设而不求巧妙解题学法指导

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用“设而不求”的思想解题

在某些题目中，只要求出未知数x 的值，而我们却设了三个未知数：a ，b ，x ，并且在解题过程中，我们也根本没求a ，b 的值．但是由于增设了a ，b 后，给我们利用等量关系列方程或用其他方式求x 的值时，带来了很大的便利，像a,b 这种未知数就是所谓的的“设而不求”的未知数．关于设而不求一般来说有以下几种应用：1、增设了几个未知数后，我们不需要求出每个未知数具体是多少，只需要求几个未知数的和、差、比值等（在盈利率问题中比较常见）；2、增设了未知数后可以根据等量关系快速列出方程，解方程的过程中增设的未知数会被约去（在行程问题中比较常见）；3、增设了未知数后可以很好帮我们找到题目中我们想要知道的两个关键量之间的关系，也就是这个时候增设的未知数相当于是参数（在几何问题中比较常见）。

下面就用两道例题来举例说明设而不求的思想方法：例1 若使得6513+-n n 为可约分，则自然数n 的最小值是多少？解：不妨设分子与分母有公因数a ，显然a ＞1，并且设分子：n -13=ak 1，①分母：5n+6=ak 2．②其中k 1，k 2为自然数．由①得n=13+ak 1，将之代入②得：5(13+ak 1)+6=ak 2，即71+5ak 1=ak 2，所以a(k 2-5k 1)=71．由于71是素数，且a ＞1，所以a ＝71，所以n=k 1·71+13．故n 最小为84．例2 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？解：设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．。

高中数学技巧方法突破-例谈“设而不求”的解题策略

例谈“设而不求”的解题策略设而不求是整体处理变量的策略，是通过设点的坐标等形式，充分利用这些点的坐标之间的等量关系和限制条件，整体或小范围地整体处理，不必解出所设点的具体坐标而使问题获得解决的方法. 一、应用“根与系数的关系”设而不求，讨论直线与圆锥曲线的位置关系例1.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为0，分别假设为k 和k1，故而可得)1(:1-=x k y l ，联立0)42(,4),1(22222=++-⇒⎩⎨⎧=-=k x k x k x y x k y ，假设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故而根据韦达定理可得222214242k k k x x +=+=+，此时22144kp x x AB +=++=，同理可得244k DE +=，故而,168844822=+≥++=+kk DE AB 当且仅当1144222±=⇒=⇒=k k kk 时取等号,故选A. 【点拨】直线(曲线）与圆锥曲线相交问题一般先联立⎩⎨⎧Cl 消去y ，整理得方程ax 2+bx +c =0，a ≠0，Δ>0，设出交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理x 1+x 2=a b -，x 1x 2=ac的系数关系,将已知条件坐标化，求出参数或通过整体消参求值.【变式训练1】在平面直角坐标系xoy 中，双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右支与焦点为的抛物线)0(22>=p py x 交于A,B 两点，若OF BF AF 4=+，则该双曲线的渐近线方程为 .【解析】如图，设A(x 1，y 1)，B( x 2，y 2 )，|AF |+|BF |=4|OF |，所以,,2222121p y y p py p y =+=+++ 由⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,122222py x bya x 联立得0222222=+-b a y pb y a ，因为，所以22a b ,21,12,222222221±===∴==+a b a b p a pb y y所以双曲线的渐近线方程为x y 22±=.例2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于 A ，B 两点，与以F 1F 2 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534 ，求直线l 的方程．解析：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1得|m |＜52.(*)∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,134,2122y x m x y 得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)]＝ 1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534得 4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.【点拨】涉及弦长问题，一般利用根与系数的关系，应用设而不求法计算弦长，斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k 2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时通常使用韦达定理作如下变形：|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，|y 2－y 1|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 二.应用“点差法”设而不求线段中点或直线斜率例3.(1)(2020·江西九校联考)已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．(2)(2020·开封模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为______________．【解析】(1)法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2，∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合．【点拨】处理中点弦问题多用点差法，一般先设出直线l 与圆锥曲线C 的两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将A,B代入曲线方程，通过作差，构造出x 1+ x 2，y 1 +y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意：此法不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用判别式加以检验．【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为C (0,4)，离心率e =55，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x －4，求弦|MN |的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程．【解析】（1）由已知b =4，且55=a c ，即5122=a c ，∴51222=-a b a ，解得a 2=20， ∴椭圆方程为1162022=+y x ；由4x 2+5y 2=80与y=x －4联立，消去y 得9x 2－40x =0，∴x =0或940，∴所求弦长9240||2||21=-=x x MN .（2）如图椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q(x 0，y 0)，由三角形重心的性质知FQ BF 2=，又B(0,4)， ∴(2,－4)=2(x 0－2,y 0)，∴得x 0=3， y 0=－2，求得Q 的坐标为(3，－2)；设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1+x 2=6，y 1+y 2=－4，且116202121=+y x ，116202222=+y x ，以上两式相减得016))((20))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，∴56)46(545421212121=-⨯-=++-=--=y y x x x x y y k MN ，∴直线MN 的方程为)3(562-=+x y ，即6x －5y －28=0．三.设而不求讨论参数的取值范围例4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求2F P ·2F Q 的取值范围．【解析】(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，此时P (－ 2 ，0)，Q (2，0)，又F 2(1,0)，得2F P ·2F Q ＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M ⎝⎛⎭⎫－12，m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2m .由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m .此时，直线PQ 斜率为k 1＝－4m ， PQ 的直线方程为y －m ＝－4m ⎝⎛⎭⎫x ＋12. 即y ＝－4mx －m .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是2F P ·2F Q ＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4 ＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋m 2＋1＝19m 2－132m 2＋1.由于M ⎝⎛⎭⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78. 令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则2F P ·2F Q ＝1932－5132t. 又1<t <29，所以－1<2F P ·2F Q <125232.综上，2F P ·2F Q 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，125232. 【点拨】在较为复杂的解几运算中经常要设参消参，而在消参过程中，注重变量之间的关系，仔细分析这些变量之间的结构特征，运用整体处理策略，可以有效的简化运算。

“设而不求”,简化运算

“设而不求”，简化运算
作者：朱建平
来源：《新高考·数学基础》2018年第07期
“设而不求”是指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法.它的实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.
解析几何问题中“设而不求”的解题策略的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法等等.
1.利用中点坐标公式设而不求
点评利用“设而不求”，不仅可以简化计算，而且使解法灵活生动.其核心思想就是整体思想，所得结果恰好满足题意.
2.利用代点相减法设而不求
点评此题利用“点差法”和中点公式求出直线的斜率公式，解题过程思路清晰，运算简洁明快，是解析几何常用方法.
3.利用韦达定理设而不求
分析此题解法多样，处理角度也很多，通过适当转化后可以利用根与系数的关系，“设而不求，整体思想”去解决.
点评此类问题主要是通过直线与圆联立方程组，通过韦达定理利用“设而不求”思想整体代人，逐步转化为关于参数的方程或不等式问题，避免了繁琐的求解運算，也降低了出错率，是解析几何运算中最有代表性的运算方法之一.
“设而不求”是用代数方法解决问题的一个好手段.所谓设而不求，就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体地去直接解出变量的值.它给解这一类题提供了较好的切人点和较少的运算量，此类方法是以“设”为基础，而“不求”是关键、是技巧，从而得到需要的结论，
采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果，。

