，一个小花园能为我们带来一丝清新自然的气息。
这里将提供一份小型花园设计打造方案，帮助你在有限的空间中创建一个绿色植物的小天地。
第一步：确定花园的尺寸和形状在开始设计之前，需要确定花园的尺寸和形状，这将直接影响到花园所能容纳的植物种类和数量。
对于一个小型花园，尽可能利用有限的空间，选择一个简单、对称的形状，如正方形或长方形，这样会更易于设计和布局。
花园的尺寸可以根据你想要种植的植物种类和花园所在的空间大小来确定。
第二步：选择合适的植物要选择适合小花园的植物，尤其是那些需要较少背景和较矮的植物。
多年生植物是在花费较小的情况下，享受到年复一年不断加深的美感。
基本上花园中应该有三种植物：垂直生长，丰富多彩，地面覆盖或地被植物。
这些植物可以彼此混搭，从而在小花园中得到完美的阴影和纵深。
如果你没有绿手指，那么寻找容易维护的植物也是明智的选择。
例如，多肉植物在炎热而干燥（也就是室内环境）的气候中生长得很好，很少需要浇水。
夏季开花的紫荆树、金黄色玉树、紫色的捕梦网藤、粉色的石楠、紫红色的玫瑰、薰衣草和春天开花的油松等植物也是优秀的选择。
第三步：考虑花园的布局和设计元素花园的布局应该简洁明了，但是有点点小巧思。
选用小型天然材料，例如沙石、鹅卵石或者草皮，在花园中制造一些有趣的设计元素，例如阶梯石阶、小路、花坛和微型水池等。
添加一个小小的花坛来种植一些花卉也是不错的选择，既能够提升花园的美感，又能够为花园添加一些色彩和气息。
另外，考虑在花园中设置一些家具和装饰品也不是一个坏主意。
一个矮躺椅、一张餐桌和几个小板凳，都可以为富有个性的小花园增添一份舒适和人性化的气息。
第四步：保持花园的健康和美观在设计和打造你的小花园之后，不要忘记总是保持它的健康和美观。
每周进行适量的浇水和修剪，及时清除杂草和干枯的植物，以便花园保持茁壮成长、健康、绿意盎然。
初中九年级数学 第二章一元二次方程学案设计及测试题
1、花边有多宽（1）设计人：温现国教师寄语：没有自信，成功远在天涯。
拥有自信，你已成功了一半。
【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。
2、能力培养：能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
【学习重点】1、一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
【学习过程】（教师寄语：自信是成功的前提！）一、前置准备：1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？2、多项式2x2-3x+1是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？二、自学探究：理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材42-43页，回答：（1）如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为m 根据题意，可得方程（2）试再找出其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：三、合作交流：观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；象这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c分别称为、、，a、b分别称为、。
1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（3）（与同学交流你的想法）四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。
五、当堂训练：1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：（1）2x 2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x 2+3x+1 （3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
矩形绿地中的花圃设计
新洋实验学校九年级数学教案学科数学主备人刘春雨复备人日期课题矩形绿地内的花圃设计课时数 1 教案类型新授教学目标感受一元一次方程、一元二次方程、相关几何图形等数学知识在生活中的应用价值通过动手设计，体会小组合作的优势及动手操作在数学学习中的作用经历由数学知识设计简单花圃的过程，提高了学生的动手能力，培养了创新能力，并让他们从中获得积极的情感体验教学重点用所学知识在绿地中设计花圃．教学难点通过计算设计面积为绿地一半的花圃，及有创新意识的设计方案教具准备教学过程教学设计二次备课一、情境引入生活中我们会看到很多奇特、漂亮的建筑物、广场、花圃，它们全都倾注着设计师们的创新设计元素及辛勤付出，然后向世人展示出设计师们丰富多彩的内心世界，它们是一种文化的体现，并充满着一个时代的特征．下面，就先让我们一起去领略一下设计师们的风采．播放幻灯片：第一组：自豪—展示中国优秀的建筑，激发学生强烈的民族自豪感第二组：深思—展示国外奇特的建筑，引发思考，为什么国外有这么多优秀的设计人才？提醒学生注重动手能力的培养，及数学思考的发展．第三组：赏心悦目—欣赏美丽的广场和花圃设计．在愉悦的氛围中激发学生设计的欲望．二、探索新知1、本节课，就让我们来做一次小小设计师，从最简单的绿地中的花圃设计开始，进入奇妙的设计世界．2、在长32m 宽24m 的矩形绿地中设计一个花圃．实践活动 1：设计花圃面积等于矩形面积的一半．选用学生身边的或是非常熟悉的情境，营造轻松和谐的学习氛围，既体现了数学与生活的联系，又拉近了师生间的距离，在愉悦的氛围中激发学生设计的欲望，一次设计之旅就此拉开帷幕让学生置一种轻松的氛围之中，形式上是在玩，但实质上是在应用数学，将知识传可以设计“矩形、菱形、正方形、正三角形”等形状的花圃．实践活动 2：设计一个矩形花圃，使四周的绿地等宽，且花圃面积等于矩形面积的一半，并计算花圃的长、宽．实践活动 3：为方便游客观赏，决定先在绿地中开辟横竖两条宽为2m的小路，然后在剩余的绿地上开辟花圃，使花圃面积等于剩余面积的一半，请你画出设计草图．三、拓展根据以上方案，要求小路将绿地分为4部分，在剩余的4部分绿地上开辟花圃，并满足以下2个条件．条件（1）设计的方案为轴对称图形（包括绿地、道路、花圃）条件（2）在绿地上开辟尽可能大的菱形花圃(菱形的边与矩形的对角线平行），并要求其中两个菱形的面积之差为19m2．根据以上2个条件，进行设计，并画出设计草图．四、小结通过本节课你对设计产生兴趣了吗？如果本节课能引起你对设计的兴趣，那以后它可能就是你人生旅途中一座新的航标．当然，从事设计工作也是很艰辛的，其实做什么事都一样，没有辛勤的付出就无法到达胜利的彼岸．五、完成调查问卷授寓于近似于游戏的活动中．在此过程中，又进行了合理的小组合作学习，充分体现了学生为学习的主体，符合新课程理念．展示学生设计作品．这部分是对学生思维能力的一个训练和提高，虽然说数学活动课的主要目的是培养学生对数学学习的兴趣，但如果知识过于简单没有适当的挑战性，反而会让部分学生厌烦，从而失去它应有的效应作业教学反思本节课的第一个实践活动，学生动手操作，利用准备好的矩形纸片在上面设计一个面积等于矩形面积一半的花圃．动手操作后，学生有了一些感性认识，可以在中间设计一个面积等于矩形一半的三角形、菱形、圆等学生熟悉的图形，也可以将矩形一分为二．这时候我提出“如果在中间设计三角形、菱形那么它们的顶点有什么特征吗？如果直接将矩形一分为二，分割线又有什么特征呢？”对于这些问题，学生积极思考，各抒己见．这节课本人对每一个活动的设计都是先由学生动手操作，得到一些感性认识，再进行理性思考，联系已有的知识得出有关数学结论．也就是活动不只是动手操作，数学活动中更有数学思考的含量。
人教版九年级数学上册《配方法的应用》专项练习题-附带答案
