〔人教A版〕高中数学选修4-5课后习题答案
高中数学《不等式和绝对值不等式》课件2 新人教A版选修4-5
问题 求证:在表面积一定的长方体中,以正 方体的体积最大. 解：设长方体的三边长 度分别为x、y、z,则长 方体的体积为 而 S 2 xy 2 xz 2 yz
v xyz
x z y
略
例2: 如图，把一块边长是a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子，问切去的正方形边长是多 小时？才能使盒子的容积最大？
2答案 3答案
基础练习: 2．设 A=1+2x ，B=2x +x ，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
提示:比较大小,最简单、最有效的方法 是作差→变形→定符号. 变形方法有二种: 一、是分解因式； 二是配方.
4 3 2
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)= (2x4 2x3 ) (1 x2 ) = 2x3 ( x 1) (1 x)(1 x) = ( x 1)(2x3 x 1) = ( x 1)( x 1)(2x2 2x 1) 1 2 1 2 = ( x 1) 2( x ) 0 2 2 ∴A>B
基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a + b ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
2 2
几何解释
b
a b a b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
2 则 3b 2a 的最大值是____.5 2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ， 1 1 3 2 2 u 的最小值是______________。 则 x y x2 8 ( x 1) 的最小值为______. 3.函数 y x 1 4. 现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为 R，并 联后等效电阻值为 r，若 R k r ,则实数 k 的取值 范围是_____.
2019-2020学年数学人教A版选修4-5课件：第1讲 第5课时绝对值不等式的解法(一)
3．解关于x的不等式－|x＋3|＋a＞6. 【解析】不等式化为|x＋3|＜a－6. ①当a≤6时，a－6≤0，此时，解集为∅； ②当a＞6时，|x＋3|＜a－6⇔6－a＜x＋3＜a－6⇔3－a＜x ＜a－9. 综上，当a≤6时，解集为∅； 当a＞6时，解集为(3－a，a－9)．
1．解含有绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符 号．
【答案】(2,4) 【解析】由题意得－1＜x－3＜1，即2＜x＜4，故解集为 (2,4)．
4．已知集合A＝{x||2－x|＜5}，B＝{x||x＋a|≥3}，且A∪B ＝R，求a的取值范围．
【解析】A＝(－3,7)，B＝(－∞，－3－a]∪[3－a，＋∞)， 因为 A∪B＝R，
所以－ 3－3－ a≤a≥ 7，－3， 即－4≤a≤0. 故实数 a 的取值范围为[－4条件
【答案】A
【解析】由|x＋1|＜1 解得－2＜x＜0，由|x|＜2 得－2＜x＜
2.∴|x＋1|＜1 |x|＜2.
2．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是( )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|x＜0且x≠－1}
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|x＜1且x≠－1}
2．解不等式x＋|2x＋3|＞2. 【解析】由不等式得 2x＋3＞2－x 或 2x＋3＜－(2－x)，解 得 x＞－13或 x＜－5. 故原不等式的解集为(－∞，－5)∪－13，＋∞.
含参数的绝对值不等式
【例3】 解关于x的不等式|x2－a|＜A．
【解题探究】 含参问题要注意分类讨论，将绝对值不等 式转化为有理不等式．
【答案】D
【解析】当x≥0时，有(1＋x)(1－x)＞0，
解得－1＜x＜1，所以0≤x＜1.
当x＜0时，有(1＋x)(1＋x)＞0，解得x≠－1，
高中数学人教a版选修4-5学案：第3讲 2 一般形式的柯西不等式 含解析
二一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 三维形式的柯西不等式阅读教材P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题．设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是( )A．1 B.13C.23D．2【解析】根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝13(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥13(1×x＋1×y＋1×z)2＝13(x＋y＋z)2＝13.【答案】 B教材整理2 一般形式的柯西不等式阅读教材P38～P40，完成下列问题．设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai ＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D.4【解析】 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x na n＝1时取等号，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 【答案】 A [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c)＝[⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3c 2][(a)2＋(2b)2＋(3c)2]≥⎝⎛⎭⎪⎫1a·a ＋2b·2b ＋3c ·3c 2 ＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，知(x ＋4y ＋9z)2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)． 又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*) 当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立，∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号． 因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198.。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教
二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52， 所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立， 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2， 又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36， 所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________． 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ， 所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4， 解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。
高中数学新人教A版选修4-5 绝对值三角不等式
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对 值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的 关键．
3． 若 a， b∈R， 且|a|≤3， |b|≤2， 则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________．
解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<(|x＋1|－|x－2|)min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3. ∴a<－3.即 a 的取值范围为(－∞，－3)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（四）” (单击进入电子文档)
|A|＋|B| 2 1 2 2 ＝ (| A | ＋ | B | ＋2|A||B|) 4 2
|A|＋|B| 1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg ≥lg|A||B|. 4 2 |A|＋|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|＋lg|B|)，④正确． 2 2 答案：A
解析：∵|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； ∵1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，②正确； 1 1 |x| 2 ∵|y|>3，∴ < .又∵|x|<2，∴ < ，③正确； |y| 3 |y| 3
②若|a|<|b|， 左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立.