浅议初中数学中“设而不求”的解题技巧

证：ＡＤ￣Ｃ＋ＢＡＢ￣Ｄ＝￣Ｄ．ＣＡＣＢ
Ａ
●
＿＿＿＿＿＿。＿。＿。， ●●＿－＿● 。＿＿＿一＿＿＿。，＿。＿●＿●－。＿一
所以（ａ３／（十＞７一ｂ）ｂｂ７）０，即有ａｂ（＋）ｂ７＞，／一ａ３／＋）０（从而有３８７／６７７３８７／６８４６９２７４９＞６９５７４Ｏ．
此题如果按照常规思路去思考，很难得出正确的结果。就考试时会将学生引入死胡同，误考试时间，响其他题目的耽影解答．
ｒ ——— ——— —一ｒ— — ＿＝＝一
Ｂ
●
＿＿＿＿＿＿＿＿＿。＾＿● ＿＿－－。一
２２０）１３０
分析：与显然和里－¨ 互为倒数关系ｑｌ＿２
３ｘ－２２ｘ－３
．
因此
有如下解法：
、
ｘ２－
３
ｘ３－
Ｖ．
叹
一 — — ＝ｕ．一
２
１１
“ 而不求” 特殊解题方法之一，属常规解题技巧．设是也在解题中可以化繁为简，难为易，面归纳的几个方面是初中化下数学中常遇的，是中学教学大纲要求掌握的．也比较化简中“ 设而不求 ” 在初中数学教学中，要培养学生根据具体题目选择解题方法的能力，一些无法用常规方法解答的题目，不能用常规对就方法反复尝试，不能束手无策，更而要考虑用特殊方法来解答．例１比较３８７／６７７６９５７４０的大小．：６９２７４９与３８７／６８４分析：为是初中数学题，可能用通分的方法解答，因不我们可以通过３８７与３８７相差３７４０与７４９相差７６９５６９２和６８４６７７来建立关系，找解题的突破口．寻解：６９２６７７ａ，６９５６８４（＋）（＋）设３８７／４９＝／则３８７／４０＝ａ３／ｂ７，７ｂ７由ａ一ａ３／５７＝７一ｂ／（＋）／（＋）（＋）（ａ３）ｂ７，ｂｂ因为７一ｂ０ｂｂ７＞，ａ３＞，（＋）０

设而不求法的解题步骤

设而不求法的解题步骤
一、设立未知数
首先，我们需要根据题目的条件和要求，选择适当的未知数。

未知数的选择应该使得问题简化，并且能够通过代数运算求解。

二、建立方程或方程组
根据题目给出的条件和未知数，我们需要建立方程或方程组来表达问题的数学关系。

这个步骤需要仔细分析题目的条件，找出等量关系或不等量关系，并转化为数学表达式。

三、整体代入
在建立方程或方程组后，我们需要对方程中的未知数进行代入。

通常我们会将已知量或较容易求得的量代入到方程中，以简化计算过程。

四、消去未知数
在整体代入后，我们可以通过代数运算来消去方程中的未知数。

常用的方法包括加减消元法、代入法等。

在消去未知数的过程中，需要特别注意符号和运算顺序，确保计算的正确性。

五、求解问题
最后，我们可以通过代数运算得出最终结果。

在求解问题时，需要注意结果是否符合实际情况和题目的要求，并进行必要的检验和验证。

解析几何中常见的“设而不求”的方法

解析几何中常见的“设而不求”方法所谓“设而不求”，就是根据提议巧妙设立未知数，来沟通“未知”和“已知”之间的关系，从而帮助我们解题，而未知数本身并不需要求出它的值。

“设而不求”的方法把关注通过运算求解上升为关注为分析求解，即通过少量的计算大量的分析实现解题。

“设而不求”的方法在解析几何的一些问题中有诸多应用，它优化了学生的解题思路，让解析难题的解决更有信心。

一、点差法点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

例1. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，,A B 分别为椭圆的左右顶点，P 为椭圆上任意异于,A B 的点，则22AP BP b k k a ⋅=-。

证明：设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ()0102,x x x x ≠≠，于是22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2222121122x x y y a b --=-，整理得2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，所以12212212120202y y y y b x x x x a+--⋅=-+--，即22AP OC b k k a ⋅=-，又//OC BP ，所以OC BP k k =，于是22AP BP b k k a⋅=-。

评注：点差法的特点是题目中明显或隐含的中点，而中点与斜率又有某种程度的关联。

点差法的一般处理程序是设出关键点坐标，然后代入曲线方程，再作差，最后将表达式化成含有斜率与中点的式子。

高考解析几何题“设而不求”解题法的应用

高考解析几何题“设而不求”解题法的应用数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。

若思维得法，解题就会一气呵成。

“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。

“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。

解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。

一、设而不求，整体化归通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。

例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点p（4，1），过p作直线交椭圆于a、b两点，在线段ab上取点q，使ap/pb=-aq/qb，求动点q的轨迹方程。

分析：b、q、a、p在同一线段上，且ap/pb=-aq/qb，故可设ap/pb=k，于是b、q、a、p坐标之间的联系就找到了，把b、a点的坐标及k 设而不求，通过消元的办法找出q点坐标的关系式，即求出q点的轨迹方程。

解：设q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），ap/pb=k，则4=■，1=■x=■，y=■∴4x=■，2y=■两式相加得4x+2y=■=8所以q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。

例2.（2010高考模拟）p0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点p作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于q、r，求证四边形orpq的面积为定值。

分析：设oq、or的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线pr的方程为y=■（x-x0）+y0，直线qr的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xr=■-■y0，xq=■+■y0。

