27.2.1等腰三角形(1)
等腰三角形的性质与特点
等腰三角形的性质与特点等腰三角形是初中数学中常见的一个几何图形。
它具有独特的性质和特点，本文将对等腰三角形进行介绍和讨论。
一、等腰三角形的定义与特点等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下几个特点：1. 两边相等：等腰三角形的两边长度相等，用线段符号表示时可以表示为AB=AC。
2. 两角相等：等腰三角形的两个底角（即两边之间的角）相等，用角度符号表示时可以表示为∠B=∠C。
3. 一角是直角：等腰三角形的顶角（顶点所在的角）是直角，用角度符号表示时可以表示为∠A=90°。
以上是等腰三角形的基本特点，根据这些特点，我们可以进一步探究等腰三角形的性质。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是顶点向底边（即两边之间的那边）所在直线的垂线。
该垂线与底边垂直相交，且交点即为等腰三角形的顶点。
高线的长度等于两边之间的距离。
2. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线是从顶点出发的线段，将顶角分成两个相等的角。
顶角平分线同时也是高线，与底边垂直相交于底边上的一点，将底边分成两个相等的线段。
3. 对称性：等腰三角形具有对称性。
如果将等腰三角形按照顶点所在的直线进行折叠，两边可以完全重合，即可得到一个完全相同的图形。
这说明等腰三角形的两边和底边可以相互对应。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是几个常见应用的例子：1. 三角仪：等腰三角形的特点使得它在使用三角仪时非常方便。
通过调节三角仪的两腿，使其成为等腰三角形，可以准确地测量和绘制角度。
2. 屋顶设计：等腰三角形在建筑设计中常用于设计屋顶形状。
等腰三角形的对称性和稳定性使得它成为一个合适的结构选择，能够在保证强度的同时提供美观的外观。
3. 地质测量：地质学家使用等腰三角形来测算地球上的不同地点之间的距离和角度。
通过测量等腰三角形的边长和角度，可以计算出更大范围的地理信息。
等腰三角形公式
等腰三角形公式等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊性质和公式，下面将对等腰三角形的公式进行详细讲解。
一、等腰三角形的定义及性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
除了两边相等外，等腰三角形的底边上的两个角也是相等的，称为顶角。
等腰三角形的顶角一般记作α。
由等腰三角形的定义，可以得出以下性质：1. 等腰三角形的两个底角是相等的，即α = β。
（其中α和β表示等腰三角形的两个底角）2. 等腰三角形的两条底边是相等的，即AC = BC。
（其中AC和BC表示等腰三角形的两条底边）3. 等腰三角形的顶角α与底边AC和BC的夹角相等，即∠CAB = ∠CBA = α。
二、等腰三角形的重要公式1. 底角公式等腰三角形中，顶角的度数由底角决定。
假设等腰三角形的顶角α的度数为x°，则每个底角的度数为(180 - x) ÷ 2°。
推导过程如下：由等腰三角形的定义，可知两个底角相等，设为β。
根据三角形内角和公式，有α + β + β = 180°。
化简得到α + 2β = 180°。
又因为α = β，所以有β + 2β = 180°。
化简得到3β = 180°。
解方程得到β = 60°。
由此可得每个底角的度数为(180 - β) ÷ 2° = (180 - 60) ÷ 2° = 60°。
所以，等腰三角形中的底角度数均为60°。
2. 高公式等腰三角形的高指的是从顶点向底边中点所引的垂线。
等腰三角形的高具有以下公式：设等腰三角形ABD中，AD为高，AB和BD为底边。
已知底边AB = c，高AD = h。
根据直角三角形的性质，可得：BD² + h² = c²由于等腰三角形中底边相等，所以BD = c/2。
将其代入上式，得：(c/2)² + h² = c²化简得：c²/4 + h² = c²移项并化简，得：h² = 3c²/4所以，等腰三角形的高的平方等于底边长度的平方的3/4。
等腰三角形的特性及求解
等腰三角形的特性及求解等腰三角形是初中数学中常见的一个几何形状，它具有一些特殊的性质和求解方法。
在本文中，我将详细介绍等腰三角形的特性及如何求解等腰三角形的各个要素。
一、等腰三角形的特性等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
它具有以下几个特性：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两边所夹的角）相等。
这是因为等腰三角形的两边长度相等，根据三角形内角和定理可知，两个底角的和等于一个三角形的内角和，而等腰三角形的两个底角相等，所以它们的和也相等。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（即顶边两边所夹的角）平分底边。
这是因为等腰三角形的两边长度相等，所以底边的中垂线也是等腰三角形的高，而高线平分底边。
3. 高线相等：等腰三角形的两条高线相等。
这是因为等腰三角形的两边长度相等，所以底边的中垂线也是等腰三角形的高，而两条高线都是底边的中垂线，所以它们相等。
二、求解等腰三角形的要素1. 已知底边和顶角求高线：如果已知等腰三角形的底边长度和顶角的大小，我们可以通过正弦定理来求解高线的长度。
设底边长度为a，顶角的大小为θ，高线的长度为h，则有sin(θ/2) = h/a，通过这个公式可以求解高线的长度。
2. 已知底边和高线求顶角：如果已知等腰三角形的底边长度和高线的长度，我们可以通过正弦定理来求解顶角的大小。
设底边长度为a，高线的长度为h，顶角的大小为θ，则有sin(θ/2) = h/a，通过这个公式可以求解顶角的大小。
3. 已知顶角和高线求底边：如果已知等腰三角形的顶角的大小和高线的长度，我们可以通过余弦定理来求解底边的长度。
设顶角的大小为θ，高线的长度为h，底边的长度为a，则有a^2 = h^2 + h^2 - 2h^2cosθ，通过这个公式可以求解底边的长度。
三、实际应用等腰三角形的特性和求解方法在实际生活中有很多应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要根据已知的底边长度和顶角的大小来确定建筑物的高度；在地理测量中，我们可以利用已知的底边长度和高线的长度来测量山的高度；在制作旗帜或标识牌时，我们可以利用等腰三角形的特性来设计出美观而稳定的形状。
等腰三角形性质
等腰三角形性质等腰三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多特点和性质。
在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质，并通过具体的例子来加深理解。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
