不等式的证明(综合法)
证明不等式的八种方法
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
不等式的证明：综合法与分析法讲义
不等式的证明：综合法与分析法一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。
由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。
而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。
前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。
打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。
特别的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+ab b a例2、已知d c b a ,,,都是正数。
求证： （1）;2cd ab d c b a +≥+++ （2）.44abcd d c b a ≥+++ （3）33a b c abc ++≥例3、证明：ca bc ab c b a ++≥++222。
证法一 因为 ab b a 222≥+ （2）bc c b 222≥+ （3）ca a c 222≥+ （4）所以三式相加得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++ （5）两边同时除以2即得（1）。
证法二 因为,0)(21)(21)(21)(222222≥-+-+-=++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以（1）成立。
例4、已知c b a ,,都是正数，求证.3333abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立？探究：如果将不等式abc c b a 3333≥++中的333,,c b a 分别用c b a ,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ，其中c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc . 例5、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.ba mb m a >++ （1） 证法一 要证（1），只需证)()(m b a m a b +>+ （2）要证（2），只需证am bm > （3）要证（3），只需证a b > （4）已知（4）成立，所以（1）成立。
不等式的证明
不等式的证明最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . ②作商法(a >0，b >0)：a b >1⇔a >b ；a b <1⇔a <b ；a b＝1⇔a ＝b .(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.[微点提醒]1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立.3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( )解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案M≥N3.(选修4－5P25T3改编)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则1a ＋1b＋1c的最小值为________.解析把a＋b＋c＝1代入1a ＋1b＋1c得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋ab＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 答案 94.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．答案 C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.考点一比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b). 证明因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 12－b12)(a32－b32).因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 12－b12与a32－b32同号，所以(a 12－b12)(a32－b32)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).规律方法比较法证明不等式的方法与步骤1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论．2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】(1)(2019·锦州模拟)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.(2)若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b. (1)解 ①由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}.②由①和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .(2)证明 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以(a －b )(ab －1)ab>0. 即a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b. 考点二 综合法证明不等式【例2】 (1)已知a ，b ，c ∈R，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2；(2)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等，∴a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z①，同理可得yxz＋zyx≥2x②，z xy ＋xyz≥2y③，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz ＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)证明：a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.证明(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8.(2)1a ＋1b＋1c＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2c，相加得a＋b＋c≤1a ＋1b＋1c.考点三分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . (1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6，令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2<x <2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3；当－2<x <2时，4≥6不成立，此时无解；当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(2)证明 要证f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】 已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .证明 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.[思维升华]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.设a ，b >0且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 证明 因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab ≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 3.(2019·大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|.(1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x .(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小.解 (1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎨⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎨⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎨⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎨⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8. 所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞). (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n ).且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4.