人教版九年级数学上册《配方法的应用》专项练习题-附带答案类型一 配方法求字母的值1．如果221016890x y x y +--+= 求x y的值． 【答案】58 【解析】【分析】先将89拆成64+25 然后配成两个完全平方式相加 再根据非负数的性质“两个非负数相加和为0 这两个非负数的值都为0” 解出x 、y 的值即可求解．【详解】解：由已知221016890x y x y +--+=得()()22580x y -+-=()()225=080x y ∴--=， 5,8x y ∴==58x y ∴=． 【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质 解题关键是掌握两个非负数相加和为0 这两个非负数的值都为0．2．阅读下列材料：对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式 例如：把x 2 + 6x ﹣16分解因式 我们可以这样进行：x 2 + 6x ﹣16=x 2 +2·x ·3+32-32﹣16（加上32 再减去32）=(x +3)2-52（运用完全平方公式）=(x +3+5)(x +3﹣5) （运用平方差公式）=(x +8)(x ﹣2)（化简）运用此方法解决下列问题：（1）把x 2﹣8x ﹣9分解因式．（2）已知：a 2+b 2﹣6a +10b +34＝0 求多项式4a 2 +12ab +9b 2的值．【答案】（1）()()19x x +-；（2）81【解析】【分析】（1）按照阅读材料的方法进行因式分解即可；（2）利用配方法把原式变形得()()22350a b -++= 从而可得3a =5b =- 再由()222412923a ab b a b ++=+ 进行求解即可． 【详解】解：（1）289x x --22224449x x =-⋅⋅+--()2245x =--()()4545x x =-+--()()19x x =+-；（2）∵22610340a b a b +-++=∵226910250a a b b -++++=∵()()22350a b -++=∵3a = 5b =-∵()()222241292361581a ab b a b ++=+=-=．【点睛】本题考查的是配方法的应用 掌握完全平方公式和平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．3．已知a －b ＝2 ab ＋2b －c 2＋2c ＝0 当b ≥0 －2≤c ＜1时 整数a 的值是_____．【答案】2或3【解析】【分析】由a −b ＝2 得出a ＝b ＋2 进一步代入2220ab b c c +-+= 利用完全平方公式得到()()222130b c +---= 再根据已知条件求出b 的值 进一步求得a 的值即可． 【详解】解：∵a −b ＝2∵a ＝b ＋2∵222ab b c c +-+()2222b b b c c =++-+()2242b b c c =+--()()22213b c =+---＝0∵()()22213b c +=-+∵b ≥0 −2≤c ＜1∵310c -≤-<∵()2019c <-≤∵()231312c <-+≤∵3＜()22b +≤12∵a 是整数∵b 是整数∵b ＝0或1∵a ＝2或3故答案为：2或3．【点睛】此题考查配方法的运用 掌握完全平方公式是解决问题的关键．4．若a ＝x ＋19 b ＝x ＋20 c ＝x ＋21 则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝___________．【答案】3【解析】【分析】先利用已知条件求解,,,a b b c a c 再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦ 再整体代入求值即可. 【详解】 解： a ＝x ＋19 b ＝x ＋20 c ＝x ＋211,1,2,a b b c a c∴ a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝()22222221222a b c ab bc ac ++--- 22222212222a ab b b bc c a ac c 22212a b b c a c 222111126322故答案为：3【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点求解代数式的值 因式分解的应用 掌握“完全平方式的特点”是解题的关键.5．阅读材料：若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9＝0 求m 和n 的值．解：∵m 2+2mn +2n 2﹣6n +9＝0∵m 2+2mn +n 2+n 2﹣6n +9＝0∵（m +n ）2+（n ﹣3）2＝0∵m +n ＝0且n ﹣3＝0∵m ＝﹣3 n ＝3根据你的观察 探究下面的问题：（1）若x 2+2xy +2y 2﹣2y +1＝0 求x 、y 的值；（2）已知a b c 是∵ABC 的三边长 满足a 2+b 2＝10a +12b ﹣61 且∵ABC 是等腰三角形 求c 的值．【答案】（1）x =-1 y =1；（2）5或6【解析】【分析】（1）仿照材料的过程进行凑成两个非负数的和为0 即可求得结果；（2）仿照材料的过程进行凑成两个非负数的和为0 即可分别求得a和b的值再根据等腰三角形的性质可求得c的值．【详解】（1）∵x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0∵x2+2xy+y2+y2﹣2y+1＝0∵（x+y）2+（y﹣1）2＝0∵x+y＝0且y﹣1＝0∵x＝﹣1 y＝1（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61∵a2+b2－10a－12b＋61＝0∵（a－5）2+（b﹣6）2＝0∵a－5＝0且ｂ﹣6＝0∵a＝5 b＝6∵∵ABC是等腰三角形∵c=a=5或c=b=6即c的值为5或6.【点睛】本题是材料问题考查了配方法的应用平方非负性的性质等腰三角形的性质等知识关键是读懂材料中提供的解题过程和方法．6．在平面直角坐标系xOy中满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x y)的个数为_____．【答案】9【解析】【分析】由已知不等式变形后利用完全平方公式化简根据x与y均为整数确定出x与y的值即可得到结果．【详解】解：由题设x2+y2≤2x+2y得0≤（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2因为x y 均为整数 所以有或22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩或22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩或22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩ 解得：11x y =⎧⎨=⎩ 或12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩或20x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩ 以上共计9对（x y ）．故答案为：9．【点睛】本题考查坐标与图形的性质、配方法的应用、非负数的性质等知识 是重要考点 掌握相关知识是解题关键．7．阅读下面的材料：若22228160m mn n n -+-+= 求m n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=．()()22228160m mn n n n ∴-++-+=．22()(4)0m n n ∴-+-=． 2()0m n ∴-= 2(4)0n -=．4n ∴= 4m =．根据你的观察 探究下列问题：（1）已知等腰三角形ABC 的两边长a b 都是正整数 且满足221012610a b a b +--+= 求ABC 的周长；（2）已知6a b -= 216730ab c c +-+= 求a b c ++的值．【答案】（1）ABC 的周长为16或17；（2）8a b c ++=【解析】【分析】（1）根据题中所给方法把221012610a b a b +--+=进行配方求解a 、b 的值 然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由6a b -=可知6b a =- 然后代入等式可得()2616730a a c c -+-+= 进而根据配方即可求解．【详解】解：（1）∵221012610a b a b +--+=∵22102512360a a b b -++-+=∵()()22560a b -+-=∵50,60a b -=-=∵5,6a b ==∵等腰三角形ABC 的两边长a b 都是正整数∵当5a =为腰 则6b =为底 满足三角形三边关系 故ABC 的周长为5+5+6=16；当6b =为腰 则5a =为底 满足三角形三边关系 故ABC 的周长为5+6+6=17；（2）∵6a b -=∵6b a =-∵()221673616730ab c c a a c c +-+=-+-+=226916640a a c c -++-+=()()22380a c -+-=∵30,80a c -=-=∵3,8a c ==∵363b =-=-∵8a b c ++=．【点睛】本题主要考查配方法的应用 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．类型二 配方法求最值8．已知y =x y 均为实数） 则y 的最大值是______．【答案】【解析】【分析】将根据题意0y ≥ 14x ≤≤ 原式y = 可得248y ≤≤故2y ≤≤进而即可求得最大值.【详解】解：0y ≥ 15x ≤≤ 244y =+=+248y ∴≤≤．0y ≥2y ∴≤≤∴y的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的求值问题 配方法的应用 解本题的关键是通过y 2为媒介求得y 的取值范围从而找出最大最小值.9．