2019-2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5.1全称量词与存在量词

1．5.1　全称量词与存在量词1．能够记住全称量词和存在量词的概念．2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题221．x>是命题吗？对任意的x∈R，x>是命题吗？22[答案]　x>不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x>则是命题2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？[答案]　命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．( )(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．( )(4)内错角相等是全称量词命题．( )[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√题型一全称量词命题与存在量词命题【典例1】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的内角和等于360°；(2)有的力的方向不定；(3)矩形的对角线不相等；(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．[思路导引]　找命题中的量词及其命题的含义．[解]　(1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[针对训练]1．用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，x 2＋x ＋1也是有理数；1312(3)方程3x －2y ＝10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解]　(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立．(2)对任意有理数x ，x 2＋x ＋1是有理数．1312(3)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立．(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.题型二判断全称量词命题的真【典例2】　判断下列全称量词命题的真假．(1)任意实数的平方均为正数．(2)函数y ＝kx ＋b 为一次函数．(3)同弧所对的圆周角相等．(4)∀x ∈R ，x 2＋3≥3.[解]　(1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．(2)假命题．当k ＝0时，y ＝kx ＋b 不是一次函数，为常函数．所以“函数y ＝kx ＋b 为一次函数”是假命题．(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．(4)真命题．∀x ∈R ，x 2≥0，故有x 2＋3≥3成立．　判断全称量词命题真假的方法要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．[针对训练]2．判断下列全称量词命题的真假．(1)对每一个无理数x ，x 2也是无理数．(2)末位是零的整数，可以被5整除．(3)∀x ∈R ，有|x ＋1|>1.22[解]　(1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．题型三存在量词命题真假的判断【典例3】　判断下列存在量词命题的真假．(1)有的集合中不含有任何元素．(2)存在对角线不互相垂直的菱形．(3)∃x∈R，满足3x2＋2>0.(4)有些整数只有两个正因数．[解]　(1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．(3)∀x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是假命题．(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．　判断存在量词命题真假的方法判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．[针对训练]3．判断下列存在量词命题的真假．(1)有些二次方程只有一个实根．(2)某些平行四边形是菱形．212(3)存在实数x1、x2，当x1<x2时，有x>x.[解]　(1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．212212(3)当x1＝－2，x2＝1时有x>x，故“存在实数x1、x2，当x1<x2时，有x>x”为真命题.题型四含有量词的命题的应用【典例4】　已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．[解]　∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.∴1－m≥0.解得m≤1.∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．[变式]　若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]　∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.∴4－m≥0，即m≤4.∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．　求参数范围的2类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[针对训练]4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．[解]　不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.5．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋5>0成立，求实数m的取值范围．[解]　不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>t min.又t＝(x－1)2＋4，∴t min＝4，∴m>4.所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．课堂归纳小结1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.1．下列命题中，不是全称量词命题的是( )A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．一定存在没有最大值的二次函数[解析]　D选项是存在量词命题．[答案]　D2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．0B．1C．2D．3[解析]　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案]　B3．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是( )A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3[解析]　“∀x ∈R ，x 2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．[答案]　C4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析]　∵对于任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8.[答案]　a ≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．(1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点．[解]　(1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ，使|x |＋2≤0.故命题为假命题．(2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝2＋>0，∴命题为假命题．(x ＋12)314(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．课后作业(八)复习巩固一、选择题1．下列量词是全称量词的是( )A ．至少有一个B ．存在C ．都是D ．有些[答案]　C 2．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称量词命题的个数是( )A ．1B ．2 C ．3D ．4[解析]　①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]　C3．下列命题是存在量词命题的是( )A ．一次函数的图象都是上升的或下降的B ．对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1<0C ．存在实数大于或者等于3D ．菱形的对角线互相垂直[解析]　选项A ，B ，D 中的命题都是全称量词命题，选项C 中的命题是存在量词命题．[答案]　C4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2>0B ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0C ．∀x ∈Q ，x 2∈QD ．∃x ∈Z ，使x 2>1[解析]　首先D 项是存在量词命题，不符合要求；A 项不是真命题，因为当x ＝0时，x 2＝0；B 项也不是真命题，因为当x ＝y ＝0时，x 2＋y 2＝0；只有C 项是真命题，同时也是全称量词命题．[答案]　C5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2>0C ．任意无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使>21x [解析]　只有A ，C 两个选项中的命题是全称量词命题；且A 显然为真命题．因为是2无理数，而()2＝2不是无理数，所以C 为假命题．2[答案]　A 二、填空题6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．[解析]　命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x ≤0，x 3≤0.[答案]　∀x ≤0，x 3≤07．给出下列四个命题：①y ＝⇔xy ＝1；②矩形都不是梯形；③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④等腰三角形的底边1x 的高线、中线重合．其中全称量词命题是________．[解析]　①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]　①②④8．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．[解析]　①当x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0，故①为假命题；②因为x ＝±时，x 2＝2，而2±为无理数，故②为假命题；③因为x 2＋1>0(x ∈R )恒成立，故③为假命题；④原不等2式可化为x 2－2x ＋1>0，即(x －1)2>0，当x ＝1时(x －1)2＝0，故④为假命题．[答案]　0三、解答题9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．(1)存在x ，使得x －2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形的两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．[解]　(1)存在量词命题．如x ＝2时，x －2＝0成立，所以是真命题．(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使x 2＋x ＋1是有理数．1312[解]　(1)∀x ∈R ，使x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，使ax ＋b ＝0恰有一解；假命题．如当a ＝0，b ＝0时，该方程的解有无数个．(3)∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10；真命题．(4)∀x ∈Q ，使x 2＋x ＋1是有理数；真命题．1312综合运用11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∀x ∈R ，＝xx 2D ．平面内，不相交的两条直线是平行直线[解析]　A 中的命题是全称量词命题，但是a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C 中的命题是全称量词命题，但＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.x 2[答案]　D12．已知a >0，则“x 0满足关于x 的方程ax ＝b ”的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，ax 2－bx ≥ax －bx 0121220B ．∃x ∈R ，ax 2－bx ≤ax －bx 0121220C ．∀x ∈R ，ax 2－bx ≥ax －bx 0121220D ．∀x ∈R ，ax 2－bx ≤ax －bx 0121220[解析]　由于a >0，令函数y ＝ax 2－bx ＝a2－，故此函数图象的开口向上，1212(x －b a )b 22a 且当x ＝时，取得最小值－，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝，故b a b 22a ba ∀x ∈R ，ax 2－bx ≥ax －bx 0，故选C.121220[答案]　C13．已知函数y ＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使x ＋bx 0＋c <0”的( )20A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]　∃x 0∈R ，使x ＋bx 0＋c <0的充要条件是x ＋bx 0＋c <0有解，即2020b 2－4c >0,4c <b 2.所以当c <0时，一定有4c <b 2，即∃x 0∈R ，使x ＋bx 0＋c <0.反之当2∃x 0∈R ，使x ＋bx 0＋c <0时，只要4c <b 2即可，不一定c <0.故选A.20[答案]　A14．若对于任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a <0，则实数a 的取值范围是________．[解析]　依题意，得Error!即Error!∴a <－1.[答案]　{a |a <－1}15．已知命题“∃x ∈R,2x ＋(a －1)x ＋≤0”是假命题，求实数a 的取值范围．12[解]　由题意可得“对∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a －1)122－4<0，得－1<a <3，即{a |－1<a <3}．。