高考数学专题五综合测试题文

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高考文科数学-分离(常数)参数法(练)-专题练习(五)有答案

高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）一．练高考1．已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，1e ，2e 别为1C ，2C 的离心率，则（）A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A B A B B A +=+．（Ⅰ）证明：2a b c +=；（Ⅱ）求cos C 的最小值．二．练模拟1．设函数3()f x x x =+，x ∈R ．若当π02θ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞2．若函数()2x f x a =-与()41x g x a =++的图像有交点，则a 的取值范围是（）A．2a ≤-2a ≥+B ．1a <- C．12a -≤≤- D．2a ≤-3．已知实数,,a b c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b +的取值范围是（）A ．35,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭4．在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线210mx y m ---=相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_____________．5．已知数列{}n a 的首项11a =，且14()2n n n a a n a *+=∈+N ．（Ⅰ）证明：数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列．（Ⅱ）设2n n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．三．练原创1．已知函数,0,()0.x x f x x ≥-<⎧⎪=，若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．(0,)+∞ C ．(0,1) D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭2．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:e x C y =存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2e ,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2e 0,8⎛⎤⎥⎝⎦ C ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．2e 0,4⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数()5f x x =-，当19x ≤≤时，()1f x >有解，则实数m 的取值范围为（） A ．133m < B ．5m < C ．4m < D ．5m ≤4．方程12log (2)2xa x -=+有解，则a 的最小值为_________．5．已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，则5522f f ⎛⎛-++--= ⎝⎝_________．高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）答案一．练高考1．A2．解：（Ⅰ）由题意知：sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=，即()2sin sin sin A B A B +=+因为=πA B C ++，()()sin sin πsin A B C C +=-=．从而sin sin 2sin A B C +=由正弦定理得：2a b c +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a b c +=，所以： 222223112cos 22842a b a b a b c b a C ab ab a b +⎛⎫+- ⎪+-⎛⎫⎝⎭===+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．故cos C 的最小值为12．二．练模拟1．D2．D3．C4．22(1)2x y -+=5．解：（Ⅰ）证明：142n n n a a a +=+， 12111442n n n n a a a a ++∴==+，111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭又11a =，111122a ∴-= 所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1111112222n n n a -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即11122n n a =+ ∴22n nn n n b a =-= 于是231232222n n n S =++++…，① 2321112122222n n n n S +-=++++…，② 由①-②得，211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---…，即11222222n n n nn n S -+=--=-， ∴数列{}n b 的前项和222n n n S +=- 三．练原创1．D2．C3．B4．15．8n高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）解析1．练高考1．【解析】由题意知，即，，代入，得．故选A ．2．由正弦定理得．由知，所以，当且仅当时，等号成立．故的最小值为． 2．练模拟1．2211-=+m n 222=+m n 2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n 222=+m n 12,1>>m n ee 2a b c +=()∏()I 2a b c +=2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭a b =cos C 12【解析】易得是奇函数，在上是增函数，又，故选D ． 2．3．4．【解析】由题意得：，当且仅当时取等号，所以半径最大为5．()f x 2()310()f x x f x '=+>⇒R 11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--=≤1m =r =22(1) 2.x y -+=（II ）解：由（I ）知，，即．………………8分 ∴．………………9分于是，① ，② 由①-②得，，………………11分即， ∴数列的前项和．………………12分 3．练原创1 111111()2222n n n a --==11122n n a =+22n n n n n n b a =-=231232222n n n S =++++231112122222n n n n n S +-=++++211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---11222222n n n nn n S -+=--=-{}n b n 222n n n S +=-2．【解析】根据题意，函数与函数在()0+∞，上有公共点，令2xax e =得：2xe a x =，设()2x ef x x = 则()222x xx e xe f x x -'=，由()0f x '= 得：2x =，当02x << 时，()0f x '<，函数()2xe f x x=在区间()0,2上是减函数，当2x > 时，()0f x '>，函数()2xe f x x=在区间()2,+∞上是增函数， ∴当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+∞，上有最小值()224e f =，∴24e a ≥ ，故选C ． 3．【解析】令t =则13t ≤≤时，2(t)51g t mt =-+>有解，即4m t t<+在13t ≤≤时成立；而函数4u t t =+在[1,2]是减函数，在[2,3]是增函数，4[4,5]u t t=+∈，所以只需5<m ，故选B ． 4．所以8)25()25(=--++-x f x f ，从而令3=x ，得8)325()325(=--++-f f ．。

(完整版)新课标高三数学文科综合测试题与参考答案(三)

新课程高三年级文科数学综合测试题与参考答案试题（三）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U 则（）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}2. 复数 22121,2,1z z i z i z 则（）A ．i 5452 B ．i 5452 C ．i 5452 D ．i 5452 3．函数2()ln f x x x的零点所在的大致区间是（）A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,) 4．函数)4(2cosx y 是（）.A ．周期为的奇函数B ．周期为的偶函数C ．周期为2 的奇函数D ．周期为2 的偶函数5．抛物线)0(42a ax y 的焦点坐标是( )．A ．（a , 0）B ．(-a, 0)C ．（0, a ）D ．（0, - a ）6．不等式10x x成立的充分不必要条件是( ) A ．10x 或1x B ．1x 或01x C ．1xD ． 1x7．已知直线l 、m ,平面、，则下列命题中假命题是（） A ．若 //， l ,则 //l B ．若 //， l ,则 lC ．若 //l ， m ,则m l //D ．若，l , m ,l m ,则 m 8．动点在圆122y x 上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A ．4)3(22y xB ．1)3(22y xC ．14)32(22y xD ．21)23(22y x 9．已知21,x x 是方程)(0)53()2(22R k k k x k x 的两个实根，则2221x x 的最大值为（）A 、18B 、19C 、955D 、不存在10.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，其中11－13为必做题，14－15为选做题，14－15题只需选做2小题．共20分．）11．已知函数|3|)( x x f ，以下程序框图表示的是给定x 值，求其相应函数值的算法，请将该程度框图补充完整。

【备战】高考数学热点题型和提分秘籍专题05 函数的单调性与最值理(含解析)

专题五函数的单调性与最值【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或求函数值大小，是高考的热点及重点．4.常与函数的图象及其他性质交汇命题．5.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现. 【热点题型】题型一考查函数的单调性例1．探讨函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性．【提分秘籍】1．函数的单调区间是其定义域的子集．2．由函数单调性的定义可知，若函数f (x )在区间D 上是增(减)函数，则当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)((f (x 1)>f (x 2))．3．一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．4．两函数f (x )、g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )的单调性与其正负有关，1f x与f (x )是否为0有关，切不可盲目类比．5.判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是：取值⇨作差商变形⇨确定符号⇨得出结论 (2)利用导数的基本步骤是：求导函数⇨确定符号⇨得出结论【举一反三】设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③f x 1－f x 2x 1－x 2>0；④f x 1－f x 2x 1－x 2<0.其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________．【热点题型】题型二求函数的单调区间例2．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x k ，k ，fxk取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：由f (x )> 12，得－1<x <1，由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥1，12，－1<x <1，2x，x ≤－1，故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．答案：C 【提分秘籍】求函数的单调区间的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点，最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]【热点题型】题型三由函数的单调性求参数的范围【例3】 (1)定义在R 上的偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．f (3)＜f (－4)＜f (－π) B ．f (－π)＜f (－4)＜f (3) C ．f (3)＜f (－π)＜f (－4) D ．f (－4)＜f (－π)＜f (3)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【提分秘籍】单调性的应用常涉及大小比较，解不等式，求最值及已知单调性求参数范围等问题，解决时要注意等价转化思想与数形结合思想的运用．【举一反三】已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R)． (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数；当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0，x 1x 2>0.要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f (x 1)－f (x 2)<0，即x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0恒成立，则a ≤16. 【热点题型】题型四函数的最值问题（换元法）例4、已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．【提分秘籍】换元法解题模板第一步：换元确定解析式中的某一部分作为一个新的变元第二步：定范围根据新的变元的表达式确定新变元的取值范围M .第三步：转化将问题转化为关于新变元的一个函数在区间M 上的最值问题．第四步：求最值利用基本初等函数求最值得原函数的最值．【举一反三】求y＝x－1－2x函数的值域：题型四函数的最值问题（数形结合法）例5、用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．【答案】6【提分秘籍】数形结合法解题模板对于函数解析式有明显的几何特征的函数最值问题，解题步骤是：第一步：数变形根据函数解析式的特征，构造图形转化为求几何中的最值．第二步：解形利用几何方法解决图形中的最值．第三步：还形为数将几何中的最值还原为函数的最值．第四步：回顾反思利用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征．【举一反三】函数y＝x＋2＋16＋x－2＋4的值域为________．【高考风向标】1．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.2．（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)3．（2014·四川卷）设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．【答案】1 【解析】由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 4．（2014·四川卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R)有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④ 【解析】若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．5．（2014·四川卷）已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．(2)设x0为f (x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．6．（2013·四川卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．7．（2013·四川卷）设函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y ＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )A．[1，e] B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]8．（2013·四川卷）函数y＝x33x－1的图像大致是( )图1－59．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x 0∈R，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0【随堂巩固】1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0得x >23.2．已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．163．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C 由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞)) C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|5．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.6．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)7．已知函数f (x )＝2x ＋4－x ，则函数f (x )的值域为( ) A ．[2,4]B ．[0,2 5 ]C ．[4,2 5 ]D ．[2,2 5 ]8．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2]10．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．11．函数y ＝x ＋1＋x －－x的定义域是________．12．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，即y max ＝14.答案：1413．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f (x ＋2)的定义域为____________，值域为__________．解析：由已知可得x ＋2∈[0,1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1,2]．答案：[－2，－1] [1,2] 14．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x .15．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.16．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．17．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．18．若函数f(x)＝a2－x2＋a－x＋2a＋1的定义域为R，求实数a的取值范围．。

高考数学备考艺体生辅导专题05《解析几何的第一问》(原卷版)

