金版·高三总复习人教数学(理)2第6章 第2讲一元二次不等式的解法

项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，
检验此时是否符合条件．
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不等式ax 2 ＋2ax＋4≥0恒成立，对一切x的值，求a的取值 范围．
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不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则a的取值范围________.
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b 1. {x|x<x1 或 x>x2} {x∈R|x≠－2a} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1 4 1 填一填： (1){x|x<－3 或 x> } {x|－2≤x≤ } (2){x|－ 2 3 3 1 <x≤2} {x|x<0 或 x≥1}
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[变式探究] 解下列关于x的不等式： (1)x2－(a2＋a)x＋a3>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
解： (1)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0，
①当a2－a>0，即a>1或a<0时， 原不等式的解为x>a2或x<a. ②当a2－a<0，即0<a<1时， 原不等式的解为x<a2或x>a；
________．
x－1 (2)[2012· 重庆高考]不等式 ≤0 的解集为( 2x＋1 A. B.
1 － ，1 2 1 － ，1 2
)
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C. D.
1 －∞，－ ∪[1，＋∞) 2 1 －∞，－ ∪[1，＋∞) 2
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即 f(x)＝ax2－x＋2a 的图象不在 x 轴的下方，
a>0， ∴ Δ≤0， a>0 即 2 1－8a ≤0
，
2 2 解得 a≥ ，即 a 的取值范围是[ ，＋∞). 4 4
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核心要点研究
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例1
(1)[2012·湖南高考]不等式x 2 －5x＋6≤0的解集为
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一元二次不等式的解法
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不同寻常的一本书，不可不读哟！
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1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、
一元二次方程的关系． 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设 计求解的程序框图.
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6 ∴0<m<7. 当 m＝0 时，－6<0 恒成立． 当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数． ∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得 m<6.∴m<0. 6 综上所述，m< . 7 方法二 12 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ >0， 2 4
2
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2．想一想：提示：a＝0 时，4≥0 显然成立 a≠0
a>0 时， Δ≤0
，
⇒0<a≤4，综上 a 的值为[0,4]． 2 填一填：[ ，＋∞) 提示：依题意可知，问题等价于 4 ax2－x＋2a≥0 恒成立， 当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立，故 a＝0 舍去； 当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立，
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③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时， 原不等式的解为x≠a. 综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为{x|x>a2或x<a}
当0<a<1时，不等式解集为{x|x<a2或x>a}
当a＝0或a＝1时，不等式解集为{x|x≠a}． (2)原不等式化为(ax－1)(x－1)<0. ①当a＝0时，其解为x>1；
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Δ>0， 2 即 Δ＝4a －4(2－a)≤0 或a<－1， g－1≥0. 解得－3≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3,1]．
[答案] (1)(0,8) (2)[－3,1]
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奇思妙想：本例(1)条件变为“关于x的不等式x 2 －ax＋ 2a≤3的解集不是空集”问题不变，该如何解答？ 解：原不变式变为x2－ax＋2a－3≤0，由Δ≥0，知不等式的 解集不是空集，解得a≥6或a≤2.
a<0， Δ<0；
(3)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 解集为∅的等价条件为
a<0， Δ≤0；
(4)一元二次不等式 ax2＋bx＋c≤0 解集为∅的等价条件
a>0， 为 Δ<0；
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注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次
x－1 x＋2 1 解： －1≥0⇔ ≤0⇔－2≤x<－ 2 ，所以不等 2x＋1 2x＋1 1 式解集{x|－2≤x<－ }． 2
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解一元二次不等式的一般步骤：(1)变形，使一端为0且二
次项系数大于0; (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应
的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等 式的解集．
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1 ②当 0<a<1 时，其解为 1<x<a； 1 ③当 a>1 时，其解为a<x<1； ④当 a＝1 时，无解； 1 1 ⑤当 a<0 时，不等式化为(x－ )(x－1)>0，其解为 x< 或 a a x>1. 综上所述 a＝0 时，不等式解集为{x|x>1}
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[解析]
(1)(x－2)(x－3)≤0,2≤x≤3，
∴解集为{x|2≤x≤3}．
x－12x＋1≤0， x－1 (2)不等式 ≤0 等价于 2x＋1≠0， 2x＋1
1 解得－2<x≤1. [答案] (1){x|2≤x≤3} (2)A
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x－1 奇思妙想：本例(2)变为 ≥1，则其解集又如何？ 2x＋1
＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：
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判别式Δ＝ b2－4ac 二次函数y ＝ax2＋bx＋ c (a>0)的图 象
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
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判别式Δ＝b2－4ac 一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0) 的根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx ＋ c>0(a>0) ax2＋bx ＋ c<0(a>0)
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2．一元二次不等式中的恒成立问题 一元二次不等式中的恒成立问题，应结合相应的二次函 数图象和方程根的情况(用判别式)，寻找其成立的条件． (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 恒成立的等价条件为
a>0， Δ<0；
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(2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 恒成立的等价条件为
m<0， m≠0， Δ＝m2＋4m<0
⇒－4<m<0.
