§11.3探索三角形全等的条件之asa
探索三角形全等的条件(3)ASA(新)
ED
B
C
例1. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证: (1)BE=CD (2)BD=CE
A
证明 ：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角）
AB=AC（已知）
∠B=∠C（已知）
∴△ABE≌△ACD（ASA）
D
E
∴BE=CD
O
（全等三角形的对应边相等）
11.3 探索三角形全等的条件（二） ----ASA
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等，简写成“边角边”或“SAS”
A
D
\\
\\
B
\
CE
\
在△ABC和△ DEF中，
AB DE B E BC EF
ABC ≌ DEF (SAS )
F
建湖县高作中学 王星星
①
②
小明用板挡住了两个三角形的一部分？ 你能画出这两个三角形吗？
SAS ASA
A
D
B
CE
F
一般地，SSA不能判定两三角形全等， 那么AAS能判定两三角形全等吗？
课本第18页 用直尺和圆规作符合条件的△ABC
建湖县高作中学 王星星
A
B
(3)射线AP与射线BQ交于点C。
△ABC就是所求作的三角形
两角和它们的夹边对应相等的两个 三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”
A
D
B
CE
F
A
D
B
CE
F
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F
△ABC≌△DEF (ASA)
B
A
利用“角边角”可知，带B块去，可 以配到一个与原来全等的三角形玻璃。
全等三角形的判定ASA
全等三角形的判定ASA在初中数学的几何世界里，全等三角形是一个非常重要的概念。
而全等三角形的判定方法有多种，其中“ASA”（角边角）就是一种常用且重要的判定方法。
首先，咱们来理解一下什么是“ASA”。
“角边角”说的就是如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF。
如果角 A 等于角 D，角 B等于角 E，而且 AB 这条边和 DE 这条边相等，那么就能够得出三角形ABC 全等于三角形 DEF。
那为什么“ASA”能判定两个三角形全等呢？咱们来仔细想想。
如果两个角相等，那第三个角是不是肯定也相等？因为三角形的内角和是固定的 180 度嘛。
所以两个角相等了，第三个角也就跟着相等了。
再加上夹边相等，那这两个三角形的形状和大小就完全确定了。
就好像咱们用模具做东西，角度和边都确定了，做出来的东西肯定是一模一样的。
咱们通过具体的例子来感受一下“ASA”的魅力。
假设在三角形 ABC 中，角 A 是 60 度，角 B 是 40 度，AB 边的长度是 5 厘米。
然后有另一个三角形 DEF，角 D 是 60 度，角 E 是 40 度，DE 边也是 5 厘米。
那咱们就可以很确定地说，三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
在实际做题的时候，怎么运用“ASA”来证明两个三角形全等呢？这就需要我们仔细观察题目中给出的条件。
比如说，题目可能会告诉我们两个三角形中的一组对应角相等，然后再告诉我们这两个角之间的夹边相等。
这时候，我们就要敏锐地意识到，可以用“ASA”来证明全等。
又或者，题目中可能会通过一些角度的计算，让我们得出两个角相等，然后再给出夹边相等的条件。
咱们再来说说“ASA”和其他全等三角形判定方法的关系。
“ASA”和“AAS”（角角边）有时候容易让人混淆。
但其实“AAS”可以通过三角形内角和定理转化为“ASA”。
而“SSS”（边边边）则是通过三条边的相等来判定全等，和“ASA”的角度和边的结合方式有所不同。
三角形全等的条件(ASA)
4 2
归纳： 归纳：判定三角形全等的方法
1.SAS 2.ASA 3.AAS
某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的办法是（ 么最省事的办法是（ ）。
c
A 带 ① 去 B带 ② 去 C 带 ③ 去 D 带 ① 和②去
ABD≌△ AAS） ∴△ABD≌△ABC （AAS）
C
变题1 已知，如图， 1=∠2， 变题1：已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D D 求证： 求证：AC=AD 证明： 证明：
A
1
B 2
C
变题2 如图， 1=∠2， 变题2：如图，∠1=∠2，∠3=∠4 求证： 求证：AC=AD
A
1 2 3 B 4
ASA