【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题五解析几何的第一问圆的概念与方程【背一背基础知识】1. 标准方程：圆心坐标(,)a b ，半径r ，方程222()()x a y b r -+-=，一般方程：22x y Dx Ey ++++0F =(其中2240D E F +->)；2．直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法； 3. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 【讲一讲基本技能】 1. 必备技能：① 会用配方法把圆的一般方程化为标准方程；② 直线和圆的位置可用方程组的解来判断，但主要是应用圆心到直线的距离d 和圆半径r 比较，d r >⇔相离，d r =⇔相切，d r <⇔相交；③圆与圆的位置关系一般也是用圆心距12O O 与两圆的半径之和(或差)比较，12OO R r >+⇔相离，12OO R r =+⇔外切，12R r OO R r -<<+⇔相交，12OO R r =-⇔内切，12OO R r <-⇔内含． ④直线和圆的位置关系是这部分的重点考查内容．⑤对直线被圆截得弦长问题，求出圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ，则直线被圆截得弦长为222r d -2.典型例题例1 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；【分析】求圆的切线方程，一般设出直线方程为y kx b =+（斜率存在），再利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求出其中的参数值. 【解析】例2 已知圆22:4230P x y x y +-+-=和圆外一点(4,8)M -．（1）过点M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若||4AB =，求直线AB 的方程；（2）过点M 作圆的两条切线，切点分别为,C D ，求切线长及CD 所在直线的方程．【答案】（1）4528440x y ++=或4x =；（2）27190x y --=．【分析】（1）先将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，在根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB 的距离，则可以利用点到直线的距离公式求出直线AB 的斜率，求得直线方程；（2）利用切线的性质可知，切线长、半径、M 到圆心的距离满足勾股定理，则切线长可求；求出以PM 为直径的圆，与已知圆的方程，两式相减即可求得CD 所在的直线方程．【解析】【练一练趁热打铁】1. 已知圆C 过点A （1,3）,B （2,2），并且直线m: 320x y -=平分圆C 的面积．（Ⅰ）求圆C 的方程；2. 已知圆O 2：22460x y y +--=,求圆心在x-y-4=0,且过圆O 1与圆O 2交点的圆的方程。

2010-2019十年高考数学(文)真题专题5平面向量第13讲平面向量的概念与运算分类汇编

专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EBA ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144ABACD ．1344ABAC2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1a ，1a b，则(2)a ab A ．4B ．3C ．2D ．03．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM ，2ON ，120MON ，2BM MA ，2CN NA ，则·BC OM 的值为A ．15B ．9C ．6D ．04．（2017新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||ab ab 则A ．a b B ．||||a b C ．∥a bD ．||||a b 5．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数，使得m n ”是“0m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F，使得EF DE 2，则AF BC的值为A ．85B ．81C ．41D ．811NMOCBA7．（2016全国III 卷）已知向量,则A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．(2015重庆)已知非零向量,a b 满足||=4||b a ，且(+)2aa b ，则a 与b 的夹角为A ．3B ．2C ．23D ．569．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||≤a b a bB ．||||||||≤ab a b C ．22()||ab a b D ．22()()a b ab ab10．（2015新课标2）向量(1,1)a，(1,2)b ，则(2)a b aA ．B ．C ．D ．11．（2014新课标1）设FE D ,,分别为ABC 的三边AB CA BC ,,的中点，则FCEB A ．ADB ．AD21C ．BC21D ．BC12．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+|=10a b ，||=6ab ，则a bA ．1B ．2C ．3D ．513．(2014山东) 已知向量(1,3),(3,)m ab . 若向量,a b 的夹角为6，则实数mA ．23B ．3C ．0D ．314．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2ba ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为A ．23B ．3C ．6D ．015．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量3,2a表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)e e B ．12(1,2),(5,2)e e 13(,)22BAuu v31(,),22BCuu u v ABC112C ．12(3,5),(6,10)e e D ．12(2,3),(2,3)e e 16．（2014浙江）设为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t b a 是最小值为1 A ．若确定，则||a 唯一确定B ．若确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则唯一确定D ．若||b 确定，则唯一确定17．(2014重庆)已知向量(,3)k a ,(1,4)b ,(2,1)c ,且(23)ab c ,则实数kA ．92B ．0C ．3D ．15218．（2013福建）在四边形中，,则该四边形的面积为A ．B ．C ．5D ．1019．（2013浙江）设ABC ，0P 是边上一定点，满足014PB AB ，且对于边上任一点，恒有00PB PC P B PC ≥．则A ．B ．C ．D ．20．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B ，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ．21．（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为A ．B ．C ．D ．22．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0a b =．若向量c 满足1c a b，则c 的最大值为A ．B ．C ．D ．23．（2013重庆）在平面上，，,.若，则的取值范围是ABCD )2,4(),2,1(BDAC552AB AB P 090ABC 090BAC ACAB BCAC 3455，-4355，-3455，4355，(1,1)A (1,2)B (2,1)C (3,4)D AB CD 32231523223152212212212AB AB 121OB OB 12AP AB AB 12OPOAA 、B 、C 、D 、24．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使ab c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使ab c ；④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使abc ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．425．（2012陕西）设向量a =（1,）与b =（1,2）垂直，则等于A ．B ．C ．0D ．－126．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||a b a b ，则abB ．若a b ，则||||||ab a b C ．若||||||a b a b ，则存在实数，使得b aD ．若存在实数，使得b a ，则||||||a b a b 27．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若为实数，()∥a b c ，则=A ．14B ．12C ．1D ．228．（2011辽宁）已知向量(2,1)a ，(1,)k b，(2)0a a b ，则kA ．12B ．6C ．6D ．1229．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB b ，则△OAB 的面积等于A ．222|||()|a b a b B ．222|||()|a b a b 50,257,225,227,22cos cos cos22212C ．2221|||()2|a b a b D ．2221|||()2|a b a b 30．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n a ，(,)p q b ，令mq np ab ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0a b B ．a b b aC ．对任意的R ，有()()a ba b D ．2222()()||||a b a b a b 二、填空题31．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)a，(2,2)b ，(1,)c．若2c a b ，则_．32．(2018北京)设向量(1,0)a，(1,)m b ，若()m aa b ，则m =_______．33．（2017新课标Ⅰ）已知向量(1,2)a ，(,1)m b ．若向量a b 与a 垂直，则m =__．34．（2017新课标Ⅲ）已知向量(2,3)a，(3,)m b，且ab ，则m =．35．（2017天津）在△ABC 中，60A ，AB=3，AC=2．若2B DD C ，AEACAB（R ），且4AD AE，则的值为．36．（2017山东）已知向量(2,6)a ，(1,)b ，若a ∥b ，则．37．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA与OC 的夹角为，且tan 7，OB 与OC 的夹角为45。

高三数学综合测试(5)(解析版)

