平面向量与三角恒等变换
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形课件(
考点一
考点一 考点二 考点三
试题 通解 优解
[自主突破·提速练]
1．若 tan α＝－ 22，且 α 是第四象限角，则 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋ 22cos2(α＋π)＝( D )
A．－
2 3
C．－13
B.
2 3
1 D.3
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
α＝13＋－
3× 3
36＋
32＝13，故选
D.
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
因为 α 是第四象限角，tan α＝－ 22，故 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
α＝
sin2
α＋sin αcos α＋ 22cos2 sin2 α＋cos2 α
第二讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
试题 解析
考点一 考点二 考点三
1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝( A )
A.6245
B.4285
C．1
D.1265
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
利用同角三角函数的基本关系式求解． 因为 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝coss2inα2＋α4＋sicnoαs2coαs α＝ 1ta＋n24tαa＋n 1α＝1＋3424＋×134＝6245.故选 A.
试题 解析
(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
高一下学期 向量 三角恒等变换
知识点一：平面向量的数量积：∙＝cos a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
几个重要性质:（1）||||||||||||a b a b a b -<±<+（2）若(),a x y =2=∙=；222a x y =+或2a x y =+（3）设平面向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则：数量积：1212a b x x y y ∙=+ ∙＝cos a b θ。
两向量的夹角222221212121cos y x y x y y x x ba ba +⋅++=⋅⋅= θ()0θπ≤≤例1.若),12,5(),4,3(==b a 则a 与b 的夹角的余弦值例 2.设=(1,-2), =(-3,4), =(3,2), 求(1)()⋅+,(2)判断()⋅⋅与()⋅⋅是否相等例3．a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 求+,(2) 2+练习1.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．42．边长为2的等边ABC ∆中,BC AB ⋅的值为（ ）A.2B.-2C. 32D. -323.（2010广东文科）若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a —b )·c =30，则x=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．34.（2011广东文科）已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 5．(13广东文)设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46.若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______； 7．已知|a |＝3，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为150°，求|a ＋2b |； (2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角大小．8.已知|a |＝1,|b |＝2,(1)若a //b ,求a b ∙; (2)若a ,b 的夹角为135°,求|a ＋b |．9.（07广东文）已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若AB ·AC =0，求c 的值； (2)若5c =，求sin ∠A 的值知识点二：三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； (5)()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
第1讲 平面向量和三角恒等变形
第1讲 平面向量和三角恒等变形知识要点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）=±)sin(βα （2）=±)cos(βα（3）=±)tan(βα 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（火箭班补万能公式） （1）=α2sin（2）=α2cos（3）=α2tan3、化异公式（辅助角公式）： =+x b x a cos sin运用此公式的注意事项：4、三角恒等的证明方法（1）从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简。
（2）等式两边同时变形为同一个式子。
（3）将式子变形后再证明。
5、向量的坐标运算： 若),(11y x a =，),(22y x b = （1）=+ （2）=-b a （3）a λ= （4）=⋅b a6、两非零向量平行、垂直的充要条件 若),(11y x a =，),(22y x b =则∥⇔ ⇔ ⇔⊥ ⇔ 7、求向量的夹角的问题 设θ为a 与b 的夹角，则（1）=θcos ；（2）若),(11y x =，),(22y x =，则=θcos （3）夹角大小的判定方法若a b a ⇔⋅0 与b 的夹角θ为 ；若a b a ⇔=⋅0与b 的夹角θ为 ；（,≠≠） 若a b a ⇔⋅0 与b 的夹角θ为 ；基础题演练1、若54cos -=α，α是第三象限的角，则)4sin(πα+=（ ）A.1027-B.1027C.102-D.102 2、已知是第二象限的角，34)2tan(-=+απ，则=αtan 3、设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（ ）= B.22=⋅b a C.b a -与b 垂直 D. a ∥b 4、b a ,为平面向量，已知)18,3(2),3,4(=+=，则b a ,夹角的余弦值等于（ ） A.658 B. 658- C.6516D. 6516-5、已知向量)2,1(),,1(),1,2(-=-=-=c m b a ，若c b a //)(+，则m =考点、热点、难点突破题型一 三角化简求值【例1】（1）已知παπβ 20，且32)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα，求)cos(βα+的值；（2）已知),0(,πβα∈，且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值变式训练1（2010年北京）已知函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=. （1）求)3(πf 的值（2）求)(x f 的最大值和最小值题型二 向量的有关概念及其运算【例2】(1)（2010年湖北）已知△ABC 和点M 满足0=++MC MB MA ，若存在实数m 使得m =+成立，则m=（ ）A.5B.4C.3D.2（2）（2010年山东）定义平面向量之间的一种“☉”如下：对于任意的),(),,(q p b n m a ==，令☉np mq -=错误的是（ ）A.若a 与b 共线，则a ☉b =0B. a ☉b =b ☉aC.对任意的R ∈λ，有（a λ）☉b =λ（a ☉b ）D.（☉2)+2)(⋅变式训练2（1）平面向量b a ,的共线的充要条件是（ ）A 、b a ,方向相同B 、b a ,两向量中至少有一个为零向量C 、存在a b R λλ=∈,D 、存在不全为零的实数0,,2121=+b a λλλλ （2）（2009年山东理科）设P 是ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+则（ ） A.0=+PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PB PC D. 0=++PC PB PA题型三 平面向量和三角函数【例3】（2009年江苏）设向量)sin 4,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(ββββαα-===c b a（1）若a 与c b 2-垂直，求)tan(βα+的值； (2)+的最大值；（3）若16tan tan =βα，求证：//变式训练3在四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB （1）若=，试求x 与y 满足的关系式；（2）若x ，y 满足（1）同时又有BD AC ⊥，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积。
专题三 三角函数与平面向量的综合应用
专题三 三角函数与平面向量的综合应用1． 三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t ＝ωx ＋φ，y ＝A sin t ，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．1． 已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.所以cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－34.2． 已知f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)的一条对称轴为y 轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.答案 π6解析 f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3，由θ＋π3＝k π＋π2 (k ∈Z )及θ∈(0，π)，可得θ＝π6.3. 如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2)图象 的一部分，则f (x )的解析式为____________． 答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1解析 由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，B ＝1. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得φ＝π6. 由图象知ω(－π)＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )，得ω＝－2k ＋23(k ∈Z )．又2πω>2π，∴0<ω<1.∴ω＝23.∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1.4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝________. 答案1010解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt △ADE 中，∠AED ＝45°， 在Rt △BCE 中，BE ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝5，则sin ∠CEB ＝15，cos ∠CEB ＝25.而∠CED ＝45°－∠CEB ， ∴sin ∠CED ＝sin(45°－∠CEB ) ＝22(cos ∠CEB －sin ∠CEB ) ＝22×⎝⎛⎭⎫25－15＝1010.方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED ＝2，EC ＝12＋22＝ 5.在△EDC 中，由余弦定理得cos ∠CED ＝CE 2＋DE 2－DC 22CE ·DE ＝31010，又0<∠CED <π， ∴sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·P A →取得最小值时，tan ∠DP A 的 值为________． 答案1235解析 如图，以A 为原点，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)， B (3，0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BP A ＝β， P (3，y ) (0≤y ≤2)．∴PD →＝(－3,1－y )，P A →＝(－3，－y )， ∴PD →·P A →＝y 2－y ＋9＝⎝⎛⎭⎫y －122＋354， ∴当y ＝12时，PD →·P A →取得最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫3，12， 易知|DP →|＝|AP →|，α＝β. 在△ABP 中，tan β＝312＝6，tan ∠DP A ＝－tan(α＋β)＝2tan βtan 2β－1＝1235.题型一 三角恒等变换例1 设π3<α<3π4，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值． 思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系． 解 方法一 由π3<α<3π4，得π12<α－π4<π2，又sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45. 所以cos α＝cos[(α－π4)＋π4]＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4＝210， 所以sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.方法二 由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325， 两边平方，得1－2sin αcos α＝1825，即2sin αcos α＝725>0.由于π3<α<3π4，故π3<α<π2.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225，故sin α＋cos α＝425，解得sin α＝7210，cos α＝210.下同方法一．探究提高 三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235B.235 C ．－45D.45答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 题型二 三角函数的图象与性质例2 (2011·浙江)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点， 点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．解 (1)由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A＝ 3.探究提高 本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A 是本题的难点．已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由． 解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，φ＝2k π＋π6 (k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，解得x ＝k ＋13，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163. 题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用 例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC 中，求出∠A 的范围，再求f (A )的取值范围． 解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 探究提高 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0.(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0， 所以a b ＝cos B cos A ≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形． (2)由m ⊥n ，得m·n ＝0.所以2a 2－3b 2＝0.① 由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14， 所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.② 联立①②，解得a ＝6，b ＝2.所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.高考中的平面向量、三角函数客观题典例1：(5分)(2012·山东)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3考点分析 本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想． 解题策略 根据整体思想，找出角π6x －π3的范围，再根据图象求函数的最值．解析 由题意－π3≤πx 6－π3≤7π6.画出y ＝2sin x 的图象如图，知， 当π6x －π3＝－π3时，y min ＝－ 3. 当π6x －π3＝π2时，y max ＝2. 故y max ＋y min ＝2－ 3. 答案 A解后反思 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)可看作由函数y ＝A sin t 和t ＝ωx ＋φ构成的复合函数．(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．典例2：(5分)(2012·天津)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( )A.13B.23C.43D ．