已知实数m n 满足21m n -= 则代数式22242m n m ++-的最小值等于___________．【答案】3【解析】【分析】由21m n -=可得21,n m 再代入22242m n m ++- 再利用配方法配方 从而可得答案.【详解】 解： 21m n -=21,n m ()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m()23133,m =+-≥ 所以22242m n m ++-的最小值是3故答案为：3【点睛】本题考查的是代数式的最值 配方法的应用 熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键. 10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式 此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙 即三角形的三边长分别为a b c 记2a b c p ++= 则其面积S =这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p = 2c = 则此三角形面积的最大值是_________．【解析】【分析】根据公式算出a +b 的值 代入公式 根据完全平方公式的变形即可求出解．【详解】解：∵2a b c p ++=p =3 c =2 ∵232a b ++= ∵a +b =4∵a =4−b∵S∵当b =2时 S【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用 解答本题的关键是明确题意 表示出相应的三角形的面积．二、解答题(共0分)11．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段 得到局部完全平方式 再进行有关运算和解题 这种解题方法叫做配方法．如：对于268a a ++．(1)用配方法因式分解：223x x +-；(2)对于代数式2128x x - 有最大值还是最小值？并求出2128x x-的最大值或最小值．【答案】(1)()()31x x +-(2)代数式2128x x -有最大值 最大值为18- 【解析】【分析】（1）先用配方法 再用平方差公式分解即可；（2）先利用配方法变形 根据偶次方的非负性可知最小值 继而即可求得2128x x-的最大值． (1)223x x +-2214x x =++- ()214x =+- ()()1212x x =+++-()()31x x =+-；(2)∵228x x -()224x x =-()22444x x =-+-()2224x ⎡⎤=--⎣⎦()2228x =--∵当2x =时 ()2228x --即228x x -有最小值-8∵代数式2128x x -有最大值 最大值为18-． 【点睛】本题考查配方法在因式分解中的应用及代数式求值 解题的关键是熟练掌握配方法． 12．阅读下面的解答过程 求y 2＋4y ＋5的最小值．解：y 2＋4y ＋5＝y 2＋4y ＋4＋1＝（y ＋2）2＋1∵（y ＋2）2≥0 即（y ＋2）2的最小值为0∵y2＋4y＋5＝（y＋2）2＋1≥1∵y2＋4y＋5的最小值为1仿照上面的解答过程求：（1）m2﹣2m＋2的最小值；（2）3﹣x2＋2x的最大值．【答案】（1）1；（2）4【解析】【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形根据偶次方的非负性解答即可．（2）利用完全平方公式把原式变形根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）m2﹣2m＋2=m2-2m+1+1=（m-1）2+1∵（m-1）2≥0∵（m-1）2+1≥1 即m2﹣2m＋2的最小值为1；（2）3-x2+2x=-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4∵（x-1）2≥0∵-（x-1）2≤0∵-（x-1）2+4≤4 即3-x2+2x的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．13．配方法可以用来解一元二次方程还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．解：∵﹣3（a+1）2≤0 ∵﹣3（a+1）2+6≤6 ∵﹣3（a+1）2+6有最大值6 此时a＝﹣1．(1)当x＝时代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．(2)当x＝时代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．(3)如图矩形花园的一面靠墙另外三面的栅栏所围成的总长度是16m 当垂直于墙的一边长为多少时花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)1 小3(2)2 大7(3)当垂直于墙的一边长为4米时花园有最大面积为32【解析】【分析】（1）先根据平方的性质求出代数式的取值范围再进行分析计算即可；（2）先配方把多项式变成完全平方形式再进行分析计算；（3）根据总长为16m 构造方程求解即可．(1)解：∵2（x﹣1）2≥0∵2（x﹣1）2+3≥3∵当x＝1时代数式有最小值为3．故答案为：1 小3．(2)解：﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3＝﹣（x﹣2）2+7∵﹣（x﹣2）2≤0∵﹣（x﹣2）2+7≤7∵当x＝2时代数式有最大值为7．故答案为：2 大7．(3)解：设垂直于墙的一边长为x m 则平行于墙的一边长为（16﹣2x）m花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x）＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）＝﹣2（x﹣4）2+32∵﹣2（x﹣4）2≤0∵﹣2（x﹣4）2+32≤32∵当x＝4时代数式有最大值为32即当垂直于墙的一边长为4米时花园有最大面积为32．【点睛】本题主要考查配方法的实际运用解题的关键在于通过配方法把代数式化成完全平方式再进行分析．类型三配方法在几何图形中的应用14．如图∵ABC＝90° AC＝6 以AB为边长向外作等边∵ABM连CM则CM的最大值为________________．【答案】3##3+【解析】【分析】过点M作MD∵BC交BC的延长线于点D设AB＝x利用勾股定理表示出BC利用解直角三角形表示出MD BD再利用勾股定理求得CM的长根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．【详解】如图 过点M 作MD ∵BC 交BC 的延长线于点D设AB ＝x 则BC∵∵ABM 是等边三角形∵BM ＝AB ＝x ∵ABM ＝60°∵∵ABC ＝90°∵∵MBD ＝30°∵MD ∵BC1122MD BM x ∴==BD x ==在Rt∵MDC 中CM =∵当x 2＝18时 CM369723+∵CM 的最大值为：3．故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理以及配方法 掌握配方法求出最值是解题的关键．15．已知点P 的坐标为（2 3） A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点 且90APB ∠=︒C 为AB 的中点 当OC 最小时则点B 的坐标为____．【答案】(0,3)【解析】【分析】利用中点坐标公式将C 点坐标表示出来后 运用勾股定理222AP PB AB +=得到y 与x 的关系式再将OC 的长度用含有y 的式子表示出来 利用配方法即可求出当OC 最小时点B 的坐标．【详解】解：设A 点坐标为(,0)x B 点坐标为(0,)y 则中点C 点坐标为(,)22x y；∵90APB ∠=︒∵222AP PB AB +=∵2222(2)94(3)x y x y -+++-=+化简得：2313x y +=1332yx -=∵12OC ==将1332yx -=代入上式得：12OC =变形得：OC∵当3y =时 OC 最小 此时B 点坐标为(0,3)．故答案为(0,3)．【点睛】本题主要考查运用配方法求解动点问题 正确理解题意、熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键 属于综合类问题．16．已知：如图 在Rt ABC 中 90B ∠=︒ 8cm AB BC ==．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动 同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1cm/s 的速度移动．（1）求几秒后 PBQ △的面积等于26cm（2）求几秒后 PQ 的长度等于？（3）求几秒后 PQ 的长度能取得最小值 其最小值为多少cm ？