设而不求，巧解三类数学题

数学篇设而不求主要是指根据题目特征，恰当地设置未知数，然后找到有关等量关系，建立相应的代数式或方程式，再将未知数消去或代换，从而达到求解的目的.简单地讲，设而不求就是只设未知数，不求其值，其本质是换元.这种解题方法能快速、准确、简捷地解答一些棘手的问题．下面举例说明“设而不求”在求解三类数学题中的应用方法.一、设而不求，求二次根式的值在解答二次根式求值问题时，当运用常规思路直接求值较为棘手时，可以将已知条件的某一参数作为变量，设出辅助未知数，借助虚设的参数对二次根式进行转化变形再求值.这种设而不求的方法，既可以使已知与所求目标之间的联系更加明朗，又可以避开繁杂的运算过程.例1若1993x 2=1994y 2，且1x +1y =1(x >0，y >0)，则1993x +1994y 的值为_______.分析：本题是一道二次根式求值题，直接求1993x +1994y 的值，显然难度较大.若能引入参数，设1993x 2=1994y 2=t (t >0)，那么很容易得知1993x =t x ,1994y =t y ,1993=t x2,1994=t y 2,再将其代入1993x +1994y 中进行化简和消参，即可求出目标根式的值.解：设1993x 2=1994y 2=t (t >0)，则1993x =t x ,1994y =t y,1993=t x 2,1994=t y2,所以1993x +1994y===t =t ⋅(1x +1y )==1993+1994.评注：本题增设了辅助未知数t ，通过化简、变形、代换，设而不求，使问题化难为易.在这一过程中，要注意“t >0”这一隐含条件.二、设而不求，比较分数的大小在比较分数大小时，尤其对于一些复杂的分数比较大小问题，运用一般解法直接求解会非常繁琐，且容易出错.此时，同学们若能结合分式特点适当引入辅助未知数，并将其带入分数中，利用分数的分子与分母间的关系与分数特征，设而不求，则可以使繁难的分数问题变得简单.例2比较1994197919941995与1994198019941996的大小.分析：本题两个分式中的分子和分母数字都较大，若按照常规思路直接比较大小，显然十分困难.观察分式特点，不难发现19941995与19941996、19941979与19941980均相差1，若能恰当引入未知数，设而不求，则可以避免复杂运算，快速找到解题的突破口.解：设19941995=a ，19941979=b ，则1994197919941995=b a ，1994198019941996=b +1a +1.b a -b +1a +1=b (a +1)-a (b +1)a (a +1)=ab +b -ab -a a (a +1)=b -a a (a +1).因为a >b >0，所以b -a a (a +1)<0，所以b a <b +1a +1，即1994197919941995<1994198019941996.评注：本题关键在于设19941995=a ，19941979=b ，然后通过b a -b +1a +1<0，得出设而不求，巧解三类数学题盐城景山中学倪娜解法荟萃32数学篇解法荟萃b a <b +1a +1，进而确定1994197919941995与1994198019941996的大小.整个过程设而不求，简洁明了，达到了避繁就简的目的.三、设而不求，解答实际应用题对于某些较为复杂的应用题，所给已知条件不多，或者数量较多，各数量间的关系并不明显，倘若直接设元，很难提炼出复杂的数量关系式，此时可以通过引进辅助元，再依据题意提炼出含辅助元的数量关系式，列出有关方程式（组）.而辅助元在求解过程中一般可以整体求出或在写出结果时被消去，这样问题就可以轻松获解.例3小红在网上购买甲、乙、丙三种型号的铅笔，已知买4支甲型、20支乙型、16支丙型的铅笔共需12元；买6支甲型、14支乙型、8支丙型的铅笔共需18元，试问买2支甲型、5支乙型、3支丙型的铅笔共需多少元？分析：本题是一道典型的方程应用题，按照解方程的步骤，需要先设甲、乙、丙三种型号的铅笔单价分别为x 元、y 元、z 元，再根据题意列出方程组.但是所列方程组中的每个方程均含有三个未知数，显然直接解出x ,y ,z 的值难度较大.注意到本题实际上是求2x +5y +3z 的值，因此，可以采用设而不求法予以求解.解：设甲型铅笔每支x 元，乙型铅笔每支y 元，丙型铅笔每支z 元，那么由题意可得ìíî4z +20y +16z =12,6z +14y +8z =18,将z 看作常数，解关于x ,y 的二元一次方程组，这样就可以得到x =3+z ,y =-z ,所以2x +5y +3z =2(3+z )+5(-z )+3z =6.评注：本题借助设而不求法，设辅助元z ，将之视为已知常数，使三元一次方程组问题转化为关于x ,y 的二元一次方程组问题，得出x =3+z ,y =-z 后，再整体代入求解.总之，“设而不求”法不仅可以用于解答各类代数问题，还可以用于解答几何问题.当遇到用常规方法难以解答的问题时，同学们不妨另辟蹊径，根据题意灵活引入辅助参数，设而不求，从而简化问题，减少计算量，提高解题效率.上期《<锐角三角函数>拓展精练》参考答案1.B ；2.D ；3.C ；4.C ；5.等腰直角三角形；6.65；7.512；8.85；9.解：（1）AC 的长为6；（2）tan∠BAD 的值是176.10.解：（1）过B 作BH ⊥AE 于H ，图略，在Rt△ABH 中，i =tan ∠BAH =，∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =10米；（2）∵BH ⊥HE ，GE ⊥HE ，BG ⊥DE ，∴四边形BHEG 是矩形．由（1）得：BH =10,AH =103米，∴BG =AH +AE =(103+30)米，在Rt△BGC 中，∠CBG =30°，∴CG =BG ⋅tan 30°=(103+=10+103．在Rt△ADE 中，∠DAE =45°，AE =30米，∴DE =AE =30米，∴CD +CG +GE -DE =10+103+10-3。

2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”(解析版)

圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF1+S△OPN S △OF 2N 为定值.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y1,Q x2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2x1-x2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A2,3；②该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；③点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1⊥PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合，过点P4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M m,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=m m>2交于点M，若直线MB，MF，MA的斜率k MB，k MF，k MA构成等差数列，求m的值.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x=12，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1，F2，F1F2=2，面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程；(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，△ABF2的周长为8.(1)若△ABF2的面积为1227，求直线AB的方程；(2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.10(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.11(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是4,且过点B0,1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：y=k x+2交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.14(2022届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.15(2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为2,两准线间的距离为26 3.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.16(2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C1:x24+y23=1,椭圆C2:y29+x24=1,A-2,0、B2,0.P为椭圆C2上动点且在第一象限,直线PA、PB分别交椭圆C1于E、F两点,连接EF交x轴于Q点.过B点作BH交椭圆C1于G,且BH⎳PA.(1)证明：k BF⋅k BG为定值；(2)证明直线GF过定点,并求出该定点；(3)若记P、Q两点的横坐标分别为x P、x Q,证明：x P x Q为定值.17(2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考)已知圆O ：x 2+y 2=2,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >2 的离心率为22,P 是C 上的一点,A 是圆O 上的一点,PA 的最大值为6+2.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点,PM 与圆O 相切于点N ,证明：PO 2=PM ⋅PN .18已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为8,离心率e =54.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为A 8,3 ,求直线l 的方程.圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N为定值.【解析】(1)由题意得a =2，设PF 1 ，PF 2 的长分别为m ，n ，m +n =2a =4则cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2-4c 22mn =m +n 2-4c 2-2mn 2mn =2b 2mn-1≥2b 2m +n 22-1=2b 2a2-1，当且仅当m=n 时取等号，从而2b 2a 2-1=12，得b 2a 2=34，∴b 2=3，则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)得F 1-1,0 ，F 21,0 ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线PM 的方程为x =x 0+1y 0y -1，直线PN 的方程为x =x 0-1y 0y +1，由x =x 0+1y 0y -1x 24+y 23=1，得3x 0+1 2y 02+4 y 2-6x 0+1 y 0y -9=0，则y 0y 1=-93x 0+1 2y 02+4=-9y 023x 0+1 2+4y 02=-9y 023x 02+4y 02+6x 0+3=-3y 022x 0+5，∴y 1=-3y 02x 0+5，同理可得y 2=-3y 05-2x 0，所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N =12OF 1 y 0 12OF 1 y 1 +12OF 2y 0 +y 2 12OF 2 y 2 =-y 0y 1+y 0y 2+1=-y 0-3y 02x 0+5+y 0-3y 05-2x 0+1=133.所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N 为定值133.2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由已知得b =1，c =1，所以a =2，椭圆的方程为y 22+x 2=1，当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1⋅x 2=-1k 2+2，∴CD =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+22+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时，AC ⎳BD ，不符合题意，当l 与x 轴不垂直时，设l ：y =kx +t ，则P -tk ,0 ，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1 得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0，∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2，x 1x 2=t 2-22+k 2，又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1)，直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1)，由y =y2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1) 可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1)，即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1)，kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1)，kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ，k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ，k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2，4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k 2-k x 2-x 1 ，即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ，得x =-k t，∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ，∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1，所以OP ⋅OQ=1为定值.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】(1)∵椭圆离心率e =c a =22，∴c 2=12a 2，则b 2=a 2-c 2=12a 2，当C 为椭圆右焦点时，PC =b 2a =12a ；∵S △PAC =2S △POC =2×12c ⋅12a =12ac =24a 2=2，解得：a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1.(2)由题意可设直线AP :y =kx k >0 ，P x 0,kx 0 ，B x 1,y 1 ，则A -x 0,-kx 0 ，C x 0,0 ，∴k AC =kx 0x 0+x0=k2，∴直线AC :y =k2x -x 0 ；由y =k 2x -x 0x24+y22=1得：k 2+2 x 2-2k 2x 0x +k 2x 20-8=0，∴-x 0+x 1=2k 2x 0k 2+2，则x 1=2k 2x 0k 2+2+x 0，∴y 1=k 2x 1-x 0 =k 22k 2x 0k 2+2+x 0-x 0=k 3x 0k 2+2，∴B 2k 2x 0k 2+2+x 0,k 3x 0k 2+2；∴PB =2k 2x 0k 2+2,-2kx 0k 2+2，又PA =-2x 0,-2kx 0 ，∴PA ⋅PB =-2x 0⋅2k 2x 0k 2+2+-2kx 0 ⋅-2kx 0k 2+2=0，则PA ⊥PB ，∴∠APB 为定值90°.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点坐标为x 0,y 0 ，AB :y =32x +m 所以有x 0=x 1+x 22y 0=y 1+y 22，联立x 24+y 29=1y =32x +m，得9x 2+6mx +2m 2-18=0，得Δ=6m 2-4×92m 2-18 >0，得m 2<18，由韦达定理可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以y 1+y 2=32x 1+m +32x 2+m =32x 1+x 2 +2m =m ，所以x 0=-m 3y 0=m 2，化简得：y 0=-32x 0，所以线段AB 的中点在直线y =-32x 上.(2)由题可知PA ，PB 的斜率分别为k PA =y 1-322x 1-2，k PB =y 2-322x 2-2，所以k PA +k PB =y 1-322x 1-2+y 2-322x 2-2=y 1-322 x 2-2 +y 2-322 x 1-2x 1x 2-2x 1+x 1 +2，因为y 1=32x 1+m ,y 2=32x 2+m 得k PA +k PB =3x 1x 2+m -32 x 1+x 1 -22m +6x 1x 2-2x 1+x 1 +2由(1)可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以k PA +k PB =32m 2-189 +m -32 -23m -22m +62m 2-189-2-23m+2=0，又因为P 2,322在直线l 的左上方，所以∠APB 的角平分线与y 轴平行，所以△PAB 的内切圆的圆心在x =2这条直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ,因离心率为32,则c a =32,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线F 1F 2的距离最大,则有S △F 1PF 2max =12⋅2c ⋅b =bc ,于是得bc =3,又a 2=b 2+c 2,联立解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1.(2)由(1)知,点F 23,0 ,当直线斜率存在时,不妨设l :y =k (x -3),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k (x -3)x 2+4y 2=4消去y 并整理得,(1+4k 2)x 2-83k 2x +12k 2-4=0,x 1+x 2=83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k2,假定在x 轴上存在定点Q 满足条件,设点Q (t ,0),则QA ⋅QB=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+k 2(x 1-3)(x 2-3)=(1+k 2)x 1x 2-(3k 2+t )(x 1+x 2)+t 2+3k 2=(1+k 2)⋅12k 2-41+4k 2-(3k 2+t )⋅83k 21+4k 2+t 2+3k2=(4t 2-83t +11)k 2+t 2-41+4k 2,当t 2-4=4t 2-83t +114,即t =938时,QA ⋅QB =t 2-4=-1364,当直线l 斜率不存在时,直线l ：x =-3与椭圆C 交于点A ,B ,由对称性不妨令A 3,12 ,B 3,-12,当点Q 坐标为938,0时,QA =-38,12 ,QB =-38,-12 ,QA ⋅QB =-38,12⋅-38,-12 =-1364,所以存在定点Q 938,0,使得QA ⋅QB 为定值-1364.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 代入圆锥曲线方程作差,得到关于y 1-y 2x 1-x 2,x 1+x 2,y 1+y 2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±bax ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得ba=3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 23,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1 ,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．【解析】(1)由题意可得b =3e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得a =2b =3c =1，故椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)λ+μ为定值-83，理由如下：由(1)可得F 1,0 ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y =k x -1 ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则M 0,-k ，联立方程y =k x -1x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，则Δ=-8k 2 2-44k 2+3 4k 2-12 =144k 2+1 >0,x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3，MP =x 1,y 1+k ,PF =1-x 1,-y 1 ,MQ =x 2,y 2+k ,QF=1-x 2,-y 2 ，∵MP =λPF ，MQ =μQF ，则x 1=λ1-x 1 x 2=μ1-x 2 ，可得λ=x11-x 1μ=x 21-x2，λ+μ=x 11-x 1+x 21-x 2=x 1+x 2 -2x 1x 21-x 1+x 2 +x 1x 2=8k 24k 2+3-24k 2-12 4k 2+31-8k 24k 2+3+4k 2-124k 2+3=-83(定值).2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可知2a =4,a =2，则椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 即x 24+y 2b 2=1，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23，故设P x 0,22x 0 ，∴x 20+22x 0 2=3，解得x 20=2，将P x 0,22x 0 代入x 24+y 2b 2=1得x 024+x 022b 2=1，即24+22b2=1，故b 2=2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P (x 0,y 0),x 0∈[-2,2]，则Q (-x 0,-y 0)，则x 204+y 202=1,∴x 20+2y 20=4，由椭圆方程x 24+y 22=1可得A (-2，0)，∴直线PA 方程为︰y =y 0x 0+2(x +2)，令x =0可得M 0,2y 0x 0+2，直线QA 方程为：y =y 0x 0-2(x +2)，令x =0得N 0,2y 0x 0-2，假设存在定点T ，使得∠MTN =90°，则定点T 必在以MN 为直径的圆上，以MN 为直径的圆为x 2+y -2x 0y 0x 02-42=16y 02x 20-42,即x 2+y 2-4x 0y 0x 20-4y +4y 20x 20-4=0，∵x 20+2y 20=4，即x 20-4=-2y 20,∴x 2+y 2+2x 0y 0y -2=0，令y =0，则x 2-2=0，解得x =±2，∴以MN 为直径的圆过定点(±2,0)，即存在定点T (±2,0)，使得∠MTN =90°．3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22-x 2=1的焦点重合，过点P 4,0 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点.