3.两角和其中一角的对边对应相等的两 3.两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等，简写成“角角边” 个三角形全等，简写成“角角边”或 AAS” “AAS
AAS
下课了， 下课了，同学们再见
例3.如图：已知△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分别是 3.如图：已知△ABC≌△ AD、 如图 BAC和 的角平分线。求证： ∠BAC和∠B1 A1 C1的角平分线。求证：AD= A1D1
D
C
练习
已知： 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O， AB上 AC上 BE和CD相交于点O 相交于点 AB=AC， B=∠C。 AB=AC，∠B=∠C。 求证： ABE≌△ 求证： △ABE≌△ACD
D O B C A E
变题1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 变题1.已知： AB上 AC上 BE和CD相 1.已知 交于点O AB=AC， B=∠C。 交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证： △ABE≌△ACD 求证： BD = CE ABE≌△
asa证全等的方法
asa证全等的方法ASA证全等的方法是指通过给出三角形的三个角度和三个边长来判断是否两个三角形全等的方法。
ASA证全等的方法是中学数学中的重要内容，它是判断两个三角形全等的一种基本方法。
下面将详细介绍ASA证全等的方法以及几个具体的例子。
首先，我们先来了解一下ASA证全等的基本原理。
ASA全等法则指的是在两个三角形中，如果两个三角形的两个对应角度和一个对应边相等，则这两个三角形全等。
也就是说，如果我们知道了两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应，那么我们就可以推断出这两个三角形全等。
下面我们通过几个例子来具体了解一下ASA证全等的方法。
例1：如图1，已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，证明△ABC≌△DEF。
这个例子中，我们已知了两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应。
根据ASA全等法则，可以直接推断出这两个三角形全等。
例2：如图2，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。
这个例子中，我们已知了两个三角形的两个对应边相等，并且两个角度的顺序还对应。
根据ASA全等法则，可以直接推断出这两个三角形全等。
例3：如图3，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。
这个例子中，我们已知了两个三角形的两个对应边相等，并且两个角度的顺序没有对应。
虽然我们可以通过ASA全等法则推断出∠B=∠E，但是由于两个角度的顺序不对应，所以不能直接推断出这两个三角形全等。
综上所述，通过ASA证全等的方法可以判断两个三角形是否全等。
该方法需要满足两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应。
只有满足这些条件，我们才能推断出两个三角形全等。
在实际应用中，使用ASA证全等的方法可以帮助我们解决一些与全等三角形相关的问题。
例如，在解决三角形的构造问题中，我们可以利用ASA证全等的方法来构造一个与给定的三角形全等的三角形。
七年级数学探索三角形全等的条件
A D(全等三角形对应角相等 ) 在△ABC和△DCB中 在△ABO和△DCO中
2、如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中 线，则∠BDA= 90 度，为什么？
AD是BC边上的中线 BD CD 在ABD和ACD中 AB AC BD CD AC AC
B
C
B’
C’
动手操作： 已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，
使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC A
B
C
B’
C’
动手操作： 已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，
使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC A’ A
B
C
B’
C’
画法：1、画线段B‘C'＝BC 。 2、分别以B'，C'为圆心，BA、CA为半径画弧，两 弧相交于点A'。 3、连结A‘B'、A'C'，得△A'B'C'。 剪下△A‘B’C‘，放在△ABC上，可以看到△A’B‘C’≌△ABC.
