2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 第1课时 曲边梯形的面积与汽车行驶的路
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行
1．5.1～1.5.2 曲边梯形的面积汽车行驶的路程问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图甲)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图乙)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．“以直代曲”的思想曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种很重要的思想．问题：利用“以直代曲”的思想可以求物体做变速直线运动的路程吗？ 提示：可以．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么它在时间t 所在的区间内的路程(或位移)也可以运用①分割；②近似代替；③求和；④取极限的方法求得．变速直线运动的路程与曲边梯形的面积间的关系与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的路程问题．求由直线⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n n ＋2(1)分割如右图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋n －n，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋i －1n ，n ＋in，…， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n(i ＝1,2,3，…，n )．过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1n为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3 ·1n .(4)取极限当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．因为∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1n 4∑i ＝1n(n ＋i －1)3＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n4，所以S ＝li m n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1＋32＋1＋14＝154.求曲边梯形的面积应关注两点(1)根据步骤“分割、近似代替、求和、取极限”求曲边梯形的面积S ，实质是用n 个小矩形面积的和S n 来逼近，S n 的极限即为所求曲边梯形的面积S .求小矩形面积时，一般选取函数在相应小区间的左端点值．(2)分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形面积，但这是近似值，为逼近精确值，分割得越细，近似程度就会越好，无限细分就无限逼近精确值．求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝2x 2所围成的曲边梯形的面积． 解：(1)分割在区间上等间隔地插入n －1个分点，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n，每个小区间内曲边梯形的面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )，显然S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替 记f (x )＝2x 2，取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，于是ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 2·1n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和S n ＝∑i ＝1nΔS i ′＝∑i ＝1n2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 2·1n＝2n 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n 2＋…＋1＋n －1n2＝2nn ＋2n ＋1n 2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋2n·n n －2＋1n2·n －nn －6＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n . 从而得到S 的近似值S ≈S n . (4)取极限S ＝li m n →∞ S n ＝li m n →∞ 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋131－1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＝143.3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？(1)分割在时间区间上等间隔地插入n －1个分点，将它等分成n 个小区间．记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n－i －n＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )．于是Δs i ≈Δs i ′＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n3＋4n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs i ′＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n3·nn ＋n ＋6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 1＋12n＋4.从而得到s 的近似值s n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12，所以这段时间内行驶的路程为12 km.变速运动的路程的求法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间内物体下落的距离． 解：(1)分割将时间区间分成n 等份． 把时间分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间所表示的时间段Δt＝it n －i －1n t ＝tn，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v (ξi)＝g ·i －n t近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n内所经过的距离可近似表示为Δs i ＝g ·i －1n t ·tn(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs i ＝∑i ＝1ng ·i －1n t ·tn＝gt 2n2 ＝12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . (4)取极限s ＝lim n →∞ 12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12gt 2.4.搞错区间端点致误求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤t i －n ，tin D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤t i －n ，t i －n每个小区间长度为tn，故第i －1个区间的左端点为0＋(i －2)×t n ＝t i －n，右端点为t i －n＋t n ＝t i －n.D1．解决本题易错误地认为区间左端为t i －n，从而误选C.2．在将区间等分成n 个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为1n ，…，依次类推，第i 个小区间的左端点为i －1n.在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i nD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，i ＋n解析：选C 将区间等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n.1．在“近似代替”中，函数f (x )在区间上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈)D ．以上答案均正确解析：选C 作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是上任一值f (ξi )．2．已知汽车在时间内以速度v ＝v (t )做直线运动，则下列说法不正确的是( ) A ．当v ＝a (常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝vt 1B ．当v ＝at ＋b (a ，b 为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21C ．当v ＝at ＋b (a ≠0，a ，b 为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21D ．当v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s ＝li m n →∞s n ＝li m n →∞∑i ＝1n v (ξi )Δt解析：选B 对于v ＝at ＋b ，当a ＝0时为匀速直线运动，当a ≠0时为匀变速直线运动，其中a ＞0时为匀加速直线运动，a ＜0时为匀减速直线运动．对于v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)及v ＝v (t )是t 的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B 是错误的．3．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间 n 等分，则每个小区间的长度为________．解析：每个小区间长度为1－－n＝2n.答案：2n4.求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间等分成5个区间，如右图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．解析：由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.答案：0.335．利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．解：f (x )＝1＋x 在区间上连续，将区间分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n，在＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n， 从而S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n 2＝2＋1n2·n n －2＝2＋n －2n ＝52－12n.则S ＝li m n →∞S n＝li m n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52.如下进行验证：如右图所示，由梯形的面积公式得S ＝12×(2＋3)×1＝52.一、选择题1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |C ．y ＝xD ．y ＝1x解析：选D 由于函数y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是( )A ．n 个小曲边梯形的面积和等于SB ．n 个小曲边梯形的面积和小于SC ．n 个小曲边梯形的面积和大于SD ．n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定解析：选A n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .3．和式∑i ＝15(y i ＋1)可表示为( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)解析：选C ∑i ＝15(y i ＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y 5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127 D.130解析：选A 将区间三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝19. 5．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C 将区间 n 等分，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a i －n ，ain (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ai n 2·an ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ，依题意得lim n →∞ a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝9，∴a 33＝9，解得a ＝3.二、填空题6．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：∵把区间10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 答案：557．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ；v 的单位：km/h)，近似计算在区间内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为________km.解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66 (km)．答案：668．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.解析：将区间5等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，25，⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，2，以小区间左端点对应的函数值为高，得S 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1×25＝3.92，同理S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1＋22＋1×25＝5.52.答案：3.92 5.52 三、解答题9．汽车行驶的速度为v ＝t 2，求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s . 解：(1)分割将区间等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，每个小区间的长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，汽车近似地看作以时刻i －1n 处的速度v ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2做匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n . (3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为sn ＝02×1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2×1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2×1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2×1n ＝1n 3＝1n 3×n －n n －6＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n . (4)取极限汽车行驶的路程 s ＝li m n →∞s n ＝li m n →∞13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝13.10．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积．解：(1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，在区间上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为 Δx ＝i n －i －n ＝1n. 把每个小曲边梯形的面积记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替把每个小曲边梯形近似地看作矩形，可得第i 个小曲边梯形的面积的近似值 ΔS i ≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝i －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和求出这n 个小矩形的面积的和S n ＝∑i ＝1n⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝∑i ＝1ni －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2，从而得到所求图形面积的近似值S ≈16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2.(4)取极限S ＝lim n →∞ 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为16.。
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新人教A版选修2_2
n
ΔSi=
i＝0
ni 2＋2ni ＋1·n1＝
n13(12＋22＋32＋…＋n2)＋n22(1＋2＋3＋…＋n)＋1＝ n13·n（n＋1）6（2n＋1）＋n22·n（n2＋1）＋1＝
1＋n162＋n1＋n1＋2，
S＝ Sn＝
1＋n162＋n1＋n1＋2＝73，
(3)取极限． S＝ Sn＝ 831－n11－21n＝83. 所以所求平面图形的面积为 S 阴影＝2×4－83＝136.所 以 2S 阴影＝332， 即抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的图形面积为332.