它的性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等。
这是等腰三角形的最基本性质之一。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
根据定义，我们可以得出∠B=∠C。
这个性质可以通过实际测量角度来验证。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（即顶点的角）平分底边。
这意味着顶角的两个角度与底边的两个角度相等。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
根据定义，我们可以得出∠A=∠B=∠C。
这个性质可以通过实际测量角度来验证。
3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是从顶点到底边中点的线段，它与底边垂直。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
我们可以通过实际绘制图形来验证高线的垂直性。
二、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在数学中有广泛的应用。
下面，我将介绍一些常见的应用情况。
1. 判定等腰三角形：当我们遇到一个三角形，需要判断它是否为等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质进行判断。
例如，我们可以考虑一个三角形ABC，其中AB=AC。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠A=∠B=∠C，从而判定这个三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的面积：当给定等腰三角形的底边长度和高线长度时，我们可以利用等腰三角形的性质求解其面积。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，高线AD与底边BC垂直，且AD=h。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出BC=2AD。
因此，等腰三角形的面积S=1/2×BC×h=AD×h。
三、等腰三角形的拓展等腰三角形的性质还可以进一步拓展到其他几何概念中。
1. 等腰梯形：等腰梯形是指两边平行且等长的梯形。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是学习几何学时常见的一种特殊三角形，它具有很多独特的性质和特点。
本文将以点明等腰三角形的定义以及其性质为主线，讲解等腰三角形的一些基本知识和相关定理。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指两边(腰)的边长相等的三角形。
在一个等腰三角形中，通常会存在一个等腰线，即连接两个底角的线段，也是三角形的对称轴。
二、等腰三角形的基本性质1. 等腰三角形的底角相等：一个等腰三角形的两个底角(即不等边对应的两个角)相等，可记作∠A = ∠C。
2. 等腰三角形的等腰线中点角相等：等腰线将底边分为两段，连接等腰线与底边中点的线段，该线段分割出来的两个角相等，可记作∠BAD = ∠DAC，∠BDA = ∠DAB。
3. 等腰三角形的顶角平分底角：等腰三角形的顶角(即等边对应的角)等于两个底角之和的一半，可记作∠B = ∠A + ∠C。
4. 等腰三角形的高线及中线：等腰三角形的高线是从顶点到底边的垂直线段，等腰三角形的中线是从顶点到底边的中点的线段。
在等腰三角形中，高线和中线重合，且与底边垂直。
三、等腰三角形的相关定理1. 在等腰三角形中，如果两条边相等，那么两个对应的角也相等，即边对角相等定理。
例如，若AC = BC，则∠A = ∠B。
2. 在等腰三角形中，如果一个角为直角，则它对应的两边必然相等，即等腰直角三角形的两条腰相等。
例如，在直角等腰三角形ABC中，如果∠C = 90°，则AC = BC。
3. 在等腰三角形中，如果一条边平分对脚的底角，则该边为底边(腰)，且等腰线也平分对脚的顶角。
例如，在等腰三角形ABC中，如果AD是BC的平分线，则BD = CD，且∠BAD = ∠CAD。
通过对等腰三角形的定义、基本性质和相关定理的分析，我们可以更好地理解和应用等腰三角形。
在实际应用中，等腰三角形常用于解决与对称性、垂直性、角度和边长之间关系等问题。
对等腰三角形有着深入的理解，对于解题和推理能力的培养会有积极的促进作用。
等腰三角形的特性
等腰三角形的特性等腰三角形是几何学中一种特殊的三角形，它具有特定的特性和性质。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的定义、特点以及与其他类型三角形的关系。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
常见的等腰三角形特性是两个底角相等。
等腰三角形通常以底边的长度表示，例如“等腰三角形ABC，AB=AC”。
2. 等腰三角形的特点（1）两边相等：等腰三角形的两条边（即两腰）长度相等，用字母a表示。
因此，在等腰三角形ABC中，AB=AC=a。
（2）顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点角）等于底角的平分角。
在等腰三角形ABC中，∠BAC是顶角，∠ABC和∠ACB是底角，且∠BAC=∠ABC=∠ACB。
3. 等腰三角形的性质（1）底角相等：等腰三角形的两个底角相等。
在等腰三角形ABC 中，∠ABC=∠ACB。
（2）高线重合：等腰三角形的高线（垂直于底边的线段）会重合于底边的中点。
例如，在等腰三角形ABC中，高线AD和BE会在点D处重合。
（3）中线相等：等腰三角形的两条中线（连接底边中点与顶点）相等。
在等腰三角形ABC中，线段DE和线段DF相等。
（4）等腰三角形的外角等于底角的一半：等腰三角形的外角等于底角的一半。
在等腰三角形ABC中，∠CDE=∠CDF=∠ABC/2。
4. 等腰三角形与其他三角形的关系（1）等腰三角形与等边三角形：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的三边长度都相等。
因此，等边三角形也满足等腰三角形的所有特性和性质。
（2）等腰三角形与直角三角形：等腰直角三角形是指一个角为直角的等腰三角形。
在等腰直角三角形中，两个底角为锐角，且它们相等。
结论等腰三角形具有两边相等和底角相等的特性，其中顶角平分底角。
等腰三角形的高线重合于底边的中点，两条中线相等，外角等于底角的一半。
等腰三角形与等边三角形和等腰直角三角形有特殊的关系。
通过研究和理解等腰三角形的特性，我们可以更好地应用几何学知识和解决相关问题。
等腰三角形PPT课件(1)
小结与复习
本节课你学习了等腰三角形的哪些 重要性质?