通过以上的操作你发现了什么？
三边对应相等的两个三角形全等， 简写为“边边边”或“SSS”
A
\ ≡ \
D
≡
C E B 在△ABC和△DEF中，
AB DE BC EF AC DF
〃
〃
F
分析：因为AB=DE， BC=EF，AC=DF， 根据“SSS”可以 得到 △ABC≌△DEF
不必担心,俺虽然没有绝对の把握,但陆七成の把握还是有の.百年事间,也差不多足够了.”“呐一百年,俺不会离开焦源混元.焦源盟主说得没错,在呐里,购买材料方便得多.”鞠言笑了笑说道.“好吧！”吙阳大王眨动着美目,缓缓の呼出一口气.事已至此,也只能呐样了.随着会议结束,鞠言大 王获得思烺混元掌控权の消息,也是在联盟内快速の传开.“鞠言大王掌控思烺混元?”“真是令人意外啊！詹乌大王,居然没争得过鞠言大王！”“……”鞠言大王获得思烺混元,呐是很多人都没有想到の.不过,呐样の事情,与寻常の修行者没哪个关系.他们,最多也就是在闲暇事谈论一番罢了. 无论是鞠言大王得到思烺混元还是詹乌大王得到思烺混元,对他们来说都没哪个分别.第三三一思章下不为例第三三一思章下不为例(第一/一页)凌工大王、七弦大王和天蛛大王呐三位混元之主,应邀来到吙阳大王の洞府.鞠言将盛放了小善涅丹の玉瓶,如数分给呐三位混元之主.按照约定,呐三 位大王支持鞠言控制思烺混元,鞠言要给他们每个人伍颗小善涅丹.会议之前,已经给了每个人两颗,现在便是将剩下の三颗丹药交给他们.“多谢鞠言大王！”“谢谢！”凌工大王等人都向鞠言道谢.“不必,呐是酬劳.你们支持俺掌控思烺混元,呐便是你们应该得到の.”鞠言笑了笑说道.“鞠言 大王,等你炼制出大善涅丹,能不能卖一些给俺?”天蛛大王望着鞠言问道.凌工大王和七弦大王,也都期待の目光看着鞠言.他们不知道鞠言能不能炼制出大善涅丹,但万一能够炼制得出来呢?“如果俺炼制出来の大善涅丹数量比较多,那自然是没有问题の.你们放心,如果俺要卖大善涅丹,肯定优 先卖给朋友.你们,是俺の朋友.”鞠言说道.……詹乌大王の临事洞府.紫羽大王离开玉阙宫后,便跟着詹乌大王来到了呐里.现在の紫羽大王,有些忐忑.“紫羽,你怕哪个?那鞠言,难道还能把你吃了?”詹乌大王瞪着紫羽大王说道.“詹乌大哥,鞠言大王の实历,你也是知道の.如果他对俺出手,俺 该怎么办?”紫羽大王苦笑着说道.“你是联盟一员,他怎么能随意对你出手?”詹乌大王说道.“可是俺违反了约定啊！”紫羽大王郁闷.早知道如此,当初他就不应该去吙阳大王の临事洞府见鞠言大王,更不该收了鞠言大王两颗小善涅丹.现在の他,真の是进退不得.“紫羽大王,俺知道你在呐里, 出来谈谈吧！”呐个事候,洞府外有声音传进来,正是鞠言大王の声音.“来了来了,鞠言大王来找俺了.”紫羽大王听到鞠言の声音,慌乱の眼申看着詹乌大王.紫羽大王の实历是不错の,与吙阳大王都比较接近.但是,鞠言大王是能斩杀思烺大王の存在啊！“哼,俺倒想看看,他能如何！走,俺们出 去会会他！”詹乌大王冷哼一声.而后,詹乌大王和紫羽大王出了洞府,一眼就看到在外面の鞠言大王.“鞠言大王,你来俺呐里做哪个?”詹乌大王眯着眼睛问道.“找紫羽大王！”鞠言道.“鞠言大王,你已经得到了思烺混元,还想怎样?”詹乌大王凝声说道.“与你没哪个关系.”鞠言扫了詹乌大 王一眼.随即,他看向站在詹乌大王身后の紫羽大王.“紫羽大王,你收了俺の小善涅丹,答应在支持给俺.然而,你食言了.现在你说说,该怎么办！”鞠言盯着紫羽大王问道.“鞠言大王,你想怎么办?”紫羽大王强提着一口气,不甘示弱の对鞠言道.他好歹也是混元之主の身份,而且在联盟中の混元 之主中,他の实历也能排在中等位置.此事,他身边又有詹乌大王.所以,他自然不能一见到鞠言,就像老鼠见了猫那样.“将小善涅丹还回来,另外,拿出一千万善石,作为补偿.”鞠言面无表情说道：“按俺说の做,呐件事就算了,俺不琛究,但下不为例.”紫羽大王看向詹乌大王.一千万善石,他拿得 出来.可那两颗小善涅丹,已经落在詹乌大王手中了.说实话,紫羽大王觉得鞠言大王提出の要求,也不算过分.毕竟,是他违背了与鞠言大王之间の约定.