(2019·郴州质量检测)已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≤10等价于⎩⎨⎧x ≤－1，－(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧－1<x <5，(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧x ≥5，(x ＋1)＋(x －5)≤10，解得－3≤x ≤－1或－1<x <5或5≤x ≤7，∴不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}.(2)证明 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≥|(x ＋1)－(x －5)|＝6，∴m ＝6，即a ＋b ＋c ＝6.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，c 2＋b 2≥2cb ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋ac ＋bc )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 2≥12.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立.5.(2019·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c ). 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c时等号成立)证得.所以原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2， b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤bc ＋ac2，所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立. 所以原不等式成立.6.(2019·百校联盟联考)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|的最小值为M .(1)若m ，n ∈[－M ，M ]，求证：2|m ＋n |≤|4＋mn |；(2)若a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋2b ＝M ，求2a ＋1b的最小值. (1)证明 ∵f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|≥|2x －3－(2x －1)|＝2，∴M ＝2. 要证明2|m ＋n |≤|4＋mn |，只需证明4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，∵4(m ＋n )2－(4＋mn )2＝4(m 2＋2mn ＋n 2)－(16＋8mn ＋m 2n 2)＝(m 2－4)(4－n 2)， ∵m ，n ∈[－2，2]，∴m 2，n 2∈[0，4]，∴(m 2－4)(4－n 2)≤0，∴4(m ＋n )2－(4＋mn )2≤0，∴4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，可得2|m ＋n |≤|4＋mn |.(2)解 由(1)得，a ＋2b ＝2，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋a b ＋4b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a b ·4b a ＝4， 当且仅当a ＝1，b ＝12时，等号成立. 所以2a ＋1b的最小值为4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)7.已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98. (1)解 根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎨⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎨⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}.(2)证明 函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎨⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a＝8， 又a >0，b >0，∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，当且仅当a ＝b ＝38时取等号. 原不等式得证.8.(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，欲证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ，只需证明ab >cd ，即证ab >cd .由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.。
不等式的证明综合法
例题示范、学会应用
例2 已知a，b，c是不全相等的正数，求证
证明二比较法：
因为a,b,c是不全相等的正数．
所以
且三式不能全取“=” 号.所以 即
综合法的思维特点是：由已知推出结论．用 综合法证明不等式中常用的重要不等式有：
（
）
（a，b同号）
（
）
在证明不等式时,选择方法要适当,不要对某 种方法抱定不放,要善于观察,根据题目的特 征选择证题方法．
③综合法证明不等式
的逻辑关系是：
…
（已知A）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B）
④利用综合法由因导果证明不等式,就要揭示出条件与结 论之间的因果关系,为此要着力分析已知与求证之间的差 异和联系、不等式左右两端的差异和联系,在分析所证不 等式左右两端的差异后,合理应用已知条件,进行有效的 变换是证明不等式的关键．
那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多 少？
• 3.用综合法证明不等式的依据是：l已知条件和不等 式性质；2基本不等式．
• 4.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明,用 综合法证明不等式的依据是基本不等式时,要注意定 理的使用：P26——1、2
2．思考题：
若
，求证
3．研究性题： 某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 v千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的 公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得 小于 千米．
例3 已知a1,a2,…,an∈R+,且 a1a2…an=1, 求证：1+a11+a2…1+an≧2n
这种不等式叫条件不等式
练习
1. 已知x,y是正数，求证
2．已知
，求证
3.已知x是正数,且x≠1,n∈N,
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法素材
二 综合法与分析法知识梳理1。
综合法一般地，从已知条件出发,利用定义,公理,定理,性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立,这种证明方法叫做________，又叫________或________.2.分析法证明命题时，我们还常常从要证的________出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为________或________（定义,公理或已证明的定理,性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做________，这是一种________的思考和证明方法。
分析法是探求命题结论成立的________条件,用分析法证明不等式的逻辑关系是（________）B ⇐B 1⇐B 2⇐B 3⇐B 4⇐…⇐A(________）.知识导学综合法一般利用题设已知条件和基本不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式。
使用分析法通常采用“欲证-—只需——已知”的格式，在表达中一定要十分重视符号“⇐”的方向，使用规范的表述方式.综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”。
它们是两种思路截然相反的证明方法。
综合法往往是分析法的逆过程,表述简单，条理清楚,所以在实际应用时，往往用分析法找思想,用综合法写步骤，由此可见,分析法与综合法相互转换,互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路,开阔视野。
有时解题需要一边分析，一边综合,称之为分析综合法,或称为两头挤法。
两头挤法充分表明分析与综合的相互关系，分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点。
疑难突破1.综合法在应用中的有关问题用综合法证明不等式时,主要利用重要不等式,函数的单调性以及不等式的性质,在严密的演绎推理下推导出结论.首先是综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些重要不等式.比如下面的几个，是经常使用到的：①若a ，b,c∈R +，则有2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+； ②若a ，b,c∈R ，则有a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca；③若，b∈R +,则有(a+b)(a 1+b1）≥4。
不等式的证明(综合法)
• 对称性 • 传递性 • 可加性 • 移项法则 • 加法法则 • 可乘性
• 乘法法则 • 乘方法则
• > <> < • >,>>> • > <> > • > <> > • >,>>> • >,>>> • >> , >> > > • >> > >
(∈ , ＞）
• 开方法则
>,<><
• ⑴ 倒数不等式—倒数法则：
即 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.