类型 2 求变速运动的路程 [典例❷] 汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时 间 t 所行驶的路程为 s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在 时刻 t 的速度为 v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在 1≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s 是多少？ 解：将区间[1，2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni ，第 i 个小区间所对应的小矩形的面积 ΔSi＝v1＋i－n 1·n1，设 n 个小矩形的面积和为 Sn，
第一章 导数及其应用
1．5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程
[学习目标] 1.了解“以直代曲”“以不变代变”的思 想方法(难点)．
2．了解求曲边梯形面积和变速运动的物体行驶的路 程的方法(重点)．
1．连续函数 如果函数 y＝f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续 不断的曲线，那么就把它称为区间 I 上的连续函数． 温馨提示 连续函数是指在某区间上，而不是指在定 义域上．如 y＝1x在定义域上不是连续1)曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲 线 y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程2_2
§1.5.1 曲边梯形的面积 §1.5.2 汽车行驶的路程 §1.5.3定积分的概念[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．在求由x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，y ＝f (x )[f (x )≥0]及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 根据“化整为零”、“积零为整”的思想知①是正确的，故选A. 答案 A2．一物体的运动速度v ＝2t ＋1，则其在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程为 A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析即求⎠⎛12(2t ＋1)d t .可由其几何意义求解．s ＝（3＋5）×12＝4. 答案 A3．已知⎠⎛－11f (x )d x ＝0，则A.⎠⎛－10f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＝0B.⎠⎛－10f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＝0C ．2⎠⎛01f (x )d x ＝0D ．2⎠⎛－10f (x )d x ＝0解析 由定积分的性质知⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＝0. 答案 B4．已知S 1＝⎠⎛01x d x ，S 2＝⎠⎛01x 2d x ，则S 1与S 2的大小关系是A ．S 1＝S 2B ．S 21＝S 22 C ．S 1>S 2D ．S 1<S 2解析 由定积分的几何意义知S 1＝S △OAB ，S 2为图中的阴影部分，故S 1>S 2.答案 C5.⎠⎛0a a 2－x 2d x 的值为A.π4a 2B.π2a 2C ．πa 2D ．－π4a 2解析 由定积分的几何意义易知⎠⎛0a a 2－x 2d x 为圆x 2＋y 2＝a 2的面积的14，故选A.答案 A6．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为 A ．2⎠⎛－11(x 3＋sin x )d xB ．2⎠⎛01(x 3＋sin x )d xC.⎠⎛－10(x 3＋sin x )d xD.⎠⎛01(x 3＋sin x )d x解析 因函数y ＝x 3＋sin x 是奇函数，则由定积分的几何意义可知，S ＝2⎠⎛01(x 3＋sinx )d x .故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若⎠⎛0a x d x ＝1，则实数a 的值为________．解析 由定积分的几何意义知：⎠⎛0ax d x ＝12×a ×a ＝1(a ＞0)，则有a ＝ 2. 答案28．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．解析 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x .答案 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x9．若⎰20d cos πx x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．解析 由正弦函数与余弦函数的图象，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图象与x 轴围成的图形的面积等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与坐标轴围成的图形的面积的2倍，所以S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝2.答案 2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．解析 令f (x )＝－x 2＋2x .(1)分割在区间[1，2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1，2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1，2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1，2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n （2n ＋1）（4n ＋1）6－n （n ＋1）（2n ＋1）6＋2n 2·n （n ＋1＋2n ）2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n .(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝S n ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23， ⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．11．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[－2，2），2x ，[2，π），cos x ，[π，2π]，求⎠⎛－22πf (x )d x 的值．解析 由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝（2π＋4）（π－2）2＝π2－4，⎠⎛π2πcos x d x ＝0. 由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛－22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4. 12．(13分)利用定积分的几何意义计算下列定积分． (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2)⎠⎛03（2－x ）2d x .解析 (1)如图所示，阴影部分的面积为（2＋5）×12＝72，从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)原式＝⎠⎛03|2－x |d x ＝⎠⎛02(2－x )d x ＋⎠⎛23(x －2)d x ，如图所示．由定积分的几何意义知 ⎠⎛02(2－x )d x ＝12×2×2＝2， ⎠⎛23(x －2)d x ＝12×1×1＝12. ∴⎠⎛03（2－x ）2d x ＝52.。
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分课件苏教版选修2-2
1.5 定积分
阶 段
一
三
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 定积分
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解定积分的概念及“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法， 求定积分． 2．理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积．
[基础·初探] 教材整理 1 曲边梯形的面积 阅读教材 P41～P45“例 2”以上部分，完成下列问题． 1．曲边梯形的面积 将已知区间[a，b]等分成 n 个小区间，当分点非常多(n 很大)时，可以认为 f(x) 在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内 任意一点xi 对应 的函数值 f(xi) 作为小矩形一边的长．于是，可用 f(xi)Δx 来近似表示小曲边梯形 的面积，这样，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx 表示了曲边梯形面积的近似值．
1．定积分几何意义的应用 (1)利用定积分的几何意义求bf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y＝f0 所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、 矩形、圆等可求面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面 积，要注意分割点要确定准确．
S＝143×14＋123×14＋343×14＋13×14＝2654.