2考点分析 本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力．解题策略 根据平面向量基本定理，将题中的向量BQ →，CP →分别用向量AB →，AC →表示出来，再进行数量积计算．解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.答案 B解后反思 (1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想．方法与技巧1．研究三角函数的图象、性质一定要化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后利用数形结合思想求解．2．三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解． 失误与防范1．三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围．2．向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·大纲全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →等于( )A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 答案 D解析 利用向量的三角形法则求解．如图，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5.又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b .2． 已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案 B解析 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 3． 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为 ( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析 由m ⊥n 得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， ∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ， 所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4． 已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB→的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，512π C.⎣⎡⎦⎤512π，π2D.⎣⎡⎦⎤π12，512π答案 D解析 由题意，得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以 点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使向量OA →与圆相 切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案 π2解析 利用正弦定理及三角形内角和性质求解． 在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝b sin B， 即sin B ＝b sin Aa＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.6． 在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______．答案 π2或π3解析 因为AB →＝(2cos x ＋1，－2cos 2x －2)，OC →＝(cos x,1)， 所以AB →·OC →＝(2cos x ＋1)cos x ＋(－2cos 2x －2)·1 ＝－2cos 2x ＋cos x ＝0，可得cos x ＝0或cos x ＝12，所以x 的值为π2或π3.7． 已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x＝________. 答案 －195解析 由题意知，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )， 得cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3， 所以1＋sin 2xcos 2x －sin 2x ＝1＋sin 2xcos 2x －2sin x cos x＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.三、解答题(共22分)8． (10分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.9． (12分)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A . 故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， 由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·江西)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 将函数整理，利用奇函数性质求解． 由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2，令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋12， 则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 2． 已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值等于( )A ．1 B.32C.12D.22答案 B解析 方法一 a ＋t b ＝⎝⎛⎭⎫－12＋t ，32＋3t ，∴|a ＋t b |2＝⎝⎛⎭⎫－12＋t 2＋⎝⎛⎭⎫32＋3t 2 ＝4t 2＋2t ＋1＝4⎝⎛⎭⎫t ＋142＋34，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32. 方法二 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值． 由TA →·OB →＝(a ＋t b )·b ＝a·b ＋t b 2＝0，得t ＝－14，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.3． 在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎡⎦⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π4，π3B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，π2答案 B解析 记AB →与BC →的夹角为θ，AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝3，|AB →|·|BC →|＝3cos θ，S △ABC ＝12|AB→|·|BC →|·sin(π－θ)＝12|AB →|·|BC →|sin θ＝32tan θ，由题意得tan θ∈⎣⎡⎦⎤33，1，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，正确答案为B.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． 5．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13， cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________. 答案593 解析 ∵0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝232， ∵－π2<β<0，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63， 则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos[⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2] ＝13×33＋232×63＝593.6． (2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向 滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________． 答案 (2－sin 2,1－cos 2)解析 利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧P A 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2 ＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos 2， ∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)． 三、解答题7． (13分)已知f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫sin 2x 2－sin 4x2(a >0且a ≠1)，试讨论函数的奇偶性、单调性． 解 f (x )＝log a ⎣⎡⎦⎤sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－sin 2x 2 ＝log a 1－cos 2x8.故定义域为cos 2x ≠1，即{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称且满足f (－x )＝f (x )，所以此函数是偶函数． 令t ＝18(1－cos 2x )，则t 的递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )； 递减区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )． 所以，当a >1时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )；递减区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )． 当0<a <1时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )；递减区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．。
第一讲 任意角的三角函数 第二讲三角恒等变换 第三讲三角函数的图像和性质 第四讲 平面向量1
第一讲 任意角的三角函数一．知识梳理⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合. (1).象限角：终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为________________________________; 第三象限角的集合为_________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ （2）.轴线角：终边落在坐标轴上，则成α为轴线角. 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为_______________________终边在坐标轴上的角的集合为________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为________________________4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()r r =>，则s i n ____α=，cos ___________α=，()tan ___________0x α=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：_____________________； 变形：（2）商数关系：_______________； 变形 ：13﹑诱导公式()()1sin 2_________k πα+=，()cos 2________k πα+=，()()tan 2__________k k πα+=∈Z ．()()2sin _________πα+=，()cos _________πα+=，()tan ________πα+=．()()3sin _________α-=，()cos ________α-=，()tan _________α-=．()()4sin __________πα-=，()cos __________πα-=，()tan _______πα-=．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin _________2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos _____--2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin ______2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos _______2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限一．精典习题练 习 一（一）．选择题（共26小题）3．已知角α、β的终边相同，那么α﹣β的终边在（ ）6．若α是第一象限角，则﹣是（）B D10．已知扇形的周长是3cm，面积是cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）D12．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）13．设地球半径为R，在北纬60°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是（）B D14．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）B﹣﹣16．若角θ的终边过点P（﹣4a，3a）（a≠0），则sinθ+cosθ等于（）17．已知点P（sin，cos）落在角θ的终边上，则tanθ=（）BB D﹣19．角α的终边在直线上，则cosa的值是（）B D20．角α的终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x，则sinα等于（）x BxD﹣21．点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）D．22．若，且0＜α＜π，则tanα的值是（）B D23．若，下列选项正确的是（）24．已知a=sin（﹣1），b=cos（﹣1），c=tan（﹣1），则a、b、c的大小关系是（）25．的大小关系是（）B D二．填空题（共3小题）27．根据角α终边所在的位置，写角α的集合，在y轴上，_________，k∈Z第二象限角平分线，_________，k∈Z第一、第三象限角平分线，_________28．经过一个小时，时针转过的弧度数为_________rad．（不考虑方向）29．若扇形OAB的面积是2cm2，它的周长是4cm，则该扇形圆心角的弧度数是_________．三．解答题（共1小题）30．（1）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，），且cosα=x，求sinα与tanα的值；（2）已知角θ的终边上有一点P（x，﹣1）（x≠0），且tanθ=﹣x，求sinθ，cosθ．练习二一．选择题（共28小题）1．本式的值是（）D2．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）B D3．已知sin（）=，则=（）B D﹣4．已知，则的值为（）B DB D 6．（2008•四川）已知，则=（）7．已知=﹣5，那么tanα的值为（）D﹣第二讲三角函数的图像和性质一．知识梳理2（1）、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移______个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的______伸长（缩短）到原来的______倍（纵坐标不变），得到函数()s i n y x ωϕ=+的图象；再将函数()s i n y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的___倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．（2）.函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的____倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移_____个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长或缩短）到原来的___倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：______；②周期：_______； ③频率：__________；④相位：_______；⑤初相：_______．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，若当1x x =时，取得最小值为m in y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m ax m in 12y y A =-，()m ax m in 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．一． 精典习题1．（2011•山东）若函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（ ）B．．．3．的图象是（ ）关于点关于直线4．函数y=|sinx|的一个单调增区间是（ ）BD5．下列函数的图象与右图中曲线一致的是（ ）y=|sinx|+y=|sin2x|+（﹣xD.8．函数y=|sinx|﹣2sinx 的值域是（ ）2B，[，，[11．函数在下列区间上为增函数的是（ ）[，[，﹣﹣，12．已知函数f （x ）=sin （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）x=对称关于点（﹣对称关于点（第三讲 三角恒等变换一．