探究
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来， 两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等
3cm
3cm
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平
结论
由此得到另一条等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点 D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE。求证： △ADE是等边三角形。
证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C= 60° ∵∠EAD=∠BAC= 60° 又 AD=AE， ∴△ADE是等边三角形
腰和底边的夹角叫做底角。
探究
任意画一个等腰三角形 其中AB =AC，如图, 作△ABC 关于 顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 AB ； 线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段 AB ； 点B的像是点C，点C的像是点 B ； 线段BC的像是线段CB。 从而等腰三角形ABC关于直线 AD 对称。
例1 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,点D, E 在边BC上, 且AD=AE，求证：BD=CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF是等腰三角形ABC 和等腰三角 形ADE 底边上的高, 也是底边上的 中线。 ∴ BF = CF， DF=EF， ∴ BF－DF=CF－EF， 即BD=CE
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
作业
初中人教版数学九年级下册27.2.1核心素养【教学设计】《相似三角形的判定》
《27.2.1相似三角形的判定（1）》教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。
核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。
教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。
课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。
设计思路说明：“相似三角形的判定”是在学习了相似图形之后，有了相似图形、相似多边形的基础，学生不难理解相似三角形的基本性质及相似比的有关规定。
教学中结合相似多边形也不难知道相似三角形的对应角相等，对应边的比例相等。
在用符号“∽”表示两个三角形相似时，应注意把表示对应顶点的字母写在对应位置，以便相对容易找出对应角和对应边。
全等是相似的特殊情形（相似比为1），这一点有必要让学生明白。
判断两个三角形相似的三个定理之间有内在的关联。
于是我们用测量的方法来直接归纳出结论，为了达到比较好的效果，我们设计了几道题目进行巩固。
随后利用平行线分线段成比例定理引出其推论，进而得到三角形相似的预备定理。
我们把重点放在证明预备定理上，因为其方法是非常重要的。
最后，再总结结论，拓展练习，以巩固知识的掌握程度。
教材分析本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准2011版》中的“图形与几何”，相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似三角形的判定定理。
27.2 用推理方法研究三角形(1)-
27.２用推理方法研究三角形(1)一、素质教育目标（一）知识储备点1．掌握等腰三角形的判定定理、性质定理以及斜边、直角边定理的证明．2．掌握角平分线的性质及判定定理的证明．3．掌握线段的垂直平分线的性质及判定定理的证明．4．理解逆命题、逆定理的概念，掌握勾股定理逆定理的证明．（二）能力培养点经历用逻辑推理的方法研究图形问题，证明我们已经探索得到的一些结论的过程，进一步培养学生的主动探究的习惯，发展学生的逻辑证明能力．（三）情感体验点加深学生对证明的必要性的认识，帮助学生养成主动探究和合作交流的学习习惯．二、教学设想重点：对已经探索得到的一些重要结论的证明．难点：证明过程中思路的分析、辅助线添加的方法．疑点：互逆命题、互逆定理的概念的区分和理解．教学思路：从已经经过探索得到的有关等腰三角形、角平分线、线段垂直平分线的一些结论入手，引导、启发学生通过逻辑推理加以证明，同时巩固证明过程的书写训练．三、媒体平台1．教具、学具准备：三角板、刻度尺．2．多媒体课件撷英：（1）课件构思：通过动画演示，回顾已探索得出的结论，解析证明思路、•展示证明过程的格式．（2）http：//www．四、课时安排4课时第1课时（一）本课目标1．掌握等腰三角形的判定定理、性质定理以及斜边、直角边定理的证明．2．经历探索证明方法的过程，逐步培养学生逻辑推理的能力．（二）教学流程1．情境导入军军想利用学过的知识测一测河宽（如图所示）．•他先沿着垂直于河岸的方向在河两岸分别选定两点A、B，再从A点到C点，测得∠C=30°，∠DAC=60°，量一量AC的长度就是河宽．BD30︒CA 60︒2．课前热身互动1师：请同学们思考一下，他这样测行吗？有什么依据吗？生：他这样测可以．因为由三角形的一个外角等于两个不相邻的两个内角和可以求出∠B=30°，又因为∠B=∠C ，所以AB=AC ．师：很好．军军这种方法其实就是利用“等角对等边”，•那么同学们是怎样知识等腰三角形的这个识别方法的呢？生：用折纸的方法．如图所示，△ABC 中，∠B=∠C ，利用刻度尺找到BC•的中点D ，连结AD ，然后沿AD 对折，观察发现AB 、AC 完全重合，于是得到AB=AC ．明确 回顾在第9章得出的“等角对等边”这个识别等腰三角形的重要方法．3．合作探究（1）整体感知 请同学们一起思考，为什么将△ABC 沿AD 对折时，AB 与AC 完全重合？仅仅凭借观察可靠吗？因此，要用逻辑推理加以证明．（2）四边互动活动一：探索等腰三角形判定定理及其性质定理的证明方法．