人教A版2019高中数学选修4-5试题：第一章_1.2.1绝对值三角不等式_含答案
1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值范围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.17.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式≥1成立的充要条件是.≥1⇔≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴∴==2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-.3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为.=4.4.下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴log x10+lg x=+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.。
2020-2021学年高中数学人教A版选修4-5练习：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式 Wo
3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A组1.若a>0,则2a+的最小值为()A.2B.3C.1D.3a+=a+a+≥3=3,当且仅当a=,即a=1时,2a+取最小值3.2.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是()A.(-∞,lg 6]B.(-∞,3lg 2]C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥3,即xyz≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.3B.2C.12D.122x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时,等号成立.4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则的最小值为()A.9B.8C.3D.a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴=3+≥3+6=3+6=9.5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是()A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x·+2y·=xy+≥3=12 .故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以选项A,B排除,而选项C,D均够用,但选项D 剩较多,故选项C正确.6.若a,b,c同号,则≥k,则k的取值范围是.a,b,c同号,所以>0,于是≥3=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此k的取值范围是k≤3.≤37.若x<0,则-x2的最大值为.2=-=-,因为x2+=x2+≥3=3,所以-x2≤-3,即-x2的最大值为-3.38.若a>b>0,则a+的最小值为.a>b>0,所以a-b>0,于是a+=(a-b)+b+≥3=3,当且仅当a-b=b=,即a=2,b=1时,a+的最小值为3.9.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.-几何平均不等式,得4a+4b+≥3=3(当且仅当a=b=c2时,等号成立).∵a+b+c=1,∴a+b=1-c.则a+b+c2=c2-c+1=,当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.10.导学号26394008已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.B组1.若log x y=-2,则x+y的最小值为()A. B. C. D.log x y=-2得y=,因此x+y=x+≥3.2.设x>0,则f(x)=4-x-的最大值为()A.4-B.4-C.不存在D.x>0,∴f(x)=4-x-=4-≤4-3=4-.3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.V≥πB.V≤πC.V≥D.V≤,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.4.设三角形的三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是.P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S,则S=(3x+4y+5z).因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z≥3=3,所以xyz≤,当且仅当3x=4y=5z,即x=,y=1,z=时,等号成立.5.导学号26394009设x,y,z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.6=x+3y+4z=+y+y+y+4z≥6=6,所以x2y3z≤1.当且仅当=y=4z,即x=2,y=1,z=时,等号成立,所以x2y3z的最大值为1.6.导学号26394010设a1,a2,…,a n为正实数,求证+…+≥2.a1,a2,…,a n为正实数,∴+…+≥n=na1a2…a n,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.又na1a2…a n+≥2,当且仅当na1a2…a n=时,等号成立,∴+…+≥2.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式 Word版含答案
三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c.分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a≥b>0，∴1a ≤1b.又c>0，从而1bc ≥1 ca.同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5 b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3⎝⎛⎭⎪⎫∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≥n .证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a1≥1a2≥…≥1an. 因为1c1，1c2，…，1cn 是1a1，1a2，…，1an 的一个排列，由排序原理，得a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ≤a 1·1c1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1cn ，即a1c1＋a2c2＋…＋an cn≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a1a2＋a2a3＋…＋an －1an.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c1>1c2>…>1cn －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ≥b1c1＋b2c2＋…＋bn －1cn －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 2＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB≥aB＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a4＋b4＋c4abc .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x＋y 2·1y＋z 2·1z≤x 2·1y＋y 2·1z＋z 2·1x，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x2＋y2z ＋y2＋z2x ＋z2＋x2y ，于是x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤3＋4－t＋t＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1122n n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a .② 由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1的最小值．不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x1≥1x2≥…≥1xn>0，且0<x 21≤x 2≤…≤x 2n . ∵1x2，1x3，…，1xn ，1x1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1≥x 21·1x1＋x 2·1x2＋…＋x 2n ·1xn＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时，等号成立．即F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2n x1的最小值为P .。
(完整版)人教版高中数学选修4-5(不等式)课后习题答案
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人教A高中数学选修45课后习题答案(清晰版)
2
因为 ab a2 b2 d 2 ，当且仅当 a b 时等号成立 22
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d2
所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为
2 14、因为 r 2 ( h )2 R2 ，所以 4r 2 h2 4R2 .
2 根据三个正数的算术—几何平均不等式，得 4R2 2r 2 2r 2 h2 3 3 4r 4h2
1
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
8、因为 a12 x12 2a1x1 ， a22 x22 2a2x2 ，……， an2 xn2 2an xn 所以 (a12 a22 an2 ) (x12 x22 xn2 ) 2(a1x1 a2x2 anxn) 即 2 2(a1x1 a2x2 anxn) ，所以 a1x1 a2x2 anxn 1
所以 a3 b3 (a b)ab ， b3 c3 (b c)bc ， c3 a3 (c a)ca
所以 2(a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b)
3、略.
4、要证明 1 1 1 0 ，即证明 1 1 1
ab bc ca
ab bc ac
12、（1）因为 a,b,c R ，所以
a b
b c
c a
33
a b
b c
c a
3，
b a
c b
a c
33
b a
c b
a c
3
所以 ( a b c )( b c a ) 9 b c aa b c
（2）因为 a,b,c R ，所以 a b c 33 abc 0 ， a2 b2 c2 33 a2b2c2 0
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质讲义(含解析)新人教A版选修4_5