“鞠言大王,你不觉得自身提出の要求,太过分了一些吗?”詹乌大王出声.“俺说了,呐件事与你没有关系.”鞠言眼申一冷道：“詹乌大王,是打 算要为紫羽大王出头是吗?”鞠言の声音中,已有了一些杀意.詹乌大王眼皮子跳了跳.他不确定,鞠言会不会真の在呐里就出手.如果鞠言真の对紫羽大王出手,那他詹乌大王要不要对鞠言出手?若是出手,他没把握能拦得住鞠言.而若不出手の话,那显然更不行,紫羽大王是他の人,传出去他の名声 就臭了.不过他也觉得,鞠言可能是在虚罔声势.大家都是联盟成员,呐里还是焦源盟主の焦源混元.鞠言在呐里对同联盟の混元之主下手,焦源盟主应该不会答应吧！“紫羽大王,你怎么说?”鞠言见詹乌大王沉默,便又对紫羽大王喝问.紫羽大王沉默.“看来你是不打算和平解决呐件事了.”鞠言 说话间,冰炎剑取出.“那么,就怪不得俺了！”鞠言全身申历涌动,元祖道则荡漾.“等一下！”詹乌大王最终还是没能抗到底.一旦动手,那情况就失控了,他是真の没有把握在鞠言手中保住詹乌大王.“紫羽大王,既然鞠言大王提出了和平解决の方案,你就应了吧.”詹乌大王对紫羽大王说 道.“好吧！”紫羽大王快速点头.詹乌大王将两颗小善涅丹给了紫羽大王,而紫羽大王将小善涅丹还给鞠言大王,另外又自身拿出一千万善石作为补偿.小善涅丹没得到,还白白拿出一千万善石,紫羽大王损失大了,心都在流血.那一千万善石,詹乌大王显然不可能帮他出.“哼,俺倒要看看,你还能 得意多久.一百年后,你拿不出大善涅丹,到事候俺们再好好算账.”鞠言离开之后,詹乌大王恶狠狠の咒骂了一番.……从紫羽大王手中要回了小善涅丹,鞠言立刻回到自身の临事洞府,进入闭关状态.百年事间,说短不短,但说长也不长啊！将残破の丹方摆在面前,准备好丹炉和材料.鞠言开始炼制 小善涅丹.呐一次,鞠言不是纯粹の炼制小善涅丹,而是在炼制过程中,通过推演,一点点の寻找丹方中所欠缺の材料.呐是一件非常困难の事情.为了找到正确の材料,鞠言甚至不惜让小善涅丹の炼制失败.第三三一伍章消耗巨大第三三一伍章消耗巨大(第一/一页)小善涅丹の材料,一份物质成本价 为拾八万善石.失败一次,呐拾八万善石就等于打了水票,呐还没有计算鞠言耗费の申魂历.炼制呐等丹药,对鞠言の申魂消耗极大,鞠言为了争取事间,只能使用一些申魂资源恢复消耗の申魂历.在会议结束后,鞠言の身上,剩下七份炼制小善涅丹の材料.不到两年事间,呐七份材料便被鞠言消耗一 空.而呐七份材料,最终没能炼制出一颗小善涅丹.由于鞠言在炼丹の过程中,将大部分の心历,都放在了分析和推演上面.呐就导致,鞠言很难控制小善涅丹の炼制.“难度相当巨大！”“比俺想象中,还要困难.”“用了七份小善涅丹材料,也不过是取得了一点の进展.想要解析出欠缺の材料,怕是 还要很长事间和更多の材料.”“啧啧……按照呐样の进度,俺需要の材料,数量真の会非常庞大.”鞠言收起枯老の残破丹方,在丹炉之前站起身.材料已经消耗一空,鞠言需要再次购买材料.没有多想,鞠言出了临事洞府,前往西凉商会在灵蛇王国の总部.呐次来到西凉商会,鞠言直接找到了英毕 会长.“鞠言大王！”英毕会长见到鞠言,恭敬の见礼.“英毕会长不必多礼.”鞠言一摆手,随意の说道：“俺呐次过来,有事麻烦英毕会长你.”“有哪个俺能做の,鞠言大王尽管吩咐就是.”英毕会长很会说话.英毕会长,当然也已经知道鞠言大王获得了思烺混元.思烺混元是一个非常强盛の混 元空间,鞠言大王获得了思烺混元,影响历和财富都将得到几何倍数の增长.对待呐样の人物,西凉商会の总会长也不会托大,更别说他英毕只是一个分部の会长.“英毕会长还记得上次俺给你の那份清单吗?”鞠言看着英毕会长.“记得,清单还在俺手中.”英毕会长点了点头.“那清单上の材料, 要麻烦英毕会长帮俺多准备一些.”鞠言说道.“全部没有问题,不知道鞠
11.3全等三角形判定(2)ASA
做一做:
⑴画线段AB=4cm； ⑵画∠MAB=60°； ⑶画∠NBA=40°； ⑷AM与BN相交于点C,得△ABC；
同桌的两个同学把各自画的三角形 叠在一起,你发现这两个三角形有何关系?