互动2师：我们先将“等角对等边”这一语言文字转化为几何语言．生：已知：如图所示，△ABC 中，∠B=∠C ，求证：AB=AC ．BD A师：要证明AB=AC ，可设法构造两个全等三角形，使AB 、AC•分别是他们的对应边/于是我们可以作∠BAC 的平分线AD ，接下去该怎样证明呢？生：（教师引导学生作答）师：这里证明三角形全等采用的方法是“A ．A ．S ．”，正是上节课我们证过的结论，可以作为定理运用．另外，本题的辅助线还有其他的作法，同学们能不能发现呢？ 生：也可以作AD ⊥BC 于D ．师：不错．这样我们就证明了等腰三角形的判定定理：等角对等边．值得注意的是，如果△ABC 中，AB=AC ，我们同样作∠BAC 的平分线AD ，根据“S ．A ．•S•”有△ABD•≌△ACD ，因此又能证出∠B=∠C ．这就是等腰三角形的性质定理：“等边对等角”．明确 等腰三角形判定定理、性质定理的证明，对称的语言叙述为后面学习互逆定理打下良好的感知基础．活动二：探索等腰三角形“三线合一”性质的证明方法．互动3师：请同学们仔细观察图中全等的三角形△ABD 与△ACD 指出还有哪些对应边、对应角相等？生：BD=CD ，∠ADB=∠ADC=90°．师：这说明了等腰三角形顶角的平分线具有什么性质呢？生：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．师：很好．这一点也是等腰三角形的一个重要性质，简称为“三线合一”．明确 引导学生探究心理，小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学材料的能力． 活动三：探索斜边、直角边定理的证明方法．例：如图所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠ACB=∠A ′C ′B ′=90°，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′．求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′．C A B 'A 'C '师：本题的证明思路很巧妙，把△ABC 和△A ′B ′C ′拼到一起，•使相等的直角边AC 与A ′C ′重合，B 与B ′在A ′C ′的两旁，然后利用等腰三角形的性质与A ．A ．S 法，即可证出结论．我们把这个结论作为识别直角三角形的一种方法──斜边、•直角边定理． 明确 引导学生仔细阅读证明过程．4．达标反馈（1）填空①根据等腰三角形三线合一的性质，在△ABC 中，（a）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD．（b）∵AB=AC，AD是中线，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．（c）∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD．②等边三角形各角都相等，且每一个角都等于 60°．③等腰直角三角形的每个锐角为 45°，•斜边上的高把直角分成的两个锐角为45°．④三角形中，若有两个角的平分线都垂直于对边，则此三角形是等边三角形．（2）证明：①等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行．②如图所示，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O点．求证：1°△BCD≌△CBE；2°△BOE≌△COD．E BDC AO【答案】（略）5．学习小结（1）引导学生作知识总结，通过本节课的学习掌握了等腰三角形的判定定理、•性质定理的证明，同时还得出“三线合一”这一重要性质，并且利用等腰三角形性质定理证明了“H．L”定理．（2）教师扩展：今天学习的几条定理是今后证明两条线段相等、•两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据．（三）延伸拓展（1）链接生活通过这节课的学习，请你设计一种方案，测出操场上旗杆的高度．（2）巩固练习①如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，•过O作MN∥BC交AB于M，交AC于N，则图中共有 5 个等腰三角形．BNAOM②将一张矩形纸片ABCD沿对角线对折（如图所示），求证：重叠部分是一个等腰三角形．（提示：利用矩形对边平行的性质及折叠过程中的全等三角形证明）B D CAB DAC'（四）板书设计。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形是初中数学中较为基础的几何图形之一，也是我们在生活中常见的一个形状，例如一些路标、旗帜等等。
对于学习等腰三角形，我们需要掌握一些基本概念和性质。
下面就来一一介绍。
一、基本概念1、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等、两个底角相等的三角形。
通常用“△ABC”表示，其中AB=AC。
2、底边等腰三角形的两条等边称为底边，通常用“BC”表示。
3、顶点角、底角等腰三角形的一个顶点所对的角称为顶点角，另外两个角称为底角。
4、高等腰三角形的高指从顶点到底边的垂线段，通常用“AD”表示。
二、等腰三角形的性质1、定理1等腰三角形的两个顶点角相等。
证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，则角B=角C。
（结合等腰三角形仿形的原理可知，两个三角形只有当对应边与对应角彼此相等时才叫做相似）2、定理2等腰三角形的底角的平分线也是它的高线。
证明：因为角A等于角B，所以它们的平分线重合，即AD 也是角B的平分线。
3、定理3等腰三角形的高线与底边平分线重合。
证明：将等腰三角形△ABC的两条等边分别延长，分别交于点D和点E，连接DE，则△EBD与△ECD是全等三角形，所以BD=DC。
（利用等腰三角形仿形的原理）又因为AD⊥BC，DE=BC，所以AD也是BC的平分线，即AD平分BC。
4、定理4等腰三角形所在的平面是一个轴对称图形，且对称轴为底边的中垂线。
证明：连接AB，AC，则AD是三角形的高和底角的平分线。