知识梳理1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos __________________αβ-=；⑵()cos _________________αβ+=； ⑶()sin __________________αβ-=；⑷()sin _________________αβ+=； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（tan tan ____________________αβ-=）；⑹()tan _____________αβ+=（tan tan __________________αβ+=）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 2_______________α=．⑵cos 2___________________________________________α=== （2cos ___________α=，2sin ____________α=）． ⑶tan 2_________________α=．3、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．二．精典习题练习一1．（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）B D2．（2006•重庆）若，，，则cos（α+β）的值等于（）B D3．已知sin（α﹣β）cos α﹣cos（α﹣β）sin α=，那么cos 2β的值为（）B﹣﹣4．已知，且，则cosα=（）B﹣5．已知，则的值是（）B D6．（2012•湛江）若函数y=f（x）=sinx+cosx+2，x∈[0，2π），且关于x的方程f（x）=m 有两个不等实数根α，β，则sin（α+β）=（）B D7．（2011•番禺区）若在x∈[0，]内有两个不同的实数值满足等式cos2x+sin2x=k+1，则k的取值范围是（）8．已知锐角α、β满足，则α+β等于（）B211．（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED 则sin∠CED=（）B D12．在△ABC中，∠C=120°，，则tanAtanB的值为（）B D13．已知，，那么的值是（）B DB D﹣15．已知A+B=，则（1+tanA）（1+tanB）=（）B DD17．（2012•江西）若tanθ+=4，则sin2θ=（）B D 18．（2011•福建）若tanα=3，则的值等于（）19．已知，用单位圆求证下面的不等式：（1）sinx＜x＜tanx；（2）．20．设，化简．练习二1．（2011•辽宁）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）D ﹣2B D3．（2009•陕西）若3sinα+cos α=0，则的值为（）B D4．（2008•海南）=（）B5．（2005•江苏）已知，则cos（π+2α）的值为（）B D6．已知θ为第Ⅲ象限角，则等于（）cos1．，用反余弦表示x的式子是（）sinx3．w是正实数，函数f（x）=2sinwx在上是增函数，那么（）B D4．函数y=定义域是（）（其中k∈Z）．5．函数的单调减区间为（）（k∈Z）（k∈Z）（k∈Z）（k∈Z）6．函数的单调递减区间是（）（k∈Z）（k∈Z）（k∈Z）（k∈Z）7．函数的单调增区间为（），k∈Z ，k∈Z，k∈Z ，k∈Z8．M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（）D9．（2000•北京）函数的最大值是（）B D10．对于函数f（x）=，给出下列四个命题：①该函数的值域为[﹣1，1]；②当且仅当x=2kπ+（k∈z）时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈z）时，f（x）＜0．上述命题中错误命题的个数为（）T）为（）12．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期并写出其图象的对称中心的坐标；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．13．已知函数为常数）．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）若时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．14．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．15．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的递增区间；（3）当时，求f（x）的值域．16．已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最小值g（λ）（用参数λ的代数式表示）；（2）若函数f（x）的最小值等于﹣8求λ的值．17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值，以及对应的x的值．18．已知函数f（x）=（Ⅰ）若tan2x=，求f（x）的值；（Ⅱ）若x，求f（x）的最值．19．已知函数f（x）=sin2xsinφ﹣2cos2xcos（π﹣φ）﹣sin （+φ）（0＜φ＜π）在x=时取得最大值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上个点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，若g（a）=，求sina的值．20．已知函数．（1）若x∈R，求f（x）的单调递增区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．21．已知函数（1）当x∈R时，求f（x）的单调递增区间；（2）当时，且f（x）的最小值为2，求m的值．练习四1．已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=_________．2．的值为_________．3．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．4．若，，且，，求（1）sin2β的值．（2）cosα的值．5．（2011•天津）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．6．已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？7．已知函数f （x ）=sin2x •sin φ+2cos 2x •cos φ﹣cos φ，其中φ∈（﹣，），且f （）=．（1）求f （x ）的解析式，并利用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象； （2）当x ∈（0，）时，求f （x ）的值域．8．已知函数（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （2）求出f （x ）的周期、单调增区间；（3）说明此函数图象可由y=sinx 的图象经怎样的变换得到．练 习 五1. =︒330sin ____________________________2.已知aa x --=432cos ，且x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是________3.已知α是第二象限的角，21tan -=α，则=αcos ___________4.若2tan =α，则ααααcos 2sin cos 2sin +-的值为__________________5.已知2tan =θ，则=-+θθθθ22cos 2cos sin sin ________6.已知23)2cos(=+ϕπ，且2||πϕ<，则=ϕtan __________7.下列关系式中正确的是( )A.︒<︒<︒168sin 10cos 11sinB.︒<︒<︒10cos 11sin 168sinC.︒<︒<︒10cos 168sin 11sinD.︒<︒<︒11sin 10cos 168sin8．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα．（2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．9.满足函数x y sin =和x y cos =都是增函数的区间是（）A ．]22,2[πππ+k k , Z k ∈B ．]2,22[ππππ++k k , Z k ∈ C ．]22,2[ππππ--k k , Z k ∈D ．]2,22[πππk k -Z k ∈10.要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象（ ）（A ）向左平移4π个单位 （B ）向右平移4π个单位 （C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8π个单位11.函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．612．已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为（ ） A ．x y 23sin2= B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21=第四讲 平面向量一． 知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．（3）运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+= ．．3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ．①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向______；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向______；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．．6、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使____________a =．（不共线的向量1e 、baCBAa b C C -=A -AB =B2e作为这一平面内所有向量的一组基底）7、平面向量的数量积：⑴()cos 0180a b a b θθ⋅=≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a和b 都是非零向量，则①_________a b ⊥⇔．②当a 与b 同向时，______a b ⋅=；当a 与b 反向时，_______a b ⋅= ；22a a a a ⋅== 或a =③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①_____a b ⋅=；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()__________a b c +⋅=．8. 坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y = ，则___________a b ⋅=__________a =cos <a b>_________a ba b⋅== ，________________a b +=______________a b -=(),_________a x y λλ==．当且仅当__________ _时，向量()//0a b b ≠．______________a b ⊥⇔．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则( )A B =，．二．精典习题练习一1．化简（）B D2．△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P一定在（）3．在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足，则P是△ABC的（）4．（2007•北京）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）B D5．已知A、B、C三点在同一条直线l上，O为直线l外一点，若=，p，q，6．下列三个说法不正确的个数是①零向量是长度为0的向量，所以零向量与非零向量不平行．②因为平面内的向量与这个平面内的有向线段一一对应，所以平面内的向量可以用这个平面内的有向线段表示．③因为向量，所以AB∥CD．（）9．已知、是两单位向量，下列命题中正确的是（）B D若，是两个单位向量，则若向量和共线，则向量，11．若，且，则四边形ABCD是（）12．已知下列各式：①；②③④其中结果为零向量的个数为（）13．在△ABC中，，，且，则等于（）B D14．在△ABC中，点P是AB上一点，且=+，又=t，则t的值为（）B D15．如图，O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，，∠OAB=∠ABC=，则的坐标为_________．16．在△ABC 中，，，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，用a 、b 表示为 _________ ．17．与向量平行的单位向量是 _________ ．18．向量与向量的夹角为600，且，，则的值为_________ ．19．已知向量，，且，f （x ）=•﹣2λ||（λ为常数），求：（1）•及||；（2）若f （x ）的最小值是，求实数λ的值．练 习 二1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．)0,0(=a )2,1(-=bB ．)2,1(-=a)4,2(-=b C ．)5,3(=a )10,6(=b D ．)3,2(-=a)9,6(=b2.已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm 等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-；D ．2；3.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a + b =（1，3），则a 等于（ ）A ．2 B .3 C. 5 D. 104. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5.(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ）A． B ． 2C ．D ．106.已知)1,6(),2,3(-==b a ，而)()(b a b a λλ-⊥+，则λ等于（ ）A ．1或2B ．2或－12C ． 2D ．以上都不对C ．2-D ．37.,,3AB a AC b BD D C === ，则AD =( )A ．34a b +B ．1344a b +C ．1144a b +D ．3144a b +8.设向量1(cos ,)2a α=的模为2，则cos 2α的值为（ ）A. 14- B. 12- C. 1229. 已知(sin ,1)a α= ，(2,3)b =，若a 与b 平行，则cos 2α=练 习 三一．选择题（共30小题）1．（2012•重庆）设x ∈R ，向量=（x ，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（ ）B22．（2012•重庆）设x ，y ∈R ，向量=（x ，1），=（1，y ），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（ ）BDABCD3．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）B D4．（2012•辽宁）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（）∥B⊥||=|+=﹣5．（2012•江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）6．（2012•大连）设向量、满足：||=1，||=2，•（﹣）=0，则与的夹角是（）7．（2011•辽宁）已知向量=（2，1），=（﹣1，k），•（2﹣）=0，则k=（）8．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，则=（）B D9．（2010•四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（）10．（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得11．（2009•陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（）B D12．（2009•山东）设p是△ABC所在平面内的一点，，则（）B D13．（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）B14．（2009•湖南）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）++=0 B﹣+=0 +﹣=0 D﹣﹣=0 15．（2009•广东）已知平面向量=（x，1），=（﹣x，x2），则向量+（）16．（2009•福建）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于（）以，以，，为两边的三角形面积以，17．（2008•浙江）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）D18．（2008•辽宁）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（）B D19．（2008•辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，则顶点D的坐标为（）B20．（2007•山东）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）。
板块三《三角、平面向量与复数》：第6节 简单的三角恒等变换
1．配方转化策略 对能够化为形如 y＝asin x＋bsin x＋c 或 y＝acos x＋bcos x ＋c 的三角函数最值问题，可看作是 sin x 或 cos x 的二次函数最 值问题，常常利用配方转化策略来解决． 2．有界转化策略 对于所给的三角函数能够通过变形化为形如 y＝Asin(ωx＋φ) 等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值．这是 解决三角函数最值问题常用的策略之一．
【解】
(1)因为 a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x
＋cos x)，所以 f(x)＝1＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin 2x－cos 2x ＝
π 2sin2x－ 4 ＋1.