判定三角形全等的条件(2)
两角和它们的夹边对应 相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”.
口答
判断，下列三角形中，哪两个三角形一定全等？
A
D
C
B
E
F
在△ABC和△DEF中 AB=DE ______ AC=DF
∴ △ABC≌△DEF(SAS)
A
D
C
B
E
F
在△ABC和△DEF中
∠ B=∠E BC=EF _____
∴ △ABC≌△DEF(ASA)
A
D
C
B
E
F
在△ABC和△DEF中 _______ ∠A=∠D _______
∴ △ABC≌△DEF(SAS)
全等吗？为什么？
B D
小王不小心将一块三角形玻璃打破(如图), 他想去商店重新配一块新的,请问能否 只带一块玻璃去商店?如果可以,说说带哪一 块去?为什么?
拓展延伸
①
②
③
小结与回顾
课堂作业
P.120 习题11.3
必做题:T.5⑴，7 选做题:T.6.
七年级数学下册
11.3 探索三角形全等的条件⑵
学习目标
1.探索三角形全等的 “角边角”条件.
2.能运用“角边角”（ASA)条件判别两 个三角形全等.
自学 指导
认真看课本P.69--71“做一做”前面的 内容 ，要求: (1)边看边完成“做一做” （在本子上画); (2)结合“做一做”理解、记熟判别三角形 全等的条件（角边角）. 4分钟后,比谁能正确地完成自学检测题.
三角形全等的判定ASA
边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且 这两边所夹的角也相等，则这两个三 角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明 线段相等、角相等、垂直关系等 ，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形 全等关系可以用来制作精确的图 形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明 两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明 两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出 来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直 等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三 角形ABC与三角形DEF全等，那 么三角形DEF也与三角形ABC全 等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等 ，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等， 且这两个角所夹的边也相等，则这两 个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三 角形有两边长度相等且这两边所夹的 角相等，则这两个三角形全等。这个 定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三 角形有两个角相等且这两个角所夹的 边也相等，则这两个三角形全等。这 个定理是三角形全等判定的重要依据 之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用
探究三角形全等的条件(边边边)
B 2、如图，已知AD平分∠BAC， 、如图，已知 平分 平分∠ ， 要使△ 要使△ABD≌△ACD， ≌ ， A D AB=AC ； 根据“ 根据“SAS”需要添加条件 需要添加条件 C 根据“ 根据“ASA”需要添加条件 BDA=∠CDA 需要添加条件 ； ∠ ∠ 根据“ 根据“AAS”需要添加条件 B=∠C 需要添加条件 ； ∠ ∠
做一做： 做一做：
按下列画法，用圆规和刻度尺画一个三角形： 按下列画法，用圆规和刻度尺画一个三角形： （1）画线段 ）画线段AB=8cm， ， 为圆心， （2）分别以点 、B为圆心，6cm、4cm的 ）分别以点A、 为圆心 、 的 长为半径画弧，两弧相交于点C， 长为半径画弧，两弧相交于点 ， （3）连接 、BC。 ）连接AC、 。 你所画的三角形与同学画的三角形全等吗？ 你所画的三角形与同学画的三角形全等吗？
A
因为AD是 边上的中线 边上的中线， 因为 是BC边上的中线，所以 BD=CD，在△ABD和△ACD中 ， 和 中
AB = AC BD = CD ⇒ ∆ ABD ≌ ∆ ACD (SSS ) AC = AC
B
D
C
所以∠BDA= 所以∠BDA= ∠CDA 全等三角形的对应角相等） （全等三角形的对应角相等） 因为∠BDA+∠CDA=180 因为∠BDA+∠CDA=180O 所以∠BDA= 所以∠BDA= ∠CDA=180O÷2=900
解：BE=DE ABC和 ADC中 在△ABC和△ADC中
如图， 如图，AB=AD， ， CB=CD，E是AC上 ， 是 上 一点， 与 相等 一点，BE与DE相等 吗？ A
E
AB = AD CB = CD ⇒ △ ABC ≌△ ADC AC = AC
11.3探索三角形全等的条件(2)
改变△ABC中相应的角度和边长，你能得到同样的结论吗？
于是我们又得到两个判定两个三角形全等的方法：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。
例题1：如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？为什么？
重点
掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。
难点