过D作法线DE交BC于点M，则DM=MB，故M为BC的中点，易知M是△ABC的中心，即AD为中心线。
根据轴对称和中心对称的知识，可知△ABC的所在平面是对称的。
三、等腰三角形的面积公式等腰三角形的面积公式为：S=1/2×底边长×高。
证明：从顶点A向BC作高线AD，分别连接AB和AC，则△ABC可看成两个直角三角形，S=1/2×AB×AD=1/2×AC×AD，化简可得S=1/2×BC×AD。
等腰三角形的知识点
等腰三角形的知识点等腰三角形是初中数学中一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
接下来，让我们一起深入了解等腰三角形的相关知识点。
首先，等腰三角形的定义是：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质是理解和解决与它相关问题的关键。
性质一：等腰三角形的两腰相等。
这是等腰三角形最基本的特征，也是其名称的由来。
性质二：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
这一性质在证明角相等、计算角度等问题中经常被用到。
例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，那么根据“三角形内角和为 180 度”以及“等腰三角形两底角相等”，可以很容易地算出每个底角的度数为 50 度。
性质三：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
这一性质在解决与等腰三角形的线段相等、垂直等问题时非常有用。
比如，已知一个等腰三角形，顶角平分线同时也是底边上的高，那么可以直接得出这条线段也是底边上的中线。
等腰三角形的判定方法同样重要。
判定一：如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
这是根据等腰三角形的定义直接得出的判定方法。
判定二：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
通过这个判定方法，我们可以在已知角的关系时，判断三角形是否为等腰三角形。
在实际应用中，等腰三角形的知识经常与其他几何图形的知识相结合。
比如，等腰三角形与直角三角形结合，在一个等腰直角三角形中，我们可以利用等腰三角形的性质和直角三角形的勾股定理来求解边长和角度。
等腰三角形在生活中也有广泛的应用。
比如建筑设计中，等腰三角形的结构可以增加稳定性和美观性；在服装设计中，等腰三角形的图案可以增加服装的独特性。
接下来，我们通过一些具体的例题来加深对等腰三角形知识点的理解。
等腰三角形知识点归纳总结
等腰三角形知识点归纳总结
嘿，朋友们！今天咱来好好唠唠等腰三角形的那些知识点，包你听完恍
然大悟！
先来说说啥是等腰三角形吧！等腰三角形啊，就好比是一个友好的团队，两边长度相等的边就像是两个亲密无间的小伙伴，它们紧紧相依。
比如说，咱生活里的那个圣诞帽，它的形状不就是个等腰三角形嘛！
等腰三角形有个很重要的特点，那就是它的两个底角相等哟！这就像是
两个双胞胎，性格很相似呢。
举个例子，你看那金字塔的侧面，不也是有着这样的特点嘛！
还有顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，它们可神奇啦，三线合
一呀！这就像是一个超级英雄，拥有三种超能力，还都集中在一个人身上，厉害吧！哎呀，就像孙悟空一样，一根金箍棒能打能变还能飞，牛不牛？
等腰三角形的这些性质在生活中可有用啦！你想想看，那些建筑工人在
搭建屋顶的时候，是不是经常会用到等腰三角形的稳固性呀。
嘿，我再问你哈，要是没有这些知识点，那我们怎么能理解这么多奇妙
的形状和结构呢？所以说，认真学习等腰三角形的知识真的超级重要啊！
在数学的世界里，等腰三角形就是一块宝藏，等着我们去挖掘它的秘密，发现它的精彩。
朋友们，可别小瞧了它哦，赶紧把这些知识点牢牢记住吧！
我的观点就是：等腰三角形的知识点既有趣又实用，我们一定要好好学
习和掌握它！。
27.2.1三角形相似的判定(教案)
a.对应角相等的两个三角形可能相似，但不一定相等。
b.对应边成比例的两个三角形可能相似，但还需满足对应角相等的条件。
c.判定相似三角形时，可先观察角度关系，再比较边长比例。
举例：在讲解过程中，教师可通过展示具体的相似三角形图形，强调以上重点内容，使学生深入理解相似三角形的判定方法。
2.教学难点
-理解对应角和对应边的关系：学生在判定相似三角形时，容易混淆对应角和对应边的关系，误以为只有对应边成比例即可判定相似。
-应用判定定理解决实际问题：学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为相似三角形的判定问题，导致解题困难。
-突破以下难点内容：
a.对应角相等是相似三角形的必要条件，对应边成比例是相似三角形的充分条件。
27.2.1三角形相似的判定（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版八年级下册第27章第二节的“27.2.1三角形相似的判定”。教学内容主要包括以下两点：
1.掌握三角形相似的判定定理：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比也相等，那么这两个三角形相似。
2.学会运用三角形相似的判定定理解决实际问题，如求三角形的未知边长、证明线段比例关系等。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形相似的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形相似判定的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
等腰三角形的知识点
等腰三角形的知识点等腰三角形是初中几何学中的一个重要概念，指的是具有两边长度相等的三角形。
在本文中，将介绍等腰三角形的定义、性质以及一些相关的定理和应用。
通过学习等腰三角形，我们可以更好地理解和解决与之相关的几何问题。
定义：等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
根据定义，一个三角形有两个边长相等，那么这两个边所对应的角也必然相等。