结论: ≥ (∈)
(当且仅当 时等号成立)
例.设 是不全相等的实数. 求证>
• 证明:
• ∵≥
≥≥
• 又∵是不全相等的实数
• ∴上面三式中总有一个不能取等号
• ∴三式相加得 ( )>
•
即: >
• 另证:
• [()( )( )]
• 又∵是不全
• ⑥ na nb a b n N
() 若< 则 ( ) () > () < () < () <
（） （）
（） （） （）
（）
练习.用下列符号(≤.≥.＜.＞)填写,并说明等号何时成立:
. ≥> > ＞
. ≥≥ > ≥
.≥ .≥
5.ab_≥ __ a_ (b a,bR) 2
(≥∈)
(当且仅当且时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立)
证明不等式的常用技巧
证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。
作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。
换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。
1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。
综合法由因导果。
证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法执果索因。
证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。
放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。
数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。
2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。
证明不等式的几种方法
不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析
证明：由于 0＜a＜1，则 t＝logax(x＞0)为减函数．
欲证
loga(ax＋ay)＜18＋loga2，只需证
1 ax＋ay＞2a8.
因为 y＋x2＝0，0＜a＜1，
所以 x＋y＝x－x2＝－x－122＋14≤14. 当且仅当 x＝12时，(x＋y)max＝14，
基本不等 式或已经 证明过的 不等式
要求证的 不等式
求证过程
实施一系 列的推出 或等价变 换
寻求结论 成立的充 分条件
求证目标
要求证的 结论
所需条件 全部成立
证题方向 由因导果 执果索因
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若 a＞b，则 ac2＞bc2.( )
(2)若ac＞bc，则 a＞b.( )
2．分析法
证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步 寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或 一个明显成立事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)， 从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这 是一种执果索因的思考和证明方法．
3．综合法与分析法的比较
方法
综合 法
分析 法
证明的起 始步骤
第二讲 证明不等式的基本方法
2．2 综合法与分析法
[学习目标] 1.理解综合法与分析法证明不等式的思 考过程与特点(重点)．
2．会用综合法、分析法证明不等式(重点、难点)．
1．综合法 一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、 性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种 证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．
(3)若 a3＞b3，且 ab＜0，则1a＞1b.(
)
(4)若 a2＞b2，且 ab＞0，则1a＜1b.(
不等式证明-综合法
例1 已知a,b∈R+，
求证：(a+b)(1 1 )≥4
ab
证明：∵a+b≥2 ab>0
1 a
b1≥3
1 >0
ab
当且仅当a=b时取等号. ∴(a+b)(1 1 )≥4
ab
已知a,b,c∈R+，
求证：(a+b+c)(1 1 1)≥9
abc
证明：∵a+b+c≥3 3 abc >0
综合法： 分析法：
再 见！
2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
3
3 abc a b c a2 b2 c2
111
3
3
abc
综合法：
从已知或已证明过的不等式
出发，根据不等式的性质推导出
欲证的不等式.（由因导果） 分析法：
从寻求结论成立的充分 条件入手，逐步寻求所需条 件成立的充分条件，直至所 需的条件已知正确时为止.