【答案】
25 64
教材整理 2 定积分 阅读教材 P47“例 1”以上部分，完成下列问题． 一般地，设函数 f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，
每个小区间长度为 ΔxΔx＝
，在每个小区间上取一点，依次为 x1，x2，…，
由直线 x＝1，y＝0，x＝0 和曲线 y＝x3 所围成的曲边梯形，将区间 4 等分， 则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．
2018-2019年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 定积分学案 苏教版选修2-2
1.5.1 曲边梯形的面积～1.5.2 定积分思想，初步了解定积分的概念1．曲边梯形直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为________梯形． 2．定积分如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]均分成n 个小区间，每个小区间的长度为Δx ＝b －an，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，如果当Δx →0(即n →∞)时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的__________，记为⎠⎛ab f (x )d x .这里a 与b 分别叫做积分______与积分______，区间[a ，b ]叫做积分______，函数f (x )叫做____________，x 叫做____________，f (x )d x 叫做________．预习交流1做一做：在求由x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，y ＝f (x )[f (x )≥0]及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是________．(填序号)①n 个小曲边梯形的面积和等于S ；②n 个小曲边梯形的面积和小于S ；③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定．3．定积分的几何意义一般地，定积分的几何意义是，在区间[a ，b ]上曲线与x 轴所围图形面积的__________(即x 轴上方的面积______x 轴下方的面积)．预习交流2做一做：⎠⎛01d x ＝________.预习交流3做一做：不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)⎠⎛01xd x __________⎠⎛01x 2d x ；(2)⎠⎛01x d x __________⎠⎛12x d x ； (3)⎠⎛024－x 2d x __________⎠⎛022d x .答案：预习导引 1．曲边2．定积分 下限 上限 区间 被积函数 积分变量 被积式 预习交流1：提示：① 3．代数和 减去 预习交流2：提示：1预习交流3：提示：(1)＞ (2)＜ (3)＜一、利用定积分的定义求曲边梯形的面积求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3围成的图形的面积． 思路分析：利用求曲边梯形面积的步骤求解．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S .1．求曲边梯形的面积时要按照分割—以直代曲—作和—逼近这四个步骤进行．2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．3．作和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．二、汽车行驶路程的计算问题一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝12t 2(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．思路分析：由v (t )及t ＝0，t ＝2，v ＝0所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可．某物体做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v (t )＝7－t 2，试计算这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程s.把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、以直代曲、作和、逼近，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．三、定积分概念的理解及应用利用定积分的定义计算⎠⎛23(x ＋2)d x .思路分析：根据定积分的定义，按照4个步骤依次进行计算．用定积分的定义证明：⎠⎛abk d x ＝k (b －a )．用定义法求定积分的四个步骤是：(1)分割；(2)以直代曲；(3)作和；(4)逼近．其中分割通常都是对积分区间进行等分，以直代曲时通常取区间的左端点或右端点，作和时要注意一些求和公式的灵活运用．四、定积分的几何意义用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)11-⎰(x ＋2)d x ； (2)22-⎰4－x 2d x ； (3)ππ-⎰sin x d x .思路分析：画出每个被积函数的图象，根据定积分的几何意义进行计算求解．1．由定积分的几何意义可知⎠⎛12x d x ＝__________.2．用定积分的几何意义计算∫2π0cos x d x ＝________.1.定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x 轴上方部分面积为正，x 轴下方部分的面积为负．2．利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，另外，结合图形可以更直观形象地辅助作题．1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．2．∑i ＝1ni n＝________.3．∑n ＝14n (n ＋1)＝________.4．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x ＝________.5．由定积分的几何意义可知1-⎰1－x 2d x ＝________.6．利用定积分的定义求抛物线y ＝x 2＋1与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S.活动与探究1：解：(1)分割如图，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n把区间[1,2]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋(n －1)n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n，过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)以直代曲取各小区间的左端点ξi ，用ξi3为一边长，以小区间长Δx ＝1n为其邻边长的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξi3·Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )．(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 的面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n.①(4)逼近当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此，n →∞即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．∵∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n(n ＋i －1)3 ＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4⎣⎢⎡ n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·⎦⎥⎤(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2，当n →∞时，S ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1＋32＋1＋14＝154.迁移与应用：解：(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)以直代曲记f (x )＝x 2＋2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，可以认为f (x )的值变化很小，不妨用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·Δx＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n .(3)作和小曲边梯形的面积和S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nΔS i ′＝∑i ＝1n 1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＋22n2＋…＋n 2n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n n＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n .