高三数学综合测试（5）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集{}3U x x =∈≤Z ，集合{}3,1,2,3A =−−，{}3,0,1,2B =−，则()U B A ∩= （）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C 【详解】因为全集{}{}{}3333,2,1,0,1,2,3U x x x x =∈≤=∈−≤≤=−−−Z Z ，又因为{}3,1,2,3A =−−，{}3,0,1,2B =−，则{}2,0,1U A =− ，因为(){}0,1U A B ∩=.故选：C. 2．若虚数z 使得z 2+z 是实数，则z 满足（） A ．实部是12−B ．实部是12C ．虚部是0D ．虚部是12【答案】A 【详解】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），222222(i)(i)2i i (2)i z z a b a b a ab b a b a a b ab b +=+++=+−++=+−++，2z z+是实数，因此20ab b +=，0b =（舍去），或12a =−．故选：A ． 3．已知向量,ab 的夹角为120 ，且,a b 是函数()256f x x x −=+的两个零点.若()(2)a b a λλ+⊥> ，则λ=（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】解：因为函数()256f x x x −=+的两个零点分别为2，3，所以2,3a b == 或3,2a b == . 又()a b a λ+⊥ ，所以()0a b a λ+⋅= ，则20a a b λ+⋅= ，即2||cos1200a a b λ+=.当2,3a b == 时，142302λ+×××−=，解得43λ=（舍去）；当3,2a b == 时，193202λ+×××−=，解得3λ=，满足2λ>. 综上，3λ=故选：A4．已知函数1,()2,xx x a f x x a +≤ = > ，若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是（） A ．(],0−∞B ．[]0,1C ．[)0,∞+D ．(],1−∞【答案】B 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论：当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ；综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤.故选：B5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A ．14πB ．18πC ．24πD ．30π【答案】D 【详解】依题意，每段圆弧的圆心角为2π3，第一段圆弧到第n 段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，…，n.，所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为π(19)292π330+××=.故选：D. 6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm ，高10cm ，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（） A ．BC ．4D ．5【答案】D 【详解】大圆柱表面积为2215π10215π750π×+××= 小圆柱侧面积为102πr ×，上下底面积为22πr所以加工后物件的表面积为2750π20π2πr r +−，当=5r 时表面积最大.故选：D7．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中π0,0,02A ωϕ−>><<.在已知21x x 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（） A ．ωB ．ϕC ．φωD ．sin A ϕ【答案】B 【详解】根据图象可知，函数()f x 的图象是由sin y A x ω=向右平移ϕω−个单位得到的；由图可知12()()0fx f x ==，利用整体代换可得120,πx x ωϕωϕ+=+=，所以21πx x ϕϕ−=−，若21x x 为已知，则可求得21π1x x ϕ=−.故选：B 7*．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω=+>< .若55,662424f x f x f x f x ππππ+=−−−+=−−，且()f x 在区间,32ππ上单调，则ω=（） A ．43B ．43或4 C ．4D ．43或203【答案】B 【详解】由66f x f x ππ+=−−，得函数()f x 的图象关于点,06π中心对称；由552424f x f x ππ−+=−−，得函数()f x 的图象关于直线524x π=−对称，所以5,62442T kTk ππ −−+∈ Z ，解得()3,212T k k π∈+Z ，即()23,212k k ππω=∈+Z ，得()412,3k k ω+=∈Z.因为()f x 在区间,32ππ上单调，所以232T ππ−≤，即3T π≥，所以23ππω≥，解得6ω≤.又()412,3k k ω+=∈Z ，所以0k =或1k =.当0k =时，43ω=，则4,36k k πϕπ×+=∈Z ，得29k πϕπ=−. 由2πϕ<，得29πϕ=−，此时()42sin 39f x x π =− ，当524x π=−时，5sin 1242f ππ−=−=−，符合题意；当1k =时，4ω ，则4,6k k πϕπ×+=∈Z ，得2,3k k πϕπ=−∈Z . 由2πϕ<，得3πϕ=，此时()sin 43f x x π=+，当524x π=−时，5sin 1242f ππ−=−=−，符合题意. 综上，43ω=或4ω .故选：B. 8．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:240l x y −−=上一动点，下列结论不正确的是（） A ．直线l 与圆C 相离B ．圆C 上有且仅有一个点到直线l 的距离等于1C ．过点P 向圆C 引一条切线P A ，A 为切点，则PA的最小值为D ．过点P 向圆C 引两条切线P A 和PB ，A 、B 为切点，则直线AB 过定点【答案】B 【详解】对于A ，圆心(0,0)C 到直线 240x y −−=的距离1d r =>=，所以直线与圆相离，故A 正确；对于B ，由A知d =011d r∴<−=<，故圆C 上有2个点到直线l 的距离等于1，故B 错误；对于C，||PA = ，当且仅当PC 与直线240x y −−=垂直时等号成立，所以PA 的最小C 正确；对于D ，设点00(,)P x y ，则00240x y −−=，即00122y x =−，由切线性质可知,,,C A B P 四点共圆，且圆的直径为CP ，所以圆的方程为22220000()()224x y x y x y +−+−=，两圆的方程作差，得公共弦AB 所在直线方程为001xx yy +=，即001(2)12xx y x +−=，整理可得01()2102x y x y +−−=，解方程102210x y y += −−= ，解得1412x y= =−，所以直线AB 过定点11,42−，故D 正确.故选：B9．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 在线段1B C 上，有下列四个结论：①11AB CD ⊥；②点P 到平面1A BD③二面角11A B C D −−的余弦值为23；④若四面体11B ACD 的所有顶点均在球O 的球面上，则球O的体积为. 其中所有正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】如图，连接1DC .因为四边形11DCC D 为正方形，所以11DC CD ⊥.又11AB DC ∥，所以11AB CD ⊥，故①正确；因为11//B C A D ，1A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ，所以点P 到平面1A BD 的距离即为点1B 到平面1A BD 的距离d .因为1111B A BD D A BB V V −−=三棱锥三棱锥，所以2111111332d ×=××××，解得d =②正确；由题意知111,AB C D B C 为全等的等边三角形，当点P 为1B C 的中点时，连接1,AP D P ，则111,AP B C D P B C ⊥⊥，所以1APD ∠为二面角11A B C D −−的平面角.由题意知11AD AP D P===，在1APD △中，由余弦定理，得22211112cos AD AP D P AP D P APD ∠=+−×××，即22212cos APD ∠+−，所以11cos 3APD ∠=，故③错误；因为四面体11B ACD 的外接球即为正方体1111ABCD A B C D −的外接球，所以球O34π3V =×，故④错误. 综上，正确结论的个数是2.故选：B.10．已知函数()1,0,2,0.x f x x x a x −< = −+≥若()f x 的图象上至少有两对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2 −∞B ．1,2 +∞C ．10,2D ．[]0,1【答案】C 【详解】解：当0x <时，()1f x x =−，则其关于y 轴对称的图象所对应的函数解析式为1,0y x x=>. 由题意知当0x >时，1y x=与2y x a =−+的图象至少有两个公共点，即方程12x a x=−+在区间(0,)∞+内至少有两个实根.令12,021,212,2x x xy a y x x x x x+−<≤ ==−−= −+> ，在同一平面直角坐标系中分别作出y a =与12(0)y x x x=−−>的图象，如图：由图可知，若直线y a =与曲线12(0)y x x x=−−>至少有两个公共点，则102a ≤≤.故实数a 的取值范围是10,2.故选：C.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左直径的圆与C 的渐近线在第一象限交于点M .若AOM 的内切圆半径为3abc，则C 的离心率为（） ABCD【答案】A 【详解】由题意知(),0A a −，双曲线C 过第一程为222x y c +=.联立222,,b y x a x y c =+=解得,x a y b = = 或,,x a y b =− =− 所以(),M a b ，则AM 又,,OA a OM c AOM == 的内切圆半径为3abc，所以11(232ab a c ab c ×+×=2c a =−.结合222+=a b c ，得223420c ac a −−=，所以23420e e −−=，解得e =e .故选：A12．已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=.若()f x 的图象关于点()3,0中心对称，322g x+ 为偶函数，且()()12,33g g ==−，则20231()k g k ==∑（）A ．670 B ．672 C ．674 D ．676【答案】D 【详解】因为()f x 的图象关于点()3,0中心对称，所以()()33f x f x +=−−+，则()()6f x f x =−−+，所以()()6f x f x ′′=−+，即()()6g x g x =−+，所以()()33g x g x +=−+，所以函数()g x 的图象关于直线3x =对称.又322g x + 为偶函数，所以332222g x g x +=− ，则3322g x g x+=−，所以()g x 的图象关于直线32x =对称，所以()()333332222g x g x g x g x +=+−=−+=，所以()g x 的周期为3T =.由3322g x g x+=−，得()()212g g ==.又()33g =−，所以()()()1231g g g ++=.故20231()[(1)(2)(3)]674(1)6742676k g k g g g g ==++×+=+=∑.故选：D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若椭圆22221(0)2x y m m m +=>+的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有（写出所有可能值）、2【详解】由题意可知，a b m ===，若这两个顶点为长轴的两个端点时，4,m =若这两个顶点为短轴的两个端点时，24,2m m ==；4,m =14．已知函数()()()2ln ,f x ax x a f x =+∈R 的导函数为()f x ′，且()13f ′=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为__________.【答案】320x y −−=【详解】由()2ln (f x ax x a =+∈R ），得()12f x ax x′=+，所以()121f a ′=+. 令213a +=，得1a =，所以()2ln f x x x =+，则()11f =.故所求切线方程为()131y x −=−，即320x y −−=. 故答案为：320x y −−=15．记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()22221231111111141n na a a a n ++++=−−−−+ .若不等式1n n S a λ+ 恒成立，则实数λ的取值范围是__________.【答案】4,3 +∞【详解】因为()22221231111111141n n a a a a n ++++=−−−−+ ①，所以当2n ≥时，222212311111111114n n a a a a n −−++++=−−−− ②. ①-②，得()()2111141441n n n a n nn n −=−=−++，所以222441(21)n a n n n =++=+，因为数列{}n a 是正项数列，则()21*n a n =+.当1n =时，()21111411a =−×+，则13a =，符合()*式，从而21n a n =+，{}n a 是首项为3，公比为2的等差数列，所以()232122nn n S n n ++==+，由1n n S a λ≥+，得()2222n n n λ+≥+，即2222n n nλ+≥+.令()()()222122212(1)111n n f n n n n n n ++===++−+−+，因为()()111g n n n =+−+在N n ∗∈时单调递增，所以()()2111f n n n =+−+单调递减，则当1n =时，()f n 取得最大值，且为43，所以43λ≥.故答案为：4,3+∞.16．()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 是函数()f x 的图象上不重合的三点，若函数()f x 满足：当1230x x x ++=时，总有123,,P P P 三点共线，则称函数()f x 是“零和共线函数”．若3y x ax =+是“零和共线函数”，则a 的范围是__________．【答案】R 【详解】由3()y f x x ax ==+的定义域为R ，又33()()()()()f x x a x x ax f x −=−+−=−+=−，所以，R a ∈有()y f x =均为奇函数，且(0)0f =，即()y f x =图象在y 轴一侧的点，在其另一侧一定存在关于原点对称的点，所以，上述y 轴两侧关于原点的对称点与原点可构成满足题设的123,,P P P 三点，综上，对于R a ∈，都有3y x ax =+是“零和共线函数”.故答案为：R 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(本小题满分12分）在ABC 中，2AB =，D 为AB中点，CD = .(1)若BC =AC 的长； (2)若2BAC BCD ∠=∠ ，求AC 的长. 【答案】【详解】（1）在BDC中，222cos 2BD CD BC BDCBD CD +−∠==⋅，则cos cos ADC BDC ∠=−∠ ，在ADC △中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+−⋅⋅∠12(4=+−=，所以2AC =. （2）设,AC x BC y ==，在ADC △和BDC1,sin sin sin x y ADC BCD BDC =∠∠∠，又sin sin ADC BDC ∠=∠，得sin sin BAC BCD ∠=∠BDC中，cos BCD ∠ 由2BAC BCD ∠=∠，有sin 2sin cos BAC BCD BCD ∠=∠∠2，整理得：()2221y x y =+，①又由cos cos ,ADC BDC ∠=−∠226x y +=，② 联立①②得，3227120x x x −−+=，即()()2340x x x −+−=.，解得3x =或x =11x <<，故x =AC =18(本小题满分12分）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止. (1)记总的抽取次数为X ，求E （X ）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y ，求E （Y ）【答案】(1)325(2)6，答案见解析【详解】（1）X 可能取值为4，5，6，7，()()()()4364333354477747C C C C 141054,5,6,7C 35C 35C 3520C 3P X P x P X P X ============， ()141020324567353535355E X =×+×+×+×= ；（2）Y 可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为1Y 和2Y ，()()()2111122314C 8C 422C C 11P Y P Y P Y ======⋅，()()()()()2111112211222224413343218C C C C 523C C C C P P Y P Y P Y P Y Y +===⋅+⋅=====，()()()()()11113122212222234341743318C C C C 62C C C C P Y P P Y P Y Y P Y ====+==⋅==+⋅，()()()1132222134C C 876413C C P Y P P Y Y ======⋅ ，()14764567618181818E Y =×+×+×+×=. 19(本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB DC ，AB =2AD =2CD =2，点E 是PB 的中点.(1)证明：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若直线PB 与平面P ACP -AC -E 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【详解】（1）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PC AC ⊥.∵2AB =，由1ADCD ==，AD DC ⊥且ABCD 是直角梯形，∴AC BC ==222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. ∵PC BC C ∩=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥平面PBC .∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC（2）∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥.由（1）知AC BC ⊥.∵PC AC C ∩=，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ， ∴BPC ∠即为直线PB 与平面PAC 所成角.∴sin BC BPC PB ∠=PB =2PC = 取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为坐标原点，分别以CG ､CD ､CP 为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()002P ,,，()1,1,0A ，()1,1,0B −，11,,122E−， ∴()1,1,0CA = ，()0,0,2CP =，11,,122CE =−设()111,,m x y z = 为平面PAC 的法向量，则111020m CA x y m CP z ⋅=+= ⋅== ，令11x =，得10z =，11y =−，得()1,1,0m =−设()222,,x n y z =为平面ACE 的法向量，则22222011022n CA x y n CE x y z ⋅=+=⋅=−+=，令21x =，则21y =−，21z =−，得()1,1,1n −−.∴cos,m n<>由图知所求二面角为锐角，所以二面角P AC E−−.20 (本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为1F，点P在C上，1PF的最大值为1+，且当1PF垂直于长轴时，1PF=(1)求C的方程；(2)已知点,D O为坐标原点，与OD平行的直线l交C于,A B两点，且直线DA，DB分别与x轴的正半轴交于,E F两点，试探究OE OF+是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】(1)2212xy+=(2)是，OE OF+为定值2【详解】（1）1PF的最大值为a c+，当1PF垂直于长轴时，将x c=−代入椭圆可得222bya=，则21bPFa=，所以22221a cbaa b c+===+，解得11abc===，所以C的方程为2212xy+=（2）OE OF+为定值.由题可知直线OD，且直线DA，DB分别与x轴的正半轴交于,E F两点，故设直线l的方程为()()1122(0),,,,y mm A x y B x y=+<.联立2212y x mxy=++=得2210x m+−=，则()222Δ)4124m m−−=−+>，解得m<<，则0m<<，所以21212,1x x x xm+=−，直线DA的方程为)1y x−，令0y=，得1x=1E，所以11OE =−，同理可得11OF=−故2OE OF+=−2−2=22=，所以OE OF+为定值2.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解. 21(本小题满分12分）已知函数()2ln 1xf x x x x =++. (1)证明：()f x 恰有一个零点； (2)设函数()()()()()22ln 1,1g x a x x F x f x g x x =+−−=++.若()F x 至少存在两个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)()2,1−− 【详解】（1）证明：令()0f x =，得2ln 01xx x x +=+.又0x >，所以2ln 0x x x ++=. 令()2ln t x x x x =++，则()1210t x x x=++>′，所以()t x 在区间()0,∞+上单调递增. 又211e 10,(1)20e e t t + =−+<=>，所以存在唯一的01(1)e ,x ∈，使得()00t x =，即()t x 在区间()0,∞+内恰有一个零点，故函数()f x 恰有一个零点. （2）由题意知()()2ln ln 111x Fx x a x x x =++−++，所以()1ln 2111x F x a x x + =++++′. 因为函数()F x 至少存在两个极值点，所以方程ln 2101x a x +++=+至少有两个不等实根. 令()ln 21x x x ϕ+=+，则()221ln 2111ln (1)(1)x x x x x x x x ϕ+−− ==−+−′++. 令()11ln r x x x=−+−，则()2110r x x x ′=−−<，所以函数()r x 在区间()0,∞+上单调递减.又()10r =，所以当()0,1x ∈时，()0r x >，即()x ϕ′>0，此时()x ϕ单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0r x <，即()0x ϕ′<，此时()x ϕ单调递减，且当0x →时，()();11x ϕ∞ϕ→−=；当1x >时，()0x ϕ>；当x →+∞时，()0x ϕ→.要使()10x a ϕ++=在区间()0,∞+内至少有两个不等实根，则函数()x ϕ的图象与直线1y a =−−在区间(0,)+∞上至少有两个交点. 作出函数()x ϕ的图象，如图所示，则011a <−−<，解得21a −<<−.此时，()F x ′在区间()0,1和区间()1,+∞内各有一个零点，分别设为12,x x ，则当10x x <<或2x x >时，()0F x ′<；当12x x x <<时，()0F x ′>，故1x 为()F x 的极小值点， 2x 为()F x 的极大值点，符合题意.故实数a 的取值范围是()2,1−−.【点睛】用导数研究函数零点的方法：（1）涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．（2）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用B 2铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编文科专题5 数列小题(文科)(解析版)