【答案】（1）2秒或6秒；（2）1秒或7秒；（3）4 【解析】【分析】（1）设运动时间为x 秒 则8PB x =- PQ x = 根据三角形面积公式列出方程即可；（2）设运动时间为y 秒 则8PB y =- PQ y = 根据勾股定理列出方程即可；（3）设运动时间为t 秒 则8PB t =- PQ t = 根据勾股定理列出2PQ 的式子 根据配方法即可求得最小值；【详解】（1）设运动时间为x 秒 则8PB x =- PQ x = 根据题意得：()1862x x -= 解得122,6x x ==答：2秒或6秒后 PBQ △的面积等于26cm（2）设运动时间为y 秒 则8PB y =- PQ y =90B ∠=︒在Rt PQC 中222PQ PB BQ =+(()2228y y =-+ 解得121,7y y ==答：1秒或7秒后 PQ 的长度等于（3）设运动时间为t 秒 则8PB t =- PQ t =90B ∠=︒在Rt PQC 中222PQ PB BQ =+22(8)t t =-+221664t t =-+22(816)32t t =-++22(4)32t =-+32≥∴当4t =时 取得最小值为PQ ==即4秒后 PQ 取得最小值 最小值为【点睛】本题考查了一元二次方程的应用 配方法的应用 根据题意列出方程是解题的关键．17．配方法在初中数学中运用非常广泛 可以求值 因式分解 求最值等．如：求代数式的最值：2222(1)1x x x 在1x =-时 取最小值1（1）求代数式24x x -的最小值．（2）2245x x --+有最大还最小值 求出其最值．（3）求221x x +的最小值．（4）22614a b ab b ++-+的最小值．（5）三角ABE 和三角形DEC 的面积分别为4和9 求四边形ABCD 的面积最小值．【答案】（1）-4；（2）有最大值 且为7；（3）2；（4）2；（5）25【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）利用配方法变形 可得最值；（5）设S △BEC =x 由等高三角形可知：S △BEC ：S △CED =S △AEB ：S △AED从而可得S △AED =36x再将四边形ABCD 的面积变形得到21312++ 可得结果．【详解】解：（1）()222444424x x x x x -=-+-=--∵在x =2时 有最小值-4；（2）2245x x --+=()2225x x -++=()222115x x -++-+=()2217x -++∵当x =-1时 有最大值 且为7；（3）221x x +=2221x x ⎛⎫⎪⎭+-≥⎝∵当x =1时 221x x +的最小值为2；（4）22614a b ab b ++-+ =22213612244a ab b b b +++-++ =()22134224a b b ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭当a =-2 b =4时 代数式有最小值2；（5）设S △BEC =x 已知S △AEB =4 S △CED =9则由等高三角形可知：S △BEC ：S △CED =S △AEB ：S △AED∵x ：9=4：S △AED∵S△AED=36 x∵四边形ABCD面积=4+9+x+36x=21312++∵当x=36时四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的需要正确变形才可以应用本题中等难度略大．。
如何建立自家的花坛或花墙
如何建立自家的花坛或花墙？
建立自家的花坛或花墙是一个既美观又实用的项目，可以增加家居的绿化和美化程度。
以下是一些步骤和建议，帮助您完成这个项目。
1. 确定位置和大小
在开始设计之前，您需要确定花坛或花墙的位置和大小。
选择一个阳光充足、通风良好的位置，并根据您的空间和喜好确定大小。
2. 规划设计
在开始建造之前，您需要有一个清晰的设计计划。
考虑使用各种不同颜色、形状和质地的植物，以创造出生动、有趣的视觉效果。
您还可以考虑添加装饰物，如小雕塑、灯饰或座椅，以增加花坛或花墙的吸引力。
3. 准备土壤和植物
土壤的质量对植物的生长至关重要。
确保土壤富含有机物、排水良好，并适合您想要种植的植物。
购买适合您所在地区的植物，并确保它们健康且适应土壤和气候条件。
4. 建造基础结构
如果您打算建造花坛或花墙，您需要建造一个坚实的基础结构。
这可以是一个简单的矩形或圆形花坛，或者一个更复杂的设计，如网格状或曲线形状。
确保基础结构牢固，能够承受土壤和植物的重量。
5. 种植植物
将植物种植在花坛或花墙中。
确保植物排列整齐、间距适当，并
为它们提供足够的空间以生长和繁茂。
根据植物的种类和生长需求，定期进行浇水、施肥和修剪。
6. 维护和保养
一旦您的花坛或花墙建成并开始种植，您需要定期进行维护和保养。
这包括修剪枝叶、清理杂草、定期浇水施肥等。
保持植物健康、美丽和持久。
通过遵循这些步骤和建议，您可以成功地建立自家的花坛或花墙，为家居增添一份自然美和生机。
专题1.2 二次函数的图象【六大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.2 二次函数的图象【六大题型】【浙教版】【题型1 二次函数的配方法】 (1)【题型2 二次函数的五点绘图法】 (4)【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 (9)【题型4 二次函数图象的平移变换】 (12)【题型5 二次函数图象的对称变换】 (14)【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】 (16)【题型1 二次函数的配方法】【例1】（2022秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y=12x2﹣2x+3；（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：（1）y=12x2﹣2x+3=12（x﹣2）2+1，开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标（2，1）；（2）y＝（1﹣x）（1+2x）＝﹣2x2+x+1＝﹣2（x―14）2+98，开口向下，对称轴是直线x=14，顶点坐标（14，98）．【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标．（1）y＝2x2﹣8x+7；（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；（3）y＝2x2﹣12x+8；（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．【分析】（1）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；（2）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；（4）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标．【解答】解：（1）y＝2（x2﹣4x）+7＝2（x2﹣4x+4﹣4）+7＝2（x﹣2）2﹣1，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）；（2）y＝﹣3（x2+2x）+7＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+7＝﹣3（x+1）2+10，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，10）；（3）y＝2x2﹣12x+8＝2（x2﹣6x+9﹣9）+8＝2（x﹣3）2﹣10，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，﹣10）；（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）＝﹣3（x2﹣2x﹣15）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1﹣15）＝﹣3（x﹣1）2+16 3，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，163）．【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并写出他们顶点坐标及最大值或最小值．（1）y＝﹣2x﹣3+1 2 x2（2）y＝﹣2x2﹣5x+7（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而求出函数图象的顶点坐标及最值．【解答】解：（1）y＝﹣2x﹣3+1 2 x2=12（x2﹣4x+4）﹣2﹣3=12（x﹣2）2﹣5，顶点坐标是（2，﹣5），最小值是﹣5；（2）y＝﹣2x2﹣5x+7＝﹣2（x2+52x+2516）+258+7＝﹣2（x+54）2+818，顶点坐标是（―54，818），最大值是818；（3）y＝ax2+bx+c＝a（x2+bax+b24a2）―b24a+c＝a（x+b2a）2+4ac b24a，顶点坐标是（―b2a，4ac b24a），当a＜0时，最大值是4ac b24a；当a＞0时，最小值是4ac b24a．