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，而反之不成立．数、式大小的比较[例1] 已知p q p q px qy 2px 2qy 2[思路点拨] 利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件． [解] (px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋2pqxy ＋q 2y 2－px 2－qy 2＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0. 所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0， (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 与n 的大小．解：m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0，即m ≥n ，当且仅当x ＝y 时取等号．不等式的证明[例2] 已知a >b c d e 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0. 又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即ea －c >eb －d.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )>0， ∴原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0. 故左边>0，右边>0.∴左边右边＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴原不等式成立．4．已知a >b >0，d >c >0，求证：a c >b d. 证明：因为d >c >0，所以1c >1d>0.又因为a >b >0， 所以a ·1c >b ·1d ，即a c >bd.利用不等式的性质求范围[例3] 已知30<x <42,16<y <24，求x ＋y ，x －2y ，xy的取值范围． [思路点拨] 根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解． [解] ∵30<x <42,16<y <24， ∴46<x ＋y <66. ∵16<y <24， ∴－48<－2y <－32， ∴－18<x －2y <10. ∵16<y <24， ∴124<1y <116. ∴54<x y <218.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知－π2≤α＜β≤π2，求α－β的取值范围．解：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2，且α＜β.∴－π≤α－β＜π，且α－β＜0.∴－π≤α－β＜0.即α－β的取值范围为[－π，0)．6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，∴－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.1．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：选B ∵x <y <0，∴|x |>|y |>0. 故P 在Q 的右边．2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab >0，则下面推理中正确的是( ) A ．a >b ⇒am 2>bm 2B.a c >b c⇒a >bC ．a 3>b 3⇒1a <1bD ．a 2>b 2⇒a >b解析：选C 对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c <0，则不成立；对于C ，a 3－b 3>0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0恒成立，∴a －b >0，∴a >b .又∵ab >0，∴1a <1b.∴C 成立；对于D ，a 2>b 2⇒(a －b )(a ＋b )>0，不能说a >b .3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：选 A 由ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，可得c a ＋b＋1＜a b ＋c＋1＜b c ＋a＋1，即a ＋b ＋ca ＋b＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .4．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a”的必要条件，即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分不必要条件．5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )．解析：∵f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1>0，∴f (x )>g (x )．答案：> 6．下列命题： ①c －a <c －b ⇔a >b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；③c a <c b ，且c >0⇒a >b ；④ na <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . 其中真命题是________．(填序号) 解析：①c －a <c －b ⇒－a <－b ⇒a >b . ②a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b.③c a －c b ＝c (b －a )ab<0，∵c >0，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ b －a >0，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧b －a <0，ab >0即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab >0.∴③不正确，④中无论n 为奇数或偶数， 均可由n a <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . ∴①②④正确． 答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 令f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为[5,10]． 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，a m ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a >0，a ≠1， ∴①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a . ②a 3＋1－(a 2＋a ) ＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0， ∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2) ＝a 3(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 即a 5＋1>a 3＋a 2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.证明如下：a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5
——教学资料参考参考范本——高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式的解法解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．(1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x≥2或x≤－， ∴原不等式的解集为.(2)原不等式价于⎩⎨⎧|x－2|≥2， ①|x－2|≤4. ②由①得x －2≤－2，或x －2≥2，∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x ≤0或4≤x ≤6}．|ax ＋b|≥c 和|ax ＋b|≤c 型不等式的解法：①当c>0时，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c.②当c ＝0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b|<c 的解集为∅. ③当c<0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b|≤c 的解集为∅.1．解下列不等式：(1)|3－2x|<9；(2)|x －x2－2|>x2－3x －4；(3)|x2－3x －4|>x ＋1.解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.∴－9<2x －3<9. 即－6<2x<12.∴－3<x<6.∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}． (2)∵|x－x2－2|＝|x2－x ＋2|， 而x2－x ＋2＝2＋>0，∴|x －x2－2|＝|x2－x ＋2|＝x2－x ＋2.故原不等式等价于x2－x ＋2>x2－3x －4⇔x>－3.∴原不等式的解集为{x|x>－3}．(3)不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.解得x>5或x<－1或－1<x<3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．2．已知常数a满足－1＜a＜1，解关于x的不等式：ax＋|x＋1|≤1.解：若x≥－1，则ax＋x＋1≤1，即(a＋1)x≤0.因为－1＜a＜1，所以x≤0.又x≥－1，所以－1≤x≤0.若x＜－1，则ax－x－1≤1，即(a－1)x≤2.因为－1＜a＜1，所以x≥.因为－1＜a＜1，所以－(－1)＝＜0.所以≤x＜－1.综上所述，≤x≤0.故不等式的解集为.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法解不等式|x－3|－|x＋1|<1.解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图象分析求解．法一：在数轴上－1,3，x对应的点分别为A，C，P，而B点对应的实数为，B点到C点的距离与到A点的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含B 点)时不等式成立，故不等式的解集为.法二：原不等式⇔①⎩⎨⎧x<－1，或②⎩⎨⎧ －1≤x<3， 或③⎩⎨⎧x≥3，①的解集为∅，②的解集为， ③的解集为{x|x ≥3}．综上所述，原不等式的解集为.法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0， 构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，即y ＝x≤－1，－1<x<3，x≥3.作出函数的图象(如下图所示)，它是分段函数，函数与x 轴的交点是，由图象可知， 当x>时，有y<0，即|x －3|－|x ＋1|－1<0， 所以原不等式的解集是.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解：①当x≤－时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8⇔－5x≥9⇔x≤－，∴x≤－；②当－<x<时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5，∴x∈∅；③当x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥，∴x≥.∴原不等式的解集为∪.4．设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a＞0，得f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5，得3＜a＜.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5，得＜a≤3.综上所述，a的取值范围是.含绝对值不等式的恒成立问题已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的取值范围．解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m 的取值范围．法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.又(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为．6．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分别求出m的取值范围．解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x＋2)－(x ＋3)|＝1，即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.(1)若不等式有解，m 为任何实数均可，即m∈R； (2)若不等式解集为R ，即m∈(－∞，1)； (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m∈∅.课时跟踪检测(五)1．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x|x<－4或x>2} B ．