(4)逼近分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有16⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n →S .而当n →∞时，S →43.即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积约等于43.活动与探究2：解：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n ，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n，2n n 上行驶的路程分别记作Δs 1，Δs 2，Δs 3，…，Δs n ，有s n ＝∑ni ＝1Δs i .(2)以直代曲：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )．∴Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·Δt ＝12·4i 2n 2·2n ＝4n3·i 2(i ＝1,2，…，n )． (3)作和：∑i ＝1n Δs i ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫4n3·i 2＝4n3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝4n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n . (4)逼近：n →∞时，上式→43，故这段时间内汽车行驶的路程s 约为43km.迁移与应用：解：将区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，每个小区间的长度为Δt ，Δt ＝1n.取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则物体在每个时间段内运动的路程Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－i 2n 2，i ＝1，2，…，n .s n ＝∑i ＝1n Δs i ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫7－1n 2＋7－22n2＋…＋7－n 2n 2＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7n －n (n ＋1)(2n ＋1)6n 2＝7－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n .当n →∞时，7－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n →203.所以这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程约为203. 活动与探究3：解：令f (x )＝x ＋2.①分割：将区间[2,3]平均分为n 等份，Δx i ＝1n.[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋in (i ＝1,2，…，n )． ②以直代曲：取ξi ＝x i ＝2＋in(i ＝1,2，…，n )，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in.③作和：∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋i n·1n＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n2＝4＋n ＋12n. ④逼近：当n →∞时，4＋n ＋12n →92. 故⎠⎛23(x ＋2)d x ＝92.迁移与应用：证明：令f (x )＝k ，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1,2，…，n )，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nk ·b －an＝k (b －a )． 当n →∞时，⎠⎛abk d x ＝∑i ＝1nk ·b －an＝k (b －a )． 活动与探究4：解：(1)11-⎰(x ＋2)d x 的几何意义是指由直线y ＝x ＋2，x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形的面积．这里围成的是一个直角梯形，其面积为S ＝12(1＋3)×2＝4，故11-⎰(x ＋2)d x ＝4.(2)被积函数y ＝4－x 2表示的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆，由定积分的几何意义知定积分计算的是半圆的面积，所以有22-⎰4－x 2d x ＝π·222＝2π.(3)函数y ＝sin x 在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在x 轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即ππ-⎰sin x d x ＝0.迁移与应用： 1．32 解析：⎠⎛12x d x ＝12(1＋2)×1＝32. 2．0 解析：由函数y =cos x ，x ∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，2π⎰cos x d x=0.当堂检测 1．2n 解析：每个小区间长度为1－(－1)n ＝2n. 2．n ＋123．40 解析：∑n ＝14n (n ＋1)＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40.4．36 解析：⎠⎛a b 6f (x )d x ＝6⎠⎛ab f (x )d x ＝6×6＝36.5．π4 解析：定积分表示圆x 2＋y 2＝1面积的14，即1-⎰1－x 2d x ＝π4.6．解：(1)分割： 在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1.记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .分别过上述n －1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .则S ＝∑i ＝1n ΔS i .(2)以直代曲：记f (x )＝x 2＋1.当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，可以认为f (x )＝x 2＋1的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n 处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n .就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·Δx ＋Δx＝⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＋1n(i ＝1,2，…，n )．①(3)作和：由①，得S n ＝∑i ＝1nΔS i ′＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n Δx＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＋∑n i ＝11n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＋1 ＝1n3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋1＝1n 3n (n －1)(2n －1)6＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1. 从而得到S 的近似值S ≈S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.②(4)逼近： 分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到随着n 的不断增大，即Δx 越来越小时，S n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1越来越趋近于S ，而当n 趋向于＋∞时，②式无限趋近于43，即所求面积为43.。
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程
1．将区间[a，b]等分成 n 份，则每个小区间的长度为( )
A.n1
B.na
C.nb
b－a D. n
解析：选 D.因为原区间长度为 b－a，将其等分成 n 份后，每一 个小区间的长度均为b－n a.
第二十四页，共三十一页。
n
2.
i＝1
ni ＝________．
n
解析：
第十二页，共三十一页。
(2)近似代替 在区间i－n 1，ni 上，用i－n 1处的函数值12i－n 12作为高，以小区 间的长度Δx＝n1作为底边长的小矩形的面积近似代替第 i 个小 曲边梯形的面积， 即ΔSi≈12i－n 12·n1.
第十三页，共三十一页。
(3)求和 曲边梯形的面积为
n
Sn＝
n
(4)求极限：S＝ lim n→∞i＝1
n32(i－1)＝nl→im∞32·n－n 1＝32.
第十八页，共三十一页。
探究点 2 变速直线运动路程的求法 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 t 的
速度为 v(t)＝－t2＋5(t 的单位：h，v 的单位：km/h)，试计算这 辆汽车在 0≤t≤2 这段时间内汽车行驶的路程 s(单位：km)． 【解】 (1)分割：在时间区间[0，2]上等间隔地插入(n－1)个分 点，将区间分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为2（i－n 1），2ni (i＝1，2，…，n)，
i＝1
n
ΔSபைடு நூலகம்≈
i＝1
12i－n 12·n1.