【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0时，5a2+1有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即当a＝1时，﹣5（a2+1）+6有最大值6．（1）当x＝ 2 时，代数式﹣3（x﹣2）2+4有最 大 （填写大或小）值为 4 ．（2）当x＝ 2 时，代数式﹣x2+4x+4有最 大 （填写大或小）值为 8 ．（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）由完全平方式的最小值为0，得到x＝2时，代数式的最大值为4；（2）将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；（3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为14m，表示出平行于墙的一边为（14﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2≥0，∴当x＝2时，（x﹣2）2的最小值为0，则当x＝2时，代数式﹣3（x﹣2）2+4的最小值为4；（2）代数式﹣x2+4x+4＝﹣（x﹣2）2+8，则当x＝2时，代数式﹣x2+4x+4的最大值为8；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（14﹣2x）m，∴花园的面积为x（14﹣2x）＝﹣2x2+14x＝﹣2（x2﹣7x+494）+492=―2（x―72）2+492，则当边长为3.5米时，花园面积最大为492m2．故答案为：（1）2，大，4；（2）2，大，8；【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…52125…（1）求该二次函数的表达式；（2）当x＝6时，求y的值；（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．【分析】（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，利用待定系数法即可解决问题．（2）把x＝6代入（1）中的解析式即可．（3）利用描点法画出图象即可．【解答】解：（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，∵x＝0时，y＝5，∴5＝4a+1，∴a＝1，∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+1即y＝x2﹣4x+5．（2）当x＝6时，y＝（6﹣2）2+1＝17．（3）函数图象如图所示，．【变式2-1】（2022•竞秀区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3（1）求出该抛物线顶点坐标．（2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．x……y……【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；（2）利用描点法画出二次函数的图象．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故该抛物线顶点坐标为：（1，﹣4）；（2）如图所示：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…．【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过（﹣1，1）．（1）求出这个函数的表达式；（2）画出该函数的图象；（3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴．【分析】（1）直接把（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2中求出a的值即可得到抛物线解析式；（2）利用描点法画函数图象；（2）根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）把（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2得a﹣2＝1，解得a＝3，所以抛物线解析式为y＝3x2﹣2；（2）如图：（3）抛物线的开口向上，顶点坐标为（0，﹣2），对称轴为y轴．【变式2-3】（2022•越秀区模拟如图，已知二次函数y=―12x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x 轴的另一个交点；（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．【分析】（1）根据图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点，把两点代入即可求出b 和c ，（2）把二次函数写成顶点坐标式，据此写出顶点坐标，对称轴等，（3）在坐标轴中画出图象即可．【解答】解：（1）∵的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点，∴―2+2b +c =0c =―6，解得b ＝4，c ＝﹣6，∴这个二次函数的解析式为y =―12x 2+4x ―6，（2）y =―12x 2+4x ―6=―12（x 2﹣8x +16）+8﹣6=―12（x ﹣4）2+2，∴二次函数图象的顶点坐标为（4，2）、对称轴为x ＝4、二次函数图象与x 轴相交时：0=―12（x ﹣4）2+2，解得：x ＝6或2，∴另一个交点为：（6，0），（3）作图如下．【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3】（2022春•玉山县月考）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；故选：C．【变式3-1】（2022•邵阳县模拟）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象得出a，b的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案．【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．【变式3-2】（2022•凤翔县一模）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（ ）A．B．C．D．【分析】由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，∴二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象开口向上，对称轴x=―k2a在y轴的右侧，交y轴的负半轴，∴B选项正确，故选：B．【变式3-3】（2022•澄城县三模）已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图中三个图象之一，则m的值为（ ）A．2B．±2C．﹣3D．﹣2【分析】可根据函数的对称轴，以及当x＝0时，y的值来确定符合题意的函数式，进而确定m的值．【解答】解：∵y＝mx2+nx+m2﹣4，∴x=―n2m，因为n＜0，所以对称轴不可能是x＝0，所以第一个图不正确．二，三两个图都过原点，∴m2﹣4＝0，m＝±2．第二个图中m＞0，开口才能向上．对称轴为：x=―n2m＞0，所以m可以为2．第三个图，m＜0，开口才能向下，x=―n2m＜0，而从图上可看出对称轴大于0，从而m＝﹣2不符合题意．故选：A．【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】（2022•绍兴县模拟）把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，则a+b+c＝ 3 ．【分析】先得到抛物线y＝（x﹣3）2+5的顶点坐标为（3，5），通过点（3，5）先向左平移2个单位再向下平移2个单位得到点的坐标为（1，3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式，再把解析式化为一般式即可得到a、b和c的值．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+5，∴顶点坐标为（3，5），把点（3，5）先向左平移2个单位再向下平移2个单位得到点的坐标为（1，3），∴原抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，∴a＝1，b＝﹣2，c＝4．