{x|－4<x<2} C ．{x|x<－4或x≥2}D ．{x|－4≤x<2}解析：选A |x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x<－4或x>2.2．满足不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72解析：选C |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )A.∪B.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32C.∪D.∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32解析：选D 由1≤|2x－1|<2，得1≤2x－1<2或－2<2x －1≤－1，因此－<x≤0或1≤x<.4．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C．(－4,2) D．解析：选A 由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立，即函数f(x)＝|x－1|＋|x＋m|的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故只要满足|m＋1|＞3即可，所以m＋1＞3或m＋1＜－3，解得m＞2或m＜－4，故实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2，即x≥－1，∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．答案：{x|x≥－1}6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x－1|<x＋1⇔－x－1<2x－1<x＋1⇔⇔0<x<2.答案：{x|0<x<2}7．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a2－2a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为________．解析：因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，所以f(x)的最小值为3－|a2－2a|.由题意，得|a2－2a|＜3，解得－1<a<3.答案：(－1,3)8．解不等式：|x2－2x＋3|<|3x－1|.解：原不等式⇔(x2－2x＋3)2<(3x－1)2⇔<0⇔(x2＋x＋2)(x2－5x＋4)<0⇔x2－5x＋4<0(因为x2＋x＋2恒大于0)⇔1<x<4.所以原不等式的解集是{x|1<x<4}．9．解关于x的不等式|2x－1|<2m－1(m∈R)．解：若2m－1<0，即m≤，则|2x－1|<2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1>0，即m>，则－(2m－1)<2x－1<2m－1，所以1－m<x<m.综上所述：当m≤时，原不等式的解集为∅；当m>时，原不等式的解集为{x|1－m<x<m}．10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y ＜0， 所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}． (2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3， 所以x≥a－2对x∈都成立． 故－≥a－2，即a≤. 从而a 的取值范围是.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．真题体验1．(湖南高考)若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( ) A. B ．2 C ．2D ．4解析：选C 由＋＝，知a ＞0，b ＞0， 所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a ＝，b ＝2时取“＝”，所以ab 的最小值为2. 2．(重庆高考)设a ，b>0，a ＋b ＝5，则＋的最大值为________． 解析：令t ＝＋，则t2＝a ＋1＋b ＋3＋2＝9＋2≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝，b ＝. ∴tmax ＝＝3. 答案：3 23．(重庆高考)若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________.解析：由于f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|，当a>－1时，f(x)＝⎩⎨⎧作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a ＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6.答案：－6或44.(全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝错误!故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，f(x)<－1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.5．(江苏高考)设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.证明：因为|x－1|＜，|y－2|＜，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.6．(全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，即＋≥.又min＝，所以≥，解得a≥2.所以a的取值范围是“a＋c>b＋d”是“a>b 且c>d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a>b且c>d.A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时，积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．由x－2y＋3z＝0，得y＝，则y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．3设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得＋＋≥3.即＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋＋abc≥＋abc，而＋abc≥2＝2.所以＋＋＋abc≥2，当且仅当abc＝时，等号成立.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．2．平方法|f(x)|>|g(x)|⇔2>2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．解下列关于x的不等式：(1)|x＋1|>|x－3|；(2)|x－2|－|2x＋5|>2x.(1)法一：|x＋1|>|x－3|，两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8.∴x>1.∴原不等式的解集为{x|x>1}．法二：分段讨论：当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅；当－1<x≤3时，有x＋1>－x＋3，即x>1，此时1<x≤3；当x>3时，有x＋1>x－3成立，∴x>3.∴原不等式的解集为{x|x>1}．(2)分段讨论：①当x<－时，原不等式变形为2－x＋2x＋5>2x，解得x<7，∴原不等式的解集为.②当－≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5>2x，解得x<－.∴原不等式的解集为.③当x>2时，原不等式变形为x－2－2x－5>2x，解得x<－，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为.不等式的恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f(x)≤a ⇔f(x)max≤a，f(x)≥a ⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简便的解法．(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．设有关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a. (1)当a ＝1时， 解此不等式．(2)当a 为何值时，此不等式的解集是R? (1)当a ＝1时， lg(|x ＋3|＋|x －7|)>1， ⇔|x ＋3|＋|x －7|>10，⇔或⎩⎨⎧ －3<x<7，10>10或⎩⎨⎧x≤－3，4－2x>10，⇔x>7或x<－3.∴不等式的解集为{x|x<－3或x>7}． (2)设f(x)＝|x ＋3|＋|x －7|， 则有f(x)≥|(x＋3)－(x －7)|＝10， 当且仅当(x ＋3)(x －7)≤0，即－3≤x≤7时，f(x)取得最小值10.∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1.要使lg(|x＋3|＋|x－7|)>a的解集为R，只要a<1.。
新人教A版：选修4-5不等式和绝对值不等式
授课主题不等式和绝对值不等式教学目标1．会用基本不等式证明一些简单问题．2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．3．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：①|ax＋b|≤c；②|ax＋b|≥c.4．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.教学内容1．两实数大小比较的三种情况．设a，b为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A，B.如果A落在B的右边，则称a大于b，记为a＞b；如果A落在B的左边，则称a小于b，记作a＜b；如果A与B重合，则称a与b相等，记为a＝b.2．不等式的基本性质．(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c.(3)加(减)：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)乘(除)：a＞b，c＞0⇔ac＞bc；a＞b，c＜0⇔ac＜bc.(5)乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n，其中n为正整数，且n≥2.(6)开方(取算术根)：a＞b＞0⇒na＞nb，其中n为正整数，且n≥2.(7)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向．(8)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向．3．基本不等式．定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称a＋b2为正数a，b的算术平均数，ab为正数a，b的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均数，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均数，定理3中的不等式为三个正数的算术—几何平均不等式，或简称为平均不等式．定理4(一般形式的算术—几何平均不等式)：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．绝对值的三角不等式．定理1：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 等号成立⇔(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间， 5．绝对值不等式的解法．(1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法．①c ＞0，则|ax ＋b |≤c 的解为－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 的解为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可． ②c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R.(2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法．