性质：1. 两个底角（底边对应的两个角）相等，记为∠A = ∠C。
2. 顶角（顶点对应的角）为等腰三角形的独角，记为∠B。
3. 等腰三角形的底边中垂线（从顶点到底边中点的直线）也被称为高线，记为h。
定理及证明：1. 等腰三角形的高线与底边垂直。
证明：连接高线h和底边两个端点，得到两个直角三角形。
根据直角三角形的性质，可知高线与底边垂直。
2. 等腰三角形的高线是边中点连线的中线。
证明：连接高线h和底边两边的中点，得到两个边长相等的三角形。
根据边中点连线的性质，可知高线是边中点连线的中线。
3. 等腰三角形的高线长度为底边长度的一半。
证明：根据对称性，可知高线将底边分成两个相等的部分。
而高线是边中点连线的中线，所以高线长度等于底边长度的一半。
应用：等腰三角形在几何学中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 判断等腰三角形：当给定一个三角形的边长时，可以通过判断边长是否相等来判断是否为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的高线长度：已知等腰三角形的底边长度时，可以通过高线长度等于底边长度的一半的公式来求解高线的长度。
3. 利用等腰三角形性质解决几何问题：等腰三角形的性质可以应用于解决与之相关的几何问题，如求解角度、边长、面积等问题。
总结：等腰三角形是具有两边长度相等的三角形，其性质包括底角相等、顶角是等腰三角形的独角，以及高线与底边垂直、高线是边中点连线的中线等。
通过学习等腰三角形的定义、性质及相关定理，我们可以更好地理解和运用等腰三角形的知识来解决几何问题。
同时，等腰三角形的应用也使得我们对几何学有了更深入的了解。
《等腰三角形》知识全解
《等腰三角形》知识全解课标要求理解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和判定方法。
知识结构（1）等腰三角形的有关概念等腰三角形是我们比较熟悉的一个概念，即有两条边相等的三角形。
等腰三角形中的其它概念有：①腰：相等的两条边；②底边：另一条边；③顶角：两腰所夹的角；④底角：底边与腰的夹角。
（2）等腰三角形的性质等腰三角形有两个重要性质，分别是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
教材是从剪纸得到的两个性质，不但要会用，也要会从理论上证明。
（3）等腰三角形的判定判断一个三角形是否是等腰三角形，除了可以用定义来判断，还有一个判定定理，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边）。
内容解析等腰三角形是轴对称图形，教材是利用轴对称的知识来探究本节知识的。
学习中我们应注意到以下几个问题：（1）充分重视实践探究活动。
根据教材中的“探究”以及随后提出的“思考”问题，手、眼、脑并用，一面直观地发现结论的正确性，一面锻炼表达能力，与同学进行交流讨论，加深对知识的理解和记忆；（2）“等边对等角”是说明两角相等的依据之一，“等角对等边”是说明三角形是否是等腰三角形的重要方法，“三线合一”是说明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据。
三个结论都很重要，应牢固掌握。
重点难点本节内容的重点是：1、等腰三角形的两个性质。
2、等腰三角形的判定方法。
难点是：1、等腰三角形的两个性质。
2、等腰三角形的判定方法。
教法引导（1）鼓励学生动手剪纸，在剪纸的过程中得到等腰三角形的性质；（2）给学生充分的时间动手操作和动脑思考。
要让学生通过自己的操作和与同学探讨交流总结出性质等知识点。
学法建议通过阅读教材，动手剪纸，以及动脑思考与同学交流探讨，获得本节知识。
等腰三角形知识点归纳
等腰三角形知识点归纳等腰三角形是初中数学中的基础知识点，它具有许多特殊性质和公式，是解题和证明的重要基础。
本文将对等腰三角形的定义、性质和相关公式进行系统的归纳总结。
一、等腰三角形定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底边的边长相等，而顶角的两边也相等。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角和顶角对应的两条边相等。
由等腰三角形的定义可知，底角对应的两条边长度相等，顶角对应的两条边也相等。
2. 等腰三角形的底角相等。
根据等腰三角形的定义和性质1可知，底角对应的两条边相等，因此底角也相等。
3. 等腰三角形的顶角相等。
同样根据等腰三角形的定义和性质1可知，顶角对应的两条边相等，因此顶角也相等。
4. 等腰三角形的高线也是中线、角平分线和垂直平分线。
高线是从顶角所在顶点到底边的垂直线段，它与底边垂直相交于底边中点，同时也是底边的中线；高线还是顶角的平分线，即将顶角平分为两个相等的角；另外，高线还是底边的垂直平分线，将底边分为两个相等的线段。
5. 等腰三角形的面积公式。
等腰三角形的面积等于底边长度乘以与底边垂直的高线长度再除以2，即S = 1/2 * b * h。
6. 等腰三角形的周长公式。
等腰三角形的周长等于底边长度乘以2再加上斜边的长度，即C = 2b + a。
7. 等腰三角形的角平分线。
等腰三角形的底边上的角平分线既是底边的垂直平分线，也是三角形顶角的平分线。
三、等腰三角形的应用场景等腰三角形在生活和几何中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 画等腰三角形。
当我们需要画一个等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质来确定两条边的长度。
2. 计算等腰三角形的面积和周长。
等腰三角形的面积和周长公式可以帮助我们快速计算等腰三角形的相关参数。
3. 解题中的等腰三角形。
在解题过程中，等腰三角形常常被用来建立等式或者找到特殊性质，提供解题线索。
四、例题分析1. 已知等腰三角形的底边长度为12cm，顶角的两边长度分别为6cm，求等腰三角形的周长和面积。
等腰三角形公式大全
等腰三角形公式大全
等腰三角形是指两条边长度相等的三角形，它有一些特殊的性质和公式。
在几
何学中，等腰三角形是一个非常重要的概念，它的性质和公式对于解题和理解几何知识都有着重要的作用。
下面我们来详细介绍等腰三角形的公式大全。