n 项和
Sn，公差
d≠0， a1 d
1 ．记
b1=S2，
bn+1=Sn+2–S2n， n N ，下列等式不可能成立的是
( )
A．2a4=a2+a6
B．2b4=b2+b6
C． a42 a2a8
D． b42 b2b8
【答案】D
解析：对于 A，因为数列an 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 4 4 2 6 可得，
由 an
a1
n
1 d
0
可得 n
1
a1 d
，取
N0
1
a1 d
1 ，则当 n
N0
时， an
0，
所以，“an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n N0 时， an 0 ”；
若存在正整数 N0 ，当 n N0 时， an 0 ，取 k N 且 k N0 ， ak 0 ，
假设 d
0 ，令 an
Sn =
1 2
An An+1 ×tan q Bn Bn+1 ，都为定值，所以 Sn+1 - Sn 为定值．故选 A．
3．(2022 高考北京卷·第 15 题)己知数列an 各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 an Sn 9(n 1, 2,) ．给
出下列四个结论：
①an 的第 2 项小于 3； ②an 为等比数列；
2a4 a2 a6 ，A 正确；
对于 B，由题意可知， bn1 S2n2 S2n a2n1 a2n2 ， b1 S2 a1 a2 ，
∴ b2 a3 a4 ， b4 a7 a8 ， b6 a11 a12 ， b8 a15 a16 ．
∴ 2b4 2 a7 a8 ， b2 b6 a3 a4 a11 a12 ．

高考数学专题检测卷五解析几何

专题检测卷(五) 解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·济南质检)若双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线的方程为3x ＋2y ＝0，则m ＝( ) A.49B.94C.23D.32解析由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±1mx (m >0).3x ＋2y ＝0可化为 y ＝－32x ，所以1m ＝32，解得m ＝49.故选A.答案 A2.(2020·北京西城区二模)若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋a ＝0与x 轴、y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.[0，＋∞)D.[5，＋∞)解析将圆的一般方程化作标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－a ，则该圆的圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝5－a .因为该圆与x 轴、y 轴均有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤5－a ，1≤5－a ，5－a >0，解得a ≤1，则实数a 的取值范围是(－∞，1].故选A. 答案 A3.(2020·河南六市模拟)已知P 为圆C ：(x －5)2＋y 2＝36上任意一点，A (－5，0).若线段P A 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)解析如图，由题意知|QA |＝|QP |，||QA |－|QC ||＝||QP |－|QC ||＝|PC |＝6<|AC |＝10，所以动点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线，其方程为x 29－y 216＝1.故选B.答案 B4.(2020·辽宁五校模拟)仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美地证明了平面截圆柱的截面为椭圆面.如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.32解析由题意可知椭圆的长轴与两球心连线的夹角为30°，所以椭圆的长轴2a ＝2sin 30°＝4，a ＝2，椭圆的短轴长等于球的直径，所以b ＝1，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D. 答案 D5.(2020·江南十校素质测试)已知点P 在圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上，点Q 在直线l ：x －2y ＋1＝0上，且点Q 的横坐标x ∈[－1，a ).若|PQ |既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤35，115 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，＋∞ 解析如图，直线l ：x －2y ＋1＝0与x 轴交于点Q 1(－1，0).连接Q 1C 并延长，交圆C 于点P 1.过点C 作CQ 2⊥直线l 于点Q 2，交圆C 于点P 2，则|P 2Q 2|为|PQ |的最小值.易知直线CQ 2：y ＝－2x ＋2.设Q 2(x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋2，x －2y ＋1＝0，解得x 2＝35，∴a >35.设点Q 3(x 3，y 3).为点Q 1关于点Q 2的对称点，则x 3＝115.当a >115时，|PQ |无法取到最大值，当35<a ≤115时，|PQ |的最大值为|P 1Q 1|，∴35<a ≤115.故选A. 答案 A6.(2020·青岛检测)已知直线y ＝k (x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k (x －2)与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |－2|MN |，则( ) A.λ<－16 B.λ＝－16 C.－12<λ<0D.λ＝－12解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2.因为直线y ＝k (x －1)经过抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2.同理可得|MN |＝8＋2k 2.所以λ＝4＋4k 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋2k 2＝4－16＝－12.故选D. 答案 D7.(2020·南昌调研)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.(2，5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，52D.(5，2＋1)解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0的圆心坐标为(0，5)，半径为3.因为圆C 上有且仅有两点到直线bx －ay ＝0的距离为1，所以圆心(0，5)到直线bx －ay ＝0的距离d 的范围为2<d <4，即2<5a a 2＋b2<4.又a 2＋b 2＝c 2，所以2<5a c <4，即54<e <52.故选C. 答案 C8.(2020·潍坊模拟)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，23)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 交于点Q ，与过焦点F且垂直于x 轴的直线交于点A ，B ，|AB |＝|PQ |，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M .若|PF |＝3|PQ |，则|PQ ||FM |＝( )A.1B. 3C.2D. 5解析如图，连接P A ，PB .因为|AB |＝|PQ |，所以△P AB 是正三角形.又x 0>p2，所以x 0－p 2＝32|PQ |.又因为|PF |＝x 0＋p 2＝3|PQ |，所以x 0＝3p 2.所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，23，所以(23)2＝2p ·3p 2.因为p >0，所以p ＝2.所以F (1，0)，P (3，23)，所以|PQ |＝33|PF |＝33·（23－0）2＋（3－1）2＝433，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线PF 的方程为y ＝3(x －1).由⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，所以|FM |＝13＋1＝43，所以|PQ ||FM |＝ 3.故选B.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.0<r<2 2B.若△P AB为直角三角形，则r＝4C.△P AB外接圆的方程为x2＋y2＝4D.直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0解析因为过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的切线有两条，则点P 在圆C外，则r<|PC|＝42，故A错误；若△P AB为直角三角形，则四边形P ACB 为正方形，则2r＝|PC|＝42，解得r＝4，故B正确；由P A⊥CA，PB⊥CB，可得点P，A，C，B共圆，所以△P AB的外接圆就是以PC为直径的圆，即x2＋y2＝8，故C错误；将(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2与x2＋y2＝8相减即得直线AB的方程，所以直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0，所以D正确.故选BD.答案BD10.(2020·潍坊模拟)已知双曲线x24－y22＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是()A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程解析由题意，得双曲线的标准方程为x24sin2θ－y22sin2θ＝1，则a＝2|sin θ|，b＝2|sin θ|，则c＝a2＋b2＝6|sin θ|，则双曲线的焦距为2c＝26|sin θ|，顶点坐标为(±2|sin θ|，0)，离心率为e＝ca＝62，渐近线方程为y＝±22x.所以不因θ改变而变化的是离心率、渐近线方程.故选BD. 答案BD11.设P 是椭圆C ：x 22＋y 2＝1上任意一点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，则( ) A.|PF 1|＋|PF 2|＝2 2 B.－2<|PF 1|－|PF 2|<2 C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2 D.0≤PF 1→·PF 2→≤1解析椭圆C 的长轴长为22，根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝22，故A 正确；||PF 1|－|PF 2||≤|F 1F 2|＝22－1＝2，所以－2≤|PF 1|－|PF 2|≤2，B 错误；|PF 1|·|PF 2|＝14[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2]，而0≤(|PF 1|－|PF 2|)2≤4，所以1≤|PF 1|·|PF 2|≤2，C 正确；PF 1→·PF 2→＝(OF 1→－OP →)·(OF 2→－OP →)＝OF 1→·OF 2→－OP →·(OF 1→＋OF 2→)＋|OP →|2＝|OP →|2－1，根据椭圆性质有1≤|OP |≤2，所以0≤PF 1→·PF 2→＝|OP →|2－1≤1，D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，∠EPF 的外角平分线交x 轴于点Q ，过点Q 作QN ⊥PE 交EP 的延长线于点N ，作QM ⊥PF 交线段PF 于点M ，则( )A.|PE |＝|PF |B.|PF |＝|QF |C.|PN |＝|MF |D.|PN |＝|KF |解析由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，A 正确；∵PN ∥QF ，PQ 是∠FPN 的平分线，∴∠FQP ＝∠NPQ ＝∠FPQ ，∴|PF |＝|QF |，B 正确；若|PN |＝|MF |，则由PQ 是∠FPN 的平分线，QN ⊥PE ，QM ⊥PF ，得|QM |＝|QN |，从而有|PM |＝|PN |，于是有|PM |＝|FM |，则有|QP |＝|QF |，∴△PFQ 为等边三角形，∠FPQ ＝60°，也即有∠FPE ＝60°，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，如图，由选项A、B知|PE|＝|QF|，又PE∥QF，∴EPQF是平行四边形，∴|EF|＝|PQ|，∴△EKF≌△QNP，∴|KF|＝|PN|，D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020·武汉质检)已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为________.解析由题知，双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).因为点(4，1)在双曲线上，所以λ＝42－4＝12，所以双曲线的标准方程为x212－y23＝1.答案x212－y23＝114.已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是________.解析由题意可得|AB|＝（－1＋5）2＋（－3－0）2＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5可得M，N到直线AB的距离均为2，由于直线AB的方程为y－0－3－0＝x＋5－1＋5，即3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r＋2，解得r＝1，若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r－2，解得r＝5.故r的取值范围是(1，5). 答案(1，5)15.如图，点A，B分别是椭圆x225＋y2b2＝1(0<b<5)的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为15x ＋y －415＝0，且P A →·PF →＝0，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________.解析依题意得直线AP 的方程为x －15y ＋5＝0，直线PF 与x 轴的交点为(4，0)，即F (4，0)，∴b 2＝25－16＝9，即椭圆方程为x 225＋y 29＝1.设M (m ，0)(－5≤m ≤5)，则M 到直线AP 的距离为|m ＋5|4，又|MB |＝|5－m |，所以|m ＋5|4＝|5－m |，∵－5≤m ≤5，∴m ＋54＝5－m ，解得m ＝3，∴M (3，0).设椭圆上的点(x ，y )(x ∈[－5，5])到M (3，0)的距离为d ，则d 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝1625x 2－6x ＋18＝1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x －75162＋6316，∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝7516时，d 2最小，此时d min ＝374. 答案37416.(2020·烟台诊断)已知F 为抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，点A (1，p )，M 为抛物线上任意一点，且|MA |＋|MF |的最小值为3，则该抛物线的方程为________.若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点，则四边形APFQ 的面积为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析由题意，得抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线的方程为y ＝－p 2.因为|MF |等于点M 到准线的距离，所以当p >12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为点A 到准线y ＝－p 2的距离，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以3p2＝3，解得p ＝2，满足p >12p ；当p ≤12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为|AF |，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以（1－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －p 22＝3，解得p ＝42，不满足p ≤12p .综上所述，p ＝2.因此抛物线的方程为x 2＝4y .由p ＝2得，点A (1，2)，焦点F (0，1)，则线段AF 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，且|AF |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.设线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x 2＝4y .解得⎩⎨⎧x 1＝－2＋23，y 1＝4－23或⎩⎨⎧x 2＝－2－23，y 2＝4＋23，则|PQ |＝（4＋23－4＋23）2＋（－2－23＋2－23）2＝4 6.所以四边形APFQ 的面积S ＝12|AF |·|PQ |＝12×2×46＝4 3. 答案 x 2＝4y 4 3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020·北京适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0，1)，B (0，－1)，焦距为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上. (1)解由题意知c ＝3，b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1<m <1，则x 20＝4(1－m 2).①∵点D 在直线AN 上一点，A (0，1)， ∴AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)， ∴OD →＝OA →＋AD →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， ∴D (λx 0，λ(m －1)＋1). ∵B (0，－1)，M (－x 0，m )，∴k BD ·k BM ＝λ（m －1）＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14. 整理，得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入上式得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0. ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0， ∴点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值. 解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0). 将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得 (m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，所以点M 的纵坐标y M ＝－mtm 2＋2. 将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0，所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m，因此x 0＝2p （m 2＋2）2m 2.由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160，当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040.19.(本小题满分12分)(2019·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1).(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点.(1)解由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1. 同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2. 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0).20.(本小题满分12分)(2020·沈阳一监)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (2，2)，点B 在抛物线C 上，且满足OF →＝FB →－2F A →(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l ′，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l ′与抛物线C 交于M ，N 两点，△OPQ 的面积记为S 1，△OMN 的面积记为S 2，求证：1S 21＋1S 22为定值. (1)解设B (x 0，y 0)，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴OF →＝FB →－2F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2，2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2－4，y 0－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p 2－4＝p 2，y 0－4＝0，∴⎩⎨⎧x 0＝4，y 0＝4. ∵点B 在抛物线C 上，∴42＝2p ×4，∴p ＝2，∴y 2＝4x .(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意得，直线l 的斜率存在且不为零.设l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 得，y 2－4my －4＝0.∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∴|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16＝4m 2＋1.因此S 1＝12|y 1－y 2|×1＝2m 2＋1.同理可得，S 2＝21m 2＋1.∴1S 21＋1S 22＝14（m 2＋1）＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝14（m 2＋1）＋m 24（m 2＋1）＝14. ∴1S 21＋1S 22为定值，定值为14. 21.(本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.(1)证明因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83).当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83).22.(本小题满分12分)(2020·东北三校一联)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线l ：x＝－12相切，与定圆F ：(x －1)2＋y 2＝14外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M ，N (MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，直线l 交x 轴于点A ，记△AMM 1，△AMN ，△ANN 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 22＝4S 1S 3，求证：直线MN 过定点.(1)解设P (x ，y )，⊙P 的半径为R ，则R ＝x ＋12，|PF |＝R ＋12，∴点P 到直线x ＝－1的距离与到定点F (1，0)的距离相等，故点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2，设直线MN ：x ＝ty ＋n (t ≠0，n >0).将直线MN 的方程代入y 2＝4x 消去x 并整理，得y 2－4ty －4n ＝0，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4n <0.∵S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12·|y 1|，S 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|y 2|， ∴4S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 1y 2| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 1＋n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2＋n ＋12|y 1y 2| ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2y 1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12t （y 1＋y 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·|－4n | ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4nt 2＋4t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n . ∵S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·|y 1－y 2| ＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， ∴S 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·(16t 2＋16n )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n ).∵S 22＝4S 1S 3，∴n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n )，即2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，解得n ＝12. ∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.。