15 D．－ 5 5π 5π θ 3π 【解析】 从“角度”入手。∵ ＜θ＜3π，∴ ＜ ＜ . 2 4 2 2
θ ∴sin ＝－ 2 1－cos θ ＝－ 2 1 1＋ 5 15 ＝－ . 2 5
【答案】
D
1 α 2．已知 cos α＝ ，α∈(π，2π)，则 cos 等于( 3 2 6 A. 3 3 C. 3 6 B．－ 3 3 D．－ 3
2
π 3 sin 2x－6 ＋
π x－ (x∈R)． 12
(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值时 x 的集合．
【思路点拨】 先借助“降幂公式”及“辅助角公式”
化f(x)成“Asin(ωx＋φ)＋k”的形式，再研究其性质，进而解
答本题．
[考情展望] 1.利用公式进行三角函数恒等变形，进而研究三角函数的性 质问题. 2.与三角函数的图象、性质相结合综合考查学生分析问题和 解决问题的能力．
环节三：如何用？
新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第7讲三角恒等变换与解三角形
第7讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点,利用三角恒等变换作为工具,将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中,综合考查以解答题为主,中等难度． 考点一 三角恒等变换 核心提炼1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换,1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α,α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cos α＝5,则sin α等于( ) A.53 B.23C.13D.59答案 A解析 由3cos2α－8cos α＝5, 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5, 即3cos 2α－4cos α－4＝0,解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0,π),所以sin α>0, 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. (2)已知sin α＝55,sin(α－β)＝－1010,α,β均为锐角,则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 C解析 因为α,β均为锐角,所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010,所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55,所以cos α＝255, 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,tan α＝cos2β1－sin2β,则( )A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β ＝cos β＋sin βcos β－sin βcos β－sin β2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β, 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以α＝π4＋β,即α－β＝π4.(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.答案 －2 解析(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin －50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.考点二 正弦定理、余弦定理 核心提炼1．正弦定理：在△ABC 中,a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sinA ,b ＝2R sinB ,c ＝2R sinC ,sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R,a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .考向1 求解三角形中的角、边例2 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin C1－cos A＝3c .(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝10,△ABC 的面积S △ABC ＝43,求a 的值．解 (1)由正弦定理及a sin C1－cos A＝3c ,得sin A sin C1－cos A＝3sin C ,∵sin C ≠0,∴sin A ＝3(1－cos A ),∴sin A ＋3cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32,又0<A <π,∴π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝43,∴bc ＝16.由余弦定理,得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－2bc －bc ＝(b ＋c )2－3bc ,又b ＋c ＝10,∴a 2＝102－3×16＝52,∴a ＝213.考向2 求解三角形中的最值与范围问题例 3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a ＝3c sin A －a cos C ,②(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．已知△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,c ＝3,而且________． (1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解 (1)选①：因为a ＝3c sin A －a cos C , 所以sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C , 因为sin A ≠0,所以3sin C －cos C ＝1,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝12,因为0<C <π,所以－π6<C －π6<5π6,所以C －π6＝π6,即C ＝π3.选②：因为(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C , 所以(2a －b )a ＋(2b －a )b ＝2c 2, 即a 2＋b 2－c 2＝ab ,所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12,因为0<C <π,所以C ＝π3.(2)由(1)可知,C ＝π3,在△ABC 中,由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝3,即a 2＋b 2－ab ＝3,所以(a ＋b )2－3＝3ab ≤3a ＋b24,所以a ＋b ≤23,当且仅当a ＝b 时等号成立, 所以a ＋b ＋c ≤33,即△ABC 周长的最大值为3 3.规律方法 (1)利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边,必须知道两角及其中一边,且该边为其中一角的对边,要注意解的多样性与合理性． (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围．跟踪演练2 (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为S ,且a ＝1,4S＝b 2＋c 2－1,则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4πB．2πC．πD.π2答案 D解析 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,a ＝1, 所以b 2＋c 2－1＝2bc cos A , 又S ＝12bc sin A,4S ＝b 2＋c 2－1,所以4×12bc sin A ＝2bc cos A ,即sin A ＝cos A ,所以A ＝π4,由正弦定理得,1sinπ4＝2R ,得R ＝22,所以△ABC 外接圆的面积为π2. (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A ＝3B ,则a b的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,1] D ．(1,2] 答案 B 解析A ＝3B ⇒sin A sin B ＝sin3B sin B ＝sin 2B ＋Bsin B＝sin2B cos B ＋cos2B sin Bsin B＝2sin B cos 2B ＋cos2B sin B sin B ＝2cos 2B ＋cos2B ＝2cos2B ＋1,即a b ＝sin A sin B＝2cos2B ＋1,又A ＋B ∈(0,π),即4B ∈(0,π)⇒2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2⇒cos2B ∈(0,1),∴a b ∈(1,3)．(3)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若tan C ＝125,a ＝b ＝13,BC 边上的中点为D ,则sin∠BAC ＝________,AD ＝________.答案31313 352解析 因为tan C ＝125,所以sin C ＝1213,cos C ＝513,又a ＝b ＝13,所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝13＋13－2×13×13×513＝16,所以c ＝4.由asin∠BAC ＝c sin C ,得13sin∠BAC ＝41213,解得sin∠BAC ＝31313.因为BC 边上的中点为D ,所以CD ＝a2,所以在△ACD 中,AD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos C ＝454,所以AD ＝352.专题强化练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中,cos C ＝23,AC ＝4,BC ＝3,则cos B 等于( )A.19B.13C.12D.23 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9,所以AB ＝3,所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( )A.12B.33C.23D.22 答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 3．在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C 1－cos2C ＝1,B ＝π6,则a 的值为( ) A.3－1 B ．23＋2 C ．23－2 D.2＋ 6答案 D解析 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C1－cos2C ＝1,所以2sin C cos C 2sin 2C ＝1,所以tan C ＝1,C ＝π4. 因为B ＝π6,所以A ＝π－B －C ＝7π12,所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.由正弦定理可得a2＋64＝2sinπ6,则a ＝2＋ 6.4．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ,c ＝7,且△ABC 的面积为332,则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7答案 D解析 在△ABC 中,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C , 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C , 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ,∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0,∴cos C ＝12,∴C ＝π3,由余弦定理可得,a 2＋b 2－c 2＝ab , 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7,又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332,∴ab ＝6,∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25,即a ＋b ＝5, ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 5．若α,β都是锐角,且cos α＝55,sin(α＋β)＝35,则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 因为α,β都是锐角,且cos α＝55<12, 所以π3<α<π2,又sin(α＋β)＝35,而12<35<22,所以3π4<α＋β<5π6,所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45,又sin α＝1－cos 2α＝255,所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝2525.6．在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若A ＝120°,a ＝1,则2b ＋3c 的最大值为( ) A ．3B.2213C ．32D.352答案 B解析 因为A ＝120°,a ＝1,所以由正弦定理可得bsin B＝csin C ＝a sin A ＝1sin120°＝233, 所以b ＝233sin B ,c ＝233sin C ,故2b ＋3c ＝433sin B ＋23sin C＝433sin ()60°－C ＋23sin C ＝433sin C ＋2cos C ＝2213sin(C ＋φ)． 其中sin φ＝217,cos φ＝277, 所以2b ＋3c 的最大值为2213.二、多项选择题7．(2020·临沂模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b ＝23,c ＝3,A ＋3C ＝π,则下列结论正确的是( ) A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝ 2答案 AD解析 因为A ＋3C ＝π,A ＋B ＋C ＝π,所以B ＝2C .由正弦定理b sin B ＝c sin C ,得23sin2C ＝3sin C,即232sin C cos C ＝3sin C ,所以cos C ＝33,故A 正确；因为cos C ＝33,所以sin C ＝63,所以sin B ＝sin2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223,故B 错误；因为cos B ＝cos2C ＝2cos 2C －1＝－13,所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×63＝69,则cos A ＝539,所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1,所以a ＝1,故C 错误；S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×69＝2,故D 正确． 8．已知0<θ<π4,若sin2θ＝m ,cos2θ＝n 且m ≠n ,则下列选项中与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ恒相等的有( ) A.n1＋m B.m 1＋n C.1－n m D.1－mn答案 AD解析 ∵sin2θ＝m ,cos2θ＝n , ∴m 2＋n 2＝1,∴1－m n ＝n 1＋m,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos θ－sin θcos θ－sin θcos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1－sin2θcos2θ＝1－m n ＝n1＋m.