∴a+b+c＝3，故答案为3．【变式4-1】（2022•澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（ ）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【分析】根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2的顶点坐标是（3，0），抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3），所以将顶点（3，0）向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点（2，3），即将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象．故选：C．【变式4-2】（2022秋•滨江区期末）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 2 ．【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后整体代入求值即可．【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．【变式4-3】（2022•澄城县二模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2，将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点（0，﹣1），则k的值为（ ）A．3B．4C．2D．6【分析】根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式，利用待定系数法求得k的值．【解答】解：由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．∵对称轴为直线x＝2，∴1a2=2．解得a＝3．则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．∴抛物线向下平移k个单位后经过（0，﹣1），∴﹣1＝3﹣k．∴k＝4．故选：B．【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】（2022•绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．﹣5B．3C．5D．15【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，∴﹣y＝﹣x2﹣（2a﹣b）x﹣b﹣1，∴―(2a―b)=a+b ―b―1=a―4，解得a＝0，b＝3，∴a+b＝3，故选：B．【变式5-1】（2022•苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 y＝﹣（x﹣2）2 ．【分析】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2顶点坐标为（﹣2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，∴抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2．故答案是：y＝﹣（x﹣2）2．【变式5-2】（2022•蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2【分析】先利用配方法得到抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），再写出点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），由于旋转180°，抛物线开口相反，于是得到抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），所以抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．故选：A．【变式5-3】（2022春•仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（ ）A．﹣1或3B．1或﹣2C．1或3D．1或2【分析】先求出抛物线L1的顶点坐标，再根据顶点相距8个单位长度列方程即可解得答案．【解答】解：∵y＝kx2+4kx+8＝k（x+2）2+8﹣4k，∴抛物线L1：y＝kx2+4kx+8顶点为（﹣2，8﹣4k），∵抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，它们的顶点相距8个单位长度，∴8﹣4k=82或8﹣4k=―82，解得k＝1或k＝3，故选：C．【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】【例6】（2022•苍溪县模拟）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）A．a＝±1B．a＝1C．a＝﹣1D．a＝0【分析】把（0，0）代入函数解析式求出a的值，再由a﹣1≠0求解．【解答】解：把（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1得0＝a2﹣1，解得a＝1或a＝﹣1，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣1，故选：C．【变式6-1】（2022•合肥模拟）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 7或15 ．【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，可知顶点的纵坐标的绝对值是4，然后计算即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，∴|4×1×(c2)(6)24×1|＝4，解得c1＝7，c2＝15，故答案为：7或15．【变式6-2】（2022•襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B （m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为 4 ．【分析】根据题意得出b＝﹣2（m+1），c＝（m+1）2，即可得出y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A 的坐标代入即可求得n的值．【解答】解：∵点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数y＝x2+bx+c图象上，∴―b2=m1m32，∴b＝﹣2（m+1），∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，∴b2﹣4c＝0，∴[﹣2（m +1）]2﹣4c ＝0，∴c ＝（m +1）2，∴y ＝x 2﹣2（m +1）x +（m +1）2，把A 的坐标代入得，n ＝（m ﹣1）2﹣2（m +1）（m ﹣1）+（m +1）2＝4，故答案为：4．【变式6-3】（2022•公安县期中）已知二次函数y ＝x 2+mx +m ﹣1，根据下列条件求m 的值．（1）图象的顶点在y 轴上．（2）图象的顶点在x 轴上．（3）二次函数的最小值是﹣1．【分析】（1）将二次函数配方成顶点式y ＝（x +m 2）2―m 24m 44，由图象的顶点在y 轴上可得―m 2=0，即m ＝0；（2）由图象的顶点在x 轴上可得m 24m 44=0，解之即可；（3）由二次函数的最小值是﹣1可得―m 24m 44=―1，解之即可．【解答】解：（1）y ＝x 2+mx +m ﹣1＝x 2+mx +m 24―m 24+m ﹣1＝（x +m 2）2―m 24m 44，∴抛物线的顶点坐标为（―m 2，―m 24m 44）∵图象的顶点在y 轴上，∴―m 2=0，即m ＝0；（2）∵图象的顶点在x 轴上，∴m 24m 44=0，解得m ＝2；（3）∵二次函数的最小值是﹣1，∴―m 24m 44=―1，解得：m ＝0或m ＝4．。
数学活动矩形绿地中的花圃设计苏科版数学九年级上册
你能设计吗
• 在一块长是32m、宽是 24m的矩形绿地内，要围 出一个花圃，花圃的面积 是矩形面积的一半。你能 给出设计方案吗？
设计思路：
• 设计花圃面积等于矩形面积的一半 • 可以设计“矩形、菱形、正方形、正
三角形、圆形等形状的花园。
设计问题1：在一块长是32m、宽是 24m 的矩形绿地内，要围出一个圆形花圃，花圃
矩形绿地中花圃的设计
歪屋建于2004年。屋子的正面是一 张人脸，让人想起蒙克的作品《呐喊》
里的那张脸。
请 欣 赏
阿尔卑斯山上的度假屋
请 欣 赏
澳大利亚---------掉屋
荷兰---------磨具屋