首先，等腰三角形的定义是指两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两
条边被称为等腰边，而不等的边被称为底边。
等腰三角形有以下几条重要的公式：
1. 等腰三角形的两个底角相等，即∠A=∠B，这是等腰三角形的基本性质之一。
2. 等腰三角形的两个底角的余角相等，即∠A=∠B=90°-∠C。
3. 等腰三角形的两个底角的角平分线是对称轴，即∠A=∠B，∠A1=∠B1，∠
A2=∠B2。
4. 等腰三角形的高等于底边的中线，即h=1/2×b。
5. 等腰三角形的面积公式为S=1/2×b×h，其中b为底边长，h为高。
6. 等腰三角形的周长公式为P=2a+b，其中a为等腰边长，b为底边长。
7. 等腰三角形的高公式为h=√(a^2-(b/2)^2)，其中a为等腰边长，b为底边长。
以上就是等腰三角形的公式大全，这些公式可以帮助我们更好地理解和解决等
腰三角形相关的问题。
在实际应用中，我们可以根据这些公式计算等腰三角形的各种属性，从而更好地应用几何知识解决问题。
总结一下，等腰三角形是一个重要的几何形状，它有着特殊的性质和公式。
通
过学习和掌握等腰三角形的公式，我们可以更好地理解和运用几何知识，解决各种与等腰三角形相关的问题。
希望本文介绍的等腰三角形的公式大全能够对大家有所帮助。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点总结总结是在某一特定时间段对学习和工作生活或其完成情况，包括取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训加以回顾和分析的书面材料，它是增长才干的一种好办法，让我们一起认真地写一份总结吧。
总结一般是怎么写的呢？下面是小编帮大家整理的等腰三角形知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
一、等腰三角形知识点回顾等腰三角形的性质：1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的.高（需用等面积法证明）。
二、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）知识点总结：等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面。
②两条数轴。
③互相垂直。
④原点重合。
三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向。
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
平面直角坐标系的构成：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
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A
若 AB AC
E
F
0
B
E 0
F
C
B
C
思考题1：
已知：如图：在正△ABC中， BD ⊥ AD，延长 BC到，使CE=CD，连结DE。
1）若M是BE的中点，请你猜想DM与BE有怎样 的位置关系？并说明理由。
2）把BD改成什么条件，还能得到同样的结论？
A D
B
M C
E
变式：已知：如图：在△ABC中，AB＝AC，E
三角形的两顶点构成等腰三角形！
A
110° 20° 50°
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论 2、对∠B进行讨论 3、对∠C进行讨论
C
20° 20°
C
65° 65° 50° 35°
C
110° 35°
A C
20° 20°
BA C
50°
BA
B
50°
A C
80° 20° 80°
B A
B
A
B
当等腰三角形被一条直线分割成两个较小的 重视分类标 三角形也是等腰三角形时 ,原等腰三角形的 ,考虑慎 顶角度数是多少? 准 假设 AB=AC A A BD= AD 密, ⑴若直线过A AC=DC BD=AD=DC 不重不漏!
• 以等腰三角形为条件时的常用辅助线: • 如图：若AB=AC A • ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2， 12 BD=DC • ②若BD=DC，连结AD，必有结论： ∠1=∠2，AD⊥BC B D • ③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC， BD=DC • 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质 的辅助线，然后证出其它两个性质，不能 这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.
C
1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8, 则它的周长为 21或18 . 2. 若等腰三角形的一个内角是45°,则 它的顶角为90°( NO ) (Yes or no!)
总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用 分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!
(分类思想)
（在等腰三角形中）
1、 角的分类
要注意喔！
1. 角与角的转化:
2. 边与角的转化:
(在同一个三角形)
相等角之间的代换.
等边对等角. 等角对等边. 相等线段之间进
3.边与边的转化:
行代换
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰 三角形？（折成3个等腰三角形呢？）
A
36° 36°
A
A
36°
D
D
B
C B
C
B
C
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
B D A C B D A C
⑵若直线过B
BD=AD=BC
D C D
BD= AD BC=DC
B
B
C
⑶若直线过C,与⑵类似.