2020高考数学热点难点微专题五“隐圆”问题考点考向考题点拨(29张)

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专题综述典型例题课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
2. 已知|O→A|＝|O→B|＝ 2，且O→A·O→B＝1，若点 C 满足|O→A＋O→B|＝1，则|O→C|的取值范围是________． [ 6－1， 6＋1] 解析：O→A·O→B＝|O→A|×|O→B|×cos〈O→A，O→B〉＝1，cos〈O→A，O→B〉＝12，cos〈O→A，O→B〉＝π3.以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 O(0,0)，令 A( 2，0)，B 22， 26，令O→P＝O→A＋O→B＝32 2， 26，|O→P |＝ 6，|O→A＋O→B|＝|O→A＋O→B－O→C|＝|O→P－O→C|＝1，
－b23－522＋94≤12.
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专题综述典型例题课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
6. 已知点 A(0,1)，B(1,0)，C(t,0)，点 D 是直线 AC 上的动点，若 AD≤2BD 恒成立，则最小正整数 t 的值为________．
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专题综述典型例题课后作业
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专题综述典型例题课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
(3) 若直线 l：ax＋y－4a＝0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 C，使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数 a 的取值范围为________． (4) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点 P 在直线 x＋ 3y－b＝0 上，过 P 分别作圆 O，O1 的切线，切点分别为 A，B.若满足 PB＝2PA 的点 P 有且只有 2 个，则实数 b 的取值范围是________．

专题05 立体几何与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)

专题05 立体几何与数学文化纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。

同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。

本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。

【例1】（2019课标2）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．【答案】26，21．【解析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有81+，个面，下层也有81+个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的2cos452=倍．该半正多面体共有888226+++=个面，设其棱长为x，则221x x=，解得21x．【试题赏析】本题以金石文化为背景，考查了球内接多面体，体现了对直观想象和数学运算素养的考查。

【例2】（2018课标Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A ．【试题赏析】本题以中国古建筑借助榫卯将木构件为背景，考查了简单几何体的三视图的画法。

【例2】 (2019浙江高考) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh 柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．324【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即()()114632632722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6，则该柱体的体积是276162V =⨯=．故选：B ．【试题赏析】本题以祖暅原理为背景，考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体。