＝0·n1＋12·n12·n1＋12·n22·n1＋…＋12·n－n 12·n1＝21n3[12 ＋22＋…＋(n－1)2]＝161－n11－21n. (4)取极限 曲边梯形的面积为 S＝nl→im∞161－n11－21n＝16.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积(第1课时)教案 新人教A版选修22
§1.5.1曲边梯形的面积 （第1课时）教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
． 教学重点： 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）； 教学难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
(二)、探究新知，揭示概念定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）． （三）、分析归纳，抽象概括问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？ （四）、知识应用，深化理解例1．例1：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用． yyy0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
全国通用高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路
（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．5。
1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2。
会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积?答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形"有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法（1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b（a≠b)，y＝0和曲线y＝f（x）所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示）．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值（如图②所示)．(3）求曲边梯形面积的步骤：①分割;②近似代替;③求和；④取极限． 知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动,速度函数为v ＝v （t ）,那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1．求汽车行驶的路程时,分割的区间表示汽车行驶的路程．（ × ）2．当n 很大时，函数f (x ）＝x 2在区间错误!上的值，只能用错误!2近似代替．（ × ) 3．利用求和符号计算错误!(i ＋1）＝40.（ √ )类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．［］参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n n ＋12n ＋1考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲线梯形的面积问题 解 令f (x )＝x 2＋1。
2018版高中数学第1章导数及其应用1.5.3微积分基本定理
－1)．
③ʃ basin xdx＝－cos x|ba.
④ʃ bacos xdx＝sin x|ba.
⑤ʃ ba1xdx＝ln x|ba(b>a>0).
⑥ʃ baexdx＝ex|ba.
⑦ʃ
baaxdx＝
a ln
x
a
|ba
(a
0且a
1)．
⑧ʃ
b a
xdx＝ 2
3
3
x2
|ba
b
a
0．
题型探究
有什么关系？
答案 由定积分的几何意义知，ʃ 10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2， F(1)－F(0)＝2，故 ʃ 10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在惟一的F(x)，使得F′(x) ＝f(x)? 答案 不惟一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
∴ʃ 20|x2－1|dx＝ʃ 10|x2－1|dx＋ʃ 21|x2－1|dx
＝ʃ 10(1－x2)dx＋ʃ 21(x2－1)dx
＝(x－x33)|10＋(x33－x)|21
＝1－13＋83－2－13＋1＝2.
解答
反思与感悟
分段函数的定积分的求法 (1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定 积分再计算.
解答
命题角度 2 求分段函数的定积分 sin x0≤x<π2，
例 2 (1)求函数 f(x)＝12π≤x≤2， 在区间[0,4]上的定积分； x－12<x≤4
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 第1课时 曲边梯形的面积和汽车行驶的路程学案 新人教A版选修
2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.5 第1课时曲边梯形的面积和汽车行驶的路程学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.5 第1课时曲边梯形的面积和汽车行驶的路程学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1。
5 第一课时曲边梯形的面积和汽车行驶的路程一、课前准备1.课时目标1。
会求曲边梯形的面积、变速运动的汽车行驶的路程等；2。
从问题情境中了解定积分的实际背景及意义。
2。
基础预探1。
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条________的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2.由直线x＝a,x＝b（a≠b）,y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为______，如图①．3。
把区间［a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些________。
对每个________“以直代曲”,即用________的面积近似代替________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________,对这些近似值________,就得到曲边梯形面积的________如图②．4。
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t）,那么也可以采用________,________，________，________的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s.二、学习引领1.“以直代曲”的思想求曲边梯形的面积由于没有曲边梯形的面积公式,为计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形,每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时,这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． “分割”的目的在于 “以直代曲"，即以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替"就越精确．当n 越大,所有小矩形的面积和就越趋近于曲边梯形的面积．2。
高中数学第1章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积学案苏教版选修2-2(2021学年)
20１7-２018版高中数学第1章导数及其应用1.5.1 曲边梯形的面积学案苏教版选修2-2编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-201８版高中数学第1章导数及其应用 1.5.１曲边梯形的面积学案苏教版选修2-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．5。
1 曲边梯形的面积学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法。
2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？思考２如图，为求由抛物线y＝x2与直线x=１,y=0所围成的平面图形的面积S,图形与我们熟悉的“直边图形＂有什么区别?1．曲边梯形:由直线x=a，x=b(a≠b）,ｙ＝0和曲线___＿__所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示）.２．求曲边梯形面积的方法把区间[a,b］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为许多＿＿__＿__＿_＿,对每个＿___＿_____“以直代曲”,即用______＿_的面积近似代替________的面积,得到每个小曲边梯形面积的__＿_____，对这些近似值___＿＿_,就得到曲边梯形面积的＿_＿＿＿___（如图②所示).３.求曲边梯形面积的步骤：①___＿_＿__,②________,③＿_____＿＿_＿，④_＿___＿___＿．知识点二求变速直线运动的（位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为ｖ＝v（t),那么也可以采用＿___＿_、_＿_____＿、___＿_＿、__＿＿＿_＿_的方法，求出它在ａ≤ｔ≤ｂ内所作的位移s.类型一求曲边梯形的面积例1 求由直线ｘ＝0,x=1,ｙ=0和曲线y＝x(x－1）围成的图形面积．反思与感悟求曲边梯形的面积:(1）思想：以直代曲．(2）步骤：分割→以直代曲→作和→逼近.(3)关键：以直代曲．(4)结果:分割越细，面积越精确.跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．类型二求变速运动的路程例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位：km/h），那么该汽车在０≤t≤2（单位:h)这段时间内行驶的路程s（单位：km)是多少？