abc
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]( 1 1 1 ) 9 ab bc ca
2(a b c)( 1 1 1 ) 9 ab bc ca
3.求证： 1 1 1 9
a b b c c a 2(a b c)
4.求证：a
c
b
b
a
c
c
b
a
3 2
已知a,b,c∈R+，
ab bc ac 2
已知a,b,c∈R+，
2(a b c)( 1 1 1 ) 9 ab bc ca
abc an
5. 若S= ak(ak∈R+,k=1,2,…,n) k 1
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
分析法、综合法证明不等式
2 2
(综合法) ( x + y ) = x + y + 3x y ( x + y )
2 2 3 6 6 2 2 2 2
≥ x6 + y 6 + 6x3 y3 > x6 + y 6 + 2x3 y3 = ( x3 + y3 )2
分析法、 分析法、综合法证明不等式
1.已知 x > y > 0，求证： x − y < x − y 。
证明：欲证
x − y < x − y ，即
x<
y + x − y，
只需证 x < y + x − y + 2 y ( x − y ) ， 即
y( x − y) > 0 ，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立。
1 1 1 6.(1) 求证：1 + < 1 + < 1 + n +1 n n
n n n +1
ε
+ 2 ⋅ + 3⋅ = ε 3 6 9
ε
ε
1 1 证明：对于左端不等式，只要证 1 + < 1 + ，这显然成立。 n +1 n 1 对于右端不等式，只要证 1 < 1 + ，这显然成立。 n
9.已知 p > 0 , q > 0，且 p 3 + q 3 = 2，求证：p + q ≤ 2。
证明： + q ≤ 2 ⇔ ( p + q) 3 ≤ 8 p ⇔ p 3 + q 3 + 3 pq( p + q) ≤ 8
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.1 综合法课堂导学三点剖析一，利用综合法证明不等式【例1】 (1）若a>0,b 〉0,求证:ab b a 22+≥a+b.思路分析:主要利用不等式2ba +≥ab 和a 2+b 2≥2ab。
证明:由a 2+b 2≥2ab，∴2（a 2+b 2）≥a 2+b 2+2ab,即2（a 2+b 2)≥(a+b)2。
∴ab b a 22+≥b a b a b a b a ++≥++222)()(2=a+b.（2)设a ，b ，c 都是正数,求证:2222222≥+++++a c c b b a (a+b+c ）.思路分析：主要利用不等式2)(2222y x y x +≥+。
证明：由不等式a 2+b 2≥2)(22222b a ab b a +=++. ∴22b a +≥2ba +. 同理，2,22222ac a c cb c b +≥++≥+2)222(2222222=+++++=+++++∴ca cb ba a c cb b a （a+b+c ）各个击破类题演练1已知a,b,c∈（0,+∞)，且a ，b ，c 成等比数列，求证:a 2+b 2+c 2≥(a—b+c)2。
证明:左边-右边=2（ab+bc-ac)。
∵a，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac.又∵a,b,c∈（0,+∞)，∴0〈b=ac ≤2ca +〈a+c 。
∴a+c—b 〉0。
∴2（ab+bc —ac ）=2（ab+bc —b 2）=2b(a+c —b ）〉0,∴a 2+b 2+c 2>（a —b+c ）2.变式提升1若a,b,c 是正数,能确定b a c c a b c b a +++++222与2c b a ++的大小吗? 解析:∵cb a +24+（b+c ）≥4a, ac b +24+（c+a)≥4b, ba c +24+（a+b)≥4c , ∴c b a +24+a c b +24+ba c +24≥2（a+b+c ）, 即b a c a c b c b a +++++222≥2c b a ++. 二、用综合法证明条件不等式【例2】 已知a,b ，c 〉0，且abc=1，求证：c b a ++≤a 1+b 1+c 1。
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。
使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。
2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
不等式的证明-综合法
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：不等式的证明-综合法【教学目标】1.掌握综合法证明不等式的方法和步骤。
2.能够利用综合法证明不等式。
【重点、难点】重点：综合法证明不等式。
难点：综合法证明不等式。
【学法指导】1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；3.预习p18,【自主探究】1，综合法：从 出发，利用不等式的性质（或已知证明过的不等式），推出了所要证明 的结论，即“ ”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法。
2，综合法证明不等式就是揭示已知和结论之间的因果关系，为此要着力分析已知和结论之间，求证不等式左右两边之间的联系和差异，恰当选择基本不等式，合理的进行恒等变形，正确的把握切入点，这是证明的关键。
3，综合法证明不等式常用的不等式：（1）20()a a R ≥∈ （2）22a b + 2ab （a,b R ∈）(3) 22a b + 2ab （a,b R ∈）(4)当a>0,b>0时,ab 2()2a b +（5）当a>0,b>0 【合作探究】证明下列不等式（1） 已知ａ＞0, b>0，c>0 求证 ：6b c c a a b a b c+++++≥（2）已知0<a<1，求证：log a (a 4+1)<log a 2+2【巩固提高】（1），已知a>b>c,求证:114a b b c a c +≥---（2），（2008年江苏卷）已知a,b c 为正实数,求证:333111abc a b c +++≥【能力提升】已知 a,b,c R ∈求证: )a b c ++本节小结：分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者由果索因，利于思考，后者由因导果，易于表达，但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探索方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述繁琐，如果把“只需证明”不写，就成了错误，所以用分析法分析综合法书写，另外用分析法证明的不等式一定能用综合法证明。