新高考2024版高考数学一轮复习：高考大题专练五圆锥曲线的综合运用

专练48高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1．[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3.2．[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为 5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．3.[2023·全国乙卷(理)]已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率为53，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．4．[2022·全国甲卷(理)，20]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3.(1)求C 的方程；(2)设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB 的方程．5.[2023·全国甲卷(理)]已知直线x －2y ＋1＝0与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝415.(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且FM →·FN →＝0，求△MFN 面积的最小值．6．[2022·新高考Ⅱ卷，21]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求C 的方程．(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为－3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |＝|MB |.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．7.[2022·全国乙卷(理)，20]已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT →＝TH →.证明：直线HN 过定点．8．[2022·新高考Ⅰ卷，21]已知点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率；(2)若tan ∠PAQ ＝22，求△PAQ 的面积．专练48高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1．解析：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，依题意得|y |＝x 2＋（y －12）2，化简得x 2＝y －14，所以W 的方程为x 2＝y －14.(2)设矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 在W 上，则AB ⊥BC ，矩形ABCD 的周长为2(|AB |＋|BC |).设B (t ，t 2＋14)，依题意知直线AB 不与两坐标轴平行，故可设直线AB 的方程为y －(t 2＋14)＝k (x －t )，不妨设k >0，与x 2＝y －14联立，得x 2－kx ＋kt －t 2＝0，则Δ＝k 2－4(kt －t 2)＝(k －2t )2>0，所以k ≠2t .设A (x 1，y 1)，所以t ＋x 1＝k ，所以x 1＝k －t ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－t |＝1＋k 2|k －2t |＝1＋k 2|2t －k |，|BC |＝1＋（1－1k ）2|－1k －2t |＝1＋k 2k |1k ＋2t |＝1＋k 2k 2|2kt ＋1|，且2kt ＋1≠0，所以2(|AB |＋|BC |)＝21＋k 2k2(|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|).因为|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|k 2－2k ）t ＋k 3－1，t ≤－12kk －2k 2）t ＋k 3＋1，－12k ＜t ≤k 2k 2＋2k ）t －k 3＋1，t >k 2，当2k －2k 2≤0，即k ≥1时，函数y ＝(－2k 2－2k )t ＋k 3－1在(－∞，－12k]上单调递减，函数y ＝(2k －2k 2)t ＋k 3＋1在(－12k ，k2]上单调递减或是常函数(当k ＝1时是常函数)，函数y＝(2k 2＋2k )t －k 3＋1在(k2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝k2时，|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|取得最小值，且最小值为k 2＋1，又k ≠2t ，所以2(|AB |＋|BC |)＞21＋k 2k 2(k 2＋1)＝2（1＋k 2）32k 2.令f (k )＝2（1＋k 2）32k 2，k ≥1，则f ′(k )＝2（1＋k 2）12（k ＋2）（k －2）k3，当1≤k ＜2时，f ′(k )＜0，当k ＞2时，f ′(k )＞0，所以函数f (k )在[1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (k )≥f (2)＝33，所以2(|AB |＋|BC |)＞2（1＋k 2）32k 2≥3 3.当2k －2k 2＞0，即0＜k ＜1时，函数y ＝(－2k 2－2k )t ＋k 3－1在(－∞，－12k]上单调递减，函数y ＝(2k －2k 2)t ＋k 3＋1在(－12k ，k 2]上单调递增，函数y ＝(2k 2＋2k )t －k 3＋1在(k2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝－12k时，|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|取得最小值，且最小值为k 3＋k ＝k (1＋k 2)，又2kt ＋1≠0，所以2(|AB |＋|BC |)＞21＋k 2k 2k (k 2＋1)＝2（1＋k 2）32k .令g (k )＝2（1＋k 2）32k ，0<k <1，则g ′(k )＝2（1＋k 2）12（2k 2－1）k2，当0<k <22时，g ′(k )<0，当22<k <1时，g ′(k )>0，所以函数g (k )在(0，22)上单调递减，在(22，1)上单调递增，所以g (k )≥g (22)＝33，所以2(|AB |＋|BC |)>2（1＋k 2）32k≥3 3.综上，矩形ABCD 的周长大于3 3.2．解析：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，c 为双曲线C 的半焦距，＝25＝5＝a 2＋b 2＝25＝2＝4.所以双曲线C 的方程为x 24－y 216＝1.(2)方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 1＝my 1－4，x 2＝my 2－4.my －4－y 216＝1，得(4m 2－1)y 2－32my ＋48＝0.因为直线MN 与双曲线C 的左支交于M ，N 两点，所以4m 2－1≠0，且Δ>0.1＋y 2＝32m4m 2－11y 2＝484m 2－1，所以y 1＋y 2＝2m3y 1y 2.因为A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，所以A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程为y 1x 1＋2＝y x ＋2，直线NA 2的方程为y 2x 2－2＝yx －2，所以y 1x 1＋2y 2x 2－2＝yx ＋2y x －2，得（x 2－2）y 1（x 1＋2）y 2＝x －2x ＋2，（my 2－6）y 1（my 1－2）y 2＝my 1y 2－6y 1my 1y 2－2y 2＝x －2x ＋2.因为my 1y 2－6y 1my 1y 2－2y 2＝my 1y 2－6（y 1＋y 2）＋6y 2my 1y 2－2y 2＝my 1y 2－6·2m3y 1y 2＋6y 2my 1y 2－2y 2＝－3my 1y 2＋6y 2my 1y 2－2y 2＝－3，所以x －2x ＋2＝－3，解得x ＝－1，所以点P 在定直线x ＝－1上．方法二由题意得A 1(－2，0)，A 2(2，0).设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 214－y 21164x 21－y 21＝16.如图，连接MA 2，kMA 1·kMA 2＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝4x 21－16x 21－4＝4①.由x 24－y 216＝1，得4x 2－y 2＝16，4[(x －2)＋2]2－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)＋16－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)－y 2＝0.由x ＝my －4，得x －2＝my －6，my －(x －2)＝6，16[my －(x －2)]＝1.4(x －2)2＋16(x －2)·16[my －(x －2)]－y 2＝0，4(x －2)2＋83(x －2)my －83(x －2)2－y 2＝0，两边同时除以(x －2)2，得43＋8m 3·yx －2－＝0，－8m 3·y x －2－43＝0.kMA 2＝y 1x 1－2，kNA 2＝y 2x 2－2，由根与系数的关系得kMA 2·kNA 2＝－43②.由①②可得kMA 1＝－3kNA 2.：y ＝kMA 1(x ＋2)＝－3kNA 2(x ＋2)，lNA 2：y ＝kNA 2(x －2).＝－3kNA 2（x ＋2）＝kNA 2（x －2），解得x ＝－1.所以点P 在定直线x ＝－1上．3．解析：(1)因为点A (－2，0)在C 上，所以4b2＝1，得b 2＝4.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝53，所以c 2＝59a 2，又a 2＝b 2＋c 2＝4＋59a 2，所以a 2＝9，c 2＝5，故椭圆C 的方程为y 29＋x 24＝1.(2)由题意知，直线PQ 的斜率存在且不为0，设l PQ ：y －3＝k (x ＋2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，k （x ＋2），＋x 24＝1，得(4k 2＋9)x 2＋(16k 2＋24k )x ＋16k 2＋48k ＝0，则Δ＝(16k 2＋24k )2－4(4k 2＋9)(16k 2＋48k )＝－36×48k >0，故x 1＋x 2＝－16k 2＋24k 4k 2＋9，x 1x 2＝16k 2＋48k4k 2＋9.直线AP ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝0，解得y M ＝2y 1x 1＋2，同理得y N ＝2y 2x 2＋2，则y M ＋y N ＝2y 1（x 2＋2）＋y 2（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝2（kx 1＋2k ＋3）（x 2＋2）＋（kx 2＋2k ＋3）（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝22kx 1x 2＋（4k ＋3）（x 1＋x 2）＋8k ＋12x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝22k （16k 2＋48k ）＋（4k ＋3）（－16k 2－24k ）＋（8k ＋12）（4k 2＋9）16k 2＋48k ＋2（－16k 2－24k ）＋4（4k 2＋9）＝2×10836＝6.所以MN 的中点的纵坐标为y M ＋y N2＝3，所以MN 的中点为定点(0，3).4．解析：(1)方法一由题意可知，当x ＝p 时，y 2＝2p 2.设M 点位于第一象限，则点M 的纵坐标为2p ，|MD |＝2p ，|FD |＝p2.在Rt△MFD 中，|FD |2＋|MD |2＝|FM |2＋(2p )2＝9，解得p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .方法二抛物线的准线方程为x ＝－p2.当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p .此时|MF |＝p ＋p2＝3，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1＝tan α，k 2＝tan β.由题意可得k 1≠0，k 2≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＜0，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，y 3＜0，y 4＞0.设直线AB 的方程为y ＝k 2(x －m )，m 为直线AB 与x 轴交点的横坐标，直线MN 的方程为y ＝k 1(xMD 的方程为y ＝k 3(x －2)，直线ND 的方程为y ＝k 4(x －2).＝k 1（x －1），2＝4x ，所以k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，则x 1x 2＝1.＝k2（x－m），2＝4x，所以k22x2－(2mk22＋4)x＋k22m2＝0，则x3x4＝m2.＝k3（x－2），2＝4x，所以k23x2－(42＋4)x＋4k23＝0，则x1x3＝4.＝k4（x－2），2＝4x，所以k24x2－(4k24＋4)x＋4k24＝0，则x2x4＝4.所以M(x1，2x1)，N(1x1，－2x1)，A(4x1，－4x1)，B(4x1，4x1).所以k1＝2x1x1－1，k2＝x1x1－1，k1＝2k2，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝k1－k21＋k1k2＝k21＋2k22＝11k2＋2k2.因为k1＝2k2，所以k1与k2同号，所以α与β同为锐角或钝角．当α－β取最大值时，tan(α－β)取得最大值．所以k2＞0，且当1k2＝2k2，即k2＝22时，α－β取得最大值．易得x3x4＝16x1x2＝m2，又易知m＞0，所以m＝4.所以直线AB的方程为x－2y－4＝0.5．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，由Δ1＝16p2－8p>0，得p>12.y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，所以|AB·（y1＋y2）2－4y1y2＝5·16p2－8p＝415，解得p＝2或p＝－32(舍去)，故p＝2.(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0).因为FM→·FN→＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝12|MF||NF|＝12(x3＋1)(x4＋1)＝12(x3x4＋x3＋x4＋1)(*).当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，＝x－1，2＝4x，得x2－6x＋1＝0，3＝3－22，4＝3－223＝3＋22，4＝3＋22．代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－22时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－22).当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.＝kx ＋m ，2＝4x ，得k 2x 2－(4－2km )x ＋m 2＝0，Δ2＝(4－2km )2－4m 2k 2>0，3＋x 4＝4－2kmk 2，3x 4＝m 2k2，y 3y 4＝(kx 3＋m )(kx 4＋m )＝k 2x 3x 4＋mk (x 3＋x 4)＋m 2＝4mk.又FM →·FN →＝(x 3－1，y 3)·(x 4－1，y 4)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋y 3y 4＝0，所以m 2k 2－4－2km k 2＋1＋4m k＝0，化简得m 2＋k 2＋6km ＝4.所以S △MFN ＝12(x 3x 4＋x 3＋x 4＋1)＝m 2＋k 2－2km ＋42k 2＝m 2＋k 2＋2kmk 2＝令t ＝mk，则S △MFN ＝t 2＋2t ＋1，2k 2＝4，＋1＝4k2>0，即t 2＋6t ＋1>0，得t >－3＋22或t <－3－22，从而得S △MFN ＝t 2＋2t ＋1>12－82＝4(3－2 2.故△MFN 面积的最小值为4(3－22).＝1，＝3．所以C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线PQ 斜率不存在时，x 1＝x 2x 1>x 2>0，所以直线PQ 斜率存在，所以设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋h (k ＝kx ＋h ，2－y 23＝1.消去y 并整理，得(3－k 2)x 2－2khx －h 2－3＝0.则x 1＋x 2＝2kh 3－k 2，x 1x 2＝h 2＋3k 2－3，x 1－x 2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝23（h 2＋3－k 2）|3－k 2|.因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2＝h 2＋3k 2－3>0，即k 2>3.所以x 1－x 2＝23（h 2＋3－k 2）k 2－3.设点M 的坐标为(x M ，y M )，则y M －y 2＝3(x M －x 2)，y M －y 1＝－3(x M －x 1)，两式相减，得y 1－y 2＝23x M －3(x 1＋x 2).因为y 1－y 2＝(kx 1＋h )－(kx 2h )＝k (x 1－x 2)，所以23x M ＝k (x 1－x 2)＋3(x 1＋x 2)，解得x M＝k h2＋3－k2－khk2－3.两式相加，得2y M－(y1＋y2)＝3(x1－x2).因为y1＋y2＝(kx1＋h)＋(kx2＋h)＝k(x1＋x2)＋2h，所以2y M＝k(x1＋x2)＋3(x1－x2)＋2h，解得y M＝3h2＋3－k2－3hk2－3＝3kx M.所以点M的轨迹为直线y＝3kx，其中k为直线PQ的斜率．选择①②.因为PQ∥AB，所以k AB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，A＝k（x A－2），A＝3x A，解得x A＝2kk－3，y A＝23kk－3.同理可得x B＝2kk＋3，y B＝－23kk＋3.此时x A＋x B＝4k2k2－3，y A＋y B＝12kk2－3.因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝3kx，M＝k（x M－2），M＝3kx M.解得x M＝2k2k2－3＝x A＋x B2，y M＝6kk2－3＝y A＋y B2，所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.选择①③.当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝3kx上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在．当直线AB y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B－2），解得x A＝2mm－3，y A同理可得x B＝2mm＋3，.此时x M＝x A＋x B2＝2mm2－3，y M＝y A＋y B2＝6mm2－3.由于点M同时在直线y＝3k上，故6m＝3k·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.选择②③.因为PQ∥AB，所以k AB＝k.AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，A＝k（x A－2），A＝3x A，解得x A＝2kk－3，y A＝23kk－3.同理可得x B ＝2kk ＋3，y B ＝－23kk ＋3.设AB 的中点为C (x C ，y C )，则x C ＝x A ＋x B 2＝2k 2k 2－3，y C ＝y A ＋y B 2＝6kk 2－3.因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y －y C ＝－1k (x －x C )上．将该直线方程与y ＝3k x 联立，解得x M ＝2k 2k 2－3＝x C ，y M ＝6kk 2－3＝y C ，即点M 恰为AB 的中点，所以点M 在直线AB 上．7．解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ).将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得＝1，＋n ＝1，＝13，＝14．所以椭圆E 的方程为x 23＋y24＝1.(2)证明：(方法一)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2).t （y ＋2），＋y 24＝1.消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2＋8t 4t 2＋3，y 1y 2＝16t 2＋16t －84t 2＋3.设T (x 0，y 1).由A ，B ，T 三点共线，得y 1＋2x 0＝y 1＋1x 0－32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′).由MT →＝TH →，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1，所以直线HN 的斜率k ＝y 2－y ′x 2－x ′＝y 2－y 1x 2＋x 1－（3y 1＋6）＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(x －x 2).令x ＝0，得y ＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(－x 2)＋y 2＝（y 1－y 2）（ty 2＋2t ＋1）t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＋y 2＝（2t －3）y 1y 2＋（2t －5）（y 1＋y 2）＋6y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＝（2t －3）·16t 2＋16t －84t 2＋3＋（5－2t ）·16t 2＋8t4t 2＋3＋6y 1－t （16t 2＋8t ）4t 2＋3－3y 1＋4t －4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2).(方法二)由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2.a．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23＋y 24＝1，可得N (1，263)，M (1，－263).将y ＝－263代入y ＝23x －2，可得T (3－6，－263).由MT →＝TH →，得H (5－26，－263).此时直线HN 的方程为y ＝(2＋263)(x －1)＋263，则直线HN 过定点(0，－2).b．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).－y －（k ＋2）＝0，＋y 24＝1.消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0.1＋x 2＝6k （2＋k ）3k 2＋4，1x 2＝3k （4＋k ）3k 2＋4，1＋y 2＝－8（2＋k ）3k 2＋4，1y 2＝4（4＋4k －2k 2）3k 2＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝－24k3k 2＋4.①＝y 1，＝23x －2，可得T (3y 12＋3，y 1).由MT →＝TH →，得H (3y 1＋6－x 1，y 1).则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1－y 23y 1＋6－x 1－x 2(x －x 2).将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2).8．解析：(1)∵点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，∴4a 2－1a 2－1＝1，解得a 2＝2.∴双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.显然直线l 的斜率存在，可设其方程为y ＝kx ＋m .kx ＋m ，y 2＝1.消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2－4kmx －2m 2－2＝0.Δ＝16k 2m 2＋4(1－2k 2)(2m 2＋2)＝8m 2＋8－16k 2>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4km 1－2k 2，x 1x 2＝－2m 2－21－2k 2.由k AP ＋k AQ ＝0，得y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，即(x 2－2)(kx 1＋m －1)＋(x 1－2)(kx 2＋m －1)＝0.整理，得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0，即2k ·－2m 2－21－2k 2＋(m －1－2k )·4km1－2k 2－4(m －1)＝0，即(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0.∵直线l 不过点A ，∴k ＝－1.(2)设∠PAQ ＝2α，0<α<π2，则tan 2α＝22，∴2tan α1－tan 2α＝22，解得tan α＝22(负值已舍去).由(1)得k ＝－1，则x 1x 2＝2m 2＋2>0，∴P ，Q 只能同在双曲线左支或同在右支．当P ，Q 同在左支时，tan α即为直线AP 或AQ 的斜率．设k AP ＝22.∵22为双曲线一条渐近线的斜率，∴直线AP 与双曲线只有一个交点，不成立．当P ，Q 同在右支时，tan (π2－α)＝1tan α即为直线AP 或AQ 的斜率．设k AP ＝122＝2，则k AQ ＝－2，∴直线AP 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －22＋1.＝2x －22＋1，y 2＝1.消去y 并整理，得3x 2－(16－42)x ＋20－82＝0，则x P ·2＝20－823，解得x P ＝10－423.∴|x A －x P |＝|2－10－423|＝4（2－1）3.同理可得|x A －x Q |＝4（2＋1）3.∵tan 2α＝22，0<2α<π，∴sin 2α＝223，∴S △PAQ ＝12|AP |·|AQ |·sin 2α＝12×3×|x A －x P |×3×|x A －x Q |×sin 2α＝12×3×169×223＝1629.。