【解析】(1)由双曲线y 22-x 2=1得焦点0,±3 ，得b =3，由题意可得b =3a 2=b 2+c 2e =c a =12 ，解得a =2，c =1，故椭圆C 的方程为；x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =k x -4 ，点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则点E x 2,-y 2 .由y =k x -4x 24+y 23=1，得4k 2+3 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，Δ=32k 2 2-44k 2+3 64k 2-12 >0，解得-12<k <12，从而x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2-124k 2+3，直线AE 的方程为y -y 1=y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 ，令y =0得x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2，又∵y 1=k x 1-4 ，y 2=k x 2-4 ，则x =kx 1x 2-4 +kx 2x 1-4 k x 1-4 +k x 2-4 =2x 1x 2-4x 1+x 2x 1+x 2-8，即x =2⋅64k 2-124k 2+3-4⋅32k 24k 2+332k 24k 2+3-8=1，故直线AE 与x 轴交于定点1,0 .4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1经过点2,-3 ，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2，是否存在x 轴上的定点M m ,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率±b a =±3或±33，即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时，由4a 2-9b 2=1得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时，方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ，假设存在定点M m ,0 满足题意，则MA ⋅MB =0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l :y =k x -2 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0，∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0，整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0，由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时，MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l :x =2，则A 2,3 ，B 2,-3 ，当M -1,0 时，MA =3,3 ，MB =3,-3 ，∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，l :y =0，则A -1,0 ，B 1,0 ，∵M m ,0 ，∴MA =-1-m ,0 ，MB=1-m ,0 ，∴MA ⋅MB=m 2-1=0，解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ，∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2+m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1，即m =-1时，MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P 到定直线x =4的距离，是它与定点F 1,0 的距离的两倍.(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)过F 点作两条互相垂直的直线l 1，l 2(直线l 1不与x 轴垂直).其中，直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，直线l 2交曲线C 于E ，N 两点，直线l 2与直线x =m m >2 交于点M ，若直线MB ，MF ，MA 的斜率k MB ，k MF ，k MA 构成等差数列，求m 的值.【解析】(1)设点P x ,y ，由题，有PFx -4 =12，即x -1 2+y 2x -4=12，解得3x 2+4y 2=12，所以所求P 点轨迹方程为x 24+y 23=1(2)由题，直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y =k x -1 ，与曲线C 联立方程组得y =k x -1x 24+y 23=1，解得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则有x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3依题意有直线l 2的斜率为-1k ，则直线l 2的方程为y =-1k x -1 ，令x =m ，则有M 点的坐标为m ,-m -1k，由题，k MF =m -1k 1-m =-1k ，k MA +k MB =y 1+m -1kx 1-m+y 2+m -1kx 2-m=y 1x 1-m +y 2x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k x 1-1 x 1-m +k x 2-1 x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k ×2x 1x 2-1+m x 1+x 2 +2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2+1k ×m -1 x 1+x 2-2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2=k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2，因为2k MF =k MA +k MB ，所以k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2=-2k解得m -4 k 2+1 =0，则必有m -4=0，所以m =4.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l :x =12，点M 到l 的距离为d ，若点M 满足|MF |=2d ，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)过点F (2,0)且斜率不为0的直线与C 交于P ，Q 两点，设A (-1,0)，证明：以P ，Q 为直径的圆经过点A ．【解析】(1)设点M x ,y ，则d =x -12,MF =(x -2)2+y 2，由MF =2d ，得(x -2)2+y 2=2x -12，两边平方整理得3x 2-y 2=3，则所求曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)设直线m 的方程为x =ty +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程x =ty +2,3x 2-y 2=3，消去x 并整理得3t 2-1 y 2+12ty +9=0,，因为直线m 与C 交于两点，故t ≠±33，此时Δ=(12t )2-43t 2-1 ⋅9=36t 2+1 >0，所以y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，而x 1+x 2=t y 1+y 2 +4,x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4.又AP =x 1+1,y 1 ,AQ=x 2+1,y 2 ，所以AP ⋅AQ=x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+93t 2-1-36t 23t 2-1+9=9-3t 2+1 3t 2-1+9=0.所以AP ⊥AQ ，即以P ，Q 为直径的圆经过点A .7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2 =2，面积为487的正方形ABCD 的顶点都在M 1上.(1)求M 1的方程；(2)已知P 为椭圆M 2:x 22a 2+y 22b 2=1上一点，过点P 作M 1的两条切线l 1和l 2，若l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x ,x ，由x 2a 2+x 2b 2=1，得x 2=a 2b 2a 2+b 2，所以2a 2b 2a 2+b 2×2a 2b 2a 2+b2=487，整理得12a 2+b 2 =7a 2b 2.①又a 2-b 2=F 1F 222=1，②由①②解得a 2=4，b 2=3，故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)由已知及(1)可得M 2:x 28+y 26=1，设点P x 0,y 0 ，则y 20=61-x 208.设过点P 与M 1相切的直线l 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，与x 24+y 23=1联立消去y 整理可得4k 2+3 x 2+8k y 0-kx 0 x +4y 0-kx 0 2-3 =0，令Δ=8k y 0-kx 0 2-4×4k 2+3 ×4y 0-kx 0 2-3 =0，整理可得x 20-4 k 2-2kx 0y 0+y 20-3=0，③根据题意k 1和k 2为方程③的两个不等实根，所以k 1k 2=y 20-3x 20-4=61-x 28 -3x 20-4=-34x 20-4 x 20-4=-34，即k 1k 2为定值-34.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1(-1,0)且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，△ABF 2的周长为8.(1)若△ABF 2的面积为1227，求直线AB 的方程；(2)过A ,B 两点分别作直线x =-4的垂线，垂足分别是E ,F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.【解析】(1)因△ABF 2的周长为8，由椭圆定义得4a =8，即a =2，而半焦距c =1，又a 2=b 2+c 2，则b 2=3，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，依题意，设直线AB 的方程为x =my -1，由x =my -13x 2+4y 2=12消去x 并整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m 3m 2+42+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，因此S △F 2AB =12F 1F 2 ⋅y 1-y 2 =12×2×12m 2+13m 2+4=1227，解得m =±1，所以直线AB 的方程为x -y +1=0或x +y +1=0.(2)由(1)知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则E -4,y 1 ，F -4,y 2 ，设直线EB 与AF 交点为M (x ,y )，则FA =(x 1+4,y 1-y 2),FM =(x +4,y -y 2)，EB =(x 2+4,y 2-y 1),EM =(x +4,y -y 1)，而FA ⎳FM ，EB ⎳EM ，则(x +4)(y 1-y 2)=(y -y 2)(x 1+4)，(x +4)(y 2-y 1)=(y -y 1)(x 2+4)，两式相加得：y (x 1+x 2+8)-y 2(my 1+3)-y 1(my 2+3)=0，而x 1+x 2+8>0，则y (x 1+x 2+8)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ⋅-93m 2+4+3⋅6m3m 2+4=0，因此y =0，两式相减得：2(x +4)(y 1-y 2)=-y 2(x 1+4)+y 1(x 2+4)=-y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)=3(y 1-y 2)，而y 1-y 2≠0，则x =-52，即M -52,0 ，所以直线EB 与AF 交于定点M -52,0 .9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.【解析】(1)由题意得2c =4，得c =2，所以a 2+b 2=4，因为点P 2,33在双曲线上，所以4a 2-13b 2=1，解得a 2=3,b 2=1，所以双曲线方程为x 23-y 2=1，(2)F (-2,0)，设直线l 1方程为y =k 1(x +2)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由y =k 1(x +2)x 23-y 2=1，得(1-3k 12)x 2-12k 12x -12k 12-3=0则x 1+x 2=12k 121-3k 12,x 1x 2=-12k 12-31-3k 12，所以x 1+x 22=6k 121-3k 12，所以AB 的中点M 6k 121-3k 12,2k 11-3k 12，因为k 1⋅k 2=-1，所以用-1k 1代换k 1，得N 6k 12-3,-2k 1k 12-3，当6k 121-3k 12=61-3k 12，即k 1=±1时，直线MN 的方程为x =-3，过点E (-3,0)，当k 1≠±1时，k MN =2k 11-3k 12--2k 1k 12-36k121-3k 12-6k 12-3=-2k 13(k 12-1)，直线MN 的方程为y -2k 11-3k 12=-2k 13(k 12-1)x -6k 121-3k 12，令y =0，得x =3(k 12-1)1-3k 12+6k 121-3k 12=-3，所以直线MN 也过定点E (-3,0)，所以S △OMN S △FMN =12y N-y M OE 12y M-y N FE =OE FE =310(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.【解析】(1)将点A 0,-1 代入x 23+y 2b 2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1又c 2=a 2-b 2=3-1=2,离心率e =c 2a 2=23=63(2)联立y =k x -1x 23+y 2=1,整理得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0设点E ,F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)由韦达定理得：x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ,令x =3,得y =3y 1+3x 1-1,即M 3,3y 1+3x 1-1直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ,令x =3,得y =3y 2+3x 2-1,即N 3,3y 2+3x 2-1MN =3y 2+3x 2-1-3y 1+3x 1-1=3×x 1y 2-x 2y 1+x 1-x 2x 1x 2 =3×k -1 x 1-x2x 1x 2=3×k -1x 1+x 22-4x 1x 2x 1x 22=3×k -1 ×232k 2+1k 2-1 =23×2k 2+1k +1 所以△AMN 的面积S =12×MN ×3=32×MN =33×2k 2+1k +1 =33即2k 2+1k +1 =1⇒2k 2+1=k +1 ,解得k =0或k =2所以k 的值为0或211(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长是4,且过点B 0,1 .(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l ：y =k x +2 交椭圆于P ,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意,得2a =4,b =1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =k (x +2)x 24+y 2=1,得x 2+4k 2(x +2)2-4=0,即(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,则x 1+x 2=-16k 21+4k 2,因为直线y =k x +2 恒过椭圆的左顶点(-2,0),所以x 1=-2,y 1=0,则x 2=-16k 21+4k 2+2=2-8k 21+4k 2,y 2=k (x 2+2)=4k1+4k 2,因为点B 始终在以PQ 为直径的圆内,所以π2<∠PBQ ≤π,即BP ·BQ <0,又BP =-2,-1 ,BQ=(x 2,y 2-1),则BP ·BQ=-2x 2-y 2+1<0,即4-16k 21+4k 2+4k 1+4k 2-1>0,即20k 2-4k -3<0,解得-310<k<12,所以实数k的取值范围为-310<k<12.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=p2,则C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2ac,所以4ac=42,则有ac=2ca=12a2=b2+c2,所以a=2,b=3,所以椭圆C1的方程为x24+y23=1,抛物线C2的方程为y2=8x.(2)依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,由x=ty-43x2+4y2=12,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=24t3t2+4,y1y2=363t2+4.根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).因为k NQ=k EQ,所以y2x2-m=-y1x1-m,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·363t2+4-(m+4)·24t3t2+4=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.。