反思与感悟求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,用“以直代曲”、“逼近”的思想求解．求解过程为:分割、以直代曲、作和、逼近．应特别注意变速直线运动的时间区间.跟踪训练２一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻t的速度为ｖ(ｔ）＝－ｔ2+５(t的单位：ｈ，v的单位：kｍ/h),试计算这辆汽车在0≤ｔ≤２这段时间内汽车行驶的路程s(单位：kｍ).1．把区间［1,３] n等分，所得n个小区间的长度均为____＿__＿__＿．2.若1 Ｎ的力能使弹簧伸长2 cm,则使弹簧伸长12 cm时，克服弹力所做的功为＿＿__＿___. 3．在等分区间的情况下,f（x)＝错误!(x∈[０，1］）与x轴所围成的曲边梯形面积和式正确的是__＿___＿_(填序号).①n→+∞时,错误!错误!;②n→＋∞时,错误!错误!;③ｎ→＋∞时，错误!错误!；④n →＋∞时，错误!错误!.４．求由曲线ｙ=＼f(1，2）x 2与直线ｘ=1,x =2,y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点）是__＿_____.1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤: （1)分割：n 等分区间［ａ,b ］； (２)以直代曲:取点ξi ∈[ｘｉ-1,x i ］；(３）作和： i =１nｆ(ξｉ)·ｂ-an; （4)逼近：ｎ→＋∞时,错误!(ξi ）·错误!→S ．“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形,为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点,如区间的端点(或中点)． ２．变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题.提醒:完成作业 1.5。
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积课件新人教A版选修22
6
4 3பைடு நூலகம்
第二十五页，共27页。
归纳 一般曲边梯形((tgīxuínīgn)的à)面积的表达式
概括
S
n
lim n i1
ba n
f
i
第二十六页，共27页。
归纳 (guīnà)概 括 以上计算曲边三角形面积的过程可以(kěyǐ)用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
第二十七页，共27页。
n
1)2
(
i n
)2
]
1 n
,
i
1,
2,
,n
Sn S '1 S '2 S 'i S 'n
1 2
1 n
(
1 n
)
2
(
1 n
)
2
( 2 )2 n
(
2 n
)2
( 3 )2 n
(
n
1)2 n
(
n n
)2
1 n3
12
22
n
12
n2 2
1 n 1 n 2n 1 n2
n3 [
6
] 2
1 2 • 1 2 2 • 1 n 2 • 1
n n n n
n n
1 n3
12
22
n2
y y=x2
O
i 1 i
1x
nn
第十六页，共27页。
案例探究
2、近似(jìn
y
sì)代替(以直
代曲）
f(
i n
)
2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数
1.3.1 函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √)2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( √)类型一 利用导数求参数的取值范围例1 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k 的取值范围． 解 ∵f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )＝k －1x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≤1x ，∵0<1x<1，∴k ≤0.即k 的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k 的取值范围． 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x.当k ≤0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意． 当k >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1k，只需1k ∈(1，＋∞)，即1k>1，则0<k <1.∴k 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意． (2)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ；②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练1 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 方法一 (直接法)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减， 由题意知(1,4)⊂(1，a －1)且(6，＋∞)⊂(a －1，＋∞)， 所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]． 方法二 (数形结合法) 如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]．因为在(1,4)内，f ′(x )≤0， 在(6，＋∞)内f ′(x )≥0， 且f ′(x )＝0有一根为1， 所以另一根在[4,6]上．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(4)≤0，f ′(6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(5－a )≤0，5×(7－a )≥0，所以5≤a ≤7.故实数a 的取值范围为[5,7]．方法三 (转化为不等式的恒成立问题)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1.因为f (x )在(1,4)上单调递减， 所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立．即a (x －1)≥x 2－1在(1,4)上恒成立，所以a ≥x ＋1， 因为2<x ＋1<5，所以当a ≥5时，f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 又因为f (x )在(6，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立， 所以a ≤x ＋1， 因为x ＋1>7，所以当a ≤7时，f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 综上知5≤a ≤7.故实数a 的取值范围为[5,7]． 类型二 证明不等式例2 证明e x ≥x ＋1≥sin x ＋1(x ≥0)． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式证明 令f (x )＝e x－x －1(x ≥0)，则f ′(x )＝e x－1≥0， ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴对任意x ∈[0，＋∞)，有f (x )≥f (0)，而f (0)＝0， ∴f (x )≥0，即e x ≥x ＋1，令g (x )＝x －sin x (x ≥0)，g ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴g (x )≥g (0)，即x －sin x ≥0， ∴x ＋1≥sin x ＋1(x ≥0)， 综上，e x≥x ＋1≥sin x ＋1.反思与感悟 用导数证明不等式f (x )>g (x )的一般步骤 (1)构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[a ，b ]． (2)证明F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )≥0，且F (a )>0.(3)依(2)知函数F (x )＝f (x )－g (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，故f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )． 这是因为F (x )为单调递增函数， 所以F (x )≥F (a )>0，即f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )>0.跟踪训练2 已知x >0，证明不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立．考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式 证明 设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x >－1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立.1．已知命题p ：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0，q ：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．已知对任意实数x ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 由题意知，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数． 当x >0时，f (x )，g (x )都单调递增， 则当x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减， 即f ′(x )>0，g ′(x )<0.3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [－1,1)解析 f ′(x )≤0，即3x 2－12≤0，得－2≤x ≤2. ∴f (x )的减区间为[－2,2]， 由题意得(2m ，m ＋1)⊆[－2,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，2m <m ＋1，得－1≤m <1.4．