解这类含绝对值的不等式的一般步骤是： ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根． ②把这些根由小到大顺序，它们把实数轴分为若干个区间．③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集． ④这些解集的并集就是原不等式的解集． 6．解不等式常用技巧．解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧．题型一 用作差比较法比较大小例1 若x ∈R ，试比较(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)与(x ＋12)(x 2＋x ＋1)的大小．分析：根据这个式子的特点，先把代数式变形，再用作差法比较法比较大小． 解析：∵(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1－x 2)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)． ∴(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x 2(x ＋1)－(x ＋1)(x 2＋x ＋1)＋12(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x )＝12>0. ∴(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)>(x ＋12)(x 2＋x ＋1)．点评：比较大小的一般方法是作差比较法，先作差，再判断差与0的大小关系．若a －b >0.则a >b ；若a －b <0，则a <b ；若a －b ＝0，则a ＝b .作差比较法的步骤是①作差；②变形；③定号；④下结论． 巩 固 比较x 2－x 与x －2的大小．解析：(x 2－x )－(x －2)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，因为(x －1)2≥0， 所以(x －1)2＋1>0，即(x 2－x )－(x －2)>0. 所以x 2－x >x －2.题型二 用不等式性质证明或判断不等式 例2 已知a >b ，c <d ，求证，a －c >b －d ．证明：∵c <d ，∴－c >－d .又∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )．即a －c >b －d .巩 固 设f (x )＝ax 2＋bx ，且－1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求证：－1≤f (－2)≤10.证明：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，即4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝m ＋n ，2＝m －n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为－1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， 所以－1≤f (－2)≤10.巩 固 如果a ，b ，c 均为正数且b <c ，则ab 与ac ＋bc 的大小关系是________．答案：ab <ac ＋bc题型三 利用基本不等式求函数的值域或最值 例3 已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值．解析：∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1(x ＝32舍去)时等号成立，∴当x ＝1时，y max ＝1.巩 固 设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x1＋y 2的最大值为__________．分析：∵x 2＋y 22＝1是常数，∴x 2与y 22的积可能有最大值． ∴可把x 放到根号里面去考虑，即化为x 2(1＋y 2)， 注意到x 2与1＋y 2的积，应处理成2x 2·1＋y 22. 解析：方法一 ∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1， ∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝ 2x 2·1＋y 22≤2x 2＋1＋y 222＝2x 2＋y 22＋122＝324， 当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时， x 1＋y 2取得最大值324.方法二 令 x ＝cos θ，y ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 则x1＋y 2＝cos θ1＋2sin 2θ＝2cos 2θ(1＋2sin 2θ)·12≤12·⎣⎡⎦⎤2cos 2θ＋(1＋2sin 2θ)22＝324.当2cos 2θ＝1＋2sin 2θ，即θ＝π6时，也即x ＝32，y ＝22时， x1＋y 2取得最大值324.答案：324题型四 利用基本不等式证明不等式例4 已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：(1)a 2＋b 2≥12；(2)1a 2＋1b2≥8.证明：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b2≥ab ，a ＋b ＝1，a ，b ∈0，＋∞得ab ≤12.∴ab ≤14，1ab≥4.(1)∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12.∴a 2＋b 2≥12(2)∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8，∴1a 2＋1b2≥8 巩 固 已知x ，y >0且x ＋y ＝1.求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9.证明：(1＋1x )(1＋1y )＝(x ＋1)(y ＋1)xy ＝(2x ＋y )(2y ＋x )xy ＝5xy ＋2(x 2＋y 2)xy ＝5＋2(x 2＋y 2)xy ≥5＋2×2xy xy ＝9.当且仅当x ＝y ＝12时取等号．∴(1＋1x )(1＋1y )≥9.题型五 证明不等式例5 设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明． 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥33（abc ）－1，两不等式相乘，有：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )≥33abc ×33（abc ）－1＝9.∴(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.当且仅当a ＝b ＝c ＝0时，等号成立．巩 固 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ≥33abc .又a ＋b ＋c ＝1，∴3abc ≤13，∴13abc ≥3，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc ≥9. 即原不等式成立． 题型六 求函数的最值例6 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12，求出最值后再开方．解析：∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝12×2x 2(1－x 2)(1－x 2)≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时等号成立． ∴y ≤239.∴y max ＝239. 巩 固 设θ为锐角，求y ＝12sin 2 θ cos θ的最大值．解析：y 2＝14sin 4θcos 2θ＝18×2sin 2θ sin 2θ cos 2θ≤18⎝⎛⎭⎫sin 2θ＋sin 2θ＋2 cos 2θ33＝127.当且仅当sin 2 θ＝2cos 2θ＝2－2sin 2θ. 即sin θ＝63时取等号，此时y max ＝39. 题型七 利用绝对值三角不等式证明不等式例7 若|a －b |＞c ，|b －c |＜a ，求证：c ＜a .证明：由|a －b |＞c 及|b －c |＜a 得c －a ＜|a －b |－|b －c |≤|(a －b )＋(b －c )|＝|a －c |＝|c －a |. 由c －a ＜|c －a |知c －a ＜0，故c ＜a .点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的结构入手进行分析．多联想定理的形式以便用好它． 巩 固 设ε＞0，|x －a |＜ε4，|y －b |＜ε6. 求证：|2x ＋3y －2a －3b |＜ε.分析：将2x ＋3y －2a －3b 写成2(x －a )＋3(y －b )的形式后利用定理1和不等式性质证明． 证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |＜2×ε4＋3×ε6＝ε.巩 固 设m 等于|a |、|b |和1中最大的一个．当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a |、|b |和1这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.证明：∵m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，|x |>m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |>m ≥|a |，|x |>m ≥|b |，|x |>m ≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧|x |>|a |，|x |2>|b |.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x |2|x |2＝2，故原不等式成立．巩 固 设A 、ε>0，|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，|b |≤A ，|x |≤A ，求证：|xy －ab |<Aε.证明：|xy －ab |＝|xy －bx ＋bx －ab |＝|x (y －b )＋b (x －a )|≤|x (y －b )|＋|b (x －a )| ≤|x ||y －b |＋|b ||x －a |<A ·ε2＋A ·ε2＝Aε.所以有|xy －ab |<Aε.巩 固 已知函数f (x )＝x 2－x ＋13，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．证明：|f (x )－f (a )|＝|x 2－x ＋13－(a 2－a ＋13)|＝|x 2－a 2－x ＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)． ∴|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．题型八 利用绝对值三角不等式求最值例8 设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2； ②当ab <0时，则a (－b )>0， |a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|≤16. 总之，恒有|a |＋|b |≤16. 而a ＝8，b ＝－8时，满足|a ＋b ＋1|＝1，|a ＋2b ＋4|＝4，且|a |＋|b |＝16. 因此|a |＋|b |的最大值为16.巩 固 求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．分析：若把x －3，x ＋1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．解析：方法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.方法二 把函数看作分段函数． y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.点评：对于含有两个以上绝对值的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果．题型九 |ax ＋b |≤e （或|ax ＋b |≥e ）（e >0）型不等式的解法 例9 解下列不等式．(1)⎪⎪⎪⎪x ＋12＞2； (2)|3x －1|≤6.分析：解两个不等式的关键是去掉绝对值符号．解析：(1)方法一 原不等式即⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎫－12＞2，它表示与点－12的距离大于2的点的集合，如下图所示，所以符合条件的x 的范围是x ＞2＋⎝⎛⎭⎫－12或x ＜－2＋⎝⎛⎭⎫－12，即原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－52或x ＞32.