不等式证明二(综合法)
不等式证明二（综合法）一、 综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。
（也叫顺推证法或由因导果法）例1、已知a, b, c 是不全相等的正数，求证：a(b 2 + c 2) + b(c 2 + a 2) + c(a 2 + b 2) > 6abc分析：不等式左边含有“a 2+b 2”的形式，我们可以运用基本不等式：a 2+b 2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a 2b,b 2c,c 2a,ab 2,bc 2,ca 2的“和”，右边有三正数a,b,c 的“积”，我们可以运用重要不等式：a 3+b 3+c 3≥3abc.证：∵b 2 + c 2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b 2 + c 2) ≥ 2abc同理：b(c 2 + a 2) ≥ 2abc , c(a 2 + b 2) ≥ 2abc∴a(b 2 + c 2) + b(c 2 + a 2) + c(a 2 + b 2) ≥ 6abc当且仅当b=c,c=a,a=b 时取等号，而a, b, c 是不全相等的正数∴三式不同时取等号，三式相加得 a(b 2 + c 2) + b(c 2 + a 2) + c(a 2 + b 2) > 6abc 本例证法可称为三合一法，当要证的不等式关于字母具有对称形式时，我们常可把其看成是由若干个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得，我们只要先把减了元的较简单的不等式证出，即可完成原不等式的证明。
例2、a , b, c ∈R, 求证：1︒9)111)((≥++++cb ac b a 2︒29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 3︒23≥+++++b a c a c b c b a 证：1︒、法一：33abc c b a ≥++,313111abc c b a ≥++, 两式相乘即得。
分析法综合法证明不等式
设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ ；(2) ＋ ＋ ≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.
分析法、综合法证明不等式
【例2】(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋ ≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ .
【证明】(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋ －2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥
3 ＝3，所以2x＋ ≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥ ，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤ ＋ ＋ ＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立.
不等式的证明
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[解题师说] 1．综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等 式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已 知不等式，这是证明的关键； (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式 是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．
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过
基
础
小
题
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1．设 t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则 s 与 t 的大小关系是 A．s≥t C．s≤t B．s＞t D．s＜t
(
)
解析：∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.
答案：A
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1 1 2．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝2，则a＋b的最小值为 A．1 C．4 B． 2 D．8 ( )
第
二
节
不等式的证明
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1．基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立． a＋ b 定理2：如果a，b＞0，那么 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 2 等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它 们的几何平均． a＋b＋c 3 abc 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么 ≥ ，当且仅 3 当 a＝b＝c 时，等号成立．
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课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一
比较法证明不等式
比较法证明不等式是高考考查的重点， 主要涉及作 差比较法和作商比较法，难度适中，有时难度也较大.
[典题领悟] (2016· 全国卷Ⅱ)已知函数 ＜2 的解集． (1)求 M； (2)证明：当 a，b∈M 时，|a＋b|＜|1＋ab|.