三、填空题9．(2020·保定模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝________.答案 －56解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12,即1＋tan α1－tan α＝12,解得tan α＝－13,所以sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 10．在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且b ＋a sin C ＝2a sin B －c sin B －sin A,则A ＝________.答案π4解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ,得b ＋ac ＝2a sin B －cb －a, 整理得b 2－a 2＝2ac sin B －c 2, 即b 2＋c 2－a 2＝2ac sin B ＝2bc sin A , 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A , ∴2bc cos A ＝2bc sin A ,即cos A ＝sin A , ∴tan A ＝1,∴A ＝π4.11．(2020·全国Ⅰ)如图,在三棱锥P －ABC 的平面展开图中,AC ＝1,AB ＝AD ＝3,AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE ＝30°,则cos∠FCB ＝________.答案 －14解析 在△ABD 中,∵AB ⊥AD ,AB ＝AD ＝3,∴BD ＝6,∴FB ＝BD ＝ 6. 在△ACE 中,∵AE ＝AD ＝3,AC ＝1,∠CAE ＝30°, ∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos30°＝1,∴CF ＝CE ＝1.又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2,∴在△FCB 中,由余弦定理得cos∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14. 12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中,设角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,记△ABC 的面积为S ,且4a 2＝b 2＋2c 2,则Sa 2的最大值为________．答案 106解析 由题意知,4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 整理,得2ac cos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3c 2－a 22ac ,因为⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ac sin B a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin B2a 2＝c 21－cos 2B4a 2,代入cos B ＝3c 2－a 22ac ,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫9×c 4a 4－22×c2a 2＋9,令t ＝c 2a 2,则⎝ ⎛⎭⎪⎫Sa 22＝－116(9t 2－22t ＋9)＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －1132＋1036,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22≤1036,所以Sa 2≤106,故S a 2的最大值为106.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)△ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C .(1)求A ；(2)若BC ＝3,求△ABC 周长的最大值．解 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π,所以A ＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23,从而AC ＝23sin B ,AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 又0<B <π3, 所以当B ＝π6时,△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 14．(2020·重庆模拟)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )．(1)求角C ；(2)若c ＝210,D 为BC 的中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ；条件②：cos B ＝255. 解 (1)在△ABC 中,由余弦定理知, b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,所以2b 2＝2bc cos A (1－tan A ),所以b ＝c (cos A －sin A ),又由正弦定理知,b c ＝sin B sin C, 得sin B ＝sin C (cos A －sin A ),所以sin(A ＋C )＝sin C (cos A －sin A ),即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A －sin C sin A ,所以sin A cos C ＝－sin C sin A ,因为sin A ≠0,所以cos C ＝－sin C ,所以tan C ＝－1,又因为0<C <π,所以C ＝3π4. (2)选择条件②,cos B ＝255, 因为cos B ＝255,且0<B <π,所以sin B ＝55, 因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22×255＝1010,由正弦定理知c sin C ＝asin A ,所以a ＝c sin A sin C ＝210×101022＝22,在△ABD 中,由余弦定理知 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝(210)2＋(2)2－2×210×2×255＝26,所以AD ＝26.。
三角函数恒等变形技巧平面向量,解析几何,函数,算法
数学解题技巧方法谈第一集1、三角恒等变换的基础、应用及技巧（1）2、关于简单三角变换的问题（21）3、三角恒等变换易错题剖析（28）4、知识大盘点基本初等函数及三角恒等变换（31）5、应试答题技巧（33）6、考前状态调整（36）7、数学(理)：2009年命题预测及名师指导（38）8、第二章数学科考试大纲导读（40）9、必考内容与要求：函数概念（44）10、必考内容与要求：立体几何初步（50）11、平面解析几何初步（54）12、算法初步（57）13、高考数学知识网络图（58）古人云：工欲善其事，必先利其器。
方法对头，百事不愁。
解题之道，技巧先行。
一. 教学内容：暑假专题——三角恒等变换的基础、应用及技巧二. 教学目的1、复习三角恒等变换的基本公式及相互关系2、分析三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧三. 教学重点、难点三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧四. 知识分析1. 三角函数恒等变形公式（1）两角和与差公式（2）二倍角公式（3）三倍角公式（4）半角公式（5）万能公式，，（6）积化和差，，，（7）和差化积，，，2. 网络结构3. 基础知识疑点辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。
另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同：。
（2）怎样正确理解正切的和差角公式？正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。
②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。
③用代替，可把转化为，其限制条件同②。
（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。
②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。
向量的数量积与三角恒等变换三角恒等变换的应用
要点二
求三角形面积
通过三角恒等变换，可以求出三角形 的面积，例如利用海伦公式等。
要点三
解三角形方程
通过三角恒等变换，可以解三角形方 程，例如利用正弦定理和余弦定理等 。
三角函数的图像与性质
01
正弦函数图像与性质
02
余弦函数图像与性质
通过三角恒等变换，可以得到正弦函 数的图像与性质，例如周期性、最值 、对称性等。
恒等式的证明方法
证明三角恒等式的方法有多种，包括利用 三角函数的定义、三角函数的和差公式、 二倍角公式等。
VS
恒等式的应用
三角恒等式在解三角形、研究三角函数的 性质和化简求值等问题中有广泛应用。
03
三角恒等变换的应用
解三角形
要点一
判断三角形形状
通过三角恒等变换，可以判断三角形 的形状，例如利用正弦定理和余弦定 理等。
位移与距离
在物理中，位移和距离可以用向量的模进行计算。通过使用三角恒等变换，可以方便地计 算出物体移动的距离和方向。
解析几何中的向量与三角恒等变换应用
点的坐标
在解析几何中，向量可以表示点的坐 标。例如，在二维空间中，一个点可 以表示为一个向量（x, y）。
向量的长度与夹角
通过使用三角恒等变换，可以计算出 向量的长度和夹角。这些信息可以用 于解决几何问题，如计算两点之间的 距离或确定一个点相对于另一个点的 方向。
三角函数的定义
三角函数是角度的正弦、余弦和正切等函数的 统称，它们在解决三角形和平面解析几何等问 题中有广泛应用。
角度的三角函数关系
角度的正弦、余弦和正切之间存在一些恒等式 关系，如sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1等。
三角函数的性质与公式
《平面向量》与《三角恒等变换》
《平面向量与三角恒等变换》zdj 10()()12a AB ⎨⎪⊗⊗⎪⎩ 基本相等向量：长度相等且方向相同的向量，规定：0=0； 相反向量：长度相等且方向相反的向量； 概念字母表示：如，等； 几何表向量的表示平面向量()12121122123e e a a e e e e x y i j λλλλ⎧⎪⊗=⎨⎪⎩⊗ 示：用一条有向线段来表示；若、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只平面向量依据：有一对实数、，使+；其中不共线的向量、称为表示这一平面内所有基本定理向量的一组基底；坐标表示定义：在平面直角坐标系内，取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，那么对于这一平面内()()(),,a x y a xi y j x y a a x y AB a BC b AC a b AC AB BC a b AB a AD b ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩==+=⊗== 的任一向量，有且只有一对实数、，使+，则把叫做向量的坐标，记作；三角形法则：作，，则叫与的和，记作=+； 法则平行四边形法则：以，为邻边1加法向量的运算()()()()()()11221212,,,,ABCD AC a b a x y b x y a b x x y y a b b a a b c a b c OA a OB b BA a b BA OA OB a b ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪==++⎩⎪⎪⊗=++⎩⊗==-= 作平行四边形，则=+； 坐标运算：设=，则+；运算律：交换律：+；结合律：+=++；三角形法则：作，，则叫与的差，记作=-2减法()()()()()()()()11221212,,,,00003a x y b x y a b x x y y a a a a a a a a a a a a a a a b a b λλλλλλλλλλλμλμλμλμλλλ⎧⎨⊗==--⎩⊗=><==⊗=++⊗ ；坐标运算：设=，则-；定义：实数与向量的积是一个向量，记作，规定：； 当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，；实数与向量的积运算律： ； =+； =+； 坐()()()()()()1122,,cos cos 00cos 4,,,a x y a x y a b a b a b a b a b a b a a b a a b a b a x y b x y a λλλθθθθ⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩⊗⋅⋅=⋅=⊗⋅⊗=⋅ 标运算：设=，则；定义：已知两个非零向量、的夹角为，则称为与的数量积或内积，记作， 即，规定：；平面几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影为的乘积； 向量坐标运算：设=，则数量积()()()()121222b x x y y a b b a a b a b a b a b c a c b c a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b λλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨=+⎪⎪⊗⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⎪⎪⊗⋅==⋅≤⋅⋅=⋅⋅=-⋅⎩ ；运算律： 交换律：； ； ； 数量积不满足结合律与消去律；性质： ； ；当非零向量与同向时，；当非零向量与反向时，；()[]()()cos 2a b OA a OB b AOB a b a b a b a b b a θθπθθ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⊗==∠=∈⎪⋅⎨⊗=⎪⋅⎩⊗⊗ 定义：已知两个非零向量与，作，，则叫做向量与的夹角，其中0,；1夹角计算公式：两个非零向量与的夹角满足；向平行定义：方向相同或相反的非零向量又称共线向量，规定：0与任意向量平行；量或向量共线定理：向量与非零向量的共线关系()()()()()1122122111221212,,,//900,,,b a a x y b x y a b x y x y a b a b a b a b a b a x y b x y a b x x y y λλ⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⊗=⇔-⎪⎩⎪⎧⊗︒⊥⎪⎨⊗⊥⇔⋅=⊗=⊥⇔+⎪⎩⎪⎩ 共线的充要条件是有且只有一个实数，使；坐标表示：设=，则=0；定义：若两个非零向量与的夹角为，则称与垂直，记作；3垂直； 坐标运算：设=，则=0；结()0012a b a b a b a b a b a b ABC BC M AM AB AC ABCD AB a AD b AC a b DB a b OA θθ⊗⋅>⊗⋅<⊗∆=+⊗==⊗ 若两个非零向量与的夹角为锐角，则且与不同向； 若两个非零向量与的夹角为钝角，则且与不反向；中，边的中点为，则； 平行四边形中，若，，则=+，=-； 论平面内有两个不共线的向量()()(),cos cos cos sin sin sin sin cos co OB OC OC OA OB A B C λμλμαβαβαβαβαβ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⎩⎪⎩⊗±=⊗±=± 、，若向量满足+且、、三点共线，则+=1；1复角公式：；两角和差三角函数三角恒等变换()()()()()2222tan tan s sin tan 1tan tan 2tansin 22sin cos cos22cos 112sin tan 21tan 3sin cos ,tan 1sin cos sin cos sin cos sin co b a b a αβαβαβαβααααααααααααφφααααααα±⎧⊗±=⎪⎪⎪⊗=⊗=-=-⊗=⎨-⎪⎪++=⎪⎩+-+ ；；2倍角公式：； ； ；辅助角公式：其中；、、三者中，结合题型()()()()2s 1sin 22sin cos 3sin sin A B C A B a b A B ααααπ==⊗++=⊗>⇔>⇔>⊗，利用方程思想、整体意识便可知一求二；2连续倍角余弦积：逆用公式处理；知值求值：利用整体意识尽量将所求角用已知角的和、差、倍、分表示，再计算；4知值求角：先选择计算所求角的一个恰当的三角函数值，再求角；内角和配合诱导公式使用； ； 三角形中的5方法：先由余弦求正弦，比较正弦定范围三角函数问题()sin cos 2sin cos y a x b x παβαβαβ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⊗⇒+>⇒>⎪⎪⎪⎩⎪⎪=+⎩⎩； 、是锐角三角形的两个锐角；6三角函数的周期与最值：形如的函数可利用辅助角公式化为单一函数处理；。