方法二 因为⎪⎪⎪⎪x ＋12＞2⇔x ＋12＞2或x ＋12＜－2⇔x ＞32或x ＜－52， 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－52. (2)由于|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6，即－5≤3x ≤7， ∴－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. 巩 固 解下列不等式(1)|1－2x |>5； (2)|4x －1|＋2≤10.解析：(1)|1－2x |>5⇔|2x －1|>5⇔2x －1>5或2x －1<－5⇔2x >6或2x <－4⇔x >3或x >－2. 所以原不等式的解集为{x |x >3或x <－2}(2)|4x －1|＋2≤10⇔|4x －1|≤10－2⇔|4x －1|≤8⇔－8≤4x －1≤8⇔－7≤4x ≤9⇔－74≤x ≤94.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －74≤x ≤94.题型十 绝对值不等式的综合性问题 例10 已知不等式|x ＋3|＞2|x |，①x ＋2x 2－3x ＋2≥1，②2x 2＋mx －1＜0，③若同时满足①②的x 值也满足③，求m 的取值范围． 解析：由|x ＋3|＞2|x |解得－1＜x ＜3， 由x ＋2x 2－3x ＋2≥1解得0≤x ＜1或2＜x ≤4，∴0≤x ＜1或2＜x ＜3.由2x 2＋mx －1＜0解得－m －m 2＋84＜x ＜－m ＋m 2＋84，满足①②的x 值也满足③，则有⎩⎪⎨⎪⎧－m －m 2＋84＜0，－m ＋m 2＋84≥3.∴m ≤－173，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－173. 巩 固 x 2－2|x |－15>0的解集是________．解析：∵|x |2－2|x |－15>0， ∴|x |>5或|x |<－3(舍去)．∴x <－5或x >5.故不等式的解集为{x |x <－5或x >5}． 答案：{x |x <－5或x >5}题型十一 |x －a |＋|x －b |≥c (或|x －a |＋|x －b |≤c )型不等式的解法 例11 解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解．对于形如|x ＋a |＋|x ＋b |的代数式，可以认为是分段函数． 解析：方法一 如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32，同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离和为3，B 1对应数轴上的x ， ∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.∴原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞).方法二 当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，可知原不等式的解集为{x|x ≤－32或x ≥32}.方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图象(如下图)． 函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 点评：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中，关键是找到一些特殊的点如A 1，B 1；第三种解法中，准确画出图象，是y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3的图象，而不是y ＝|x ＋1|＋|x －1|的，其次函数的零点要找准．这些都是求解集的关键． 巩 固 解不等式|x －1|＋|x －2|>5.解析：方法一 分类讨论|x －1|＝0.|x －2|＝0的根1,2把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定义．代数式|x －1|＋|x －2|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．(1)因为在x ≤1的限制条件之下：|x －1|＋|x －2|＝1－x ＋2－x ＝3－2x ，所以当x ≤1时，|x －1|＋|x －2|>5⇔3－2x >5⇔2x <－2⇔x <－1.因此不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，|x －1|＋|x －2|>5的解集为(－∞，－1)．(2)因为在1<x <2的限制条件之下： |x －1|＋|x －2|＝x －1＋2－x ＝1.所以当1<x <2时．不等式|x －1|＋|x －2|>5无解．因此不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <2，|x －1|＋|x －2|>5的解集为∅.(3)由于在x ≥2的限制条件之下： |x －1|＋|x －2|＝x －1＋x －2＝2x －3，所以当x ≥2时，|x －1|＋|x －2|>5⇔2x －3>5⇔2x >8⇔x >4.所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，|x －1|＋|x －2|>5的解集为(4，＋∞)．于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即(－∞，－1)∪∅∪(4，＋∞)＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法二 |x －1|＋|x －2|>5⇔|x －1|＋|x －2|－5>0.构造函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，于是原不等式的解集为{x |f (x )>0}．写出f (x )的分段解析表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2，x ≤1，－4，1<x <2，2x －8，x ≥2.作出函数f (x )的图象如下图所示．f (x )为分段函数，其零点为－1,4，于是f (x )>0⇔x <－1或x >4.所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法三 x 为不等式|x －1|＋|x －2|>5的解集⇔x 是与数轴的点A (1)及B (2)两点距离之和大于5的点．由于A 、B 两点的距离1，线段AB 上的点不符合要求，利用图形(如上图)，可知符合条件的点应该是在A 点的左侧离A 最近距离是2，在B 点的右侧离B 最近距离为2的点处，即x >4或x <－1，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．题型十二 函数图象相关的应用题例12 解关于x 的不等式|log a ax 2|＜|log a x |＋2.分析：换元求解，令log a x ＝t .解析：原不等式化为|1＋2log a x |＜|log a x |＋2，令t ＝log a x ，所以|2t ＋1|＜|t |＋2，两边平方得：4t 2＋4t ＋1＜t 2＋4|t |＋4⇒3t 2＋4t －4|t |－3＜0.当t ≥0时，3t 2－3＜0⇒t 2＜1⇒－1＜t ＜1，所以0≤t ＜1；当t ＜0时，3t 2＋8t －3＜0⇒－3＜t ＜13， 所以－3＜t ＜0.综上所述，－3＜t ＜1.因为t ＝log a x ，所以－3＜log a x ＜1.当0＜a ＜1时，a ＜x ＜a －3，当a ＞1时，a －3＜x ＜a ，所以原不等式的解集为：当0＜a ＜1时，{x |a ＜x ＜a －3}；当a ＞1时，{x |a －3＜x ＜a }． 巩 固 已知y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是增函数，则不等式log a |x ＋1|>log a|x －3|的解集为( )A ．{x |x <－1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <1，且x ≠－1}D ．{x |x >1}解析：∵y ＝log a(2－ax )在(0,1)上是增函数， 又a >0，∴2－ax 为减函数．∴0<a <1，即y ＝log ax 为减函数． ∴|x ＋1|<|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0，即x ≠－1，且x ≠3.由|x ＋1|<|x －3|，得(x ＋1)2<(x －3)2，∴x 2＋2x ＋1<x 2－6x ＋9.∴x <1.结上可得x <1且x ≠－1.答案：C不等式1．若a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( )A ．a －c ＞b －dB ．ac ＞bdC ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c答案：D2．若1a <1b<0，则下列等式： ①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2. 其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案：C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( ) A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④答案：C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( ) A ．－3B ．2C ．5D ．7答案：D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B ．1C ．4D ．8 答案：C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．3B ．5C ．1D ．7答案：D7．若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________答案：(－3,3)8．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________．答案：69．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________． 答案：310．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0.∴(xy －32)(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.答案：1811．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9. 证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 12．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1.求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0.又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y (x ＋y ＋z )＝2，即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y (x ＋y ＋z )，xyz (x ＋y ＋z )＝1时取等号． 13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值； (2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值． 解析：(1)y ＝x 2x －1＝(x ＋1)(x －1)＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3 ∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0. ∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎡⎦⎤(1－2x )＋11－2x ＋3≤－2(1－2x )·1(1－2x )＋3＝1. 当且仅当1－2x ＝11－2x，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.