中考数学二次函数-经典压轴题含答案

∴ △ PFA∽ △ AEB,
∴ PF AF ，即 x2 4x 4 x ，
AE BE
21 3
解得，x= −1，x=4（舍去）
∴ x2-4x=-5
∴ 点 P 的坐标为（-1，-5），
又∵ B 点坐标为（1，-3），易得到 BP 直线为 y=-4x+1
所以 BP 与 x 轴交点为（ 1 ，0） 4
4x），证明△ PFA∽ △ AEB,求出点 P 的坐标，将△ PAB 的面积构造成长方形去掉三个三角形
的面积．
【详解】
a b＝ 3
（1）由题意得，
b 2a
＝2
，
解得
a＝1 b＝
4
，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2-4x，
令 y=0，得 x2-2x=0，解得 x=0 或 4，
Байду номын сангаас
结合图象知，A 的坐标为（4，0），
【答案】（1）抛物线的解析式为 y=x2﹣4x，自变量 x 的取值范图是 0≤x≤4；（2）△ PAB 的
面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点 B 坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定
系数 a 和 b；
（2）如图，过点 B 作 BE⊥x 轴，垂足为点 E，过点 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 F，设 P（x，x2-
∴ S△ MNB= 1 ×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1， 2
当点 M 出发 1 秒到达 D 点时，△ MNB 面积最大，最大面积是 1．此时点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处．
2．如图，抛物线 y=ax2+bx 过点 B（1，﹣3），对称轴是直线 x=2，且抛物线与 x 轴的正半 轴交于点 A． （1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当 y≤0 时，自变量 x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点 P，当 PA⊥BA 时，求△ PAB 的面积．
∴ S△ PAB= 1 15 5 3 15 24
【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直
线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0）B（3，0）两 点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点 M，使△ BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形 是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学二次函数-经典压轴题含答案
一、二次函数
1．如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B 与 y 轴交于 点 C（0，3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D．
（1）求二次函数的表达式； （2）在 y 轴上是否存在一点 P，使△ PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点 P 的坐标； （3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达 点 B 时，点 M、N 同时停止运动，问点 M、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最 大面积．
②当 PB=PC 时，OP=OB=3， ∴ P3（0，-3）； ③当 BP=BC 时， ∵ OC=OB=3 ∴ 此时 P 与 O 重合， ∴ P4（0，0）；
综上所述，点 P 的坐标为：（0，3+3 2 ）或（0，3﹣3 2 ）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图 2，设 AM=t，由 AB=2，得 BM=2﹣t，则 DN=2t，
（3）设 AM=t 则 DN=2t，由 AB=2，得 BM=2﹣t，S△ MNB= 1 ×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解 2
析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△ MNB 最大面积；此时点 M 在 D 点，点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处． 【详解】 解：（1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x2+bx+c，
根据图象开口向上，则 y≤0 时，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤4；
（2）如图，过点 B 作 BE⊥x 轴，垂足为点 E，过点 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 F，
设 P（x，x2-4x）,
∵ PA⊥BA ∴ ∠ PAF+∠ BAE=90°, ∵ ∠ PAF+∠ FPA=90°, ∴ ∠ FPA=∠ BAE 又∠ PFA=∠ AEB=90°
1 b c 0 c 3
解得：b=﹣4，c=3， ∴ 二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3； （2）令 y=0，则 x2﹣4x+3=0，
解得：x=1 或 x=3， ∴ B（3，0），
∴ BC=3 2 ，
点 P 在 y 轴上，当△ PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1，
①当 CP=CB 时，PC=3 2 ，∴ OP=OC+PC=3+3 2 或 OP=PC﹣OC=3 2 ﹣3 ∴ P1（0，3+3 2 ），P2（0，3﹣3 2 ）；
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3；直线 AC 的解析式为 y=3x+3；（2）点 M 的
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点 P 的坐标为：（0，3+3 2 ）或 （0，3﹣3 2 ）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点 M 出发 1 秒到达 D 点时，△ MNB 面
积最大，最大面积是 1．此时点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴 下方 2 个单位处． 【解析】 【分析】 （1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表 达式； （2）先求出点 B 的坐标，再根据勾股定理求得 BC 的长，当△ PBC 为等腰三角形时分三种 情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点 P 的坐标；