向量和三角恒等式基础
①平面向量知识点总结1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x xy y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x xy y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．baC BAa b C C -=A -AB =B②⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 8、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或22a x y =+．设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=． 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121222221122cos x x y y a b a bx yx yθ+⋅==++二、练习1. 设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ ）A ．030 B ．060 C ．075 D ．0452.P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心3.在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB 、BC 分别为a 、b ，则AH =③（ ）A ．52a -54b B ．52a +54b C ．-52a +54b D ．-52a -54b4.已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（ ）A ．41-B ．41C ．32- D ．325.与向量a →=(12,5)平行的单位向量为 6.已知4||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为120°求： ⑵ )()2(b a b a +∙-； ⑵|2|b a -；7.已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？④答案：1. D 0031sin cos ,sin 21,290,4523ααααα⨯====。
数学北师大版高中必修4平面向量与三角恒等变换及解三角形
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2 5 AB AC =3． （Ⅰ）求△ABC的面积； （Ⅱ）若 b c 6 ，求a的值．
A
2 5
，
共同进步！
△ ABC 中，点D在边AB上，CD平分 ACB ，若CB a ， 3、 CA b， | a | 1， | b | 2， 则 CD 1 2 2 1 3 4 4 3 a b a b a b a b A．3 3 B．3 C ． D ． 3 5 5 5 5 4、已知向量a，b满足a· b＝0，｜a｜=1，｜b｜=2，则｜2a－b｜ ＝ （A） 0 （B） 2 2 （C） 4 （D） 8 5、已知△ABC 和点M满足 MA MB MC 0，若存在实数m使得 AB AC m AM 成立，则m= A．5 B．4 C．3 D．2
二、平面向量与解三角形 OB = b ，则△OAB的面积等于 1、平面上O、A、B三点不共线，设OA a ，
1 2
1 2 2 1 2 2 2 （A） a 2 b 2 (a b)2 （B） a 2 b 2 (a b)2 （C） a b (a b)（ D） a b (a b ) 2 2 2
S
AC 3 ，且 cosB 3 ，求 cosC ． ，AB· 5 3、已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义 2 B m (2 sin B , 3), n (cos 2 B , 2 cos 1), m n 。 向量 2 （1）求函数 f ( x) sin 2 x cos B cos2 x sin B的单调递增区间； （2）如果 b=2 ，求△ABC的面积的最大值。 12 a ， b ， c ， cos A △ ABC 4、 的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为 ． 13
(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件
第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位1 •三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和的核心；2•正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换, “角”的变换是三角恒等变换真题感晤丨考点整合:::::::• ■•••••••••••••••••■ ••••• ••••・••・•••••••• ••••••• • • ・• •罷瀧皐1明考向專蕊扣要点i真题感1.（2018-全国III卷）若sina=28 A97 B9解析cos 2a =1—73，贝0 cos 2a =（8D_9答案2.（2018-全国III卷）AABC的内角A，B, C的对边分别为a, b, c.若△ABC的面积为a2-}~b2— c2，则C=（仆兀B-3C'4r兀D6解析根据题意及三角形的面积公式知j^sin c =厂,所以sin C —/ + 方2 —c22ab= cos C,所以在△ 4BC中,答案C3.（2018•浙江卷）在厶ABC中，角4, B, C所对的边分别为©b, c.若a=^i, b = 2,4 = 60°,贝lj sin B= ________ , c= _________ .・2X迪r解析因为b = 2, A = 60°,所以由正弦定理得^=零. 由余弦定理t/2—Z?2+c2— 2£>ccos A 可得c2— 2c—3 = 0,所以c=3.答案卑34.（2017•浙江卷）已知△ ABC, AB=AC=4, BC=2.点。
为AB延长线上一点，BD = 2,连接CD 则△BDC的面积是__________ , cos ZBDC= ___________ ・解析依题意作出图形，如图所示，则sinZDBC=sinZABC.由题意知AB=AC=4, BC=BD=2,贝U sinZ4BC=乎,cosZABC=^.所以S^BDC —2 BCBD sinZDBC= | X2X2X .因为BD2+BC2-CD2CQ = {Td由余弦定理，得cosZBDC=4+10—4 ^JIQ 2X2XV1O= 4 ・答案V15 Vio2 4B\—~7Ccos DBC —cosZABC= 2BDBC1・三角函数公式(2) 诱导公式：对于“㊁土弘kEZ 的三角函数值”与“a 角的三角函数值” 面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(a±0) = sin acos 〃土cos asin 0； cos(a 土〃)=cos acos P s in asin 〃； tan(a 土〃)(4) 二倍角 公式：sin 2a = 2sin acos a, cos la=cos 2a — sin 2a = 2cos 26z —1 = 1_____ b y考点整合⑴同角关系: sin 2a+cos 2a=l,a.cos a的关系可按下tan a 土tan卩1 tan atan B(5)辅助角公式：asin x~\~bcos x==^/u2+Z?2sin(x+^), 其中tan(p=^.2•正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1) 正弦定理在厶ABC 中，聶=岛=蠢=2R(R 为AABC 的外接圆半径);(2)余弦定理在△佔c 中， a 1 = b 1-\-c 1— 2bccos A ；变形：b 2j rc 2- j 2 1 2 2 2 b 十 c —a~ ci —2bccos4, cos A — n 7(3)三角形面积公式1 7 1 1SgBc=fbsin C=~Z?csin A=^acsin B.变形：a = 2/?sin A, sinci ： b ： c=sinA : sin B ： sin C等.I热点聚焦丨分类突破I■■■誥絃総研热点扭[析考法浚签瘗热点一三角恒等变换及应用【例1] (1)(2018-全国I卷)己知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重2合，终边上有两点A(l, a). B(2, b),且cos 2(z=j,贝\\\a~b\ = { ) 1A-5 D.1(2)若tan兀a = 2tanI 3兀cos a—而则一；一, sin<z_5A.lB.2C.3D.4(3)如图，圆O与兀轴的正半轴的交点为A,点C, B在圆O上，且点C位于第一象12 _丄、巨_13,\/3cos2|—sin|-cos^— j 的值为2解析⑴由题意知cos a>0•因为cos 2a = 2cos2a—1=~,所以、6 、5 …土*得Itan od=*~・由题意知Itan a\ =,所以1“一勿=晋.故选B.,ZAOC=a.若IBCI = 1,则限，点B的坐标为cos 心晋,sin 0 =/ \ JI sin a — sin 心2+1 —3 . 7t . 7t tan a = 2— 1 sin otcosc -cos asing --------------------------- 1 5 5 7i tan 5f 3旳 co r _w(713兀、 s 吨+「而 sin”+£ tan a 】 .7T 71 asing tang sin acos^+cos(3)由题意得\OC\ = \OB\ = \BC\ = \,从而AOBC 为等边三角形，所以sinZAOB = 513*答案(1)B (2)C ⑶备 sin 曾_彳=器所以羽cos?号一sin^cos*— 22« 3_ 厂 1+cos a sin a 吋3 1 . =p3・ 2 P 2探究提高1 •解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时”“所求角”般表示为“两个已知角”的和或差的形式;⑵当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把"所求角”变成"已知角".2•求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.【训练11 (1)(2018-全国II卷)已知sin a+cos 0= 1, cos oc+sin0=0,则sin(a+0)⑵(2017•北京卷)在平面直角坐标系兀Oy中，角u与角0均以S为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin(/=*,则cos(or—〃)= ___________ .一 1 ] 4、疗71 兀(3)(2018-湖州质检)若cos(2a_0) = _盲,sin(a—20)=〒,Ov0v&vav刁贝!j a+0的值为解析(l)Tsin a + cos p= 1, cos a+sin0=0,sin2a + co邙+2sin acos①cos2a+sii?0+2cos asin £=0,②①②两式相加可得sin2a+cos2a+sin2^+cos2^+2(sin acos 0+cos asin 0)=1，/.sin(ot+^)1 =_2-(2)c t与0的终边关于y轴对称，贝lj a+p=Tt+2k7t,比丘乙：・B=Tt_aS ・7( 1) 7 /.cos(a—^) = cos( a — n + a — 2^)= — cos 2a=— (1 — 2sin^a) = — 11— 2X-| =—-,所以sin(2a—0)=p7・所以cos(a—20)=*所以cos(a +0) = cos[(2oc一0) —(a —20)] = cos(2«—”)・cos@ —2") + sin(2a —”)sin(a —X因为问+0罟，所以a + B =£. 答案(1)—£ (2)—£ (3)|热点二正、余弦定理的应用［考法1］三角形基本量的求解【例2—1】（2018-全国I卷）在平面四边形ABCD中，ZADC=90° , ZA=45° , AB =2, BD=5.⑴求cosZADB；(2)若DC=2d求BCRD A D C 2解⑴在△ABD中'由正弦定理得口二右而即而产sin為' 所以sinZADB=€・由题设知，ZADB<90°,、2(2)由题设及(1)知，cos ZBDC= sin ZADB =在△BCD 中，由余弦定理得、2BC 2=BD 2-hDC 2-2BDDCcosZBDC=25-h8-2X5X2\/2X^-=25. 所以BC=5.所以 cos ZADB=2=运 25— 5 •探究提高1•解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”，即“统—角、统一函数、统一结构"•［考法2］求解三角形中的最值问题【例2 — 2】（2018-绍兴质检）已知"，b, c分别为ZVIBC的内角4, B, C的对边，且tzcos C+羽asin C—b—c = 0・⑴求4;（2）若ci = 2,求AABC面积的最大值.解（1）由cicos C+书asin C—b—c=0及正弦定理得sin Acos C+^/3sin Asin C—sin B —sin C=0・因为B=TI—A — Cy所以书sinAsin C—cos Asin C—sin C=0・易知sin C T^O,所以^/3sin A—cos A=l,所以sin A—=-又0<A<7i,所以A=^.(2)法一由⑴得B+C=y C=^—B (OVB<刽，由正弦定理得聶=盒二c 2 4 4 4 晶寸—卞 所以bpsinb c=^sm C. sin § v v v易知一£<23—£<¥，故当2E-*=号,即B=£时，S △初c 取得最大值，最大值为斗平A=|x^sin B X ^sin C sin |=^sin Bsin C=^ (2n }•sin B sin w B Id 丿¥血"cos B +^sin 2B =sin 2B~/3 , J3 2^3 3C0S 2B+ 3 = 3 / \ 7C 1 sin 2B —y + I 6丿 113・所以S^BC =法二由(1)知4=务又u = 2,由余弦定理得22= b2+c2-2bccos p即b2-\-c2~bc—4 Z?c+4 —Z?2+ c22Z?c bcW4,当且仅当b = c = 2时，等号成立.] 1 、厅、庁所以SgBc=qbcsin A=^X专bcW计X4=书,即当b = c = 2时，S^BC取得最大值, 最大值为也.探究提高求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值・(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.［考法3］解三角形与三角函数的综合问题( \【例2 — 3】(2018-嘉兴、丽水高三测试)己知函数您)= cos 2x+中+羽(sinx+cosx)2.(1)求函数/(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的三边心b, c所对的角分别为力，B, C,若a = 2, 0=好/片+㊁戶好求b的值.] 、/3 ( Tt]解(1)因为—2COS 2%—专sin 2x+A/3(l+sin 2x) = sin 2x+g +书，所以/W的最大值为1+羽，最小正周期T=TI.z\ / \ / \ / \C(2)因为/ (才十qJ=sinl+C+gJ+^=cos C+& +羽=羽,所以cos| C+g =0 c=y由余弦定理c2=a+b2-2abcos C可得沪一2^ —3 = 0,因为b>0,所以b = 3.探究提高解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题, 优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练2】(2016-浙江卷)在△ABC中，内角儿B，C所对的边分别为心4 c.已矢口b+c = 2acos B.⑴证明：A = 2B；2(2)若△ABC的面积S=牛,求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B = sin B + sin(A+B) =sin B + sin Acos B + cos Asin B,于是sin B = sin(A-B).又儿Be(0, TC),故0<4—3<兀，所以或 3 =A—B,因此A=7t(舍去)或A = 2B，所以A = 2B・2 2(2)解由S=才得如bsin C=予，故有sin Bsin C=gsin 2B = sin Bcos B,因sinBHO,得sin C=cos B.又B, C£(O, TC),所以C=q土B. 当B+C=》时，A=|；当C~B=^时，A=中.综上，4=申或M纳总结丨思维升华I ■■■■課穩穩探规律瘗防失:误浚签瘗1 •对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；I(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：（1）通过正弦定理实施边角转换；（2）通过余弦定理实施边角转换；（3）通过三角变换找出角之间的关系；（4）通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；（5）若涉及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设岀未知量，从几个三角形中列岀方程（组）求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S= fabsinC来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.。
