微分方程稳定性理论

若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
2
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为
x(t) = ceat + x0
(5)
其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时
(3)式成立.
3
二阶方程的平衡点和稳定性
二阶方程可用两个一阶方程表为

x1 (t ) x2 (t)

f ( x1, g( x1,
x2 ) x2 )
,
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组

f g
( (
x1, x1,
x2 x2
) )

0 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点， 记作P0(x10, x20).
)
8
均 衡 时 2均P为点0不(按负;0,而为照数0)当零稳或是.定均不1,性稳有的2定负有定平实一义衡部个(点时8为).式P正0在(可0数条,知或0件，)有是(当1正稳1)下实定1, 部平12,
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则：
若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定.
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军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
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李敖:與大陸軍備競賽會拖垮台灣 2005-6-23 【大公網訊】
無黨籍「立委」李敖23日表示，台灣 與大陸軍備競賽是三輪車追汽車，越追越 遠，還未與大陸開戰，台灣的經濟就會被 拖垮，如同前蘇聯與美國軍備競賽，因經 濟崩潰而解體，因此不應購買愛國者三型 飛彈等三項軍購。
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80年代军备竞赛转向太空和其他高技术领域， 美国制定的星球大战计划即是例证。军事预算的迅 速增长、武器质量性能优势的争夺以及军事战略的 不断变化，是美、苏军备竞赛的主要特点。
1,
2

1 2
( p

p2 4q ).
(14)
7
方程(9)的一般解具有形式 c1e1t c2e2t (1 2 )
或 c1e1t c2te1t (1 2 ),
c1, c2为任意常数.
(注意：课本p199是否误为 c1e1t c2te1t (1 2 )
4
如 果 存 在 某 个 邻 域 ， 使 方 程 (6) 的 解
x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0)) 出发，满足
lim
t
lim
t
x1 (t ) x2 (t)

x10 x20
,
(8)
则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则，
称P0是不稳定的(不渐进稳定).
detA 0 .
(11)
6
P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程
det(A I) = 0
(12)
的根(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰
的形式
2 p q 0

p (a1 b2 )
.
(13)

q det A
将特征根记作1, 2，则
如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t) 从这个邻域内的某个x(0)出发，满足limtFra bibliotekx(t)

x0 ,
(3)
则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进 稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定).
判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解
x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下
面介绍直接法.
1
将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项， 方程(1)近似为
x(t) f (x0 )( x x0 ),
(4)
(4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的 平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论：
若f '(x0) < 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 稳定的;
对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡 点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性 方程来讨论.
9
6.2 军备竞赛
两个国家或国家集团之间由于相互不 信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加 自己的军事力量，防御对方可能发动的战 争. 本节介绍L. F. Richardson1939年提出的 一个模型.
90年代世界经济不断国际化、各国间相互依存 关系的加强，以及由于美、苏政治战略的调整，带 来了国际局势的缓和，使军备竞赛的势头趋缓。在 实现实质性裁军的同时，美、苏的竞争更多地转向 了以经济为中心的综合国力方面。但美国依旧发展 了如隐形飞机等的新式武器装备。
5
先看线性常系数方程

x1 (t ) x2 (t)

a1 x1 b1 x1

a2 x2 b2 x2
,
(9)
(非齐次方程组，可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作
A


a1 b1
a2 b2

,
(10)
为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定 性，假定A的行列式
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军备竞赛 (arms race)
军事大国为了实行对外扩张，争夺世界霸权，竞 相增加、提高军事装备的数量和质量，并向高技术领 域发展的特有过程。第一次世界大战以前，主要在英 国和德国之间进行海军竞赛。第二次世界大战以后主 要在美国、苏联两国之间进行，可分为下列几个阶段： ①常规武器竞赛。战后美、苏在冷战中大规模加强常 规军备。双方不断更新各种武器装备和发展现代技术， 以服务于军事、政治目的。②核武器竞赛。20世纪70 年代，美、苏核武器竞争激烈，结果双方拥有世界核 弹头库存总数的97％，同时双方在核武器运载工具、 多弹头分导等高技术领域的研制投入大量人力和物力。 ③太空武器竞赛。