不等式2

高二理科数学第一学期期末复习资料(不等式)

第2课时：基本不等式

一、课前练习：

1、 已知0,0,4,a b ab >>=且则4a b +的最小值为（ ）

A 1

B 2

C 4

D 8 2、已知3,22a

b

a b +=+则的最小值为（ ）

A 6 B

3、已知01,(33)x x x <<-则取最大值时x 的值为（ ）

A

13 B 12 C 34 D 23

4、若4,x <则函数1

4y x x

=-+- （ ）

A 有最大值-6

B 有最小值6

C 有最大值-2

D 有最小值-2 5、不等式2

20mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为

二、知识归纳

1、 基本不等式的主要应用是求最值，我们一方面要注意不等式求最值的三个必要条件即“一正二定三

等号”。对于负数，可乘以-1后使用基本不等式；对于等号不成立的，我们可用函数的方法来研究其最值。

2、不等式2

0ax bx c ++>对一切实数x 恒成立当且仅当2

00

,040

a a

b

c b ac >==⎧⎧⎨⎨>∆=-<⎩⎩或 三、典型例题

例1已知,x y 均为正数，若14

1,x y x y

+=+求的最小值；

解：

14144()()5459,

y x x y x y x y x y

x x y +=++=++≥+=

当且仅当12,33x y ==时取“=”，所以14

x y +的最小值为9

变式练习1: 已知

28

1(0,0),x y x y x y

+=>>+则的最小值为（）

A 12

B 14

C 16

D 18

例2 若函数y =

R ，则m 的取值范围是（ ）

A(0,4) B [0,4] C [)4,+∞ D (]0,4

变式练习2:已知关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，求实数a 的取值范围。

例3、已知函数()2221f x x mx m =+++有两个零点，其中一零点在区间()1,0-内，另一个零点在区间()1,2内，求m 的取值范围。

变式练习3:已知函数()2221f x x mx m =+++有两个零点，且两个零点都在区间()0,1内，求实数m 的取值范围。

四、课后练习：

1、 函数

1

y x x

=+

的值域是（ ） A [2,)+∞ B (],2-∞ C []2,2- D (]

[),22,

-∞-+∞

2、已知0,0,4,a

b a b ab >>+=且则的最大值为（ ）

A 8

B 4

C 16

D 3、33log log 4,m n

m n +≥+

如果那么的最小值是（）

A 4

B 4、4

x

若

x<0，则2+3x+的最大值是（）

A 2+2±2

-以上都不对

5、4

23(

0)y x x x

=-->函数

的最值情况是（）

A 有最小值2

-有最大值2-有最小值2+有最大值2+

6、1

1,1

x x m m x >+≥-已知恒成立，则实数的取值范围是（） A (],2-∞ B [)2,+∞ C [)3,+∞ D (],3-∞

7、,440,lg lg x y x y

x y x y +=+设满足且都是正数，则的最大值是

8、下列命题中，其正确的序号是

（1）|1|x x +的最小值是2 ；（2）1

222

++x x 的最小值是2；（3）2log log 2x x +的最小值是2；

（4）x x x cot tan ,2

0+<

<π

的最小值是2；

（5）x

x -+33的最小值是2，

9、关于x 的不等式2

(1)10ax

a x a +-+-<对于x R ∈恒成立，求a 的取值范围。

10、某工厂要建造一个长方体行无盖贮水池，其容积为48003

m ，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

五、参考答案

一、课前练习 1—4 DBBD 5、

(],0-∞

变式1、D 例2、B

2222212222222

22

(4)(2)10(4)(2)10.402,2,

(4)(2)10(4)(2)1040

(2)4(4)0

6

5

a x a x a x a x R a a x a x R a x a x a a a -++-≥⇔-++-<-=⇒==--++-<≠-++-<⎧-<⎪⎨∆=++-<⎪⎩变式2、解：的解集是空集的解集是（1）当a a 当a=-2时，的解集为，（2）当a -40时，的

解集为R,则满足以下条件：解得-2

⎫-⎪

⎢⎣

⎭（2）得实数a 的

取值范围是 (1)(0)2(21)0(1)(2)(42)(65)0

51-62

f f m f f m m m -=+<⎧⎨

=++<⎩<<-

例3

解：由题意画出示意图可知解得

30(0)0(1)001

1

12

f f m m ∆≥⎧⎪>⎪⎨

>⎪⎪<-<⎩-<≤-变式、解：由题意画出示意图可知

解得

课后练习

1—6 DBCCBD 7、2 8、（1）（2）（4（5）

9、解：当0a >时不合题意，0a =时也不合题意，

所以必有2

0(1)4(1)0a a a a <⎧⎨∆=---<⎩ 解得1

3

a <-

10、（课本99页）