绝对值不等式1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，B ＝x |2x －1|>3，则A ∩B 等于( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |2≤x <3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}答案：C2．不等式|x ＋3|－|x －3|>3的解集是( )A ．{x|x >32} B ．{x|32<x ≤3} C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3<x ≤0}答案：A3．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．答案：{x |x ≥－1}4．|x －1|＋|x ＋2|＋|x |>10的解集是________．答案：{x|x >3或x <－113} 5．x 2－2|x |－15>0的解集是________．答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)6．解不等式|x ＋5|－|x －3|>10.解析：|x ＋5|＝0，|x －3|＝0的根为－5,3.(1)当x ≤－5时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔－x －5＋x －3>10⇔－18>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－5，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (2)当－5<x <3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5＋x －3>10⇔2x ＋2>10⇔x >4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －5<x <3，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (3)当x ≥3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5－x ＋3>10⇔8>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，|x ＋5|－|x －3|>0的解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为∅.7．解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是{x |－2<x <43}． 8．解不等式|x 2＋x －2|>x .解析：当x <0时，原不等式恒成立；当x ≥0时，原不等式可化为x 2＋x －2>x 或x 2＋x －2<－x .即x 2>2或x 2＋2x －2<0.∴x >2或x <－2或－1－3<x <－1＋ 3.又x ≥0，∴0≤x <3－1或x > 2.综上所述，原不等式的解集是{x |x <3－1或x >2}．9．解不等式|x 2－3x －4|＞x ＋2.解析：方法一 原不等式等价于x ＋2≤0①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x 2－3x －4＞x ＋2或x 2－3x －4＜－(x ＋2).② 由①⇔x ≤－2，由②⇔⎩⎨⎧x ＞－2，x ＞2＋10或x ＜2－10或1－3＜x ＜1＋3⇔－2＜x ＜2－10或x ＞2＋10或1－3＜x ＜1＋3，所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．方法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －4≥0，x 2－3x －4＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＜0，－(x 2－3x －4)＞x ＋2. 即⎩⎨⎧ (x ＋1)(x －4)≥0，(x －2－10)(x －2＋10)＞0①或⎩⎨⎧(x ＋1)(x －4)＜0，(x －1－3)(x －1＋3)＜0，② ∴不等式组①的解集为(－∞，2－10)∪(2＋10，＋∞)，不等式组②的解集为(1－3，1＋3)．所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．方法三 原不等式等价于[(x 2－3x －4)＋(x ＋2)][(x 2－3x －4)－(x ＋2)]＞0即(x 2－2x －2)(x 2－4x －6)＞0，(x －1－3)(x －1＋3)(x －2－10)(x －2＋10)＞0，结合图形(如上图)可知原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．10．若x ∈R 不等式|x －1|＋|x －2|≤a 的解集为非空集合．求实数a 的取值范围．解析：要使|x －1|＋|x －2|≤a 的解集非空，只需a 不小于|x －1|＋|x －2|的最小值即可．由|x －1|，|x －2|可以看作数轴上的点到1,2两点的距离，可以看出|x －1|＋|x －2|的最小值为1.所以a ≥1.故a 的取值范围是[1，＋∞)．11．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f(x2)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤－1，－4x－3，－1<x<－12，－1，x≥－12.所以|h(x)|≤1，因此k≥1.所以k的取值范围是[1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解析：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0，设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x<12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x>1.其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，∴原不等式解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，∴x≥a－2对x∈－a2，12都成立，故－a2≥a－2，即a≤43，∴a的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43.13．如下图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．(1)将y表示为x的函数．(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解析：(1)由题设，CO＝x，CA＝|10－x|，CB＝|20－x|，故y＝4×|10－x|＋6×|20－x|，x∈[0,30]，即y＝⎩⎪⎨⎪⎧160－10x，x∈[0，10]，80－2x，x∈(10，20]，10x－160，x∈(20，30].(2)令y≤70，当x∈[0,10]时，由160－10x≤70得x≥9，故x∈[9,10]；当x∈(10,20]时，由80－2x≤70得x≥5，故x∈(10,20]；当x∈(20,30]时，由10x－160≤70得x≤23，故x∈(20,23]．综上知，x∈[9,23]．。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3_2一般形式的柯西不等式课后导练新人教A版选修4_5
3.2 一般形式的柯西不等式课后导练基础达标1设A=a 2+b 2+c 2,B=ab+bc+ca(a,b,c∈R ),则A 、B 的大小关系是( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B解析:(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.答案:C2若a,b,c>0且ab+bc+ca=1,则a+b+c 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.3解析:(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2=1.∴a 2+b 2+c 2≥1.从而(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)≥1+2=3. ∴a+b+c≥3.答案:D3若a≠b,则a 2+3b 2与2b(a+b)的大小关系为( )A.a 2+3b 2>2b(a+b)B.a 2+3b 2<2b(a+b)C.a 2+3b 2≥2b(a+b)D.a 2+3b 2≤2b(a+b)解析:(a 2+3b 2)2=(a 2+b 2+2b 2)(b 2+a 2+2b 2)>(ab+ba+2b 2)2=4b 2(a+b)2(∵a≠b,∴“=”不取),∴a 2+3b 2>2b(a+b).答案:A4若a,b ，c ＞0，则M=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2),N=9abc 的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M≥ND.M≤N解析:∵(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ac)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.∴(a+b+c)(a 2+b 2+c 2)≥(a+b+c)(bc+ac+ab) ≥(ab c ac b bc a ∙+∙+∙)2 =(abc 3)2=9abc.∴M≥N.答案:C5设a,b,c>0，M=ab+bc+ca+c 2,N=ab+a+b+1,P=16abc,则MN 与P 的大小关系是( )A.MN>PB.MN≤PC.MN≥PD.MN<P解析:MN=(ab+bc+ca+c 2)·(ab+a+b+1) =abc(c 1+a 1+b 1+ab c )(1+a+b+ab)≥abc(c 1+1+1+c )2=abc(c1+1+1+c )(c +1+1+c 1)≥abc(1+1+1+1)2=16abc.答案:C综合运用6已知A 、B 、C 是三角形三内角的弧度数，则C B A 111++与π9的大小关系为( ) A.C B A 111++≥π9 B.C B A 111++≤π9C.C B A 111++>π9 D.C B A 111++<π9解析:∵A＋B ＋C ＝π, ∴(A+B+C)(C B A 111++)≥(1+1+1)2=9. ∴C B A 111++≥π9.等号当且仅当A ＝B ＝C=π3时取得.答案:A7a 、b 、c∈R +，求证：)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++.证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a),∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［a c c b b a +++++111］≥(1+1+1)2=9. ∴)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++.等号当且仅当a=b=c 时取得.8a∈R ，求证:(1+a+a 2)2≤3(1+a 2+a 4).证明:3(1+a 2+a 4)=(1+1+1)(1+a 2+a 4)≥(1+a+a 2)2.9设a 、b 、c∈R +，求证：ab c ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2.证明:(bc+ac+ab)(ab c ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2.又bc+ac+ab≤a 2+b 2+c 2,∴(a 2+b 2+c 2)(ab c ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2,即abc ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2. 拓展探究10设n 是不小于2的正整数，证明2221211174<+++++≤n n n . 证明: ∵(nn n 212111+++++ )·［(n+1)+(n+2)+…+2n］≥(1+1+…+1)2=n 2, n n n 212111+++++ ≥1322)2()1(2+=+++++n n n n n n 742323211=+≥+=--n 由柯西不等式,nn n 212111+++++ ≤])2(1)2(1)1(1)[111(222222n n n ++++++++ 22)211(])2)(12(1)2)(1(1)1(1[=-=-++++++∙<n n n n n n n n n n 备选习题11已知非负数x i (i=1,2,3,…,n)满足x 1+x 2+…+x n =1, 求证：n x x x n ≤+++21(n∈N *). 证明:))(1111()(12121n n x x x x x x n n +++++++=+++=∙ 221)(n x x x +++≥ =n x x x +++ 21∴原不等式成立.12设三角形三边分别为a,b,c,半周长为p. 