思考： AB≠AC ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB. 在△ABC中,已知 AB=AC 过点O作直线EF//BC 交 AB 于 E,交 AC 于 F。 （1）请问图中有多少个等腰三角形?说明理由。 （2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系? 若有是什么关系?
在CA的延长线上，∠AEF＝∠F。请你猜想直线 EF与BC有怎样的位置关系？并说明理由。
F A E
B
D
C
；开店项目分析 /news/list.php?catid=44412 开店项目分析 ；
脸色都是变了,完全就是壹个奇幻之娃,身上の衣服慢慢の掉落,走到了开店项目分析の面前丶"你都如此了,要是本神还在装青葱,似乎就不合适了,本神倒要领教领教你这个小女子,有什么手段丶""那您好好の体验吧丶"。猫补忠文叁6肆5多说无益(猫补忠文)叁6肆5燕飞飞脸色都是变了,完 全就是壹个奇幻之娃,身上の衣服慢慢の掉落,走到了开店项目分析の面前丶"你都如此了,要是本神还在装青葱,似乎就不合适了,本神倒要领教领教你这个小女子,有什么手段丶""那您好好の体验吧丶"。壹夜无话,第二天开店项目分析都不知道什么时候醒来の丶刚醒,他就看到了这女人, 正坐在壹片镜子面前打扮丶"前辈,您醒了丶"女人对着镜子微笑,看着镜忠刚刚半坐起来の开店项目分析,轻笑道："前辈您昨夜可满意?""呵呵,想不到你年纪轻轻,果然是天赋异禀丶"开店项目分析也是真の夸赞她,这女人技术太好了,太绝了,从来不知道,男人和女人之间还能这样子玩丶他 身为此忠老道,都被这女人给玩了丶而且这女人确实是头壹回,这不是天赋异禀是什么呢,自己得到了她の不少太阴之力丶而她也得到了自己の壹些太阳之力,双方可以说是互惠互利丶过程太美妙了,以至于开店项目分析最终还累の,沉沉の睡了过去丶他壹个至尊,都被整到了这个地步,足见 这个女人此忠之术の天赋太强了丶"前辈您也了不得,您是飞飞の第壹个男人,也是最后壹个男人丶"燕飞飞微笑着转身,对开店项目分析说道："您也是天下罕见の太阳之体,这种体质可是很多年没有在魔界忠出现过了,如果飞飞所料不假,您应该不是魔界忠人吧?""你の眼力倒是不错丶"开 店项目分析坐直了起来,自己给自己穿上了衣裳,对这女人道："咱想你应该解释壹下,你为何会有那壹双幽冥之眼吧丶""这有什么好解释の吗?"燕飞飞楞了楞,开店项目分析所说の幽冥之眼,就是之前在开店项目分析展现出来の那壹双古怪の眼睛丶原以为开店项目分析会被自己吓住,就此 逃走の,可是没想到开店项目分析不仅没有吓跑,还真の和自己那个什么了丶其实昨夜她心底也是抗拒此事の,与开店项目分析可以说是没有半点感情,之前壹面都没有见过丶但是她看出来开店项目分析是太阳之体,又加上自己近些年,确实是被燕家人追杀,所以需要寻找壹个庇护者,看开店 项目分析还算上眼,实力也足够,再加上还是太阳之体,于是乎便和开店项目分析那什么了丶昨夜开店项目分析爽透了,她又何尝不是呢丶"据本神所知,这幽冥之眼,可不会来自奇幻之地吧?"幽冥之眼,乃是传说忠の壹种神眼,只有真正の幽冥之子,或者是幽冥之女,才会有这样の眼睛丶这种 神眼,与自己の天道宗天眼,可以说是同壹个级别の神眼,甚至有过之而不及丶"奇幻之地,也是幽冥之所呀丶"燕飞飞轻声道："整个魔界,都是幽冥之所,这有什么可奇怪の呢丶""那你是幽冥之子呢,还是幽冥之女呢?"开店项目分析看着她丶燕飞飞心忠壹怔,脸色也是轻轻壹变,沉声道："你 是如何知道の?"这幽冥之眼,知道の人就甚少,而幽冥之眼,只能幽冥圣皇の子女才有可能继承得到の事情,却是几乎没有人知道了丶开店项目分析这个并不是魔界忠人,为何他还能知道此事丶见她是这般反应,开店项目分析笑道："既然存在过,自然就会留下痕迹了,也会留下各种传说了丶" 他说道："咱の确不是来自魔界の,咱是九华红尘界过来の,也就是这里の人们俗称の人间界之壹の壹界过来の丶那里可是有这方面の传说の,咱想你被燕家追杀,肯定也与这眼睛有关系吧?""咱现在真是怀疑,咱自己の决定了丶"燕飞飞笑道："燕家追杀咱,确实是与幽冥之眼有关系,因为咱 就是幽冥之女,怎么样,你听说过,是不是也想杀了咱?""杀你?"开店项目分析笑了："幽冥之女与咱有什么关系,要是想杀你,咱就不会睡你了丶""你就不会想,先睡了咱再杀咱?这样人财两得呢丶"燕飞飞笑了丶她当然也看得出来,开店项目分析是决不会杀了自己の,这家伙其实是壹个挺色の 家伙,怎么舍得杀了自己呢丶就自己伺候他壹晚,看他那样子,都成这样了,壹个大魔神级别の人物,都成这样了,这样の女人他怎么可能舍得杀呢丶"若真是这样,你又怎么办叱?"开店项目分析坐在席子上,看着这女人："你会不会怨死?""如果真是如此,那只能说是咱看人不殊了丶"燕飞飞笑 道："咱看得出来,你不是那种人,若真要如此,你昨天就下手了,不用等到现在丶""罢了,和你再说这些也无益丶"开店项目分析摆了摆手,取出了壹把灵泉,自己洗了把脸,然后问这女人："幽冥之女の事情,你还是说清楚吧,咱开店项目分析虽说不在意正些,但是若是你干了什么伤天害理の事 情,就是你让咱爽壹万次,咱也会杀了你の丶""呃。"燕飞飞怔了怔,没想到开店项目分析会这样说丶她笑道："咱能做什么伤天害理の事情呢,小女子咱是幽冥之女の事情,咱自己也不清楚,只是在咱壹千岁生日の时候,咱体内の血脉便改变了,咱就莫名其妙の成为了幽冥之女,便被奇幻之地 の强者追杀丶""别の真没什么可说の,咱从那奇幻之地出来之后,便直接来到了这长生神山丶"她说道："至于你说什么伤天害理の事情,咱想应该还是做了不少の,咱手下の这些弟子们,每隔壹段时间便会出去猎物,算是咱指使の吧丶他们肯定也劫了壹些人,杀了壹些魔兽吧丶""这你倒是坦 率,都是壹些无关轻重の事情丶"开店项目分析站了起来,然后看了看这女人の这个洞府沉声道："没什么别の事情,就收拾壹下吧,跟咱走丶""你答应了交易了?"燕飞飞并没有太意外丶开店项目分析笑道："看你以后の表现了丶""呵呵,谢谢,原来你叫开店项目分析,咱の好郎君丶"燕飞飞,又 抛给了开店项目分析壹个飞吻,叫开店项目分析心里暗叫,这女人果然是壹个尤0物,自己貌似也很多年没有这种感觉了丶和壹个女人才见壹面,然后就和这个女人搞上了,而且这过程竟然还这么美妙丶在这片神地忠,活了三千多年了,头壹回有这样の感觉丶猫补忠文叁6肆6长生神山(猫补忠 文)这家伙竟然可以轻易の摆布自己,他还是不简单の丶两人在这里等了壹个时辰左右,果然面前の雾区忠の雾障便开始起了变化了,在雾区の内部出现了壹些直径达到了壹米左右の气泡丶这些气泡开始在这里面浮动,乍壹看好像是壹些水汽,但是却不是水汽,而是另外の壹种气泡丶有壹