高考数学专题复习五-5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-模拟练习题(附答案)

专题五平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二平面向量基本定理及坐标表示考向一平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。

高三数学综合练习五文试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校赣榆县海头高级2021届高三数学综合练习五文〔〕一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共计70分．〕1．集合{}|lg M x y x ==，{|N x y ==，那么M N = ；2．复数i z +=11，其中i 是虚数单位，那么=||z ；3．函数x x x f 22sin cos )(-=的最小正周期为； 4．函数log ()a y x b =+的图象如下列图，那么a b +的值为；5．函数2cos y x x =+在区间[]0π，上的最大值为；6．在ABC ∆中，角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，b c a 22=+，C B sin 2sin =，那么A cos ＝；7．假设平面向量,a b 满足||1a b +=，a b +平行于y 轴，(2,1)a =-，那么b = ；8．过点〔1，2〕的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当ABC ∆的面积最小时，直线l 的方程是；9．假设f(x)＝⎩⎨⎧a x ， x ≥1，－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为； 10．集合2{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ，a ∃∈R ，使得集合A 中所有整数的元素和为28，那么a 的范围是；11．假设二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞，那么2244a c c a +++的最小值为； 12．定义在R 上的()f x 满足()f x =13,0,(1)(2),0,x x f x f x x -⎧≤⎨--->⎩那么=)2015(f ； 13．⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，假设PE PD =，那么P 到坐标原点距离的最小值为；第4题图14．函数111,[0,)22()12,[,2)2xx xf xx-⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩假设存在12,x x，当1202x x≤<<时，12()()f x f x=，那么12()x f x的取值范围是。

高三数学综合测试题五文课标试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹下学期高三二轮复习数学〔文〕综合验收试题〔5〕【】本套试卷分第I 卷和第II 卷两局部，一共4页。

总分值是150分。

考试用时120分钟，在考试完毕之后，必须将试卷和答题卡一并上交。

参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

假设事件A ，B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕；假设事件A,BHY ，那么P 〔AB 〕=P 〔A 〕·P〔B 〕。

第I 卷〔一共60分〕一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1．集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,那么B 中所含元素的个数为〔〕 A ．3B ．6C ．8D ．10 2．设,a b R ∈,i 是虚数单位,那么“0ab =〞是“复数ba i+为纯虚数〞的〔〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则的值是〔〕A ．—3B ．3C ．2D ．—24．角βα，的顶点在坐标原点，始边写x 轴的正半轴重合，),0(,πβα∈，角β的终边与单位圆交点的横坐标是135-，角βα+的终边与单位圆交点的纵坐标是=αcos ,53则〔〕 A ．135 B ．―135 C ．6556 D ．―6556 2:,560p x R x x ∃∈--<，那么〔〕A ．2:,560p x R xx ⌝∃∈-+≥ B ．2:,560p x R x x ⌝∀∈-+<C ．2:,560p x R xx ⌝∀∈-+>D ．2:,560p x R x x ⌝∀∈-+≥6．以下函数中,既是奇函数又是增函数的为〔〕A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =7．ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,假设,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,那么AD =〔〕A ．1133a b - B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 8．如图，直三棱柱ABB 1-DCC 1中，∠ABB 1=90°，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ，那么ΔAPC 1周长的最小值为〔〕A ．5+21B ．5-21C ．4+21D ．4-219．从甲乙两个城分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进展统计,统计数据用茎叶图表示〔如下列图〕,设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,那么〔〕A ．x x <甲乙,m 甲>m 乙B ．x x <甲乙,m 甲<m 乙C ．x x >甲乙,m 甲>m 乙D ．x x >甲乙,m 甲<m 乙10．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出s 的值是〔〕 A ．－1 B ．0 C ．1D ．311．函数f 〔x 〕=⎩⎨⎧>-≤--)0()1()0(12x x f x x ，假设方程f 〔x 〕=x+a有且只有两个不相等的实数根，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．]0,(-∞B ．[0，1]C ．)1,(-∞ D ．),0[+∞ 12．过双曲线12222=-by a x 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C 、假设BC AB21=，那么双曲线的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．第二卷〔一共90分〕二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。

2021年高三5月综合测试数学试题(文科)(word版)

2021年高三5月综合测试数学试题（文科）(word 版)2011、5本试卷共21小题满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答，漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：球体体积公式，其中R 为球的半径。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{(,)|2},{(,)|4}A x y x y B x y x y =+==-=，那么集合为（）A ．B ．C ．D ． 2．若复数是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（） A ．1 B ．-1 C ．-2D ．23．“”是“函数在区间[-1，2]上存在零点”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是这个正方体的表面积展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A ．定B ．有C ．收D ．获5．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6．在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．O 为平面内的动点，A 、B 、C 是平面内不共线的三点，满足，则点O 轨迹必过的（）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心8．如图，该程序运行后输出的结果为（）A ．5B ．6C ．9D ．109．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．如图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成。

2020版高考数学大二轮复习专题五阶段质量检测五专题一～五“综合检测”