正确运用“角边角”，“角角边”条件判定三角形全等，解决实际问题。
教学方法
讲练结合、探索交流
课型
新授课
教具
投仪
教师活动
学生活动
复习引入：
上节课我们学习了利用“边角边”条件来判定两个三角形全等。同时也了解了三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。那么，如果已知两个三角形的两角及其一边分别对应相等，这两个三角形全等吗？这就是本节课我们重点研究的内容。
课题
第11章图形的全等[教案]
课时分配
本课（章节）需5课时
本节课为第2课时
为本学期总第课时
11．3探索三角形全等的条件（2）
教学目标
1．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作，归纳获得数学结论的过程。
2．掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。
3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
2．填空
如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC。（若把“AO=DO”去掉，答案又会有怎样的变化呢？）
11.2 三角形全等的条件(三)ASA,AAS
知识回顾:
全等三角形有哪几种判定方法? 各是什么？
A A′
B
C
B′
C′
继续探讨三角形全等的条件： 两角一边
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角 与这条边的位置上有几种可能性呢？ A A
B
图1
C
B
C
图2
在图1中， 边AB是∠A与∠B 的夹边，我们称这种位置关系 为两角夹边
N N M C
B
E A
C
F
B
M
A
N
C M
F
E
B
A
A
B
C
D
F
E
2、如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD
例2.已知:如图, AB=AC、∠D=∠E，AB、
DC相交于点M， AC、BE相交于点N, ∠1=∠2，试说明:AM=AN
A
D
M
1
3
2
E
N C
B
练习:
2已知：如图，△ABC中，∠ABC=450， H是高AD、BE的交点，则BH和AC的大小关 系如何？并说明理由. 猜想：若∠ABC=1350，其它条件不变，则BH 和AC的大小关系发生什么变化？
′ A′ D、B ′E交于点C′
C E ′ C B A ′ D
A
B′
观察：△A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？为什么？ 思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？
结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
三角形全等的判定方法三: 如果两个三角形的两个角及其夹边对应相等, (ASA) 那么这两个三角形全等. A′ A
初中数学 如何用ASA判定法判断两个三角形是否全等
初中数学如何用ASA判定法判断两个三角形是否全等ASA判定法是指如果两个三角形的两对角度和一对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
下面我们将详细解释ASA判定法的原理和应用方法：假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要判断它们是否全等。
根据ASA判定法，如果它们的两对角度和一对边满足以下条件，即∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF，那么三角形ABC 和DEF是全等的。
证明ASA判定法的思路是通过比较两个三角形的对应边长和对应角度，如果它们满足相等的条件，那么可以推断它们是全等的。
为了更好地理解ASA判定法，我们可以通过以下步骤来证明它：步骤1：根据已知条件，假设∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF。
步骤2：比较两个三角形的对应边长和对应角度，即AC与DF，∠BAC与∠EDF，∠ABC与∠DEF。
步骤3：如果这些对应边长和角度均相等，那么我们可以得出结论，即三角形ABC和DEF 是全等的。
ASA判定法的证明思路是基于角边角的对应关系。
当两个三角形的两对角度和一对边分别相等时，它们的对应边长和对应角度也相等，从而确定了这两个三角形是全等的。
在实际应用中，ASA判定法可以用于解决与全等三角形相关的几何问题。
例如，我们可以通过已知的边长和角度来确定未知的边长和角度，或者通过已知的边长和角度来计算未知的边长和角度。
此外，ASA判定法还可以应用于证明几何定理。
例如，如果我们需要证明两个图形是全等的，我们可以通过比较它们的边长和角度来判断它们的全等性。
总结起来，ASA判定法是指如果两个三角形的两对角度和一对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
通过比较这些对应边长和角度，我们可以确定这两个三角形的全等性，并在实际问题中应用这个定理进行计算和证明工作。
1.3 探索三角形全等的条件第3课时利用角边角ASA判定三角形全等 苏科版数学八年级上册教学课件
课程讲授1 利用“ASA”定三角形全等问题1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它 们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到 △ABC上，它们全等吗？
C
A
B
课程讲授
1 利用“ASA”判定三角形全等
提示：证明△EBD≌△FDC,就可以 得出BE＝DF，DE＝CF.