北京首都机场
杭州湾跨海大桥
天安门广场景观设计
我们身边的各种设计
• 欣赏了以上的建筑与景观设计图案， 今天我们也来做一次小小的设计师，
• 1、本节课的学习思路是什么？ • 问题情境—建立模型—求解—解释与应用”
的基本过程。 • 2、在学习中大家用了什么数学知识点。 • 3、体验了数学来源于生活，应用于生活。
宇宙之大，粒子之微，火箭之速， 化工之巧，地球之变，生物之谜， 日用之繁，无处不用数学。
--华罗庚 •
谢谢！
的面积是矩形面积的一半，是否可行？Leabharlann 2432设计问题2：
• 设计一个矩形花圃，使四周的绿地等宽， 且花圃面积等于矩形面积的一半，并计 算花圃的长、宽。
设计问题3
• 改变设计方案，为了方便游客观赏，决 定先在绿地中开辟横竖两条宽为2m的小 路，然后在剩余的绿地上开辟花园，使 花园的面积等于剩余面积的一半。请你 画出设计草图，并计算花圃的面积。
设计打造小花园方案
设计打造小花园方案随着城市化的加剧，人们越来越渴望拥有一块属于自己的小天地。
于是，小花园成为了越来越多人的选择。
设计打造一块小花园需要考虑很多方面，例如：空间大小、日照程度、种植植物等等。
本文将为您带来设计打造小花园的方案，希望能帮助您更好地规划自己的小花园。
第一步：规划空间首先要考虑的是花园的大小。
一般来说，小花园的大小在20至50平米之间比较适宜。
如果您只有很小的空间，也可以考虑使用垂直种植方式，如悬挂花盆或者利用墙面进行种植。
可以使用画图软件或手绘图纸帮助您规划出花园的布局。
同时，要根据花园的位置和周边环境来考虑采光、通风等情况，以便后续种植。
第二步：选择植物选择植物也是设计小花园时需要考虑的重要因素。
要根据花园光照、空间大小、气候等因素来选择合适的植物。
一般来说，可以选用地被植物、灌木植物、攀爬植物、花卉等进行组合配植。
选择植物时，要注意植物的高度、颜色、花期等等特点，让小花园显得更加丰富多彩。
第三步：配合装饰对于小花园的装饰，建议采用自然、简约、舒适的风格。
可以选择一些透气性好、应变性强、装饰效果优美的材料，如木质材料或者石材。
同时，也可以在草坪或者花坛周围摆放一些装饰物，比如小石塔、石头桥等，让小花园充满田园气息。
第四步：维护管理小花园打造好了，接下来就是维护管理的问题。
要定期浇水、施肥、剪枝、防虫等等。
针对不同的植物有不同的要求，在维护时要注意按照植物的要求进行，细心呵护。
此外，如果不想花费太多精力进行维护，可以考虑选择一些易养护的植物。
结语小花园的设计打造不仅是一项艺术活动，更是一种生活方式。
在打造小花园的过程中，要考虑周全，从空间规划、植物选择、装饰配搭到维护管理，都需要一份耐心和细心去完成。
希望这篇文章能够让您在打造自己的小花园过程中，更加得心应手，收获更好的体验。
数学活动—矩形绿地中的花圃设计
目标：1．通过矩形绿地中的花圃设计,使学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程，加深对方程等相关数学知识的理解.2．通过开放性问题的教学，激发学生的创新思维和审美情趣.重点：按要求独立设计（方案、图案、方法、数据）.难点：创新思维和审美情趣培养.活动：在一块长32m 、宽24m 的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积为矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？1．在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等.计算绿地的宽.()()().4:.,24,4,,09628,,243221224232,.:212m x x x x x x xcm 绿地的宽为答舍去不合题意得解这个方程得整理得根据题意设绿地的宽为解===+-⨯⨯=--2．探索：再设计两种不同的方案（给出详细的设计方案，包括画出图案和计算出相关数据）. 建议：有创新，图案美观，可作适当填涂、标注（1）把花圃设计为菱形，菱形的四个顶点分别为矩形绿地的四边的中点；243221⨯⨯=花圃S（2）把花圃设计为半径为R 的圆形，圆心与矩形中心重合，.06.11384,3842432212m R R ≈==⨯⨯=ππ（3）把绿地设计为四个扇形，圆心分别为矩形绿地的顶点，半径R ≈11.06m.3．交流设计方案，说一说你为什么要设计这样的方案，它有哪些特点.班级姓名学号在一块长32m、宽24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积为矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？1．在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等.计算绿地的宽.2．探索：再设计两种不同的方案（给出详细的设计方案，包括画出图案和计算出相关数据）. 3．交流设计方案，说一说你为什么要设计这样的方案，它有哪些特点.。
设计花园方案
设计花园方案设计花园方案是一项复杂的工作，需要考虑到诸如花园的面积、花卉品种、景观结构等多个因素。
在本文中，我们将介绍如何设计一个优美而实用的花园方案。
第一步：确定花园面积首先，我们需要测量花园的面积。
这可以通过使用测量仪器或者简单的直尺进行测量。
测量好花园的面积之后，我们就可以着手规划花园方案。
第二步：确定花卉品种及数量接下来，我们需要选择适用于花园的花卉品种。
这可以由专业园艺师或者花卉爱好者进行。
在选择花卉品种时，需要考虑到花卉的生长习性、花期、花色、草皮适应性等因素。
最后，还需要确定各种花卉的数量，以便正确布局花园。
第三步：规划花园在规划花园时，需要考虑到花卉的生长需求。
比如，有些植物需要充足的阳光，而有些植物则需要遮荫环境。
此外，还需要考虑到花园的结构和布局。
应该让花园产生某种美感，比如平衡性、对称性等等。
第四步：制定花园建设计划在确定好花园的布局后，就需要制定花园建设计划。
这可以由业余爱好者或者专业园艺师进行。
在制定花园建设计划时，需要考虑到以下几点：•选购并运输花卉；•布置草皮；•建造花坛；•安装灯光设施；•安装喷泉；•维护花卉及草皮的日常工作。
第五步：花园日常维护设计出优美的花园方案之后，还需要进行日常维护工作。
这包括浇水、施肥、修剪草皮、清除杂草、除虫等等。
花园维护工作需要依据不同季节的不同需求进行，而且要时刻注意花卉的健康状况。
总结以上就是设计花园方案的基本步骤。
在进行花园规划和建设的过程中，需要考虑到许多因素，确保花园不仅美丽，而且实用。
如果您想拥有一座美丽的花园，那么认真地执行上述步骤就是一个很好的开始。
数学活动矩形绿地中的花圃设计-苏科版九年级数学上册教案
数学活动：矩形绿地中的花圃设计教学背景本活动适用于九年级数学上册，学习了平面图形的知识后，进行的一项实践性活动。
本活动旨在通过对矩形绿地中花圃设计的实践操作，展示学生们对平面图形知识的掌握情况，并从中获取数学知识的应用能力。
教学目标1.了解矩形的性质，并能从中找出有用的信息。
2.发现数学问题，并用数学方法解决。
3.通过设计花圃，展示实践应用数学知识的能力。
教学内容知识点部分矩形的性质矩形是一种特殊的四边形，具有独特的性质。
矩形的性质如下：1.矩形的对边相等。
2.矩形的相邻边互相垂直。
3.矩形的对角线相等交于一点，且此点为矩形重心。
正方形的特殊性质正方形是一种具有特殊性质的矩形。
正方形的性质如下：1.正方形的四条边相等。
2.正方形的四个角相等，均为直角。
3.正方形的任意两条对角线长度相等，且垂直互相平分。
活动部分活动准备1.提供九年级学生相应的杆件机构，用于展示矩形的性质。
2.为学生提供纸张、铅笔、尺子、计算器等画图工具。
3.按照比例放置一个矩形绿地和一个太阳花坛。
活动流程1.学生观察矩形绿地中央的太阳花坛。
并讨论花坛的位置、面积、形状、花隔离带的长度等问题。
2.设置问题：给定矩形绿地的宽度和长度，设计面积为100平方米的太阳花坛。
3.提醒学生们，设计太阳花坛要符合以下条件：1.太阳花坛中心位于矩形绿地的正中心。
2.花坛的边界必须与矩形绿地的边缘相接。
3.矩形绿地内所有花隔离带的长度必须相等。
4.所有花隔离带的宽度必须相等。
4.让学生们利用矩形和正方形的性质设计太阳花坛，利用工具绘制草图，用长度和面积等指标来计算验证设计是否正确。
5.展示并讨论学生们的设计方案，查看他们是否符合各项要求，批判性地分析不同的设计方案的优缺点。
教学反思本活动能够帮助九年级学生们从实践中深入理解矩形和正方形的性质。
同时，也能让学生们体验到数学思维对实际问题的启发功能，激发学生们的求知欲和创新能力。
这个活动能够培养学生观察和分析问题的能力，加强学生数学应用能力的基础，增强他们的团队合作和沟通能力，促进他们与他人的互动和交流。
17.2 配方法解一元二次方程(第3课时)(3种题型基础练+提升练)(原卷版)