高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换
第2讲 三角恒等变换与解三角形[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换例1 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝________.答案 －725解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－725.(2)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α，角α＋π4的终边经过点P (－2,1)．①求cos α的值； ②求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 ①由于角α＋π4的终边经过点P (－2,1)，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－255，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55， ∴cos α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－1010.②sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝31010，则sin 2α＝2sin αcos α＝－35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝43－310.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝________.答案 23－4解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，∴－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，∴sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝332sin α＋32cos α， ∴tan α＝32－33，又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tanπ3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝tanπ12＋tan α1－tan π12tan α＝()2－3＋32－331－()2－3×32－33＝23－4.(2)(2018·江苏如东中学等五校联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝35，则sin α的值是________． 答案4＋3310解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，给合同角三角函数基本关系式有： sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝45，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 热点二 正弦定理、余弦定理例2 (2018·江苏泰州中学调研)如图，在圆内接△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .(1)求B 的大小；(2)若点D 是劣弧AC 上一点，AB ＝3，BC ＝2，AD ＝1，求四边形ABCD 的面积． 解 (1)方法一 设外接圆的半径为R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入得2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2×2R sin B cos B ， 即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ， 所以sin B ＝2sin B cos B . 所以sin B ≠0，所以cos B ＝12.又B 是三角形的内角， 所以B ＝π3.方法二 根据余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝2b ·cos B ，化简得cos B ＝12.因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC ＝9＋4－2×3×2×12＝7，所以AC ＝7.因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADC ＝2π3.在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos∠ADC ，代入得7＝1＋CD 2－2·CD ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2或CD ＝－3(舍)． 所以S ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12AB ·BC sin∠ABC ＋12AD ·CD sin∠ADC ＝12×3×2×32＋12×1×2×32＝2 3. 思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝23sin C 3a .(1)求角B 的大小； (2)已知a sin Csin A＝4，△ABC 的面积为63，求边长b 的值． 解 (1)由已知得b cos A ＋a cos B ＝233b sin C ，由正弦定理得sin B cos A ＋cos B sin A ＝233sin B sin C ，∴sin(A ＋B )＝233sin B sin C ，又在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ≠0， ∴sin B ＝32，∵0<B <π2，∴B ＝π3. (2)由已知及正弦定理得c ＝4，又 S △ABC ＝63，B ＝π3，∴12ac sin B ＝63，得a ＝6，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得 b ＝27.热点三 解三角形与三角函数的综合问题例3 (2018·江苏三校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C . (1)求b 的值；(2)若B ＝π4，S 为△ABC 的面积，求S ＋82cos A cos C 的取值范围．解 (1)由正弦定理、余弦定理知sin A cos C ＝3cos A sin C 可等价变形为a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得a 2－c 2＝b 22.因为a 2－c 2＝2b ，所以b ＝4或b ＝0(舍去)．(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C 得S ＝12bc sin A ＝12×4×4sinπ4sin A sin C ＝82sin A sin C ，所以S ＋82cos A cos C ＝82cos(A －C ) ＝82cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －3π4. 在△ABC 中，由⎩⎪⎨⎪⎧0<A <3π4，A >3π4－A ，得A ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π8，3π4.所以2A －3π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －3π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1， 所以S ＋82cos A cos C ∈(－8,82)．思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解． 跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且AB →·AC→＝6，求a 的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，可得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )．∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∵AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝6，∴bc ＝12， 又∵2a ＝b ＋c ，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 224－1＝a28－1，∴a ＝2 3.1．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab22ab＝6－24， ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b 2＝32a 2时，等号成立 故6－24≤cos C <1， 故cos C 的最小值为6－24. 2．(2018·全国Ⅲ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝________. 答案π4解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.3．(2018·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sinB sinC ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案233解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C >0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc>0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________． 答案52解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0， 并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.5．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6－12， 易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)． 因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12≤12， 所以f (A )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ改编)若sin α＝13，则cos 2α＝________.答案 79解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为________． 答案 － 3解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2018·江苏泰州中学调研)已知sin θ＋2cos θ＝0，则1＋sin 2θcos 2θ＝________. 答案 1解析 由题设可知sin θ＝－2cos θ， 则原式＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θcos 2θ ＝(4＋1－4)cos 2θcos 2θ＝1. 4．在△ABC 中，若原点到直线x sin A ＋y sin B ＋sin C ＝0的距离为1，则此三角形为________三角形．(填“直角”“锐角”“钝角”) 答案 直角 解析 由已知可得，|sin C |sin 2A ＋sin 2B＝1，∴sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B ，∴c 2＝a 2＋b 2， 故△ABC 为直角三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为________．答案 5＋7解析 在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ， ∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 6．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________． 答案7π4解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. 7．设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R .且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当BC ＝1时，△ABC 的面积等于________．答案 －14 31516解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.令a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t (t >0)，则cos C ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14， 又∵C ∈(0，π)，∴sin C ＝154. 当BC ＝1时，AC ＝32， ∴S △ABC ＝12×1×32×154＝31516. 8.如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于D ，E 两点，且DE ＝62，则BE 2＝________.答案 52＋ 3 解析 如图，连结CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，所以CD sin π3＝BC sin 2A ＝2sin 2A ， 故CD ＝3sin 2A. 又DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62， 所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A ＝π4， 因此△ADE 为等腰直角三角形，所以AE ＝DE ＝62. 在△ABC 中，∠ACB ＝5π12， 所以AB sin 5π12＝2sin π4， 故AB ＝3＋1，在△ABE 中，BE 2＝(3＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－2×(3＋1)×62×22＝52＋ 3. 9．(2018·江苏)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211. 