广东新高考数学人教版文科一轮复习训练55立体几何中的探究性问题(含答案详析)

第55课 立体几何中的探究性问题
1．（2013佛山二模）如图所示四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4AD =. （1）求四棱锥P ABCD -的体积； （2）求证: CD ⊥平面PAC ；
（3）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PM
PC
的值，若不存在，说明理由．
【解析】（1）显然四边形ABCD 为直角梯形， ∴11
()(24)2622ABCD S BC AD AB =
+⨯=+⨯=． ∵PA ⊥底面ABCD ， ∴11
62433
P ABCD ABCD V S PA -=
⋅=⨯⨯=． (2) ∵PA ⊥底面ABCD ， CD ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵在直角梯形ABCD 中，
AC =
CD =
∴222
AC CD AD +=，∴AC ⊥CD ．
又∵PA AC A = ， ∴CD ⊥平面PAC ． (3)不存在，下面用反证法证明：
假设存在点M （异于点C ），使得BM ∥平面PAD ， ∵//BC AD ，BC ⊄平面PAD ， ∴//BC 平面PAD ，． ∵BC BM B = ， ∴平面PBC ∥平面PAD ，
而平面PBC 与平面PAD 相交，得出矛盾．
A D
B
P
2．（2013昌平二模）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，
E 为AD 中点,
F 为11B C 中点. （1）求证:1//A F 平面1ECC ；
（2）在CD 上是否存在一点G ,使BG ⊥平面1ECC ?若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 证明：（1）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中， 取BC 中点M ,连结,AM FM ,如图：
∴1//B F BM 且1B F BM =. ∴四边形1B FMB 是平行四边形. ∴11//FM B B FM B B =且. ∵11//FM A A FM A A =且，
∴四边形1AA FM 是平行四边形，∴1//FA AM . ∵E 为AD 中点，∴//AE MC AE MC =且.
∴四边形AMCE 是平行四边形. ∴//CE AM ，∴1//CE A F . ∵11A F ECC ⊄平面,1EC ECC ⊂平面， ∴11//A F ECC 平面.
（2）当点G 为CD 的中点时,BG ⊥平面1ECC ，
在正方形ABCD 中, ,,,DE GC CD BC ADC BCD ==∠=∠ ∴CDE ∆≌BCG ∆. ∴ECD GBC ∠=∠. ∵90CGB GBC ∠+∠=︒. ∴90CGB DCE ∠+∠=︒. ∴BG EC ⊥.
∵1CC ABCD ⊥平面,ABCD BG 平面⊂
∴1CC BG ⊥,1EC CC C = .∴BG ⊥平面1ECC .
D 1
A 1
F E D
C
B
A
C 1
B 1
G D 1
A 1F
E D C
B
A
C 1
B 1M
∴在CD 上存在中点G ,使得BG ⊥平面1ECC .
3．（2013朝阳二模）如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，
=4,=2,=1AB AE EF .（1）求证：⊥BC AF ； （2）若点M 在线段AC 上，且满足1
4
CM CA =
, 求证：//EM 平面FBC ； （3）试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由. 证明：（1）∵EF//AB ，
∴EF 与AB 确定平面EABF ，
∵⊥EA 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴⊥EA BC .
∵⊥AB BC ，= EA AB A ，
∴⊥BC 平面EABF . 又AF ⊂平面EABF ,∴⊥BC AF . （2）过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，
连结FN ，则MN //AB .
又14CM AC =
,∴1
4
MN AB =. 又EF //AB 且1
4
EF AB =,
∴EF //MN ，且EF MN =， ∴四边形EFNM 为平行四边形. ∴EM //FN .
又FN ⊂平面FBC ,EM ⊄平面FBC , ∴//EM 平面FBC . （3）直线AF ⊥平面EBC .
证明如下：
由（1）可知，AF BC ⊥.
在四边形ABFE 中，4AB =,2AE =,1EF =，
90BAE AEF ∠=∠= ，
∴1
tan tan 2
EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠. 设AF BE P = ,
∵90PAE PAB ∠+∠=
,故90PBA PAB ∠+∠=
,
则90APB ∠=
,即AF EB ⊥.
又∵EB BC B = ，∴AF ⊥平面EBC .
E
F
D C B A M
M
A B
C
D F
E N
4．（2013茂名二模）如图所示，圆柱的高为2，点A 、B 、C 、D 分别是圆柱下底面圆周上的点，ABCD 为矩形，PA 是圆柱的母线， 2AB =，4BC =，E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点．
（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求证：PB //平面EFG ； （3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由．
证明（1）∵PA 是圆柱的母线，
∴PA ⊥圆柱的底面． ∵CD ⊂圆柱的底面，PA CD ⊥， 又∵ABCD 为矩形，∴CD AD ⊥， 而PA AD A ⊥=，∴CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD ． （2）取AB 中点H ，连接,GH HE ，
∵E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点， ∴////GH AD EF ，
∴E 、F 、G 、H 四点共面． 又H 为AB 中点，∴//EH PB ．
又EH ⊂平面EFG ，⊄PB 平面EFG ， ∴PB //平面EFG ．
（3）假设在BC 上存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离为2， 则以PAM ∆为底，D 为顶点的三棱锥的高为2， 连接AM
，则AM =
=
由（2）知PA AM ⊥，
∴11
22PAM S PA AM ∆=
⋅=⨯=
∴123D PAM PAM V S -∆=⋅⋅=
……11分 ∵11
42422
AMD S AD AB ∆=⋅=⨯⨯=，
∴118
42333
P ADM ADM V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯=． ……12分
∵D PAM
P ADM V V --=8
3
=，解得：BM =
∵4，
∴线段BC 上存在一点M ，当BM =时， 使得D 到平面PAM 的距离为2．。