解题中的“设而不求”综述

解题中的“设而不求”综述周淦利设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。

本文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。

一、整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。

例1. 已知等比数列}a {n 中，64S 16S m 2m ==，，求m 3S 。

解：设公比为q ，由于m m 2S 2S ≠，故1q ≠ 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=--><=--264q 1)q 1(a 116q 1)q 1(a m 21m 1 <2>÷<1>得4q 1m =+，则3q m = 所以q1)q 1(a S m 31m 3--= 208)331(16)q q 1(q1)q 1(a 2m 2m m 1=++⨯=++--=二、转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。

例2. 设a 、b 均为正数，且1b a =+，求证221b 21a 2≤+++。

证明：设)1v 1u (1b 2v 1a 2u >>+=+=，，，m v u =+则u 、v 同时满足⎩⎨⎧=+=+4v u m v u 22 其中m v u =+表示直线，m 为此直线在v 轴上的截距4v u 22=+是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m 的值最大。

图1由图易得22m max = 即221b 21a 2≤+++三、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。

例3. 已知对任何满足1y )1x (22=+-的实数x 、y ，如果0k y x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围。

高中数学解析几何设而不求的若干途径学法指导

高中数学解析几何设而不求的若干途径设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。

许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不求的若干实施途径，供大家参考。

一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求例1 过圆外一点P （a ，b ）引圆222r y x =+的两条切线，求经过两个切点的直线方程。

解：设两个切点分别为P 1（11y x ，），P 2（22y x ，），则切线方程为：211PP r by ax :1=+l ，222PP r by ax :2=+l 。

可见P 1（11y x ，），P 2（22y x ，）都满足方程2r by ax =+，由直线方程的定义得：2r by ax =+，即为经过两个切点的直线方程。

二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而不求例2 已知椭圆2122F F 19y 25x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，3PF F 21π=∠，求21PF F S ∆。

解析：由题意知点P 为椭圆上一点，根据椭圆的定义10|PF ||PF |21=+。

再注意到求21PF F S ∆的关键是求出|PF ||PF |21⋅这一整体，则可采用如下设而不求的解法：设2211r |PF |r |PF |==，由椭圆定义得10r r 21=+① 由余弦定理得643cos r r 2r r 212221=π-+ ② ①2－②得，12r r 21=333sin r r 21S 21PF F 21=π=∴∆ 三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不求例3 求过椭圆16y 4x 22=+内一点A （1，1）的弦PQ 的中点M 的轨迹方程。

解析：设动弦PQ 的方程为)1x (k 1y -=-，设P （11y x ，），Q （22y x ，），M （00y x ，），则：16y 4x 2121=+① 16y 4x 2222=+ ②①－②得：0)y y )(y y (4)x x )(x x (21212121=-++-+当21x x ≠时，0x x y y 2y y 42x x 12122121=--⋅+⋅++ 由题意知k x x y y y 2y y x 2x x 1212021021=--=+=+，，，即0k y 4x 00=+ ③ ③式与)1x (k 1y 00-=-联立消去k ，得0y 4x y 4x 002020=--+ ④ 当21x x =时，k 不存在，此时，0y 1x 00==，，也满足④。

“设而不求”巧思维，圆锥曲线妙突破

!设而不求巧思维圆锥曲线妙突破"江苏省泗洪中学!刁俊东'设而不求(是高中数学中一种非常特殊的解题技巧与方法!是数学整体思想的一个特例!通过整体结构意义上的变式与拓展以及整体思维的应用来分析与处理问题!更是破解平面解析几何问题!特别是圆锥曲线问题中的基本手段之一!在破解圆锥曲线问题中!'设而不求(可以有效融合参数的关系式!整体处理!大大减少代数运算量!结合定义巧切入$向量妙应用$利用不等式$借助'点差法($平几妙突破等方式来'设而不求(!优化过程!简化运算!提升解题效益!!定义巧切入巧妙借助圆锥曲线的相关定义!挖掘问题的本质!通过椭圆$双曲线$抛物线等的定义来巧妙建立关系式!整体代换!'设而不求(!巧妙处理!例!!)!"!"年高考数学新高考(卷)山东卷*第#,题*斜率为槡,的直线过抛物线)%%!$&&的焦点!且与)交于(!'两点!则('$!根据题目条件!先确定焦点弦所对应的直线方程!联立直线与抛物线方程!转化为对应的二次方程!直接利用韦达定理加以转化!+设而不求,!结合抛物线的定义以及焦点弦公式加以转化与应用!解析由抛物线)%%!$&&!可知)的焦点为4)#!"*!3$!!而直线('过焦点4且斜率为槡,!则直线('的方程为%$槡,)&"#*!设()&#!%#*!')&!!%!*!将直线('的方程代入抛物线)%%!$&&!化简整理可得,&!"#"&*,$"!利用韦达定理得到&#*&!$#",!由抛物线的定义!可得('$(4#*'4#$&#*3!*&!*3!$&#*&!*3$#",*!$#+,!故填答案%#+,!合理通过椭圆"双曲线"抛物线等定义的切入!建立题目条件与圆锥曲线定义之间的关系!结合代数式或不等式等的变形与应用!+设而不求,!从中剔除参数达到求解的目的!化繁为简!提升解题效益!"向量妙应用巧妙借助平面向量的相关知识!特别是平面向量的坐标运算$数量积等!合理串联起直线与圆锥曲线之间的联系!'设而不求(!合理运算!巧妙转化!例"!)!"#%年高考数学北京卷理科第#-题*已知抛物线)%&!$"!3%经过点)!!"#*!)(*求抛物线)的方程及其准线方程&))*设0为原点!过抛物线)的焦点作斜率不为"的直线.交抛物线)于两点D !E !直线%$"#分别交直线0D !0E 于点(和点'!求证%以('为直径的圆经过%轴上的两个定点!解决涉及直线与抛物线的位置关系问题时!通过设出直线方程!联立直线与抛物线的方程组!进而确定对应坐标的表达式!引入平面向量!通过向量的坐标运算与数量积加以巧妙转化!+设而不求,!进而得以证明定点问题!解析 )(*由抛物线)%&!$"!3%经过点)!!"#*!得3$!!可得抛物线)的方程为&!$"&%!其准线为%$#!))*由)(*知抛物线)的焦点为4)"!"#*!设直线.的方程为%$#&"#)#$"*!设D )&#!%#*!E )&!!%!*!由%$#&"#!&!$"&%!3得&!*&#&"&$"!结合韦达定理可得&#&!$"&!而直线0D 的方程为%$%#&#&!令%$"#得点("&#%#!"#)*!同理得点'"&!%!!"#)*!设点=)"!:*!则=('($"&#%#!"#":)*!=''($"&!%!!"#":)*!=('(0=''($&#&!%#%!*):*#*!$%!!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.!&#&!"&!#&)*"&!!&)**):*#*!$#+&#&!*):*#*!$"&*):*#*!!令=('(0=''($"!即"&*):*#*!$"!得:$#或:$",!故以('为直径的圆经过%轴上的定点)"!#*和)"!",*!直线与圆锥曲线的方程联立!利用韦达定理加以转化!通过平面向量的坐标表示!结合向量的坐标运算"数量积等!综合相关的位置关系等加以整合!+设而不求,!巧妙代入!破解问题!#利用不等式巧妙通过基本不等式的应用!构造参数之间的关系!'动('静(结合!合理转化!'设而不求(!在破解一些最值问题中经常应用!例#!)!"!"年高考数学全国卷)文科第%题!理科第-题*设0为坐标原点!直线&$7与双曲线)%&!7!"%!H!$#)7&"!H&"*的两条渐近线分别交于=!>两点!若20=>的面积为-!则)的焦距的最小值为)!!*!C!&D!-4!#+E!,!根据双曲线的两条渐近线的方程!结合条件确定线段=>的长度!利用三角形的面积加以转化!得到7H$-!利用基本不等式!结合双曲线的几何性质+设而不求,!从而得以确定对应的最值问题!解析由于双曲线)的两条渐近线的方程为%$LH7&!将&$7代入可得%$L H!可得=>$!H!则有A20=>$#!=>07$7H$-!利用基本不等式!可得双曲线)的焦距!8$!7!*H槡!,!!槡7H$-!当且仅当7$H$槡!!时等号成立!所以)的焦距的最小值为-!故选D!合理通过基本不等式的应用!+设而不求,!把+静,态的圆锥曲线问题+动,起来!进而确定相关参数的最值点!$借助点差法巧妙借助直线的斜率公式!结合'点差法(的变形与转化!构建直线与圆锥曲线之间的关系!'设而不求(!代数运算!转化变形!图#例$!)!"!"年高考数学浙江卷第!#题*如图#!已知椭圆)#%&!!*%!$#!抛物线)!%%!$!3&)3&"*!点(是椭圆)#与抛物线)!的交点!过点(的直线.交椭圆)#于点'!交抛物线)!于点D)'!D不同于(*!)(*若3$##+!求抛物线)!的焦点坐标&))*若存在不过原点的直线.使点D为线段('的中点!求3的最大值!设出点(与点D的坐标!借助直线的斜率公式!通过+点差法,的变形与转化来确定对应的值!进而建立参数之间的关系式!利用主元法并结合方程思维!再结合条件加以分析与处理!解析 )(*由3$##+!得抛物线)!的焦点坐标是#,!!")*!))*设()!37!!!37*!D)!3B!!!3B*!则有#(D0#0D$!37"!3B!37!"!3B!!3B!3B!$#B)B*7*!又由'点差法(可知!#(D0#0D$%("%'&("&'%(*%'!&(*&'!$%!("%!'&!("&!'$#"&!(!)*"#"&!'!)*&!("&!'$"#!!则有#B)B*7*$"#!!即B!*7B*!$"!可得%$7!"-,"!即7!,-!而()!37!!!37*在椭圆)#%&!!*%!$#上!可得)!37!*!!*)!37*!$#!所以3!$#!7&*&7!4##+"!解得34槡#"&"!当且仅当7!$-时等号成立!故3取到最大值槡#"&"!在破解一些直线与圆锥曲线的位置关系问题时!经常借助+点差法,来求解相关直线的斜率!引入点的坐标!利用+点差法,!通过作差确定与转化相关直线的斜率!借助题目条件!+设而不求,!柳暗花明!*&!备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