∴－4<m≤0.
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12 3 (2)要 f(x)<－m＋5， 就要使 m(x－ ) ＋ m－6<0， x∈[1,3]． 2 4 12 3 方法一 令 g(x)＝m(x－2) ＋4m－6，x∈[1,3]， 当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数， ∴g(x)max＝g(3)， 6 ∴7m－6<0，得 m< . 7
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[变式探究] [2013·唐山检测]设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：(1)要 mx2－mx －1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0. 若
6 又∵m(x －x＋1)－6<0，∴m< 2 . x －x＋1
2
6 ∵函数 y＝ 2 ＝ x －x＋1 6 ∴只需 m< 即可. 7
6 6 在[1,3]上的最小值为 . 12 3 7 x－2 ＋4
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例3
[2012·福州模拟]某商家一月份至五月份累计销售额
达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比
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6 11 解得 t≥5或 t≤－ 5 (舍去)， 6 故 1＋x%≥5，解得 x≥20. 所以 x 的最小值是 20.
[答案] 20
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解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
(2)已知f(x)＝x 2 －2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，
f(x)≥a恒成立，则a的取值范围是________．
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[解析] (1)由Δ＝a2－8a<0，得0<a<8. (2)法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴 为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
2. 解含参的一元二次不等式恒成立问题，一是转化为一元 二次不等式解集为R的情况来解，二是分离参变量，转化为最 值问题去处理．
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3项必须防范 1. 二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解 集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．
2. 解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a，恒成立，只需f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
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②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．
法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－ a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
1个重要关系 三个二次的关系：一元二次不等式的解集的端点与相应的 一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相 同．
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2种必会方法 1. 解一元二次不等式时，首先将不等式标准化，再确定相 应的方程的根，最后根据图象写出解集. 对于Δ<0，Δ＝0等特殊
情况的解集要从本质上理解．
售额为500(1＋x%)2万元，则一月份到十月份的销售总额是3860
＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]万元，根据题意有3860＋ 500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000 即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66， 令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，
1 0<a<1 时，不等式解集为{x|1<x<a} 1 a>1 时，不等式解集为{x| <x<1} a 1 a<0 时，不等式解集为{x|x<a或 x>1} 当 a＝1 时，不等式解集为∅.
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例2
(1)[2012·福建高考]已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0
在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
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1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次
函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应
的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． 2．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份 销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售 总额至少达7000万元，则x的最小值是________．
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[审题视点]
பைடு நூலகம்
解答本题首先表示出一月份到十月份的销售
总额，然后列不等式，解不等式得出结论． [解析] 七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
有两相异实根 x＝x1或x＝x2
________
有两相同实 根x＝x1
________
无实根
________
________
________
________
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
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(1)解下列不等式： ①2x2＋5x－3>0 的解集为____________． ②－3x2－2x＋8≥0 的解集为____________． (2)解下列不等式： 2x－1 ① ≤0 的解集________． 3x＋1 x＋1 ② x ≤2 的解集________．
根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏． 3. 在集合的运算、求函数的定义域时，经常用到解一元二 次不等式(组)，此时要注意解集端点值的取舍.
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课前自主导学
第六章
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1. 一元二次不等式的解集
“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2