课程讲授
1 利用“ASA”判定三角形全等
证明：∵ DE//AC，DF//AB
∴∠B=∠CDF，∠BDE=∠C
∵ D是BC的中点,∴BD=CD 在△EBD和△FDC中，
∠EDB=∠C（公共角 ）， BD=DC， ∠B=∠FDC， ∴ △EBD≌△FDC（ASA)， ∴BE=DF,DE=CF.
基本事实(几何语言)：
在△ABC和△ DEF中，
∠A =∠__D__， AB = _D__E__， ∠B =_∠__E__，
BD
C
∴ △ABC ≌△ DEF（__A__S_A_）．
E
F
课程讲授
1 利用“ASA”判定三角形全等
例 如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、 AC上，且DE//AC，DF//AB． 求证：BE＝DF，DE＝CF．
随堂练习
3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：△ABC≌△ABD.
证明：∵∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ABD， 在△ABC和△ABD中，
∠1=∠2 AB=AB， ∠ABC=∠ABD ∴△ABC≌△ABD（ASA）.
课堂小结
“ASA”
内容
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形 全等（简写成 “ASA”)
三角形全等的判定》(ASA)
证明过程：首先，根据边的性质，我们知道如果两条边相等，则它们所对的角也 相等。然后，利用已知的一个角和两条对应的边相等，可以推导出其他两边和角 也相等，从而证明两个三角形全等。
利用反证法证明asa
假设两个三角形不全等，然后通过一 系列逻辑推理，得出矛盾的结论，从 而证明两个三角形全等。
asa判定定理在其他几何问题中的应用
asa判定定理在解决几何问题中具有广泛的应用，例如在证明相似三角形、解决几何作图问题、确定 几何量等方面都可以利用asa判定定理。
asa判定定理还可以用于解决一些复杂的几何问题，例如通过构造适当的辅助线或利用已知条件构造 出符合asa判定定理的三角形，从而证明两个三假设两个三角形不 全等。然后，根据角的性质和边的性 质进行逻辑推理，得出矛盾的结论。 最后，根据反证法的原则，我们得出 结论：两个三角形实际上是全等的。
04
asa判定定理的拓展
asa与其他全等定理的关系
asa判定定理与sss（三边全等）、sas （两边和夹角全等）、saa（两角和 一边全等）等其他全等定理是相互关 联的，它们在证明三角形全等时可以 互相转换。
asa判定定理的基础练习题
• 答案：$90^\circ$
• 题目：已知$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，$AB = 2\sqrt{3}$，则$\triangle ABC$的面积为_____.
• 解析：根据三角形面积公式，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times AC \times \sin 60^\circ = \frac{3}{2} \times AC$。
《三角形全等的判定》(ASA)
示例证明
示例一
以已知两角和一边相等的三角形 为例，进行全等的证明。
示例二
展示两个角相等的证明过程，以 及最后的边相等。
示例三
通过已知两个角和边相等，来证 明三角形全等的过程。
应用举例
实际测量
1. 测量两个角的大小。 2. 测量边的长度。 3. 根据ASA条件判断是否
全等。
《三角形全等的判定》 (ASA)
已知两角和一边相等。判定两个三角形全等的三个条件之一。
两角和一边相等 (ASA)
1 条件 1
两个三角形的两个角相等。
3 条件 3
两个三角形的一个边相等。
2 条件 2
两个三角形的另外一个角相等。
证明方法
步骤 1
先证明两个三角形角相等。
步骤 3
最后证明另一个角相等。
步骤 2
地图制图
• 标注已知的角和边。 • 应用ASA判定两个三角
形是否全等。 • 使用全等的三角形制作
地个三角形。 • 通过ASA条件确定其中
一个三角形的尺寸与角 • 度遵。循全等的原则，完成
建筑设计。
易错点
• 计算角度时，需要确保单位一致。 • 测量边和角时，需使用准确的工具。 • 在证明过程中，每一步都需要详细的解释。
总结和要点
1 要点 1
已知两角和一边相等的三角形可以通过ASA条件判定是否全等。
2 要点 2
证明过程需要按照角和边的顺序进行。
3 要点 3
应用举例包括实际测量、地图制图和建筑设计等领域。
探索三角形全等的思路归纳
探索三角形全等的思路归纳“探索三角形全等的条件”是三角形的重点，又是进一步学习平面几何的基础.在具体应用三角形全等的识别方法时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了那些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系，从而选择适当的说明方法。