求证：p c p b p a p 3≤-+-+-. 解析:设z c p y b p x a p =-=-=-,,, 记c p b p a p -+-+-=s,则x+y+z=s,x 2+y 2+z 2=p.（注:a+b+c=2p ）由柯西不等式得s 2=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3p ⇒s≤p 3, 即p c p b p a p 3≤-+-+-13(第18届美国数学奥林匹克试题)试确定方程组x+y+z=3...(1)x 2+y 2+z 2=3 (2)x 5+y 5+z 5＝3…（3）的一切实数解.解析:由已知并根据柯西不等式得32=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3×3, 上式等号成立的充要条件是111z y x ==,代入(1)，得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解，经验证也是（3）的解，所以原方程组的唯一实数解是(1,1,1).14设x i ∈R +（i=1,2,…,n），试证(x 1+x 2+…+x n )［n x x x 11121+++ ］≥n 2. 证明:［(1x )2+(2x )2+…+(n x )2］［(11x )2+(21x )2+…+(nx 1)2］ ≥［1x ·11x +2x ·21x +…+n x ·n x 1］2 =(1+1+…+1)2.15设a,b,c∈R +，试证2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 证明:［(c b a+)2+(a c b +)2+(ba c +)2］ ［(cb +)2+(ac +)2+(b a +)2］≥(a+b+c)2, 即(ba c a cbc b a +++++222)(b+c+c+a+a+b)≥(a+b+c)2. 故2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.16设a,b,c,d ＞1，且log a (bcd)≤9,试证log b a+log c a+log d a≥1. 证明:［(a b log )2+(a c log )2+(a d log )2］ ［(b a log )2+(c a log )2+(d a log )2］ ≥(log b a·log a b+log c a·log a c+log d a·log a d)2=(1+1+1)2=9, log b a+log c a+log d a ≥)(log 9log log log 9bcd d c b a a a a =++≥1.。
高中数学新人教A版选修4-5 三个正数的算术—几何平均不等式
[思路点拨]
根据题设条件建立r与θ的关系式
sin θ → 将它代入E＝k 2 r → 得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式 → 用平均不等式求函数的最值 → 获得问题的解
[ 解]
2 ∵r＝ ， cos θ
π sin θcos2θ 0<θ< . ∴E＝k· 2 4
2 2 2 k k k ∴E2＝ · sin2θ· cos4θ＝ · (2sin2θ)· cos2θ· cos2θ≤ · 16 32 32 2 2sin2θ＋cos2θ＋cos2θ k 3 ＝108. 3
5．已知圆锥的底面半径为 R，高为 H，求圆锥的内接圆柱体的 高 h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三 H－ h r R 角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． 2 π R ∴V圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0<h<H)． H 4πR2 H－h H－h 4πR2H3 根据平均不等式可得V圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 3 H 2 2 H H－ h 4 2 ＝ πR H.当且仅当 ＝ h， 27 2 1 4 2 即h＝ H时，V圆柱max＝ πR H. 3 27
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（三）” (单击进入电子文档)
1 当且仅当 a－b＝b－c＝ 时等号成立， a－bb－c 1 所以当 a－b＝b－c＝ 时， a－bb－c 1 a－c－ 2 取得最小值 3. b －ab＋ca－b
用平均不等式解应用题
[例 3]
如图所示， 在一张半径是 2 m 的圆桌的正中央上
空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮 度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学 知道，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光 线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 sin θ r 的平方成反比，即 E＝k 2 . r 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎 样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法练习(含解析)新人教A版选修4-5-新
2.2 综合法与分析法[A 级 基础巩固]一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy ＞1，x ＋y ≥0，则()A ．x ＞0，y ＞0B ．x ＜0，y ＜0C ．x ＞0，y ＜0D ．x ＜0，y ＞0解析：因为xy ＞1＞0，所以x ，y 同号．又x ＋y ≥0，故x ＞0，y ＞0.答案：A2．设x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤2(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：因为x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，所以(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)．答案：A3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是()A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)． 答案：D4．设13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1，则( ) A ．a a ＜a b ＜b aB ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a解析：因为13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1， 所以0＜a ＜b ＜1，所以a aa b ＝a a －b ＞1，所以a b ＜a a ， a a b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a .因为0＜a b＜1，a ＞0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a ＜1，所以a a ＜b a ，所以a b ＜a a ＜b a . 答案：C5．已知a ，b ∈R，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞1，b ＞1时，两式相加得a ＋b ＞2，两式相乘得ab ＞1.反之，当a ＋b ＞2，ab ＞1时，a ＞1，b ＞1不一定成立．如：a ＝12，b ＝4也满足a ＋b ＞2，ab ＝2＞1，但不满足a ＞1，b ＞1. 答案：B二、填空题6．若1a ＜1b ＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b＞2. 其中正确的不等式的序号为________．解析：因为1a ＜1b＜0， 所以b ＜a ＜0，故②③错．答案：①④7．若a ＞0，b ＞0，则下列两式的大小关系为：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 解析：12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝12lg[(1＋a )(1＋b )]＝lg[(1＋a )(1＋b )]12， 又lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋22， 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋1＞0，b ＋1＞0，所以[(a ＋1)(1＋b )]12≤a ＋1＋b ＋12＝a ＋b ＋22， 所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥lg[(1＋a )(1＋b )]12. 即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≥8．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的等比中项，1R 是1a ，1b的等差中项，则P ，Q ，R 按从大到小的排列顺序为________．解析：P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，2R ＝1a ＋1b ， 所以R ＝2ab a ＋b ≤Q ＝ab ≤P ＝a ＋b 2， 当且仅当a ＝b 时取等号．答案：P ≥Q ≥R三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a .证明：要证c －c 2－ab ＜a ，只需证明c ＜a ＋c 2－ab ，即证b －a ＜2c 2－ab ，当b －a ＜0时，显然成立；当b －a ≥0时，只需证明b 2＋a 2－2ab ＜4c 2－4ab ，即证(a ＋b )2＜4c 2，由2c ＞a ＋b 知上式成立．所以原不等式成立．10．已知△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且m 为正数．求证：aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m. 证明：要证a a ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m ，只需证a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )·(b ＋m )>0，即证abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －acm －bcm －cm 2>0， 即证abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0.由于a ，b ，c 是△ABC 的边长，m >0，故有a ＋b >c ，即(a ＋b －c )m 2>0.所以abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0是成立的．因此aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m 成立．B 级 能力提升1．已知a ，b ，c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( )A ．S ≥2PB ．P ＜S ＜2PC ．S ＞PD ．P ≤S ＜2P 解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，所以a 2＋b 2－2ab ＜c 2，同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2，所以a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca )，即S ＜2P .答案：D2．若n 为正整数，则2n ＋1与2n ＋1n 的大小关系是________．解析：要比较2n ＋1与2n ＋1n 的大小，只需比较(2n ＋1)2与⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2的大小，即4n ＋4与4n ＋4＋1n 的大小． 因为n 为正整数，所以4n ＋4＋1n＞4n ＋4. 所以2n ＋1＜2n ＋1n .答案：2n ＋1＜2n ＋1n3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，因此|a－b|<|c－d|，综上所述a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。