17.2 配方法解一元二次方程（第3课时）（3种题型基础练+提升练）考查题型一 一元二次方程配方的方法1．配方：225x x -+________(x =-________2)． 2．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）212x x -+____(x =-__2) 3．配方：223x x -+___=（x-_____2） 4． 25x x -+__________=(x-_________)2.考查题型二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程5．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）一元二次方程20x px q ++=在用配方法配成2()x m n +=时，下面的说法正确的是（ ）6．（2021·上海市罗星中学八年级期中）一元二次方程x 2﹣6x ＋9＝0的实数根是__________． 7．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）用配方法解方程：x 2+6x ﹣3＝0．8.用配方法解一元二次方程0422=-+x x .9．（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x 2﹣4x ﹣2＝0．10．（2022·上海徐汇·八年级期末）用配方法解方程：2420x x --=．11．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）用配方法解方程：2470x x ．考查题型三 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程12.如何用配方法解方程 04222=-+x x13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程：22510x x +-=14．（2021·上海·八年级期中）用配方法解方程：22320x x --=15．（2022·上海·八年级期末）解方程：23610x x -+=16.用配方法解方程：3x 2＋5x ﹣1＝017．（2021·上海·八年级期中）用配方法解方程：22450x x +-=．18．（2022·上海·八年级期末）用配方法解方程：22830x x -+=．19．方程220(40)x px q p q ++=-≥的根是___________．21.用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0.22.求代数式 x 2+8x+17的最小值23．（2021秋·上海浦东新·八年级上海市建平中学西校校考阶段练习）我们知道：对于任何实数x ． ①∵x 2≥0，∴x 2+1＞0；24．（2022·上海松江·八年级期末）用配方法解方程：24x -=．25．（2022·上海浦东新·八年级期末）解方程：()2222y y y -=-26．（2021·上海·八年级期中）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a 2≥0，所以3a 2+1就有最小值1，即3a 2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a 2≤0，所以-3a 2+1有最大值1，即-3a 2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____．（2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____.（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？。
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独立 作业
知识的升华
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(1)设养鸡场的宽为xm,根据题意得
x40 2 x 180. 即x 2 20 x 90 0. 解这个方程, 得
x1 10 10 ; x2 10 10.
独立 作业
知识的升华
1、P53习题2.5 1,2题;
祝你成功！
独立 作业
根据题意，列出方程：
知识的升华
1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同 的金色纸边，制成一幅挂图。如果要求风景画的面积是整个挂 图面积的72%。那么金边的宽应是多少？ 解：设金边的宽为 x cm，根据题意 得
90 2x40 2x 72% 90 40.
2+65x-350 ＝0. x 即 解这个方程,得 x1 ＝5;
答:金链的宽应是5cm.
x2 ＝-70(不合题意,舍去).
独立 作业
知识的升华
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. (1) 鸡场的面积能达到 180m2吗? (2) 鸡场的面积能达到 200m2吗?
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
助手:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
12m
我—小亮 ,是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相 同.你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是?m吗? 你能通过解方程,帮我得 到扇形的半径x是?m吗?
12m 16m xm
解 : 设扇形的半径为xm, 根据题意得 16 12 2 x . 2 即x 2 96. 解这个方程, 得 96 x1 x2 5.5.其中x 5.5不合题意, 舍去. 答 : 扇形的半径约为5.5m.
25m 180m2
(3) 鸡场的面积能达到 180m2吗?
如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
独立 作业
知识的升华
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(1)设养鸡场的长为xm,根据题意得
40 x x 180. 2 即x 2 40 x 360 0.
25m
180m2 x
解这个方程, 得
x1 20 2 10 ; x2 20 2 10.
40 x 2
x1 20 2 10 20 40 20 25 25不合题意, 舍去.
答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的长为 20 2 10 m.
心动
不如行动
我是最棒的设计师
在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园, 并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
你能给出设计方案吗?
12m
我—小明 , 是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等. 通过解方程,我得到小路的宽为2m或12m.
你认为小明的结果对吗?为什么? 你能将小明解答的过程重现吗? 16m
我—
,来挑战最棒的设计师!
你还有其它的设计方案吗?
16m
12m
我—小颖
,也是最棒的设计师!
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的 小路,且它的宽都相等. 你能通过解方程,帮我 16m 得到小路的宽x是?m吗?
解 : 设小路的宽为xm, 根据题意得 16 12 16 x 12 x . 2 即x 2 28x 96 0. 解这个方程, 得 x1 4, x2 24(不合题意, 舍去).
40-2x
25m
180m2
x
当x2 10 10时, 长40 2 x 20 2 10 25不合题意, 舍去. 答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的宽为 10 10 m.
解 : 设小路的宽为xm, 根据题意得 16 12 16 2 x 12 2 x . 2 即x 2 14 x 1 2, x2 12(不合题意, 舍去). 的根一定要符合问题的实 际意义.否则,舍去.
答 : 小路的宽为2m.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
12m xm xm
答 : 小路的宽为4m.
小结
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拓展
回味无穷
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本节课通过对矩形花园的设计,你复习了哪些旧知识呢？ 列方程解应用题步骤:一审;二设;三列;四解;五验;六答. 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用: 平方根的意义: 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.