阶段质量检测(五)专题一～五“综合检测”(时间：120分钟满分:150分）一、选择题（本大题共10小题,每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·诸暨适应性考试)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ（φ〉0）个单位长度得到函数y＝sin错误!的图象，则φ的最小值为（)A.错误!B。

错误!C.错误!D.错误!解析：选B 将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度得到的函数的解析式为y＝sin 2（x＋φ)＝sin（2x＋2φ），即为y＝sin错误!。

所以可知2φ＋2kπ＝π6，k∈Z。

又φ〉0,所以φ的最小值为错误!,故选B.2．已知函数f（x）＝ln（x＋a）在点(1，f(1））处的切线的倾斜角为45°，则a的值为（）A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B ∵f′（x）＝错误!，∴f′(1)＝错误!＝tan 45°＝1，解得a＝0.故选B.3．若双曲线C：错误!－错误!＝1（b〉0）的两个顶点将焦距三等分，则焦点到渐近线的距离是( )A．2 B．4C．4 2 D．6解析:选C 设双曲线的焦距为2c，因为双曲线的两个顶点将焦距三等分，所以c＝3a＝6，则b＝错误!＝4错误!，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为b＝4错误!，故选C.4．(2019·宁波高三期末)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)A。

错误!＋错误!B。

错误!＋错误!C．1＋错误!D．1＋错误!解析：选D 根据三视图可得该几何体是一个四分之一圆锥与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为错误!×错误!π×1＝错误!，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为错误!×1×2×1＝1，故该几何体的体积V ＝1＋错误!，故选D.5．(2019·浙江五校联考）函数y ＝错误!e －x 的大致图象为（ )解析：选C 由函数解析式得函数的定义域为(－∞，－1)∪（－1,＋∞),排除B;函数只有x ＝1一个零点，排除A ；又y ′＝－1＋x e x －［e x 1＋x ＋e x ]1－x e 2x 1＋x 2＝错误!＝错误!,则当x >错误!时，y ′〉0，函数单调递增，排除D ，故选C 。

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专题五综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有( ) A.a 4a 6<a 6a 8 B.a 4a 6≤a 6a 8C.a 4a 6>a 6a 8D.a 4a 6≥a 6a 8解析：a 4a 8＝(a 1＋3d )(a 1＋7d )＝a 21＋10a 1d ＋21d 2，a 26＝(a 1＋5d )2＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.答案：B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析：由题意知，数列{a n }为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8，k ∈N *，得到k ＝8.答案：B3．对于非零实数a 、b ，“b (b －a )≤0”是“ab≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：∵a ≠0，b ≠0，故有b (b －a )≤0⇔b －a b ≤0⇔1－a b ≤0⇔ab≥1.故选C. 答案：C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥04x －x 2， x <0)，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由题知f (x )在R 上是增函数，可得2－a 2>a ，解得－2<a <1，故选C. 答案：C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a 是不为0的实数)，那么{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，也可能是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列答案：C6．(2011·保定)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2008，S 20072007－S 20052005＝2，则S 2008的值为( )A ．－2006B ．2006C ．－2008D ．2008解析：由已知S 20072007－S 20052005＝2的结构，可联想到等差数列{a n }的前n 项和S n 的变式，S nn＝a 1＋d 2(n －1)，故由S 20072007－S 20052005＝2，得d 2＝1，S 20082008＝－2008＋(2008－1)·1＝－1，∴S 2008＝－2008.答案：C7．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≤3 D ．a 2＋b 2≥2解析：∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2. 答案：D8．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3，当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：D9．(2011·广东广州模拟)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc · b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p ，故选B.答案：B10．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，则函数f (n )＝S nn ＋32S n ＋1的最大值为( )A.120 B.130 C.140 D.150解析：由S n ＝n n ＋12得f (n )＝n n ＋32n ＋2＝nn 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当且仅当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f (n )max ＝f (8)＝150.答案：D11．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤1x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：如图，由图可知目标函数z ＝5x ＋y 过点A (1,0)时z 取得最大值，z max ＝5.答案：B12．{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，则公差小于零．又a 11a 10<－1，则有a 11<0，a 10>0，a 10＋a 11<0，即S 19>0，S 20<0，则当S n 取得最小正值时，n ＝19.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d .类比上述结论，在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项之积，则有____________________________．答案：T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 10014．(2011·陕西省高三诊断)观察下列等式： 12＋22＝22＋12×2＋16，12＋22＋32＝33＋12×3＋16，12＋22＋32＋42＝44＋14×2＋16，…，根据上述规律可得12＋22＋32＋…＋n 2＝________.解析：通过观察前三个等式可得12＋22＋32＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16.答案：n n ＋12n ＋1615．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0，(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式_______ _________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，……，a n ，a n ＋1之间的关系为____________________．解析：因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．答案：(1)a 1a －22a 3＝1，a 1a －32a 33a －14＝1，a 1a －42a 63a －44a 5＝1 (2)C 0n a 1－C 1n a 2＋C 2n a 3－……＋(－1)n C nn a n ＋1＝0 16．若不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则a 的取值范围为________．解析：由题得a ≤4x －2x ＋1在[1,2]上恒成立，即a ≤(4x －2x ＋1)min ＝[(2x －1)2－1]min ＝0.答案：(－∞，0]三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，f (1)＝2且f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立．(1)求函数f (x )的解析式；(2)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2，求证：数列{a n }是等差数列．解：(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. 由f (1)＝2＝b a －1，得2a －2＝b ， ①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立，得bax ＋2－1＝－ba2－x －1，由此解得a ＝12， ②把②代入①，可得b ＝－1， ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2， ∴S n ＝14(a n ＋1)2，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是等差数列． 18．(本小题满分12分)(2011·山东青岛十九中模拟)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2S 2＝64，{ba n }是公比为64的等比数列．(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)设{a n }的公差为d ，d 为正数，{b n }的公比为q ，则a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎨⎧b a n ＋1b a n＝q 3＋nd －1q3＋n －1d －1＝q d ＝64＝26S 2b 2＝6＋dq ＝64，由(6＋d )q ＝64知q 为正有理数，又由q ＝2 6d 知，d 为6的因数1,2,3,6之一，解之得d ＝2，q ＝8.故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n－1.(2)证明：由(1)知S n ＝n (n ＋2)， 1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝11·3＋12·4＋13·5＋…＋1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<34.19．(本小题满分12分)(2011·山东青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2·3n ＋k (k ∈R ，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式和k 的值；(2)设数列{b n }满足a n ＝4(5＋k )a n bn ，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较3－16T n 与4(n ＋1)b n＋1的大小，并证明你的结论．解：(1)由S n ＝2·3n＋k (k ∈R ，n ∈N *)，得当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4·3n －1.∵{a n }是等比数列，∴a 1＝S 1＝6＋k ＝4，∴k ＝－2，故a n ＝4·3n －1(n ∈N *)．(2)由a n ＝4(5＋k )a n bn ，a n ＝4·3n －1和k ＝－2，得b n ＝n －14·3n －1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n－1＋b n ＝14·3＋24·32＋…＋n －24·3n －2＋n －14·3n －1 ①3T n ＝14＋24·3＋34·32＋…＋n －24·3n －3＋n －14·3n －2 ②由②－①得，2T n ＝14＋14·3＋14·32＋…＋14·3n －3＋14·3n －2－n －14·3n －1，∴T n ＝18＋18·3＋18·32＋…＋18·3n －3＋18·3n －2－n －18·3n －1＝316－2n ＋116·3n －1.4(n ＋1)b n ＋1－(3－16T n )＝n n ＋13n－2n ＋13n －1＝nn ＋1－32n ＋13n，∵n (n ＋1)－3(2n ＋1)＝n 2－5n －3，∴当n >5＋372或n <5－372<0时，有n (n ＋1)>3(2n ＋1)，∴当n >5(n ∈N *)时，有3－16T n <4(n ＋1)b n ＋1.同理可得，当5－372<n <5＋372时，有n (n ＋1)<3(2n ＋1)，∴当1≤n ≤5(n ∈N *)时，有3－16T n >4(n ＋1)b n ＋1.综上，当n >5(n ∈N *)时，有3－16T n <4(n ＋1)b n ＋1；当1≤n ≤5(n ∈N *)时，有3－16T n >4(n ＋1)b n ＋1. 20．(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 1≤n ≤20110n ， 21≤n ≤60(单位：万元，n ∈N *)．记第n 天的利润率b n＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 381＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．解：(1)当n ＝1时，b 1＝181；当n ＝2时，b 2＝182.(2)当1≤n ≤20时，a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n －1＝a n ＝1.∴b n ＝a n 81＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝181＋n －1＝1n ＋80.当21≤n ≤60时，b n ＝a n81＋a 1＋…＋a 20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 81＋20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 101＋n －21n ＋2020＝2nn 2－n ＋1600，∴第n 天的利润率b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋80， 1≤n ≤20n ∈N *， 2nn 2－n ＋1600， 21≤n ≤60n ∈N *.(3)当1≤n ≤20时，b n ＝1n ＋80是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝181；当21≤n ≤60时，b n ＝2nn 2－n ＋1600＝2n ＋1600n－1≤221600－1＝279(当且仅当n ＝1600n ，即n ＝40时，“＝”成立)．又∵279>181，∴当n ＝40时，(b n )max ＝279.∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为279.21．(本小题满分12分)(2011·广东潮州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有a n >0，S n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n .(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式a n ； (3)证明：a n 2n ＋1≥a n 2n ＋a n2n －1.解：(1)当n ＝1时，有a 1＝S 1＝a 31，由于a n >0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有S 2＝a 31＋a 32，即a 1＋a 2＝a 31＋a 32，将a 1＝1代入上式，由于a n >0，所以a 2＝2. (2)由S n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n ，得a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2， ① 则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2. ② ②－①得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2.由于a n >0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n ＋1. ③ 同样有a 2n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋a n (n ≥2)， ④ ③－④，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n . 所以a n ＋1－a n ＝1.由于a 2－a 1＝1，即当n ≥1时都有a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．故a n ＝n .(3)证明：要证a n2n ＋1≥a n2n ＋a n2n －1，只需证(2n ＋1)n≥(2n )n＋(2n －1)n，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n n≥1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n n. 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n n－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 0n ＋C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＋C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 3＋…－⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 0n －C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2－C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 3＋… ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 3＋C 5n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 5＋…＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 3＋C 5n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 5＋ (1)因此原不等式成立． 22．(本小题满分14分)已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，令b n ＝na 1a 2…a n ，则数列{b n }(n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：由题意，得等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，令b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{b n }(n ∈N *)也是等差数列．证明这个结论：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n n －12dn＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列，故所得命题成立．。