“设而不求法”在中学数学解题中的巧用

例谈“设而不求法”在中学数学解题中的巧用数学的学习离不开解题，数学学习应该以解题为中心，只有在解题中才能消化所学的知识，只有在解题中才能积极地展开数学思维活动，进而达到融会贯通的目的。

本文就介绍中学数学学习中一种常见而又重要的解题方法——设而不求法，在解数学题时，有时可以考虑设出某些中间变量，但不必将其求出，而是以它们为过渡，帮助我们解题，这就是设而不求地技巧。

它的作用有两个：一是在解题中起桥梁作用，辅助解题；二是因为不直接求出而简化计算。

这种方法在解解析几何题时使用较多，如两曲线相交时，对其交点设而不求，从而快速简捷的求出轨迹方程、弦中点坐标等。

在数列、立体几何等其他问题中也有应用。

为了寻求问题的解决途径，给问题的转化创造必要的条件，常常引进一个或几个起连接作用的辅助元素；把分散的条件集中起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件合结果联系起来，或者转繁难为简易，从而达到转化问题找出解决途径的目的。

所以设立辅助元素而不求出也是一种转化的方法。

那么在解决实际问题时，怎样从已知条件入手来假设辅助元素呢？这就需要你有扎实的数学基本功，开阔的数学思维能力，对一个问题通过分析条件和特征，从解决问题的需要角度来确定。

在使用设而不求的技巧时，常常伴随曲线的定义、几何性质、点参数、曲线系、韦达定理、方程理论、消去法等概念和方法的运用。

下面我们来看几个“设而不求法”在平面解析几何中的具体的应用：1、F 1 、F 2是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个焦点，∠F 1P F 2 = 900，则△F 1P F 2则的面积是多少？思路：设点P 坐标，列出方程组，再消去点P 坐标。

解：设点P 坐标为（x 0,y 0），则由焦半径公式知 |PF 1|= a+ex 0，|PF 2|= a - ex 0。

又∵∠F 1P F 2 = 900 ，故有,))((214)()(0022020⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-++S ex a ex a c ex a ex a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+220222202222S x e a c x e a 两式相加得 S+c 2=a 2，∴S=a 2—c 2=b 2。

浅谈“设而不求”的解题方法

教学参谋解法探究2017年9月浅谈“设而不求”的解题方法!%南省永顺县第一中学石家文“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，笔者通过多年的教学和研究，体会到这种解题方法不仅用于解决解析几何问题，而且函数、不等式等问题也经常用到，下面笔者从六个方面，谈一谈对这种解题方法的体会.—、“设而不求”之“引参法”通过引人参数，架设沟通桥梁.l lg #l ,0<#" 10,81已知函数"（#)=$ 1 , 若），*，+互不& #+6，#(10，2相等，旦f ))=f *)=f +)，则〇*+的取值范围是_________.解析:不防设/(〇)=/(*)=/(+)=/，在同一坐标系中作出函数#)及0$/的图像，如图1所示.1‘01a l*10 c 12’#图1由图 1知/(a )$/* )'-lg a =lg * :即a _1=* :即〇* = 1:所以abc =c .由图1知+的取值范围是(10,12)，所以▲的取值范围是(10,12).点评：这里参数/的引入，目的便于作图，把a ，b ，c 在图上画出来，让我们据图说话，一幅图真的是胜过千言万语，而参数/就像一根杠杆，起到了四两拨千斤的作用.二、“设而不求”之“换元法”通过换元，优化式子结构.8 2设2、3、4是三角形234的三个内角，求sin 2s in 3s in 4s in 3's in 4-sin 2 sin 2's in 4-s in 3 sin 2's in 3-s in 4的取小值.解析：由正弦定理得原式.bb 'c -a 'c -b a 'b-c令#=b +c -a ,0=c +a -b ,解得'b 2=a +b _c ,_0+5-j ，_ 2+#.T "，_#+y" 2 '所麵 i +M +#+f4-+——+——+——+-#rr奋丄.6mm.3,当且仅当丄:2 ##0055#丄.A .上:即#.0.5 时，取0 0 55故所求的最小值为3.点评：设辅助元对分母实施代换，把多项式分母化为单项式分母，优化了式子的结构，为后续的恒等变形和放缩变形创造条件’三、“设而不求”之“逆代法”当直线与曲线或曲线与曲线的交点不易解出来或无法解出来时，可以先把交点坐标设出来，然后往回代人，笔者称之为“逆代法”'例如点差法等’83已知椭圆C :Z +f .1，试确定6的取值范围，4 3使得椭圆上有两个不同的点关于直线0.4#+m 对称.解析:设2 /(，^，召^^提椭圆上关于直线树称[3#2+40?.12 ①，的两点，8(#。