函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则a 的取值范围为________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [2，＋∞)解析 y ′＝a －1x，由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，y ′≥0， 即a ≥1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立， 由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞得，1x <2，∴a ≥2.5．证明方程x －12sin x ＝0只有一个实根，并试求出这个实根．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式解 令f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x >0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，其图象若穿越x 轴，则只有一次穿越的机会， 显然x ＝0时，f (x )＝0.所以方程x －12sin x ＝0有唯一的实根x ＝0.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f (x )是否满足题意.一、选择题1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A解析 y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0， 解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故选A. 2．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln x x2<0，解得x >e ， ∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )．3．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C ．(1,2] D ．[1,2) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k －1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.4．若a >0，且f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－a ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤(3x 2)min ＝3， 又a >0，∴0<a ≤3. 5．若函数y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33， 当－33<x <33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33<0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减， 只需y ′<0，即a >0.6．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C解析 设h (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在[a ，b ]上是增函数，∴当a <x <b 时，h (x )>h (a )， ∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )． 二、填空题7．若y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 因为y ′＝cos x ＋a ≥0， 所以a ≥－cos x 对x ∈R 恒成立． 所以a ≥1.8．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.9．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (0，＋∞)解析 ∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.10．若函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (－∞，－1] 解析 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即bx ＋2≤x 在(－1，＋∞)上恒成立，∵x >－1，∴x ＋2>1>0， ∴b ≤x (x ＋2)，设y ＝x (x ＋2)，则y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x >－1，∴y >－1，∴要使b ≤x (x ＋2)成立，则有b ≤－1.11．若f (x )＝2x －ax 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [－1,1]解析 f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2， ∵f (x )在[－1,1]上是增函数， ∴f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2≥0. ∵(x 2＋2)2>0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立． 令g (x )＝x 2－ax －2， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤0，1－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]． 三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)． (1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 (1)当a ＝－14时，f (x )＝－14x 2＋ln(x ＋1)(x >－1)， f ′(x )＝－12x ＋1x ＋1＝－(x ＋2)(x －1)2(x ＋1)(x >－1)． 当f ′(x )>0时，解得－1<x <1；当f ′(x )<0时，解得x >1.故函数f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，所以f ′(x )＝2ax ＋1x ＋1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a ≤－12x (x ＋1)对任意x ∈[1，＋∞)恒成立． 令g (x )＝－12x (x ＋1)， 易求得在区间[1，＋∞)上g ′(x )>0，故g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12x (x ＋1)min ＝g (1)＝－14， 故a ≤－14. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 13．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－x 2＋x ＋1>0，解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)． 则F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.四、探究与拓展14．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是__________．考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，g (x )>g (1)＝0⇔f (x )x >0⇔f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，g (x )<g (－1)＝0⇔f (x )x<0⇔f (x )>0. 综上，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．15．设函数f (x )＝x e kx (k ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx ＝0，得x ＝－1k(k ≠0)． 若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 若k <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上，k >0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ， k <0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞. (2)由(1)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1， 即0<k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．。
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• (3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为 边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和 梯形面积S的近似值，即
n
n
n
S＝ ΔSi≈ |f(ξi)|Δx＝
i＝1
i＝1
i＝1
i－n 11－i－n 1·1n
＝n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)]－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2] ＝n12·nn2－1－n13·16n(n－1)(2n－1)＝161－n12．
命题方向2 ⇨求变速运动的路程
• 典例 2 已知某运动物体做变速直线运动，它 时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间 的[解路析程] s(．1)分割
将时间区间[0，t0]分成 n 等份：i－n 1t0，ni t0(i＝1,2，…，n)，
示的时间为 Δt＝tn0； 各区间物体运动的距离记作 Δsi(i＝1,2，…，n)．
