北师大版必修五课件：正弦定理

2.通过“应用举例”,提高应用数
学知识解决实际问题的能力和实际 操作的能力 3.通过学习和运用,进一步体会数 学的科学价值、应用价值,进而领 会数学的人文价值,提高自身修养
2.能够运用正、余弦定理证明三角恒等式
1.能够运用正、余弦定理解决不能到达位置的距离、 正、余弦定理在实际问题中的应用 高度的测量问题 2.能够运用正、余弦定理解决角度测量问题
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正 a b c = = 弦的比相等,即 .
sinA sinB sinC
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问题3
正弦定理的拓展: sin A∶sin B∶sin C ; ①a∶b∶c= ②设 R 为△ABC 外接圆的半径,则 a b c 2R = = = .
sinA sinB sinC
a sinA sinC b c
=
c
得 a=
csinA
由
sinB sinC
=
得 b=
sinC sin30 ° csinB 10sin105 ° sinC
=
10sin45 °
=10 2. =20sin 75°,
=
sin30 °
∵sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°= ∴b=20×
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第1课时 正弦定理
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1.掌握正弦定理及其证明过程.
2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.
3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.
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古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗 河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古 埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过 测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求
2 2 2
2
2
2
2
1
∵B 是锐角,∴sin B= ,∴B=45°,C=45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形.
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已知两角及其中一角的对边,解三角形 在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解 这个三角形.
【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°(A+C)=105°. 由
2+ 6 4 2+ 6 4
,
=5 2+5 6.
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已知两边及其中一边的对角,解三角形
在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°.求角 A,C 和边 c.
【解析】由正弦定理得
3 2 a sinA sinB sinA sin45 °
=
b
,
3
=
2
,
∴sin A= ,∴A=60°,C=180°-45°60°=75°, 由正弦定理得:c=
=
b
,
代入数据解得 a=2 10.
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利用正弦定理判断三角形的形状 在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C, 试判断△ABC的形状.
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【解析】在△ABC 中,根据正弦定 理:
a sinA sinB sinC
2
=
b
【解析】因为a,b,A的关系满足bsin A<a<b,故 有两解.
3
在△ABC 中,已知 a=5 2,c=10,A=30°,则 B 等 于 105°或15° .
【解析】根据正弦定理得: sin C=
csinA a
=
10sin30 ° 5 2
= ,
2
2
∴C=45°或 135°,故 B=105°或 15°.
问题4
在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:
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A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系
①a=bsin A
②bsinA <a<b
③a≥b
④a>b
式
解的 个数
一解
两解
一解
一解
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1
在△ABC中,下列等式总能成立的是( D ). A.acos C=ccosA B.bsin C=csin A
第二章 解三角形
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新课程标准的要求 知识点 层次要求 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正 正弦定理和余弦定理 弦定理、余弦定理 2.掌握正弦定理、余弦定理的变形公式 1.通过对三角形边角关系的探究学 1.能够运用正、余弦定理求解三角形的边、角 解三角形 2.能够运用正、余弦定理解斜三角形(无解型、一解 型、两解型) 1.能够运用三角形的面积公式计算与面积相关的问 正、余弦定理在几何问题中的应用 题 习,体验数学探究活动的过程,培养 探索精神和创新意识 领域目标要求
=
c
=2R,
2 2
∵sin A=sin B+sin C,∴( ) =( ) +( ) ,
2R 2R 2R
a
2
b
2
c
2
即 a =b +c ,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°. 由 sin A=2sin Bcos C,得 sin 90°=2sin Bcos(90°-B), ∴sin B= .
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π 4
4
在△ABC 中,已知 b=5,B= ,tan A=2,求 sin A 和 边 a.
【解析】因为△ABC 中,tan A=2,所以 A 是锐 角, 又
sinA cosA
=2,sin A+cos A=1,
2 5 5
2
2
联立解得 sin A=
,再由正弦定理得
a
sinA sinB
bsinC sinB 6+ 2 2
=
.
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[问题]本题中根据 sin A=
3 得出的角 2
A一
定是 60°吗? [结论]角 A 不一定是 60°,∵a>b,∴角 A 还可能是 120°. 于是正确的解答如下:
a b 3 2 由正弦定理得 = , = , sinA sinB sinA sin45 ° 3 ∴sin A= . 2
解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的
呢?
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在上面的问题中, △ABC的已知元素
问题1
有 ∠ABC、∠BAC
2 3
和边 AB .
3
若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则 BC= ,CD= . 解三角形: 已知三角形的几个元素求其他元素 的过 程.
问题2
C.absin C=bcsinB
D.asin C=csin A
a sinA sinC
【解析】根据正弦定理有: C=csin A,故选 D.
2
=
c
,所以 asin
已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的 情况的判断中,正确的是( B ).
A.一解 B.两解
C.无解 D.一解或无解
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