现将探索三角形全等的思路归纳如下：一、已知两边对应相等时的思路思路1：找已知两边的夹角对应相等，利用“SAS ”探索.例1．已知：如图1，AB ＝AC ，AE ＝AD ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．∠B 与∠C 相等吗？为什么？分析：欲知∠B=∠C ，应探索△CAD ≌△BAE. 由于已有AB＝AC ，AE ＝AD ，找一找是否对应边的夹角∠CAD =∠BAE ？它们是公共角. 所以△CAD ≌△BAE ，故∠B 与∠C 相等.思路2：找第三边对应相等，利用SSS 探索.例2．“三月三，放风筝”.图2是小明制作的风筝. 他根据DE = DF , EH = FH ，不用度量，就知道∠DEH =∠DFH. 请你用所学的知识给予证明. 分析：欲知∠DEH =∠DFH ，应探索△DEH ≌△DFH ，为此连结DH. 由于已有DE = DF , EH = FH ，找一找是否第三边DH = DH ？由于它们是公共边，故成立.二、已知有两角对应相等时的思路思路一、找出夹边相等，用（ASA ）例3．如图3，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，，且MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC 的周长。
解析：只要求出CM 和AC 的长即得△ABC 的周长，而△AMN ≌△CMN 可实现这一目的。
因为MN 平分∠AMC ，所以∠AMN=∠CMN ，D E F H 图2E D C B A 图1图3因为MN ⊥AC ，所以∠AMNA=∠CMNC=900，这样有两角对应相等，再找出它的夹边对应相等（MN 为公共边）即可。
在△AMN 和△CMN 中AMN CMN MN MN MNA MNC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以△AMN ≌△CMN （ASA ）所以AC=NC ，AM=CM （全等三角形的对应角相等），AN=2cm,所以AC=2AN=4 cm ，而△ABM 的周长为9cm,所以△ABC 的周长为9+4=13 cm 。
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§11.3探索三角形全等的条件之A.S.A
班级________姓名____________ 学习目标
1.探索出三角形全等的“角边角”的条件；在过程中感受知识、总结规律；
2. 理解ASA的内容，能运用ASA全等识别法来识别三角形全等，进而说明线段或角相等；
3.探索出AAS的三角形全等识别方法及其它的应用.
学习重点有条理的思考和进行推理：应用“ASA”和“AAS”去判断三角形全等.
学习过程
问题情境：
1.思考：课本P113议一议；
2.小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎
片到商店去,就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢?如果可以,带哪块去合适呢?
为什么?
3.观察下图中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪两个三角形是全等三角形？
新知导航：
⑴仿做：画一个三角形△ABC，使得∠A=30°，∠B=60°，AB=2cm.
（请你把画出的三角形与同组比较，你有什么发现？）
⑵角边角的判定方法
的两个三角形全等，简称角边角或.
通常写成下面的格式：
例题讲解：
1.如右图，O是AB的中点，∠A=∠B
问题1：△ABC和△ADC全等吗？
问题2：它们已经有了哪些元素对应相等？
问题3：还缺什么条件？
1.1.若将第一题中的∠A =∠B 改为∠C =∠D ，其他条件不变，你还能得到△AOC ≌△BOD 吗？
结论： .
2.已知：OP 是∠MON 的平分线，C 是OP 上一点，CA ⊥OM ，CB ⊥ON ，垂足分别是A 、B △AOC 与△BOC 全等吗？为什么？
探究：
如果改变点C 在O 上的位置，那么△AOC 与△BOC 仍然全等吗？
AC 与CB 间你发现什么结论？ . 课堂检测：
1、找出图中的全等三角形，写出表示他们全等的式子，并说明理由.
2、如图，∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，BF=CE 。
△ABC ≌△DEF 吗？为什么？
A D E C
F 图2
3、已知，如图
4、点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，AB∥CD。
试说明：△ABE≌△CDF
4、如图5，已知AD、BE是△ABC的高，AD、BE相交于点F，并且AD=BD，你能找到图中
的全等三角形吗？若能找到请说明理由。
课堂小结：
今天学了什么？有什么收获？
课堂作业：
（1）课本：P120、121习题11.3 5、6、7、8 （2）评价手册11.3第二课时
教学后记：
A
B C
E
F
D
图5
A B
C D
E
F
图4。