3．当 f(ξi)为负值时，取|f(ξi)|为一边构造小矩形．
〔跟踪练习 1〕 求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 及曲线 f(x)＝12x2 所围成的图形的 [解析] (1)分割 将区间[0,1]等分成 n 个小区间：[0，1n]，[1n，2n]，…，[i－n 1， 1]， 每个小区间的长度为 Δx＝1n． 过各分点作 x 轴的垂线，将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形， 记作 ΔS1，ΔS2，…，ΔSn．
那么，怎样计算这种由曲线围成的图形的面积呢？
• 1．连续函数
• 如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连 线，那么就连把续它称为区间I上的________函数．
• 2．曲边梯形的面积 • (1)曲边梯形：由直线x＝a、x＝b(a≠b)、y＝y＝0f(和
________所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．5 定积分的概念
第1课时 曲边梯形的面积与汽车行驶的
1
自主预习
2
互动探究
3
课时作业
自主预习学案
大自然是懂数学的．你看，在我们生活的大自然中，各 种植物的叶子千差万别，但它们具有相同的特点：叶子的边 缘都是曲线形状，好似两条曲线相交而成．同样，花卉的花 瓣也是曲线形状的．
＝1n3n＋n12[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n[0＋2＋4＋6＋…＋2 ＝3＋n－16n22n－1＋n－n 1． s＝lni→m∞sn ＝lni→m∞ 3＋n－16n22n－1＋n－n 1＝133． ∴这段时间行驶的路程为133km．
利用定积分定义求变力做的功
• 典例 3 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正 ＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡拉置 的功．
• ③④求取和极限：：把当以小曲近边似梯代形替的个得数到趋的向无每穷个时小，各曲小边曲梯边梯形形 趋向值一_个_____定___值_______，；即为曲边梯形的面积．
• 3．求变速直线运动的路程
• 如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t) 以分割采用近__似_代__替___、求_和_____取__极、限________、____ ，求出它在a≤t≤b内所作的位移s．
3．当 n 很大时，函数 f(x)＝x2 在区间[i－n 1，ni ]上的值可以用
代替( C )
A．f(1n)
B．f(2n)
C．f(ni )
D．f(0)
[解析] 当 n 很大时，f(x)＝x2 在区间[i－n 1，ni ]上的值可用该
的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替
• 4．已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)， 间[0，t]内物体下落的距离．
(4)取极限：当分割无限变细，即 Δx 无限趋近于 0 时，n 无限 时161－n12无限趋近于 S．从而有：
S＝linm→∞ 161－n12＝16．
所以由直线 x＝0、x＝1、y＝0 和 y＝x(x－1)围成的图形面积
『规律总结』 1．求曲边梯形面积的基本步骤是：分割、近 取极限．
2．在“近似代替”中，在每一个小区间i－n 1，ni 上通常取一 计算，这样做是为了计算简便．
1．(2018·大连高二检测)设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 －1<xi<…<xn＝b，把区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间
n
一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 Sn＝f(ξi)Δx(其中 Δx 为小区间的
i＝1
的大小( C ) A．与 f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法无 B．与 f(x)，区间[a，b]和分点的个数 n 有关，与 ξi 的取法无 C．与 f(x)，区间[a，b]和分点的个数 n，ξi 的取法都有关 D．与 f(x)，区间[a，b]和 ξi 取法有关，与分点的个数 n 无关
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积： 在小区间i－n 1，ni 上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方 间的左端点，以|f(ξi)|＝i－n 11－i－n 1为其一边，以小区间长度
矩形面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为 ΔS 1－i－n 1·1n(i＝1,2，…，n)．
• [思[解路析]分将析物]体用利力用F定沿着积力分的的方向定移义动求距离解x．，则所做的功
F 是克服弹簧拉力的变力，则移动距离 x 的函数 F(x)＝kx．
将[0，b]n 等分，记 Δx＝bn，分点依次为：x0＝0，x1＝bn，x2＝2nb，… xn＝b．当 n 很大时，在区间[xi，xi＋1]上所用的力约为 kxi，所做 ＝kxibn，
『规律总结』 分割实现了把求不规则的图形的面积化归
积，但这是近似值，分割得越细，近似程度就会越好，这是“
的应用．
搞错区间端点致误
• 典例 4 求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t 所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分 间A．，[i则－n 1第，ini－] 1个区间为( )B．[ni，i＋n 1]
(2)近似代替 在小区间i－n 1t0，ni t0上任取一时刻 ξi(i＝1,2，…，n)(为方便 区间的左端点或右端点)，用时刻 ξi 的速度 v(ξi)近似代替第 i 个小 匀速直线运动的路程公式，每个小区间物体运动所经过的距离可 Δsi≈v(ξi)Δt(i＝1,2，…，n)．
(3)求和 因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速 近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物体运动的距离 s 就可以用这 个小区间上做 n 个匀速直线运动的路程和近似代替，
1．下列函数中，在其定义域内不是连续函数的是( D )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝sinx
C．f(x)＝lgx－1
D．f(x)＝x－2，x＋x≥1，0 x<0
[解析] 作出各个函数的图象，可知应选 D．
2．函数 f(x)＝x2 在区间[i－n 1，ni ]上( D ) A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当 n 很大时，f(x)的值变化很小 [解析] 当 n 很大时，区间[i－n 1，ni ]的长度1n越来越小，f(x)的 选 D．
2．求由抛物线 f(x)＝x2，直线 x＝0，x＝1 以及 x 轴所围 成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]等分成 5 等份，如图 所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和 为_0_．__3_3___．
3．求由抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的曲边梯形的面积．
n－1
n－1
n
所以从 0 到 b 所做的总功 W 近似地等于 ΔWi＝ kxi·Δx＝
i＝0
i＝0
i
＋2＋…＋(n－1)]＝knb22·nn－ 2 1＝k2b2(1－1n)， 所以弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功为：
n－1
W＝lni→m∞ ΔWi＝lni→m∞ i＝0
k2b2(1－1n)＝12kb2．
• (2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
•小①曲边分梯割形：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把 拆分为一些___________(如图②)；
• ②近似代替：对每个小曲边梯以形直代“曲________”，矩 ________的面积近似代替小曲边梯形的近面似积值， 曲边梯形面积的________(如图②)；
[解析] (1)分割： 用分点1n，2n，…，n－n 1把区间[0,1]等分成 n 个小区间： 0，1n，1n，2n，…，i－n 1，ni ，…，n－n 1，nn，简写作i－n 1 n)． 每个小区间的长度为 Δx＝ni －i－n 1＝1n． 过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形， 记作：ΔS1、ΔS2、…、ΔSi、…、ΔSn．
[解析] (1)分割：将时间区间[0，t]分成 n 等份． 把时间[0，t]分成 n 个小区间i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)， 每个小区间所表示的时间段 Δt＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间物 作 Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变 在i－n 1t，int上任取一时刻 ξi(i＝1,2，…，n)，可取 ξi＝i－n 1t 代替第 i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体 Δt＝ 可近似表示为 Δsi≈gi－n 1t·nt (i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝i＝n1Δsi＝i＝n1gi－n 1·t·nt
＝gnt22[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝12gt21－1n． (4)取极限：s＝lni→m∞ 12gt21－1n＝12gt2．
互动探究学案
命题方向1 ⇨求曲边梯形的面积
典例 1 求由直线 x＝0、x＝1、y＝0 和曲线 f(x)＝x(x－1)围 附参考公式：12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1． [思路分析] 只要按照分割、近似代替、求和、取极限四步完