10．(2018·江苏扬州中学调研)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(1,2)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，cos 2A 2，且m ·n ＝1. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4的值． 解 (1)由题意得m ·n ＝cos 2A ＋2cos 2A 2＝2cos 2A －1＋cos A ＋1＝2cos 2A ＋cos A ， 又因为m ·n ＝1，所以2cos 2A ＋cos A ＝1， 解得cos A ＝12或cos A ＝－1， ∵0<A <π， ∴A ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ，① 又b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ， 代入①整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3，于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形，∴B ＝π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝6－24. B 组 能力提高11.如图，在△ABC 中，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，AD ⊥BF ，若sin 2C ＝716sin∠BAC ·sin∠ABC ，则cos C ＝________.答案 78解析 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由sin 2C ＝716sin∠BAC ·sin∠ABC 可得，c 2＝716ab ， 由AD ⊥BF 可得，AD →·BF →＝AB →＋AC →2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝0， 整理可得，14AC →2－12AB →2－14AB →·AC →＝0， 即14b 2－12c 2－14bc cos∠BAC ＝0， 即2b 2－4c 2－2bc cos∠BAC ＝0，2b 2－4c 2－(b 2＋c 2－a 2)＝0，即a 2＋b 2－c 2＝4c 2＝74ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝78. 12．(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；c a的取值范围是________．答案 π3 (2，＋∞) 解析 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2， ∴0<A <π6. 由正弦定理得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A. ∵0<tan A <33，∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2， 即c a >2. ∴c a 的取值范围是(2，＋∞)．13．在锐角△ABC 中，角A 所对的边为a ，△ABC 的面积S ＝a 24，给出以下结论： ①sin A ＝2sin B sin C ；②tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ；③tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；④tan A tan B tan C 有最小值8.其中正确结论的个数为________．答案 4解析 由S ＝a 24＝12ab sin C ，得a ＝2b sin C ， 又a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝2sin B sin C ，故①正确； 由sin A ＝2sin B sin C ，得sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同时除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，故②正确；由tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B，且tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C ， 整理移项得tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，故③正确；由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1， 且tan A ，tan B ，tan C 都是正数，得tan A tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1·tan B tan C ＝2tan B tan C tan B tan C －1·tan B tan C ＝2(tan B tan C )2tan B tan C －1， 设m ＝tan B tan C －1，则m >0，tan A tan B tan C ＝2(m ＋1)2m＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ＋4≥4＋4m ·1m ＝8， 当且仅当m ＝tan B tan C －1＝1，即tan B tan C ＝2时取“＝”，此时tan B tan C ＝2，tan B ＋tan C ＝4，tan A ＝4，所以tan A tan B tan C 的最小值是8，故④正确．14．已知向量a ＝(2sin 2x ，2cos 2x )，b ＝(cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎪⎫|θ|<π2，若f (x )＝a ·b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称． (1)求函数f (x )的解析式，并求f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，且b ＝5，c ＝23，求△ABC 外接圆的面积．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x cos θ＋2cos 2x sin θ＝2sin(2x ＋θ)，∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称， ∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴θ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又|θ|<π2，∴θ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . (2)∵f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝π2，∴A ＝π6. 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝25＋12－2×5×23cos π6＝7， ∴a ＝7.设△ABC 外接圆的半径为R ， 由正弦定理得a sin A ＝2R ＝712＝27， ∴R ＝7，∴△ABC 外接圆的面积S ＝πR 2＝7π. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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《平面向量与三角恒等变换》测试题 满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（每题5分，共50分）
1.设)3,1(A ，)3,2(--B ，)7,(x C ，若AB ∥BC ，则x 的值是（ B ） A ．0
B ．3
C ．15
D ．18
2. 下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ D ）
A ．)0,0(=a
，)2,1(-=b
B ．)2,1(-=a
，)4,2(-=b
C ．)5,3(=a
，)10,6(=b
D ．)3,2(-=a
，)9,6(=b
3. 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( A )
A.AD →
B.12AD →
C.12
BC → D.BC →
4.若tan α＞0，则( C )
A ．sin α＞0
B ．cos α＞0
C ．sin 2α＞0
D ．cos 2α＞0 5.已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( B )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
6. 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( C )
A.π8
B.π4
C.3π8
D.3π4
7.已知2sin 23α=
，则2
cos ()4
πα+=（ A ） （A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）23
8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交
点距离的最小值为π
3
，则f (x )的最小正周期为( C )
A.π2
B.2π
3 C ．π D ．2π 9.已知∈θ（0，
2
π
），53cos =θ，则=-)6cos(πθ（ B ）
A ．10
433-
B ．10
433
+
C ．5
433+
D ．5
433-
10. 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( B ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定; B ．若θ确定，则|b |唯一确定;
C ．若|a |确定，则θ唯一确定;
D ．若|b |确定，则θ唯一确定. 二、填空题（每题5分，共25分）
11.若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →
|＝________．2 5
12.设a 与b 的夹角为θ，且a ＝（3，3），2b a -＝（－1，1），则cos θ=______。
10
10
3 13. )170sin()70sin()10cos(
)70cos(αααα-︒+︒++︒+︒ .2
1
14.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.25
5
-
15、设a ，b ，c 为任意非0向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的序号为__(2)、(4)_____ （1）（a ·b ）·c －(c ·a )·b =0 （2）|a |－|b |＜|a －b |;
(3)( b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直 （4）（3a +2b )(3a －2b )=9|a |2
－4|b |2
三、解答题（共75分）
16.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，当k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？
17. 设a ＝（2，3），b ＝（－1，1），c ＝（0，－4），
求：（1）()a b +·(2)a b -；（2）|2|a b +；（3）()a b -·c 。
()
8
80)2,3()3(52)5,0(2)2(81441)2()()1,4(2),4,1()1()
4,0(),1,1(),3,2(-=-=⋅-∴=-=+∴=+=⨯+⨯=-⋅+∴=-=+-=-==c b a b a b a b a b a b a b a b a c b a ： 解
18.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求)4
5(
π
f 的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
解：(1).2)4
cos 4sin (4cos 2)45cos 45(sin 45cos 2)45(
=---=+=πππππππf (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1)4
2sin(2++
π
x ，
所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-8,83ππππk k ，k ∈Z . 19.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
(1) 求2(
)3f π错误！未找到引用源。
的值;(2) 求使错误！未找到引用源。
1
()4
f x <成立的x 的取值集合 解: (1) 4
1
)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos
(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ
4
1
)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=
ππππf f x 所以. (2)由(1)知,
)2,2()6
2(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππ
ππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=
.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒π
πππππππ所以不等式的解集是：
()19
0)22(4)3(100)3()(3)4,10(3),22,3(),2,3(,2,1=∴=+--∴=-⋅+∴-+-=-+-=+∴-==k k k b a b a k ，b a b a k b a k k b a k b a ：垂直与又解
20.已知向量a =（sin θ，－2）与b =（1，cos θ）互相垂直，其中θ∈（0，2
π
）。
（1）求sin cos θθ和的值；（2）若10sin(),0102
π
θϕϕ-=
<<，求cos ϕ的值。
[]2
2)sin(sin )cos(cos )(cos cos 10
103)cos(1010)sin(,22,2,0)2(552sin ,55cos 2,05
1
cos 1cos sin ,cos 2sin )1(),cos ,1(),2,(sin 222=
-+-=--=∴=
-∴=
-<-<-∴⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
=∴⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=∴=+=⊥=-=ϕθθϕθθϕθθϕϕθϕθπϕθππϕθθπθθθθθθθθ又又又又解b a b a ：
21.已知a ，b 是两个不共线的向量，(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=
(1)求证：()()a b a b +⊥- (2)若11
(,)32
a b +=，求a b ⋅
(3)若(,)44ππα∈-，4π
β=，且35a b ⋅=，求sin α的值
(4)若||1a b +=，且0αβπ<<<，求βα-的值
.
3
2,0,02
1
)cos(2
1
sin sin cos cos 2
1
,12,1)4(102
sin ,524cos sin )
4
,4(,2532)cos (sin ,257cos sin 25
2
3)sin (cos ,53)sin (cos 22,4,53)3(7259
,36132),21,31()2()
()(,011)()(,1)1()
sin ,(cos ),sin ,(cos 222222
2
π
αβπαβπβααββαβααααπ
παααααααααπβββαα=-∴<-<∴<<<-
=-∴-
=+∴-
=⋅∴=⋅++=+-
=∴-=--∈=-∴-=⋅∴=
+∴=+∴==⋅-
=⋅∴=⋅++∴=+-⊥+∴=-=-=-⋅+∴==== b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ：解。