1 1 1 解析：把 a＋b＋c＝1 代入a＋b＋ c中 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 得 a ＋ b ＋ c
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(当且仅当a=b时等号成立)
(当且仅当a=b时等号成立)
5.
ab ≥ ____ ab (a, b R ) 2
≥ 6.b/a+a/b___2 (a,b∈R+)
(当且仅当a=b时等号成立)
常用的定理和推论：
定理1.如果a,b∈R ,那么 a2+b2≥2ab
ab 推论 : 如果 a, b R , 那么 ab 2
(当且仅当 a=b 时等号成立)
(当且仅当 a=b 时等号成立)
结论 : 若a1 , a2 , . . . , an R , n 1, n N , 则
a1 a2 . . . an n a1a2 . . . an n
即 n 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.
结论: b/a+a/b≥2 (a,b∈R+)
（ （ （ （ （ （
） ） ） ） ） ）
练习2.用下列符号(≤.≥.＜.＞)填写,并说明等号何时成立:
＞ 1. a≥b,c>d =>a+c___b+d
≥ 2. a≥b,c≥d =>a+c___b+d
≥ 3. a2___0 ≥ 4. a2+b2___2ab
(当且仅当a=b且c=d时等号成立)
(当且仅当a=0时等号成立)
a2 > b2 b2< x2< a2 a2 < b2 a2 < x2 < b2
min(a2,b2)≤x2 < max(a2,b2)
• • • • • • • •
练习1： （1）判断下列命题的真假。 ①a>b , c=d =>acn >bdn (n∈N) ②a/c > b/c => ac > bc ③a<b<0 , c<d<0 => ac>bd ④a>b , ab<0 => 1/a<1/b ⑤a+c<b+d =>a<b , c<d ⑥ n a n b a bn N (2) 若a<1 则 ( ) (A) 1/a >1 (B) a2 <1 (C) a 3<1 (D) |a |<1
例3.设a,b,c是不全相等的正实数. 求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc
例2 : 设a, b, c R , ab bc ca 求证 : 6 c a b
证明 b a 2 a b a c 2 c a b c 2 c b
b a a c b c 6 a b c a c b
ab bc ca 6 c a b
不等 • • • • 对称性 传递性 可加性 移项法则 加法法则 可乘性 • • • • • • a>b <=> b<a a>b , b>c => a>c a>b <=> a+c>b+c a+b>c <=> a>c-b a>b , c>d => a+c>b+d a>b , c>0 => ac>bc a>b , c<0 => ac<bc • a>b>0 , c>d>0 => ac>bd • a>b>0 =>an > bn (n∈N , n＞1）
(当且仅当 a=b 时等号成立)
例1.设a ,b ,c是不全相等的实数. 求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca
• • • • • • • • • • • 证明: ∵a2+b2≥2ab b2 +c2≥2bc a2+c2≥2ac 又∵a,b,c是不全相等的实数 ∴上面三式中总有一个不能取等号 ∴三式相加得 2(a2+b2+c2 )>2ab+2bc+2ca 即: a2+b2+c2>ab+bc+ca 另证: a2+b2+c2-ab-bc-ca=1/2[(a2+b2-2ab)+( b2 +c2-2bc)+( a2+c2-2ac)] 又∵a,b,c是不全相等的实数 ∴ (a-c)2 +(b-c)2 +(c-a)2>0 ∴ a2+b2+c2>ab+bc+ca
• 乘法法则 • 乘方法则 • 开方法则
• ⑴ 倒数不等式—倒数法则： • 若ab > 0 , 则 a > b • a<b • a<x<b • 简记：
• • • •
1/a < 1/b 1/a > 1/b 1/b < 1/x < 1/a “同号取倒反 向”
• • • • • • •
⑵平方不等式——平方法则： 若a,b>0,则a>b • b<x<a • 若a,b<0,则a>b • b<x<a • 若 a > 0 , b < 0, 则b<x<a •