设而不求妙解定点弦

一
４
二Ｕ
一
ｍ。
，
得
Ｂ
图１
二
一
是ＭＤ＝走。，所以直线ＭＮ过Ｄ点．因此，直线ＭＮ必过轴上的点（１，０）．
试题给出的标准答案运算量大，计算繁琐，考生在考试中要准确无误解出该题，需（３）设ｔ一９，求证：直线ＭＮ必过５Ｃ轴要很强的运算能力．从解答过程中可以看上的一定点（其坐标与ｍ无关）．出，解法繁琐主要表现在以下两个方面：第证明由题设知，直线ＡＴ的方程为字母的参加运算，导致关于ｍ的表达式过于繁琐；第二，将直线方程ＴＡ，直线Ｂ的方程与椭圆方程联立，求Ｍ，Ｎ坐标的运
（・ｒｌ＋３￣２
：
ｊ要＋尊一１，
（１＋３）
。
得
时根据需要设出一个或多个不必求出（有时根本无法求出）的未知数，以其为桥梁，将题
目简捷解出的方法．椭圆中有关弦过定点问
ｍ。
＝
Ｙｌ
计算过程，为了尽可能减少计算量，常常需
要应用一些技巧和方法， “ 设而不求” 就是其中方法之一．所谓 “ 设而不求” ，就是在解题
点Ｍ（，）满足

浅谈“设而不求”的解题思考

浅谈“设而不求”的解题思考作者：钟顶伟来源：《学校教育研究》2017年第25期“设而不求”是数学解题中的一种有效手段，在计算繁杂、或数量关系不明，而致使思路受阻时，采用“设而不求”的策略，能避免盲目推演而造成无益的循环运算、时间资源的流失。

采用“设而不求”这一策略，往往能化繁为简，优化过程，从而达到准确、明快、简捷的解题效果。

以下列举几例，以供借鉴与参巧。

一、“设而不求”，结果自显在解题中，巧设一些末知数字母来参与题中的已知条件的推算。

使运算互相抵消，因而结果直现，使问题化难为简。

例1：计算（1+ + +……+ ）×（+ +……+ ）—（1+ + +……+ ）×（+ +……+ ）分析与解答：此题若通分计算，实为无法办到。

若用字母代替，则十分简单。

设+ +……+ =A + +……+ =B则原式=（1+A）×B—（1+B）×A=B+AB—A-AB=B-A=例2：甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面 20 米处，如果两人各自的速度不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？分析与解答：此题只告诉了路程总量，无论是先求速度还是求时间都很难办到，如果用字母代替时间，解答易如反掌。

假设甲跑完100 米要用a 秒，则甲的速度为，乙的速度为 = 。

现在要使使甲、乙两人同时到达终点，则乙要跑的路程为 100米，他所用的时间为 100 ÷= ，也是甲跑的时间。

所以甲要跑的路程为： × =125（米）。

故起跑线应比原来起跑线后移125—100=25（米）。

二、“设而不求”在分数中有末知数的问题例3：要使为可约分的分数，则自然数n的最小值是多少？分析与解答：此题若用列举法很难办到，不妨设分子、分母有公因数a，显然应有a>1，K为自然数。

并且设：分子n-13=aK1分母5n+6=aK2由得n=aK1+13 ，将之代入得：5（13+aK1）+6=aK2所以a（K2-5K1）=71由于71是質数，且a>1，所以a=71。

设而不求，巧妙解答定点定值问题

)
，
所以
k BC
=
4k1
3
-
k2 1
，从而直线
BC
的方程为
y-
-
6k1
k2 1
+
1
=
3
4k1
-
k2 1
(x
-
3k2
1
3k12 ) +1
，
化简得
y=
3
4k1
-
k2 1
(x
+
3 2
)
．
所以直线
BC
恒过一定点，该定点为
(-
3 2
, 0)
．
在解答本题时，首先根据题意设出 B、C 方程组求得 B、C 的
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的坐标．
解：(1) |MN| = 4（过程略）；
(2)由题易知 A(-3,0) ，设 B(x1,y1),C(x2,y2) ，则直线
AB 方程为 y = k1(x + 3) ，
由
ìy = k1(x + 3) , íîx2 + y2 = 9,
思路探寻
设而不求，巧妙解答定点定值问题
曹兴阳胡翠英
定点定值问题主要考查圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及消元的方
令
ìy = 0, íîx2 + y2
-
6x
+
1
=
0,
解得x = 3 ± 2
2 .所以圆C'总
法，属于一类综合性较强的问题，其运算量一般都比经过定点坐标为(3 ± 2 2 ,0).

中考数学复习指导：灵活运用设而不求方法求解数学问题

灵活运用设而不求方法求解数学问题在求解数学问题时，常会碰到一些问题，它所涉及的量比较多，量与量之间的关系也不太明显，若只根据题意，直接设未知数，解决问题较难．此时若通过设辅助未知数，把那些不明显的关系表示出来，而在求解含辅助未知数的方程（组）时，则可根据其特点，巧妙地将辅助未知数消去，而不必求出这些辅助未知数，从而求得原问题的解，这就是“设而不求”，采用这种方法常常可以简化解题过程，使得求解方法变得简捷、巧妙．例1 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需315元；若购甲4件、乙10件、丙一件共需420元．问现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？解设购甲、乙、丙各一件分别需x元、y元、z元，则由题意可得：解关于x＋3y和x＋y＋x的二元一次方程组可得x＋y＋x＝105（元）．点评对于本题，若按常规方法求解，则需分别求出x、y、z的值，而根据题中的条件只能列出两个方程，因此直接求值不太可能．可见题意并非一定要求出x、y、z之值，而只需求出（x＋y＋z）这个整体之值即可．例2 一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位数字和百位数字得到一个新的三位数，它恰好又是数字和的m倍，求m的值．解设三位数的百位数字为x，个位数字为y，则据题意可得：例3 已知直角三角形IABC的周长是21，求该三角形的面积．解设两直角边长分别为x、y，则根据题意，可得下面方程组：点评本题若用解方程组求出x、y的值，再计算，则不仅运算量大，方程繁杂，且还容易出错．采用“设而不求”的方法，使得解题过程简洁明快．例4 已知二次函数y＝x2－mx＋4的图像与x轴交于A、B两点，且A、B两交点间的距离为2．求此二次函数的解析式．例5 有一片牧场，草每天都匀速地生长（革每天增长的量相等）．如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完草?(2)要使牧草永远吃不完，至多只能放牧几头牛？解(1)设每头牛每天吃草量为x，草每天增长量为y，牧场原有的草量为a，16头牛z天可以吃完牧草．则根据题意可得：(2)设放牧w头牛，牧草永远吃不完，则必须使w头牛每天吃的草量不大于每天的增长量，即xw≤y ⑥把④代入⑥，可得w≤12（因为w>0）．答：(1)如果放牧16头牛，18天可以吃完草；(2)要使牧草永远吃不完，至多只能放牧12头牛．点评本题是著名的“牛吃草”问题，解题需要考虑草每天的增长量，每头牛每天吃草量及牧场原有草量之间的关系，所以本题设了一些辅助未知数，并把这些关系表示出来，然后巧妙地进行消元，从而使得问题顺利获解．例6 如图1所示，在△ABC的两边AB、AC上分别向外作正方形ACGH和BAFE，延长BC边上的高DA交FH于点M，求证：MH＝MF．不求”的方法，不仅简捷明了，而且令人耳目一新．。